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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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TEMA 2 (I)
REPRESENTACIÓN DEL CONOCIMIENTO.
REPRESENTACIÓN BASADA EN LA LÓGICA
Inteligencia Artificial /Departamento de Sistemas Informáticos y Computación/Facultad de Informática/ UPV
Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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INDICE
1. La Problemática de la Representación del Conocimiento.
2. Métodos de Representación del Conocimiento
3. Métodos de Representación basados en la Lógica
4. Lógica proposicional.
5. Lógica de predicados de primer orden.
6. Razonamiento en la lógica: sistemas de demostración.
7. La forma clausal de la lógica.
8. Demostración automática: Resolución.
9. La Lógica como formalismo de representación del conocimiento.
Bibliografía Básica del Tema:
• E. Rich, K. Knight "Inteligencia Artificial" McGraw Hill (1994).Capítulo 4 y 5
• Peter Lucas and Linda Van Der Gaag. "Principles of Expert Systems" . Addison Wesley.
1991.Capítulo 2.
Bibliografía Complementaria:
• N. Nilsson "Principios de Inteligencia Artificial" Diaz de Santos (1987)
• E. Charniak, D. McDermott "Introduction to Artificial Intelligence" Addison-Wesley (1985).
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
1. La Problemática de la Representación del
Conocimiento
Propiedades del conocimiento:
- voluminoso
- difícil de caracterizar con precisión.
- incierto/impreciso
- cambia constantemente
La representación del conocimiento debe ser capaz de:
- captar generalizaciones
- ser comprensible
- fácilmente modificable, incrementable
- ser usado en diversas situaciones y propósitos
- permitir diversos grados de detalle
- captar la incertidumbre, imprecisión
- representar distinciones importantes
- focalizar el conocimiento relevante
Mecanismos de manipulación del conocimiento:
- capaces de obtener soluciones a problemas nuevos
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La Problemática de la Representación del
Conocimiento - 2
Una representación del conocimiento en IA es una combinación de estructuras de
datos (que nos permiten representar mediante un formalismo determinado las
"verdades" relevantes en algún dominio) asociadas con mecanismos
interpretativos que nos permiten manipular el conocimiento representado a fin de
crear soluciones a problemas nuevos.
Manejamos dos tipos de entidades:
• Hechos: verdades en un cierto mundo, lo que queremos representar
• Representación de los hechos en un determinado formalismo
( las entidades que queremos manipular)
Entidades que se pueden clasificar en:
• El nivel del conocimiento, donde se describen los hechos
(comportamiento y objetivos de cada agente)
• El nivel simbólico, donde se describen los objetos del nivel del
conocimiento en términos de símbolos manipulables por programas(Newell).
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La Problemática de la Representación del
Conocimiento - 3
Ontología (1)
E
D
C
A
B
– Conjunto de símbolos básicos con los que se compone el conocimiento, junto a las
restricciones de consistencia que controlan la composición del mismo
Ej.: Un bloque no puede estar sobre sí mismo
– Vocabulario para representar un dominio (Lista informal de los conceptos de un
dominio – Russell):
• Serie de términos que representan los conceptos y relaciones que interesan
del dominio.
– Ej.: Conceptos: Bloque, Suelo
Relaciones: Sobre
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La Problemática de la Representación del
Conocimiento - 4
Ontología (2)
– Una ontología es algo análogo a un esquema de base de datos, no al
contenido de la base de datos.
– Existen diversos lenguajes para poder representar una ontología
– La definición de una ontología como forma de representar los conceptos
de interés de un determinado dominio, permite el entendimiento entre
distintos programas.
• Ejemplo: Compras electrónicas por la red
Ontología
Comprador
Vendedor
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La Problemática de la Representación del
Conocimiento - 5
correspondencia hacia adelante
Iniciales
Representación
Interna
Razonamiento
Real
Finales
correspondencia
hacia atrás
Comprensión Generación
(1) lenguaje
lenguaje (2)
Hechos
Representación mediante
formalismo (Lenguaje Natural)
• Hechos
• Representación hechos
• Relación entre hechos y representaciones
Spot es un perro
(1)
perro(Spot)
Programa
que
Razona
∀x: perro(x)→ tiene_rabo(x)
tiene_rabo(Spot)
(2)
Spot tiene rabo
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Ejemplo: El Problema del Tablero de Damas
Recortado
• Objetivo: Cubrir un tablero de ajedrez, sin las esquinas negras
con fichas de dominó.
• Representaciones alternativas:
Número de cuadros
negros = 30
Número de cuadros
blancos =32
(a)
(b)
(c)
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Propiedades del Sistema de Representación
• Capacidad Expresiva
• Capacidad Deductiva
• Eficiencia Deductiva
• Eficiencia en la Adquisición
Tipos de Conocimiento
• elementos básicos u objetos del mundo real.
• aserciones y definiciones sobre los elementos básicos.
• conceptos, agrupaciones o generalizaciones de elementos básicos.
• relaciones, propiedades de los elementos y conceptos.
• teoremas y reglas de reescritura. Reglas de producción.
• algoritmos de resolución.
• estrategias y heurísticas.
• meta conocimiento.
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Conocimiento Relacional Simple
• Similar al de BD.
• Escasa capacidad deductiva.
Jugador
Edad Altura Peso Goles
Pablo Aimar
22
1,75
75
7
Mendieta
27
1,70
65
5
Cañizares
29
1,85
80
0
John Carew
20
1,90
84
5
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Conocimiento Heredable
Persona
• redes semánticas
• frames
Derecha
es-un
Hombre
adulto
es-un
la misma que
la pierna hábil
pierna-hábil
altura
1,70
altura
1,80
Jugador
futbol
chuta
goles/partido
0
Portero
goles/partido
instancia
Cañizares
Valencia
equipo
0,2
Jugador
campo
0,25
goles/partido
instancia
Pablo
Aimar
Valencia
equipo
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Un Nodo visto como una Frame
• Mayor estructuración en los atributos y en el mecanismo de
inferencia que con la red semántica.
Jugador_de_futbol
es_un : Hombre_Adulto
chuta: (IGUAL pierna hábil)
altura: 1,80
goles/partido: 0,2
Arterias
subclase_de: vasos_sanguineos
pared : muscular
oxigeno: rica
presión_mínima: 90
presión_máxima: 100
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Conocimiento Deductivo
∀x: {CIUDAD(x) ^ ∃y: {ALGUACIL(x,y) ^ ∀z: {[PERRO(z) ^ VIVE-EN(x,z)]
→ MORDIDO(y,z)}}}
∀x: {CONJUNTO(x) →
∃y:∃ u: ∃ v: [CONJUNTO(y) ^ CARD(x,u) ^ CARD(y,v) ^ MAYOR(u,v)]}
∀x:∀y: {{BLOQUE(x) ^ BLOQUE(y) ^ [ENCIMA(x,y) v UNIDO(x,y)] ^ MOVIDO(y)
→ MOVIDO(x)]
Reglas de Producción
if
el paciente sufre dolor abdominal, y
un murmullo abdominal es percibido por auscultación, y
una masa pulsante es palpada en el abdomen
then
el paciente padece una aneurisma aórtico
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Conocimiento Procedural
Arterias
subclase_de: vasos_sanguíneos
pared : muscular
oxigeno: rica
presión_mínima: 90
presión_máxima: 100
presión_media: (presión_mínima + presión_máxima)/2
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Problemas de la Representación del Conocimiento
¿Existen atributos tan genéricos que aparecen en casi todos los dominios
de aplicación?
Instancia, es_un
¿Existen relaciones relevantes entre los atributos de los objetos?
Inversos
Jerarquía es_un
Técnicas para el razonamiento sobre los valores
Atributos univaluados
¿A qué nivel de detalle se debe representar el conocimiento?. ¿Existe
algún conjunto de primitivas que permita descomponer adecuadamente el
conocimiento?. ¿Sería útil el uso de tales primitivas?.
¿Cómo se deben representar los conjuntos de objetos?
Dada una base de conocimiento extensa, ¿cómo acceder al conocimiento
relevante en cada momento?
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El Problema Marco (The Frame Problem)
Representación eficiente de las secuencias de estados que se generan en
un proceso de búsqueda.
El Problema Marco: es el problema de la representación de los hechos que
cambian, así como de aquellos que no lo hacen (McCarthy y Hayes, 1969).
Representación del estado:
Registrar todos los hechos en cada nodo
Inconveniente: muchos hechos serian representados muchas veces,
y se emplearía mucho tiempo representándolos.
debajo (suelo, techo)
No modificar el estado inicial y registrar en cada nodo una representación
de los cambios
Modificar la descripción del estado pero registrar en cada nodo la
información necesaria para deshacer la modificación.
Axiomas Marco (cálculo del nuevo estado):
color (x, y, s1) ^ mueve(x, s1, s2) → color (x, y, s2)
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2.- Métodos de Representación del Conocimiento
Declarativos:
Separación entre conocimiento y estructura de control
lógica: expresiones declarativas (fbf)
sistemas de producción: (bh, rp, ec)
prolog
Procedurales:
Unión entre el conocimiento y la estructura de control.
orden dependiente
procedimientos y funciones.
Estructurales:
Estructuración del conocimiento.
propiedades inferenciales: herencia, transitividad, asociatividad.
redes semánticas, frames.
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Métodos Declarativos vs Procedurales
Procedurales
(+)
mayor capacidad
creativa o computacional,
menor capacidad expresiva
- autómata finito
- programa
- scripts
- redes semánticas
- frames
- grafos
mayor capacidad expresiva,
menor capacidad creativa
o computacional.
Declarativos
(+)
- especificaciones formales
- cálculo de predicados
- teoremas y reglas de reescritura
- reglas de producción.
- lenguaje natural
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3.- Métodos de Representación Basados en la Lógica
Estructuras de representación:
Representación de los hechos del mundo real mediante declaraciones
escritas como fórmulas bien formadas (fbf), o estructuras sintácticamente
correctas del lenguaje.
Mecanismos de interpretación:
Obtención de nuevo conocimiento a partir del antiguo (reglas que permitan
obtener nuevas fbf a partir de las existentes).
LÓGICA := SINTAXIS + SEMÁNTICA
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Métodos de Representación Basados en la Lógica - 2
La lógica en sí no es más que sintaxis, semántica y teoría de la demostración. No nos dice
en lo más mínimo qué es aquello que deberá expresarse ni tampoco qué vocabulario
emplear para ello.
Ontología:
Definiciones:
efiniciones asocian los nombres de las entidades en el universo de
discurso con texto legible que describe lo que significan los nombres
+
Axiomas Formales:
ormales restringen la interpretación y el uso de esos
términos.
Entidades
– Conceptos: predicados unarios en la Lógica de Primer Orden.
– Relaciones: predicados de aridad mayor en la Lógica de Primer Orden.
Ej.: Mundo de Bloques:
» Bloque:
Bloque( x )
» Suelo:
Suelo( x )
» Sobre:
Sobre( x, y )
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Métodos de Representación Basados en la Lógica - 3
SINTAXIS:
Lenguaje: (reglas de formación de los objetos básicos)
Cálculo de proposiciones.
Cálculo de predicados.
Estructura Deductiva: (reglas para la obtención de nuevos objetos a partir
de los existentes)
Sistemas Axiomáticos: (teoría de la demostración, deducción natural)
Teoría interpretativa o de Modelos
SEMÁNTICA
(Significado (valor de verdad) de los objetos básicos)
• Interpretación
• Validez
• Propiedades:
consistencia, completitud, decidibilidad, corrección.
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2.- Lógica Proposicional
Lenguaje de representación que nos permite expresar y razonar con sentencias
que sor verdaderas o falsas .
"La aorta es una arteria grande"
"10 mmHg > 90 mmHg"
LENGUAJE:
Proposiciones Atómicas o ÁTOMOS:
representan sentencias del lenguaje.
usualmente denotadas por letras mayúsculas (P,Q).
unidad mínima del lenguaje con un contenido de información:
• Acciones (con sujeto no determinado)
LLUEVE, HACE FRÍO, ES INVIERNO
• Propiedades (a sujetos determinados)
JUAN
ES
ALTO
(SUJETO)
(PROPIEDAD)
• Relación entre sujetos.
JUAN ES HERMANO DE PEDRO
VALENCIA ESTA EN EUROPA
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Lógica Proposicional - 2
Conectivas Lógicas: Permite construir nuevas proposiciones (PROPOSICIONES COMPUESTAS) a partir de otras. Solo afectan a las
proposiciones inmediatas.
negación:
¬
disyunción: v
^ (y)
implicación: → (si entonces)
(no)
conjunción:
(o)
bi-implicación: ↔ (si y solo si)
Ejemplo:
G = "La aorta es una arteria grande"
D = "La aorta tiene un diámetro de 2.5 cm"
G^D
"La aorta es una arteria grande y la aorta tiene un
diámetro de 2.5 cm"
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Expresividad de la Lógica Proposicional
Está lloviendo
Luce el sol
Hace Viento
Llueve y por lo tanto no luce el sol
P ^ Q A LA VEZ LLUEVE Y ME MOJO
LLUEVE
SOLEADO
VENTOSO
LLUEVE → ¬SOLEADO
P -> Q
LLUEVE Y ME MOJO
LLUEVE, PERO ME MOJO
LLUEVE, SIN EMBARGO ME MOJO
LLUEVE, NO OBSTANTE ME MOJO
¬P
NO P
ES FALSO QUE P
NO ES CIERTO P
PvQ
ó P, ó Q, ó AMBAS COSAS A LA VEZ
AL MENOS P ó Q
SI P ENTONCES Q
P SOLO SI Q
Q SI P
Q NECESARIO PARA P
NO P A MENOS QUE Q
P <-> Q
P NECESARIO Y SUFICIENTE PARA Q
P SI Y SOLO SI Q
(P -> Q) ^ (Q -> P) denota lo mismo que P <-> Q
COMO MÍNIMO P ó Q
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5. - Lógica de Predicados
Limitaciones de la lógica proposicional:
Juan es alumno
JUANALUMNO
Alumno (JUAN)
Maria es alumna
MARIAALUMNO
Alumno (MARIA)
Todos los hombres son mortales
HOMBREMORTAL
∀x: Hombre(x) → Mortal(x)
Lenguaje:
Símbolos de predicado (P,Q,...), representan una relación en un dominio
P(t1, ....., tn) , n ≥ 0
(ti: términos)
(Proposiciones atómicas: símbolos de predicado 0-arios.)
Variables ( x, y, z ).
Símbolos de función (f, g, h ): f(t1, ....., tn) , n∈ (f:Dn → D).
Símbolos de función 0-arios =constantes.
Conectivas lógicas: ¬ ^
v → ↔
Cuantificador universal ∀, Cuantificador existencial ∃.
∀ x: "para todo x"
∃ x: "existe un x"
Un conjunto de símbolos auxiliares: ( { , etc.
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Lógica de Predicados - 2
Ejemplo:
∀x: Relación (Padre(x), Madre(x))
Una fórmula atómica, o átomo, es una expresión de la forma P(t1, ... , tn) donde
P es un símbolo de predicado n-ario, n ≥ 0, y t1, ... , tn son términos.
Sintaxis de la lógica de predicados.Una fbf se define:
(1) Un átomo es una fórmula bien formada.
(2) Sea F una fórmula bien formada con un conjunto asociado de variables
libres. Entonces (F) y F son fórmulas bien formadas.
(3) Sean F y G fórmulas bien formadas. Entonces ¬ F, ¬ G, FvG, F^G, F→G
y F↔G son fórmulas bien formadas.
(4) Si F es una fórmula bien formada y x es una variable de F, entonces
(∀x: F) y (∃x: F) son fórmulas bien formadas.
(5) Nada más es una fórmula bien formada.
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Expresividad de la Lógica de Predicados
CADA CIUDAD TIENE UN ALGUACIL QUE HA SIDO MORDIDO POR TODOS
LOS PERROS DE LA CIUDAD
∀x: {CIUDAD(x) ^ ∃y: {ALGUACIL(x,y) ^∀:z {[PERRO(z) ^ VIVE-EN(x,z)]
→ MORDIDO(y,z)}}}
PARA CADA CONJUNTO x, HAY UN CONJUNTO y, TAL QUE EL CARDINAL
DE y ES MAYOR QUE EL CARDINAL DE x.
∀x: ∃y: ∃ u: ∃ v: CONJUNTO(x) ^ CONJUNTO(y) ^ CARD(x,u) ^ CARD(y,v) ^ MAYOR(u,v)
TODOS LOS BLOQUES QUE ESTÁN ENCIMA DE BLOQUES QUE HAN
SIDO MOVIDOS O ESTÁN UNIDOS A BLOQUES QUE HAN SIDO MOVIDOS,
TAMBIÉN HAN SIDO MOVIDOS.
∀x:∀y: {{BLOQUE(x) ^ BLOQUE(y) ^ [ENCIMA(x,y) v UNIDO(x,y)] ^ MOVIDO(y)
→ MOVIDO(x)]
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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Semántica de la Lógica de Predicados
Una fbf, como 'cadena de caracteres', no tiene significado real (semántica).
Una estructura establece la 'semántica real' de los elementos de la lógica:
- Dominio de aplicación.
- Semántica de las constantes, predicados, funciones:
- ¿Qué significado tienen?:
(Juan es 'ese' individuo)
- ¿Qué se cumple en el mundo real?
Un conjunto de fbf (sin significado) puede representar la "realidad" mediante
una estructura asociada.
Para la asignación de un valor de verdad a una fbf, debe 'interpretarse' en una
estructura dada, que representa el significado (semántica) de los elementos de la
fbf.
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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Semántica de la Lógica de Predicados - 2
REALIDAD
SEMANTICA
DOMINIO
{f i: Dn → D,n >= 1}
{P i:Dm → {T,F},m>=0}
Modelo de
la Realidad
ESTRUCTURA
{fbf}
Interpretación:
Asocia significado
a un conjunto de fbf
sin significado
{A(J, m(M))} es cierta si:
• Se establece la interpretación:
• A se asocia a "ama"
• J se asocia a Juan y M a María
• m se asocia a la función unaria "madre de"
• En la estructura S:
• Dominio: {Juan, María, Ana}
• {Madre-de(María) = Ana}
• "Juan ama a la madre de María" es verdadera.
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Representación de Hechos Simples
1) Marco era un hombre
hombre(Marco)
2) Marco era un pompeyano
pompeyano(Marco)
3) Todos los pompeyanos eran romanos
∀x: Pompeyano(x) → Romano(x)
4) César fue un gobernante
gobernante(César)
5) Todos los romanos o eran leales a César o le odiaban
∀x: romano(x) → leal(x,César) v odia(x,César)
∀x: romano(x) → [(leal(x,César) v odia(x,César)) ^
¬ (leal(x, César) ^ odia(x, César))]
6) Todo el mundo es leal a alguien
∀x: ∃y: leal(x,y)
7) La gente sólo intenta asesinar a los gobenantes a los que no es leal
∀x: ∀y:persona(x)^gobernante(x)^intentaasesinar(x,y) → ¬ leal(x,y)
8) Marco intento asesinar a César
intentaasesinar(Marco, César)
¿Era Marco Leal a César?
leal(Marco, César)
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pp. 33
Representación de Hechos Simples - 2
¬ leal(Marco, César)
↓ (7, sustitución)
persona(Marco) ^ gobernante(César) ^ intentaasesinar(Marco, César)
↓ (4)
persona(marco) ^intentaasesinar(Marco, César)
↓ (8)
persona(Marco)
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Representación de Hechos Simples
1) Marco era un hombre
hombre(Marco)
2) Marco era un pompeyano
pompeyano(Marco)
3) Todos los pompeyanos eran romanos
∀x: Pompeyano(x) → Romano(x)
4) César fue un gobernante
gobernante(César)
5) Todos los romanos o eran leales a César o le odiaban
∀x: romano(x) → leal(x,César) v odia(x,César)
∀x: romano(x) → [(leal(x,César) v odia(x,César)) ^
¬ (leal(x, César) ^ odia(x, César))]
6) Todo el mundo es leal a alguien
∀x: ∃y: leal(x,y)
7) La gente sólo intenta asesinar a los gobenantes a los que no es leal
∀x: ∀y:persona(x)^gobernante(x)^intentaasesinar(x,y) → ¬ leal(x,y)
8) Marco intento asesinar a César
intentaasesinar(Marco, César)
¿Era Marco Leal a César?
leal(Marco, César)
9) ∀x:hombre(x) → persona(x)
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Representación de Hechos Simples - 2
¬ leal(Marco, César)
↓ (7, sustitución)
persona(Marco) ^ gobernante(César) ^ intentaasesinar(Marco, César)
↓ (4)
persona(marco) ^intentaasesinar(Marco, César)
↓ (8)
persona(Marco)
↓ (9)
hombre(Marco)
↓ (1)
vacío
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
Representación de Relaciones Instancia y es_un
1. hombre(Marco)
2. pompeyano(Marco)
3. ∀x: Pompeyano(x) → Romano(x)
4. gobernante(César)
5. ∀x: romano(x) → leal(x,César) v odia(x,César)
1. instancia(Marco, hombre)
2. instancia(Marco, pompeyano)
3. ∀x: instancia(x, pompeyano) → instancia(x, romano)
4. instancia(César, gobernante)
5. ∀x: instancia(x, romano) → leal(x,César) v odia(x,César)
3. es_un(pompeyano, romano)
6. ∀x: ∀y: ∀z: instancia(x, y) ^ es_un(y,z) → instancia(x,z)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
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Excepciones
Paulus es una excepción a la regla sobre los sentimientos de los romanos a
cerca de César.
pompeyano(Paulus)
¬ [ leal(Paulus, César) v odia(Paulus, César) ]
Existe un problema con 5
∀x: romano(x) → leal(x,César) v odia(x,César)
Hay que cambiar la fbf para que contemple la excepción
∀x: romano(x) ^ ¬ igual(x, Paulus) → leal(x,César) v odia(x,César)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
Excepciones - 2
(1) Todas las arterias tienen pared muscular
(2) La aorta es una arteria grande
(3) Las arterias grandes son arterias
(4) La aorta no es una excepción
(5) Las arterias que no son excepciones son ricas en oxigeno
(6) La arteria pulmonar es una arteria grande
(7) La arteria pulmonar no es rica en oxigeno
(8) La arteria pulmonar es una excepción
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pp. 38
Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 39
∀x: arteria(x) → pared_muscular(x)
arteria_grande(aorta)
∀x:(arteria_grande(x) → arteria(x))
¬ excepción(aorta)
∀x: arteria(x) ^ ¬ excepción(x) → rica_oxigeno(x)
arteria_grande(arteria_pulmonar)
¬ rica_oxigeno(arteria_pulmonar)
excepción(arteria_pulmonar)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 40
Funciones Calculables y Predicados
Hechos simples que denotan relaciones de orden o igualdad:
mayor(1,0)
menor(0,1)
mayor(2,1)
menor(1,2)
•
•
•
•
sería muy ineficiente representar todos estos hechos
Predicados Computables
Funciones Computables
mayor(2+3,1)
1) evaluar la función.
2) evaluar predicado.
3) concepto de igualdad, permite sustituir un objeto por otro que sea igual a él.
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 41
Funciones Calculables y Predicados - 2
1. hombre(Marco)
2. pompeyano(Marco)
3. nace(Marco, 40)
4. ∀x :hombre(x) → mortal(x)
5. ∀x: pompeyano(x) → murió(x,79)
6. erupción(volcán,79)
7. ∀x: ∀t1: ∀t2: mortal(x) ^ nace(x, t1) ^mayor(t2-t1, 150) → muerto(x, t2)
8. ahora = 2001
9. ∀x: ∀t:[vivo(x,t) → ¬ muerto(x,t)]
10. ∀x: ∀t: [¬ muerto(x,t) → vivo(x,t)]
11. ∀x: ∀t1: ∀t2: murió(x, t1 ) ^ mayor(t2 , t1 ) → muerto(x , t2)
¿Está Marco vivo?
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 42
Funciones Calculables y Predicados - 3
¬ vivo(Marco, ahora)
¬ vivo(Marco, ahora)
↓ (10, sustitución)
muerto(Marco, ahora)
↓ (11, sustitución)
murió(Marco, t1) ^mayor(ahora, t1)
↓ (5, sustitución)
pompeyano(Marco) ^mayor(ahora, 79)
↓ (2)
mayor(ahora, 79)
↓ (8, sustitución igualdad)
mayor(2001, 79)
↓ (calcular mayor)
vacío
↓ (10, sustitución)
muerto(Marco, ahora)
↓ (7, sustitución)
mortal(Marco) ^nace(Marco, t 1)
^ mayor(ahora - t1, 150)
↓ (4, sustitución)
hombre(Marco)^nace(Marco, t 1)
^ mayor(ahora - t1, 150)
↓ (1)
nace(Marco, t 1) ^ mayor(ahora - t1, 150)
↓ (3, 8)
mayor(2001 - 40, 150)
↓ (calcular resta)
mayor(1961, 150)
↓ (calcular mayor)
vacío
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 43
6.- RAZONAMIENTO EN LA LÓGICA: SISTEMAS DE
DEMOSTRACIÓN.
¿Se sigue lógicamente un teorema G de un conjunto de axiomas F?
?
CONJUNTO
FBF
tablas de verdad
FBF
operaciones sintácticas
(reglas de inferencia)
Semántica declarativa: Permite determinar si una fórmula dada es o no una consecuencia
lógica de un conjunto de fórmulas aplicando las tablas de verdad.
{P, P→R}|=R:
SI ∀w / w(P, P→R )=True entonces w(R) = True
Semántica procedural: Es posible determinar si una fórmula dada es o no una consecuencia
lógica de un conjunto de fórmulas sin examinar los contenidos semánticos de las fórmulas
implicadas, aplicando reglas de inferencia.
(P, P →R) |- R
(se infiere)
'modus-ponens'
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 44
Reglas de Inferencia
Son operaciones sintácticas: solo pueden modificar la forma de los elementos de
un conjunto dado de fórmulas, añadiendo (reemplazando o eliminando) fórmulas
de un conjunto dado.
Ejemplo (modus ponens):
A, A→B
B
De {A, A→B} 'se infiere' B:
{A, A→B} |— B
Aplicaciones repetidas de reglas de inferencia producen una derivación o
deducción.
Conjunción
A,B ó A^B
A^B
A
Modus Tollens (MT)
¬ B, A→B
¬A
Cuantificación existencial P(A)
∃ x: P(x)
Instanciación universal ∀x: P(x)
P(A)
Modus Ponens (MP)
A, A→ B
B
Abducción
B, A→B
A
Instanciación existencial ∃ x: P(x)
P(A)
Resolución
A v B, ¬ B
A
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pp. 45
Corrección
Un conjunto de reglas de inferencia es correcto si y solo si toda fórmula F
derivada aplicando estas reglas de inferencia es una consecuencia lógica de S.
Si S |— F entonces S |= F
"todo lo que se deriva mediante el conjunto de reglas de inferencia es
verdadero"
Solo aplicando reglas de inferencia correctas es posible asignar un significado al
resultado de una derivación.
Ejemplo:
El modus ponens es una regla de inferencia correcta.
{F,F→G} |— G.
{F,F→G} |= G.
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pp. 46
Completitud
Si toda consecuencia lógica F de un conjunto de fórmulas dado puede ser
derivada se dice que el conjunto de reglas de inferencia es completo.
Si S |=F entonces S |— F
"todo lo que es verdadero puede ser derivado mediante el conjunto de
reglas de inferencia"
Ejemplo:
El MP no es completo:
Aunque {¬ Q , PvQ} |= P el MP no puede derivar P.
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pp. 47
Decidibilidad
Un procedimiento de demostración automático, que emplea un conjunto determinado de
reglas de inferencia correcto y completo, es decidible si es capaz de determinar (en un
número finito de pasos) si una fórmula F dada puede o no ser derivada a partir de un
conjunto dado de fórmulas S.
CONJUNTO
FBF
(AXIOMAS)
REGLAS DE
INFERENCIA
PROCEDIMIENTO
DEMOSTRACION
?
F
La lógica proposicional es decidible.
La lógica de predicados es semi-decidible:
Existen métodos capaces de probar S|—F solo si F es una consecuencia lógica de
S (es decir, S|=F).
Pero si F no es una consecuencia lógica de S, no se garantiza que el
procedimiento de demostración termine (salvo que el dominio sea finito y conocido
'Universo de Horn').
Existe una regla de inferencia (resolución) que es correcta y completa para la
forma clausal de la lógica de predicados de primer orden.
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pp. 48
7.- Forma Clausal de la Lógica
Forma restringida sintácticamente de la lógica de predicados (forma clausal de
la lógica.).
Igual de expresiva que la lógica de primer orden .
Permite métodos demostración de teoremas eficientes.
Literal: Un literal es un átomo (literal positivo), o una negación de un átomo
(literal negativo).
Cláusula: Una cláusula es una fórmula cerrada de la forma
∀x 1: .... ∀xs: (L1 v .....v Lm)
donde:
• Cada Li, i=1, ..., m, m>=0 es un literal / Li ≠ Lj (i ≠ j)
• x1, ...., xs , s >= 0, variables que ocurren en L1 v....v Lm.
• Si m=0, cláusula vacía (∅) -insatisfacible-.
• Toda var. que aparece está cuantificada universalm.
Se pueden obviar los ∀
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 49
Forma Clausal de la Lógica - 2
∀x1: ... ∀ xs: (A1 v ...v Ak v ¬ B1 v ... v¬ Bn) ≡ ∀ x1: ... ∀ xs: (B1 ^... ^ Bn → A1 v ...v Ak)
A1, ....., Ak ← B1, ..... , Bn
A1 , ....., Ak denota una disyunción (conclusiones)
B1 , ..... , Bn denota una conjunción (condiciones)
Cláusulas de Horn: es un tipo de cláusula que tiene una de las formas siguientes:
A ← (cláusula unidad )
← B1 , ....., Bn , n >=1 (cláusula objetivo )
A ← B1 , ....., Bn , n >=1
A = cabeza de la cláusula B1 , ....., Bn = cuerpo.
Prolog
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pp. 50
8.- Demostración automática: Resolución
De un conjunto de fbf (S), se demuestra, por reducción al absurdo
(o por refutación), un teorema F.
S
CONJUNTO
FBF
?
si y solo si
F
CONJUNTO
FBF
S
∪
{¬F}
W
es inconsistente
a) Siendo S consistente, si S |— F, entonces:
∀I: / I(S) =true → I(F) = true
¬ (∃I: / I(S ∪ ¬ F) = true)
es decir, (S ∪ ¬ F) es incompatible (existe una contradicción: cláusula vacía).
b) Si (S ∪ ¬ F) es incompatible, entonces S |— F.
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 51
Proceso de Demostración por Refutación
1) El conjunto de fbf se convierte en un conjunto de cláusulas S.
2) El teorema F se niega (¬ F) y se transforma en un conjunto de cláusulas. Se
añaden a S, obteniendo el conjunto de cláusulas W.
3) Se comprueba si ∅∈W (cláusula-vacia ≡ contradicción).
4) Si ∅ ∉ W, se aplica la resolución sobre un par apropiado de cláusulas de W,
produciendo una nueva cláusula que es añadida a W.
5) Se repite el procedimiento hasta que ∅ ∈ W, o hasta que todas las posibles
nuevas cláusulas hayan sido derivadas.
¡ El conjunto inicial S debe ser consistente !
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 52
Ejemplo de demostración por resolución
S={¬ PvQ , ¬ Q , P}
C1=¬ PvQ ,
C2=¬ Q ,
C4 = P
• De C1 y C2 se resuelve (deriva) C3=¬ P.
{C1,C2} |— C3
• De C3 y C4=P se resuelve (deriva) C5=∅ (S es insatisfacible).
{C1,C2, C3,C4} |— C5
Grafo de derivación:
¬P v Q
¬Q
P
¬P
∅
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 53
Algoritmo de Refutación basado en Resolución
Demostración por refutación aplicando resolución
Procedimiento Refutación(S)
cláusulas := S
mientras ∅ ∉ cláusulas hacer
{ci,cj} := SeleccionarPadres(cláusulas);
Resolvente := Resolver(ci,cj);
cláusulas := cláusulas {resolvente}
finmientras
FinProcedimiento
Algoritmo no determinista.
Selección de las cláusulas padre:
estrategias de control o estrategias de resolución.
eficiencia procedimiento de refutación.
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
Estrategias de Resolución
Amplitud
Entrada lineal
Filtrado de antepasados
Resolución semántica (J.R. Slagle en 1967)
conjunto soporte
preferencia de unidades
Resolución lineal:
Resolución de entrada lineal
otros métodos: resolución SLD, (Kowalski)
Hiperresolución ( L.A. Robinson en 1965)
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pp. 54
Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 55
Ejemplo
(1) CUALQUIERA QUE PUEDA LEER ES LETRADO
(∀x: ) [R(x) → L(x)]
(2) LOS DELFINES NO SON LETRADOS
(∀x: ) [D(x) → ¬ L(x)]
(3) ALGÚN DELFIN ES INTELIGENTE
(∃ x: ) [D(x) ^ I(x)]
(4) ¿ALGUIEN QUE ES INTELIGENTE NO PUEDE LEER?
(∃x: ) [I(x) ^ ¬ R(x)] (OBJETIVO)
CONVERSIÓN A CLÁUSULAS:
(1) ¬ R(x) v L(x)
(2) ¬ D(y) v ¬ L(y)
(3a) D(A)
(3b) I(A)
(4') TEOREMA NEGADO: ¬ I(z) v R(z)
DEMOSTRACIÓN:
(5) R(A) por resolución (3b) y (4')
(6) L(A)
"
(5) y (1)
(7) ¬ D(A)
"
(6) y (2)
(8) nil
"
(7) (3a)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 56
Estrategias de Resolución
(1) ¬ P
(2) P v ¬ Q
(3) P v Q v ¬ R
(4)R
Si aplicamos el principio de resolución generando sistemáticamente todas las
resolventes tendremos:
(5) ¬ Q (de 1 y 2)
(13) P v ¬ R (de 3 y 5)
(6) Q v ¬ R (de 1 y 3)
(14) Q (de 4 y 6)
(7) P v ¬ R (de 2 y 3)
(15) P (de 4 y 7)
(8) P v Q (de 3 y 4)
(16) ¬ R (de 5 y 6)
(9) ¬ R (de 1 y 7)
(17) P (de 5 y 8)
(10) Q (de 1 y 8)
(18) ¬ R (de 1 y 11)
(11) P v ¬ R (de 2 y 6)
(19) ∅ (de 1 y 12)
(12) P (de 2 y 8)
mientras que si seleccionamos como pasos de resolución:
(5') P v ¬ R (de 2 y 3)
(6') ¬ R (de 1 y 5')
obtendríamos directamente la derivación de la cláusula vacía:
(7') ∅ (de 4 y 6')
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 57
Estrategias de Resolución - 2
Objetivo de la estrategia de resolución:
disminuir el número de resolventes.
mayor eficiencia en el proceso de demostración
Completitud:
Una estrategia de resolución es completa si encuentra siempre una
contradicción, siempre que ésta exista.
Distinta a la completitud de un sistema inferencial.
En IA usualmente interesa más la eficiencia que la completitud.
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pp. 58
Estrategia en Amplitud
Obtener todas las resolventes de primer nivel (cláusulas padre están en el conjunto origen)
Después las de segundo, y así sucesivamente (resolvente de nivel i-ésimo es una cuyo
padre de nivel más profundo es de nivel (i-1)).
Es completa
Muy ineficiente.
I(a)
¬R(x) v L(x)
¬I(z) v R(z)
D(a)
¬D(y) v ¬L(y)
Cláusulas origen
R(a)
¬I(z) v L(z)
¬R(y) v ¬D(y)
¬L(a)
Resolventes de
primer nivel
L(a)
¬D(a)
L(a)
¬I(z) v ¬D(z)
¬I(z) v ¬D(z)
¬R(a)
Resolventes de
segundo nivel
Resolventes de
tercer nivel
∅
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¬I(a)
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pp. 59
Estrategia de Entrada Lineal
Cada resolvente tiene al menos uno de sus padres en el conjunto original.
No es completa, hay casos en que existe una refutación pero no puede ser obtenida con
esta estrategia.
A pesar de no ser completa, la estrategia de entrada lineal se utiliza con frecuencia
debido a su simplicidad y eficacia.
D(a)
¬D(y) v ¬L(y)
¬R(x) v L(x)
¬I(z) v R(z)
I(a)
Cláusulas origen
R(a)
¬I(z) v L(z)
¬R(y) v ¬D(y)
¬L(a)
Resolventes de
primer nivel
L(a)
¬I(z) v ¬D(z)
L(a)
¬I(y) v ¬D(y)
¬R(a)
Resolventes de
segundo nivel
Resolventes de
tercer nivel
¬I(a)
∅
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 60
Estrategia de Entrada Lineal - 2
Ejemplo de no completitud:
Q(y) v ¬P(y)
¬Q(x) v ¬P(x)
¬P(x)
¬Q(w) v P(w)
¬Q(w)
Q(u) v P(a)
P(a)
∅
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pp. 61
Estrategia de Filtrado de Antepasados
Cada resolvente obtenida tiene un padre que pertenece al conjunto origen o es un
antepasado del otro padre.
Si se garantiza que se obtienen todas las resolventes que cumplen estas condiciones, la
estrategia es completa.
Q(y) v ¬P(y)
¬Q(x) v ¬P(x)
¬P(x)
¬Q(w) v P(w)
¬Q(w)
Q(u) v P(a)
P(a)
∅
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pp. 62
Resolución Semántica
Estrategias controladas por las semánticas declarativas de las cláusulas
que deben ser procesadas
Teniendo un conjunto de cláusulas S1 que son ciertas, y un conjunto de
cláusulas S2 que son falsas, solo se puede encontrar una contradicción
resolviendo entre cláusulas: una de S1 y otra de S2.
Para encontrar la contradicción, no hace falta utilizar resolventes obtenidos solo
a partir de S1 o de S2.
S1
(ciertas)
S2
(falsas)
NIL
Si un conjunto clausal inicial S1 es consistente, y al añadir una nueva cláusula
(¬T) se vuelve inconsistente, entonces, la contradicción se obtendrá resolviendo
entre dos conjuntos:
Resolviendo solo entre cláusulas de S1, no se obtendrá la contradicción.
Para obtener la contradicción se deberá resolver con (¬T) o sus
sucesores (conjunto S2).
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pp. 63
Proceso General de Resolución Semántica
Dividir el conjunto de cláusulas, W, en dos conjuntos distintos
(para una interpretación específica I):
S1 ⊂ W: Cláusulas falsas en la interpretación I,
S2 ⊂ W: Cláusulas verdaderas en la interpretación I.
Estrategia de control: se elige un cláusula padre de S1 y la otra de
S2.
La resolvente resultante es añadida a S1 o S2, dependiendo de la
interpretación I.
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pp. 64
Estrategia de Conjunto Soporte
El conjunto clausal inicial (S) es consistente: Conjunto S1
Conjunto soporte (S2):
Teorema negado
Cláusulas que tengan un padre en el conjunto S2
Es completa, si se garantiza que se intenta resolver cada elemento del conjunto
soporte con cada elemento del conjunto inicial.
Ejemplo:
S= {P, ¬ P v Q, ¬ P v ¬ Q v R}
T= R
Resulta: W= {P,¬ P v Q, ¬ P v ¬ Q v R, ¬ R}
S1={P, ¬ P v Q, ¬ P v ¬ Q v R}
S2: {¬ R}
Cláusulas iniciales (W):
(1) P
(2) ¬ P v¬ Q v R
(3) ¬ P v Q
(4) ¬ R
Proceso de resolución:
(5) ¬ P v ¬ Q (de 2 y 4)
(al conjunto S2)
(6) ¬ Q (de 1 y 5)
(al conjunto S2)
(7) ¬ P de 3 y 5)
(al conjunto S2)
(8) ∅ (de 1 y 7)
(al conjunto S2)
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pp. 65
Ejemplo Estrategia de Conjunto Soporte
¬D(y) v ¬L(y)
¬R(x) v L(x)
I(a)
¬I(z) v R(z)
D(a)
Cláusulas origen
R(a)
¬I(z) v L(z)
Resolventes de
primer nivel
¬I(y) v D(y)
L(a)
L(a)
Resolventes de
segundo nivel
Resolventes de
tercer nivel
¬I(a)
¬D(a)
¬D(a)
¬D(a)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 66
Estrategia de Preferencia de Unidades
Similar a la estrategia de conjunto soporte, pero en vez de completar cada nivel en
amplitud, se intenta seleccionar una cláusula con un único literal (llamada unidad) como
padre de la resolución:
La contradicción aparecerá cuando se resuelvan dos cláusulas con un único literal
Dirige la exploración hacía la obtención de la cláusula vacía, y normalmente aumenta la
eficiencia.
¬I(z) v R(z)
I(a)
Completa.
¬R(x) v L(x)
R(a)
¬D(y) v ¬L(y)
L(a)
D(a)
¬D(a)
∅
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pp. 67
Combinación de Estrategias
Conjunto soporte con entrada lineal:
1º padre: Teorema negado o sus descendientes
2º padre: Cláusulas del conjunto inicial
Conjunto soporte con filtrado de antepasados:
1º padre: Teorema negado o sus descendientes
2º padre: Cláusulas del conjunto inicial o predecesoras del otro padre.
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pp. 68
Simplificación de Cláusulas
A mayor simplificación del conjunto de cláusulas inicial, menor crecimiento
del conjunto de cláusulas generadas
Eliminación de tautologías:
(P(x) v B(y) v ¬ B(y)) ≡ (P(x) v True)
puede ser eliminada
Subsunción:
Si una cláusula es subsumida por otra, puede ser eliminada.
Si un literal de una cláusula es unificable con otro literal del la misma uno
de ellos debe ser eliminado para la completitud de la resolución.
Una cláusula {Li} subsume a otra {Mi} si existe una sustitución s, tal que
[{Li}]s⊂{Mi}. {Mi} puede ser eliminada.
P(x)
subsume a
P(y) v Q(z)
P(x)
subsume a
P(A)
P(x)
subsume a
P(A) v Q(z)
Una estrategia ineficiente 'retrasa' pero 'no impide' encontrar la solución:
Problemas Ignorables
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pp. 69
Obtención de Respuestas
Las demostraciones que hemos visto hasta ahora nos permiten responder a
preguntas como:
murió (Marco, 79)
Pero, ¿cómo contestar a preguntas tales cómo:?
¿cuando murió Marco?
∃t: murió(Marco,t)
tendremos que demostrar que ¬ ∃t: murió(Marco,t) produce una contradicción,
pero no basta con demostrar que se produce una contradicción, sino que
tendremos que determinar para que valor/valores de ‘t’ se produce la
contradicción.
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pp. 70
Obtención de Respuestas - 2
¬ pompeyano(x) v murió(x,79)
¬ murió(Marco, t)
{79/t, Marco/x}
pompeyano(Marco)
¬ pompeyano(Marco)
Ø
Se demuestra el teorema, luego se puede responder afirmativamente a la
pregunta.
La respuesta instanciada, ¿cuando murió Marco?, la obtendremos realizando
la composición de sustituciones de la cadena de unificaciones que nos lleva a la
cláusula de partida (al normalizar variables la composición siempre será
consistente).
murió(Marco, 79)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 71
Obtención de Respuestas - 3
Una forma más sencilla de obtener la respuesta instanciada, sin necesidad de
a posteriori realizar la composición de sustituciones, es añadir al objetivo negado
el objetivo sin negar. Entonces añadimos una tautologia, y cuando encontremos la
contradicción nos quedará la cláusula
Ø v objetivo(instanciado) ≡ objetivo(instanciado)
¬ pompeyano(x) v murió(x,79)
¬ murió(Marco, t) v murió(Marco, t)
{79/t, Marco/x}
pompeyano(Marco)
¬ pompeyano(Marco) v murió(Marco, 79)
murió(Marco, 79)
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Tema 2 (I): Representación del Conocimiento. Representación Basada en la Lógica
pp. 72
9.- La Lógica como Formalismo de Representación del
Conocimiento
Sintaxis y semántica claras.
La lógica ofrece un punto de partida para estudiar los fundamentos de la
representación y manipulación del conocimiento.
Dificultad de expresar conocimiento de dominios con fórmulas lógicas.
La lógica estándar, no es adecuada para representar todos los tipos de
conocimiento:
Conocimiento temporal
Creencias
Estrategias de razonamiento (meta-razonamiento)
Información incompleta o con incertidumbre
Casos excepcionales de reglas generales.
Lógicas no estándar (órdenes mayores, modales) para expresar tales
conceptos formalmente, aunque con mayor dificultad en los procesos de
demostración.
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