Teorema de Pitagoras - coordinacionmatematica775

SECUENCIA DIDÁCTICA
Fundamentación:
Dentro de la geometría se puede decir que el teorema de Pitágoras, es el teorema más usado,
tanto desde el punto de vista teórico, como del punto de vista práctico en tanto es una
herramienta para calcular ángulos, áreas, distancias, y un largo etc.
Por ejemplo:

El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de
algunas montañas lunares.

Conocer la altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la
distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.

Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera
que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la
distancia del árbol a la base de la escalera.
Las estrategias propuestas por el docente están basadas en planteos de la vida cotidiana de
los alumnos, tales como calcular el ancho de la mesa de ping-pong, verificar las dimensiones de
una ventana etc., en los que se requiere que los alumnos apliquen estrategias de medición y de
cálculo de superficie e inventen o recreen las fórmulas, investiguen si poseen las herramientas
suficientes para resolver la situación, comparen, formulen argumentos matemáticos lógicos que
avalen o desaprueben las decisiones tomadas.
La implementación de la propuesta didáctica se hará para el 2º añoSe pretende lograr:

Que el alumno reconozca que, si los catetos valen 3 cm. y
4cm de un triangulo
rectángulo necesariamente la hipotenusa tiene que valer 5 cm., además tiene que saber
que aparte de la terna pitagórica 3,4,5 existen otras ternas .

Que el alumno aplique el teorema de Pitágoras para estudios posteriores por ejemplo
cuando tenga que representar un número irracional en la recta numérica.

Que el alumno comprenda que el teorema de Pitágoras se utiliza para hallar longitudes
en donde intervienen únicamente triángulos rectángulos.
1
Objetivos generales
Que el alumno logre:
 Comprender la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triangulo
 Planificar la resolución de problemas elaborando estrategias de resolución y comprobando
la validez de los resultados.
Objetivos específicos:
 Interpretar y resolver problemas analizando la razonabilidad de los resultados.
 Reconocer la relación pitagórica como la igualdad entre el cuadrado de la
hipotenusa y la suma de los cuadrados de los catetos.
 Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver situaciones que pueden darse en la
vida cotidiana.
Destinatarios:
La presente propuesta áulica está destinada a los alumnos de 2 año 5 división de la
Enseñanza General Básica del colegio Nº 751 de la ciudad de Trelew.
Contenidos conceptuales:
 Teorema de Pitágoras
 Ternas Pitagóricas enteras
Contenidos procedimentales:
 Conocimiento e interpretación del teorema de Pitágoras
 Observar la veracidad del teorema en objetos concretos
 Discusión de estrategias y reflexión sobre los procedimientos utilizados al resolver
problemas aplicando el teorema de Pitágoras en forma grupal.
Contenidos actitudinales:
 Perseverancia, esfuerzo, y creatividad para resolver las situaciones problemáticas
planteadas
 Utilización del lenguaje coloquial y simbólico propio de la disciplina
 Respeto por el pensamiento del otro, valoración del trabajo grupal y el intercambio de
ideas como fuente de aprendizaje.
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Metodología
La presente propuesta didáctica propone en la 1er clase una actividad inicial el planteo de
un problema con el fin de recuperar los saberes previos. Se propone una dinámica de trabajo,
Con dicha actividad se pretende que los alumnos puedan accionar frente al problema planteado
según los conocimientos previos, acordar o no con la respuesta de un problema argumentando su
postura, respetar y tomar ideas de otros, revisando las propias.
En las 2 clases restantes se hará hincapié en la aplicación del teorema de Pitágoras. Por lo
que se trabajará con una actividad desde dicho contenido
Es importante destacar que en cada una de las 3 clases se utilizará como estrategia
didactica situaciones de puesta en comun a partir de las producciones de los alumnos.
La exposición se utilizará como cierre y la síntesis del tema desarrollado, se pedirá
alumnas/os que expongan los resultados de los problemas como las conclusiones a las que
arribaron. Y es a partir de los aportes del constructivismo que se demuestra que indagar en los
conocimientos previos de los alumnos, generando conflictos, ayuda a conectar los nuevos
conocimientos con los anteriores, garantizando la aplicación significativa de nuevos
aprendizajes.
Uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática es que los aprendizajes
sean significativos, que los alumnos no solo sean capaces de repetir o aplicar sino que
resinifiquen a situaciones nuevas para poder, transferir para resolución de nuevos problemas.
Recursos:
Recursos humanos:
 Docente
 alumnos de 8vo Año
Recursos Materiales:
 Pizarrón
 Tizas blancas y de colores.
 Borrador
 Figuras geométricas (cuadrados) de cartulina de diferentes medidas.
 Elementos geométricos
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Temporalización:
En cuanto a la temporalizarían, el tiempo establecido es de 3 clases cada una con un tiempo de
duración de 80 minutos, dado que es un diseño de clases solicitado por el modulo de Práctica
Docente lll
Evaluación
Indicadores
Bueno
Muy bueno
Regular
Criterios
BIBLIOGRAFIA
 Matemática 8vo Año Pitágoras Editorial sm
 Diseño curricular provincial (EGB 3)
 Material brindado por la cátedra de Práctica Docente lll
 La planificación Educativa Autor: Ezequiel Ander- Egg Colección respuestas educativas
 Internet
 Apuntes de la cátedra Practica Docente II
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Actividades
CLASE Nº 1
Tiempo: 80 minutos
Situación Nº 1:
En la primera clase se planteará una situación problemática en la que los alumnos
trabajarán en forma grupal, integrarán equipos reducidos (2 alumnos por equipo) para determinar
una estrategia de solución y dar respuesta a la situación problemática inicial.
El docente repartirá a cada grupo de 2 integrantes una fotocopia con un cuestionario y un
sobre que contiene 4 cuadrados de diferentes colores y un rectángulo, 3 de los cuales sirven para
armar el triángulo rectángulo, por lo cual los alumnos decidirán, cuáles de las figuras no
corresponde.
Los alumnos deberán encontrar una de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo
conociendo el área del cuadrado
Posteriormente cada equipo seleccionará una estrategia de solución para exponerla al
grupo. En una puesta en común se analizará las respuestas de los alumnos para el abordaje del
nuevo contenido (teorema de Pitágoras.)
Situación Problemática
Utilizando las 5 figuras cuyas medidas son las siguientes:
Cuadrado 1 : 2cm x 2cm
Cuadrado 2: 3cm x 3cm
Cuadrado 3: 4cm x 4cm
Cuadrado 4 : 5cm x 5cm
Rectángulo; 5cm x 6cm
Con los materiales que les entrego tienen que armar el contorno de un triangulo rectángulo
sobre la hoja y luego responder:
5
1) ¿Es posible conocer cuanto mide cada lado del triangulo? Anoten todo lo que pensaron
para resolver
2) ¿Hay alguna relación entre los tres cuadrados que utilizaron para armarlo?
Discutan en el grupo y escriban todo lo que pensaron
Puesta en común
Las posibles respuestas de los alumnos y las intervenciones del docente:
 ¿Por qué eligieron el rectángulo o el cuadrado?
Ellos pueden decir que eligieron el rectángulo porque coincidía justo con el lado
que faltaba.
 El otro grupo responde el cuadrado porque los otros dos son cuadrados entonces el
tercero tiene que ser cuadrado.
 Si sumamos las áreas de los cuadrados más pequeños y lo relacionamos con el
área del cuadrado mayor ¿A qué conclusión llegamos? (sugerencia cuente los
cuadraditos que tienen los cuadrados más pequeños con los cuadraditos del
cuadrado más grande)
Institucionalización:
Con esta actividad se espera que los alumnos con las argumentaciones logren
institucionalizar el Teorema de Pitágoras, “La suma de los cuadrado construidos
sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa”. Y también
ver que a partir el teorema de Pitágoras se pueden obtener los demás datos
En símbolos seria
=
=
CLASE Nª 2
Tiempo: 80 minutos
Situación Nº 1
Esta clase los alumnos trabajarán en forma grupal (4 integrantes por grupo) el docente
entregará una fotocopia a cada alumno con las actividades propuestas.
Se espera que los alumnos logren aplicar el teorema Pitágoras en diferentes contextos,
dado que es útil para obtener el valor de la hipotenusa y para calcular cualquiera de los dos
catetos. En esta actividad se espera que los alumnos verifiquen el teorema de Pitágoras.
Posteriormente en la puesta en común se analizara las soluciones a las que arribaron los
diferentes grupos
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y
80 cm de largo ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?
6
60 cm
80 cm
1
02
cm
Puesta en común
Las posibles respuestas de los alumnos y la intervención del docente
Algunos alumnos responden eso da
en lugar de resolver como corresponde,
entonces el docente intervendrá diciéndoles que deben resolver aplicando como potencias .Otro
grupo lo resolverá aplicando el teorema de Pitágoras con su respectiva propiedad y la posible
respuesta será 100. Los alumnos tienen una situación de la realidad que es una ventana, de esta
forma ellos pueden ver el uso que tiene el teorema de Pitágoras.
 ¿Que pueden decir del resultado obtenido?
Ellos pueden responder que el valor de la hipotenusa da 100 y no 102
 El valor de la hipotenusa ¿qué me indica de la ventana?
Los alumnos pueden responder el valor 100 me indica que está bien construida
mientras que el valor 102 la ventana está mal construida
 ¿Qué tendría que hacer el carpintero con la ventana?
Desarmar la ventana y volver a armar
Verificar los ángulos de corte.
Institucionalización
Con las actividades propuestas se intenta que alumnado logre ver que el valor de
la hipotenusa es único y no puede haber dos resultados. Eso lo comprobamos con
el uso del teorema de Pitágoras
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Puesta en común
Las posibles preguntas del docente serán:
a) ¿Qué pueden decir del resultado que les dio?
b) ¿Qué me indica el valor de 102 cm de la ventana rectangular?
c) ¿Qué figura geométrica representa la ventana con esa diagonal de 102 cm?
d) ¿Por qué el carpintero mide la diagonal de la ventana y no el ancho?
e) ¿Si mide la diagonal con la cinta métrica que figura geométrica forma?
f) ¿Qué representan los marcos de la ventana con las medidas?
g) ¿Esos dos lados que tienen la medida como son entre sí?
Institucionalización
En esta actividad lo más importante es analizar que la diagonal de la ventana no puede ser
102 eso quiere decir que la ventana no salió bien en escuadra.
B ) Situación Nº 2
Consigna:
Resolver la siguiente actividad aplicando el teorema de Pitágoras
La longitud de una mesa de ping-pong es de 4 m. Si se sabe que la diagonal es,
aproximadamente, de 5 m, determinen el ancho de una mesa de ping-pong.
5m
En este problema se pretende que el alumno logre hallar la incógnita haciendo el uso del
teorema de Pitágoras, en donde tendrá que despejar la incógnita que es el cateto.
Puesta en común
Las probables respuestas de los alumnos y la intervención del docente:
a) ¿Cómo calcularon el ancho de la mesa de ping-pong?
b) ¿El teorema de Pitágoras se aplicar a cualquier tipo de triángulo’
c) ¿Qué ángulo forman el largo de la mesa con respecto ancho?
d) ¿Cómo clasificarías dicho triangulo?
e) ¿El ancho y el largo de la mesa que lados del triángulo representan?
Institucionalización
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El cateto de un triangulo es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la
hipotenusa y el cuadrado del otro cateto”
CLASE Nª 3
Tiempo: 80 minutos
Situación Nº 1
En la clase Nº 3 se le propondrá a los alumnos resolver situaciones problemáticas aplicando el
teorema de Pitágoras por lo que se les pedirá formen grupos de 4 integrantes. Posteriormente se
le entregara una fotocopia a cada uno de los alumnos.
Con esta actividad se pretende que los alumnos puedan interpretar un problema y luego graficar
Para así encontrar la solución. El profesor les entregará un afiche a cada uno de los grupos para
que escriban sus respuestas y luego indicará el orden en que deberán pegarlos en el pizarrón, se
debe buscar un ordenamiento que favorezca el análisis. Posteriormente seguirán validando
situaciones y tratando de destacar similitudes y diferencias entre los procedimientos seguidos.
Consigna
Interpreten gráficamente y resuelva este problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m ¿A
qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Puesta en común
A medida que los grupos van finalizando la actividad el docente entregará un afiche donde
deberán volcar sus producciones. El docente colocará el afiche en el pizarrón organizándolos de
manera que favorezca el análisis. Las preguntas del docente serán las siguientes:
a) ¿Cómo calculan la distancia del barco a la base del faro?
b) ¿Qué valor obtuvieron?
c) ¿Qué procedimientos usaron para obtener los datos?
d) ¿Cómo está ubicado el faro respecto del suelo?
e) ¿La distancia del barco al pie del faro que representa del triangulo?
f) El rayo de luz que emite el faro que representa del triángulo?
Institucionalización
De las producciones grupales de los alumnos se pretende recuperar qué:
Lo más importante en esta situación es como utilizar el teorema de Pitágoras en distintas
situaciones y como calcular un elemento de esa situación
La relación entre los catetos de un triangulo rectángulo y la hipotenusa es que nunca el valor de
la hipotenusa puede ser menor que el valor de los catetos.
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Actividades para trabajar en clase y en casa
Interpreten gráficamente y resuelvan estos problemas.
1) Una escalera está apoyada en la pared. Si la escalera llega a una altura de 3 m y la base de
la escalera esta a 2 m de la pared, ¿Cuál es el largo de la escalera?
2) Para fijar una antena de una emisora de radio se une el extremo superior de la misma,
mediante cables de acero tirantes, con tres soportes situados sobre el terreno. Si cada
soporte está a 12 m de la base de la antena y la altura de esta es 16 m ¿cuántos metros de
cable de acero serán necesarios?
3) Un albañil utiliza una cinta métrica de 10m de largo para escuadrar un pared que está en
construcción tal como muestra el dibujo, ¿cuál debe ser el valor del otro cateto para que la
pared quede en escuadra?
10m
8m
10
3) Para que una palmera de 3m de altura no se tuerza, le ataron desde la punta de la copa
una cuerda de 5m con una estaca en la tierra. ¿Qué distancia hay del pie de la palmera a
la estaca?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m
¿A qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m
¿A qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m
¿A qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m
¿A qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
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Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m ¿A
qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
1) Un faro de 18 m de altura ilumina con un rayo de luz a un bote. El rayo de luz mide 30 m
¿A qué distancia se encuentra el bote del pie del faro?
Actividades propuestas
Interpreten gráficamente y resuelvan el siguiente problema
Matemática de 8° año Escuela N° 752
Trabajo práctico N° 1
Tema: Teorema de Pitágoras
Resolver:
1. ¿Cuánto medirá el mayor tablero de madera que, de forma cuadrada, que se pueda introducir
por una puerta de 2 m de altura y 1 de ancho? (no tener en cuenta el grosor del tablero)
2. Para fijar una antena de una emisora de radio se une el extremo superior de la misma, mediante
cables de acero tirantes, con tres soportes situados sobre el terreno. Si cada soporte está a 12 m
de la base de la antena y la altura de esta es de 16 m, ¿cuántos metros de cable de acero serán
necesarios?
16 m
12 m
12
3. Si queremos subir a una terraza situada a 4m de altura utilizando una escalera que tiene 5,8 m
de longitud. ¿Cuál será la distancia máxima desde la pared a la que podremos situar la base de la
escalera?
4. Un jardinero quiere construir una maseta con forma de triángulo rectángulo de lados 18 cm, 24
cm, y 27 cm. ¿Lo podría hacer? ¿Sería posible si los lados fueran 16 cm, 18 cm y 27 cm?
5. Si queremos recuperar una pelota, que se ha caído en un techo que esta a 5m de altura y
contamos con una escalera de mano que mide 6m. Colocando el pie de la escalera a 2m de la
base de la pared, ¿alcanzará la escalera así colocada para llegar al techo?
6.
Para que una palmera de 3m de altura no se tuerza, le ataron desde la punta de la copa una
cuerda de 5m con una estaca en la tierra. ¿Qué distancia hay del pie de la palmera a la estaca?
7. Un albañil utiliza una cinta métrica de 10m de largo para escuadrar un pared que está en
construcción tal como muestra el dibujo, ¿cuál debe ser el valor del otro cateto para que la
pared quede en escuadra?
10m
8m
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