Introducción al Cálculo Diferencial Elaborado por: Juan Carlos Acosta Jiménez IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL PROGRAMA PERMANENCIA ACADÉMICA DESTINATARIOS Estudiantes de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco. También está dirigido a estudiantes de grado de 10o y 11o de instituciones de básica secundaria. PROYECTO EDUCATIVO Y TITULO DEL CURSO ÁREA DE FORMACIÓN NIVEL ACONSEJABLE PARA SU UTILIZACIÓN ENTORNO DE APRENDIZAJE OVA de Cálculo Ciencias básicas (Matemáticas) Para estudiantes de bachillerato de grados 10o y 11o y estudiantes de I semestre de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco. Aula virtual TECNOLOGICO VIRTUAL (plataforma institucional) DIRECCIÓN (URL) DE LA http://aulavirtual.tecnologicocomfenalcovirtual.edu.co/aulavirtual/course/view.ph PLATAFORMA DE p?id=5006&section=1 PUBLICACIÓN PRODUCIDO POR Juan Carlos Acosta Jiménez LICENCIA Derechos Reservados CIUDAD Y FECHA DE PRODUCCIÓN Cartagena de indias, Septiembre 16 de 2014 COLOMBIA [email protected] INTRODUCCIÓN Esta Guía orienta el uso del contenido del Cálculo, dirigida a docentes y estudiantes de la Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco de Cartagena, interesados en desarrollar cursos de matemáticas básicas de I semestre en el Aula virtual. Se comenzará con los siguientes interrogantes: 1) Cuando hablas por celular, ¿De qué depende el costo de la llamada? 2) Un vendedor de electrodomésticos tiene un sueldo fijo de $750.000 y recibe una comisión por cada artículo vendido. ¿De qué dependerá su sueldo el próximo mes? Al analizar estas preguntas anteriores, te darás cuenta de que en ambos casos existe una relación entre dos cantidades, y que una de las cantidades depende de la otra; Para describir esa correspondencia, usamos un concepto que se llama función. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar habilidades en el estudiante que le permitan plantear, analizar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de la modelación de funciones y de la obtención de máximos y mínimos que optimicen los recursos disponibles en un entorno dado. - OBJETIVOS ESPECIFICOS - - Realizar operaciones con números reales que permitan simplificar procedimientos algebraicos. Identificar el tipo de gráfica de una función con el fin de buscar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o decreciente. Usar derivadas para resolver problemas de la vida real con razones de cambio de relacionadas. CONTENIDO TITULO DEL TEMA Introducción al Cálculo Diferencial 1. Números reales 1.1 Actividad de conocimientos previos: Sistemas numéricos 1.2 Operaciones con números enteros (ℤ) 1.3 Operaciones con números racionales (ℚ) 1.4 Actividad de retroalimentación 1.5 Operaciones con números reales (ℝ) 1.6 Actividad de profundización ESTRUCTURA DEL CONTENIDO 2. Funciones 2.1 Concepto de función 2.2 Dominio y rango de funciones 2.3 Tipos de funciones 3. Derivada de una función 3.1 ¿Para qué sirven las derivadas? 3.2 Conceptos básicos sobre derivadas 3.3 Reglas de derivación 3.4 Actividad de retroalimentación 3.5 Bosquejo de curvas 3.6 Aplicaciones de la derivadas 3.7 Actividad de profundización METODOLOGÍA Se desarrolla la temática de operaciones con números reales resaltando el manejo adecuado de las fracciones, junto con la resolución de una gran variedad de ejemplos. En la segunda parte, se introduce el concepto de función y sus distintas tipificaciones, y finalmente se discute las utilidades del uso de derivadas en todos los campos y se proponen actividades de retroalimentación y de profundización. OBSERVACIONES SOBRE SU USO Aunque el material puede ser explorado en una o más sesiones según el requerimiento del lector. ONSERVACIONES SOBRE LA EXPLORACIÓN El recurso es un material del tipo (texto, video, multimedia e interactivo) por lo que se debe dispone de animaciones y links externos de profundización. ACCIONES ANTES DEL VISIONADO DURANTE EL VISIONADO Actividades guiadas en relación a los conocimientos previos de: Actividades guiadas relacionadas con el material: Conocimientos previos En esta actividad, el discente debe resolver un interrogante, el cual es retroalimentado inmediatamente. Retroalimentación Animaciones flash de la temática de forma retroalimentada donde el estudiante lo visualizará las veces que quiera con el fin de aclarar sus dudas. DESPUES DEL VISIONADO Actividades relacionadas con la evaluación: Profundización Se diseña un trabajo colaborativo de la temática donde apliquen los conocimientos aprendidos, el cual se debe construir en forma grupal y se utilizará la herramienta de subida avanzada de archivos. RECURSOS NECESARIOS TECNOLÖGICOS - Aula virtual plataforma Tecnológico Virtual Cuenta de usuario Correo Institucional Archivos .PDF, DOC (Word), PPT (Power Point). Animaciones y archivos de video .AVI, .WMV, .FLV DIDACTICOS (Otros materiales de apoyo): - Guía de Actividades Retroalimentación de talleres Links de simulaciones con ejercicios resueltos y propuestos GLOSARIO FRACCIÓN NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES CÁLCULO DIFERENCIAL CURVA DERIVACIÓN VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE INDEPENDIENTE Es la expresión de una cantidad dividida entre otra. Familia de números formados por los números racionales e irracionales. Familia de números formados por el cociente de dos enteros donde el número de denominador debe ser siempre diferente de cero. Familia de números donde su parte decimal debe ser no periódica. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables. Magnitud que no depende de otra para obtener su valor. BIBLIOGRAFÍAS o o REFERENCIAS o o o Anton Howard, Cálculo de una variable: “Trascendentes tempranas”, 2ed. México, Limusa Willey, 2009. Edward, Henry, Penney David, Cálculo con trascendentes tempranas, 7ed, Pearson Educación, México, 2008. Larson. R, Hostetler. R, Edward. B, Cálculo I, 8ed, Mc Graw Hill, 2006 Stewart James, Cálculo “Trascendentes tempranas”, 4ed. México, Thomson Learning, 2002. Thomas, Cálculo de una variable, 12ed. Pearson Educación, 2011. Matemáticas para bachillerato y carrera de ciencias http://matematicasbachiller.com/ Espacio que brinda materiales de libre uso, didácticos y actualizados. SITIOS SUGERIDOS Matemático http://matematico.es/ Espacio de libre uso que brinda muchos ejemplos de operaciones básicas de matemáticas con animaciones CONTENIDOS 1. Números Reales 1.1 Actividad de conocimientos previos: Sistemas numéricos De acuerdo a tus conocimientos, responde la siguiente pregunta ¿Cuál sistema numérico usamos diariamente? a) Sistemas numéricos antiguos b) Sistema binario c) Sistema decimal Retroalimentación La mayoría de los tópicos desarrollados en los cursos de matemáticas a nivel de pregrado y secundaria están relacionados con los sistemas numéricos, específicamente con los números reales. Dichos sistemas se usan para representar cantidades abstractas llamadas números y se definen por la base que utiliza; por ejemplo: El número decimal 10 es igual al número binario 1010, el cual es equivalente al número octal 12 y es representado en el sistema hexadecimal con la letra A. Nuestro sistema de numeración es decimal y utiliza 10 símbolos llamados dígitos. 1.2 Operaciones con números enteros (ℤ) Inicialmente empezamos con los Números naturales, los cuales fueron creados por la mente humana para contar los objetos en diversas colecciones, se representan con la letra ℕ, el primer elemento es el número 1, no tienen un último elemento. ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, … } Podemos representar los números naturales sobre una recta numérica de la siguiente manera: Los Números enteros se forman con los números naturales, sus opuestos y el cero. Se denotan con la letra ℤ y se pueden representar así: ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } En la recta numérica se representan así: Dados los números enteros a, b, c y d establecemos las siguientes operaciones básicas entre ellos. Operaciones Definición o Adición y Sustracción o Ejemplos Si los signos de las dos cantidades son iguales, los números se suman y queda el mismo signo. Si los signos de las dos cantidades son diferentes, los números se restan y se coloca el signo del número mayor. Ley de los signos Producto y Cociente (+) × (+) = (+) (−) × (−) = (+) (+) × (−) = (−) (−) × (+) = (−) (+) ÷ (+) = (+) (−) ÷ (−) = (+) (+) ÷ (−) = (−) (−) ÷ (+) = (−) 1) 2 − 7 = −5 2) −3 − 9 = −12 3) −12 + 9 = −3 4) 5 − 9 − 8 + 10 = −2 5) 10 − 9 + 8 − 7 + 6 − 5 = 3 6) −13 − 14 − 15 + 42 = 0 1) (−2) × (23) = −46 2) (−5) × (−3) = 15 3) (−20) ÷ (4) = −5 4) (85) ÷ (−5) = −17 5) −(−(−10)) = −10 6) 2 × 12 ÷ 4 = 6 7) (−3 + 2) × (−5 − 2) = 7 8) (−5 − 2) ÷ (3 − 2) = −7 1.3 Operaciones con números racionales (ℚ) Los números naturales eran un recurso que permitían satisfacer la necesidad de contar objetos, el hecho de fraccionar la unidad en partes iguales dio origen al concepto de fracción. Los números racionales se simbolizan con la letra ℚ y están formados por los números que representan cocientes entre números enteros, esto es: a ℚ = { /donde a, b son numeros enteros y b ≠ 0} b Este conjunto numérico se representan por fracciones reducidas a su mínima expresión (completamente simplificadas) donde −a b a a = −b = − b a Todos los números enteros son racionales pues se cumple que a = 1 Dados los números racionales entre ellos. a b y c d establecemos las siguientes operaciones Operaciones Definición Ejemplos a c ad + bc + = b d bd Adición o Suma a c ad − bc − = b d bd Sustracción o Resta 1) 2 3 4 2) −3 5 + 7 8 3) −1 + 4 1) −3 6 − 7 10 = −3(10)−7(6) 7(10) = −30−42 70 2) −5 −2 − 9 3 = −5(9)−3(−2) 3(9) = −45+6 27 +5= 3) 7 − 2(5)+3(4) 3(5) = −3(8)+7(5) 7(8) −1 4 2= 5 8 = 7 2 +1= 5 =1−8= 10+12 15 22 = 15 −24+35 56 = 11 56 −1(1)+4(2) 4(1) = −1+8 4 = 7(8)−1(5) 1(8) = = = 56−5 8 7 =4 −72 70 −39 27 = = = −36 35 −13 9 51 8 −8 9 −8(9) −72 −36 −12 × = = = = = −12 3 2 3(2) 6 3 1 9 −4 9 −4(9) −36 −18 −4 × = × = = = = −18 2 1 2 1(2) 2 1 Producto o Multiplicación a c ac × = b d bd 1) Cociente o División a c ad ÷ = b d bc 1) 20 7 2) 1 7 2) ÷ −4 15 = 20(15) 7(−4) 1 ÷ 10 = 7 ÷ 10 1 = 300 −28 = 1(1) 150 −14 = 75 −7 1 = 7(10) = 70 1.4 Actividad de retroalimentación 1) Realice las operaciones indicadas y relacione la respuesta correcta −13 −5 2 −6 −9 −(8) 7 4 − 10 3 a) b) c) d) 7 − −26 3 15 56 −23 2 23 3 −2 3 Nota: Crear y/o habilitar la herramienta de flechas para que se puedan relacionar las opciones, después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación. a) −13 − 2 b) −6 −9 −(8) 7 c) 4 3 5= −13 −5 + 1 2 = −6 9 + (8) 7 4 − 10 = 3 − d) 7 − −2 3 7 1 = 2 3 10 1 = + = = −13−5(2) 2 = −13−10 2 −6(8)+7(9) 56 4(1)−3(10) 3 7(3)+1(2) 3 = = = = 4−30 3 21+2 3 = −23 2 −48+63 56 = 23 3 = −26 3 =− 15 = 56 23 2 2) ¿Cuántos litros de agua contiene un depósito de 400 litros que está ocupado en sus 3/5 partes? a) 210 litros b) 240 litros c) 180 litros d) 270 litros Nota: después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación. 3 3×400 Hay que calcular los 3/5 de 400, es decir: 5 × 400 = 5 = 240 litros 3) Juan leyó la semana pasada la mitad de un libro y esta semana la tercera parte, pero aún le faltan 30 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro? a) 120 páginas b) 180 páginas c) 160 páginas d) 100 páginas Nota: después de dos intentos mostrar la solución y retroalimentación. 1 1 5 1 Juan ha leído 2 + 3 = 6 partes del libro, le faltaría 6 del total dicho libro, esto implica que el libro tiene 30 × 6 = 180 páginas. 1.5 Operaciones con números reales (ℝ) Existe otro tipo de números que no pueden escribirse en la forma a b con a y b enteros, éstos se conocen como Números Irracionales y se representan con la letra (𝑰), son decimales no periódicos infinitos, por ejemplo: 1) π = 3,141592 …. 2) e = 2,718281828459 … 3) 0,34344344434444 …. 4) 0,12345678910111213 … .. 5) √2 = 1,4142 … El siguiente esquema muestra la relación entre los conjuntos numéricos más usuales. Del anterior, concluimos que los Números reales se conforman por la unión de los números racionales e irracionales, se denota con la letra ℝ y se pueden realizar operaciones combinadas llamadas polinomios aritméticos. Ejemplos: −3 5 6 1) Reducir el siguiente polinomio aritmético ( 7 + 8) × 5 Solución: Aplicando las definiciones de suma y multiplicación de fracciones tenemos que −3 5 6 −3(8)+7(5) 6 )×5 7(8) ( 7 + 8) × 5 = ( −24+35 6 )×5 56 =( 11 6 11(6) 66 33 = 56 × 5 = 56(5) = 280 = 140 2 1 2) Simplificar la siguiente expresión [(−5 + 3) − ( ÷ 3)] + 5 2 2 1 2 1 Solución: [(−5 + 3) − (5 ÷ 3)] + 2 = [(−2) − (5 ÷ 3)] + 2 2 1 = [(−2) − (15)] + 2 −2(15)−2 1 ]+2 15 −30−2 1 [ 15 ] + 2 −32 1 [ 15 ] + 2 =[ = = = −32(2)+15(1) 15(2) = −64+15 30 = −49 30 1.6 Actividad de profundización Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente de y espera la respectiva retroalimentación. 1) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las seis de la tarde? 2) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc. ¿Cuántos Kilogramos de cada metal habrá en 348 Kg de aleación? 3) Dos ciudades se encuentran a 240 Km de distancia. Un caminante recorre un día 1/6 de esa distancia, otro día 1/4 y un tercer día 1/8 de la misma. ¿A qué distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día? 4) Un propietario vendió primeramente 3/4 de su finca y después ½ de lo que le quedaba. Si todavía le quedaron 4 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de la finca? 5) Una epidemia mató los 3/7 de las vacas de un granero y de las que le quedaron vendió 1/2. Si todavía le quedaron 24 vacas, ¿Cuántas vacas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? 2. Funciones y modelos matemáticos 2.1 Concepto de función En nuestra vida diaria encontramos una infinidad de situaciones en las que identificamos una relación entre dos cantidades que dependen una de la otra. Una función 𝒇 de un conjunto 𝐴 a un conjunto 𝐵 es una correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥 de 𝐴 exactamente un elemento 𝑦 de 𝐵. Lo anterior lo podemos denotar así: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 La expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa que “𝑦 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥", en donde 𝑦 se llama variable dependiente y 𝑥 se llama variable independiente. 2.2 Dominio y rango de funciones El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente 𝑥; mientras que el rango es el conjunto de valores correspondientes a la variable dependiente 𝑦. Para graficar funciones, evaluamos valores arbitrarios de la variable independiente 𝑥 en la fórmula 𝑦 = 𝑓(𝑥) , obteniendo los correspondientes valores de la variable dependiente 𝑦. Veamos algunos ejemplos: 1) Si 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 , realice un bosquejo de la gráfica de la función e identifique su dominio y rango. Solución: Por definición, la gráfica de 𝑓(𝑥) es la gráfica de la ecuación 𝑦 = √𝑥 − 1, la siguiente tabla es una lista de coordenadas de varios puntos sobre la gráfica: 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) -1 𝑓(−1) = √−1 − 1 = √−2 (No existe en R) 0 𝑓(0) = √0 − 1 = √−1 (No existe en R) 1 𝑓(1) = √1 − 1 = √0 = 0 2 𝑓(2) = √2 − 1 = √1 = 1 3 𝑓(3) = √3 − 1 = √2 ≈ 1.4 4 𝑓(4) = √4 − 1 = √3 ≈ 1.7 5 𝑓(5) = √5 − 1 = √4 = 2 6 𝑓(6) = √6 − 1 = √5 ≈ 2.2 Según la gráfica, el dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales 𝑥 tales que 𝑥 ≥ 1, lo cual equivale al intervalo [1, ∞). El rango de 𝑓 es el conjunto de todos los números reales 𝑦 tales que 𝑦 ≥ 0, lo cual equivale al intervalo [0, ∞). 2) Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥, entonces el bosquejo de la gráfica es: Por lo tanto, el dominio de 𝑓 lo constituye todos 𝜋 2 los valores reales de 𝑥 tales que 𝑥 ≠ + 𝑛𝜋. El rango (también llamado recorrido) son todos los números reales, esto es (−∞, ∞). 3) Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la regla de la línea vertical, al cual consiste en trazar líneas verticales en la gráfica de la función; si las dichas líneas cortan la gráfica en un solo punto entonces si es función. Las siguientes gráficas no representan funciones: Constante 𝑓 𝑥 =𝑘 2.3 Tipos de funciones Lineal Cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Algebraicas Polinómica Tipos de Funciones Trascendentales 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Racionales 𝑓 𝑥 = Radicales 𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑥) 𝑄(x) 𝑔(𝑥) Exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑔(𝑥) Logarítmica ln 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sen x Trigonométricas A trozos Especiales 𝑓 𝑥 = cos x 𝑓 𝑥 = tan x 𝑓 𝑥 = cot x 𝑓 𝑥 = sec x 𝑓 𝑥 = csc x 𝒇𝟏 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟏 𝒇𝟐 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝟐 𝒇 𝒙 = … 𝒇𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑰𝒏 Parte entera 𝑓 𝑥 = 𝑥 Valor absoluto 𝑓 𝑥 = 𝑥 Las funciones se clasifican en algebraicas, trascendentales y en especiales, veamos algunos ejemplos: 1) Funciones cuadráticas 2) Función definida a trozos 3) Función valor absoluto 4) Función parte entera 5) Funciones polinómicas 6) Funciones racionales 7) Funciones exponenciales 8) Funciones logarítmicas 9) Funciones trigonométricas 3. Derivada de una función 3.1 ¿Para qué sirven las derivadas? El cálculo diferencial e integral es la herramienta matemática más poderosa en la actualidad. Sobre ellos se desarrolla muchos conceptos de la física y química, como por ejemplos: o la mecánica de fluidos y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones y de las represas. o El descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hicieron posible todos los electrodomésticos, la TV y otros con el cálculo de circuitos. o En múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para comprender problemas muy complejos, como en resistencia de materiales. La aplicación de derivadas sirve para resolver problemas de optimización de resultados, cuando debemos encontrar los extremos de una función, es decir, dónde una función alcanza sus máximos y mínimos relativos o si no es un extremo. Se pueden observar otras aplicaciones en los siguientes links: o Aplicación de Calculo diferencial en clepsidras https://www.youtube.com/watch?v=ce-BUePo2SE&feature=youtu.be o Aplicaciones de cálculo diferencial: el menor costo de un cilindro https://www.youtube.com/watch?v=RJKEnzUXinI&feature=youtu.be o Cálculo diferencial aplicado a la industria del skateboard https://www.youtube.com/watch?v=0CFtE9oUS5A o Otras aplicaciones del cálculo diferencial https://www.youtube.com/watch?v=vnzENwwqbDc 3.2 Conceptos básicos sobre derivadas La derivada de 𝒇 en 𝑥 está dada por 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ siempre que ese límite exista. Ese resultado también es una función de 𝑥 y representa la pendiente 𝑚 de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)). El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función es derivable en 𝒙 si su derivada en 𝑥 existe. Decimos que la función es derivable en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. Además de 𝑓 ′ (𝑥), que se lee “𝑓 prima de 𝑥”, se usan otras notaciones para la derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥).las más usuales están dadas por: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑 = 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Ejemplos: 1) Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5 Solución: 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ ℎ→0 𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim 3(𝑥+ℎ)2 +4(𝑥+ℎ)−5−(3𝑥 2 +4𝑥−5) 3(𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 )+4𝑥+4ℎ−5−3𝑥 2 −4𝑥+5 ℎ ℎ→0 = lim 3𝑥 2 +6𝑥ℎ+3ℎ2 +4𝑥+4ℎ−5−3𝑥2 −4𝑥+5 Elevamos el binomio 𝑥 + ℎ al cuadrado y realizamos los productos indicados Simplificamos términos semejantes ℎ ℎ→0 = lim Evaluamos la función en 𝑥 y 𝑥 + ℎ ℎ ℎ→0 = lim Aplicamos la definición de la derivada 6𝑥ℎ+3ℎ2 +4ℎ ℎ→0 ℎ = lim (6𝑥 + 3ℎ + 4) ℎ→0 = 6𝑥 + 4 Dividimos cada término del trinomio del numerador entre ℎ Calculamos el límite cuando ℎ → 0 2) Pruebe que si 𝑓(𝑥) = 𝑘 entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 0 para todo 𝑘 ∈ ℝ Solución: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑘−𝑘 0 𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim = lim = lim 0 = 0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ 3) Determine la pendiente de la gráfica de 𝑓 = √𝑥 en los puntos (1,1) y (4,2) Solución: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) √𝑥 + ℎ − √𝑥 √𝑥 + ℎ − √𝑥 √𝑥 + ℎ + √𝑥 = lim = lim ( )( ) ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ √𝑥 + ℎ + √𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = lim (𝑥+ℎ)−𝑥 = lim ℎ(√𝑥+ℎ+ √𝑥) ℎ lim ℎ→0 ℎ(√𝑥+ℎ+√𝑥) 1 lim (√𝑥+ℎ+ √𝑥) ℎ→0 1 2√𝑥 ℎ→0 = = = Por tanto, en el punto (1,1) la pendiente es 𝑓 ′ (1) = 2 la pendiente es 𝑓 ′ (4) = 2 gráfica: 1 √4 1 1 √1 1 = 2 y en el punto (4,2) = 4, lo cual se puede observar en la siguiente 3.3 Reglas de derivación Se muestran algunas fórmulas y propiedades que nos permiten derivar una gran variedad de funciones. Una vez que las hayamos comprobado serán capaces de derivar funciones sin tener que aplicar la definición de derivada. Nombre Función Fórmula Derivada de una constante 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓 ′ (𝑥) = 0 Derivada de un múltiplo constante 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐 Derivada de una potencia 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 Derivada de una suma o resta de dos funciones 𝑓± 𝑔 (𝑓 ± 𝑔)′ = 𝑓 ′ ± 𝑔′ Derivada del producto de dos funciones 𝑓× 𝑔 (𝑓 × 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑔′ 𝑓 Derivada del cociente de dos funciones 𝑓/ 𝑔 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑔′ 𝑓 (𝑓/ 𝑔) = 𝑔2 Derivadas de funciones trigonométricas 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥) = cos 𝑥 𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑠 𝑥) = −sen 𝑥 𝐷𝑥 (𝑡𝑎𝑛 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝐷𝑥 (𝑐𝑜𝑡 𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑐 𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝐷𝑥 (𝑐𝑠𝑐 𝑥) = − csc 𝑥 cot 𝑥 Derivadas de funciones exponenciales 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) 𝐷𝑥 (𝑒 𝑔(𝑥) ) = 𝑔′ (𝑥) ∙ 𝑒 𝑔(𝑥) Derivadas de funciones logarítmicas 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) Derivadas de funciones compuestas (Regla de la Cadena) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ′ 𝐷𝑥 (ln 𝑔(𝑥)) = 𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′ (𝑥) Observemos los siguientes ejemplos: 1) 𝐷𝑥 (−8) = 0 2) 𝐷𝑥 (36052) = 0 3) 𝐷𝑥 (√5) = 0 4) 𝐷𝑥 (2.57) = 0 5) 𝐷𝑥 (𝜋) =0 6) 𝐷𝑥 (−8𝑥) = −8 7) 𝐷𝑥 (36052𝑥) = 36052 8) 𝐷𝑥 (√5𝑥) = √5 2 2 2 9) 𝐷𝑥 (3𝑥 2 ) = 𝐷𝑥 (3 𝑥 −2 ) = 3 (−2)𝑥 −2−1 = 6 1 10) 𝐷𝑥 ( √𝑥 ) = 𝐷𝑥 (𝑥 6 ) = 1 6 1 𝑥 6−1 = 1 6 −5 𝑥6 = −4 3 𝑥 −3 1 6 6 √𝑥 5 11) 𝐷𝑥 (𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝐷𝑥 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐷𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑥 = (1)𝑆𝑒𝑛 𝑥 + (cos 𝑥)𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 12) 𝐷𝑥 (ln(4𝑥 − 3)) = 𝐷𝑥 (4𝑥−3) ln(4𝑥−3) 4 = ln(4𝑥−3) 13) Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 −2𝑥 3𝑥 Solución: Al aplicar la fórmula de la derivada de un cociente, obtenemos. 𝑓 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑔′ 𝑓 3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥 2 − 2𝑥)(3) 18𝑥 2 − 6𝑥 − 9𝑥 2 + 6𝑥 9𝑥 2 𝐷𝑥 ( ) = = = = 2=1 (3𝑥)2 𝑔 𝑔2 9𝑥 2 9𝑥 14) Hallar la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(4𝑥 3 ) − 2 𝑐𝑜𝑡 (𝑥 2 ) + 𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1) Solución: Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando las fórmulas correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene: 2 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥 [𝑡𝑎𝑛(4𝑥3 )] − 𝐷𝑥 [2 𝑐𝑜𝑡 (𝑥 )] + 𝐷𝑥 [sec(2𝑥 − 1)] = [𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 3 )𝐷𝑥 (4𝑥 3 )] − [−2 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥 2 )𝐷𝑥 (𝑥 2 )] + [𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑥 − 1)𝐷𝑥 (2𝑥 − 1)] = 12𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 3 ) + 4𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥 2 ) + 2 𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛(2𝑥 − 1) 15) Hallar la quinta derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 2𝑥 6 − 5𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 + 2 Solución: Se busca la primera derivada de la función y luego la segunda y así sucesivamente, es decir: 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥 6 + 12𝑥 5 − 20𝑥 3 + 24𝑥 2 − 2 𝐷𝑥2 𝑓(𝑥) = 42𝑥 5 + 60𝑥 4 − 60𝑥 2 + 48𝑥 𝐷𝑥3 𝑓(𝑥) = 210𝑥 4 + 240𝑥 3 − 120𝑥 + 48 𝐷𝑥4 𝑓(𝑥) = 840𝑥 3 + 720𝑥 2 − 120 𝐷𝑥5 𝑓(𝑥) = 2520𝑥 2 + 1440𝑥 16) Hallar ℎ′′ (𝑥) donde ℎ(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥 1⁄ 4 Solución: Al aplicar fórmulas de derivación tenemos que ℎ′ (𝑥) = ℎ′′ (𝑥) = 17) Determine la derivada de la función racional 𝑓(𝑥) = 1 2√𝑥 −1 − 3 4𝑥 ⁄2 𝑥 2 −𝑥−3 𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1 Solución: Aplicamos la propiedad de derivada de un cociente, es decir: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = = = [ 𝑑 𝑑 (𝑥 2 −𝑥−3)∗(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)]−[ (𝑥3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)∗(𝑥 2 −𝑥−3)] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2 [(2𝑥−1)∗(𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)]−[(3𝑥 2 +10𝑥−2)∗(𝑥 2 −𝑥−3)] (𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2 −𝑥 4 +2𝑥 3 +12𝑥2 +32𝑥−7 (𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥+1)2 1 3 2𝑥 ⁄4 3 + 7 8𝑥 ⁄4 3.4 Actividad de retroalimentación En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones planteadas. 1) Al derivar la función 𝑦 = a) 𝑥 4 +2𝑥 3 +8𝑥 2 −16𝑥+3 (𝑥 2 +𝑥−1)2 b) 𝑥 4 +2𝑥 3 −5𝑥 2 −2 (𝑥 2 +𝑥−1)2 c) d) 𝑥 3 −𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 2 +𝑥−1 obtenemos: 𝑥 4 +2𝑥 3 +5𝑥 2 −2 (𝑥 2 +𝑥−1)2 𝑥 4 −2𝑥 3 +5𝑥 2 −2 (𝑥 2 +𝑥−1)2 2) Dada la función 𝑔(𝑦) = √7 − 𝑦 2 + 3𝑥 + 4𝑦 tenemos que: a) 𝑔′ (𝑦) = b) 𝑔′ (𝑦) = c) 𝑔′ (𝑦) = d) 𝑔′ (𝑦) = 𝑦−2 √𝑥+𝑦 2 −4𝑦+4 2𝑦−3 √𝑥+2𝑦 2 −6𝑦+4 3𝑦 2 +1 2√5𝑥+𝑦 3 +𝑦+4 2−𝑦 √3𝑥−𝑦 2 +4𝑦+7 𝑥−2 3) El valor de la primera derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥+3) es: a) − b) c) d) 3 (𝑥 −2)(𝑥 +1) 4 (𝑥 −2)(𝑥 +2) 5 (𝑥 −2)(𝑥 +3) 4 − 𝑥 −1 𝑥+3 ( )( ) 4) Al encontrar 𝑢′ (𝑥) dado que 𝑢(𝑥) = −3𝑒 −2−3𝑥 a) 18𝑥𝒆 tenemos: −3𝑥 2 −2 2 −1 b) 12𝑥𝒆−2𝑥 c) −12𝑥𝒆2𝑥 d) −12𝑥𝒆3𝑥 5) El resultado de a) b) c) d) 2 2 +4 2 +2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 donde 𝑦 = −2𝑥𝑆𝑒𝑛(6𝑥) está dado por: −18𝑥cos(6𝑥) − 3sen(6𝑥) −12𝑥cos(6𝑥) − 2sen(6𝑥) 12𝑥sen(6𝑥) − 2cos(6𝑥) 18𝑥sen(6𝑥) − 3cos(6𝑥) 3.5 Bosquejo de curvas Las derivadas se utilizan para obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente. Dada una función, podemos identificar si esta aumenta, disminuye o permanece constante dentro de un intervalo específico, esto es: Al utilizar derivadas debemos tener en cuenta lo siguiente: Dada una función continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] y derivable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏), se tiene el siguiente criterio. i) Si 𝑓 ′ (𝑥) > 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es creciente en [𝑎, 𝑏] ii) Si 𝑓 ′ (𝑥) < 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es decreciente en [𝑎, 𝑏] iii) Si 𝑓 ′ (𝑥) = 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏), entonces 𝒇 es constante en [𝑎, 𝑏] Veamos el siguiente ejemplo. 3 Determinar los intervalos sobre los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 es creciente o decreciente. Solución: Puesto que la función 𝑓(𝑥) es un polinomio de grado 3, entonces es continuo y derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de 𝑓, debemos resolver la ecuación 𝑓 ′ (𝑥) = 0 o identificar los puntos en donde 𝑓 ′ (𝑥) no existe. En efecto: Si 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑥 entonces 3𝑥 2 − 3𝑥 = 0 3𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥=0 ó 𝑥=1 Como no hay puntos para los cuales 𝑓 ′ no exista, se concluye que 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 son los únicos puntos críticos. En la siguiente tabla se resume la prueba de los tres intervalos que se forman con estos dos puntos críticos. Intervalo −∞ < 𝑥 < 0 Valor de prueba 𝑥 = −2 Signo de 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 ′ (−2) = 18 > 0 1 3 𝑓′ ( ) = − < 0 2 4 𝑓 ′ (2) = 6 > 0 Conclusión Creciente Decreciente Creciente 0<𝑥<1 𝑥= 1 2 1<𝑥<∞ 𝑥=2 3 Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 crece en los intervalos (−∞, 0) y (1, ∞), pero es decreciente en (0,1). Una función se dice que es estrictamente monótona sobre un intervalo si es creciente o decreciente en todo el intervalo, lo cual se observa en los siguientes dos gráficas. Criterio de la primera derivada Supongamos que c es un punto crítico de una función continua f que es continua en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), excepto posiblemente en el mismo c. Entonces 𝑓(𝑐) puede clasificarse así: i) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)). ii) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)). iii) Si 𝑓 ′ (𝑥) es positiva en ambos lados de c, o negativa en ambos lados de c, entonces el criterio no decide. Veamos el siguiente ejemplo. 1 Encuentre los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 el intervalo (0,2𝜋). 1 1 Solución: La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es 𝑓 ′ (𝑥) = 2 − cos 𝑥. Como 𝑓 es continua en el intervalo (0,2𝜋) los puntos críticos se encuentran 1 haciendo 𝑓 ′ (𝑥) = 0, esto es, 2 − cos 𝑥 = 0 1 cos 𝑥 = 2 1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos (2) 𝑥= 𝜋 3 ó 𝑥= 5𝜋 3 En la siguiente tabla se resume la prueba de los tres intervalos que se forman con estos dos puntos críticos en el intervalo (0,2𝜋). Intervalo 0<𝑥< Valor de prueba 𝑥= 𝜋 3 𝜋 5𝜋 <𝑥< 3 3 𝜋 4 𝑥=𝜋 Signo de 𝑓 ′ (𝑥) 𝜋 𝑓′ ( ) < 0 4 𝑓 ′ (𝜋) > 0 Conclusión Decreciente Creciente 5𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 3 7𝜋 𝑥= 4 7𝜋 𝑓′ ( ) < 0 4 Decreciente 𝜋 Puesto que 𝑓 ′ (𝑥) cambia de negativa a positiva en , entonces f tiene un mínimo relativo en 𝜋 𝜋 (3 , , 𝑓(3 , )). 3 Además, como 𝑓 ′ (𝑥) cambia de positiva a negativa en 5𝜋 5𝜋 , 3 5𝜋 entonces f tiene un máximo relativo en ( 3 , 𝑓( 3 )), lo cual se observa en el siguiente bosquejo de la gráfica. Concavidad La concavidad hace referencia a la forma en que se curva la gráfica de una función, se dice que la función 𝑓 en cóncava hacia arriba en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si 𝑓 ′ (𝑥) es creciente en (𝑎, 𝑏). Similarmente, se dice que la función 𝑓 en cóncava hacia abajo en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏), si 𝑓 ′ (𝑥) es decreciente en (𝑎, 𝑏). También se puede usar el siguiente criterio para las concavidades: i) Si 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 en (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba. ii) Si 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 en (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Punto de inflexión Es aquel en donde cambia de concavidad de la gráfica, el cual está dado para los valores que satisface la ecuación 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ó en donde 𝑓 ′′ (𝑥) no esté definida. Criterio de la segunda derivada Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 ′ (𝑐) = 0 y Si 𝑓 ′′ (𝑥) existe en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐. i) Si 𝑓 ′′ (𝑐) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)). ii) Si 𝑓 ′′ (𝑐) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (𝑐, 𝑓(𝑐)). iii) Si 𝑓 ′′ (𝑐) = 0, entonces el criterio no decide. Resolvamos el siguiente ejemplo: Trazar un bosquejo del gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10 Solución: En primera instancia buscamos los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión; es decir, buscamos los valores para los cuales 𝑓 ′ (𝑥) = 0 y 𝑓 ′′ (𝑥) = 0. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 12𝑥 2 𝑓 ′′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 24𝑥 Si 𝑓 ′ (𝑥) = 0, entonces 4𝑥 3 − 12𝑥 2 = 0 4𝑥 2 (𝑥 − 3) = 0 4𝑥 2 = 0 ó (𝑥 − 3) = 0 𝑥=0 ó𝑥=3 Si 𝑓 ′′ (𝑥) = 0, entonces 12𝑥 2 − 24𝑥 = 0 12𝑥(𝑥 − 2) = 0 12𝑥 = 0 ó (𝑥 − 2) = 0 𝑥=0 ó𝑥=2 En la siguiente tabla se resume la prueba de los cuatro intervalos que se forman con estos tres puntos. Intervalo −∞ < 𝑥 < 0 0<𝑥<2 Valor de prueba 𝑥 = −1 𝑥=1 Signo de 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 ′′ (−1) = −16 < 0 𝑓 ′′ (1) = −8 < 0 5 𝑓 ′′ ( ) = −12.5 < 0 2 𝑓 ′′ (4) = 64 > 0 Signo de 𝑓 ′′ (𝑥) 𝑓 ′ (−1) = 36 > 0 𝑓 ′ (1) = −12 < 0 5 𝑓 ′ ( ) = 15 > 0 2 𝑓 ′ (4) = 96 > 0 Monotonía creciente decreciente creciente creciente Curvatura cóncava hacia abajo cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba Conclusiones 2<𝑥<3 𝑥= 5 2 3<𝑥<∞ 𝑥=4 Hay un mínimo relativo en 𝑥 = 3 Hay dos puntos de inflexión en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 El siguiente gráfico bosqueja la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10 3.6 Aplicaciones de la derivadas Una vez que se han determinado los intervalos de crecimiento o decrecimiento, se pueden localizar los extremos máximos o mínimos de la función, a este proceso se llama Optimización y utiliza los criterios de la primera y segunda derivada descritos anteriormente. Veamos los siguientes ejemplos: 1) Se quiere hacer una caja abierta cortando pequeños cuadrados congruentes en las esquinas de una lámina de hojalata que mide 12 por 12 pulgadas, y doblando los lados hacia arriba. ¿Qué tan grandes deben ser los cuadrados que se corten de las esquinas para que la caja tenga la máxima capacidad posible? Solución: Empezamos por hacer un planteamiento gráfico del problema, que nos permita visualizar la situación. En la figura, los cuadrados de las esquinas tienen lados de 𝑥 pulgadas. El volumen de la caja es una función de esta variable y está dado por: 𝑉(𝑥) = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∙ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑜 = (12 − 2𝑥) ∙ (12 − 2𝑥) ∙ 𝑥 = 𝑥(12 − 2𝑥)2 = 4𝑥 3 − 48𝑥 2 + 144𝑥 Como los lados de la lámina tienen sólo 12 pulgadas de largo, entonces 𝑥 ≤ 6 y el dominio de 𝑉(𝑥) es el intervalo [0,6]. Ahora debemos maximizar la función volumen, para esto buscamos sus puntos críticos, en efecto: 𝑉(𝑥) = 4𝑥 3 − 48𝑥 2 + 144𝑥 𝑉 ′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 96𝑥 + 144 𝑉 ′′ (𝑥) = 24𝑥 − 96 Si 𝑉 ′ (𝑥) = 0, entonces 12𝑥 2 − 96𝑥 + 144 = 0 12(𝑥 2 − 8𝑥 + 12) = 0 12(𝑥 − 2)(𝑥 − 6) = 0 (𝑥 − 2) = 0 ó (𝑥 − 6) = 0 𝑥=2 ó𝑥=6 Luego, utilizamos el criterio de segunda derivada: 𝑉 ′′ (2) = −48 < 0, lo cual implica que hay un máximo relativo en 𝑥 = 2 𝑉 ′′ (6) = 48 > 0, lo cual implica que hay un mínimo relativo en 𝑥 = 6 Por lo tanto, el máximo volumen de la caja abierta es de 𝑉(2) = 4(2)3 − 48(2)2 + 144(2) = 128 pulgadas cúbicas, lo cual ocurre cuando los cortes cuadrados miden 𝑥 = 2 pulgadas por lado. 2) En la administración y economía, también podemos utilizar las derivadas, para ello, definiremos los siguientes conceptos: 𝑟(𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑢(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥) = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟 𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑥 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟 ′ (𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐 ′ (𝑥) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑢′ (𝑥) = 𝑟 ′ (𝑥) − 𝑐 ′ (𝑥) = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟(𝑥) = 𝑐(𝑥) Según lo anterior, si 𝑟(𝑥) = 9𝑥 y 𝑐(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 15𝑥, donde 𝑥 representa miles de unidades. ¿Cuál es el nivel de producción que maximice la utilidad? Solución: Debemos maximizar la función utilidad 𝑢(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥) = 9𝑥 − 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 15𝑥 = −𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥 Buscamos los puntos críticos, los cuales ocurren cuando 𝑢′ (𝑥) = 0, en este caso tenemos que 𝑢′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 12𝑥 − 6 = 0 la cual es una ecuación cuadrática con soluciones: 𝑥= −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −12 ± √(12)2 − 4(−3)(−6) −12 ± √72 = = = 2 ± √2 2𝑎 2(−3) −6 Luego, los niveles que permitirían maximizar la utilidad son 𝑥 = 0,586 miles de unidades, o 𝑥 = 3,414 miles de unidades. Ahora utilizamos el criterio de la segunda derivada, esto es: 𝑢′′ (𝑥) = −6𝑥 + 12 𝑢′′ (0,586 ) = −6(0,586 ) + 12 > 0, lo implica que hay un mínimo en 𝑥 = 0,586 𝑢′′ (3,414 ) = −6(3,414 ) + 12 < 0, lo implica que hay un máximo en 𝑥 = 3,414. Por tanto, al producir 3414 unidades se tendrá una máxima ganancia. 3.7 Actividad de profundización Realiza los siguientes ejercicios, entrégaselos a tu docente de y espera la respectiva retroalimentación. 1) Calcular la primera derivada de cada una de las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 + 3)6 3 b) 𝑔(𝑥) = √−2𝑥 3 − 8𝑥 2 ∓ 3𝑥 c) ℎ(𝑥) = 𝑒 𝑥 (7𝑥 2 + 4) d) 𝑢(𝑥) = 𝑥+2 𝑒 𝑥 −3 e) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2 f) 𝑦 = 𝑥 4 ln(𝑥) g) 𝑦 = 𝑥+ln(𝑥) 𝑥4 h) 𝑦 = ln(−6 + 4𝑥 2 ) 2) Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6000 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana es 𝑐(𝑥) = 50000 + 36000𝑥 − 300𝑥 2 + 10𝑥 3 . Encuentre la utilidad marginal cuando el número de unidades producidas es 10. 3) El costo semanal por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por c(𝑥) = 50000 − 2000𝑥 + 100𝑥 2 . a) ¿Cuál es el costo de producir 20 unidades? b) ¿Cuál es el costo marginal al producir 20 unidades? 4) Una compañía encuentra que su utilidad está dada por 𝑅(𝑝) = 2𝑝𝑒 −0.1𝑝 cuando cada unidad de su producto se vende a p dólares. Encuentre la utilidad marginal con respecto al precio cuando el precio es de 10 dólares. 5) Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima. 6) Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la 1 ecuación ℎ = − 4 𝑡 2 + 60𝑡, donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta. 7) Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido en él sea máximo?