2001 - EMESTRADA, exámenes de selectividad de Andalucía

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2001
MATEMÁTICAS II
TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A
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Siendo ln x el logaritmo neperiano de x, considera la función f : (0,  ) 
f ( x )  x  ln x . Calcula:
a)
definida por
 f ( x ) dx .
b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0) .
MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N

a) Vamos a calcular la integral I  x  lnx dx , que es una integral por partes.
1
dx
x
x2
dv  x dx ; v 
2
u  ln x ; du 

I  x  ln x dx 
x2
x2 1
x2
1
 ln x 
 dx 
 ln x  x 2  C
2
2 x
2
4

b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (1,0).
0
12
1
1
 ln1  1 2  C  C 
2
4
4
Luego, la primitiva que nos piden es: I 
x2
1
1
 ln x  x 2 
2
4
4
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Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva
2x  2
tiene como ecuación y 
1 x
MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
A1 

A2 

2
A3 

3
0
1
0
2
2x  2
dx 
1 x

4 
0

2 

 dx   2 x  4 ln(1  x)  1  4 ln 2  2
1 
1 x 
0
2
 x2

( x  2) dx     2 x   2
 2
0
3
x2

1
0  ( x  2) dx    2 x  
2
2 2
El área pedida es:
A  A1  A 2  A3  4 ln 2  2  2 
1
1
 4 ln 2 
2
2
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Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y  x 2 y la recta y  1 en dos
regiones de igual área mediante una recta y  a . Hallar el valor de a.
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos el área encerrada por la parábola y  x 2 y la recta y  1 .
1

x3 
 1 4
Área  2   (1  x ) dx  2   x    2  1    u 2
0
3 0
 3 3

1
2
Calculamos los puntos de corte de la parábola y  x 2 y la recta y  a .
x2  a  x   a

a

2
x3 
a a 4
 2   (a  x 2 ) dx  2   ax    2   a a 
 a aa
0
3
3 0
3  3


a
3
1
4
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si x  1
 5 x  10
la función definida por: f ( x )   2
 x  2 x  2 si x  1
a) Esboza la gráfica de f.
b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x  3 .
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

Sea f :
R E S O L U C I Ó N
a)
b)
1
3
 5x 2

 x3

5 28 71 2
Área   (5 x  10) dx   ( x  2 x  2) dx  
 10 x     x 2  2 x   

u
2
1
6
 2
 2  3
 1 2 3
1
3
2
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 a( x  1) si  1  x  1
definida por: f ( x )  
si
x 1
 x ln x
a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable.
Considera la función f : (  1,   ) 
b) Calcula

2
0
f ( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 1 OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego:
lim a  ( x  1)  0 

 lim  lim  0  Continua
lim x  ln x  0  x 1  x 1 
x 1

x 1 
a si 1  x  1

Calculamos la función derivada: f '( x)  
x 1
ln x  1 si
f '(1  )  a 
  a 1
f '(1  )  1 
b)

2
0
2
 x 2 ln x x 2 
1
1
5
x

f ( x) dx   ( x 1) dx   x  ln x dx    x   
    1  2ln 2  1   2ln 2 
0
1
4 1 2
4
4
 2 0  2
1
2
1
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Sea f :

la función dada por : f ( x )  x 2  1
a) Esboza la gráfica de f.
b) Estudia la derivabilidad de f.
c) Calcula

2
0
f ( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a)
 x 2  1 si x  1

b) Abrimos la función: f ( x)   x 2  1 si 1  x  1 , la función es continua en
 x 2  1 si x  1

.
 2 x si x   1

Calculamos la función derivada: f '( x)  2 x si 1  x  1
 2 x si x  1

f '(1  )   2 



  f '(1 )  f '(1 ) ;

f '(1 )  2 

f '(1  )   2



  f '(1 )  f '(1 )

f '(1 )  2 

 1,1 .
Luego, la función es derivable en
c)
1

2
0
2
 x3

 x3

1
8
1
f ( x) dx   ( x  1) dx   ( x  1) dx    x   
 x   1  2  1  2
0
1
3
3
3
 3
0  3
1
1
2
2
2
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Sea f :  la función definida por: f ( x )   2 x 3  9 x 2  12 x .
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
b) Determina los extremos relativos  y  de f con    y calcula



f ( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero.
f '( x)   6 x 2 18 x 12  0  x   2 ; x  1
  ,  2
  2, 1
 1,  
Signo y '
―
+
―
Función
D
C
D
Máximo en (  1, 5) ; mínimo en (  2, 4)
b)
1
 2 x 4 9 x 3 12 x 2 
1
9
  2 ( 2 x  9 x 12 x) dx   4  3  2    2  3  6  8  24  24  2
2
1
3
2
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1

si x  0

Sea f :  la función definida por: f ( x )  
1 x
1  mx  x 2 si x  0

a) Determina m sabiendo que f es derivable.
b) Calcula

1
1
f ( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 1 OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego:
1

1

x 0 1  x
 lim  1  Continua
 xlim
0 
x 0
2

lim 1  mx  x  1
x 0 

lim
1

si x  0

Calculamos la función derivada: f '( x)   (1  x) 2
 m  2 x si x  0



  m  1

f '( 0 )   m 

f '( 0  )  1
b)
1
1

1
x2 x3 
1 1
7
0
2
1 f ( x) dx  1 1  x dx   0 (1  x  x ) dx    ln(1  x) 1   x  2  3   ln 2  1  2  3  ln 2  6
0
1
0
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Considera la función f :  0, 4 

4x
si 0  x  1

16

definida por: f ( x )  
si 1  x  3
2
 ( x  1)
 4  x si 3  x  4
a) Esboza la gráfica de f.
b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
b)
3
4
4

 16 
16
x2 
1 13 2
2 1


Área   4 x dx  
dx

(4

x
)
dx

2
x



4
x

 2 4 
u


3

 0  ( x  1) 
0
1 ( x  1) 2
23
2 2

1 
1
3
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Calcula el área encerrada entre la curva y  x 3  4 x y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Vamos a calcular los puntos de corte de la función y  x 3  4 x y el eje de abscisas y  0
x3  4 x  0  x  0 ; x  2 ; x   2
Por lo tanto, el área pedida será:
A
0
2
x
3
 4 x  dx  
0
2
0
2
 x4
 x4
2
2

x

4
x
dx


2
x


 4

 4  2 x  

 2 
0
3
   4  8    4  8  8 u 2
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1
 cos x , los ejes de coordenadas y la recta x   .
2
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
a) Dibuja el recinto limitado por la curva y 
R E S O L U C I Ó N
a)
1
 cos x y el eje de abscisas y  0
2
1
1
2
 cos x  0  cos x    x 
2
2
3
b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función y 
Por lo tanto, el área pedida será:
A
2
3
0
2

 
1
1


x
 3  x

  cos x  dx   2     cos x  dx    sen x      sen x  2  
2
2


2
0  2

3 
3
 2
3  
2
3 
2
 


     0 
   3 u
2   2
6
2  6
 6
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