maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 12

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.12
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definición de Variables aleatoria continua.
Definir función de densidad y de distribución.
Calcular e interpretar el valor esperado y varianza
III. Síntesis esquemática de Contenidos
1. Variables aleatorias continuas. Función de probabilidad y de densidad, ejemplo.
2. Cálculo y aplicabilidad de valor esperado y varianza de una distribución de variable
continua, ejemplo
IV. Actividades ( individuales o grupales)
1. El plomo, como muchos otros elementos, está presente en el medio natural. La revolución
industrial y la llegada del automóvil han incrementado la cantidad de plomo en el medio hasta el
punto de que, en algunos individuos, la concentración de plomo puede alcanzar niveles peligrosos.
Un estudio de campo sugiere que la concentración X de plomo en partes por millón en la corriente
sanguínea de un individuo es una variable normal con media 0’25 y desviación típica 0’11. Una
concentración superior o igual a 0’6 partes por millón se considera extremadamente alta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente posea una
concentración de plomo de esta categoría?
b) En una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos pueden
pertenecer a esa categoría de riesgo?
c) ¿Qué porcentaje aproximado de individuos tienen concentraciones de plomo inferiores a
0’45? ¿Qué porcentaje posee una concentración superior a 0’15?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo, tomado al azar, tenga una concentración de
plomo entre 0’30 y 0’50?
e) En una población de 7 millones de habitantes, ¿aproximadamente cuántos tendrán una
concentración de plomo entre 0’10 y 0’45?
f) ¿Qué porcentaje de la población tiene una concentración de plomo que se diferencie de la
media en menos de 0’1 partes por millón?
g) ¿Cuál es la concentración de plomo por encima de la cuál está únicamente el 10% de la
población?
h) ¿Cuál es la concentración de plomo por debajo de la cuál está únicamente el 5% de la
población?
2. Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de un mismo
microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho microorganismo. Se observa que, en
general, 4 de cada 10 mueren antes de que el compuesto haya surtido efecto. Calcula la
probabilidad de que:
a) Mueran entre 60 y 90 ejemplares.
b) Mueran menos de la mitad.
c) Mueran más de 30 ejemplares.
3. La media de accidentes con un cierto impacto medioambiental que se produce en un cierto país
a lo largo de un año es de 25. Suponiendo que el número de accidentes es una variable de Poisson,
se pide:
a) Probabilidad de que un año haya exactamente 30 accidentes.
b) Porcentaje de años en los que se esperan menos de 30 accidentes.
c) Probabilidad de que un año haya entre 20 y 40 accidentes.
2. Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de un
mismo microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho microorganismo. Se observa
que, en general, 4 de cada 10 mueren antes de que el compuesto haya surtido efecto. Calcula la
probabilidad de que:
a) Mueran entre 60 y 90 ejemplares.
X=B(120, 0’4). Tendríamos que calcular
P(60  X  90)  P( X  60)      P( X  90)
Lo más práctico, entonces, es aproximar por una normal. Concretamente,   np  48,
  npq  120 0'4  0'6  5'37 . Es decir, aproximamos
X  N (48,5'37)
Con la corrección por continuidad,
90'5  48 
 59'5  48
P60  0,5  X  90  0,5  P
z
  P2'14  z  7,91 
5'37 
 5'37
 P( z  7'91)  P( z  2'14)  1  0'9838 0,0162
b) Mueran menos de la mitad.
Querríamos calcular P( X  60) . Aproximando por la normal, y con la corrección por
continuidad, se tiene
60  0,5  48 

P( X  60  0,5)  P z 
  Pz  2'33  0,9901
5'37


c) Mueran más de 30 ejemplares.
Querríamos calcular P( X  30) . Aproximando por la normal, y con la corrección por
continuidad, se tiene
30  0,5  48 

P( X  30)  P z 
  P( z  3,4)  P( z  3,4)  0,9997
5'37


3. La media de accidentes con un cierto impacto medioambiental que se produce en un cierto
país a lo largo de un año es de 25. Suponiendo el número de accidentes es una variable de
Poisson, se pide:
a) Probabilidad de que un año haya exactamente 30 accidentes.
Vamos a resolver el ejercicio aproximando por una normal. En este caso,     25 ,
    5 . Por lo tanto,
X  N (25,5)
En consecuencia, con la corrección por continuidad
30'5  25 
 29'5  25
P( X  30)  P(30  0,5  X  30  0,5)  P
z

5
5


 P(0'9  z  1,1)  P( z  1,1)  P( z  0,9)  0,8643 0,8159  0,0484
b) Porcentaje de años en los que se esperan menos de 30 accidentes.
Con la corrección por continuidad,
29'5  25 

P X  30  0'5  P z 
  P( z  0,9)  0,8159
5


Por lo tanto, 81’59%
c) Probabilidad de que un año haya entre 20 y 40 accidentes.
Con la corrección por continuidad,
P20  0,5  X  40  0,5  P 1,1  z  3,1      0,8633
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
Variables aleatorias continuas.
Muchas de las variables observadas en la vida real no son discreta sino mas bien
continuas, pero para una variable aleatoria continua (v.a.c) no tiene sentido hacer una suma de
las probabilidades de cada uno de los términos como en el caso de una variable aleatoria discreta
(v.a.d), ya que el conjunto de valores que puede tomar la variable es no numerable. Sabes que
esta variable resulta de medir y no contar por tanto, es un continuo de valores que seria infinito
para una suma, gráficamente la probabilidades de una v.a.d. están dispuestos puntualmente, el
caso de la v.a. es una gráfica continua, por esto se generaliza la sumatoria a una integral. De este
modo es necesario introducir un nuevo concepto que permitan trabajar con las v.a.c.
Función de densidad de una v.a. continua: Sea F(x) la función de distribución de la v.a.c X
entonces la función de densidad será f(x) tal que
f ( x) 
dF( x)
dx
x
 F ( x) 
 f (t )dt

Gráficamente el área acumulada bajo la curva entre -  y x es igual a F(x), suponiendo la
grafica de f(x) como :
Como sabes que la función de distribución F(x) fue definida como F(x)=P( X  x ), luego el
área achurada mide la probabilidad que X sea menor o igual al valor x, en forma mas rigurosa:
La probabilidad de que la variable X tome los valores entre x0 y x0 + h es
P(x0 X x0+h) y corresponde al área bajo la curva en el intervalo [x0 , x0 + h]. La función
correspondiente a esta curva, y = f(x) será la función de densidad.
Propiedades de la Función de densidad: Sea función y = f(x) es una función de densidad de una
variable aleatoria continua X entonces :
1. 0  f ( x)  1
b
2. P(a  X  b) 
 f (t )dt
a

3.
 f (t )dt  1

Función de Distribución: En general, la función de distribución de una variable aleatoria continua
X es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X. Si X es
una variable aleatoria continua con valores en un intervalo [a, b], entonces F(x) será la
probabilidad de que la variable X alcance el valor x. (La Función de distribución F, calculada a
partir de la función de densidad f.)
x
F ( x )  P( X  x ) 
 f (t )dt

Propiedades de la Función de distribución: Sea función y = f(x) función de densidad de una
variable aleatoria continua X y F(x) la función de distribución.
1. 0  F ( x)  1
x
2. F ( x)  P( X  x) 
 f (t )dt

3. P(a  X  b)  F (b)  F (a)
Es decir, la función de distribución F(x) es una primitiva de la función de densidad f(x), o
dicho de otra forma, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.
Indica la probabilidad de que la variable aleatoria continua X sea menor o igual que un
valor dado, es decir, proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de
la variable.
Media y Varianza: Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas, se definen la esperanza matemática o media  , la varianza  y la desviación típica  de
una variable aleatoria continua de la siguiente forma :

  E( X )   x  f ( x)dx
Media:


varianza :
   ( x   ) 2  f ( x)dx
2

Observación : Por ser f una función integrable, la probabilidad de un punto es nula:
a
P( X  a)  P(a  X  a)   f ( x)dx  0
a
y por ello al calcular la probabilidad de un intervalo no afectara nada el que este sea abierto o
cerrado por cualquiera de sus extremos, pues estos son puntos y por tanto de probabilidad nula:
P(a  X  b)  P(a  X  b)
Ejemplos:
1. Para la siguiente función, f ( x ) 
1 2
x cuando 0 x  3 , f(x) = 0 para cualquier otro valor:
9
a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.
b) Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y
desviación estándar.
c) Determine la probabilidad de que 1 x  2.
a) Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que
cumpla con las características que se habían mencionado.
1. x  sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3
2. f(x) 0, lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x),
dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero.
x
f(x)
0
0.0
0.5 0.02778
1.0 0.11111
1.4 0.21778
2.1 0.49
2.7 0.81
3.0 1.0
3. Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada
valor de x es de 1,
se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:

A


3
2 1
3
3
1 2
1 x
1
1
f ( x )dx   x dx  (
) 
(3  0 ) 
( 27  0 )  1
9
9 2 1
27
27
0
A= área bajo la función
Con las operaciones anteriores comprobamos que la función
probabilidad continua.
b) Cálculo de media y desviación estándar.
1 2
x sí nos define una distribución de
9

3
4
3
1 3
1 x
   x * f ( x )dx   x( 19 x )dx   x dx  ( ) 
9
9 4

0
0

1 4 4
1
81
( 3  0 )  ( 81 0 ) 
 2.25
36
36
36

2
2
3
2
2
1
9
2
   ( x   )* f ( x )dx  ( x  2.25 )*( x )dx 

3
0
3
4
3
2
1 2
x
x
5.0625x
  ( x  4.5 x  5.0625)( x )dx   (


)dx 
9
9
2
9
0
0
2
5
4
x
x


45
8

3
5.0625x

27
5
4
243 81 136 .6875
 
 5.4  10.125  5.0625  0.3375
45 8
27
2
    0.3375  0.5809
Las barras
3
(3) (3)
5.0625( 3 )




45
8
27
nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.
c)
2
p( 1  x  2 )  
1
3
2
3
3
1 2
1 x
1 2
0
1 8
8
f ( x )dx   x dx  (
)  (

) ( )
 0.2963
9
9
3
9
3
3
9
3
27
1
La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.
Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables
de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de
valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y
entre el rango de valores definidos por la variable x.
2. Suponga que el error en el tiempo de las tandas comerciales, en minutos, para una cierta serie
de programas es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de
probabilidad: f ( x ) 
x2
, para -1 x  2
3
y f(x) = 0 en cualquier otro caso
a) Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua.
b) Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.
c) Encuentre la probabilidad de que 0 x  1.
a) Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de
los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera:
x2
1 x3
1 23  13
8 1 9
dx

(
)

( 
)    1
1 3
3 3
3 3
3
9 9 9
2
A
b)

2
2
x2
x3
1 x4
  E( x )   x * f ( x )dx   x( )dx   dx  ( ) 
3
3
3 4

1
1
1 2 4  14
16 1 15
 (

)  
 1.25
3 4
4
12 12 12
1
c)
p( 0  x  1 )  
0
x2
1 x3
1 13 03
1 1 1
dx  ( )  (  )  *   0.11111
3
3 3
3 3 3
3 3 9
Ejercicios:
1. Sea X una variable aleatoria que representa el peso (en onzas) de un artículo, con función de
densidad.
x  8 8  x  9

f ( x )  0  x 9  x  10
 0
O.C.

El fabricante vende el artículo a $200. Garantiza el reintegro del precio de venta si el peso
del articulo es inferior a 8.25 onzas. El costo de producción es función de peso, C = 5 * X, otros
costos menores suman $30.
a. Determine la función del costo y de la utilidad.
b. Encuentre la utilidad esperada por el fabricante.
c. ¿Cuál es la variación del costo y de la utilidad?
2. La función de densidad de la variable aleatoria X, diámetro final de un cable eléctrico blindado,
esta dado por
( x  0,7) / a

g ( x)  (0,8  x) / a

0

0,7  x  0,75
0,75  x  0,8
O.C.
a. Determine la constante a.
b. Establezca la función generadora de momentos.
c. Calcule E(x) y V(x)
d. P(0,74.<X<.0.85) =?.
3.Suponga que la duración de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua con función
de densidad
100

x  100
h( x )   x 2
 0
O.C.
a. Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todavía
funciona después de 150 horas de servicio?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan tres de esos tubos en un conjunto, exactamente
uno tenga que ser substituido después de 150 de horas servicio?
c. ¿Cuál es el número máximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya
una probabilidad de 0.5 de que después de 150 horas de servicio funcionen todavía
VII. Glosario
Links de interés