Proyecto Eratóstenes

Proyecto Eratóstenes
Fundamentación y objetivo
Hace 2200 años el astrónomo griego Eratóstenes efectuó la primera medición de la
circunferencia de la Tierra.
Ya en ese momento él suponía que la Tierra era esférica y se propuso probarlo calculando su
perímetro y luego el radio de la misma.
Eratóstenes escribió un libro sobre esta medición, que justamente se llamaba “Sobre la medición
de la Tierra”. Este texto se ha perdido pero conoció su existencia y el resultado de esta medida
por otros astrónomos.
Nosotros nos propusimos, junto con otras escuelas de América y Europa, por iniciativa del
Departamento de Física de la Universidad de Buenos Aires, repetir esa medición utilizando
fundamentalmente las mismas herramientas que el propio Eratóstenes utilizó: el Sol, la form a de
la Tierra, la sombra de una varilla y un poco de matemática más moderna de la que fue utilizada
en ese momento.
Procedimiento
Mirando la siguiente figura observamos que el arco de
circunferencia y ángulo al centro son directamente proporcionales.
Eratóstenes sabiendo esto pensó que si fuese posible medir el
ángulo al centro y el arco de circunferencia en donde incide ese
ángulo el problema de medir la circunferencia de la T ierra estaría
resuelto porque utilizaría para ello fórmulas matemáticas que
utilizaran esos datos medidos.
¿Como medir, entonces, el ángulo al centro?
Eratóstenes utilizó un dato muy particular : la sombra de una varilla en el mediodía solar .
En la ciudad de Siena el día del solsticio de verano (20 de junio en el hemisferio norte) , al
mediodía, el Sol se reflejaba en el fondo de un pozo, es decir que en ese lugar y en ese momento
el Sol llegaba en forma bien vertical.
Ese mismo día y a la misma
hora en Alejandría, donde
vivía Eratóstenes, el Sol se
encontraba inclinado de 7°
respecto a la vertical y una
varilla mostraba una sombra.
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Con un razonamiento geométrico muy simple utilizando dos paralelas cortadas por una
transversal, Eratóstenes mostró que ese ángulo de 7° es exactamente igual al ángulo al centro
que quería medir él porque son ángulos alternos internos.
La figura nos muestra esto:
De esta manera visto que el ángulo de 7° es
aproximadamente 50 veces menor que el de 360° ,
consideró que la distancia entre Siena y Alejandría
es 50 veces menor que toda la circunferencia de la
Tierra.
Por esto, midiendo la distancia entre las dos
ciudades se puede aplicar la ecuación:
Ángulo medido = distancia entre las ciudades
360º
Perímetro de la Tierra
Eratóstenes llegó así a calcular el tamaño de la Tierr a: su perímetro y a través de él, su radio, ya
que:
Perímetro de la circunferencia = 2 . Π . Radio
La medición de Eratóstenes hoy
Para repetir la experiencia de Eratóstenes en la actualidad no es necesario estar en Alejandría o
Siena ni mucho menos hacer la medición el día del solsticio. Los requisitos son mínimos. Es
necesario que haya dos localidades donde se mida la sombra de una varilla y estén separadas
por lo menos por 400 km. La medición se tiene que realizar en el momento en que el Sol proyecte
la menor sombra en el lugar, ese momento no necesariamente es el mediodía.
La menor sombra depende del lugar y del día, no ocurre siempre a la misma hora.
Cualquiera sea el día del año del que se trate, el mediodía en el lugar donde uno se encuentra es
el momento del día en el que el sol alcanza su altura máxima en el cielo. Lo ideal es realizar las
mediciones unos días antes del solsticio del 21 de septiembre.
Para determinarlo, se debe clavar la varilla con la que se hace la medición en el piso, sobre una
madera o sobre un telgopor, asegurándose de que esté perfectamente vertical usando una
plomada o un nivel de carpintero.
Se mide el largo de la parte de la varilla que no ha quedado bajo el piso. Cuando la mañana esté
suficientemente avanzada, se comienza a medir la longitud de la sombra de la varilla a intervalos
regulares. La sombra va a ir disminuyendo a medida que se acerque el mediodía y luego,
comenzará a aumentar, cuando el mediodía ya haya pasado. La longitud más corta que se haya
medido es el largo de la varilla que entra en la ecuación para el cálculo del ángulo .
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Nosotros la medimos en la escuela tomando mediciones cada 15 min, y representando luego los
valores obtenidos y, de esa forma, determina mos a qué hora del día la sombra proyectada por la
varilla es la menor.
120
Longitud
(cm)
115
110
105
100
95
11
11.5
12
12.5
13
13.5
Tiempo
14
(horas)
El valor obtenido fue 12:45
Realizamos cada medición varias veces (tomando los valores todos los alumnos del Taller ) y
calculamos luego el valor promedio para minimizar el error cometido al medir.
Eratóstenes tuvo suerte porque conocía un lugar en donde el sol caía en forma exactamente
vertical al mediodía. Nosotros pudimos hacer el experimento sin saber dónde hay un lugar así,
pero considerando que en fecha dada (cercana al 21 de septiembre) el sol cae
perpendicularmente al Ecuador terrestre.
Para realizar las mediciones, nos asociamos con otra escuela pero a una cierta distancia al norte
o al sur (a la que llamamos d) del lugar de nuestra escuela.
Una vez establecido cuál es la escuela “socia”, los chicos de la otra escuela y nosotros medimos
el largo y la sombra de una varilla , plomada vertical o estaca y compartimos el resultado de la
medición. Compartimos también cuál es la distancia entre cada escuela y el Ecuador y cuál es el
valor del ángulo determinado entre la altura de la varilla y su sombra. Esto lo calculamos
utilizando funciones trigonométricas (específicamente tangente del ángulo)
Tg α = cateto opuesto (la longitud de la sombra) / cateto adyacente al ángulo (la longitud de la varilla)
Los alumnos de cada escuela medimos el ángulo que forman los rayos del sol con la vertical al
mediodía en el lugar donde está su escuela.
Idealmente, ambas escuelas deben medir este ángulo el mismo día.
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El experimento va a funcionar mejor cuanto mayor sea la distancia entre ambas escuelas. Los
ángulos que se necesita determinar son θN y θS.
Después de medir distancias y ángulos utilizamos la fórmula para calcular el perímetro de la
Tierra:
Ángulo medido = distancia entre las ciudades
360º
Perímetro de la Tierra
Con ese valor aplicamos la ecuación:
Perímetro = 2 𝝅 R
Donde R es el radio de la Tierra.
En este caso la distancia d en la primera ecuación debe ser la distancia norte-sur entre las
escuelas. Una manera sencilla de determinar esta última es conocer la distancia
entre cada escuela y el Ecuador (será provista por los organizadores en el momento de la
inscripción de la escuela).
Otra posibilidad es utilizar un mapa y medir sobre el mismo la distancia entre las latitudes
correspondientes a las localidades de las dos escuelas. Este procedimiento puede realizarse
también utilizando el Google Earth.
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Si las escuelas son de Hemisferios diferentes se s uman distancias y ángulos medidos por cada
una.
Si ambas escuelas son del mismo Hemisferio la distancia al Ecuador y los ángulos se restan
entre sí.
Resultados obtenidos

Instituto San Cayetano, Liniers, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina

Escuela Santo Domingo Savio, Úbeda, Jaén, España
Resultados en días coincidentes:
12-sep-12
12-sep-12
España
varilla (cm)
ÚBEDA
SanCa
98,3
127
Valor “real”:
sombra (cm) d Ecuador (Km)
alfa (o)
66,3
99,2
4227,14
3847,23
suma (Km)
8074,37
RmT (Km): 6371
34,00
38,00
suma (rad) Valor medido:
1,256494
6426,1 km
0,87
13-sep-12
13-sep-12
España
varilla (cm)
ÚBEDA
SanCa
Argentina
98,3
126
Valor“real”:
sombra (cm) d ecuador (Km)
alfa (o)
67,1
97,9
4227,14
3847,23
suma (Km)
8074,37
% error
RmT (Km): 6371
34,32
37,85
suma (rad) Valor medido:
1,2595038
6410,8 km
0,62
Valor
“real”:
14-sep-12
14-sep-12
España
varilla (cm)
ÚBEDA
SanCa
Argentina
98,3
126
sombra (cm) d ecuador (Km)
65,4
97,93
4227,14
3847,23
suma (Km)
8074,37
% error
RmT (Km):
6371
alfa (o)
33,64
38,21
suma (rad) Valormedido:
1,2477599
6471,1 km
1,57
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% error
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Análisis de resultados
Participaron del proyecto 275 escuelas de diversos lugares de Argentina, Brasil, Perú, Paraguay,
Uruguay, Chile, México, Venezuela y España.
Nos asociamos a tres escuelas distantes más de 400 km:

Escuela Santo Domingo Savio, Úbeda, Jaén, España

Escuela Paideia, Mérida, Venezuela

EPEM 17, Villa La Angostura, Neuquén, Argentina
Coincidimos en las mediciones realizadas sólo con la escuela española. El colegio de Villa La
Angostura no pudo realizar mediciones por condiciones climáticas adversas, ya que nevó y llovió
durante las dos semanas en las que hemos medido.
La escuela de Venezuela comenzaba sus clases el día lunes 17 de septiembre y hasta ese
momento no podía realizar sus mediciones.
El colegio de España, si bien comenzaba sus clases también el día lunes 17, reunió a los
alumnos participantes del proyecto desde una semana antes. Así fue que coincidimos en las
medidas realizadas los días 12, 13 y 14 de septiembre.
El día en que realizamos en conjunto una mejor medición fue el jueves 13, cometiendo sólo un
0,62% de error.
Conclusión
Siguiendo el método de Eratóstenes pudimos medir el radio de la Tierra obteniendo un valor de
6410,8 km. El valor real aceptado hoy en día es 6371,0 km . Nuestra medición fue un éxito, ya
que se informó solamente un 0,62% de error respecto del valor real.
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Anexo
Fotos de algunos grupos participantes de l proyecto
Instituto San Cayetano,
Ciudad de Buenos Aires, Argentina
Instituto Santo Domingo Savio.
Úbeda, Jaén, España.
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Instituto Marechal Rondon, Río de Janeiro, Brasil
Escuela Vicente Heredia
Las Salinas, Tucumán, Argentina
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Proyección
Es nuestra intención volver a realizar las mediciones el próximo año participando nuevamente del
proyecto.
Datos a tener en cuenta, mejoras:

Utilizar una varilla de menor longitud, pues comparando con las mediciones realizadas por
otras escuelas pudimos comprobar que cuanto menor es la longitud de la varilla es
también menor el error cometido.

Realizar la medición varios alumnos a la vez con dispositivos individuales, antes de enviar
el valor promedio de las mediciones a la escuela “socia”. De esta forma la participación de
los alumnos que componen el Taller es mayor y cada uno puede realizar cada día una
medición más exacta “compitiendo” así también alumnos de la misma escuela entre sí.

Elaborar un programa informático, junto con el profesor de la asignatura, que permita
realizar en Excel los cálculos que realizamos esta vez manualmente.

Comenzar con la preparación del proyecto meses antes para minimizar las dificultades al
momento de realizar las mediciones durante el mes de septiembre.
Agradecimiento especial

A Nazarena y Esteban, que nos acompañaron cada día, reuniéndonos para realizar la
tarea de medir.

A Dante, Julio y Marcelo que nos prepararon el material de trabajo y cuidaron del mismo
durante más de 15 días para que podamos medir satisfactoriamente.

A los directivos de la escuela que nos permitieron participar del proyecto.
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