Capitulo 6 Formas indeterminadas

Capítulo 6
Formas indeterminadas
6.1.
Formas 0=0 e 1=1.
Cuando se estudian las propiedades elementales de límite, se obtiene que si f y g son funciones
de…nidas en un entorno de a y
x!a f (x) = ` y
x!a g(x) = L, entonces si L 6= 0 se tiene
que
f (x)
`
= ,
x!a g(x)
L
independientemente del valor que tome `. Cuando L = 0 esto no tiene sentido, y aparecen dos
situaciones posibles:
1. si ` 6= 0 entonces, dependiendo del signo de ` tenemos
f (x)
= 1 si ` > 0,
x!a g(x)
f (x)
=
x!a g(x)
ó
si ` < 0.
2. Si ` = 0 también, entonces la cosa se complica, y no es posible predecir el resultado:
sin(x)
x
sin(x)
p
x!0
x
sin(x)
p
=0
x
x sin(1=x)
no existe
x!0
sin(x)
x!0
x!0
Y entonces aparece la pregunta:
f ! 0; g ! 0
)
f
! ?
g
Estamos haciendo el cociente de dos cosas que se hacen arbitrariamente chicas (ambas tienden
a cero). Si la de arriba “se va a cero mas rápido” que la de abajo, entonces el límite valdrá cero,
87
Formas indeterminadas
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si la de abajo “se va a cero mas rápido” que la de arriba, entonces el cociente tenderá a
;
…nalmente, si ambas “se van a cero a la misma velocidad” entonces el cociente tenderá a un
número real distinto de cero. Y tambien puede pasar que amabas tiendan a cero, pero el cociente
no tienda a nada.
Un límite de este tipo, es decir, el límite de un cociente donde tanto numerador como denominador se anulan se conoce como una “forma indeterminada”. Todas las siguientes se conocen
1
como formas indeterminadas: 00 (la que explicamos recién), , 01,
, 00 , 10 , y 11 . Todas
1
ellas se re…eren a un límite donde aparece la operación sugerida (cociente, producto, potencia)
y donde las funciones intervinientes tienen el límite indicado en la forma.
f
! 1; g ! 1
f
! 0; g ! 1
f
! 0; g ! 0
f
! 1; g ! 1
)
)
)
)
f
! ?;
(f g) ! ?
g
f g ! ?;
gf ! ?
f
!?
gf ! ?
g
gf ! ?
Todas las formas indeterminadas pueden verse como una lucha, donde el resultado dependerá
de la velocidad con la que las funciones involucradas tienden al límite. Por ejemplo,
f ! 0; g ! 1 ) g f ! ?
Como
g(x)f (x) = ef (x) ln(g(x)) ,
y por lo tanto el resultado dependerá de lo que pase con f ln(g) (¡que es un límite de la forma
01!).
La Regla de L‘Hopital es un resultado que nos ayuda a calcular estos límites, y tiene una
variedad importante de enunciados. Comenzamos con el caso mas elemental:
Teorema 6.1 (L´Hopital, 0=0) Supongamos que f y g son funciones derivables en I =
(a "; a + ")
ag para algún " > 0, y que
x!a
Si
x!a
f (x
x!a
g(x) = 0.
f 0 (x)=g 0 (x) existe, entonces
f (x)
x!a g(x)
f 0 (x)
.
x!a g 0 (x)
Demostración. Una demostración bien hecha demanda bastante trabajo, y utiliza resultados
que no hemos visto, como el Teorema del Valor Medio de Cauchy : Daremos una idea de como uno
puede intuir el resultado: supongamos que además sabemos que f 0 y g 0 existen y son continuas
en a; entonces f y g son continuas en a y f (a) = g(a) = 0; y
f (x)
x!a g(x)
f (x)
x!a g(x)
f (a)
=
f (a)
f (x)
x
g(x)
x!a
x
x!a
f (a)
a
f (a)
a
=
f 0 (a)
g0 (a)
f 0 (x)
.
x!a g 0 (x)
Formas indeterminadas
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Ejemplo 6.2
1.
ex
x!0
2.
ex
=1
x!0 1
1
x
ln(x)
x!1 x
1
3.
x!0
sinh(x)
sin(x)
1=x
=1
x!1 1
x!0
cosh(x)
=1
cos(x)
Muchas veces al intentar aplicar la Regla de L´Hopital nos queda otra forma indeterminada,
que se puede resolver usando L´Hopital.
Ejemplo 6.3 Al intentar aplicar L´Hopital para calcular
x3 3x + 2
x!1 1
x + ln x
x!1
x3 3x+2
x!1 1 x+ln x ,
nos quedaría
3x2 3
,
1 + 1=x
que es otra forma indeterminada (0=0). Procedemos a calcular el mismo, usando L’Hopital:
x!1
3x2 3
1 + 1=x
Y ahora si, puesto que ya sabemos que
L’Hopital para concluir
x!1
x!1
x3 3x + 2
x!1 1
x + ln x
6x
=
1=x2
3x2 3
1+1=x
x!1
=
6.
6, podemos (recién ahora) aplicar
3x2 3
=
1 + 1=x
6.
En general no hace falta separar tanto las cuentas, y uno hace todo en una sola cadena
de igualdades, pero hay que tener cuidado: se debe veri…car que en cada paso se cumplan las
hipótesis.
Nota importante 6.4 En toda esta sección aparecen cocientes de derivadas, es decir, cosas de
la forma f 0 =g 0 . Un error común es olvidar esto y calcular la derivada del cociente, es decir,
(f =g)0 . Es importante tener esto presente.
Nota importante 6.5 El entusiasmo que se adquiere al estudiar estos procedimientos suele
llevar al lector a calcular todos los límites usando L´Hopital, incluso aquellos que no son indeterminados (!). Es importante leer bien y veri…car las hipótesis. Por ejemplo
x3
x!1
x2 + x
x3 x2
1
3x2 2x + 1
x!1
3x2 2x
x!1
está mal calculado. ¿donde está el error? (el valor correcto es 2).
6x
6x
2
=1
2
Formas indeterminadas
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Observación 6.6 En el Teorema 6.1 se puede cambiar la hipótesis x ! a por x ! a (con
I = (a "; a)), x ! a+ (con I = (a; a + ")), x ! 1 (con I = (R; 1) para algún R 2 R), y/o
x
(con I = (
; R)). Para demostrar los casos x ! a ; x ! a+ se usa exactamente el
mismo argumento usado en la demostración del Teorema 6.1. Para demostrar los casos x ! 1
y/o x
; se usa el siguiente hecho (que es válido en general):
x!1
'(x
x!0+
y
'(1=x)
'(x
x
x!0
'(1=x).
Por ejemplo, el caso x ! 1 quedaría así:
f (x)
x!1 g(x)
f 0 (1=x)
f (1=x)
g(1=x)
x!0+
x!0+
g 0 (1=x)
1
x2
1
x2
x!0+
f 0 (1=x)
g 0 (1=x)
f 0 (x)
.
x!1 g 0 (x)
Ejemplo 6.7
1.
x!0+
2.
sin(x)
p
x
1=x
x!1 tan(2=x)
x!0+
cos(x)
p
1=2 x
x!0+
1=x2
x!1 sec2 (2=x) ( 2=x2 )
p
2 x cos(x) = 0:
x!1
1
1
= .
2 sec2 (2=x)
2
Observación 6.8 (L´Hopital, 1=1) En el Teorema 6.1 (y en la Observación siguiente) se
puede cambiar la hipótesis
f (x
g(x) = 0 por
x!a
x!a
x!a
f (x
x!a
g(x) =
:
Ver esto es delicado y requiere utilizar el Teorema del Valor Medio de Cauchy. Un argumento
que suele aparecer en algunos libros de Cálculo es el siguiente: supngamos que f 0 =g 0 ! ` y
llamemos F = 1=g y G = 1=f . Entonces f =g = F=G, y
F0
=
G0
Si
g 0 =g 2
g0 f 2
=
,
f 0 =f 2
f 0 g2
F0
!L
G0
entonces
de donde
F
! L,
G
f0
G0 f 2
=
g0
F 0 g2
es decir
f
! L.
g
Pero usando f 0 =g 0 ! ` concluimos que
`=
1 2
L = L,
L
y entonces
f
! `.
g
Este argumento está lleno de huecos y no se si aporta demasiado. Uno de los principales problemas es que agrega la hipótesis F 0 =G0 ! L, y analizando con cuidado lo hecho, estaríamos
probando que si sabemos (de alguna manera) que f =g ! L, entonces L = `.
Ejemplo 6.9
Formas indeterminadas
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1.
x!1+
1)
2)
ln(x
tan(
x!1+
2.
1)
2) 2
1=(x
sec2 (
ln jxj
x!0 1=x
x!1+
2)
cos2 (
(x 1) 2
1=x
1=x2
x!0
x!0
2 cos(
x!1+
2) sin(
2
2)
x2
= 0.
x
Observación 6.10 En el Teorema 6.1 (y por consiguiente en las Observaciones siguientes)
hemos usado que
f 0 (x)=g 0 (x) existe (es decir, es un número real l). Esta hipótesis puede
x!a
extenderse a un caso mas general donde se permite
creible este resultado es la siguiente:
x!a
f 0 (x)=g 0 (x) =
x!a
g 0 (x)=f 0 (x) = 0 )
x!a
x!a
f 0 (x)=g 0 (x) =
g(x)=f (x) = 0 )
. Una idea que hace
x!a
jf (x)=g(x)j = 1.
Si f; g ! 1 o si f; g
; entonces el cociente f =g es (para valores de x adecuados) positivo
y podemos sacar el módulo para concluir
f (x)=g(x) = 1. En la forma 0=0 no podemos
x!a
mejorar este argumento.
Ejemplo 6.11
ex
x!1 ln x
ex
= 1.
x!1 1=x
A modo de resumen, enunciaremos la Regla de L’Hopital en su forma mas general:
Teorema 6.12 (Regla de L’Hospital) f; g funciones de…nidas y derivables en un conjunto
I (que depende de H, ver) y tal que existen los límites
x!H
y existe
f (x
x!H
g(x) = •,
f 0 (x)
= z.
x!H g 0 (x)
f (x)
x!H g(x)
Entonces existe
= z, donde
H puede ser
H
I
(2 R)
a
(a
"; a + ")
a
"g
(a
"; a)
(acá " > 0 cualquiera, y R 2 R cualquiera)
• puede ser 0; 1; ó
z puede ser ` 2 R; 1; ó
.
.
a+
1
(a; a + ")
(R; 1)
(
; R)
2
= 0.
Formas indeterminadas
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6.2.
Otras formas indeterminadas
En esta sección vamos a estudiar otros casos de indeterminaciones, que en realidad no es mas
que reducir (mediante operaciones algebráicas) ciertos límites complicados a las formas donde
vimos es posible aplicar L’Hopital. Estos suelen ponerse como casos 01; 00 , 10 , 11 , y
.
Forma 0
Si
x!H f (x) = 0 y
x!H g(x) = 1 (o
si es que existe. Escribiendo
f
fg =
1=g
), entonces no está claro el valor de
ó
fg =
x!H f (x)g(x),
g
1=f
convertimos este límite en uno de la forma 0=0 ó 1=1, y podemos aplicar una forma conocida
de L´Hopital.
Ejemplo 6.13
1.
x!0+
x ln(x
x!0+
2.
x
x2 ex
x
ln(x)
1=x
x2
e x
x!0+
x
1=x
1=x2
2x
e x
x!0+
( x) = 0:
2
x
e
x
= 0:
Formas 00 ; 10 ; 11
Estas formas indeterminadas vienen del limite
x!H
f (x)g(x)
cuando
1.
1.
2.
x!H
x!H
x!H
f (x) = 1 y
f (x) = 0 y
f (x) = 1
x!H
x!H
y
tipo 11
g(x) =
g(x) = 0
x!H
g(x) = 0
tipo 00
tipo 10
ya que al usar la de…nición, resulta f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) , y entonces tenemos una indeterminación cuando g(x) ln f (x) es de la forma 0
. Calculando
x!H
g(x) ln f (x)
(tal como fue explicado en el punto anterior), podemos determinar el límite buscado. Concretamente, si
g(x) ln f (x) = ` tendremos
f (x)g(x) = e` (bien entendido cuando ` =
).
x!H
x!H
Estamos usando la continuidad de la función exponencial.
Formas indeterminadas
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Ejemplo 6.14
1. Para encontrar
x!1
y entonces
x ln 1 +
2. Para encontrar
1
x
1+
x!1
1 x
x
1+
x!1
escribimos 1 +
x!1
1 x
x
ln 1 +
1=x
1=x2
(1+ x1 )
1
x
x!1
x
x!0+ (x )
1=x
)
x!1 (x
x!1
1
1+
1
x
= 1,
x ln x = 0,
x!0+
xx = 1.
1
escribimos x1=x = e x ln x . Puesto que
x!1
1=x )
x!1 (x
1=x2
escribimos xx = ex ln x . Puesto que
(calculado en un ejemplo anterior), se tiene
resulta que
1
= ex ln(1+ x ) y calculamos
= e.
x!0+
3. Para encontrar
1 x
x
1
ln x
x
x!1
1=x
= 0,
1=x2
= 1.
Observación 6.15 Existe la tentación de pensar que la “forma 01 ” es una forma indetermif (x)g(x) donde
nada, pero no es así: si queremos calcular
x!H
x!H
puesto que
x!H
g(x) ln f (x) =
f (x) = 0
tendremos
y
x!H
x!H
g(x) = 1,
f (x)g(x)
y
ey = 0.
Forma
Si
, entonces no está claro el valor de
x!H f (x) = 1 y
x!H g(x) =
x!H [f (x)
g(x)], si es que existe. Lamentablemente, no existe un procedimiento general que permita calcular este límite (y ni siquiera merece tanta mensión). En algunas ocaciones se puede trabajar
algebraicamente la diferencia [f (x) g(x)] para reducirla a alguna de las formas de L´Hopital
válidas.
Ejemplo 6.16
x!0+
1
x
1
sin x
x!0+
sin x x
x sin x
x!0+
cos x 1
sin x + x cos x
donde hemos utilizado L´Hopital en la 2da y 3ra igualdad.
x!0+
sin x
= 0,
cos x + cos x x sin x
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