UN PLAN DE ESTUDIO EN MATEMATICAS Se trata de un plan de

Bole tin de Matemiticas
Volumen
X (1976). pigs.
140 - 147
UN PLAN DE ESTUDIO EN MATEMATICAS
G ur L L E R M 0
REST
REP 0
Se trata de un plan de estudios para forrnar :
1.
a) Profesores
de maternati c as para Ia escuela
b) Profesores
univers itar ios e investigadores.
lntrcducc
secundaria
ien.
En el documento anterior, se sefialaba que los campos fundarnentale sde
sernpefio profesional de un maternat ico eran Ia enseiianza
iianza en la Universidad.
de-
y Ia ense
-
LaInveat igac ion empieza a abrirse campo en laIh iver-
'sidad como una actividad que Ie es propia, especialmente
ca. La investigacion
secundaria
la investi gac icn teori
en maternaticas se hara principalrriente en los institutos
inve s tiqa c ion que serv iron de eje ocodemico
a los estudios
tudios de posgrado seran para aquellos estudiantes
de posgrado.
de
Los es-
aptos para la invest igac ion y
no deben ~ener un plan de estudio determin ado. En este documento de trabajo
se habl ara de las experiencias
>
no
educ ativas del proceso educativo de posgrado. So-
lo indicarernos que a nivel de posgrado el proceso educative debe estar encarni nado a forrnar investigadores.
Por tanto podran hacer estudios
de posgrado en ma-
ternaticas solo quiene s hayan demostrado talento y gusto por 1a investigacion
ternatica durante sus estudios
La coexistencia
lhiversidad
140
universitarios
de Facultades
rna-
profesionales.
de Cienc ias y Facultades
colombiana parece ser un hecho irreversible.
de Educacion en la
En el memento, las Fa-
cultades
de Educacion
muchos
aspectos
Fisica
administran
(vease
administrados
matriculados
por las Facultades
Desde
hace
blema parece
cusion
estos
que de rechazo,
de
a disminuir.
carrer as de sertan
(Ingenierias
del
principaldel Va-
Como era de esperarse,
por parte
Ade-
al cabo
peris ando en l a lhiversidad
la opo-
de los estudiantes.
un as veces,
una propuesta
tiende
profesionales
programas.
por integrac ion. Pero,
sin presentarse
sin una definicion
El
pro-
clara
de
10 que es peor , s iernpre se ha planteado
concreta
que sirva
de base
para una dis-
seria.
generales
2.1.
distinguir
Es preciso
"profesor
de secundar
solo debe existir
Tambien
el profesor
area
casi
Consideraciones
ticas.
carreras
que ha sido mal planteado
10 que se entiende
2.
de integrar
ha side grande,
el asunto
y deMatematicas
var ios afios se ha venido
lie en la posibilidad
sicion
en otras
en
y
de Matematicas
Ej niimero de estudiantes
de Cienclas.
de quien es ingres an a estas
ana para enrolarse
mente).
a los programas
en los program as de F'is ica
mas un alto porcentaje
segundo
progr arnas de Matematic e-Fis ica diferentes
la Pr imera Parte)
una diierenc!o
debe existir
secundaria
una partic ipacion
2.2.
fesionales
educativas
"profesor
z as se refieren
bos profesionales
re extender
activa
tener
de secundaria"
alcanzar
de
de l profesor
su
de
y en la investiga
que manifest ar se
las dos actividades
universitario".
pedagc5gica
dentro
que
en
aprop iados.
las s emeioriz as entre
y "profesor
en materna -
Se espera
se espera
tendran
a los niveles
No
en un investigador
en la docencia
diferencias
a 10 cOT/I5n en la actividad
deben
necesariamente
y creadora
Estas
distinta.
investigativas,
Por el contrario,
diferentes
presente
a profundi zacion
profesional
en actividades
fisica.
0
a fundamentalmente.
Es preciso
en cuanto
sin que se convierta
en matematicas
profesionales
un iver sitar io " (ver la Pr imera Parte).
una expectativa
profesional
las experiencias
entre las dos actividades
de nivel
part ic ipara
fundamentalmente,
cion didactic
claramente
y " profesor
ia"
universitario
la propuesta.
sobre
Estas
y al nivel
en el area de matematicas
s ernej an -
minimo
(y fisica
pro-
que
am-
si se quie-
la integracion).
141
2.3. lha division de todo el proceso educativo en ciclos
acoersejable
para tener la suficiente
rencias y las semejanzas
descritas
parece ser
10 mas
flexibilidad que permita incorporar las difeen los numerales anteriores.
Se propone :
(A) lh cicio bc1sico de dos afios de durac ion, No se trata de revivir los llamados "estudios Generales" para darles a los estudiantes
conocimientos generales.
Por el contrario, enestos
una dieta balanceada de
dos afios se dara a los estu-
bc1sicos par(J su lvtur» oesorrollo
diantes los conocimientos
prof.sionol.
Se pre-
tende que el plan de estudios refleje 10 que hay de comiin en las expertencias
educativas
sica
0
que es preciso dar a quienes vayan a ser profesores de secundaria (fi-
matematicas)
profr sores universitarios
0
maticas. Este cicio, por consiguiente,
sica y matematicas
e investigadores
en fisica
es bc1sico y comun para estudiantes
ya sea que se preparen
para ser profesores
0
mate-
de fi-
de secundaria
0
profesores de universidad e investigadores.
(B) lh cicIo de clecision profes ionol de un afio de duracion
diza en matematicas
0
carse a Ia docencia
distinguirse
secundaria
en fisica. EI estudiante,
en secundaria
co~ especialidad
y/ oinvestigadores
docencia universitaria.
Creemos
en fisica y docente de
en matematicas.
profesionol.
Para profesores universitarios
relacionadas
con oiOOcfico (de la fisica
0
experiencias
educativas
3. Plan d•• studios para
expe -
de la metematlce)
oocente. Los segundos profundizarian en sus respectivos
(Nota:
que debe
seria de dos afios de durac ion. Los primeros tendrian
riencias educativas
tendrian
al final, podra elegir entre dedi-
entre docente de secundaria con especialidad
(C) lh cicIo de especiolizocion
y practico
0
. Aqui se profun-
campos
de tipo investigativo.
.1 cicio A.
numero en parentesis
indica semestre).
3.1 (1) Numeros reo/es y las funciones e/emento/es.
Es un curso de nivela-
cion (aunque no remedial). lh estudio riguroso (mas no formal!) de los numeros
142
y
reales y de las propiedades
logaritmica,
y graficas de las funciones polinomiales,
trigonometricas.
Las propiedades de "aproximacion"
reales se estudian via sucesiones
creciente
de los niimeros
monotonas (axioma: toda suces ion monoton a y
es convergente).
3.2 (2). Calculo I. lh curso de calculo diferencial
unificado(el
e integral de una variable
teorerna fundamental del calculo da el eje del curso), Limites, con-
tinuidad, derivada de las funciones elementales,
mentales,
exponenc ial ,
integracion de las funciones ele-
areas y vohimenes, axiom as y minirnos, trazado de curvas, aplicaciones.
(Aproximadamente Cap. 3.4, 5.6 de L. Bers),
3.3 (2) Geometria Analitica.
EI estudio de la fun cion cuadratica
La .. x· x .
tl
t
1
en dos y tres variables
nor
0
(uso sistematico de matrices y determinantes de orden meigual a tres), EI espacio 1R3, como espacio euclideo, debe estudiar se com-
pletamente.
Propiedades
particulares
de con icas reducidas a sus ejes principa -
les. Teorema de diagonal izac ion (ejes principales).
3.4 (3) Calculo 1/. Calculo diferencial e integral de varias variables (teori a
elemental). Fune iones de IR1 en 1R2 : curvas orientadas, tangentes, longitud de
. d as parc
'
. Ies, gra dilenuna curva, ap I··
icaciones. F'uncrones d]R3
e
en lR1 : d enva
ia
te, integrales
de linea, potenciales
les en general, maxirnos y rninirnos.
y sistemas
conservatives.
Derivadas parc ia -
J acobiano
de una transforrnac ion lineal y vo3
lumen, jacobiano de una transforrnac ion de 1R en lR3 y su rel acion con "cambio
de volumen". Coordenadas.cil indr icas y esfericas. Integral de funciones de'lR3
en R 1 y reduccion a integrales
de variables
para integrales
de orden inferior (rnetodo de secciones).
triples.
Aplicaciones
Cambio
al calculo de areas, vohimenes,
momentos de inerc ia, masas, etc.
3.5 (3) lntroduccion
o los complejos,
ses ortonormales.
alalgebra
dependencia
Ecuaciones
trices. Determinantes.
lineal. Espacios
vectoriales
sobre los
reales
lineal, bases. Producto esc alar , ortogonalidad, balineales
0
matrices, operacione s , inversion de ma-
Valores propios y vectores propios de matrices simetr icas,
143
hermitian as.
3.5 (4) Calculo III. Sucesrones y series de niimeros reales y complejos.
terios de convergencia (integral de la
tencias,
teorema de Taylor. Ecuaciones
razon),
Integrales
diferenciales
Fourier. Resolucion de algunas ecuaciones
c-r.
impropias. Series de po-
de segundo orden. Series de
diferenclales
parciales
por el metodo
de separacion de variables.
3.n (4) Matematicos
Integrales
Especiales.
Integrales de linea y el teorema de Geen .
de superficie y el teorema de Stokes. Divergencia,rotacional.
Introduc-
cion a las funciones de variables compleja, integral de Cauchy, residuos.
3.7 (2) Fisico
General I.
3.8 (3) Fisico
II.
3.9 (4) Fisico
III
Nota. Seria conveniente que el curso de Iisrca general I fuese un curso de n ivelacion, En fi sica II y III can el conocimiento del calculo de los estudiantes
po-
dria hacerse un curso acelerado.
3.10 (1) Ic/;oma extranjero.
3.11 (2) rc/ioma extranjero.
3.12 (3) Ic/;oma extranjero.
3.13 (4) Ic/;oma extranjero.
Nota. EI idioma puede ser Ingles, aleman, ruso, frances.Es
los estudiantes
adquieran un conocimiento mas
(traducir correctamente,
de los procesos sociales
3.15 (2) Psicologia.
gicas con enfasis
socia/es.
adecuadamente).
Estudio de dos "teorias"
so-
(funcional ismo y materialismo histdrico).
Estudio de los procesos psiquicos y sus bases fisiolo-
en el proceso de formacion del pensam iento y el desarrollo psi-
quico de los escolares.
144
menos profundo de otro idioma
hablar un poco y escribirlo
3.14 (1) Introc/uccion a las ciencias
ciologicas
0
;nc/;spensable que
3.16 (3) Pedagogia
distintas
general. Estudio de los procesos educativos dentro
formaciones socioeconomicas.
de
<l>jetivos de Ia educacion en Colombia,el
sistema educativo. Problemas de la ensefianza segiin las edades.
3.17 (4) DiclOctica general.
Se estudia el proceso de Ia ensefianza, los as-
pectos cientificos de la ensefianza, el trabajo del alumno y el trabajo del
maes-
tro, etc.
4. Plan d•• studios para el cicio B. (En matematicas). Algo por el estilo deberia
hacersepara
fistca.
:4.1 (5) Fundamentos
inferior, sucesiones
de Analisis
I. Los numeros reales, extremo superior
e
de Cauchy. Espacios metricos y funciones continuas en espa-
cios metricos.
4.2 (5) FunJamentos
de Algebra Moderna I. Las estructuras
fundamentales
(grupo, anillo, campo). Los niimeros enteros, polinomios. Congruencias de niimeros y polinomios.
4.3 (5) Principios
de probobilidad.
(Ver, por ejemplovGiedenko y Khinchin, a
an elementary introduction to the theory of probability). No se debe hacer un
en-
foque conjuntista.
4.4 (6) Fundamentos
de Analisis
II. Los conceptos de derivada e integral
de funciones de una variable, sucesiones
4.5 (6) Fundamentos
ria de ecuaciones.
\
.
.
y series de funciones.
de algebra mcderna II. Es basicamente un curso de teo-
Extensiones
braicos. Solucion de ecuaciones
cu adraticas y cubic as de campos, niimeros alge por radicales,
4.6 (6) FuncJamentos cJe 10 motematica,
Es un curso en que se estudian
los
problemas de la axiomatizacion (independenc ia y completitud, categoricidadr.Aplicaciones a la axiomatice en geometria. Geometrias finitas, geometries sin el axioma de las paralelas,
etc. I\xiomatica de la geometria euclideana.
145
5. Plan de estudios para el cicle C. (En maternaticas).
5.1 Quienes
vayan a ser profesores
de secundaria con especialidad
en mate -
rnaticas deberian estudiar en el ultimo afio (cuarto) :
a. Maternaticas elementales
y los problemas especiales
que se presentan para
ensefiarlas
(ar itrnetica, geometria, calculo, etc.). Esto encajari a dentro de la de-
nominacion
corniin didoctica
fianz a de la rnatematica
especial
de la matemat ico (0 rnetodologia
como dirian otros. Con el terrnino didactica
de la ens e-
especial
se
quiere indicar algo mas concreto).
b. Practice
docente. No se como se pod rIa orj?;anizar esta experiencia
va. Pero creo que se debe obligar a que cada estudiante
completo de sus experiencias
iianza de la fis ica en bach illerato
0
que se incluya problemas sobre la ense-
didactica
de la iisica ? Reciproca
especial
mente, para quienes van a ser docentes en secundaria
5.2 Quienes vayan a ser profesores universitarios
con especialidad
y/o investigadores
-
en flsica?
con es-
en matematicas (matematicos ) deben :
a. (7.8). Tomar una
tadas"
presente un informe muy
en algun colegio de secundaria.
Pregunta : i Es posible y conveniente
pecialidad
educati-
secuencra
por un grupo colectivo
rnaticas (colectivo
de dos curs os obl igatorics en areas "represen-
de especialistas
de anal isi s, colectivo
dentro del Departamento
decornputacion,
de Mate-
colectivo de estadist i-
ca y probabil idad).
b. (7.8) Tomar dos cursos colect ivos segdn la conveniencia
tes y disponibilidad
de los estudian -
del Departamento.
c. (8.9). Seminarios I y II dentro de urn tema especializado.
d. (9.10) T es is de grado.
cion de caracter exploratorio
La tesis de grado debe ser un tratado de in vestiga present ado en forma de monografia.
Noto 7, Se proponen los siguientes
146
titulos :
a. Profesor de secuhdaria con especialidad en matematicas'{o fisica) para
quien complete el plan de cuatro afios en matematicas (0 fistca).
b. Matematico (0 fislco) para quien complete el plan de cinco afios (con te sis).
Noto 2. No se debe tomar al pie de la letra la duracion de los programas.
posible que sea mas
0
Es
que sea menos. Ut analiais mas detallado podria dar indica-
ciones precisas sobre el tiempo que debe durar el proceso educativo en cada caso. Lo fundamental es pensar si se ha indicado
0
no el minimo que un estudiante
debeaprender lpara los fines que se persrguen.
147