1. Introducci´on a las ecuaciones en diferencias

TEMA 4
Modelos discretos elementales.
Ecuaciones en diferencias
• Introducción a las ecuaciones en diferencias
• Ecuación en diferencias de segundo orden
con coeficientes constantes
• Sistemas de ecuaciones en diferencias
1.
Introducción a las ecuaciones en diferencias
Objetivo: Plantear y resolver modelos deterministas elementales discretos en el tiempo
Problema (Malthus) el tamaño de la población en un año es proporcional al tamaño
en el año anterior
y(k) = Ay(k − 1),
A∈R
Problema (Verhulst) modelo más realista: el crecimiento está limitado por alguna causa (espacio, alimento,...)
y(k) − y(k − 1) = Ay(k − 1) (M − y(k − 1)) ,
A > 0, M ∈ R
una ecuación en diferencias (ED) de orden n relaciona las funciones reales y(k +
n), y(k + n − 1), . . . , y(k + 1), y(k),
n ∈N
ED lineal de orden n con coeficientes constantes
an y(k + n) + an−1 y(k + n − 1) + · · · + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = h(k)
si h(k) = 0 se denomina ecuación homogénea
Propiedad Si y1 (k), y2 (k), . . . , yn (k) son soluciones de la ED lineal homogénea anterior,
entonces cualquier combinación lineal suya también es solución de la ecuación.
un conjunto de n soluciones linealmente independientes para una ED lineal homogénea
se denomina sistema fundamental de soluciones.
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Propiedad Cualquier solución de una ED lineal homogénea puede expresarse como
combinación lineal del sistema fundamental de soluciones
yh (k) = C1 y1 (k) + C2 y2 (k) + · · · + Cn yn (k),
donde las n constantes se determinarán a partir de las n condiciones iniciales del
problema que vendrán dadas en la forma
y(0) = a1 , y(1) = a2 , · · · , y(n − 1) = an
Una solución particular es una solución cualquiera de la ecuación completa
Propiedad Si yh (k) es la solución de la ecuación homogénea e yp (k) es una solución
particular de la ecuación completa, entonces la suma de ambas soluciones es la solución de la ecuación completa.
solución = solución homogénea + solución particular
ED lineal de primer orden con coeficientes constantes
a1 y(k + 1) + a0 y(k) = h(k)
HOMOGÉNEA:
a1 y(k + 1) + a0 y(k) = 0 ⇔ y(k + 1) = Ay(k)
solución (sustituciones sucesivas):
2.
y(k) = Ak y(0)
ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes
ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes
y(k + 2) + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = h(k) observar el coeficiente de mayor orden
HOMOGÉNEA:
y(k + 2) + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = 0
buscamos las soluciones de la denominada ecuación caracterı́stica
s2 + a1 s + a0 = 0,
para la que distinguiremos:
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1. dos raı́ces reales y distintas s1 y s2 . y1 (k) = sk1 , y2 (k) = sk2 forman un sistema
fundamental. La solución general de la homogénea será
yh (k) = C1 sk1 + C2 sk2
2. raı́z real doble s1 . y1 (k) = sk1 , y2 (k) = ksk1 forman un sistema fundamental. La
solución general de la homogénea será
yh (k) = C1 sk1 + C2 ksk1
3. dos raı́ces complejas conjugadas s1 = a + ib, s2 = a − ib. La solución general de
la homogénea la podremos escribir en la forma
k
yh (k) = C1 r cos (kα + C2 ) ,
r=
√
a2
+
b2 ,
µ ¶
b
α = arctan
a
Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias:
y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 0,
y(k + 1) − 6y(k) + 9y(k − 1) = 0,
y(0) = 1, y(1) = 2
y(0) = 2, y(1) = −2
BÚSQUEDA DE SOLUCIONES PARTICULARES: aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados. Consideraremos dos aspectos:
El primer aspecto según sea la función h(k) (vemos las más sencillas)
Si es h(k) = dk y d no es solución de la caracterı́stica, ensayaremos soluciones
particulares en la forma yp (k) = Adk determinando la constante A por substitución directa en la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ED
y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 2k
Si es h(k) = sk y s es solución de la caracterı́stica, ensayaremos soluciones particulares en la forma yp (k) = Akdk determinando la constante A por sustitución
directa en la ecuación. Además, iremos aumentando el grado de k en yp (k) por
cada una de las veces que está repetida la raı́z.
Ejemplo. Resolver la ED
y(k + 1) − 3y(k) + 2y(k − 1) = 2k
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Si es h(k) = k n hay que ensayar un polinomio de grado n en k
Ejemplo. Resolver la ED
y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 4k
El segundo aspecto que consideraremos es:
si h(k) es la suma de funciones conocidas ensayaremos como solución particular la
suma de las soluciones particulares para cada función,
si fallan las soluciones anteriores propuestas, las multiplicamos por k, k 2 ,... y probaremos si alguna de estas funciona.
¿Cómo evoluciona la población para k → ∞? caso de raı́ces reales:
- Si los valores absolutos de raı́ces < 1 se extingue. Estable
- Si raı́z de mayor valor absoluto =1 tiende a un proceso estacionario (situación de
equilibrio). Neutralmente estable
- Si hay una raı́z con valor absoluto > 1 crece indefinidamente. Inestable
3.
Sistemas de ecuaciones en diferencias
un sistema de tres ecuaciones en diferencias de primer orden


 x(k + 1) = a11 x(k) + a12 y(k) + a13 z(k)
y(k + 1) = a21 x(k) + a22 y(k) + a23 z(k)


z(k + 1) = a31 x(k) + a32 y(k) + a33 z(k)

Xk+1 = AXk ,
x(k)



Xk =  y(k)  ,
z(k)

a11 a12 a13



A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
el sistema tiene solución si la matriz es diagonalizable, por lo que tendremos tres
vectores propios independientes (tantos vectores como el número de ecuaciones en
diferencias del sistema). Supongamos que λ1 , λ2 ,..., λn , son los n valores propios de
vectores propios v1 , v2 ,..., vn , de un sistema de n ecuaciones en diferencias de orden
1. Entonces, la solución viene dada por
Xk = C1 λk1 v1 + C2 λk2 v2 + · · · + Cn λkn vn
Un caso de sistemas de ED son los denominados procesos de Markov, y verifican
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- Todos los elementos de la matriz son no negativos.
- La suma de los elementos de cada columna es exactamente 1.
- Uno de los valores propios es siempre 1.
- Los demás valores propios tienen valor absoluto menor que 1.
La estabilidad de las soluciones de un sistema de ED viene dado por la norma del
vector solución Xk cuando k → ∞:
- Si tiende a 0 la población se extingue y el sistema es estable.
- Si tiende a un valor estacionario denominado población de equilibrio el sistema
es neutralmente estable.
- Si tiende a ∞ la población crece indefinidamente y el sistema es inestable.
Los valores absolutos de los valores propios gobiernan la estabilidad del sistema:
- Si los valores propios tienen valor absoluto < 1, el proceso es estable.
- Si todos los valores propios tienen valor absoluto ≤ 1 el proceso es neutralmente
estable. El estado estacionario (de equilibrio) se determina con el vector propio
asociado al valor propio 1.
- Si alguno de los valores propios tiene un valor absoluto > 1, entonces el proceso
es inestable.
Problema Los ratones tienen dos caminos: el A con un trozo de queso y el B con
queso y descarga eléctrica. Aprenden cada dı́a, de modo que si un dı́a van al A, al
siguiente dı́a el 90 % va al A y el 10 % al B; mientras que los que van al B un dı́a, al
dı́a siguiente el 70 % va al A y el resto sigue por el B.
- Construir la matriz del proceso, ¿es de Markov?
- ¿Qué ocurrirá en una situación de tiempo indefinido?
Si denominamos Ak los que van por el camino A en el dı́a k y Bk los que van por B,
entonces tendremos:
Ak+1 = 0.9 Ak + 0.7 Bk
Bk+1 = 0.1 Ak + 0.3 Bk
!
Ã
A
B
Ã
=
k+1
0.9 0.7
0.1 0.3
!
!Ã
A
B
k
claramente es un proceso de Markov.
Los valores propios son 1 y 0.2. El vector propio asociado al valor propio 1 es (7, 1).
Sobre el total de ratones (7+1=8), tendremos que a lo largo del tiempo el 87.5 % (7 de
8) irá por el camino A, y el 12.5 % (1 de 8) irá por el camino B .
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