El momento de inercia de la placa rectangular es

El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo
gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada
como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general
posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de
inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es
necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
Ecuaciones del momento de inercia
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se
define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua, se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se
resuelve a través de una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa
inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que
presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia
que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de
Newton:
tiene como equivalente para la rotación:
Dónde:



es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es
momento de inercia con respecto al eje de rotación.
, mientras que la
, donde I es el
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la
conservación del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad
angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de
inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro
alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento
de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es
igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;
I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de
masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de
coordenadas relativa al centro de masas C
inmediata:
donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en
torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de
masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende
del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por
.
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes
con respecto a
los ejes X e Y. Y calcular el cdm
de toda la figura formada por todas las áreas
parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas
(que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el
teorema
del
eje
paralelo,
es
decir,
el
teorema
de
Steiner:
y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:
e
Tensor de inercia de un sólido rígido
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que
expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes
tensoriales son:
Donde
son las coordenadas cartesianas rectangulares.
,
es
el
símbolo
de
Kronecker
o
delta
de
Kronecker
definida
como:
Los elementos
reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje xi,
y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de
inercia haciendo:
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal
anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y
vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
es el
Momento de inercia de una distribución de masas
puntuales
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de
1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el
momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a
través de



Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la
varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas)
es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma
indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo
las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2




IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de
masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema
d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de
masa
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula
que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías


Aplicación directa del concepto de momento de inercia
Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla
de masa M y longitud L respecto de un eje
perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el
momento de inercia de la varilla respecto de un eje
perpendicular a la misma que pasa por uno de sus
extremos.
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje
perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x
y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de
longitud 2x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de
su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica
cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa
dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular
delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la
placa.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El
elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de
este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de una esfera
Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno
de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada
uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los
discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la
figura x2+z2=R2