Resuelve los siguientes problemas de optimización, aplicando el proceso de... 1. Halla el área del mayor triángulo isósceles que... FUNDACIÓN EDUCATIVA DE MONTELÍBANO

FUNDACIÓN EDUCATIVA DE MONTELÍBANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Cálculo 11 A
Jorge Montaño Silva
Resuelve los siguientes problemas de optimización, aplicando el proceso de derivación
1. Halla el área del mayor triángulo isósceles que se puede inscribir en una circunferencia de 10 cm de radio.
2. Halla el volumen del mayor cilindro circular recto que puede inscribir en una esfera de radio 12 cm.
3. Un afiche de profundidad debe incluir una parte impresa de 50 𝑝𝑢𝑙𝑔2 con márgenes de 4 pulgadas en las partes
superior e inferior y de 2 pulgadas a los lados. Halla las dimensiones del cartel que requiere menor cantidad de
material.
4. Un rectángulo está limitado por los ejes 𝑥, 𝑦 y la recta 𝑦 = 4 − 2𝑥. ¿qué dimensiones tendrá el rectángulo de mayor
área?
5. Un vendedor de seguros es capaz de vender x pólizas por semana a un precio de: 𝑃 = 200 − 0,01𝑥 pesos cada una.
Si el costo total es 𝑦 = 50𝑥 + 20000 pesos. ¿Cuántas pólizas de seguros debe vender para que la ganancia sea
máxima?
6. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular
recto de radio R y altura H.
7. Se quiere cercar un lote rectangular de 800 𝑚2 de área si uno de sus lados está sobre la orilla de un río,
¿Cuáles son las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea mínima?
8. Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen es de 125 𝑐𝑚3 . Hallar las dimensiones que
debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima?
9. Una lata de aceite debe tener un volumen de 100 pulgadas cúbicas, su forma es la de un cilindro con fondo plano y
cubierto por una semiesfera, como lo indica la figura. despreciando el material del espesor de la lata, determine las
dimensiones que minimizaran la cantidad del material necesario para fabricarla.
10. Un terreno rectangular tiene 400 𝑚2 y va a ser cercado. El precio del metro lineal de cerca es de 4€. ¿Cuáles serán
las dimensiones del lote que hacen que el costo de la cerca sea mínimo?
11. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana
que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5metros.
12. Un granjero tiene 960 metros de cerca para encerrar tres corrales idénticos adyacentes. ¿Qué dimensiones debe
tener cada corral para que el área cercada sea máxima?
x
x
x
y
y
y
FUNDACIÓN EDUCATIVA DE MONTELÍBANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Cálculo 11 A
Jorge Montaño Silva
13. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto
D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A
hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el
cable, para que el costo total sea mínimo?
14. Se va a producir un envase de lata de forma cilíndrica con tapa para que contenga 1 Litro (1000 cm3) de aceite.
Encuentre las dimensiones del envase que minimizara el costo del metal para fabricar la lata.
15. Una lámina de 420 cm de ancho debe doblarse por sus extremos en ángulos rectos para transportar agua. Calcular
las dimensiones que deben darse a los dobleces para que la capacidad sea máxima.
16. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular
recto de radio R y altura H.
17. Un terreno rectangular va a ser cercado. El material que necesita para dos de sus lados paralelos cuesta $ 120 por
cada metro lineal. Los otros dos lados paralelos serán cercados con un material que cuesta $ 200 por metro lineal.
Hallar las dimensiones del terreno de mayor área que pueda ser cercado con un costo de $18000.
18. El costo total de “x” unidades diarias de textos de matemáticas en una editoriales:
1
4
𝑥
4
𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 350𝑥 + 2500 pesos y el precio de venta de un solo texto es 500 − pesos. Calcular el número de
textos que se deben vender diariamente para que la ganancia sea máxima.
19. En un estudio de la secretaría de transporte de una ciudad se estableció que el precio p, en pesos del pasae en un
1
sistema de transporte masivo está dado por 𝑝 = − 100 𝑥 + 3500, donde x, es la cantidad de personas que utilizan el
sistema diariamente. Determinar el número de pasajeros que produce un ingreso máximo.
20. Una empresa determina que la producción de x unidades de un artículo genera un ingreso total de:
𝐼(𝑥) = −𝑥 2 + 200𝑥 y un costo total de 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 20𝑥 + 50 en miles de pesos.
a) Encontrar la utilidad máxima
b) Encontrar el costo medio mínimo