Instalaciones - Universidad del Cauca

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA
I.1
PRÁCTICA I
I
CONOCIMIENTO DE LAS INSTALACIONES, EQUIPOS E INSTRUMENTOS
DE LABORATORIO. METODOLOGÍA PARA PROCESAR DATOS
EXPERIMENTALES
I.1
OBJETIVOS
Presentar aspectos generales sobre la realización de las prácticas de laboratorio.
Tener en cuenta las instrucciones acerca del funcionamiento de los diferentes equipos
del laboratorio.
Conocer e identificar equipos tales como bombas, turbinas, y demás dispositivos
hidráulicos que se encuentran en las instalaciones del laboratorio.
Diferenciar las tuberías principales y secundarias del laboratorio así como también las
válvulas que controlan el flujo y los sistemas de alimentación de agua.
Identificar los aspectos básicos para el análisis de datos experimentales.
I.2
TEORÍA DE ERRORES
Cuando se somete un fenómeno físico a un proceso de observación, se obtiene de él
información que siempre debe ser procesada, atendiendo las consideraciones de la Teoría
de Errores. Esta consiste en aproximar los modelos obtenidos experimentalmente a los
modelos reales, disminuyendo el grado de incertidumbre en el observador cuando los datos
obtenidos están, de alguna manera, dispersos.
I.2.1
Errores experimentales
En un trabajo experimental, las observaciones efectuadas no son absolutamente exactas
debido a la incidencia de diferentes tipos de errores que se presentan. Los errores pueden
clasificarse en dos: los errores sistemáticos y los errores fortuitos o casuales.
I.2.1.1 Errores sistemáticos
Tienen el mismo signo siempre y pueden deberse a las siguientes causas: instrumentales,
personales y externas.
Errores sistemáticos instrumentales: se deben a defectos o imprecisión del aparato
utilizado. Para evitar este tipo de error, los instrumentos se deben patronar
cuidadosamente.
Errores sistemáticos personales: tienen como base la apreciación del observador.
Se evitan estos errores realizándose cuidadosamente las lecturas, en forma repetida
y por varios observadores.
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I.2
Errores sistemáticos externos o errores naturales: se deben a causas externas
tales como vientos, temperatura, humedad, vibraciones, etc. El observador no tiene
control sobre ellos por lo cual no pueden eliminarse pero se deben aplicar las
correcciones necesarias.
I.2.1.2 Errores fortuitos o casuales
Son resultados de las probabilidades y su efecto se reduce haciendo un gran número de
observaciones.
I.2.2
Determinación de los errores experimentales
Según la clasificación de errores presentada con anterioridad, los errores sobre los que se
puede tener algún tipo de estimativo matemático son aquellos asociados a los instrumentos
de medición y su escala de medida.
En general, los errores en la escala de los instrumentos se estiman así:
M
M
(I.1)
En donde, M se refiere a la escala de precisión del instrumento utilizado y M es la
magnitud total medida. Es decir, si se está midiendo una distancia de un metro (100 cm),
con una precisión de un cm (1 cm), el error esperado sería
M
M
1cm
100cm
0.01 . En
otro caso, si se está midiendo una distancia de un km (100000 cm) con la misma precisión
M
1cm
(1 cm) el error sería
0.00001. Es evidente entonces, que acorde a
M 100000cm
la medida que se va a realizar, se deben utilizar escalas de medición adecuadas.
Cuando la medición se hace sobre una magnitud derivada, es decir, que depende de la
relación existente entre mediciones básicas (longitud, tiempo, masa, entre otras), se debe
determinar la influencia de cada medición, sobre el error final.
L3 , en
Por ejemplo, para el caso del volumen de un cubo, cuya arista mide L se tiene
este caso el volumen depende solo de la arista L y por tanto la derivada parcial se convierte
en derivada total:
d
3L2 dL
d
V
3L2 dL
3
L
3dL
L
3 L
(I.2)
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I.3
Así el error en el cálculo del volumen sería tres veces el error en la medición de la arista.
Para relaciones más complejas, es decir, con influencias de más variables, se considera el
error individual y luego se suman. Por ejemplo, para el cálculo del coeficiente de descarga
en vertederos rectangulares, se tiene una relación entre el caudal Q, la longitud L y la carga
hidráulica H.
Q
2
3
Cd
Cd
2 g * Cd * L * H
3
2
Q
3
ya que Q
2
3
2g * L * H
2
3
2g * L * t * H
2
3
t
se tiene
(I.3)
2
Para determinar el error en la medición del coeficiente de descarga Cd (I.3) se deben
considerar los errores parciales de cada una de las variables medidas y sumarlos (en valores
absolutos), es decir:
Cd
Cd
H
H
L
L
t
t
(I.4)
Derivando parcialmente el coeficiente de descarga Cd (I.3) respecto a las variables de
medición, por ejemplo respecto al volumen, se tiene:
Cd
2
3
2g * L * t * H
3
Cd
Cd
;
2
2
3
2g * L * t * H
3
2
(I.5)
2
3
2g * L * t * H
3
2
Con un procedimiento análogo se obtiene que
Cd
Cd
t
;
t
Cd
Cd
L
;
L
Cd
Cd
3 H
2 H
(I.6)
Reemplazando las ecuaciones (I.5) y (I.6), en valores absolutos, en la ecuación (I.4) se tiene
Cd
Cd
I.3
3 H
2 H
L
L
t
t
(I.7)
RELACIONES ENTRE VARIABLES
En las experimentaciones hidráulicas se tienen variables cuyos valores son dependientes
entre sí y que están relacionadas mediante una ecuación matemática tal que Y = (X). Así
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I.4
por ejemplo, el caudal Q que pasa por un vertedero depende de la carga hidráulica H que
actúa sobre su cresta.
Los diferentes pares ordenados (Xi y Yi), encontrados experimentalmente, conformarán un
“diagrama de dispersión”, el cual responde a un patrón de forma que puede ser
correlacionado mediante modelos lineales, exponenciales, logarítmicos, o potenciales. Al
elegir la correlación conveniente, una de las variables quedara en función de la(s) otra(s),
mediante una ecuación cuyas constantes deben determinarse.
La curva que mejor represente los pares ordenados se llama curva de aproximación.
Las curvas de aproximación más usuales son:
Polinómicas:
Línea recta
Cuadrática (parábola)
Cúbica
Grado n: Y
ao
Logarítmica:
Y
aLn( X ) b
Exponencial:
Y
ab X
Potencial:
Y
aX b
Figura I.1
a1 X
a2 X 2
....
an X n
Curvas típicas de aproximación o patronamiento.
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I.5
Para decidir cual ecuación desarrollar en curvas no polinómicas, es útil obtener diagramas
de dispersión de variables transformadas. Por ejemplo, si un diagrama de dispersión en
escalas “X vs log Y” muestra una relación lineal entonces habrá que desarrollar una
ecuación exponencial, mientras que si graficando los pares “log X vs log Y” obtenemos una
recta, entonces habrá que desarrollar una ecuación potencial.
I.3.1
Ajuste de Datos Experimentales
En cada una de las prácticas de laboratorio de hidráulica se obtendrán conjuntos de variables
que presentan algún tipo de relación. Con el diagrama de dispersión y la mejor curva de ajuste
definidos se procede a hallar la ecuación de esta última mediante un desarrollo matemático.
I.3.1.1 Método Gráfico
Consiste en construir un gráfico cartesiano, donde se presente la dispersión entre las
variables y dibujar la línea de mejor ajuste. En caso de ser lineal, los parámetros a y b se
leen directamente del gráfico.
Figura I.2
Diagrama de dispersión y curva de ajuste representativa
I.3.1.2 Promedio Aritmético
Para determinar el valor que tiene la mayor probabilidad de ser el correcto, se utilizan
métodos estadísticos, siendo el más común el de la media aritmética o promedio aritmético,
que expresa que el valor más representativo está dado por la suma de todos los valores de
las observaciones dividida por el número de éstas. Este procedimiento presenta como
ventajas que es el más usado, de fácil cómputo y que para el cálculo sólo son necesarios los
valores totales y el número de datos. Se representa matemáticamente así:
M
M = media aritmética
n = número de datos
Xi = valores de las observaciones
1
n
n
Xi
1
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I.6
I.3.1.3 Método de Mínimos Cuadrados
Se han desarrollado métodos basados en teorías estadísticas para buscar la ecuación de la
curva que mejor se ajuste al conjunto de datos, que siendo única, evita el juicio individual.
Como procedimiento para hallar la ecuación de la curva de ajuste se puede utilizar el
método de mínimos cuadrados cuyo criterio es definir una curva cuyas desviaciones al
cuadrado respecto a los datos reales son mínimos (definido para cualquier curva: recta,
parábola, etc.). Para aplicar estos métodos es indispensable conocer de antemano la clase
de correlación entre las variables. Entre los métodos estadísticos, uno de los más conocidos
es el de los mínimos cuadrados.
aX b ; aplicada a hidráulica: Q
1.
Correlación potencial
Y
2.
Correlación lineal
a mX ; aplicada hidráulica Q
Y
KH m
K mH
(I.8)
(I.9)
Para este tipo de correlación las ecuaciones cuadráticas normales son:
( XY )
a
x2
x m
(I.10)
La solución para las constantes a y m están dadas por las ecuaciones (I.4) y (I.5)
a
X i2
Yi *
constante
n
m
constante
n
X i Yi
n
Xi *
X i2
Xi
Xi *
X i2
Xi
X i Yi
2
Yi
2
(I.11)
(I.12)
n = número de datos
En la mayoría de las prácticas se evalúan parámetros cuyas relaciones son no lineales pero
en todos los casos la forma de abordar estas curvas es haciendo uso de la transformación de
variables, por ejemplo:
Q KH m
donde
(I.13)
Q Caudal, variable dependiente
H Carga hidráulica del flujo de agua, variable independiente
K y m Constantes
Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación (I.13) y utilizando las propiedades de
los logaritmos se tiene:
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log Q
log KH m
log Q
log Q
log K
log K
I.7
(I.14)
(I.15)
(I.16)
log( H m )
m log( H )
Haciendo:
log Q
Y
log K
a
log( H )
X
m
b
Entonces Y a bX función lineal, las constantes a y b se hallan haciendo uso de las
ecuaciones (I.11) y (I.12) y K anti log(a)
Interpretación de Resultados
Una vez obtenida la ecuación de la curva que mejor se ajusta a los datos, proceso llamado
patronamiento, se puede utilizarla para calcular la variable dependiente haciendo solo uso
de la determinación de la variable independiente, esto es lo que la estadística llama
regresión.
Una vez se realiza el ajuste de datos es necesario conocer que tan adecuado es dicho ajuste;
esto se hace calculando el coeficiente de correlación, que sería un indicador de que,
efectivamente, los datos guardan una proporción lineal. Valores cercanos a uno (1) indican
una relación lineal adecuada, valores cercanos a cero (0) indican que los datos no se
distribuyen según un comportamiento lineal. El coeficiente de correlación se estima con la
ecuación (I.17)
n
r
n
X i2
X i Yi
Xi *
X
2
*n
Yi
Yi 2
Y
2
(I.17)
I.4
PRESIÓN HIDRÁULICA
Presión, en mecánica, está definida como la fuerza por unidad de superficie que ejerce un
líquido o un gas perpendicularmente a dicha superficie. La presión suele medirse en
atmósferas (atm). En el Sistema Internacional de unidades (SI), la presión se expresa en
Newtons por metro cuadrado; un Newton por metro cuadrado es un Pascal (Pa). La
atmósfera se define como 101.325 Pa, y equivale a 760 mm de mercurio en un barómetro
convencional, a 1.0 kg-f/cm2, a 1.0 bar y a 10.33 mH20. Medir la presión que ejercen los
fluidos es muy frecuente, tanto en laboratorios, salas de máquinas, industria, controles de
seguridad, etc., de ahí su importancia.
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I.8
Existen tres tipos de presiones tal como se ilustra en la Figura I.3.
Presión absoluta: se mide con relación al vacío o cero absoluto.
Presión relativa: se mide con relación a la presión atmosférica y se llama
manométrica.
Pm
Pabs
Patm
Pm = presión manométrica (puede ser positiva o negativa).
Pabs = presión absoluta (siempre es positiva).
Patm = presión atmosférica local.
Presión atmosférica local es la que da el barómetro en el lugar de medición. Esta presión
disminuye con la altitud del lugar.
Presión atmosférica normal = 1.033 kg-f/cm2
1 atmósfera técnica = 1 kg-f/cm2
1.033 kg-f/cm2 = 10330 kg-f/m2 = 10.33 mca = 1 atm = 1 bar = 760 mmHg = 15 lb / pulg2.
Figura I.3 Unidades y escalas para la medición de presión. Enciclopedia Microsoft®
Encarta® 98 © 1993-1997.
I.4.1
Rangos de Presión
Las presiones pueden variar desde 10-8 y 10-2 mm de mercurio de presión absoluta en
aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas en prensas y controles hidráulicos.
Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de atmósferas, y
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I.9
la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70.000 atmósferas, además
de temperaturas próximas a los 3.000 C.
En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida que aumenta la
altitud, hace que disminuya la presión atmosférica local. Así, la presión baja desde su valor
de 101.325 Pa al nivel del mar, a una latitud de 40°, hasta unos 2.350 Pa a 10.700 m
(35.000 pies), una altitud de vuelo típica de un avión.
I.4.2
Instrumentos de medida
Existen muchas formas de medir la presión en un fluido y la mayoría de los medidores
miden la diferencia entre la presión de un fluido y la presión atmosférica local.
a) Tubos piezométricos
Son tubos transparentes de cristal o plástico, rectos o con codo de 90º, de diámetro
entre 1 cm y 3 cm y de longitud adecuada para que el líquido pueda subir sin llegar a
rebosarse, Figura I.4. Para reducir los errores por tensión capilar y evitar corrección
por menisco, el diámetro del tubo debe ser como mínimo de 1.2 cm. El agujero de
conexión entre el tubo piezométrico y el de la tubería debe ser pequeño,
preferiblemente no mayor de 3 mm de diámetro, para evitar la influencia de la tensión
superficial. El tubo se conecta al recipiente en que se quiere medir la presión y se
utiliza para apreciar presiones relativas o manométricas pequeñas y positivas. La
altura del líquido en el tubo da directamente el valor de la altura de presión.
Figura I.4
Piezómetro para medir la presión de líquidos solamente. Franzini J. B. y
Finnemore E. J. (1999).
b) Manómetro simple
El manómetro simple o manómetro de mercurio en U, Figura I.5, es un dispositivo mas
conveniente para la medición de presiones que el piezómetro común ya que este último no
permite medir presiones altas y ni se puede utilizar con gases. La Figura I.6a) y Figura
I.6b) ilustran manómetros dispuestos para medir vacíos.
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Figura I.5
Manómetro de extremo abierto para medir presiones relativas de líquidos o
gases. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999).
a)
Figura I.6
I.10
b)
a) y b). Manómetros para medir vacíos. Franzini J. B. y Finnemore E. J.
(1999).
Aunque el mercurio se utiliza habitualmente como el fluido de medida en el manómetro
simple, se pueden utilizar también otros líquidos (tetracloruro de carbono, por ejemplo).
Cuando la densidad relativa del fluido de medida se acerca a la del fluido cuya presión se
pretende medir, la lectura aumenta para una presión cualquiera aumentando de esta manera
la precisión del aparato, siempre y cuando se conozcan exactamente las densidades
relativas.
c) Manómetros diferenciales
Se usan cuando interesa medir solamente la diferencia entre dos presiones. En este caso la
densidad del fluido de medida es mayor que la del fluido cuya diferencia de presión se
pretende medir, Figura I.7.
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a)
Figura I.7
I.11
b)
a) Manómetro diferencial para medir diferencia de presión de líquidos y
gases. b) Manómetro diferencial para medir diferencia de presión de líquidos
solamente. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999).
Manómetros metálicos
Miden la presión relativa o el vacío respecto a la atmosférica. Como la mayoría de los
medidores de presión miden la diferencia entre la presión del fluido y la presión
atmosférica local, por lo que hay que sumar esta última al valor indicado por el manómetro
para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío
parcial. Como ejemplo se tiene el Bourdon, llamado así en honor al inventor francés
Eugène Bourdon, en donde la presión atmosférica actúa en el exterior y la presión del
líquido a medir actúa en el interior de un tubo curvado de sección elíptica, que cambiará su
curvatura al cambiar la presión dentro del tubo. El extremo móvil del tubo gira la manecilla
de un cuadrante mediante un mecanismo de unión articulado, Figura I.8 a).
.
a)
b)
Figura I.8 a) Manómetro de Bourdon. b) Manómetro compuesto. Franzini J. B. y
Finnemore E. J. (1999).
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I.12
La combinación de un manómetro de presión y de vacío se denomina manómetro
compuesto el cual se muestra en la Figura I.8 b).
La presión indicada por el manómetro es la de su punto central geométrico, por lo que si el
tubo de conexión se llena completamente de fluido de la misma densidad como el del punto
A de la Figura I.8 a), se tiene:
PA = lectura del manómetro + z
Un manómetro de vacío, o la porción de presión negativa de un manómetro
compuesto se obtiene de la siguiente forma:
PA = lectura del manómetro - z
El material que constituye el tubo de Bourdon limita los valores que pueda medir el
manómetro así:
Si se construye de bronce puede medir hasta 200 kg-f/cm2, de acero hasta 900 kgf/cm2, de acero inoxidable 3500 kg-f/cm2.
I.4.3
Transductores de presión
"Un transductor es un dispositivo que transfiere energía (en cualquier forma) de un sistema
a otro. El manómetro de Bourdon, por ejemplo, es un transductor mecánico por el hecho de
tener un elemento elástico que convierte la energía del sistema de presión en un
desplazamiento en el sistema mecánico de medida. Un transductor de presión eléctrico
convierte el desplazamiento de un sistema mecánico (normalmente un diafragma de metal)
en una señal eléctrica, bien activamente si genera su propio potencial eléctrico de salida,
bien pasivamente si requiere un potencial eléctrico de entrada que modifica como función
del desplazamiento mecánico". Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999).
Figura I.9
Transductor de presión de extensiómetro eléctrico con registrador de cinta.
Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999).
Una banda extensiométrica se pega a un diafragma de forma que al cambiar la presión,
cambia la deflexión del diafragma, que a su vez cambia el potencial eléctrico de salida, que
se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta.
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I.5
PROPIEDADES FÍSICAS DE ALGUNOS FLUIDOS
Tabla I.1
Propiedades físicas del agua (Munson B et al., 1994).
Densidad
TºC
0
5
10
20
30
40
50
60
70
90
90
100
a
b
(kg/m3)
999.9
1000.0
999.7
998.2
995.7
992.2
988.1
983.2
977.8
971.8
965.3
958.4
Peso
Viscosidad Viscosidad Tensión
Presión
Velocidad
Específicoa Dinámica Cinemática Superficialb de Vapor del Sonido
c
p
(m/s)
(N/m3)
(N-s/m2)
(m2/s)
(N/m)
[N/m2(abs)]
9806
1.787E-03 1.787E-06
7.56E-2
6.105E+02
1403
9807
1.519E-03 1.519E-06
7.49E-2
8.722E+02
1427
9804
1.307E-03 1.307E-06
7.42E-2
1.228E+03
1447
9789
1.002E-03 1.004E-06
7.28E-2
2.338E+03
1481
9765
7.975E-04 8.009E-07
7.12E-2
4.243E+03
1507
9731
6.529E-04 6.580E-07
6.96E-2
7.376E+03
1526
9690
5.468E-04 5.534E-07
6.79E-2
1.233E+04
1541
9642
4.665E-04 4.745E-07
6.62E-2
1.992E+04
1552
9589
4.042E-04 4.134E-07
6.44E-2
3.116E+04
1555
9530
3.547E-04 3.650E-07
6.26E-2
4.734E+04
1555
9467
3.147E-04 3.260E-07
6.08E-2
7.010E+04
1550
9399
2.818E-04 2.940E-07
5.89E-2
1.013E+05
1543
= g. Para esta tabla g = 9.807 m/s2
En contacto con el aire
Tabla I.2
Fluido
Tetracloridrato
de Carbono
Alcohol Etílico
Gasolina
Glicerina
Mercurio
Aceite SAE 30
Agua de Mar
Agua Dulce
a
I.13
Propiedades físicas de algunos fluidos (Munson B. et al., 1994).
Densidad
Peso
específico
Viscosidad
dinámica
Viscosidad
cinemática
Tensión
superficiala
(Kg/m3)
(kN/m3)
(N-s/m2)
(m2/s)
(N/m)
20.0
1590
15.60
9.58E-4
6.03E-7
2.69E-2
1.30E+4
20.0
15.6
20.0
20.0
15.6
15.6
15.6
789
680
1260
13600
912
1030
999
7.74
6.67
12.40
133.00
8.95
10.10
9.80
1.19E-3
3.10E-4
1.50E+0
1.57E-3
3.80E-1
1.20E-3
1.12E-3
1.51E-6
4.60E-7
1.19E-3
1.15E-7
4.20E-4
1.17E-6
1.12E-6
2.28E-2
2.20E-2
6.33E-2
4.66E-1
3.60E-2
7.34E-2
7.34E-2
5.90E+3
5.50E+4
1.40E-2
1.60E-1
--------1.77E+3
1.77E+3
T
(ºC)
En contacto con el aire
33.3
0.0131
T 23.3
T: temperatura en ºC
: viscosidad cinemática en cm2/s
Presión de
vapor
p
[N/m2(abs)]
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I.6
I.14
TRABAJO DE LABORATORIO
En esta primera reunión, el profesor entregará a los estudiantes la programación de las
prácticas para el período lectivo correspondiente; dará las instrucciones generales y
mostrará, dando las explicaciones pertinentes, las instalaciones del laboratorio incluyendo
observaciones sobre:
a)
b)
c)
d)
Sistemas de abastecimiento disponibles.
Instalaciones para el desarrollo de las prácticas.
Tipos de conducciones, aditamentos y máquinas hidráulicas.
Instrumentos de medición y unidades para: niveles, velocidades, caudales, presiones
relativas y atmosférica.
e) Tipos de flujo: uniforme y variado, permanente y no permanente
El estudiante debe ampliar las explicaciones recibidas sobre los instrumentos de medición
específicos que le asigne el profesor y repasar los conceptos de teoría de errores y métodos
de ajuste de datos experimentales.
I.7
REFERENCIAS
Enciclopedia Microsoft® Encarta® 98 © 1993-1997 Microsoft Corporation. Reservados
todos los derechos.
Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). Mecánica de Fluidos con Aplicaciones en
Ingeniería. Editorial McGraw Hill. Novena Edición. Madrid. España.
Gallardo, Y. Análisis de la Información. Editorial Nacional, Bogotá 1999.
Montgomery. D, Runger, G. Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería. México.
McGraw-Hill, 1996.
Pérez, J. Mínimos Cuadrados Generalizados. Editorial Universidad del Cauca, 1990.
Popayán.