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Teoría de estructuras y restauración en el siglo XVIII: la cúpula de San Pedro de Roma Gema López Manzanares DESCRIPTORES CÚPULAS ARCOS BÓVEDAS FÁBRICA CÁLCULO DE ESTRUCTURAS HISTORIA ANÁLISIS LÍMITE RESTAURACIÓN El siglo XVIII fue el siglo de la Revolución Científica, de la Ilustración. En él la ciencia evolucionó de forma asombrosa, apoyada en el método experimental y la mentalidad racionalista. Cualquier aspecto de la realidad era objeto de interés para los nuevos científicos y así nació la teoría moderna de estructuras, basada en las leyes de la Mecánica y la Resistencia de Materiales, que sustituiría a la antigua teoría basada en la utilización de reglas geométricas de proporción. Resulta de sumo interés estudiar la transición de una a otra teoría en el problema de la estabilidad de la cúpula de la basílica de San Pedro de Roma. La construcción del templo se prolongó durante todo el siglo XVI, interrumpida continuamente por la muerte de los responsables de la obra, las guerras y los problemas económicos. La cúpula fue proyectada y comenzada por Miguel Ángel en torno a 1546, pero sería concluida por Domenico Fontana y Giacomo Della Porta, que levantaron sus dieciséis costillas y doble cáscara en tan solo dos años, de 1588 a 1590. Ya a principios del siglo XVII empezaron a descubrirse daños en la fábrica, principalmente una grieta meridional en la cúpula sobre el pilar de la Verónica; pero la alarma no se produjo hasta finales del siglo, lo que obligó al Papa a convocar a los expertos para que inspeccionasen el edificio y emitieran un juicio sobre su estado. La conclusión de Mattia y Gio Antonio de Rossi y Carlo Fontana, y del posterior análisis de Baldinucci, fue que la cúpula no corría ningún peligro y que sus daños, debidos al asiento, eran frecuentes en este tipo de bóvedas. 48 I.T. N.O 57. 2001 Los ecos sobre la posible ruina de la cúpula de San Pedro llegaron, sin embargo, hasta la segunda mitad del siglo XVIII. Parece ser que los daños realmente se habían agravado: los contrafuertes se habían separado del tambor y en los gajos había visibles grietas meridionales. De nuevo los expertos empezaron a inspeccionar la cúpula y a escribir informes, cerca de treinta, entre los cuales dos ocupan un lugar de honor en la historia del cálculo de estructuras: el Parere de los matemáticos Boscovich, Le Seur y Jacquier y las Memorie de Poleni. El interés de todos estos informes no es solo histórico, también resultan fundamentales las referencias a la teoría de arcos, bóvedas y cúpulas de ese momento y las decisivas aportaciones a la misma que se produjeron en ese debate, y que permiten comprender las vacilaciones, los aciertos y desaciertos a la hora de interpretar los daños de una estructura real y elaborar un modelo de análisis. Los informes previos al Parere di tre mattematici Vanvitelli, Brunetti y Sante Santini publicaron sendos informes sobre el estado de la cúpula de San Pedro a finales de 1742. En los tres se atribuían los daños al empuje, no al asiento como decía la antigua teoría, y aunque ninguno llegó a evaluar cuantitativamente el empuje, los tres relacionaron correctamente los daños con los movimientos relativos de cúpula y contrarresto. Vanvitelli Vanvitelli, arquitecto de la Fábrica, fue el primero en escribir una carta de advertencia sobre la situación de la cúpula, y en ella atribuía la causa de los daños a un empuje mal contrarrestado por los zunchos y los contrafuertes del tambor. No bastaba, pues, con reparar los daños y proponía la colocación de nuevos zunchos, tres a la altura del ático y uno en la zona de los antiguos zunchos, empotrados y revestidos de piedra por la parte exterior. Además, entre otras medidas de refuerzo de la fábrica, había que insertar una serie de elementos metálicos transversales en los contrafuertes que los ligasen de nuevo al tambor, y que también estarían conectados con dos nuevos zunchos a colocar en la base. Brunetti Dos días más tarde varios expertos inspeccionaron la cúpula, entre ellos el propio Vanvitelli, Zabaglia, Sante Santini y Brunetti, que escribió un nuevo informe. En él describía los daños como resultado de los movimientos experimentados por la cúpula, principalmente la inclinación hacia fuera de la base del tambor. Según él, este movimiento lo había producido el empuje creciente de la cúpula. La ruina era inminente y si aún no se había producido era por los zunchos y porque el centro de gravedad de las partes inclinadas del contrarresto no se salía de la base. Además mencionaba defectos constructivos, como la debilidad de la base y el enorme peso de la cúpula, que Brunetti calculó en doscientos millones de libras (68.000 t), y que estaba directamente relacionado con la enorme magnitud del empuje. En cuanto a los daños de los arcos torales y pilares los atribuía a los terremotos y a la cimentación. Para Brunetti había, pues, que quitar peso a la cúpula (lo que implicaba una reducción del empuje), rodearla de zunchos y construir muros de refuerzo en el corredor de la base. Y no solo eso, ya que proponía la restitución de la forma original mediante la colocación de unas cuerdas de cáñamo a modo de tirantes por el interior de la cúpula que al ser mojadas se acortarían y producirían una fuerza contraria al empuje. centímetros y la cúpula propiamente dicha presentaba ahora más grietas que a finales del siglo XVII; la de la Verónica había aumentado de 2 a 7,5 centímetros. La linterna también tenía daños relacionados con el empuje de su pequeña cúpula. Causas y remedios. El modelo de barras Los anteriores informes atribuían al empuje la causa de los daños y Brunetti trataba de explicarlos como resultado de un movimiento general de la cúpula. Santini fue más allá y modeló la cúpula como un sistema de barras: de ellas las cuatro superiores representaban la doble cáscara y las dos inferiores el contrarresto, es decir, tambor y contrafuertes. Al desplomarse éstos, girando respecto a su borde exterior, las barras superiores tenían que descender en su extremo superior y separarse en la base conjuntamente; al medir, Santini obtuvo que las más interiores tenían que descender más que las exteriores (figuras 1 y 2 en la Fig. 1). Esto explicaba para él la grieta horizontal de las costillas, ya que la fábrica no había podido mantenerse unida en ese descenso desigual, y la separación no era mayor porque había barras transversales unidas al zuncho del óculo; ésta era para él la prueba de que el empuje lateral de la fábrica y no un asiento vertical había producido los daños, haciendo que se desplomasen el tambor y los contrafuertes y, por tanto, la cúpula se abriera. Sante Santini (I) Sante Santini también redactó un informe tras su visita a la cúpula. Como Brunetti, pero con más precisión, Santini describió los daños, que además representó en una sección (Fig. 1). Además estudió su evolución y midió las grietas más importantes. Así, en la cimentación y los pilares no descubrió nada anormal. En cuanto a las grietas de los arcos torales las atribuyó a movimientos de los pilares, pero no de la cúpula. Después, basándose en las reglas de Fontana para cúpulas simples, advertía del insuficiente espesor del tambor. Según Santini el ático tenía incluso menor espesor y los contrafuertes, mal proyectados, no llegaban al punto donde actuaba el empuje; por otro lado, decía que en la base del tambor las grietas iban agravándose, ya que se reestucaban y volvían a aparecer. Las grietas interiores del tambor sumaban en total 45 Fig. 1. Daños y desplomes en la cúpula de San Pedro de Roma (Sante Santini, Lettera sopra i danni della cuppola di S. Pietro, ca. 1742). I.T. N.o 57. 2001 49 Finalmente Santini estudió la viabilidad de las tres formas posibles de contener el empuje. Una era aumentar el peso sobre el contrarresto. Otra era dar a éste el espesor adecuado. Para ello analizó la geometría de la sección de la cúpula, como Fontana, resultándole difícil encontrar un triángulo de fuerzas que no se saliera de la fábrica. Por último, Santini llegó a la conclusión de que el mejor remedio para no alterar la cúpula era colocar zunchos, porque los que había eran delgados y no actuaban en la zona de mayor empuje y recomendaba incluso una sección mínima de 9 x 4,5 cm2. Además había que colocar varios en la linterna, sin especificar cuántos ni razonar el dimensionado, diciendo que si no hubiera linterna bastaría con un zuncho de 22 centímetros de alto en el nacimiento de la cúpula. También recomendaba los zunchos como sustitutos de los puntales a la hora de reforzar la cúpula. Parere di tre mattematici Como la polémica iba en aumento, el papa Benedicto XIV encargó a tres prestigiosos matemáticos, Le Seur, Jacquier y Boscovich, que dieran su opinión sobre la gravedad de los daños de la cúpula y la eficacia de las medidas propuestas hasta el momento para corregirlos. Le Seur y Jacquier eran profesores de Matemáticas de origen francés y pertenecientes a la orden de Mínimos. Boscovich también era jesuita, de Ragusa, y profesor de Matemáticas en el Colegio Romano. Su informe, lejos de zanjar la polémica, la reavivó aún más y se convirtió en referencia obligada para todos los informes posteriores. Fig. 2. Primer análisis de la estabilidad de la cúpula (Le Seur, Jacquier y Boscovich, Parere di tre matemattici, 1743). Descripción de la cúpula y de los daños. Causas Los tres matemáticos describieron la cúpula y sus daños identificándolos sobre un plano detallado de la misma (Fig. 2); para ellos los daños descritos tampoco tenían relación con la cimentación, los pilares o los arcos torales, es decir, los daños de la cúpula nacían de ella misma. Por otra parte, hicieron un resumen cronológico sobre la aparición y evolución de los daños y llegaron a la conclusión de que éstos habían seguido avanzando. El modelo A partir de los daños observados los tres matemáticos elaboraron un modelo que explicase el movimiento experimentado por la cúpula, sin mencionar en ningún momento a Santini. Pensaban que cada costilla con la doble cáscara correspondiente había descendido en la clave desplazando su extremo inferior y empujando hacia fuera al tramo correspondiente de tambor, que había girado en torno al borde exterior de la base (figura 2 en la Fig. 2). Ponían el ejemplo de una barra inclinada o bastón apoyado en un plano vertical por uno de sus extremos, y en uno horizontal por el otro: su propio peso le obligaría a descender y si se aplicase un peso en el extremo superior, como sería el de la linterna, la barra tendería a descender más aún. Para que hubiera equilibrio, habría que aplicar una fuerza horizontal en la base que contrarrestase ese empuje. De 50 I.T. N.O 57. 2001 igual modo, decían, en la cúpula las zonas encargadas de contrarrestar el empuje eran el ático, el tambor, los contrafuertes y la base, con su propio peso, además de los zunchos. El análisis de la estabilidad consistía, por tanto, según ellos, en comprobar que ese contrarresto era suficiente para el empuje que producían la cúpula y la linterna, es decir, en el análisis de equilbirio del mecanismo obtenido haciendo pasar barras por los puntos M, H y C (figuras 3, 4 y 5 en la Fig. 2). El siguiente paso era entonces calcular las fuerzas que intervenían en el equilibrio de ese mecanismo de barras, esto es, los pesos y la fuerza resistida por los zunchos. Para determinar los pesos hicieron sus propios ensayos con un bloque de travertino y otro de muro de ladrillo, cal y puzolana, y midieron sus pesos específicos. En cuanto a la resistencia de los zunchos de hierro tomaron los valores obtenidos por Musschenbroek y la calcularon proporcionalmente a su sección. Pero además, por primera vez, dedujeron que el empuje horizontal resistido era igual a aproximadamente a seis veces la máxima fuerza resistida a tracción (la expresión exacta es H = 2πT, donde H es la resultante de una carga radial Q aplicada al zuncho, 2πQr). Una vez calculados los pesos y la resistencia de los zunchos, los tres matemáticos comprobaron la estabilidad del mecanismo de la figura 3 aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales.1 En realidad, los tres matemáticos estudiaron dos mecanismos distintos. Primero consideraron que no existía la grieta que dividía los contrafuertes y el tambor y obtuvieron que la cúpula era perfectamente estable, es decir, en esa hipótesis no se habría podido mover hacia fuera el apoyo, ni producirse daños. Pero el estado real de la cúpula no les permitía suponer eso. Existía una separación real entre los contrafuertes y el tambor con la parte correspondiente de la base, es decir, se estaban comportando como dos bloques independientes girando en torno a sus puntos de apoyo exteriores respectivos. Además, en esta segunda hipótesis tuvieron en cuenta que la mampostería de ladrillo del tambor se había comprimido, lo que les permitía considerar que H se desplazaba solo horizontalmente (en la figura 3 de la Fig. 2). Los resultados obtenidos en este caso indicaban que no había equilibrio.2 El balance negativo entre los trabajos estabilizantes y desestabilizantes explicaba los daños de la cúpula e implicaba un peligro inminente de ruina. En definitiva, tanto los zunchos como el contrarresto del tambor les parecían insuficientes. Incluso creían que se habría llegado al colapso de no ser porque el anillo de la linterna, en el punto superior N, estaba comprimido, impidiendo un mayor descenso. Esa compresión es la que había producido la grieta OP en las costillas. Aun así podían seguir produciéndose daños, que combinados con otros agentes, pequeños terremotos, rayos, etc., causarían definitivamente la ruina. Creían necesario, pues, intervenir con rapidez. La manera más fácil de anular ese balance negativo era colocando tres nuevos zunchos: en los arranques de la cúpula, en la cáscara externa, cerca de la linterna, y a media altura, cuya contribución al equilibrio se podía calcular. Proponían colocar tres zunchos más en la base del tambor, y la inserción de barras de hierro que solidarizasen los contrafuertes y el tambor. En cuanto a otras propuestas de las que habían tenido noticia rechazaron aquellas que hacían peligrar la estética. La reacción al Parere di tre mattematici Tras la publicación del Parere di tre mattematici y una polémica reunión para analizar las conclusiones de éstos se produjo un cambio significativo en el enfoque del problema de la cúpula de San Pedro. Según ellos, el empuje, una causa estructural, era el responsable de los agrietamientos, y lo habían demostrado cuantitativamente. Era urgente intervenir colocando zunchos, pero los expertos no admitían ese estado de ruina inminente. Se empezaron a buscar las causas en pilares y arcos torales y a intentar demostrar la estabilidad y no el posible colapso de la cúpula. Por otro lado, la eficacia y dimensiones de los zunchos se convirtieron también en tema de estudio. Cosatti Cosatti escribió dos informes en los que rebatía el modelo de daños del Parere y su gravedad basándose en el estado prácticamente intacto de las costillas. La causa de los daños no era, según él, el empuje sino los terremotos, los rayos y defectos en la construcción y la cimentación. Santini (II) Tras la reunión para tratar sobre el Parere, Santini decidió poner por escrito su opinión, que cambiaba radicalmente respecto a su primer informe. Después de medir minuciosamente la grieta de la clave de cada uno de los arcos torales, Santini había llegado a la conclusión de que los daños de la cúpula sí tenían relación con los de éstos y proponía el ejemplo de un tonel construido a base de maderas encoladas, sobre cuatro apoyos, que al recibir una carga perimetral tendería a descender en los vanos; del mismo modo, la cúpula apoyada sobre el tambor, de fábrica ligada con cal, había descendido con los arcos torales, entre los pilares. Santini explicaba el agrietamiento y descenso de los arcos torales por la compresión y acortamiento de los pilares, no por el desplome hacia fuera de éstos. Había que colocar zunchos, curiosamente de mayor dimensión que los que proponía en el primer informe, e insertar una serie de barras verticales que ligasen los arcos torales a la cúpula para impedir su descenso. Santini había llegado a medir incluso la resistencia del hierro mediante el experimento de rodear una pieza cilíndrica de piedra con un hilo de hierro tensado hasta la rotura. Ahora bien, advertía de que los zunchos propuestos no servirían para contener el empuje sino para solidarizar la construcción. Lettera del Signor N.N. al Signor N.N. Fig. 3. Mecanismo de colapso y resultados del análisis (Le Seur, Jacquier y Boscovich, Parere di tre matemattici, 1743). Este informe anónimo rebatía el modelo del tonel propuesto por Santini basándose en que la cúpula presentaba daños que no concordaban con él, por ejemplo, que los contrafuertes siguieran a nivel. Además, los daños de los arcos torales no eran graves, según el autor, pero sí la grieta sobre el pilar de la Verónica, que había cuadruplicado su anchura desde 1681. El modelo válido para explicar el comportamiento estructural de la cúpula era el de La Hire. I.T. N.o 57. 2001 51 Revillas Revillas era jerónimo y profesor de Matemáticas en Roma. En este primer escrito simplemente describió las observaciones realizadas en los arcos torales, pilares y bóvedas de la nave el 16 de febrero de 1743. Desde un andamio él y sus ayudantes pudieron ver que las grietas ya habían sido rellenadas en otros tiempos. Otros daños los observaron con anteojos, como una grieta en la pechina. Se utilizó también un nivel de agua, de 1,34 metros, para ver si los pilares estaban más altos unos que otros, y lo mismo con los arcos torales. Un descubrimiento importante fue que había un pozo de agua bajo el muro exterior en correspondencia con la antigua grieta del pilar de la Verónica a una profundidad de 17 metros. Revillas puso por escrito sus conclusiones en un segundo escrito. Para él la causa de los daños eran los terremotos, aunque después los defectos de la fábrica los habían agravado. Afirmaba que en arcos torales, bóvedas y pilares ya había daños antes de construirse el tambor y se había intervenido varias veces en ellos. Revillas creía que la cúpula de Della Porta y Fontana imponía un excesivo peso sobre el tambor y además se apoyaba sobre arcos torales y pilares, por lo que el apoyo no era regular, con contrafuertes también apoyados en falso sobre la base. Como remedio proponía reducir la galería de paso de la base, sobre todo en la zona de los contrafuertes, y acuñar las grietas con una mezcla de plomo y otra sustancia resistente, taponándolas previamente con estuco. Amico Amico, arquitecto italiano, escribió un informe sobre las medidas a llevar a cabo. No consideraba adecuado colocar zunchos, pero sí cuatro linternas sobre los pilares y reparar las grietas. Además creía conveniente insertar en las grietas verticales unas cadenas de piedra en forma de cola de milano por el interior de la cúpula, de 67 x 45 x 22 centímetros, y testigos de piedra embebidos en yeso. Como medida de urgencia proponía cegar las ventanas del tambor y colocar testigos de piedra en las fisuras horizontales. rior e interior de la base; y otras servirían para reparar los daños, como el acuñado de las grietas con ladrillos, trozos de travertino o cuñas de hierro adaptadas a su anchura, que reforzarían la fábrica. Por último, proponían reestucar las grietas para observar los posibles nuevos movimientos de ésta. Riflessioni di Poleni Reavivada la polémica con la publicación del Parere, el Papa pidió a Giovanni Poleni que interviniera y éste, desde Padua, le envió un manuscrito el 21 de marzo de 1743. Poleni era filósofo experimental y gran erudito, y había creado un teatro de máquinas para estudiar diversos problemas científicos. En su manuscrito comenzaba resaltando la importancia de la práctica constructiva, que precedía y a la que debía seguir ligada la teoría, basada en la Mecánica y en la Geometría. Esta visión conciliadora entre teoría y práctica explica su intervención en el problema de la cúpula. Después de describir los daños de la cúpula, que no había podido observar personalmente, Poleni analizaba la modelación realizada por los tres matemáticos, que consideraba incorrecta y que invalidaba lo que él consideraba brillantes cálculos. Como razones daba que las fábricas no eran un material rígido que pudiera desplazarse como un bastón de madera sin romperse, y segundo, que el movimiento de la cúpula podría ser válido para una costilla pero no para el gajo correspondiente agrietado. Incluso construyó un modelo a escala dividido en cuatro partes donde podía observarse que los agrietamientos que deberían haberse producido no se correspondían con los reales. Además, decía que si realmente el movimiento se hubiera iniciado se habría llegado al colapso (Fig. 4). Riflessioni di tre mattematici Boscovich, Le Seur y Jacquier se vieron obligados a publicar un segundo y más extenso informe sobre el problema de los arcos torales, cuyos daños seguían considerando sin importancia. También rebatieron el modelo del tonel de Santini, demostrando que tambor y contrafuertes habían rotado respecto a puntos distintos y eso explicaba el descenso relativo de las cornisas. Había que colocar zunchos y reforzar los contrafuertes. Theodoli y otros expertos Theodoli, Vanvitelli y otros expertos escribieron un pequeño informe sobre las medidas de urgencia a tomar para que la situación no empeorase. Las posibles causas de los daños eran, según ellos: la cimentación, los arcos torales, la mala calidad de la fábrica y el empuje, y esas medidas deberían preverlas todas y dar tiempo a la reflexión. Explicaban que unas habrían de impedir nuevos movimientos, como la colocación de zunchos y cadenas en la cúpula, ático, muro exte52 I.T. N.O 57. 2001 Fig. 4. Incorrección del modelo propuesto en el Parere (Poleni, “Riflessioni”, MS., 1743). La causa de los daños estaba para Poleni en el gran peso de la cúpula y su efecto sobre una fábrica heterogénea y con defectos de construcción como el aparejo del muro del tambor, con paredes de revestimiento y un núcleo de mala calidad (que no había que confundir con el asiento natural de las fábricas). Después hizo un resumen de las aportaciones teóricas sobre el tema de las estructuras abovedadas en el que citaba a La Hire, Couplet, Blondel, Parent, Frézier, Dulacq y Stirling, que más adelante, en sus Memorie, completaría con su análisis de la cúpula. La conclusión de Poleni era que la forma apuntada de la cúpula de San Pedro aseguraba su estabilidad. Además las costillas estaban bien, no había grietas horizontales y las de los gajos se debían al descenso del tambor sobre los arcos torales. No obstante, Poleni consideraba conveniente la reparación de las grietas y la colocación de zunchos, cuyas dimensiones indicaba. Manfredi Manfredi estaba de acuerdo con el Parere, aunque pensaba que el sistema de daños propuesto no era coherente del todo con el real. Según él la linterna tenía un peso excesivo e incrementaba mucho el empuje sobre el tambor. Tres matemáticos de Nápoles Según estos matemáticos los resultados obtenidos por Le Seur, Jacquier y Boscovich no podían ser correctos. La ruina no era inminente y la prueba era que en 1743 se había producido un terremoto y la estructura no había colapsado. En todo caso creían que había que observar la evolución de los daños durante uno o dos años, reestucando las grietas y colocando testigos de mármol en cola de milano. Imaginaban incluso la posibilidad de derribar la linterna y sustituirla por una de madera. El viaje de Poleni y el Stato dei Difetti Tras enviar su manuscrito, Poleni había sido invitado a Roma por el Papa para observar y estudiar de cerca la cúpula, que visitó en 17 ocasiones durante su estancia; leyó los informes que continuamente se estaban publicando y recibió de Cosatti un modelo de madera. Antes de regresar a Padua, Poleni entregó al Papa los planos, el llamado Stato de’ Difetti. El arquitecto Vanvitelli preparaba previamente los planos de la zona que se iba a inspeccionar y después sobre ellos se tomaban notas y se dibujaban en color rojo las grietas o fisuras. Las dimensiones de las grietas se indicaban aparte, dada la insuficiente escala del dibujo. También se midieron desplomes de tambor y contrafuertes por el interior y el exterior (Fig. 5). Poleni entregó además un segundo manuscrito donde llamaba la atención sobre los daños de las escaleras de caracol, que habían dejado la cúpula prácticamente separada en cuatro partes. Por tanto, aunque los daños no ponían en peligro la cúpula, sí podían agravarse con el tiempo, y había bastante unanimidad en la conveniencia de colocar zunchos. Poleni confirmaba entonces que había que colocar cuatro zunchos de la misma sección, y también preveía su localización exacta, el número de barras que compondrían los zunchos, su empotramiento en el muro e incluso la época de colocación, el verano. Tras su marcha comenzaron inmediatamente las obras de consolidación, a cargo de Vanvitelli. Ricciolini Ricciolini, pintor y experto en mosaicos, también atribuía los daños al inadecuado contrarresto del empuje por parte del tambor y los contrafuertes. Proponía la colocación de un zuncho en la imposta y en la base del tambor, ocultos a la vista, y protegidos del agua, así como el refuerzo de la fábrica. Un cavaliere En este informe anónimo se estudiaba el tema de los zunchos, cuya función, según el autor, era controlar los movimientos de la fábrica durante el asiento, y después, junto a los muros del tambor y contrafuertes, contrarrestar el empuje. Tras una serie de razonamientos acerca de la resistencia de los zunchos y la forma de calcularla, el autor pensaba que los zunchos no eran eficaces e incluso podrían ser perjudiciales en algún caso. Como alternativa proponía construir cuatro torres sobre los pilares hasta la altura donde actuaba el empuje, incluso dándoles pendiente hacia dentro. Solo así, haciendo sólida la fábrica, los zunchos serían útiles. Por último, se lamentaba de que en San Pedro no se hubiera sobredimensionado el tambor como habían hecho los antiguos en sus edificios, y aunque mencionaba las reglas de Fontana, reconocía la perplejidad de la Mecánica ante este problema. Fig. 5. Levantamiento de los daños de los contrafuertes realizado por Vanvitelli y Poleni (Poleni, Memorie, 1748). I.T. N.o 57. 2001 53 Fig. 6. Interpretación del Parere di tre mattematici (Breve Discorso in difesa della Cupola di S. Pietro di N.N. Capomastro Muratore, 1744). Fig. 7. Descripción de los daños de la cúpula (Breve Discorso in difesa della Cupola di S. Pietro di N.N. Capomastro Muratore, 1744). Breve discorso di N.N. Capomastro Muratore Sentimenti d’ un filosofo En 1743, cuando ya se estaban iniciando las obras de consolidación, un maestro de obras anónimo hizo entrega de un nuevo manuscrito sobre el Parere, cuya sección de la cúpula reinterpretaba (Fig. 6). Para el autor, el empuje no podía ser la causa de los daños, ya que el esqueleto estructural, las costillas, estaban prácticamente intactas. Se debían al asiento de la fábrica y a la presencia de los huecos de las escaleras de caracol en el tambor, que no creía descabellado rellenar (Fig. 7). Este escrito, atribuido al P. Favre, constaba de dos partes. En la primera, el autor repasaba la historia de la construcción de la basílica de San Pedro y la aparición de daños, así como sus posibles causas. En cuanto a los remedios proponía la reparación y reestucado de las grietas, y aunque no los consideraba imprescindibles, los zunchos serían útiles en caso de terremoto. En la segunda parte Favre analizaba el Parere. También rehizo los cálculos teniendo en cuenta la resistencia y el rozamiento, que según el planteamiento equivocado del autor, mejoraba mucho los resultados obtenidos por los tres matemáticos. Rizzetti En su informe Rizzetti distinguía entre dos clases de cúpulas, aquellas cuyo tambor no superaba en altura al semidiámetro y se apoyaban directamente sobre el terreno, y las que estaban levantadas sobre arcos torales y pilares y además sobre un tambor demasiado esbelto. En este último caso decía que había que prever medidas especiales para contrarrestar el empuje. En el caso de la cúpula de San Pedro, y después de analizar los inconvenientes de la colocación de zunchos, el mejor remedio era colocar dos barbacanas o estribos por pilar, como los de Santa María della Salute en Venecia. 54 I.T. N.O 57. 2001 Las Memorie de Poleni Al partir de Roma Poleni recibió el encargo del Papa de recoger por escrito en unas Memorie todos los estudios hechos sobre la cúpula. Éstas no se publicarían hasta 1748, como dice él, a causa de sus muchas ocupaciones docentes, los problemas de salud e incluso la excitación que le producía el deseo de realizar una obra perfecta. Respecto a sus anteriores informes, además del valor del documento en sí mismo, las Memorie incluían una reflexión madura y reposada sobre el tema de la estabilidad de la cúpula y de la resistencia de los zunchos; es más, Poleni aplicó por primera vez el teorema de la seguridad del moderno Análisis Límite al análisis del casquete de la cúpula. Mientras tanto Vanvitelli había ido colocando los zunchos y mantenía continuamente correspondencia con Poleni. En septiembre de 1743, en la misma carta en la que Vanvitelli le proponía a Poleni el detalle del anclaje entre las barras de los zunchos, le refería la utilidad de colocar un quinto zuncho en la base de la linterna, recientemente dañada a causa de un rayo. Por otro lado, Poleni explica cómo las piezas de los zunchos fueron forjadas en diversos lugares, y que para replantear la forma perfectamente se dibujaron las circunferencias de los diámetros correspondientes en la plaza de Bernini y se instaló un taller de forja próximo para terminar de ajustar la curvatura. También habla de la reparación de las grietas. En la parte final de las Memorie Poleni tuvo que añadir el Libro V y último, al descubrir Vanvitelli, en 1747, que el más alto de los antiguos zunchos estaba roto en dos partes, y había que sustituirlo. Así, pues, aunque Poleni había demostrado la estabilidad de la cúpula de San Pedro, se colocaron finalmente seis zunchos de hierro, medida que será contestada todavía, como veremos, a finales de siglo por Chiaveri y Dotti. La estabilidad de los arcos, bóvedas y cúpulas En el Libro I, Poleni introdujo dos apartados dedicados íntegramente al análisis estructural de las cúpulas. En el primero Poleni describió con gran detalle el estado de conocimientos teóricos sobre arcos y bóvedas de su época, aunque sin mencionar a Hooke ni el artículo de Bouguer sobre la forma de las cúpulas, de 1734. Citaba a Johann Bernoulli, Leibniz y Ugenio, que habían estudiado la catenaria solo como forma geométrica, y también a Gregory, que había relacionado la forma de la catenaria con la de los arcos, en 1699. Tras Gregory, Jacob Bernoulli, que conocía ya la relación entre la catenaria y los arcos, obtuvo por dos caminos distintos su expresión matemática. Pero la referencia básica de Poleni fue el trabajo de Stirling y su análisis de la forma catenaria de 1717. También citaba a Clairaut, que en 1743 había obtenido analíticamente la catenaria para una ley de cargas variable. Consideraba útiles además otras obras tardías de Johann Bernoulli y Leibniz. A continuación, Poleni exponía los principios teóricos básicos en los que según él se basaba la estabilidad de arcos y bóvedas, señalando que existía la posibilidad de realizar un análisis teniendo o no en cuenta el rozamiento entre las dovelas. Para ello consideraba tres conceptos básicos: Figura, Equilibrio y Composición de las Fuerzas. ausencia de rozamiento debían ser perpendiculares a la superficie y por tanto pasaban por el centro de la esfera en cuestión. Las reacciones y el peso debían anularse para que cada esfera se mantuviera en equilibrio. Se trataba, por tanto, de encontrar los puntos de tangencia, es decir, la disposición geométrica que hacía posible el equilibrio de las esferas. Como el tamaño de las esferas no influía en la forma del equilibrio se podía reducir también infinitamente el radio de las mismas aumentando su número. De esta manera la figura del equilibrio, la línea que unía los centros de las esferas, quedaba representada con más precisión. La consecuencia que extrajo Stirling fue que el equilibrio se mantenía con la misma figura geométrica invirtiendo la posición de las esferas respecto a un eje horizontal y fijando los extremos, es decir, el equilibrio se conseguía también para una cadena en tracción, flexible e indeformable, con forma catenaria. Stirling El análisis de las cúpulas Poleni explicaba después con detalle el trabajo de Stirling (Fig. 8).3 Éste consideraba el arco compuesto por una serie de esferas, de material homogéneo e igual radio, equivalentes a cada una de las posibles cuñas que componían los arcos, y cuyo peso se encontraba aplicado en el centro de dichas esferas, tangentes entre sí. Este punto era el punto de paso de las reacciones de las esferas colindantes a una dada, que debido a la El empleo de la catenaria era “el mejor medio para encontrar la figura de un Arco bien resistente: y también de examinarla si se trata de una Fábrica ya construida”, como era el caso de la cúpula de San Pedro. Pero antes de describir los detalles de este análisis, Poleni concluía este apartado teórico relacionando todo lo explicado anteriormente para los arcos y las bóvedas con el caso particular de las cúpulas. Fig. 8. La forma catenaria según Stirling (Poleni, Memorie, 1748). I.T. N.o 57. 2001 55 Consideraba que existía una relación entre ambos tipos de construcción, puesto que la sección por el eje de las cúpulas tenía la geometría de un arco que al girar generaba el volumen de aquéllas. El análisis de este arco de la sección constituía, según él, el “metodo primo”, un arco que tendría espesor uniforme y al que se aplicaría todo lo visto para los arcos. Pero Poleni reconocía que este procedimiento no era exacto, sino lo que él llamaba “secondo metodo”. Éste consistía en analizar un sector de cúpula determinado por dos planos que pasan por el eje. Lo más significativo es que Poleni pensaba que era el primero en proponer esta forma de analizar las cúpulas. como eje de abatimiento, dibujó los puntos simétricos a los anteriores, X y Z, quedando I y V en la misma posición. Colgando la cadena real de los puntos I y V y dándole la longitud necesaria para que pasase por X y Z, dibujó la catenaria correspondiente y la abatió sobre la figura de la cúpula. La conclusión que obtuvo Poleni al comparar la catenaria homogénea obtenida con la línea que unía los centros de gravedad de la sección es que en la parte inferior la catenaria salía fuera de la sección, acercándose progresivamente a la línea media hasta quedar situada por encima de ella en la zona del óculo. Análisis de la cúpula de San Pedro “Secondo Metodo” El análisis de Poleni, limitado al casquete de la cúpula, trataba de demostrar que existía una catenaria determinada por los pesos de sus distintos elementos dentro del espesor de la cúpula, o lo que es lo mismo, que la forma de la cúpula coincidía bastante bien con la catenaria correspondiente y, por tanto, era una forma adecuada. Para ello, Poleni no trató de resolver complejas ecuaciones sino que construyó cadenas reales para los datos del problema cuya equivalencia a la forma matemática había comprobado él mismo en casos más sencillos. Poleni comenzó aplicando el llamado “Método Primo” y analizó un sector de cúpula determinado por dos planos paralelos entre sí próximos al eje de revolución, esto es, un arco con la geometría de la cúpula (Fig. 9). La cadena estaba así constituida por esferas del mismo tamaño. Después había que fijar los puntos de paso de la catenaria correspondiente, que Poleni escogió en el punto medio entre el trasdós y el intradós, en la abertura del óculo, z y c, y en el diámetro horizontal, I y V. De este modo, utilizando el diámetro horizontal Había que ser más precisos a la hora de construir la catenaria. Así, dividió la cúpula en 50 sectores mediante 25 planos que pasaban por el eje de la cúpula y tomó dos de ellos simétricos. Después dividió las curvas de trasdós e intradós de uno de los sectores en 16 partes iguales, que determinaban los planos de los lechos de dieciséis hipotéticas dovelas. Para calcular entonces los pesos de estas dovelas Poleni dividió por 50 los pesos totales del Parere y los repartió proporcionalmente al radio del intradós de cada dovela. A la dovela superior había que añadirle además el peso de la linterna. Conocidos los pesos de las dovelas ya se podía construir la cadena correspondiente. Poleni mandó preparar una serie de filamentos de hierro de igual longitud enlazados por anillos también de hierro que daban gran flexibilidad a la cadena. Antes de unir los filamentos se ensartaron en cada uno de ellos las esferas, de plomo, de peso equivalente al de cada dovela. Las esferas situadas en la zona correspondiente al óculo eran más gruesas porque representan también el peso de la linterna. Dando la longitud conveniente a la cadena para que pasase por los puntos ya fijados en el primer análisis, en el arranque y en la zona del óculo, obtuvo Poleni la catenaria, que invirtió, como antes, sobre la sección de la cúpula. Al comparar de nuevo la segunda catenaria obtenida con la línea media de la sección, aquélla quedaba situada por debajo de esta línea en la parte baja de la cúpula y pasaba ligeramente por encima de ella en la parte superior, pero no se salía del perfil de la cúpula, como ocurría con la homogénea. Poleni llegó a la conclusión de que la cúpula tenía un perfil aceptable, pero a pesar de todo se colocaron zunchos de refuerzo (Fig. 10). Otros informes posteriores: Chiaveri y Dotti Fig. 9. Análisis de la estabilidad de la cúpula (Poleni, Memorie, 1748). 56 I.T. N.O 57. 2001 Durante la segunda mitad del siglo se perciben aún los ecos de la polémica sobre la cúpula de San Pedro. Gaetano Chiaveri, que residía en Dresde, había enviado un primer informe en 1744, pero al parecer no recibió la buena acogida que aquél esperaba, una vez que Poleni ya se había hecho cargo del asunto. Proponía entonces la demolición de toda la cúpula y su sustitución por una cúpula simple, de espesor decreciente hacia la clave y con gajos cóncavos que transmitirían el empuje a robustos contrafuertes. Más tarde, en 1767, bastantes años después de zanjada la polémica, escribió un segundo informe, posiblemente por la aparición de nuevos daños, más leves. En Fig. 10. Localización de los zunchos colocados para reforzar la cúpula de San Pedro de Roma (Poleni, Memorie, 1748). Fig. 11. Propuesta para la construcción de una nueva cúpula de San Pedro (Chiaveri, Breve Discorse, 1767). él se atribuía la causa de los daños al insuficiente contrarresto del tambor y al empuje excesivo de la cúpula y la linterna. El remedio era, pues, rehacer la cúpula, pero ahora proponía dejar en pie las costillas y reconstruir la linterna y los gajos, así como reforzar el tambor. Los zunchos parecían demostrarle que no podían ser una medida permanente (Fig. 11). Por último, en 1793, Gian Giacomo Dotti, hijo de Carlo Francesco Dotti, publicó un extenso informe a modo de crítica de las Memorie. Según parece su padre había enviado un informe en 1743 desde Bolonia proponiendo el refuerzo del contrarresto, del tambor, que ni siquiera había incluido resumido Poleni en sus Memorie. Cincuenta años después, parecía que la propuesta de su padre no era tan descabellada y que los zunchos de Poleni no habían sido tan eficaces como se pensaba. ca” de cúpulas no existía realmente como tal exceptuando la brillante aportación de Bouguer, que estudió el problema de la forma ideal de las cúpulas y su comportamiento de membrana (y que ni siquiera mencionará Poleni), y la de Frézier que proponía reducir a la mitad el contrarresto calculado para una bóveda de cañón de igual luz. 2. El informe de los tres matemáticos, Boscovich, Le Seur y Jacquier, fue el único informe realmente teórico de todos los que se publicaron, en el sentido de la confianza en los resultados obtenidos utilizando la teoría de arcos y bóvedas disponible y a cuyo avance contribuyeron de forma brillante. La contradicción entre sus resultados y la experiencia práctica fue la causa de la polémica entre los expertos, que desconfiaban de una teoría casi recién nacida. Sin embargo, continuando con el enfoque cinemático o de los mecanismos de colapso de La Hire y Couplet, su informe supuso un avance significativo aplicable en general a todo tipo de bóvedas: a) No analizaron un mecanismo de colapso prototipo sino el que pudieron deducir de los agrietamientos de una estructura real. b) Aplicaron el Principio de los Trabajos Virtuales para evaluar la estabilidad de un sistema de barras equivalente a la estructura real considerada globalmente, sin necesidad de dividir el problema en elementos sustentados y contrarresto como había hecho La Hire. Conclusiones 1. La teoría “científica” de arcos y bóvedas había dado ya importantes pasos cuando en 1742 se reabrió la polémica sobre la estabilidad de la cúpula de San Pedro de Roma. En el caso particular de las cúpulas los problemas estructurales relacionados con el dimensionado del contrarresto o de la forma de la bóveda resultaban menos graves que en el caso de arcos sencillos o bóvedas de cañón gracias a su carácter tridimensional. Además, el menor número y carácter singular de las cúpulas hacía más difícil establecer una teoría general sobre su estabilidad. La teoría “científi- I.T. N.o 57. 2001 57 c) No solo hicieron consideraciones de equilibrio sino que tuvieron en cuenta el comportamiento del material, aplicando para ello los conocimientos que se tenían de la resistencia de materiales: 1º la compresión de la fábrica, que les llevó a simplificar el movimiento del mecanismo haciendo que la rótula intermedia se desplazase solo horizontalmente (que explica el balance negativo de sus resultados); 2º la resistencia de los zunchos de hierro a la estabilidad global. d) Su método no solo servía para evaluar la estabilidad global de los mecanismos de colapso que se quisiera estudiar, sino también para calcular la contribución a la misma de los nuevos zunchos a colocar. 3. La otra contribución fundamental fue la de Poleni, pero con una actitud distinta a la de los tres matemáticos, ya que, aunque era conocedor y divulgó todos los avances teóricos del momento, enfocó el problema dando prioridad a la experiencia práctica. a) Su análisis teórico, sobre la forma de la cúpula y no tanto sobre la estabilidad de la estructura global, lo incluyó en las Memorie de 1748, seis años después del inicio de la polémica. b) Poleni recuperó el enfoque del equilibrio iniciado por Hooke, al que no cita, con su principio de la catenaria y desarrollado después por Gregory. A la hora de aplicarlo el problema había sido el de cómo calcular o trazar exactamente la forma catenaria que había de contenerse en el espesor de la fábrica. Los estudios matemáticos sobre la catenaria tenían difícil aplicación práctica y La Hire había intuido la idea de polígono funicular al estudiar la carga que había que dar a un arco de geometría conocida, pero la Estática Gráfica no se desarrollaría hasta el siglo XIX. La aportación de Poleni consistió en haber construido físicamente catenarias y comprobado su equivalencia con la forma matemática. Su experiencia en la elaboración de modelos físicos para el teatro de máquinas de Padua y el artículo de Stirling le condujeron a esta solución ingeniosa. c) Poleni aplicó su método al análisis de una cúpula real. Se dio cuenta de que tenía que considerarla dividida en gajos o arcos de espesor variable cuya estabilidad podía comprobar construyendo la catenaria adaptada a los pesos de esos arcos especiales y comprobando después que no se salía del espesor de esos arcos. Matemáticamente hubiera sido difícil calcular la catenaria para una cúpula, pero casi imposible para una cúpula concreta. Su método le permitió llegar a la conclusión de que la cúpula de San Pedro no tenía una forma perfecta pero sí estable según el principio de Gregory. Había aplicado por primera vez a una estructura real el teorema de la seguridad del Análisis Límite de Estructuras. d) La colocación de zunchos que Poleni propuso en 1743 y que inmediatamente llevó a cabo Vanvitelli contradecía aparentemente la conclusión de su posterior análisis. (Es posible que, al estudiar la estabilidad global, Poleni advirtiera que el espesor del tambor estaba muy próximo 58 I.T. N.O 57. 2001 al límite). Es decir, Poleni estimó conveniente colocar zunchos, que aunque no fueran imprescindibles sí reforzarían la estabilidad y sobre todo zanjarían la polémica en torno al inminente colapso de la estructura. Pero en cuanto al dimensionado y colocación lo dejó en manos de los prácticos y no hay constancia de que los justificase de forma teórica como hicieron los tres matemáticos. 4. En el resto de los informes es posible comprender las dificultades del nacimiento de una teoría científica de las estructuras, sobre todo a la hora de modelar éstas a partir de un caso real, y reflejan la tensión del momento entre teoría científica y práctica constructiva. Al mismo tiempo ofrecen una valiosa información sobre las técnicas de diagnóstico y restauración del momento. 5. La repercusión de los informes de los tres matemáticos y Poleni en la teoría de arcos y bóvedas fue nula, en el primer caso por la polémica suscitada y también por tratarse de un caso que se entendía particular y no tuvo difusión en tratados o artículos científicos. Hasta 1798 Gauthey no habla del informe de los tres matemáticos, cuyo análisis tampoco interpreta correctamente, y a Poleni se le menciona en varios autores por sus Memorie pero no por su aportación teórica al cálculo de la estabilidad de las cúpulas. Sin embargo, ambos análisis representan el doble enfoque del Análisis Límite aplicado por primera vez a una estructura real y constituyen un hito en el historia del Cálculo de Estructuras. ■ Gema López Manzanares Doctor Arquitecto Beca Postdoctoral de la Comunidad de Madrid, Departamento de Estructuras de la ETS Arquitectura de Madrid Profesora Asociada de Introducción a las Estructuras de Edificación, Departamento de Arquitectura de la Universidad de Alcalá de Henares Notas 1. Ésta estaría en equilibrio si considerando un pequeño desplazamiento arbitrario del sistema, el trabajo realizado por las fuerzas del sistema que tienden a desequilibrarlo era menor que el de las estabilizantes. Respecto a La Hire y Couplet, a los que se cita en el informe, este planteamiento suponía el primer análisis de una estructura real, concreta, y ya construida, y además un enfoque global del problema estructural, al analizar simultáneamente elementos sustentados y sustentantes. 2. Esta simplificación que a los tres matemáticos les permitía considerar con más precisión el estado real comprimido de la fábrica les condujo precisamente al balance negativo de momentos. Debían haber despreciado este efecto y considerar el mecanismo constituido por barras rígidas porque de otro modo hubieran debido incluir en los cálculos el trabajo producido por los esfuerzos internos de compresión, que implicaban un acortamiento de la barra inferior. Esta deducción se incluye en la tesis de la autora. 3.Stirling, I., Lineae Tertii Ordinis Neutonianae, sive, Illustratio tractatus d. Neutoni de Enumeratione linearum tertii ordinis, Oxford: E. Whistler, 1717, 128 pp. Bibliografía Fuentes originales (por orden cronológico y para los manuscritos según el orden citado por Poleni): – Baldinucci, F., Vita del cavaliere Gio. Lorenzo Bernino, scultore, architetto e pittore, Florencia, Vincenzio Vangelisti, 1682. – Fontana, C., Il Tempio Vaticano e sua origine, Roma, G. F. 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Marciana, Venecia, 24 pp. – Chiaveri, G., “Sentimento di Gaetano Chiavery Architetto della Maestà del Re di Po- – Sante Santini, D., “Copia d’ una lettera in risposta a Domirio P.A. intorno alle novità lonia ed Elettor di Sassonia ec. ec. sopra la pretesa Riparazione de’Danni, che so- della Cuppola Vaticana”, ca. 1743, MS., Cod. Marc. It. IV, 677 (=5538), B. Marcia- no stati riconosciuti sul fine dell’Anno MDCCXLII nella famosa Cupola di S. Pietro na, Venecia, 30 pp., 1 lám. Vaticano di Roma”, s.l., s.n., ca. 1744, resumido por G. Poleni en sus Memorie, Li- – Sante Santini, D., Lettera sopra i danni della cuppola di S. Pietro, scritta dal P. Dome- bro IV, LX, cols. 368-72, arts. 509-17. nico Sante Santini sotto nome di Diofanio P.A. a Domirio P.A. suo amico sul fine dell’ – Chiaveri, G., Breve Discorse di Gaetano Chiaveri romano circa i danni riconosciuti ne- Anno 1742, S.l., s.n., s.a., 8 pp., 1 lám. Se trata de la versión impresa del manuscrito lla portentosa Cupola di S. Pietro di Roma, e le sue principali cause, con la maniera que se encuentra en la Biblioteca Vaticana y a la que nos referimos en el artículo. – Le Seur, T., Jacquier, F. y Boscovich, R.G., Parere di tre mattematici sopra i danni, che si sono trovati nella cupola di S. Pietro [Roma?], s.n., ca. 1743, 36 pp., 1 lám. durabile, e più sicura per la reparazione, Pésaro, Amatina, 1767, 12 pp., 3 láms. – Dotti, C.F., “Divertimento Architettonico, e Progetto ideato nell’ anno 1743 per fortificare la gran Cupola di S. Pietro di Roma”, MS. – Cosatti, L., Riflessioni di Lelio Cosatti, Patrizio Sanese, sopra il Sistema dei Tre RR. – Dotti, C.F., “Progetto di ristauro della cupola di S. Pietro in Vaticano proposto da Car- pp. Matematici, e suo parere circa el patimento e risarcimento della Gran Cupola di lo Francesco Dotti nell’anno MDCCXLIII secondo le notizie de’ tre matematici Le S. Pietro, Roma, Stamperia del Bernabò e Lazzarini, 1743, 32 pp. Seur, Jacquier e Boscovich”, Memorie critico istoriche intorno alla Cupola di S. Pie- – Cosatti, L., “Aggiunta del predetto Lelio Cosatti”, Riflessioni di Lelio Cosatti, Patrizio Sanese sopra il Sistema dei Tre RR. pp. Mattematici, Roma, Stamperia del Bernabò e Lazzarini, 1743, pp. 17-32. Se trata del segundo escrito de Cosatti al que se refiere el artículo. – Sante Santini, D., Risoluzione del Dubbio proposto dal Padre Abate Raviglia, e pa- tro in Vaticano e al risarcimento apprestatole dal Poleni, de G. G. Dotti, Bolonia, Stamperia Ist. delle Scienze, 1793, pp. 5-11. – Dotti, G.G., Memorie critico istoriche intorno alla Cupola di S. Pietro in Vaticano e al risarcimento apprestatole dal Poleni, Bolonia, Stamperia Ist. delle Scienze, 1793, 67 pp., 7 láms. rere intorno alli Contraforti, ed altri danni della Cuppola Vaticana, Roma, Stamperia di Pietro Rosati, 1743, 14 pp. – Vanvitelli, L.[?], Lettera del Signor N.N. al Signor N.N. sopra il Parere del P. Domenico Sante Santini intorno i danni della Cupola di S. Pietro, S.l., s.n., ca. 1743, 11 pp. – Revillas, D., “Osservazioni fatte nel tempio Vaticano il giorno 16 febbr. 1743”, MS., Cod. Marc. It. IV, 670 (=5531), B. Marciana, Venecia, 2 fols. – Revillas, D., “Riflessioni sopra lo stato della Cupola Vaticana, suoi Danni, e Rimedj, ca. 1743”. Manuscrito resumido por G. Poleni en sus Memorie, Libro III, LV, cols. 321-3, arts. 433-8. – Amico, G., “L’Autore del Modello”, Trápani, 16 de febrero 1743, MS., Cod. Cicognara v. 3849, B.Vaticana, 9 pp., 1 lám. – Le Seur, T., Jacquier, F. y Boscovich, R.G., Riflessioni de Padri Tommaso Le Seur, Francesco Jacquier deel’ Ordine de’ Minimi, e Ruggiero Giuseppe Boscovich della En la bibliografía reciente sobre el tema (ordenada cronológicamente) se han estudiado solamente el informe de los tres matemáticos, Le Seur, Jacquier y Boscovich, y el análisis de Poleni, con la excepción de Di Stefano, que resume brevemente el contenido de los otros informes mencionados por Poleni. En la tesis de la autora de este artículo se han repasado con detalle los cálculos del Parere di tre mattematici y se analiza con detalle el contenido de cada informe según la versión original siempre que ha sido posible: Compagnia di Gesú, sopra alcune difficoltá spettanti i danni, e Risarcimenti della cu- – Straub, H., A History of Civil Engineering, Londres, Leonard Hill, 1952. pola di S. Pietro [Roma?], s.n., ca. 1743, 65 pp., 1 lám. – Di Stefano, R., La cupola di San Pietro: storia della costruzione e dei restauri, Ná- – Theodoli, G. et al., “Scrittura del Marchese Theodoli ec. (Pietro Leone Ghezzi, Niccola Salvi, Pietro Hostini e Luigi Vanvitelli.)”. Manuscrito resumido por G. Poleni en sus Memorie, Libro III, XLVII, cols. 280-1, arts. 359-62. – Poleni, G., “Riflessioni di Giovanni Poleni sopra i danni e la ristaurazione della cupola del tempio di S. Pietro in Roma”, Padua, 21 de marzo 1743, MS., Cod. Marc. It. IV, 658 (=5519), B. Marciana, Venecia, 76 pp., 3 láms. – Manfredi, G., “[Scrittura sopra i danni e sopra i restauri della Cupola di S. Pietro in Roma]”, Bolonia, 24 de abril 1743, MS., Cod. Marc. It. IV, 666 (=5527), B. Marciana, Venecia, 10 fols. poles, Edizioni Scientiche Italiane, 1963. – Brusatin, M., “La cupola di S. Pietro che crolla. 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