Posición de un punto con respecto a un conjunto

CAPı́TULO 3
Posición de un punto con respecto a un conjunto
Tema 1.
Cerrados
Definición 3.1.1. Sea (X, T ) e.t. y sea C ⊂ X; diremos que C es un cerrado
de (X, T ) (o un T -cerrado) si X \ C es un T -abierto.
Observación 3.1.2. Es importante destacar que ser cerrado no es lo contrario
de ser abierto, sino que el complementario sea abierto. De hecho existen ejemplos,
como veremos a continuación, de conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados o
que no son ni abiertos ni cerrados.
Ejemplo 3.1.3. Consideremos a, b ∈ R (a < b) y los siguientes conjuntos en
(R, Tu ):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
R y ∅ son cerrados (y abiertos).
[a, b] es cerrado (y no es abierto).
(a, b) no es cerrado (y es abierto).
(a, +∞) y (−∞, b) no son cerrados (y sı́ abiertos).
[a, b) y (a, b] no son cerrados (ni abiertos).
[a, +∞) y (−∞, b] son cerrados (y no abiertos).
Ejercicio 3.1. ♠ En un espacio topológico discreto todos los subconjuntos son
cerrados.
Ejercicio 3.2. ♠ Demuestra que [a, b) ⊂ R es un conjunto abierto y cerrado
en la topologı́a S de Sorgenfrey.
Ejercicio 3.3. ♠ Sea (X, d) un espacio pseudométrico y (X, T (d)) es su espacio topológico asociado, entonces para todo x0 ∈ X y ε ≥ 0 se tiene:
1. Dd (x0 ; ε) es cerrado.
2. Sd (x0 ; ε) es cerrado.
Demuestra además que {x} es cerrado ∀x ∈ X si y solo si d es una métrica.
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3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO
Observación 3.1.4. Dado que la aplicación distancia no tiene por qué alcanzar todos los valores reales positivos, la bola abierta y la bola cerrada pueden
coincidir y, por lo tanto, una bola abierta puede ser un conjunto cerrado y una
bola cerrada puede ser un conjunto abierto. Por ejemplo, si δ es la métrica discreta
y x ∈ X, se tiene que Bδ (x; 12 ) = Dδ (x; 12 ) y ası́, tanto Bδ (x; 21 ) como Dδ (x; 12 ) son
abiertos y cerrados.
Reformularemos una vez más la definición de aplicación continua desde el punto
de vista de los conjuntos cerrados.
Proposición 3.1.5 (continuidad(10)). Sean f : X → Y una aplicación y
(X, TX ) e (Y, TY ) e.t. Entonces, f es continua si solo si ∀C ⊂ Y TY -cerrado se
tiene que f −1 (C) es TX -cerrado.
Propiedades 3.1.6 (homeomorfismos (continuación de Propiedades 2.1.7)).
Si f : X → Y es una aplicación biyectiva, entonces son equivalentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
f es homeomorfismo.
∀D ⊂ Y , D es cerrado si y solo si f −1 (D) es cerrado.
∀C ⊂ X, C es cerrado si y solo si f (C) es cerrado.
La aplicación f˜ : CX → CY , definida por f˜(C) := f (C), es una biyección.
Ejercicio 3.4. ♠ Sea f : R \ {a1 , ..., ar } → R una aplicación que sea continua
y de modo que en los puntos ai , la aplicación f tenga ası́ntotas verticales; es
decir, ∀M > 0 ∃ε > 0 de modo que ∀x ∈ (ai − ε, ai + ε) se tiene que |f (x)| >
M . Intuitivamente, que cerca de ai , las imágenes se hacen todo lo grande que
queramos. Demuestra que
Γf := (x, f (x)) | x ∈ R \ {a1 , ..., ar } ⊂ R2
(también llamado el grafo de f ) es un cerrado de R2 .
Propiedades 3.1.7 (Cerrados). Sea (X, T ) e.t. y denotemos por CT ⊂ P(X)
la colección de los T -cerrados de X, entonces CT satisface las siguientes propiedades:
(C1) ∅, X ∈ CT .
T
(C2) Si {Cλ }λ∈Λ es una familia de elementos de CT , entonces λ∈Λ Cλ ∈ CT .
(C3) Si C1 , C2 ∈ CT , entonces C1 ∪ C2 ∈ CT .
S
(C3b) Si {Ci }ni=1 es una familia finita de elementos de CT , entonces ni=1 Ci ∈ CT .
Estas propiedades se deducen esencialmente de las leyes de Morgan, ver Propiedades A.1.3(8) y Propiedades A.3.3(5). Análogamente al caso de abiertos, (C3) es
equivalente a (C3b).
TEMA 1. CERRADOS
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Del mismo modo se cumple el recı́proco.
Proposición 3.1.8. Sea X un conjunto cualquiera y C ⊂ P(X) una familia
de subconjuntos de X que verifica (C1), (C2) y (C3), entonces existe una única
topologı́a T sobre X cuya familia de T -cerrados es C (es decir C T = C).
A veces es más sencillo describir la familia de cerrados que la propia topologı́a
(es decir, la familia de abiertos). Este es el caso en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.1.9. Sea X un conjunto cualquiera y sea Ccf ⊂ P(X) la colección
de los subconjuntos finitos de X y el espacio total:
(3.1)
Ccf := PF (X) ∪ {X},
ver Ejercicio A.24. Veamos que Ccf verifica las tres propiedades (C1), (C2) y (C3):
(C1) Es consecuencia de que ∅ ∈ PF (X) y de que X ∈ Ccf por definición (3.1).
(C2) Sea {Cλ }λ∈Λ una familia de elementos de Ccf . Si Cλ = X ∀λ ∈ Λ, entonces
∩λ∈Λ Cλ = X ∈ Ccf . En otro caso ∩λ∈Λ Cλ está contenido en un conjunto
finito, y por tanto es finito (Proposición A.5.4).
(C3) Sean C1 , C2 ∈ Ccf . Si alguno es el total, entonces C1 ∪ C2 = X ∈ Ccf .
En otro caso ambos son finitos, y por tanto su unión es finita por la
Propiedad A.5.18(2).
Por lo Proposición 3.1.8 existe una única topologı́a (a la que llamaremos topologı́a
cofinita de X) cuyos cerrados sean la familia Ccf .
Análogamente podemos razonar si sustituimos finito por contable. En tal caso
obtenemos la llamada topologı́a conumerable.
Ejercicio 3.5. ♠ Demuestra que (R, Tcf ) 6≈ (R, Tcn ). (Indicación: Comprueba que el cardinal de los conjuntos cerrados debe ser invariante por homeomorfismo).
Ejercicio 3.6. ♠ Sea C ⊂ Rn un cerrado de Rn . Demuesta que C × Rm es
un cerrado de Rn+m . Deduce de esto que si C1 ⊂ Rn un cerrado de Rn y C2 ⊂ Rm
un cerrado de Rm entonces C1 × C2 := {(x1 , ..., xn , xn+1 , ..., xn+m ) | (x1 , ..., xn ) ∈
C1 ∧ (xn+1 , ..., xn+m ) ∈ C2 } ⊂ Rn+m es un cerrado de Rn+m .
Veamos como los cerrados se pueden utilizar para determinar propiedades topológicas.
Ejercicio 3.7. ♠ Demuestra que (R, Tu ) 6≈ (R, S).
Para probar el ejercicio utilizamos el resultado siguiente.
Lema 3.1.10. En (R, Tu ) no existen subconjuntos propios abiertos y cerrados.