Criterio de la segunda derivada

Criterio de la segunda derivada
Dada una función continua en
podemos fácilmente determinar el comportamiento de la misma por medio
de la interpretación de derivadas aplicadas sobre ella. Particularmente suponga que f '  a   0
Si f ''(a)  0 entonces f fiene un mínimo local relativo en a
Si f ''(a)  0 entonces f fiene un máximo local relativo en a
Sin embargo, si f ''(a)  0 , el criterio no es concluyente, y f puede tener un máximo relativo, un mínimo
relativo, o no tener ningún extremo relativo en x  a
En ambos casos se puede observar que la primera derivada es nula en C
, y será más claro el análisis usando una función para mostrar que el comportamiento de su segunda derivada
en el o los puntos donde ocurre tal.
Por ejemplo, consideremos la función
y  x3  3x2  1
Su derivada será
y '  3x2  6x
Igualando a cero
3x 2  6 x  0
 x0
3x  x  2   0  
 x  2
Evaluando en la segunda derivada
y ''  6 x  6
y ''(0)  6   0   6  6  positivo  mínimo
y ''(2)  6   2   6  6  negativo  máximo
La idea básica de modelación parte en comprender el problema planteado y luego establecer una
situación algebraica que describa tal. La clave está en contar con un adecuado manejo de lenguaje algebraico
Ejercicios
En los siguientes problemas determine el máximo y mínimo si e que existen de la función dada en el
intervalo especificado
f  x   x2  4x  5; 3  x  1
1 1
f  x  x  ;  x  3
x 2
f  x   x3  3x2 1; 3  x  2
f  x 
1
f  x  x  ; x  0
x
1 3
x  9 x;0  x  2
3
f  x  2x 
f  x   x5  5x4  1;0  x  5
32
;x  0
x
f  x 
1
;x  0
x
f  x 
1
;x  0
x2
f  x    x 2  4  ; 3  x  2
f  x 
1
;x  0
x 1
x2
1
f  x 
; 2  x  
x 1
2
f  x 
f  x   3x5  5x3 ; 2  x  0
f  x   10x6  24x5 15x4  3; 1  x  1
5
1
 x  1
2
;x  0
En los siguientes problemas resuelva el problema de optimización y verifique usando el criterio de la
segunda derivada para encontrar el punto de máximo o mínimo, según corresponda.
1. Suponga que x años después de su fundación en 1978, cierta asociación nacional de


3
2
consumidores tenía un total de f  x   100 2 x  45 x  264 x integrantes.


¿En qué momento, entre 1978 y 1992, fue mayor el número de miembros de la
asociación?¿cuántos eran los afiliados en ese momento?
¿En qué momento, entre 1978 y 1992, fue menor el número de miembros de la
asociación?¿cuántos eran los afiliados en ese momento?
2. Una estación de radio que solo emite noticias ha realizado una encuesta sobre los hábitos de
escucha de los residentes locales entre las 17.00 y la medianoche. La encuesta revela que el
porcentaje de población adulta local que sintoniza la estación x horas después de las 5 pm es
f ( x) =
1
-2x 3 + 27x 2 -108x + 240 )
(
8
3. ¿ En que momento entre las 5:00 P.M. y la media noche escucha la emisora el mayor numero
de personas? ¿Que porcentaje de la población escucha en ese momento? ¿ en que momento
el menor número de personas?
4. Se tendera un cable desde una central eléctrica situada al lado de un rio de 900 metros de
ancho hasta una fabrica situada al otro lado del rio, 3000 metros rio abajo. El costo por tender
el cable bajo agua es de us$5 por metro y el costo sobre tierra es de US$4. Por metro . ¿cuál
es la ruta mas económica?
5. Cada maquina de cierta fabrica puede producir 50 unidades por hora. El costo de puesta en
marcha es de US$80 por maquina y el costo de operación es de US$5 por hora. ¿Cuantas
maquinas deben emplearse para producir 8000 unidades el menor costo posible? ( recuerde
que su respuesta debe ser un numero entero)
6. Se construirá un envase cilíndrico sin tapa para contener un volumen fijo de liquido. El costo
del material usado para la parte inferior es de 3 centavos de dólar por pulgada cuadrada y el
del lado curvado de 2 centavos de dólar por pulgada cuadrada. Determine una relación simple
entre el radio y la altura del envase menos costoso.
7. Se estima que el costo de construcción de un edificio de oficinas que tiene n pisos d altura es
C ( n ) = 2n2 + 500n + 600 miles de dólares. ¿cuántos pisos debería tener el edificio para
minimizar el costo medio por piso?
8. Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular con 25 cm2 de impresión
rodeados de márgenes de 2 cm a cada lado y 4 cm arriba y abajo. ¿cuáles son las dimensiones
de la piza de papel mas pequeña que puede utilizarse par hacer el cartel? ( elija los valores
apropiados para que los cálculos no sean tan complicados)
9.