Gravitación

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Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R
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Apuntes Complementarios: Gravitación
A) Ley de Gravitación Universal
Llamamos gravedad a la fuerza de atracción que se ejerce entre los objetos por el sólo hecho de
poseer masa. Esta es una fuerza de campo, es decir, no surge del contacto físico directo entre los
dos cuerpos implicados, sino que de la interacción de uno de los cuerpos con el campo gravitacional
generado por el otro (ver figura 1)
La fuerza de gravedad está regida por la Ley de Gravitación Universal de Newton.
Considere dos cuerpos de masas M1 y M2 puestosa una distancia r entre sus centros, como se
muestra en la figura 2. Las fuerzas gravitacionales F12 (sobre M1 debido al campo gravitacional de
M2) y F21 (sobre M2 debido al campo
M1
gravitacional de M1) constituyen un par acción
M2
reacción, pues:
F12
•
•
•
Se aplican sobre cuerpos diferentes
Tienen igual dirección y sentidos
opuestos.
Sus magnitudes son iguales.
Las magnitudes de estas fuerzas están dadas por
F21
r
Figura 2) Ley de Gravitación Universal de
Newton
M ⋅M
F = F12 = F21 = G 1 2 2
r
Donde G es la constante de gravitación universal dada por:
N ⋅ m2 
G = (6,6720 ± 0,0041) ⋅10 −11 
2 
 kg 
B) Aceleración de gravedad
Las manifestaciones más directas y observables de la atracción gravitacional son la caída y el peso
de los cuerpos. El peso de un cuerpo en la Tierra se define como la fuerza con que un cuerpo es
atraído al centro de ésta, y depende de la aceleración de gravedad del lugar en que se encuentre, la
cual es levemente diferente en distintos puntos del planeta, como lo muestra la figura 3
Para calcular el valor de la aceleración de
gravedad, vamos a considerar la situación
de la figura 4. En ella, se observa un
cuerpo de masa m en interacción
gravitacional con un planeta de masa M y
de radio R. El cuerpo está a una altitud
(altura sobre la superficie del planeta) h.
La magnitud de la fuerza de atracción
gravitacional que el planeta le aplica al
cuerpo es
M ⋅m
F =F =G
(R + h )2
Donde G es la constante de gravitación
universal.
Figura 3) La aceleración de gravedad es diferente en
diferentes puntos del planeta
Asumiendo que esta fuerza es la única
que sufre el cuerpo, por el segundo Principio de Newton es
igual al producto de la masa m por la aceleración neta que
adquiere. Esta última es la que denominamos “aceleración de
gravedad”
m
h
M ⋅m
G⋅M
F = m⋅ g ⇒G
= m ⋅ g ⇒ g = g (h ) =
(R + h )2
(R + h )2
Así, g(h) es la función de la aceleración de gravedad en
función de la altura.
En las aplicaciones prácticas, la altitud es mucho menor que
el radio del planeta. En el caso de la tierra, el radio es 6400
[km], mientras que lo más alto que puede volar un avión es
alrededor de los 10000 [m] o 10 [Km].
F
g
R
M
Figura 4) Cuerpo de masa m
atraído por una planeta de masa
M
La idea es obtener una expresión aproximada para la
aceleración de gravedad en el caso R >> h. La idea es aplicar la aproximación de Newton
(1 + α )n ≈ 1 + n ⋅ α , con α << 1. Como R >> h, entonces h/R << 1
Manejando algebraicamente la expresión anterior:
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g (h ) =
G⋅M
2
(R + h )
=
G⋅M
1
G⋅M 
h
=
1 + 
2
2
2
R
R 
R 
h
1 + 
R

-2
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Consideremos un pequeño intervalo de tiempo ∆t que incluya el instante en que pasa por el afelio o
el perihelio.
Con referencia a la figura 7b, podemos calcular el
área barrida en cada extremo como:
Aplicando la aproximación de Newton, se llega a:
Para el caso de la Tierra, G ≈ 6.67·10-11
[N·m2/kg2], M ≈ 6·1024 [kg] y R ≈ 6.4·106
[m]. Entonces, g0 = 9.771 [m/s2].
En la figura 5 se comparan las
expresiones exacta y aproximadas para
g(h). Se observa que ambas funciones
coinciden para valores muy pequeños de
h, y se van separando a medida que la
altitud aumenta.
Aceleración de gravedad v/s Altitud
Aceleración de gravedad en [m/s2]
G ⋅M
es la aceleración de
R2
gravedad en la superficie del planeta.
Donde g 0 =
1
⋅ d ⋅ v ⋅ ∆t
2
De acuerdo a la 2º Ley de Kepler, cuando los
intervalos de tiempo son iguales, la recta del sol al
planeta barre áreas iguales. Así, para afelio y
perihelio:
Area =
G⋅M 
2h 
2h 

g (h ) ≈
1 −
 = g 0 1 −

R
R
R2 

Valor Exacto
Valor Aproximado
1
1
⋅ da ⋅ v a ⋅ ∆t = ⋅ d p ⋅ v p ⋅ ∆t
2
2
v d
⇒ da ⋅ v a = dp ⋅ v p ⇒ a = p
v p da
3º Ley: “Los cuadrados de los períodos de revolución de dos planetas cualesquiera alrededor del
Sol son proporcionales al cubo de sus distancias medias al sol”.
La 3º Ley de Kepler se puede expresar algebraicamente como
Altitud en [m]
Figura 5) Aceleración de gravedad en función de la
altitud.
C) Leyes de Kepler
Son las leyes que modelan el movimiento de los planetas.
Fueron obtenidas a partir de los datos experimentales de
Tycho Brache. Pueden ser deducidas a partir de los
principios de Newton o de la Ley de Gravitación Universal.
T 2 = k ⋅d3
Donde
• T: Período de revolución del planeta.
• k: Constante de proporcionalidad
d + da
Distancia media del planeta al Sol. Es el promedio de las distancias en afelio
• d= p
2
(da) y perihelio (dp), y corresponde al semieje mayor de la órbita elíptica.
En la siguiente tabla se muestran estos valores para las órbitas de la Tierra y de Plutón alrededor del
sol. Noten que la constante de proporcionalidad k es muy similar en ambos casos.
1º Ley: “La órbita de cada planeta es una elipse,
uno de cuyos focos está ocupado por el Sol”.
2º Ley: “Una recta trazada desde un planeta hasta
el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales”.
Figura 7) (a) Órbita elíptica; (b) Cálculo de
área barrida
Planeta
Tierra
Plutón
T[s]
da [m]
dp [m]
d [m]
3,156·107 1,521·1011 1,471·1011 1,496·1011
7,837·109 7,375·1012 4,443·1012 5,909·1012
k=T2/d3 [s2/m3]
2,975·10-19
2,977·10-19
Figura 6) 1º y 2º Leyes de Kepler
Cuando un planeta describe su órbita elíptica alrededor del Sol (ver figura 7a), pasa por su punto
más cercano al Sol (perihelio), y por el más cercano (el afelio) con distintas velocidades.
D) Movimiento de Satélites
Aunque, en virtud de las Leyes de Kepler, el movimiento de los satélites alrededor de los planetas
sigue una trayectoria elíptica, para efectos de análisis se puede suponer razonablemente que el
satélite ejerce un MCU de radio R alrededor del planeta.
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En la figura 8 se aprecia un satélite de masa MS
que gira en torno a un planeta de masa MP
haciendo un MCU (movimiento circular
uniforme). Como en todo MCU, el satélite tiene
una aceleración centrípeta (ac) que la mantiene
en órbita, que en este caso es causada por la
interacción gravitacional con el planeta. Así:
Fgrav = M S ⋅ aC ⇒ G
MP
R
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igual al período de rotación de la Tierra Trot = 24 [h].
Fgrav
Para el satélite de la figura 9, donde el radio de giro del satélite está dado por R = RT + Rsup ,
donde RT = 6400 [km] = 6.4·106 [m] es el radio de la Tierra y Rsup es la altitud (altura con respecto
de la superficie de la Tierra) en la cual orbita el satélite. Aplicando la relación para TS = Tsat, G dado y
MP = MT = 6·1024 [kg] (masa de la Tierra):
MS
M P MS
v s2
=
M
S
R
R2
2
2
Tsat
G ⋅ MT ⋅ Tsat
4π 2
3
=
⇒
R
=
≈ 42297.52 [km]
R 3 G ⋅ MT
4π 2
Así, Rsup está dado por:
⇒ R ⋅ v s2 = G ⋅ M P
Donde vS es la rapidez tangencial del satélite en
órbita, que se puede relacionar con su período
de giro TS según:
vS =
Figura 8) Satélite girando en MCU alrededor de un
planeta
2 ⋅π ⋅ R
TS
Finalmente, la rapidez tangencial del satélite geoestacionario está dada por:
v sat =
Reemplazando
2
 2 ⋅π ⋅ R 
T2
4π 2
4π 2
 = G ⋅ M P ⇒ TS2 =
R ⋅ 
R 3 ⇒ S3 =
G ⋅ MP
G ⋅ MP
R
 TS 
La relación entre el cuadrado del período de giro y el cubo del radio de órbita del satélite es igual a
una constante que es independiente de MS. Así, para cualquier satélite que orbite en torno a un
planeta con un radio de giro Rn y período de órbita Tn, se cumple que:
T12 T22 T32
T2
= 3 = 3 = = n3 = 3
R1
R2 R 3
Rn
Los primeros satélites artificiales que se lanzaron
fueron aquellos que giraban en una órbita
geoestacionaria, también denominada órbita de
Clarke. La órbita gesoestacionaria es aquella
órbita alrededor de la Tierra en la cual el satélite
no se mueve respecto de la Tierra. Así, el satélite
se observa desde la Tierra como un punto fijo en
el cielo, por lo que no es necesario que la
estación terrena “rastree” el satélite. Para que
esto suceda, el radio de giro del satélite debe ser
tal que el período de giro del satélite Tsat sea
R = RT + Rsup ⇒ R sup = R − RT ≈ 35897.52 [km]
Figura 9) Satelite geoestacionario
2 ⋅π ⋅ R
 km 
m 
≈ 11073.46 
≈ 3075.96  

Tsat
 h 
s