Biblioteca Complutense - Universidad Complutense de Madrid

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE MATEMATICAS
Departamento de Estadística e Investigación Operati~a
~ECORTES LAGRANGIANOS FUERTES EN LA RESOLUCIO~
DEL PROBLEMA DEL ORDENAMIENTO SECUENCIAL
M. Teresa Ortuño Sánchez
UD’I~ ID %1I ID U~ m IflWII~ I ~ \I~ U
530954204
8~
2¿t
ea;
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
SOBRE CORTES LAGRANG ¡ANOS FUERTES EN LA RESOLUCION
DEL PROBLEMA DEL ORDENAMIENTO SECUENCIAL
M. Teresa Ortuño Sánchez
iINIIUIDHlU
5309
542048*
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE
Memoria para optar al grado de E actor
en
Ciencias
Matemáticas,
reaJ izada
bajo la dirección del Dr. D. Laureano
Escudero Bueno.
Madrid, Marzo 1995
D. LAUREANO ESCUDERO BUENO, PROFESOR DEL DEPARTAMENTO O]E
ESTADíSTICA E INVESTIGACION OPERATIVA DE LA UNIVERSIDAI
COMPLUTENSE DE MADRID.
CERTIFICO:
Que la presente memoria titulada:
SOBRE CORTES LAGRANGIANOS FUERTES EN LA RESOLUCION DEI
PROBLEMA DEL ORDENAMIENTO SECUENCIAL
ha
sido
realizada
Ciencias
bajo
Matemáticas
constituye
mi
dirección
Dña.
M.
Teresa
por
la
Licenciada
ei
Sánchez,
y
Ortuño
II
su Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencia c
Matemáticas.
Y
vigente
para
que
conste,
y a los efectos
en
cumplimiento
que haya lugar,
Madrid a 28 de Marzo de 1995.
de
firmo
la
legislaciói
el presente
ei
¡
u
u
u
u
u
¡
u
u
u
u
u
E
u
u
u
u
u
u
u
¡
A mis padres.
AGRADECIMIENTOS
No quisiera
profesor
L.
trabajo,
por
orientaciones,
trabajar
comenzar esta
Escudero,
haber
bajo
cuya
hecho posible
enseñanzas
a su lado
memoria sin expresar
y
su
dirección
la
ha
sido
elaboración
inestimable
ha sido una fuente
del
ayuda.
mi gratitud
realizado
mismo
La
al
este
con sus
posibilidad
de enriquecimiento
de
constante
durante los años de elaboración de esta memoria.
Agradezco también al Departamento de Estadística
Operativa,
a sus directores
P.
Ibarrola
y
L.
Pardo,
e Investigación
y
a
miembros el haberme brindado la posibilidad de desarrollar
en un ambiente realmente
además
de
excelentes
propicio.
cornpai¶eros,
todos
sus
mi trabajo
Mención especial merecen los que,
han sabido
ser
amigos
y
fuente
constante de apoyo y estímulo a lo largo del camino, no siempre fácil,
recorrido
en estos años.
Por último, he de agradecer la gran comprensión y el apoyo moral
recibido por parte de mis padres, mis hermanos, de los amigos, que han
seguido
paso
a
paso,
sin
entender
a
veces
pero
siempre
des 1e
el
cariño, el trabajo que ha dado lugar a esta memoria.
Madrid, Marzo 1995
INDICE
PROLOGO
CAPITULO 1: DESCRIPCION DEL PROBLEMA Y PRELIMINARES
1.1 Introducción
1.2 Descripción del problema
2
1.3 Campos de aplicación
4
1.4 Notación
4
1.5 Definiciones básicas
6
1.6 Problemas de Optimización Combinatoria relacionados con el SOP
E
1.6.1 El problema de asignación
8
1.6.2 El problema del árbol generador de peso mínimo
9
1.6.3 El problema del camino mínimo
10
1.6.4 El problema del flujo máximo
10
1.6.5 El problema del viajante
12
1.7 Cotas superiores y cotas inferiores en optimización combinatoria
1.7.1 Complejidad
14
14
1.7.2 Procedimientos aproximativos
(heurísticos)
18
1.7.3 Procedimientos de relajación
20
CAPITULO 2: METODOLOGíA BASADA EN EL PRIMAL
2.1 Introducción
23
2.2 Modelos
25
2.2.1 Introducción. Equivalencia y bondad de modelos
2.2.2
Diférentes
modelos 0—1 equivalentes
25
para el SOP con
relaciones de precedencia
2.2.3 Modelo 0-1 para el SOP con relaciones
28
de precedencia
y acotaciones
2.3 Preproceso
33
37
2.3.1 Eliminación de arcos del conjunto A
37
2.3.2 Reducción del intervalo (r,d)
38
2.3.3 Eliminación de arcos del conjunto TI
39
2.3.4 Adición de arcos al conjunto II
40
2.3.5 Transformación de desigualdades en igualdades
40
2.3.6 Test de infactibilidad
41
U
Indtce.
2.4 Obtención de cotas inferiores. SO? con relaciones de precedencia
2.4.1
Algoritmos de separación. Metodología
42
2.4.2 Identificación de condiciones de eliminación de subciclos
2.4.3
2.4.4
Identificación de condiciones que
preservan
42
43
U
relaciones
de precedencia
49
Algoritmo de planos de corte. Lineas generales
52
2.5 Obtención de cotas inferiores. SO? con relaciones de precedencia
y acotaciones
57
2.6 Algoritmo exacto
57
U
CAPITULO 3: METODOLOGíA BASADA EN EL DUAL
3.1 Introducción
61
3.1.1 Motivación
61
3.1.2 Desarrollo de la metodología
66
3.2 Modelo matemático
67
3.2.1 Modelización
67
3.2.2 Preproceso
68
3.3 Relajación Lagrangiana
‘U
68
3.3.1 Resultados fundamentales
68
3.3.2
71
Estimación de los multiplicadores de Lagrange.
Método del subgradiente
3.3.3
Relajación Lagrangiana del SO?. Método de generación de
filas y columnas para la estimación de multiplicadores
3.4 Algoritmo
general
de planos
de corte
utilizando
74
metodología
dual. Líneas generales
82
‘U
CAPITULO 4: CORTES VALIDOS PARA EL SO?
4.1 Introducción
85
4.2 Cortes válidos inducidos por las relaciones de precedencia
87
4.2.1 Obtención de cortes válidos
4.2.2
Identificación
‘U
de
restricciones
87
violadas.
Algoritmos
de separación
4.2.3 Ejemplo de identificación de restricciones violadas
91
103
1]
4.3 Cortes validos inducidos por las acotaciones superiores al
peso acumulado de cada nudo
107
4.3.1 Obtención de cortes válidos
107
4.3.2 Identificación de permutaciones. Búsquedas locales
115
4.3.3 Obtención del peso de un camino permutación
117
CAPITULO 5: REFORZAMIENTO DE CORTES VALIDOS PARA EL SO?
5.1 Introducción
119
5.2 Fundamentos teóricos
120
5.3 Reforzar restricciones tipo cubrimiento
129
5.3.1 Caso 1: Una restricción tipo cubrimiento como soporte
130
5.3.2 Caso 2: Una restricción tipo mochila como soporte
134
5.4 Reforzar restricciones tipo mochila
143
5.4.1 Caso 1: Una restricción tipo cubrimiento como soporte
143
5.4.2 Caso 2: Otra restricción tipo mochila como soporte
145
5.4.3 Caso 3: Misma restricción como soporte
147
5.5 Identificación de diques maximales
151
5.6 Ejemplo ilustrativo
‘152
APENDICE 1: DESCOMPOSICION DE BENDERS
157
REFERENCIAS
‘163
Prólogo
El
problema
Problem),
del
problema
viajante,
TSP
hamiltoniano
a coste mínimo,
más
ha
de
escrito
inglés,
que, planteado sobre una red,
circuito
se
(del
entre
los
Traveling
consiste en obtener un
es quizá el problema
problemas
Sálesman
no
resueltos
sobre
el que
dentro
de
la
Optimización Combinatoria
(es decir, problemas con complejidad N? para la
obtención
óptima).
de la solución
Esto es así no
sus aplicaciones,
sino porque ha sido un
influido
desarrollo
en
el
de
sólo por
problema
numerosos
la riqueza
paradigmático,
conceptos
de
de
que ha
optimizELción
y
algoritmos a lo largo de su historia.
La
aparición
“Solution
of
Journai
a
del
artículo
large—scale
of the Operations
de
Dantzig,
F’ulkerson
traveling—salesman
Research
Society
y
problem”
Johnson
(1954),
en
revista
la
of Amertca fue uno de los
principales eventos en la historia de la Optimización Combinatoria.
época ya Dantzig había
lineal,
y
problemas
contexto,
distintos
de
mediante
desarrollado el método Simplex para programación
problemas
asignación
En esa
y
de
adaptaciones
de
optimización
combinatoria,
transporte,
se
del
simplex
método
algoritmos con complejidad polinomial.
—1.—
habían
resuelto
que
dieron
como
en
los
este
lugar
a
Prólogo
El
problema
matriz C
de
(c),
=
asignación
consiste
en
elegir
n
elementos
de
una
u‘U
‘U
uno por fila y por columna, de forma que la suma de los
II
elementos
elegidos
sea mínima.
Este
problema puede resolverse
utilizando
técnicas de programación lineal de la siguiente manera:
sea el politopo P formado por todas las matrices de la forma X
satisfagan las condiciones
x
~ O
x
,
~11
Se plantea
Vi
x1
~
,
el problema de programación lineal consistente
Anbos problemas son equivalentes,
P son precisamente
con
posiciones),
y
las n! matrices
un
1
en
cada
el
óptimo
=
1
~li
Ecx
matriz XsP tal que se minimice la función
matrices
1
=
(x ) que
II
1
Vj
en encontrar
la
.
ya que en este caso los vértices de
que cumplen las condiciones (es decir,
fila
y
columna
del problema
y
O
en
todos
las
de programación
lineal
se
demas
alcanza
‘U
u
‘U
‘U
‘U
siempre en uno de los vértices.
Al
intentar
del viajante,
aplicar
donde x
el mismo procedimiento para resolver
=
1 significa
en el camino hamiltoniano
planteami~hto,•
identificación
X
el
del
politopo
Ex
Ex
=lVi,
1
Q
como
E x
5 ¡S~
—
=1
Vj,
substancialmente.
el
x
ji
¡
E
formado
por
Sea
todas
1
‘U
en su
la
siguiente
las
matrices
‘U
subciclos,
‘U
u
~O,
Ii
VS 1 1 <
S¡ < n
JES
donde
(i.e.,
cambia
que, aunque similar
j
(x) que sati~facen
=
¡ES
que nos movemos del nudo i al nudo
elegido, se observa
problema
el problema
la
nueva
condición
caminos hamiltonianos
probleiha
condiciones
de
asignación
así
no
introducidas
introducida
evita
la
formación
de cardinal
inferior a
excluía
su
para
en
problemas
~
planteamiento.
de
medianas
de
situación
El
que el
número
de
dimensiones
es
exponencialmente grande.
Se advierte por tanto que ahora el número de condiciones necesarias
para definir el politopo se incrementa de manera considerable,
pero; sobre
todo, que en este caso ya no es cierto que todos los vértices de
Q
tengan
u
u
u
‘rólogo
coordenadas
entéras
0—1. Es por eso necesario añadir una nueva condición
al problema que asegure la integralidad
de las soluciones,
pasando así de
un problema resoluble por técnicas de programación lineal a un problema de
programación
lineal
entera,
cuyas
técnicas
de
solución
no
estaban
desarrolladas en absoluto en esos momentos.
Q
Si, dadas todas las matrices X del politopo
ó
1
un
(todas
los
nuevo
posibles
politopo,
caminos
sea
R,
hamiltonianos),
cuyos
vértices
con todos sus valores O
fuera
posible deierminar
fueran
exactamente
soluciones,
entonces el problema podría
resolverse
utilizando
lineal.
politopo
envoltura
convexa
El
soluciones
R
deseado
factibles.
caracterizan
Pronto
es
la
se
observó
que
las
estas
programación
de
todas
las
desigualdades
que
este politopo no son de fácil obtención y. en cualquier caso,
..1
el número requerido haría infactible su utilización para fines practicos.
Así, Dantzig,
partiendo
de
Fulkerson
una solución
introduciendo
y Johnson especularon con la posiblilidad
óptima
en el problema
o
casi
caracterizado
óptima,
probar
por
politopo
adicional de desigualdades (denominadas cortes)
completo
el
politopo
R,
ninguna solución entera.
viajante
con 49
planos de
eliminaran
optimalidad
Q
un
soluciones
fraccionales
pero,
sobre todo,
mostraron
era relavante
en general
para
sin
un
vez,
se
utilizó
el
desarrollo
ha
sido
problemas
de
optimizaclón
concepto
fundamental
para
que el concepto de
resolver
otros
de
Branch—and—Bound,
la
solución
combinatoria
de
eliminar
problema del
problemas de programación lineal entera. Además en ese artículo,
primera
número
que, aún no definiendo por
De esta forma lograron resolver
ciudades,
corte
el
la
de,
la
tipos
quizá por
técnica
mayoría
planteados
en
el
determina
cotas
de
marco
cuyo
de
de
los
la
programación lineal entera.
Otro
procedimiento
aplicar algoritmos
importante
que
de tipo Branch-and-Bound
que se describe
en el capítulo 3.
primera
de este procedimiento
TS?
versión
más
relajaciones
para
eficiente
que
lineales.
el desarrollo
todos
de técnicas
es la relajación
las
para diseñar
obtenidos
problema
del
hasta
un
algoritmo para
entonces
viajante
servía
la
el
utilizando
de base
de optimización cuyo uso se extendería
—Lii—
que
Lagrangiana,
HeId y Karp (1910, 1971) utilizaron
los
De nuevo el
sobre
a
u
Prólogo
numerosos problemas combinatorios.
En
fotma
cuanto
a sus aplicaciones,
simétrica,
TSP,
(con
-
c
el problema
c
=
JI
Vi,j)
del viajante,
como
inglés Asymmetric Traveling Salesman Problem),
tanto
asimétrica,
en su
ATSP
es el modelo
(del
clásico para
U
‘U
U
U
secuenciar de forma óptima un conjunto de elementos. Normalmente, el valor
óptimo
de
la
secuenciar
reales
secuenciación
pares
pueden
Aparecen
elementos
modelizarse
secuenciación
adicionales,
de
buscada
tal
así
se
como
sucesivos.
de esta
debe
que modifican
nuevos
expresa
Aunque
forma,
de
los costes
multitud
en gran
satisfacer
de
número
de
situaciones
de
la
tipo
la
naturaleza
del
problema.
que deben
ser
estudiados
combinatorios,
de
casos
otro
notablemente
problemas
la suma
condiciones
U
independientemente.
Una de las
presencia
de relaciones
antes que otros
en
condiciones adicionales que aparece
problemas
cJe precedenc La; ciertos
en la secuencia.
de
secuenciación
con frecuencia
trabajos,
U
elementos deben aparecer
Otra condición frecuente,
de
es la
donde
cada
especialemente
elemento
lleva
asociado un peso, es la presencia de fechas tope antes de las cuales cada
elemento debe haber sido secuenciado.
Escudero
que
llamó
(1988) introdujo
Problema
del
el ATSP
con relaciones
Ordenamiento
Secuencial,
de precedencia,
SOP
(del
al
inglés,
Sequential Ordering Problem).
Escudero y Sciomachen (1993) han extendido el problema introduciendo
U
‘U
pesos en los nudos del graf o del problema y acotaciones en el peso de los
subcaminos desde el origen hasta cada nudo o elemento.
Este es el problema
objeto
dividida
de
estudio
en
esta
monografía,
que
está
en
cinco
U
capítulos, estructurados, de la forma siguiente:
En el capítulo 1 se describe formalmente el problema del ordenamiento
secuencial
establece
así,
como
otros
su complejidad
de resolución
problemas
algorítmica
combinatorios
y se describen
relacionados;
los métodos generales
para problemas de este tipo que se aplican actualmente
optimización combinatoria.
-Lv-
se
en
U
U
‘U
u
-s’.
Prólogo
El capítulo
2 recoge
el
estado actual
al problema que nos ocupa, centrada
primal,
consistente
problema.
los
en
trabajar
algoritmos
de
referente
sucesivas
relajaciones
lineales
del
modelizaciones para el SO? y se resumen
separación
violadas e introducirlas
la investigación
en la metodología que denominaremos
con
Se estudian diferentes
de
desarrollados
para
detectar
restricciones
en forma de planos de corte válidos que refuerzan
la relajación lineal actual.
Para el SO? (i.e.,
los
resultados
ATSP con relaciones
computacionales
obtenidos
de precedencia y acotaciones)
a
partir
de
esta
metodología
muestran
que el modelo no proporciona buenas cotas inferiores,
general,
a pesar
nuevos
cortes
lentamente.
identificar
detectados,
Por tanto,
nuevo enfoque,
solución
de
a
la
relajación
del
la función objetivo
no
mejora,
lo hace
añadir
parecía necesario enfrentarse
que permitiera
óptima desde
y
ya que en
o
problema
muy
al problema desde un
la obtención de una mejor cota inferiér a la
la que iniciar
la metodología
branch—and—bound.
A
este proposito está dedicada el resto de la monografía.
El capítulo 3 está dedicado a establecer las bases de la metodología
que
denominaremos
referentes
para
la
obtiene
dual.
En el
a la relajación
aplicación
un
de
nuevo
lagrangiana,
esta
método
se recogen
relajación
para
la
los resultados
se desarrolla
a
la
estimación
el
resolución
de
fundamentales
algoritmo básico
del
501’,
y
los multiplicadbres
se
de
Lagrange. Este nuevo método está basado en la aplicación de la metodología
de descomposición de Benders y en la generación de cortes para el 4roblema
relajado
que,
en
nuestro
caso,
es
el
mínimo peso. Así, el problema relajado
ser un problema combinatorio,
problema
de
la
arborescencia
de
pasa de ser un problema lineal a
conservandose siempre la integralidac de las
soluciones obtenidas.
A la identificación
el
capítulo
cortes
4.
válidos
acotaciones
En
las
de cortes válidos para el problema está dedicado
secciones
inducidos
(condiciones
por
que
las
no
4.2 y
4.3,
relaciones
han
sido
respectivamente,
de
precedencia
introducidas
en
se
obtienen
y
por
el
las
problema
Prólogo
relajado),
y se desarrollan
diversos
algoritmos de separación
‘U
‘U
que permiten
1
detectar
dicho
y
reforzar
problema.
estructura
cortes
La
que sean
inclusión
de arborescencia
de
del
violados
estos
por
cortes
problema
la
solución
válidos
relajado,
no
pues
actuál
de
destruye
la
estos
cortes
se
utilizan para modificar los coeficientes de la función objetivo.
Finalmente,
en el
sobre reforzamiento
coeficientes,
capítulo
de condiciones
aquellos
cubrimiento
reforzamientos
forma
tomando
4 antes
si
sus
anteriores,
deteriorar
al
base algunos
para reforzar
de ser introducidos
cortes ya detectados
o;
como
de tipo cubrimiento
se propone una metodología
obtenidos en el capítulo
como
5,
e introducidos,
ya
restricciones
tipo mochila.
la
función
objetivo,
via incremento
los cortes
en el problema,
sido
incrementados
Se pretende
para
acelerar
de
válidos
sean restricciones
coeficientes
máximo
han
trabajos
así
U
‘U
tipo
en
de esta
así
U
‘U
su
u
U
convergéncia al óptimo.
u
U
u
-vi-
U
U
U
U
U
U
U
U
u
Capítulo
1
Descripción del problema y Prelimináres
1.1.- INTRODUCCION
El
Problema
Problem),
clásico
tanto
para
del
en
Viajante,
su forma
secuenciar
Normalmente,
de
TSP
(del
simétrica
forma
inglés,
como
óptima
Traveling
Salesman
¡
asimétrica,
es
el
conjunto
de
elementos.
un
modelo
el valor óptimo de la secuenciación se expresa como la suma
de los costes de secuenciar pares de elementos sucesivos.
Aunque multitud
de situaciones reales pueden modelizarse de esta forma, en gran núMero de
casos
la
secuenciación
adicionales,
tal
que
Aparecen, por tanto,
buscada
debe
modifican
satisfacer
notablemente
otro
la naturaleza
nuevos problemas combinatorios,
el problema que nos ocupa,
tipo
de
condiciones
del problema.
uno de los cLales es
el Problema del Ordenamiento
Secuencial,
SOP
(del inglés, Sequential Ordering Problem).
Este capitulo está organizado de la forma siguiente. En la sección 1.2
se
define
sección
1.3
formalmente
se
recogen
sección 1.4 se introduce
el
trabajo.
A
el
Problema
algunas
del
de
sus
Ordenamiento
aplicaciones
la notación que se utilizará
continuación,
en las
secciones
1
1.5
y
•1
En
la
prácticas.j
En
la
Secuencial
a lo largo
1.6,
se
de todo
definen
los
Capítulo
conceptos
aquellos
básicos
los
sección
1.7,
algorítmica
de
necesarios
problemas
algoritmos
este
se
la
relacionados
desarrollan
encuadra
exposición
el
posterior,
así
como
con el SO? o necesarios
posteriormente.
problema
y Preliminares
de
Por
acuerdo
a
último,
su
en
en
la
compleJidad
En
esta
sección
que se desarrollarán
se
presentan
la
en los capítulos
teoría
y
posteriores,
el
tipo
indicando,
tanto, el marco de los trabajos objeto de esta monografía.
de
u
por
‘U
‘U
‘U
.
1.2.- DESCRIPCION DEL PROBLEMA
Sea un grafo dirigido o digrafo G
nudos
y
V(i,jkA.
(i,i 3 )
A
es
Un
el
conjunto
camino
(i r—1 ,~ r ),
del Viajante
es
tal
ir
(V.A). donde V es el conjunto de
=
arcds.
secuencia
que
Sea. c1
de
(TSP)
Problema del
todos
peso
del
arco
y
arcos
i1,
(i 12
r—l.
El
nudos
Vk=l
(1 k ,i k+1 kA
,~
(i,j)
).
12.
Problema
si
c
Viajante
ji
los vértices
de O sin repetir
ninguno,
c
=
V(i,j)cA.
En
caso
contrario
se
denomina
ji
Asimétrico
(ATSP).
En este trabajo
secuenciado.
u
tal
que A
=
A
U
Sea (k
1)
la
secuencia
<(O,j) VjsV> con c
ej
~ O,
camino, y sea u el último
ordenada
de nudos
desde
nudo •k hasta el núdo 1 en un camino Hamiltoniano dado. Así 31 ~ (0
nudo
1,
1) si el nudo i pertenece
y
denota por
nudo
sea
(i,jk(k
1) si el
el
u).
arco
(i,j)
forma
parte
del
camino. Se
i<j el hecho de que el nudo i se secu~ncie en 31 antes
factible
el grafo
debe
diflgido
satisfacer
1’
las
=
(N,fl) con N
relaciones
de
C
V
tal
en O. Se supone que IT tiene
2
que un
precedencia
conjunto de arcos fl, de forma que (i,j)sTl exige que i <
Hamiltoniano factible
‘U
‘U
al camino desde el nudo k hasta el
que el
j.
Sea
‘U
se supone que
lquec ji *c.JI
desde el que se supone que comienza cualquier
Sea ie(k
‘U
tal
El problema se denomina Problema del Viajante
Sea O el nudo ficticio,
nudo
el
consiste en obtener un camino Hamiltoniano 31 en O, es decir,
que su peso sea mínimo.
3(i.j)EA ta
de
una
un camino que contenga
Simétrico
1
y se exponen los métodos generales de resolución de problemas
tipo.
técnicas
para
combinatorios
que
se
1. Descripción del problema
‘U
‘U
‘U
j
dadas
camino
por
1
‘U
31
el
U
en todo •camino
la propiedad transitiva
a
‘U
‘U
1]
Capítulo
cerrada
(i.e.,
si
(i,k)eTI
1. Descripción del problema
y
(k,jkfl
entonces
introdujo el ATSP con relaciones de precedencia,
(i,j)EIfl.
y Preliminares
Escudero ~(1988)
al que llamó Problema del
Ordenamiento Secuenc ial.
Escudero y Sciomachen (1993) han extendido el problema introduciendo
pesos
en los nudos del grafo y acotaciones en el peso de los subcaminos
del camino 31 factible en G. Sea p
Dado
un vértice
i,
sea
y1
j,
el peso del nudo
el peso acumulado del
VjeV, con p
nudo
i en
un
=
O.
camino
hamiltoniano 31 factible en G, tal que
c
L
(a,b)E(O
ab
II
Por tanto
Y’
+
<1.1)
L
bCO
1>
el peso total del camino hamiltoniano
coincide con el peso
acumulado del nudo u.
Sea el vector n—dimensional d tal que d
proporciona una cota superior
al peso acumulado del vértice i, VieV en cualquier camino factible 31.
El PROBLEMA DEL ORDENAMIENTO SECUENCIAL (SOP) consiste en, dado un
graf o dirigido con pesos en los vértices y en los arcos, obtener unl camino
hamiltoniano
con
precedencia
y
peso
total
con acotaciones
mínimo
superiores
satisfaciendo
en el
peso
las
relaciones
de cada
de
subcamino
hamiltoniano.
Formalmente,
d
1
VieV y c
dados los digrafos G=(V,A) y P=(N,TI), y los atributos
V(i,j)eA, el SOP consiste en obtener
lj
el camino Hamiltoniano
31 en O tal que
a. S (j,i)eTI para
b. y
5
d
i<j
en 31.
VicV, donde la expresión para y1 viene dada en (1.1).
c. El peso
(1 , j
Si 11=0 y
~
c
es mínimo.
>efl
3j
e y 1 d
es finito,
el SO? se convierte
en él ATSP.
CLawler et al. (1985) recogen numerosas referencias sobre el TSP/ATSP.)
3
Capítulo 1. Descripción
del problema
y Preliminares
1.3.- CAMPOS DE APLICACION
El
SOP tiene
gran
número
de aplicaciones
prácticas.
obvia es el ATSP con ciudades origen y destino fijadas,
una
ciudad
requiere
una cántidad
dada de
ciudades debe satisfacer unas fechas dadas.
El SOP aparece, pér ejeñiplo, y es
problemas
de
planificación
de
la
tiempo
una
y
Una
en el que visitar
la
partida
aplicación
produccióñ
(ver
de
las
interesante,
en
Escudero,
1989).
El
problema básicamente
es el siguiente:
tiene que procesar
un
conjunto
sólo puede ejecutar uno cada vez y los trabajos
no
de trabajos,
pueden ser
proceso
proceso
interrumpidos
después de comenzados.
Se condce
el tiempo de
para cada trabajo. Además existe un tiempo de ajuste entre el
de dos trabajos distintos, que depeñde de ambos trabajos. <La
secuenciación de trabajos
que pertenecen
ningún tiempo de ajuste).
ser
Una máquina
aplicación
entregado.
trabajos,
a la misma familia
relaciones
de precédencia
entre
de forma que algunos no puedeh dómenzar hasta que otros
finalizados.
El objetivo
satisfagá
todás
estas
consiste
en~ obtener
condiciones,
tal
la secuencia
que
se
el
los
estén
de trabajos
minimicé
‘U
‘U
‘U
‘U
no precisa de
Cada trabajo puede tener una fecha límite para
Además pueden existir
“U
‘U
‘U
‘U
que
tiempo
“U
‘U
de
‘U
Sea el graf o dirigido G=(V,A), donde y es el conjunto de vértices y A
‘U
‘U
finalización del último trabajo que se procese.
1.4.- NOTAGION
el
conjunto
de
arcos,
subconjunto
de
A,
y
y
los
sean
W
vectores
y
W’
xeR
dos
,
subconjuntos
z,aeR
Para
hamiltoniano 31 en G, se define:
1) A(W) es el conjunto de arcos del. subgraf o generado por W;
A(W)
< (i,jkA 1 i,j ~ W >
E
(1 , j )EF
x
de
V,
un
F
un
camino
‘U
‘U
u
‘U
“U
•
•/•~•
•
Capítulo
1. Descripción del problema
3) Por simplicidad de notación nos referiremos
una
secuencia
de
nudos
(i ¡2~
r
)~
a veces a un camino como
enumerando
implícitamente
arcos que los unen, o como una secuencia de arcos
nudos.
Así,
j
hasta
j)
(i
representa
el
y Preliminares
conjunto ordenado
los
sin mencionar
los
de nudos desde
en el camino 31.
4) Dado el conjunto W = <i,a,b,j> y el subcamino (i,a,b,j),
x(i,...,j) = x+
x(W)
5)
(i
6)
i<j
x(A(W))
j)
U
(a
b)
que
el
significa
representa
nudo
i
se
inmediatamente antes) que el nudo
7)
6¾j) <
87(j)
el
conjunto
secuencia
j
antes
ordenado
(no
de
nudos
necesar~iamente
en un camino Hamiltoniano dado.
(j,k)eA >
< (i,j)EA }
8) w(W) es el conjunto de todos los arcos con nudo origen en W,
(i.e. (i,j)sA 1 kW, j~W)
w(W) es el conjunto de todos los arcos con nudo destino en
(i.e. (j,i)eA ¡ jtW, kW)
9) W:W’E w~(W) ~ &(W’) = < (i,jkA 1 kW, jcW’>
Por tanto, W:W
10) j:W
W:j
11)
E
E
E
A(W)
{<jbW>
VjeV
{W:{j»
VjeV
N(F) es el conjunto de nudos de y incidente en el conjunto de arcos F.
5
‘~Capítulo 1. DescrLpción~del
problema
y Preliminares
12) z(i) e~ el nudo que se s~&íencia inmediatamente después que el nudo i
en un camino 31 dado.
13) a<i) es el nudo que se secuencia inmediatamente antes que el nudo i en
un camino 31 dado.
14)
Dado
el
camino
(j,a(j),a(a(j))
Hamiltoniano
z(z(i)),z(i),i),
j
nudos dei a
j)
(i
es
decir,
la
es
el
secuenciación
camino
de
los
en orden inverso.
~
15) P(j) es el conjunto de nudos tal que ieP(j)
16)
j)
R(i
(i,j)EII.
‘U
V(a,b)EA
Tab
De
acuerdo
con
Hamiltoniano(O
esta
notación,
el
peso
acumulado
del
camino
i) será
y
~=Z
(1.2)
‘ab
(a,b>E(O
1.1: Se llama árbol
1.2:
a un grafo
conexo y sin ciclos;
Se llama
‘U
Se llama arborescencia
a un ditaf o conexo y sin ciclos,
tal que cada nudo es vértice destino de un único arco, exceptuando un nudo
al que no llega ningún árco, llamado nudo raíz.
Definición
conjunto
1.3:
V’cV,
= (v’.E~A
Dado
se
‘U
‘U
bosque a un grafo sin ciclos.
Definición
‘U
1)
1.5.- DEFINICIONES BASICAS
Definición
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
un
llama
grafo
(digrafo)
subgrafo
G
generado
=
(V,E)
por
y’
<~ = (V’,A,) ) donde
E~~= { <x,y>EE 1 xCV’, yeV’ >
6
CG
=
(V,A))
al
grafo
y
un
(digrafo)
‘U
U
‘U
‘U
‘U
U
u
Capítulo
Definición
conjunto
1.4:
FcE
(digraf o) G
Dado un
(EcA)
se
1. Descripción del problema y Preliminares
grafo
llama
(digrafo)
graf o
(V,E)
G
parcial
CG
generado
=
(V,A))
y
F
graf o
por
al
un
(y ,F), donde V ~V recoge sólo los nudos que definen’ (nudos
F
F
F
origen o destino) algún arco en F.
Definición 1.5: Dado un grato G
grafo
parcial
conexo y
Dado un digrafo G
grafo
parcial
(V,E) se llama árbol generador de G a un
sin ciclos de G que contiene
(V,A) se llama arborescencia
=
de
=
G,
sea
G
(V,C)
c
con
a todos sus nudos.
generadora
CcA,
tal
de G a un
que
G
c
E~s una
arborescencia
Definición 1.6: Dado un digraf o O
=
(V,A) se llama camino Hamiltontano en
G a un camino en G que contiene a todos sus nudos. Si el nudo inicial y el
nudo
final
del
camino
coinciden,
entonces
se
denomina
circuito
Hamiltoniano.
Definición
conjunto
1.7: Dado
de arcos
un
QSA
digrafo
1.8: Dado un
precedencias,
=
tal que verifica
conexo y ningún subconjunto de
Definición
G
Q
(V,A) se llama
a un
que el graf o 0=
(y,
digrafo G
=
(V,A) y un
digrafo
P
=
en 0,
denotará por SOP(n,P), donde n
Definición
es decir,
E
(V,fl)
de
a la envoltura
convexa del conjunto de puntos que son vectores de incidencia
factibles
es
verifica esta propiedad.
se llama politopo del ordenamiento secuencial
hamiltonianos
no
soluciones
factibles
de caminos
del
SO?.
Se
¡Vj.
1.9: Dado un politopo P
=
conv < xe<O;l>~ 1 Ax
5
b
>
,
conde
j
A
es una matriz real mxn y b un vector m—dimensional, una desigualda c 1 de la
forma ax
5
¿3 es una desigualdad válida para 1’ si se satisface
pa Y a todo
xEP.
Definición
1.10:
Se
llama
cara
de
un
politopo
P
desigualdadaxalconjuntoF={xeP/ax=z(3>.
cara se llama propta. En este ¿aso, se dice que «x
7
correspondiente
a
Si0*F*Pla
5
(3 define una ca¡-a.
la
Capítulo
Definición
1.~ Descripción del problema
1.11: Un politópo P es de dimensión
k (dim 1’
y Preliminares
= k)
si el máximo
‘U
‘U
número de j5untos en P afínménte indepéndientes es k+1.
Definición
1.12: Se llama faceta de un politopo 1’ a toda cara propia de 1’
con dimensión máxima; es decir, una cara F del politopo P es una faceta si
y sólo’si dim F= dimP
-
1.
1.6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACION COMBINATORIA RELACIONADOS CON EL
‘U
‘U
U
SOP Y CON SU RESOLUCION.
1.6.1.— El problema de asignación (Asigninent Problem, AP).
Dada uná matriz cuadrada C de dimensión n, donde c
corréspondiente
asignación
a la fila
consiste
en
i—ésima y
la columna j—ésima,
encontrar
una
permutación
es el elemento
el problema
(i
i
n
de
)
de
las
columnas de C tal que se minimice ~ c
j
-
Muy
frécuentémente,
el
ji
problema
descrito
tiene
su
aplicación
en
el
caso en que sea preciso asignar recursos a tareas a coste mínimo, tal que
cada recurso ha de asignarse a una y sólo una tarea y cada tarea sólo
puede
tener
asignado
un
recurso.
En
estás
asociado a la a~igñación del recursó i a la tarea
casos
c
recoge
el
coste
j.
Este problema se puede modelizar c¿mo problema de programación 0—1 de
la siguiente forma:
1,
o,
‘U
U
‘U
U
U
1~
caso
cóntrario
asigna
la fila i a la columna
‘U
‘U
j
Entonces, el problema de asignación consiste en
Mm
~
1=1
cx
j=1
s. a.
8
‘U
U
U
U
u
• -‘41
Capítulo
(1)
41t”
1. Descripción del problema
~x~~=í
V=l
n
Vil
n
y Preliminares
¡=1
Zx
(2)
=1
j =1
(3)
x c<O,l>
Vi,j=l
n
ji
Existen
excelentes
algoritmos
para
resolver este problema, como el
famoso método Húngaro, de complejidad 0(n3) y, por tanto, fuertemente
polinomial. Hoy día los algoritmos más utilizados tienen com¡5lejidad
O(Vfi m log(nC)), y, por tanto, así llamada débilmente polinomial, donde m
(i,j)
es el número de arcos
con c
>0,
y
C = max <
c
1~ >
II
.~Asi el
(1.1)
.
algoritmo de Bertsekas (1991) y otros. Ver también Ahuja, Magnanti y Orlin
(1993).
1.6.2.—
El problema de la arborescencia generadora de peso mínimo (Min—Sum
Arborescence Probíem).
Sea G = (V,A) un digraf o conexo en el que cada arco ueA tiene asignado
un
peso w(u),
generadora
de
donde uE(i,j) para i,jsV.
peso
mínimo
consiste
El
problema
en
de la arborescencia
encontrar
la
arboréscencia
generadora de G con menor suma de los pesos de sus arcos. La solu’ción de
este problema
para el caso de grafos
no
dirigidos
(problema
del
árbol
generador de peso mínimo, minimum spanning tree problem) fue und de los
primeros
éxitos
polinomial.
de
la
(Ver Kruskal
optimización
siendo
también polinomial; ver el algoritmo de Edmods (1967).
En el desarrollo
de
nuestro
a Fischetti
la implementación
problema
complejidad
es
utilizaremos
La complejidad del
su
dirigido
trabajo
(1956)).
combinatoria,
debida
y Toth
(1993).
Este problema se puede plantear como un problema de programación 0—1,
{
tal que se define la siguiente variable 0—1:
=
1, si el arco (i,j> pertenece a la arborescencia
O, en caso contrario
9
U
Capítulo
1. Descripción del problema
y Preliminares
a
Sea O el nudo origen de la arborescencia generádora tal que 3(O,j)eA y
3(j.OkA, VjeV.
z
=
ctx
Mm
U
U
U
s.a.
(1) x(A)
‘U
n—l
=
(2) x(8(j))
=
1
VjEV\{O>
(3) x(W) ~
lWI—l
‘U
U
2 5 4W~ 5 n—l
VWcV,
E’
(4) xeB
1.6.3.- El ptoblema del camino mínimo (Sharkest Path Prabíem).
Dado un digrafo G
(V,A), donde cada arco u=(i,j)sA tiene asociado el
u
parámetro 1(u), llamado longitud de u, el problema del camino mínimo desde
U
un vértice
forma (a
=
a hasta otro vértice
b) tal que minimice
Z
uE(a
Las lon~iiudes
b consiste en encontrar
un camino de la
1(u)
1,)
s
de los arcos pueden ser positivas o negativas,
mientras
no exista ningún~ ciclo dirigido con lonáitxíd negativa en G.
La complejidad de este problema es polinomial, 0(n2) para redes tales
que <I(u)~O VucA ~y 0(nm) (0(n3) para grafds completós) cuando no hay
restricción
én el signode
las longitudes<de
arco.
Ver Gallo y Pallottino
(1988); y Ahúja, Magnánti y Orlin (1993).
1.6.4.— ,EI probléma del flujo máximo (Maxi¡num FIaw Prohlem).
Dado un digrafo G
=
(V,A). con
IAL
=
m, douide cada arco
u=(i.j)EA
tiene asociado el parámetro real no negativo c(u) denominado capacidad del
arco, sean las siguientes definiciones:
lo
U
U
U
U
U
U
U
1]
•
.,.—
Capítulo 1. DescrIpción del problema y Preliminares
Definición
1.13: Un flujo
a través de G es un vector
~
=
(~
Y)
de
forma que se verifica la siguiente ley de conservación de flujo:
E s. E
VieV
=
úEd<i>
Definición
1.14: Un flujo
uE6(I>
de s a 1 es un vector q, tal que verifica la ley
de conservación de flujo Vi*s,t, y además se verifica que
E~
=
ued(5>
uEd(t)
Definición 1.15: Un flujo ~ es compatible con G si ~
5
c(u) VusA.
Definición 1.16: Se llama valor de un flujo ~ de s a 1 a
v(9’)=
u68 (s>
Dado un digrafo O
=
<V,A), el problema de flujo
s,teV consiste en encontrar un flujo
máximo de s u 1 para
compatible a través de A tal que su
valor sea máximo.
Definición
1.17:
Dado
un
digraf o
G
=
(VA),
un
conjunto
Q~A~ es
un
(s,t)—corte si su eliminación separa a 0 en dos componentes conexas y s y
t no
pertenecen
a la misma
componente
divide a y en dos conjuntos disjuntos,
conexa.
Un (s,t)—corte, por tanto,
sean W y W, tales
.
que seW (i.e.,
sSW) y tEW. Así, Q=6(W).
Definición 1.18: Se define la capacidad de un corte, c(87(W)), como
cCi,j)
cG3 (W)) =
iEW,jcW
11
Capítulo 1. Desc?ipción del problema
Teorema
1.1: (Fórd y Fulkerson
y Preliminares
1956,1962) Sea ~ un flujo compatible en un
digrafo G. Si 6(W) es un corte en G, entonces
v(9’) 5 c(6(W)).
Teorema 1.2: (Flujo máximo—córte mínimo) (Ford y Fulkerson (1956)> Dado un
digrafo O se verifica:
max
v(9’) 1 9’ compatible
<
mm
> =
c(8(W)> 1 8(W) corte en O
<
Por tanto el problema del flujo máximo también se puede formular como
sigue: Dado un digrafo O con capacidades asociadas a sus arcos, encontrar
un corte tal que su capacidad sea mínima.
La
complejidad
problema,
tales
como
también
(1993),
O((n+m)(log
de
es
los
algoritmo~
el algoritmo
polinomial,
n)(m+nlog
n))
de Goldberg y
siendo
para
el
utilizados
para
Tarjan
O(ñm
• 2log 2 n)
segundo.
Para
resolver
(1988)
para
una
el
y
Orlin
y
sobre
algoritmos de flujo, ver Ahuja, Magnanti y Orlin (1989, 1993).
1.6.5.— El problema del viajante (Traveling Salesman Prablem, TSP).
Dado un digrafo O
para
(i,jkA,
i,jsV,
el
consiste en encontrar
sea mínima,
=
(V,A),
con pesos c
problema,
asociados a los arcos
propiamente
denominado,
del
‘U
‘U
‘U
‘U
“U
‘U
‘U
‘U
este
primero
panorámica
‘U
(i,j),
viajante
un circuito hamiltoniano 3< en O tal que su longitud
u
‘U
‘U
‘U
‘U
donde la longitud está expresada por la suma de los pesos c
lj
de los arcos en el camino.
En
la
asimétrico.
sección
1.2
se
efectúa
El TSP asimétrico
la
distinción
tiene una gran
de este trabajo.
12
del
TSP
utilidad
en simétrico
para
y
los objetivos
‘U
‘U
‘U
“U
1]
½.
•
.
•
x
una
lj
•.
Cap itulo 1. Descripción del problema
.
Sea
•..
variable
0—1
que
indica
si
en
y Preliñtinares
(i,j)
arco
está
en
el
circuito hamiltoniano o no, tal que
x
~
=
~
O,
si (i,j)E31
en caso contrario
La modelización 0—1 del ATSP más apropiada
para este trabajo es la
siguiente:
z
=
t
Mm
cx
s. a.
(1) x(A)
n
=
(2) x(&(j))
= 1
VjeV
(3) x(flj))
= 1
VjeV
<4) x(W)
5
W~-l
VWcV,
2
5
jw¡
5
n—l
(5) xeB
La versión de este modelo para la obtención del camino Hamiltor¡iano en
G de peso mínimo,
será
ampliamente
(donde la condición (1) es sustituida
utilizada
a lo largo de este trabajo.
por x(A)
(Ver, por
=
~jemplo,
sección 2.2.2).
El ISP es el problema de Optimización Combinatoria por
muy
utilizado
puede
en
considerarse
problemas
sección
la
literatura.
como
combinatorios
1.7.1);
por
tanto,
una
El
extensión
anteriores,
no
problema
se
no
del
objeto
ATSP.
de
A
es polinomial,
conocen algoritmos
antonomasia,
nuestro
estudio
diferencia j de
sino Nr—duro
polinomiales
los
(ver
para
su
descritos
en
resolución.
Los
esta
algoritmos
sección
desarrollados
son útiles
para
la
para
todos
resolución
(SOP).
13
los
del
problemas
problema
que
nos ocupa
Cap itulo 1. Déscri~ción
1.7.-
del problema
y Preliminares
COTAS SUPERIORES Y COTAS INFERIORES EN OPTIMIZACION
COMBINATORIA
La
importancia
aplicaciones
del
prácticas,
problema
que
viene dada
por
nos
el
ocupa,
hecho de que
típico de Optimización
Combinatoria.
En él tratamos
total,
problema
optimi~áción;
luego
soluciones
el
es
un
posibles
no
es un
de
conjunto
cohjunto
de
todos
los
posibles
condiciones.
Se
trata
por
tanto
desarrolladas
en
técnicas
el
continuo,
caminos
de
un
estudio
además
el
sino un
que
un
problema
una
y
la
de
finito:
serie
de
Así,
las
filosofía
subyacente a las metodologías que expondremos es válida para el estudio de
otros tipos de problemas combinatorios.
1.7.1. Complejidad
Existen
diferentes
formas
de medir la complejidad
en los que el número de iteraciones
del problema.
Elegimos de entre
los
que,
presenta
casos,
casos patológicos
aunque
precisión
términos
esta
el
teoría;
fumdamentales
casos
inconveniente
de
por
tanto,
utilizados
sólo
en
se
proporciona
este
hñ
definirán
trabajo.
Para
está
por
del peor de
permitir
que
sean
desarrollar
con
brevemente
los
una
exposición
polinomial
si
que lo resuelva tal que su complejidad en el peor de
acotada
por una función
problema. A un algoritmo de este ti PO
SC
polinomial
de n,
el tamaño
del
complejidad exponencial).
Un algoritmo no polinomial
es un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es una función no polinomial
n.
14
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
le denomina algoritmo polinom ial.
En caso contrario se dice que el problema tiene complejidad no polinomial.
(también denominada
‘U
‘U
‘U
‘U
la teoría
(1979).
1.19: Se dice que un problema tiene complejidad
existe un algoritmo
los
el análisis
No es el objeto de esta monografía
detallada sobre el tema ver Garey y
Definición
ellas
los que determinen la complejidad,
de la N~’—completitud.
en los algoritmos
no ,está fijado determinísticamente
el tamaño
‘U
‘U
un peso
conjunto
combinatorio.
problema
sus
conjunto
verifiquen
este
por
de minimizar
pero
problema
de
es
de
“U
en
‘U
U
‘U
u
Capítulo 1. Descripción
Las tablas
del problema
1.1 y 1.2 ilustran numéricamente
y Preliminares
la importancia de disponer
de algoritmos polinomiales para resolver un problema.
10
n
20
30
40
50
610
.00001
secs.
.00002
secs.
.00003
secs.
.00004
secs.
.00005
secs.
.00006
secs.
.0001
.0002
.0009
.0016
.0025
.0036
secs.
secs.
secs.
secs.
secs.
secs.
.001
secs.
.008
secs.
.027
secs.
.064
secs.
.125
secs.
secs.
3.2
24.3
1.7
mm.
5.2
mm.
.
.$216
3
n
n
2E’
.1
secs.
secs.
secs.
0.01
1.0
17.9
secs.
secs.
mm.
13.0
mm.
12.7
35.7
366
dias
años
~igíos
.059
58
6.5
3855
secs.
m¡n.
años
siglos
íJa~ío~
2x10~
siglos
siglos
Tabla 1.1 Tiempo de cómputo de la solución óptima en función del tamaño
del problema.
t=f(n)
n
Ordenador
actual
1
n
n
100 veces
más rápido
lOON
1
2
1000 vdces
más rápido
lOQÓN
¡1
1
ION
2
31.6N
2
n
2
4.64N
n
4
2”
6
3”
6
2.5N
4
ION
3.98N
4
6
N + 6.64
5
N +9.97
5 ¡
6
N + 4.19
6
N +6.29
6
Tabla J.2: Tamaño máximo de un problema a optimizar
(En función de tecnología superior>
15
en
una hora.
Cap itulo <It De.~éripción del problema
Formalmente
la ¿l~sificación de problemas según su complejidád en esta
teoría se reduce a problemas de decisión,
una respuesta
aplicabilidad
de la forma “sí” 6
de
la téoría;
puede reformular
casos,
se
y Preliminares
“no”.
es decir, problemas que exigen
Sin embargo esto no restringe
ya que cualquier
problema
de optimización
la
‘U
‘U
se
como un problema de decisión y. en la may9ría de los
verifica
c~ue
el
probleffla
de
optimización
tiene
complejidad
polinomial si y sólo si el problema de decisión asociado la tiene.
Definición
1.20:
Se
dice
que
el
problema
A
es
polinomial
al problema E, si existe un algoritmo
reducible
en
u
tiempo
para A que utiliza
un
algoritmo que resuelve el problema E, la utilización del algoritmo E es un
subalgoritmo polinomial y el resto de las operaciones del algoritmo para A
son también polinomiales.
Lema 1.1: Si existe una reducción en tiempo polinomial de A a E, y existe
un
algortimo
polinomial
para
E,
entonces
existe
un
algoritmo
U
polinomial
para A.
Definición
1.19: Se dice que el problema A es transformable
pólinomial
al problema E si A es reducible en tiempo polinomial a E, A y B
son problemas
de decisión
y
la
llamada
al algdritmo
para
en tiempo
B
se realiza
‘U
exactamente una vez.
Las principales clases en las que se agrupan los problemas de decisión
son las siguientes:
Definición
1.22: La clase
todos
problemas
los
de
(del
~‘
inglés, 9’olynomial time)
decisión
para
los
que
existe
es la clase de
un
algoritmo
poliriornial.
‘U
Existe una clase de pr¿blemas
se
ha
podido
resolución.
(del
‘U
probar
que
no
que no pertenecen a la clase ~P,pero no
existe
un
algoritmo
polinomial
para
su
Algunos de estos problemas se engloban dentro de la clase Al’
inglés,
Nondeterministic
décadas se han dado tres
Po]ynomial
diferentes
time).
formulaciones
Durante
de las
las
últimas
‘U
características
16
‘U
u
Cap itulo 1. Descripción del problema
de
los
problemas
desarrollo
de
Papadimitriou
en
esta
estas
y
clase,
todas
ellas
ver
Garey
formulaciones
Steiglitz
(1982)
entre
otros.
Se
y preíinkinares
equivalentes.
Para
y
(1979)
Johnson
un
y
introduce a continuación
una de ellas:
Definición
1.23:
transformables
La
clase
NP
es
la
clase
de
todos
los
próblemas
en tiempo polinomial al problema de programación entera.
Definición 1.24: Un problema de decisión A es NP—completo si:
a) AcNP
y
b) cualquier
problema de la clase NP es transformable
en
tiempo polinomial a A.
Por tanto,
demostrara
el problema de programación
entera es NP—completo.
que un problema NP—completo pertenece
problemas
de
la clase NP podrían
ser
P, todos los
a la clase
resueltos
mediante
Si se
algoritmos
en
tiempo polinomial.
Definición 1.25: Un problema (de decisión o no de decisión ) es NP2duro si
cualquier
problema de la case NP es reducible
(no necesariamente
transformable) en tiempo polinomial a dicho problema.
Se
verifica
que
probado
el hecho
abiertos
de
las
P~NP.
Como se ha indicado
de que P*NP
matemáticas
(es este
hoy día),
uno
pero
anteriormente,
de
los grandes
la hipótesis
no
está
p~oblemas
general
es
que
P*NP y, por tanto, que los problemas NP—completos pertenecen a NP\P.
La mayoría de los problemas que se engloban dentro de la Optirnización
Combinatoria
son problemas que pertenecen a la clase NP—dura.
(Problemas
polinomiales
son
del
generador,
el
problema
de
asignación,
el
problema
árbol
el problema del camino mínimo, y el problema del flujo
1 máximo
entre otros).
Es
bien sabido que el problema del viajante
es NP—duro.
Por tanto
también el SOP lo es. Es, por tanto, improbable que haya algún algoritmo
eficiente
para
obtener
recorridos
óptimos,
con
esfuerzo
computacional
17
4
_
u
Capítulo
áceptable,
1.- Desctipción del problema y Preliminares
cuando el tardinal
dcv es grande. Hoy día problemas de grandes
dimensiones
de los que se sosbecha que no tienen complejidad polinomial se
ábotdan
dos formas:
de
bien
-
pór prácedimientos
aproximativos,
bien
por
medio de relajaciones del problema.
1.7.2. Procedimientos
Un
enf oque
heurísticos
solución
aproximativos
para
eficientes,
óptima,
algoritmo
necesariamente
que,
se
problema
de
el
problema
aunque
no
- -
de
es
garanticen
éncueñtÑn
mueve
con mejor
uña solución bloqueada
un
resolver
normalmente,
heurístico
(heurísticos)
una
diseñar
la
minimización,
un
de
aceptables.
factible
valor en la función objetivo,
(a un óptimo
obtención
soluciones
solución
algoritmos
a
Un
otra
proporciona
cotas
superiores al valor óptimo del problema. Ver por ejemplo Reeves (1993).
Algoritmos de búsqueda local
Unó de
los
tipos
de
algoritmós
héurísticos
más
utilizados
u
‘U
‘U
‘U
‘U
para
-
heurístico
no
hasta que llega a
local del problema). Por tanto,
algoritmo
la
‘U
‘U
son
los
‘U
‘U
‘U
algoritmos de búsqueda local.
Un altoritmo de búsqueda• local se basa en procedimientos de búsqueda
en entornos:
obtiene
utilizando
(implícita
entorno
a partir
o
y,
de una solución
otra heurística
explícitamente)
si
existe,
si
todas
encuentra
una
dada (donde la solución
es necesario)
el
las
soluciones
con
posibles
mejor
inicial
algoritmo
valor
en
se
examina
en
la
dicho
función
u
objetivo.
La noción
específico.
‘U
‘U
‘U
En
pertenecientes
de entorno varia
nuestro
caso,
a su entorno
-
en cada heurística
dado> un
serán
camino
aquellos
arcos no pertenecientes al mismo.
-
18
hamiltoniano,
caminos
por medio de un número limitado de intercambios
y en cada problema
los
caminos
‘U
que pueden obtenerse
de arcos del camino por
u
u
u
‘U
u
0
SC4
Cap itulo 1. Descripción del problema y Preliminares
El tiempo de ejecución
del tiempo necesario
de una heurística
para la aplicación
de búsqueda
del procedimiento
el entorno y del número de iteraciones que se requieran.
el
problema
de
búsqueda
de
caminos
de
local depende
de búsqúeda
En general,
peso
mínimo,
1982) Si
A es
se
en
para
verifica
el
algoritmo
de
siguiente teorema:
Teorema
1.3:
búsqueda
local
polinomio,
entonces, asumiendo que P * NP, no se puede garantizar~ que A
encuentre
un
solución
(Papadimitriou
con
tiempo
camino
óptima
& Steiglitz,
de
del
de
peso
búsqueda
acotado
problema,
en
por
incluso
entornos
un
si
un
acotado
múltiplo
se
~or
constante
permitiera
un
un
de
la
número
exponencial de iteraciones.
Por tanto
es posible que una heurística
de búsqueda
local
llegue
a
una solución bloqueada muy lejos de la solución óptima del problema.
Sin
embargo,
computacional
aceptables
excepto
demuestra
cotas
en
que este
superiores
a
casos
patológicos,
tipo de heurísticas
la
solución
óptima
la
exp~riencia
suelen proporcionar
(en
un
problema
de
minimización).
-
Se han desarrollado
aceptables
(1988) y
cotas
para
algoritmos
intercambios
este
trabajo
a la
obtener
una
heurísticos
solución óptima
Sciomachen (1993)
solución
para
inicial
mejorar
del
describen
factible
la
problema.
un
para
solución
Escudero
conjtinto
el
inicial
SO?,
de
así
mediante
en los que intervienen k nudos para k = 3 y 4. A lo -lhrgo de
supondremos
solución factible
acotada
superiores
(1989) y Escudero y
algoritmos
como
distintas heurísticas para el SOP que proporcionan
en
al problema,
superiormente.
Pero
todo
momento
que
y, por tanto,
el desarrrollo
queda fuera del propósito de esta monografía.
19
puede
encontranse
que la solución
y
alcance
de
las
óptima
una
está
heurísticas
Capítulo
1.7.3. Procedimientos
1. Descripción del problema y Preliminares
de relajación
bado un problema (1’), sea F(P) su conjunto de soluciones factibles,
z
y
u‘U
‘U
‘U
el v~aloren la función objetivo z (x) del -punto óptimo •x
P
Definición
1.26: Dado un problema (P) de minimización, un problema (R) de
minimización es una relajación de (P) si y sólo si:
U)
F(P) ~ F(R)
(Ii) z
z
5
en F(P)
‘PP
Éxistien diferentes
de un
problema
dado. Uno de los más utilizados con~iste en considerar no todas,
sino sólo
-
métodos para
obtener
relajaciones
-
algunas
de
condición
las
(i).
condiciones
del
problema,
Dado que la función
de
objetivo
forma
que- se
para ambos
satisface
problemas
es
la
la
misma, ré~ulta que z() s z (x).
Ejemplo 1.1: Dado un problema IP de programación entera
-
z
= Mm
{ z (x) : xeS, x entero>
IP
la relajación
Otra
forma
restricciones
de
de relajación
procedimientos
del
: xES >~
consiste
en
eliminar
en la función objetivo de forma
Esta técnica
se conoce con el nombre
punto
de
relajación
se
basan
en
la
resolución
(que se suponen más fáciles de resolver)
Como se verifica
óptimo
del
siempre
problema
que el valor
relajado
no
es
Se
les
exige
para
ser
polinomial
eficientes
que
-
‘U
‘U
‘U
de
en lugar del
en
la función
superior
de un problema de minimización) al óptimo del problema
métodos proporcionan
cotas inferiores para el óptimo
problema.
algunas
Lagrangiana.
problema original.
trata
estos
relajaciones
(u> se satisfaga.
problemas relajados
objetivo
< z(x)
del problema e introducirlas
que la condición
Los
conseguir
Mm
‘U
‘U
u
IP
lineal de IP es ZLP
‘U
‘U
‘U
‘U
tengan
(si
se
original,
de este
complejidad
1
u
‘U
u
20
u
u
-,.
obtener
en
el
lugar
objetivo
el
los
procedimientos
intervalo
de
su
-
-
-
-
Capítulo 1. Descripción del problema y Preliminares
-
Mediante
-
de
de optimalidad
solución
de
la mejor
cociente
(z’t~z)/z
óptima.
solución
relajación
apropiado
Llamando
factible
proporciona
el
para
z
‘4
obtenida
el
objetivo
consiste
el problema
al
valor
en
original,
-
la
función
heurísticamente,
intervalo
de
en
entonces
optimalidad
por
~
definición, mide la bondad de la solución heurística obtenida.
Definición
que
x
1.27: Dado un problema (1’). un punto x eF(P) y un e>O, ~e dice
es
una
solución
e—óptima
de
(1’)
si
se
verifica
la
siguiente
condición (para un problema de minimización):
*
z (x ) s z
La
obtención
e
+
de
la
cota
z
puede
no
ser
suficiente
para
probar
R
optimalidad,
pero
identificación
los
procedimientos
de soluciones
e—óptimas,
ya
de
relajación
que,
si
un
permften
la
.1 factible
x
punto
*
satisface
2 <x )
5
z
P
e,
+
entonces x
es una solución e—óptima.
La idea básica del método es relajar
algunas condiciones del p+oblema
de forma que el problema relajado pueda resolverse
obteniendo
así
se pretende
violada
tiempo
la
solución
Se
en tiempo polinomial,
cota inferior al valor óptimo.
el valor de la cota obtenida.
(en
por
problema.
una primera
mejorar
identificar
-
R
polinomial)
actual,
alguna
y,
de
Para
condición
alguna
A continuación
ello es necesario
relajada
manera,
jue
introducirla
consigue así un nuevo problema relajado
sea
en
el
más fuerte¡ que el
anterior, que debe poder resolverse también en tiempo polinomial.
La
forma
usual
de
violadas
es
hacerlo
aplicada
al
SOP,
se
desarrolla
distintos
modelos
a
relajar
introducir
en
En
este
soluciones
en
introducir
el problema
contexto
factibles,
tiene
en
forma
de
en
el problema
planos
en
el
de
diversas
cortes
violados
gran
importancia
orden
a
21
2,
técnicas
Esta
donde
para
que refuercen
identificar
sean facetas del mismo.
corte.
capítulo
y
relajado
el
estudio
aquellas
condiciones
metodología,
se
describen
identificar
e
la cota: inicial.
-i
del politopo de
restricciohes
que
u
Capítulo 1. Descripción
Un
método
relajado
alternativo
condiciones
linealmente
metodología
los
puede consistir
violadas
coeficientes
en
de
forma
la
elegida en este trabajo,
del problema
y Preliminares
en introducir
en el
de
función
cortes
objetivo.
que se desarrollará
que
problema
J
modifiquen
Esta
es
la
en los restantes
capítulos de la monografía.
u’
u’
ml
a
MI
MI
‘ml
u
u
‘U
u
u
22
ml
ml
Li
Capítulo 2
Metodología Basada en el Primal
2.1.- INTRODUCCION
Sea el modelo general de programación 0—1 IP
Modelo 2.1:
z= Max cx
sa.
Ax ~ b
XEB
donde x es el vector columna del conjunto J de variables
es el vector
fila de la función
objetivo,
0—1, n
c
A es la matriz de coeficientes
de las restricciones y b el vector del lado derecho.
Denominaremos
búsqueda
de
programación
cotas
0—1
Metodología
inferiores
(2.1) y,
Primal al tipo de técnicas
a la
solución
en general,
óptima
programación
de
un
y modelos de
problema
con variables
de
enteras,
tal que tengan las siguientes características:
1)
Se
relaja
la
condición
de integralidad
23
de
las
variables
binarias;
u
Cap flujo 2. Metodología
estas
variables
acotadas
en
el
problema
relajado
basada en el primal
pasan
a
ser
variables
entre O y 1. Así, el problema a resolver en cada iteración
es un problema de oro2ramación lineal (PPL).
2) Pueden también relajarse otras condiciones del problema original.
3) Resuelto
trata
en una iteración un
de identificar
condiciones
óptima del problema
relajado
relajadas
del problema
problema
original.
original,
Esta
lineales,
que sean violadas
actual,
o
por
y que, o
por
se utiliza
para reducir
supuesto
sin
lineal,
se
la solución
bien son condiciones
bien son cortes
información
cortes al PPL, y, por tanto,
factibles
problema de programación
válidos para el
para
añadir
nuevos
el conjunto de soluciones
reducir
el
conjunto
de
soluciones enteras factibles del problema original.
Esta metodología requiere para su aplicabilidad
que la complejidad de
los algoritmos para identificar condiciones violadas sea polinomial.
Así
mismo
requiere
iteración tenga también
se satisface
que
la resolución
del problema
una complejidad polinomial.
ya que la programación
lineal
relajado
en cada
Esta última
condición
tiene este tipo de complejidad.
U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
Ver los trabajos pioneros de Khachian (1979) y Karmarkar (1984).
Utilizando
proporcionan
(Ver
metodología
se
han
-
diseñado
algoritmos
que
como
Lovasz y
esta
Schrijver,
metodología
1988).
se
ha
Veremos
utilizado
a
lo
para
largo
la
de
este
obtención
de
algoritmos para el SOP.
En
primer
lugar,
en
la sección
2.2,
se plantea
el
problema
de
la
modelización más eficiente del SOP para ser utilizada por un algoritmo que
se
base
diversas
adelante,
en
la
metodología
modelizaciones
y
‘U
cotas inferiores a un gran número de problemas combinatorios.
Grdtschel,
capitulo
esta
se
analiza
que
hemos
equivalentes
la
bondad
en
denominado
el
de cada
sentido
una
primal.
que
desde el
se
Se
plantean
definirá
más
punto de
vista
‘U
‘U
U
‘U
computacional.
24
u
u
ji
u
Capítulo
2. Metodología
basada en el primal
1
¡
A
continuación,
fundamentales
reducir
el
de
en
la
sección
técnica
conocida
como
de puntos
lineales
factibles
la
número
2.3,
se
desarrollan
preproceso,
del
los
que
aspectos
tratárá
de
problema sin éliminar
ninguna solución factible entera.
En
las
secciones
2.4
y
2.5
se
estudian
los
algoritmos
para
la
obtención de cotas inferiores,
algoritmos que siguen el esquema general de
los
corte
algoritmos
especial
de
incapie
planos
en
de
los
algoritmos
algunas de las restricciones
sección 2.4
se estudia
acumulado (i.e.,
d
=
j
conocidos
de
en
la
literatura ,
separación
haciendo
desarrollado~
para
especificas del problema que nos ocupaJ En la
el caso en el que no
existen
acotaciones
~l peso
w VjeV), y en la sección 2.5 el caso en el cjue este
peso sí está acotado.
Por
último,
procedimiento
en
exacto
la
sección
(exponencial,
2.6,
se
basado
describe
en técnicas
brevemente
el
“branch—and4bound”)
a seguir cuando la única condición violada por una solución obtenida es la
condición de integralidad,
en esta metodología
condición que en todo momento aparece relajada
primal
para obtener
cotas inferiores
al valor: óptimo
del problema.
2.2.— MODELOS
2.2.1.— Iñtraducción.
Sea IP el
Equivalencia y bandad de modelas
problema de
programación
entera
2.1.
<Se supone~ que el
problema está propiamente dimensionado).
Definición
sistema
2.1:
(2.1)
Se
donde
llama
relajación
cada
x
puede
lineal
tomar
del
problema
cualquier
valor
IP
del
el
mismo
intervalo
[0,1]. Sea LP la relajación lineal de IP.
Definición
equivalentes
2.2:
Los
sistemas
Ax
5
b
y
A’x
5
b’
son
sistemas
si tienen las mismas soluciones para x E <0,1>”.
25
.1
—
0—1
Capítulo 2. Metodología
2.3: Dados los sistemas 0—1 equivalentes Ax 5 b
Definición
se diée que el sistema A’X 5 b’ es tan fuerte
que {x/
basada en el primal
A’x
Definición
5
los
2.4: Dados los sistemas 0—1 equivalentes Ax
definición,
factibles
sistemas
y,
del
conjunto
un
sistema
sistema
dos
sistemas
más
definan
equivalentes
Pero cuanto
restringe
más se acerca
de soluciones
fuerte,
0—1
enteras.
se
por tanto,
enteras.
el
espacio
el sistema
problema original.
y,
5
y
u
A’x 5
b si se verifica
por
Ax
5
b
y
más fuerte
de
A’x
5
b’
sea uno de
soluciones
lineales
a la envoltura
convexa
De hecho, el objetivo final al obtener
sea Ax ~ b con xe[0,l)”,
facetas
b
5
para xE[0,l1”
las mismas soluciones
dos
5
b’> ~ <x/ Ax 5 b> para xe[O,l1”
que <xIA’xsb’>c{x/Ax=b>
tienen
A’x
como Ax 5 b si se verifica
se dice que el sistema A’x 5 b’ es más fuerte qáe Ax
Por
y
tanto,
es que las restricciones
definan
la envoltura
convexa
del
del
La solución óptima del problema LP será, en este caso,
la solución óptima del problema original IP.
Ejemplo 2.1:
Sea el sistema siguiente:
5x
+
6y
+
7z
5
11
x,y,z E < 09
La relajación lineal del problema es:
5x
0
que
6y
+
=
+
7z 5 11
x,y,z 5 1
geométricamente
representa
el
conjunto
factible
representado
figura 2.la.
Un sistema 0—1 equivalente al sistema anterior es el siguiente,
x+z51
y+z~l
0
5
x,y,z 5 1
x,y,z E < 09
26
en
‘U
‘U
‘U
‘U
la
‘U
“U
‘U
‘U
“U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
“U
‘U
‘U
‘U
‘U
1]
Capítulo 2. Metodología
ya que
no
elimina
ninguna
solución
entera
del
basada en el primal
problema.
Su
relájación
(repre4entado
lineal
geométricamente
representa
el
conjunto
factible
superpuesto al anterior) que se muestra en la figura 2.lb:
094>
(1.0-,.—,,
-5-,—,)
5<
~¿0,0>
(O 2 .0)
(0.10>
(4.1.0)
Figura 2.Ia
Figura 2.Ib
Figura 2.1
Tenemos
Estas
así
dos formulaciones
representaciones
primera,
ya
que
son
tales
elimina
0—1
que
equivalentes
la
soluciones
del
segunda es
lineales
mismo
más
factibles
problema.
fuerte
para
que
el
la
primer
problema relajado.
Además,
en
restricciones
tanto,
los
este
caso,
introducidas
puntos
la
segunda
definen
extremos
representación
facetas
del
del
conjunto
es
politopo
factible
tal
que
las
y,
por
entero
relajado
tienen
coordenadas enteras.
Podemos
frecuentemente,
la definición
observar
éste
2.2.
es
que
el
un
caso)
Tiene sentido,
problema
varias
pues,
0—1
puede
formulaciones
analizar
dichas
tener
(y,
equivalentes
muy
según
formulaciones,
asi
como la bondad de cada modelización en términos de “fortaleza” en relación
27
Capítulo 2. Metodologta
‘U
‘U
‘U
‘U
basada en el primal
con las otras formulaciones (equivalentes) del problema.
2.2.2.- Diferentes
modelos 0-1 equivalentes para el 501’ can relaciones de
precedencia
En un primer momento (ver Escudero, 1988), el 501’ fue formulado como
el problema de encontrar un camino hamiltoniano 31 con peso total mínimo en
un graf o
de forma
relaciones
(i,j>EU
de
que se satisfagan
precedencia
significa
Claramente,
que
(i,j),(j,k)efl
entonces
vienen
dadas
en
todo
i<j
este grafo
no
las
relaciones
por
el
digrafo
camino
puede contener
U tiene que preceder
de precedencia.
P=<N,fl),
hamiltoniano
ningún circuito
a k.
Por tanto,
y,
Estas
donde
factible.
además,
si
se supone que
‘U
‘U
‘U
‘U
1’ es un digraf o sin circuitos y cerrado transitivamente.
Como se ha mencionado anteriormente,
para
el
algunos
al.,
501’,
todos
modelos
1993).
Así
ellos
0—1
equivalentes.
que se han planteado
mismo
se
resume
existen
A
diferentes
continuación
en la literatura
el
modelos 0-1
resultado
se
(ver
de
describen
Ascheuer
la
et
experiencia
cornputacional obtenida por lo que respecta a la bondad de cada modelo.
Modelo 2.2
Para esta primera formulación del 501’ sea la siguiente notación:
e
(a) IT
(b)
(o)
A
‘U
{ (j,i)EVxV / (i,j)efl
U
‘U
‘U
U
{ <i,kkVxV 1 Bj con (i,j),(j,kkTl >
e
A\(T1 U TI)
U
Ningún camino factible 3< puede contener un arco de
contrario,
se
violaría
que si (i,j)(j,k)ell
(i,k) perteneciera
infactibilidad
considera pues
una relación
entonces
de precedencia,
ni un
ft,
pues, en caso
arco
de
u,
ya
‘U
i<j y j<k, y esto no sería posible si el arco
al camino. A será,
por tanto,
el conjunto de arcos cuya
todavía
no
ha podido ser
demostrada,
si existe.
Se
el subgraf o D=(V,A). Se consideran también los siguientes
‘U
-‘U
parámetros:
28
-
‘U
‘U
U
Capitulo 2. Metodología
(d) «
í+< i/(i,k)ElrT }j
k~V
(e) ~k
n—¡< j/(k,j)ell
>1
keV
(resp.
basada en el primal
«kí (respectivamente n—f3 1< ) es el mínimo número de nudos predecesores
sucesores)
que ha de tener el nudo k en cualquier camino
hamiltoniano 31 factible.
Se
(i,j)eA,
introducen -los
x11
es
una
dos tipos siguientes
variable
0—1
que indica
de variables;
si
el arco
Para cada arco
(i,j) está~ en el
camino hamiltoniano 31 o no, tal que
{
=
X
1, si (i,j)e(O,. .,u)
, en caso contrario
.
Es decir, x
El
ti
segundo
todo h,keV.
= 1 si y sólo si
tipo
Estas
j
= z(i)
de variables
variables
0—1
se utilizarán
son variables
auxiliares
para modelizar las
~hk
restricciones
de precedencia, de forma que
l,si
elnudoksesecuenciaanivelh,cona
hk{
en caso contrario
El modelo queda, pues, formulado de la siguiente manera:
z
shs¡3
k
t
=Mincx
s. a.
(1) x(A) = n—í
(2) x(8(j))
1
VjeV
(3) xG5Áj)) 5 1
VjCV
=
29
para
u
Capítulo 2. Metodología
basada en el primal
s
x
(4)
Li
~ O
(5) x(W)
~W¡-.í y WcV , 2s 1W15 n-l
5
-(6) x -6< 0,1 >
-~-1
«
V(i,j)eA
Z
=1
Vh~V
E
~1
VkcV
~
¡¿Ja shs(3
(8)
~
~
h~
a ShSj3
<‘1 si
(11)
Ckh
(12)
C
‘U
‘U
‘U
V(i,j)eA
+1
E
~
u‘U
V<i,j>ETP~fl
h%h
-
a 5h5f3
+
‘
si:?¿l~hC
+~
mm
<,~—í>
VkEV, «shs¡3
E <O;1>
5
¡h
V(i,jkA,
l+x
jh.1
IJ
max <a ,a1 -l>shs mm
Las restricciones
problema
de
(1)—(6) dan la formulación
encontrar
análogamente al modelo
restricciones
de
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
un
camino
en programación 0—1
hamiltoniano
en
el•
0—1 del ATSP. Las inecuaciones
eliminación
de
subciclos,
<(3,(3—1>
Ji
SEC’s
-
del
graf o
tipo (5) se llaman
(del
inglés,
Subtour
Flimination Constraints, ver Dantzig, Fulkerson y Johnson, 1954).
Las restricciones
(7)—(12) aseguran
precedencia.
La restricción
cada
y
nivel,
la
-
relaciones
de
(7) obliga a que se secuencie un solo nudo en
restricción
nudo. La restricción
que se respeten las
‘U
U
‘U
‘U
‘U
(8)
a que
exista
un
solo nivél
para
cada
(9) evita que se secuencien en orden inverso pares de
30
‘U
‘U
“U
1]
Capitulo 2. Metodología
nudos unidos
hace
que
por relaciones
si
secuencie
(i,j)eTI
y
de precedencia
(j,k)elI
inmediatamente
ó
directas,
(k,j)eTT,
después
que
basada en el Primal
y la restricción
entonces
el
nudo
el
nudo
i.
k ~no
Finalmente,
(10)
se
las
restricciones (12) integran los submodelos (1)—(6) y (7)—(1l).
Crítica al modelo
Después de trabajar computacionalmente con este modelo se obsebvó que
en
un
gran
número
de
E
desviación relativa (z
el valor
en
heurístico
casos
—2
LR
la función
utilizado,
y
)/z
LR
el
de la
la cota
LR
de
era bastante
objetivo
z
intervalo
optimalidad,
grande,
es
donde z
solución que obtiene
inferior
al valor
decir,
E
la
representa
el algoritmo
óptimo
z
obtenida
mediante la relajación lineal del modelo anterior.
Este intervalo se debe a que, o bien zE o bien z
lejos del
verdadero
computacional
cercano,
con
mientras
formulaciones
valor
otro
óptimo
tipo
que zLR
equivalentes
de
no.
del
problema.
modelos se
Surge
de
postula
ahí
para el problema,
Debido
la
,
o ambos, están
a la
que el
necesidad
que sean más
experiencia
valor
de
2’
es
encontrar
fuertes~ que la
formulación anterior.
Modelo 2.3
En este segundo modelo se utilizan dos tipos de variables 0—1.
Sean las variables x
tales que
ij
x
= ~
Sean las
~.
si (i,j)e(O
u)
O, en caso contrario
variables
0—1
y1~ para cada (i,j)cA variables
auxilitres
se utilizarán para modelizar las relaciones de precedencia, tales que
~I
si
i<j en el camino factible 31
n caso contrar i o
31
que
-
Capítulo 2. Metodología
baáada en el Primal
El modelo es el siguiente:
z
= Miii ctx
s. a.
x satisface las restricciones
(7) y
= 1
(8)y11 +y
U
V(i,j)efl
=1
‘U
V(i,j)eA
(9) y +y +yS 2
Vi,j,keV, i*j*k
(10) y1~ ~ O
V(i,jkA
<11) x— y11 ~ O
V(i,jkA
Considerando
las
restricciones
integralídad
se obtiene
lineal.
Grt~tschel,
(Ver
restricciones
implica
<l)—(6) del modelo 2.2
y~~E<0,l>
debido
a la
(8)—QQ)
y
añadiendo
la
condición
de
la formulación 0—1 del problema del ordenamiento
Junger
no
son
y
Reinelt
necesarias,
integralidad
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
de
las
ya
(1984)).
que
variables
En
la
este
x
restricción
Ji
.
Las
caso
(11)
las
las
restricciones
(7)—(ll) aseguran que se respetan las relaciones de precedencia.
‘U
‘U
‘U
Critica al modelo
Una ventaja del modelo 2.3 es que combina de una forma natural dos
problemas
de
optimización
combinatoria
bien
conocidos:
camino hamiltoniano y el problema del ordenamiento lineal.
el
problema
del
Una desventaja
es la utilización de las variables auxiliares y1~~
Este modelo no parece ser bueno computacionalmente
número
de
casos
se describen
se
sustituirán
el
intervalo
en este capítulo,
las
restricciones
de optirnalidad,
utilizando
ya que en gran
las
técnicas
que
‘U
sigue siendo grande. En el siguiente modelo
donde aparecen
32
las
variables
por
un
¡‘U
‘U
‘U
u
u
u
Capítulo 2. Metodología
nuevo conjunto de restricciones,
basada en el i9rimal
de tamaño exponencial en n.
-
Modelo 2.4
z
*
t
=Mincx
s.a.
x satisface las restricciones (l)—(6) modelo 2.2
(12) x(j:W)
x(W)
+
+
x(W:i)
5
V(i.j)cTT y VW tal que 0 * W S VVi,j>
Llamaremos a las inecuaciones de tipo (12) restricciones
la
precedencia,
PFC’s;
(del
ingés
Precedence
Forcing
que fuerzan
Constraints,
ver
Ascheuer et al. (1993) y Balas et al. (1994)).
Crítica al modelo
Este
modelo
tiene
es un planteamiento
la ventaja
de no
utilizar
variables
auxiliares,
y
más natural para el 501’. La experiencia computacional
confirma este punto de vista. Los modelos 2.3 y 2.4 son más fuerte~ que el
modelo 2.2.
Sin embargo algoritmos
proporcionan
mejores
que utilizan
el modelo
cotas
2.3.
implementados utilizando
inferiores
a la
solución
En la sección 2.4.1
el modelo 2.4
óptima
se estudia
que
aquellos
el tratamiento
del conjunto exponencial de condiciones de tipo (12).
2.2.3.— Modelo 0—1 para el SOP con relaciones de precedencia y ac¿taciones
En esta sección se considera el problema de obtener unt camino
hamiltoniano de peso mínimo de forma que se satisfagan las relaciones de
—h
precedencia,
subcamino
cuando
existen
hamiltoniano.
Sea
acotaciones
d
el
vector
superiores
al
n—dimensional
peso
de
cada
que proporciona
estas cotas.
Para
la
resolución
del
problema
33
es
conveniente
que
el
espacio
de
u
Capítulo 2. Metodología
basada en el Primal
1
a
soluciones
lineales
factibles
sea
la
más
restringido
posible.
Para
ello,
como se verá en la sección 2.3, puede ser conveniente introducir un nuevo
vector
n—dimensional, r,
que proporciona cotas
inferiores
al peso de cada
suboamino. En principio, en el problema que nos ocupa, r = 1 Vi=l
n.
Se considera el nudo ficticio O, con PO= O, d o = O, VjeV. desde el que
ha de comenzar cualquier camino. Se supone que c
~ O recoge el costo de
acondicionamiento
en
el
caso de
que el nudo
j sea el primer nudo del
camino hamiltoniano después del nudo O.
En este modelo se consideran las variables 0-1 x
=
{ I~
El segundo
si
(i,j)E(0
Ji
U
‘U
,talque
u)
en caso contrario
tipo
de variables
a utilizar
son las
variables
continuas
y1, que dan el peso acumulado del vértice i en el ¿amino hamiltoniano 31.
En el caso que se está considerando,
vértice
puede
estar
acotado
inferiormente,
Y¡=max<r¡~l.Ya<¡)+ca<¡)J >+p
este
cony
,
El modelo es el siguiente:
*
= Mm
=0
0
1
‘U
‘U
donde el peso acumulado de un
peso,
que
depende
del
conjunto de nudos secuenciados antes que él en 31, viene dado por:
z
‘U
U
u
Modelo 2.5
x
‘U
U
(2.1)
a
u
u
t
cx
U
s.a.
(1) x(A) = n—l
(2) x(d(j))
5
1
VjEV
34
U
‘U
‘U
‘U
u
—
1
Capítulo 2. Metodología
(3) x(V (j))
5
(4) 0 s x
5
II
VjeV
1
V(i,jkA
¡W~—l V Y/cV
(5) x(W)
5
(6) x
<0;l>
E
1
, 2~ jW¡s n—l
V(i.j)EA
(7a) m (l—x
(y-*T )-.y s M (1—x )
Ji
j
Jj
Ji
<
Ij
JJ
basada en el Primal
V(i,j)eÁ
si r=l VieV
(7b) (y +T )—y ~ M (1—x )
J
~-1 -1
Ij
Jj
V(i,j)sA
si 3kV ¡ r>1
(8) y1
+
(9)e
53’
5
lj
y~
5
V(i,j)sTT
~d
VkV
donde
e = r.—1
+
M
+T)-.e
Ji
1
1
JJ
u
=(d
1
=(p
5. es
p
1
1
+T)-d
ij
la longitud
del camino
mínimo desde el nudo i hasta
el
j en el digraf o G=(V,A), considerando 1 como la distancia
II
de i a j V(i,j)eA.
nudo
Las
anteriores,
obliga
a
pertenece
restricciones
(1)—(6)
y
proporcionan
que
=
las
un camino
mismas
hamiltoniano
que
en
los
-~
modelos
31. La restricción
(7a)
si
x
=1, es decir, si el arco (i,j)
Ji
1j
al camino 31, en el caso en que todas las cotas inferiores sean
iguales a 1.
y
son
+
Esta restricción
T
es redundante
35
para x
Ji
= 0.
La restricción
-
u
Cap itulo 2. Metodología basada en el Primal
a
(7b) obliga a que y
inferior
~ y
sea superior
+1
a 1,
si x
Jj
Ij
=1
en el caso de que alguna cota
y es redundante
para x
=
La restricción
0.
(7b) es necesaria dada la definición (2.1) de y.
Los valores de M
y m
son valores suficientemente grandes en valor
Ji
absoluto como para no eliminar ningúna solución entera del problema, pero
tales que utilizan la información disponible sobre el problema para acotar
Ij
al máximo el problema lineal relajado y, por tanto, hacerlo más fuerte.
Las restricciones
nudo
i
antes
(8)
que el
son las PF’C’s, ya que obligan a secuenciar
nudo
j si (i,j)efl. Las restricciones
(9)
el
acotan
el
peso acumulado de cada nudo.
Llamaremos
fuerzan
las
inecuaciones
Las acotaciones,
Este
utilizar
a
modelo
de tipo
(7) y
(9)
restricciones
que
DFC’s; (del inglés Due date Forcing Constraints).
puede
ser
planteado
matemáticamente
sin
necesidad
de
el vector r, ya que hasta el momento se considera que r
y, por tanto,
la condición (7b) es vacía. Basta para ello
= 1 VjeV
-3
con eliminar la
condición (7b), y reescribir las condiciones (7) y (9) en la forma
(7’) m (1—x ) s (y+T )—y s M (1—x )
JJ
‘1
J
JJ
j
U
JJ
(9’) p
donde
~
y1 s d
=(d
+T)-p
m
=(p
+T)—d
Ji
J~j
Sin embargo,
formulación
disminuya
ninguna
trata
es
el
conjunto
posible solución
de
resolver
el
‘U
U
u
u
U
U
u
U
reforzar
de
u
u
U
j
como veremos
posible
13
V(i,jkA
VicV
M
U
en la sección 2.3,
las
restricciones
soluciones
factible
problema
0—1,
lineales
lo
utilizando
36
cual
la
utilizando
de
forma
factibles
es muy
la primera
sin
que
eliminar
conveniente
metodología
que
se
en
si se
u
este
U
u
u
CapItulo 2. Metodología
basada en el primal
capítulo se desarrolla.
2.3.- PREPROCESO
Una fase
planos
importante
de corte
de
un procedimiento
consiste en analizar
de optirnización
el problema
para intentar
basado
en
descubrir
alguna estructura
que ayude a descomponerlo, o a reducir su tamaño, o a
hacer más
la formulación del IP convirtiendo algunas desigualdades
en
fuerte
igualdades
Esto
es
o
fijando
igualmente
requerido
algunas
necesario
variables
para
a
un
valor
determinado,
reducir
el
esfuerzo
etc.
computacional
para la obtención de una solución factible para el problema.
Se
llama pre proceso a la realización de todas estas operaciones.
Utilizando como base la formulación IP para el SOP dada en el modelo
2.5 de la sección 2.2.3, se proponen las siguientes operaciones:
2.3.1.— Eliminación de arcos del conjunto A
Dado el grafo G = (V,A), con V conjunto de nudos y A conjunto de
arcos,
se debe eliminar
del conjunto
A el
(i,j) sí se ha d~tectado
arco
que i no puede ser el predecesor inmediato de
j en ningún camino factible
31.
Las
(Es
decir,
si
a(j)*i
V31
factible).
lineas
maestras
del
procedimiento son las siguientes:
a.
= O (es decir, eliminar el arco (i,j) del conjunto
Li
A) si se verifica alguna de las condiciones siguientes:
Fijar
x
<le arcos
-
(j,i)efl
(2.2)
3keV 1 (i,k)Ák,j)EII
(2.3)
e+T
(2.4)
1
Jj
> d
-3
BkeV tal que o bien x
b.
Fijar
x
=- 1
(es
1k
= 1 o bien x
decir,
kj
eliminar
= 1.
el
(2.5).
arco
(i,j)
y
convertir
los
II
vértices
i y
j en un sólo nudo de peso p.
+
c
+
Ji
37
p
) sise
satisface
Capítulo 2. Metodología
basada en el primal
alguna de las condiciones siguientes:
x
1k
Fijar
O
V(k,jkA tal que k*i y 31 / (l,j)sll
(2.6)
O
V(’,k)eA tal que k*j y 31 1 (¡,l)EII
(2.7)
x
= O si se verifica
(2.2) ó
(2.3) equivale
a pasar
del grafo
1>
G = (V,A) al subgrafo factible D
La condición
(2.4),
donde
camino
factible
modelo.
La condición
no
puede
a(j)
ser
k
*
3<.
el
Vk*i
e = r1
-(2.5)
se
(resp.
inicial
z(i)
(V,Á) (ver modelo 2.2, sección 2.2.2).
—
1
deduce
(2.6) (resp.
nudo
=.
+
de
p,
implica
las
restricciones
(2)
y
(resp.
final)
de ningún
el arco
(3)
del
j <resp. i)
(2.7)) indica que si el nudo
1< Vk*j) entonces
t
j<i en cualquier
que
camino
factible
y
(i,j) debe formar
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
parte de cualquier camino factible 31.
se
U
‘U
‘U
‘U
j en el digrafo
U
U
2.3.2.— Reducción -del intervalo (r ,d), VieV.
Cuanto menor sea este intervalo más fuertes son las restricciones
y
(9)
del
modelo
(2.5).
Este
procedimiento
sólo
es
efectivo
si
(7)
existen
relaciones de precedencia, es decir, si IT*0.
De
forma
recursiva
se
actualizan
los
vectores
r
y
d,
tal
que
incrementa r y reduce d ÚjeV de la forma siguiente:
.1
j
~l
-
donde 5
1
1
Ij
es la distancia mínima del nudo i al nudo
lj
G = ¡N,A), siendo T
Observación
conseguir,
conjunto
2.1.:
pero es
rr es
Esta
la distancia entre los nudos a y b.
nueva
una cota
grande,
ya que
cota
es
costosa
la
de
supone
más
calcular
resolver
ajustada
cuando
~I
que
se
puede
el cardinal
problemas de
del
camino
mínimo. En esos casos se utiliza la siguiente relajación alternativa:
ffir
=max<r,RI,R2>
VjcV
38
u
‘U
<2.8)
‘U
U
U
Capítulo 2. Metodología
basada en el primal
donde
Rl
R2
max < r
E
E
1
Vi 1 (i,j)eTT
p+ C
+
(2.9)
—I
(p-~ C)
R1+
1
1
(2.10)
—J
/wjefl
y
C
—I
mm
E
= mm
md
<
Vk 1 <i.kkA
< r.
Vi
<2.11)
1 (i,j)EII
-
(2.12)
=min<d,DI,D2>
1
VieV
1
<2.13)
donde
Dl
D2
E
E
mm
D
—J
< d
-
.1
y
=
E
mm
—
J
¡
(p+ Ch
.1
z
(p
+
j
C)
(2.15)
—
<
Vk 1 (k,jkA
Vj
¡
(2.16)
(i.j)efl
(2.17)
j
Observación 2.2: Siempre ha de verificarse que r
la mejor cota superior
(2.14)
<í,j)ETI
max < d.
—l
Vj 1 (i,j)eTT >
—
~ 1, d
1
~ z, donde z es
¡
j
disponible del peso acumulado del último nudo
que
se secuencie.
2.3.3.- Eliminación de arcos del conjunto TI
Se
debe
eliminar
del
conjunto
39
de
arcos
TI
todo
arco
(i,j)
que
Capítulo 2. Metodología
basada en el primal
SI
SI
verifique
d
ya
que
modelo
si
2.5
—
esta
es
C1
(
+
(2.18)
p) < r+
1
—
condición
se
redundante
verifica
incluso en
entonces
la
la relajación
restricción
lineal
y,
(8)
por
~
del
tanto,
<i,jkfl también es redundante.
2.3.4.— Adición de arcos al conjunto 11
Sean los nudos i,j~V taj que se cumpJen las siguientes condiciones:
(b) c
= c
Ij
(c)c
1k
(d)c
= O
JI
c
III]
jk
Sc
liv
y
c
1<1
=c
VkeV\<i,j>
kj
+c
uJ
V u,veV\<i,j>, u*v
Jv
(e) j no tiene ningún predecesor ni sucesor en P.
Entonces se puede añadir el arco (i,j) o el arco (ji) al conjunto 11,
de forma que al menos una solución óptima del SO? original es óptima para
el
nuevo
problema.
Esta
observación
puede
ayudar
en
algunos
casos
a
reducir sustancialmente el tamaño del problema.
Observación
2.3: Se deben ejecutar
y 2.3.4 secuencialmente,
y repetir
los procedimientos
2.3.5.- Transformación de desigualdades en igualdades
(V,A) y 1’ = (N,11) definimos:
(a)
V = < vEV 1 ~(v,j)eTI,
j*v >
(b)
y
vcV 1 B(i,v)eTl,
i!=v
2
= <
2.3.1, 2.3.2
,
ml
ml
SI
ml
2.3.3
esta secuencia hasta que no se obtenga
ningún nuevo cambio.
Dados G
ml
ml
SI
ml
u
u
40
u
Li
Capítulo 2. Metodología
es decir,
y
basada en el brimal
es el conjunto de nudos que tienen sucesores
en fi y y
2
es el conjunto de nudos que tienen predecesores en 11.
Entonces las desigualdades (2) y (3) del modelo se pueden tran ;formar
en:
(2a) x(5 <3)) = 1
VJeV
C2b) x(d CjE
VjsV\V
5
1
2
(3a) xG5~(j)) = 1
VJEV
(Sb) x(6 ~<j))
ÚjEV\V
5
1
Este
tipo
de análisis
se efectúa
cualquier
fase
del algoritmo
general
no
sólo en el preproceso,
cuando algunas variables
sino
se fijan
en
a
cero o a uno.
2.3.6.— Test de infactibilidad
Un
problema
dado
será
infactible
si
se
verifica
condiciones siguientes:
1) B =
0,
-
2)
31EV
donde B = < (0,b)
con bEV ¡ 1
1 e > d
1
=
d
Ob
BasV 1 (a,b)EII
y
b
1
3) B(a,b)crr y 3(a,j)eA
ti
ti
4) Lj >1, con L = <al
5) 3(a,b)dfl y 3(i,b)cA
6)
új
7)aeLh
3(a,b)eTl y 3(i,akA
> 1, con Lt = <b ¡ 3(a,b)cTl y :3(b,jkA >
ya~B
8) 3a,beV / (a,b),(b,a)
E
11
9) 3a,b,ceV 1 (a,b),(b,c),(c,a>
10) G = (V,A) no es conexo
41
E
TI
alguna
de
las
10
Capítulo
del
2. Metodología
basada en el primal
Si se verif lea Ja condición .1 ningún nudo podría
ser el nudo
inicial
camino
superior
puede
3<.
La condición
2
indica
que
una cota
no
satisfacerse. La condición 3 identifica un nudo que debe ser predecesor de
otro y al mismo tiempo último nudo del camino, y la condición 5 identifica
un nudo que debe ser sucesor de otro y al mismo tiempo nudo inicial del
camino. La condición 4 (resp. 6) implica que más de un nudo debe ser nudo
inicial
(resp.
final)
debe ser inicial
del
camino.
La
condición
7
identifica
un
nudo
que
del camino pero al que no se puede llegar desde el nudo
0. Finalmente las condiciones 8 y 9 detectan ciclos en IT.
2.4.-
Se plantea el problema de encontrar un camino hamiltoniano 3< con peso
mínimo
precedencia
en un
grafo
dadas por el
de forma
digraf o
que se satisfagan
P=(N,TI).
(Se supone,
las
relaciones
por tanto,
de
que no
esquema general
algoritmos
cje planos de corte, que ~iguen
para este tipo de algoritmos,
aplicandolos
‘U
ji
u
hay restricciones de cota superior en el peso acumulado de ningún nudo.)
Para ello se desarrollan
‘U
‘U
‘U
u
OBTENCION DE COTAS INFERIORES. SOP CON RELACIONES DE
PRECEDENCIA
total
u
u
u
al modelo
el
2.4
de la sección 2.2.2. (Ver algoritmo 2.2)
2.4.1. Algoritmos de separación. Metodología.
En el desarrollo
principal
de un
la utilización
(generalmente
problema)
la
restricciones
de planos de corte juega
de procedimientos
solución
satisface
algoritmo
todas
determinado,
óptima
las
o,
de
que verifiquen si un
la
última
desigualdades
relajación
correspondientes
en caso contrario,
identifiquen
un
papel
punto dado
lineal
a un
del
tipo de
al menos
una
algoritmos
de
U
‘U
U
ji
desigualdad de este tipo que sea violada por dicho punto.
Ese
tipo
separación.
de
Nuestra
procedimientos
investigación
reciben
se
que se ejecuten en tiempo polinomial.
e>
centra
nombre
de
en algoritmos
de
separación
U
U
42
u
u
Capítulo 2. Metodología
En las dos secciones siguientes
polinomiales
para
las
restricciones
para las restricciones
que fuerzan
basada en el primal
se describen algoritmos
de eliminación
de separación
de subciclos
(SEC’S) y
la precedencia (PFC’S). En ambos casos
tenemos un número de desigualdades exponencial en n.
2.4.2. Identificación
La entrada
de condiciones de eliminación de subciclas
del algoritmo es un punto xeaÁ, con x
~ O V(i,j)~A. El
Ii
algoritmo es válido para situaciones más generales que las consideradas
el
modelo
2.4.
Así,
no
se
exige
a
x
satisfacer
las
en
restricciones
(l)—(3),(6) del modelo.
El algoritmo garantiza
que x satisface todas las desigualdadesj de la
forma
x(W)
o
5
VW~V, 2
IWI-l
bien proporciona un conjunto WSV,
hecho proporciona un conjunto
W
5
IWI
5
n
(2.19)
2 =jwj 5
jwj—i.
(j W 1)
n tal que x(W> >
tal que la diferencia x(W)
—
De
sea
lo mayor posible, es decir, identifica la SEC más violada.
Para ello, se construye el digrafo auxiliar
D 0 = (y 00
,A ), de la forma
siguiente (ver figura 2.2):
V
o
= V
U
<O>,
A” = <(i,j)EA 1 x
donde O es un nudo nuevo
ji
> O>
Ao = A” U <(O,v) ¡ vsV> U <(j,i) 1 (i,j)EA” y (j,i)~A”>
Se resuelve
el problema de separación
para
las SEC’s reduciendolo
a
una secuencia de problemas de corte mínimo. Para convertir el problema en
uno de flujo sobre un digrafo se introducen capacidades c
0
para los arcos
Ii
de ID
de la forma siguiente:
o
Sea
= x(a(j))
+
x(&’~(j))
VjeV
43
2.20)
fi
Capítulo
Se define c00-3 = 1— <l/2)C J
+
2. Metodología
Nf
basada en el primal
Vje y
SI
(2.21>
a
con M entero positivo elegido de forma que co ~ O Vj~V
01
Se define c
Observación
0
J>
2.3:
= c
si
0
II
= 1/2 Cx
(j,ikA”
U
+
x
VjeV
»
para algún
(i,j)EAX,
(2.22)
se
supone
que x
u’
a
vale
JI
cero.
u’
jkJ
D = (V.A)
D
= (V>A”)
y)
SI
y)
a
u’
SI
D
0
SI
= CV ,A
00
u
SI
Figura 2.2
A
continuación
se
introducen
n
digrafos
nudo de V, que son pequeñas modificaciones de 13
ID
k
1<
= CV ,A 1 con capacidades c,
k
(a> y
1<
k
= y
auxiliares,
.
44
para
cada
Para cada kcV se define
o
de la forma siguiente:
O
uno
a
SI
SI
SI
u
Li
Capítulo 2. Metodología
(b)Ak =A
1<
(c)c
EJ
Un k
donde B
o
Ji
V(v,k)cB
M
vk
Observación
{(v,k) 1 veV\{k>}
‘4
y ( i , j ) cA
0
=c
(d)ck
o
basada en el primal
2.4:
En
contiene un arco de E
U
(b)
significa
unión
disjunta.
Por
si
tanto,
A
o
se añade un arco paralelo. (Ver figura 2.3>.
‘4
Figura 2.3
Algoritmo
2.1:
-
Algoritmo
de
separación
para
las
restriccior ¡es
de
eliminación de subciclos.
Entrada: Un punto xcO A tal que x
~ O
‘1
Salida: Al menos un conjunto de nudos, sea W, de cardinaL entre 2: y n tal
que x
viola
su SEC correspondiente,
o
la información
de que
nc
-
ningún conjunto de este tipo.
Algoritmo: Para cada kcV:
Paso
1.—
Costruir
el
digrafo
ID
‘4
=
<‘4 A)
con
-
capacidades
c
‘4.
Ii
tal
como se ha indicado anteriormente.
Paso 2.-
Utilizar un algoritmo de flujo máximo para determinar un
45
existe
Cap CÉtiCo 2. MetodoLogía basada en el primal
u
(0,10—corte 8(W ), es decir, un corte que separe O y 1<, y
tal que keWk. O4W’4~ de forma que la capacidad del corte
k
u
c’4(a~w )) sea la menor posible
Pasa
3.—
‘4
Si
c’4(.5 (W ))
x(W~) s
nM
<
jWj—í.
‘4 t
+
1
entonces
Si c’Xd<W ))
satisface todaslas SEC’s.
nM
x
viola
la
1 VkcV entonces x
+
Teorema 2.1: Si la capacidad mínima de un (O,k)—corte en D
menor que nM
(2.19).
Si
2 s
1,
+
un
hay
entonces x
satisface
(O,k)—corte
8 (W’4).
n, con
5
)) ~ nM
1,
+
todas
para
u
u
SEt
las
‘4
VkeV
desigualdades
algún
keV,
tal
‘U
no és
del tipo
WJ<SV~
que
u
IW[—l.
entonces x(W) >
‘U
Demostración: (Ascheuer et al., 1993)
En primer Lugar se prueba que la capacidad de cualquier corte a<w
‘4 ‘4
en el digrafo ID, con 0~W , keW
En efecto,
c1’
ck(ó7w )) =
weW
Z
+
‘4
z
+
weW
‘4
vEV\W
weWj(v,w)eA
‘4
E
= [IW~l-l/2
wsWj(v,w)eA
+
M!w~Ij+l/2
+
j
—íí4
J
—
( x(W )
+
nM
‘4
).
‘4
u
vk
Z
u
u
~‘<
vcV\WJ(v,kks
E
Lx
‘4
‘U
u
+x)+jV\W¡M
(v,w)E.5 (W 1< )
E
Cx+x¼
(v,w)s&(W
46
‘4
)
2
u
‘U
vEV\Wj(v,k)~B
c~+
wEW
= nM
1N~
Z
v~V\W
=
es la diferencia
Zx~~ +xwvj
v,weA(W
+
u
‘U
u
‘U
u
Capítulo 2. Metodología basada en el Primal
+
E
1/2
(x
+
(v,w)e5 (W
=
Por tanto,
(~
x(W)
—
(W)) ~ 1
+
x)
=
k
nM.
+
se verifica
5
la desigualdad x(W~)
IWI—l
si y
sólo si
nM.
Falta demostrar que si existe un corte &(W ) con capacidad menor que
I~I
1+ nM, entonces
l~¡
~ 2. En efecto, como k e ~,
entonces la capacidad del corte seria l+nM. Por tanto
implica
W
~ki=<
~ 1. Si
ck(&(W))
<
mM
+
k
1
~ 2.
Además, por construcción, W
‘4
u
= V es una solución posible.
Conclusión:
El
algoritmo
condiciones
de
de
no
separación arriba indicado
negatividad
algoritmo de flujo máximo.
tiempo
polinomial.
máximo debido
se puede ejecutar
Por tanto
Recomendamos
a Goldberg
para
la
y Tarjan
es un
llamando
SEC’s
n
más
veces
del
Para
algoritmo
una
las
a un
algoritmo que se ejecuta
utilización
(1988).
las
en
de
flujo
panoramica
sobre
algoritmos de flujo máximo ver Ahuja, Magnanti y Orlin (1989).
Aplicación del algoritmo
El
algoritmo
anterior
contempía
situaciones
necesarias en el SOP.
Si se parte
(4)
del
modelo
A
de que el vector xeC
2.4.
más
entonces
el
conjunto
47
generales
.
satisface
de nudos
las
-
!que
las
.1
restricciones (1) y
cuya SEC es1 violada
-,
Capítulo 2. Metodología
verifica
nM
+
WkI
5
n—l.
2<
Esto es así ya que
k
basada en el Primal
<&<W)) =
—
x(V)
nM =
+
uu
4
1, y por tanto W cV como se deduce del teorema 2.1.
(3),
U
‘U
‘U
‘U
VjcV. y por tanto según la expresión (2.21) basta tomar
o
M
O para que o
~ O. Esto implica que los conjuntos de arcos B y, por
k
tanto, los digrafos auxiliáres D para kcV no son necesarios. Además se
u
Si además suponemos que el punto x satisface
(3)
del
modelo,
entonces
el problema
problema de corte mínimo
de
en un graf o
las restricciones
separación
no
se
(2) y
convierte
en
un
dirigido> y se pueden utilizar
algoritmos como el de Gomory—Hu para obtener un corte de capacidad mínima.
(Ver Padberg. y Rinaldi, 1990).
En
efecto,
entonces C
J
5
si
el
punto
x
satisface
las
restricciones
puede transformar
el digrafo O
k
en el digrafo
simétrico
O’ = <y ,A’) con
o
o
capacidades c’
(b)c’
(c)c’
yO
haciendo:
=c0
~Ji
Ii
=1/2(x
ji
+x)
Ji
V(i,j)sA
0
JI
=c’
VvEV
0v
Sea G” =
capacidades
=c0
s’
(V ,E)
o
el grafo no
1
dirigido inducido por 13’
=
CV ,A’)
o
con
I ¡-3 -31
G”
= c’
tiene
-=
c’
U
V<ijkE
.
la propiedad
de que c”(6(W)) =
c’(8~(W)>
=
c’(&(W))
para
cualquier W~V , donde .5~(W) = 8(V\W). Por tanto, un corte .5(W) en G” con
capacidad mínima c”G5(W)) corresponde a un corte de capacidad mínima K1W)
en O’ y viceversa.
Por tanto el problema de separación para las SEC’s, suponiendo que el
punto
inicial
‘U
definido de la forma siguiente:
(a) E = < <ij> 1 (i,j)~A’ >
(b) c”
‘U
U
U{(v,0)/veV>
o
=c’
1.)
y
2
-
(a)A’=A
(2)
verífica
las
condiciones
48
(2),(3),(4)
del
modelo,
puede
U
‘U
ji
‘U
4
u
u
Cap Club
resolverse
utilizando
cualquier
2. Metodología
algoritmo
que
basada en el primal
determine
un
corte
de
capacidad mínima en un grato no dirigido.
2.4.3.—
Identificación
de
condiciones
que
preservan
precedencia
Se
plantea
relaciones
de
restricciones
que
.
el
problema
de
separación
para
las
fuerzan la precedencia (PFC’s).
x(j:W)
+
x(W)
+
5
x(W:i)
Wj
V(i,j)dfl
y
0*WSV\{i,j>
(2.23)
Como en el apartado anterior, se reducirá el problema de separación a
una serie de problemas de corte mínimo
La entrada
del
algoritmo
con x ~O V(i,j)cA. El
li
¡
viola alguna restricción del tipo (2.23), y en
algoritmo se pregunta si x
caso afirmativo
da
A
es un
como salida
punto xEO ,
alguna
restricción
-
violada.
Para
ello,
se
construye para cada arco (i,j)ell un problema de corte mínimo del que se
obtiene la información de si la PFC (2.23) es violada para algún conjunto
Dado el digraf o de precedencias 1’ = (N,TI), para cada arco
introduce
un
nuevo
digrafo
ID
=
CV ,A )
JJ
con
capacidades
J~j
¡-3
digraf o viene definido por los siguientes parámetros (ver figura 2.4
(a) V
= (V\<i.j>)
‘.1
U
(U) A”=<(i,jkÁ\x
Cc) A
< (k,l)\
ji
<y
ti
>
donde
y
‘-1
>0>
(k,l)eA”,
k,k<i,j> >
—
x
‘41
U
U
< Cv .1) \ (j,l)eA”. W<i,j> >
U
< (k,v ) \ (k,i)eA”, k~<i,j>
Ii
Ii
Cd) d11
‘41
es un nudo nuevo
V(k,lkA
4
Ii
fl
49
A”
U
Este
Capítulo 2. Metodología
ví
(e) d1~
l~l
Cf)
Por
x
—
V<j,1)eA
JI
d1>
—x
kv
tanto
eliminando
‘U
‘U
‘U
‘U
J
basada en el primal
‘41
V(k,ikA
el
digrafo
O
se
obtiene
a
partir
todos los arcos que terminan en el nudo
salen del nudo
i y todos
reemplazando los nudós i y
-
los arcos entre
j
j,
de
y
Ii
. -
=
<V.A”)
todos los arcos que
los nudos i y
por el nuevo nudo
O”
j
y, finalmente.
u
Las capacidades de los
arcos son los valores de las componentes positivas del vector x.
ji
‘U
u
u
Figura 2.4
Las restricciones
que fuerzan
las relaciones
de precedencia
relativas
al arco Ci,j)eTl y al digrafo ID = (V,A),
x(j:W)
+
x(W)
+
x(W:i)
5
(2.24)
pueden escribirse, en términos de la transformación de ID en O, como:
x(W
U
<y>)
s
=
w
U <v>~
—
50
1
(2.25)
‘U
‘U
ji
‘U
‘U
‘U
‘U
u
u
Cap itulo 2. Metodología
Por
tanto,
para
contrastar
si
se
verifica
la
basada en el p!7imal
¡‘FC relativa
al
arco
(i,j>etl es preciso contrastar si el vector x verifica la SEC
5
x(W)
W~-í
para el digrafo D
V*~V,
y
Ii
cW
2slWlsn-l
y
‘.1
Si existe un conjunto de nudos
E*,
W~V
*1
con y
25?
~n—1 tal que
Ji
-~
JI
x(W) >
—1 entonces para el conjunto W = W\<v > se satisface x(j:W) +
ti
x(W)
x(W:i) > JW[. Si no existe ningún W con esa propiedad entonces se
+
satisfacen
todas
las
restricciones
de
la
forma
(2.24>
relativas
al
arco
(i,j)efl.
Repitiendo
este
procedimiento
V<i,jkfl
se
resuelve
el
problema
de
separación para las restricciones (2.23).
Teorema
puede
2.2:
El
problema
transformar
eliminación
en
un
de subciclos
de separación
para las restricciones
problema
identificación
(resuelto
de
en el
apartado
de
2.4.2).
(2.25)
se
condiciones
de
Por tanto
este
problema se resuelve en tiempo polinomial.
Demostración:
Sea
o-av
Utilizando
una
versión
simplificada
del
algoritmo
2.1,
en
1~1
el paso 1 del algoritmo normalmente sólo se tiene que construir el digrafo
oauxiliar D =(V ,A ) con capacidades c (asociado al nudo comprimido a’) a
partir
de]
a’
o-a’
digraf o
D =CV,A ) con capacidades
II
Ii
d JJ,
y ejecutar
los pasos
2
y 3 del algoritmo para este caso.
Si en el paso 3 se identifica un conjunto de nudos WV
con a’eW, O~W,
tal que co-C&(W)) < l+(n—l)M entonces se verifica
y
por
tanto
se
viola
la
PFC
asociada.
satisface todas las PFC’s.
51
En
caso
contrario
el
vector
x
Capítulo 2. Metodología
Falta por comprobar que se verifica
O’EW
y
Por tanto
restricciones
+
basada en el Primal
~ 2. Pero e~to es a~f yá que
u
(n—1)M.
queda demostrado que el problema de separación
que
polinomial VxeO
ca’(K(a’)) = 1
j
j
A
Si además
fuerzan
la
‘U
ji
u
precedencia
se
puede
resolver
para
en
las
tiempo
a
( x~O
el punto x
dado satisface
las restricciones
modelo, entonces se puede hacer M = O, lo que simplifica
(2) y
(3) del
el algoritmo tal
como se ha indicado en la sección 2.4.2.
u
2.4.4.— Algoritmo de planos de corte. Lineas generales
Las
ideas
básicas
del
algoritmo
de
planos
de corte
utilizado
para
resolver el problema son las siguientes:
Algoritmo 2.2
Entrada: Matriz nxn
P = (N,fl).
Paso 1: Calculár
de coeficientes
la envoltura
c
Ii
transitiva
y digrafo acíclico
cerrada
del
de precedencias
digraf o
acíclico
P
para obtener el digrafo de precedencias inicial.
Paso 2: Preproceso
precedencia.
-
(Sección
2.3.4).
Se
intentan
añadir
Si se añade alguna volver al paso 1.
que no pueda añadirse
ninguna precedencia.
relaciones
de
Repetir hasta
El digrafo final será
P=(V,l1).
Paso 3: Preproceso.
eliminar
arcos
<Secciones
2.3.1,
del conjunto
2.3.3,
A y del
2.3.5).
conjunto
U,
Se
fijar
intentan
algunas
variables, y se convierten algunas desigualdades en igualdades.
52
ji
‘U
-u
‘U
‘U
u
u
u
u
‘U
ji
u
ji
‘U
u
u
Capítulo 2. Metodología
Paso 4: Gota superior
solución
inicial.
óptima.
La
proporciona la primera
Obtener
basada en el
una cota superior
aplicación
de
un
cota superior,
inicial
algoritmo
Primal
de la
heurístico
con valor z en la función
objetivo.
Paso 5: Primera
del
relajación. del problema.
problema,
(LPAP),
considerando
integrado
por
las
Obtener
la relajación
el problema
de
asignación
restricciones
(l)—(4).
Se
inicial
asociado
obtiene
así
un problema de programación lineal al que se denomina rela!jación
LP inicial.
Paso 6: Gota
inferior
inicial.
Resolver
el
LP
actual,
con
solución
óptima x y valor en la función objetivo z. Si x es factible para
el problema del programación
óptima del problema). Si z
—
entera IP, FIN
(x es la solución
z < 1, FIN (la solución encontrada
por el algoritmo heurístico es óptima>.
En otro caso ir al
Paso ‘7: Selección
que
paso 7.
del problema
intervienen
en
el
cuasi—global.
problema
Seleccionar
cuasi—global.
Se
las
variables
considera
el
siguiente conjunto de variables:
—
las
-
variables
con valor
1 en la solución
proporcionada
por
varias ejecuciones del algoritmo heurístico.
—
las variables
básicas
en la solución óptima del problerr~a de
asignación.
—
las variables
no
básicas en la solución óptima del problema
de asignación con coste reducido igual a cero.
—
las
variables
no
básicas en la solución óptima del problema
de asignación con valor 1.
Este conjunto de variables es la mejor estimación hasta el momento
del
conjunto
de
variables
con
valor
53
1
en
la
solución
óptima.
Estas
CapItulo 2. Métodología
variables,
junto
modelo,
con las
definén
cuasi—global.
la
(LP
restricciones
primera
(l)—(4) y
relajación
cuasi—global).
lineal
La solución
basada en el Primal
la función
del
objetivo
llamado
inicial
para
del
problema
la
resolución
-
u
ji
U
ji
de este problema - es lá mejor solución obtenida hasta el momento.
Si
no
algoritmo
se
ha
obtenido
aproximado,
ninguna
entonces
solución
la
primera
factible
utilizando
versión
del
el
problema
ji
ji
cuasi—global es el problema global.
Paso 8: O¡~timización
del
problema
cuasi—global.
Obtener
la
solución
la
solución
óptima de la relajación lineal del problema cuasi—global.
Paso 9: Obtención
óptirña
de
costes
reducidos.
Para
probar
que
del problema LP cuasi—global es también
óptima para el
problema LP global es necesario obtener los costes reducidos
las
variables
que
no
han
sido
incluidas
en
el
de
problema
cuasi—global.
Paso 10: Introducción
coste
de variables
reducido
apropiado,
de
sé
alguna
revisa
el
en el problema
de
las
cuasi—global.
Si el
no
signo
variables
problema
tiene
cuasi—global
el
añadiendo
las
variables que no lo tengan. Formalmente, se añaden las variables
que
satisfacen
reducido.
la
condición
5
c1
0,
donde
(Nota: Se supone que las variables
c
no
es
su
coste
incluidas
en el
problema cuasi—global tienen valor x1~ =0.)
En este caso se revisa la solución actual del LP y se vuelve
al paso 8.
Paso 11:
Fijación permanente
costes reducidos
o
Ji
de valores de las variables.
tienen el
signo adecuado,
‘U
u
ji
Si todos los
ji
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
ji
entonces el valor
z, es una nueva cota inferior (más fuerte
‘U
que la mejor obtenida hasta el momento) de la solución óptima
‘U
óptimo actual del LP,
del
problema
global.
Además,
54
las
variables
que
satisfagan
la
‘U
u
u
•
•
Capítulo 2. Metodología
basada en el f!rimal
condición
a;ti
-se
fijan
—
permanentemente
a
su
valor
actual
(que
puede
ser
c
1
ro
o
uno).
Si
al
valor
-
llegar
fijado,
problema
Paso
12:
Si
en
el
paso
debido
se
variables
no
obtenido
a
que
de
se
se
la
han
fijado
nuevo
básicas
tiene
solución
un
los
reducir
el
número
pasos
2
tamaño
un
óptima
del
fijado
algunas
considerable
y
del
cuasi—global.
3
de
(Preproceso).
A
problema.
(Este
paso
variables
es
cm
como
permane
deba
fijarse
recto
rites.)
obtiene:
nuevas
implicación,
han
problema
Detectando
b.
ha
de
trata
del
reducción
a.
las
se
ejecutan
Reducción
La
Se
anterior
se
continuación
13:
FIN.
todas
global.
variables,
Paso
aquí
y
variables
eliminando
Actualizando
el
cuyo
todas
lado
las
derecho
valor
variables
por
fijadas.
de
la
restricción
tal
como
(1)
del
modelo.
c.
Actualizando
los
preproceso
d.
(sección
Eliminando
al
nudo
x
vectores
i
r
y
d
está
indicado
en
2.3.2.>.
la
restricción
(resp.
al
(2)
nudo
j)
(resp.
si
(3)>
se
ha
correspondimte
fijado
la
variable
1.
U
Si
esta
calcula
de
Observación
consecutivas
nivel
de
2.5:
es
tolerancia,
reducción
nuevo
Si
tal
que
la
de
variables
solución
la
su
normalmente
del
solución
de
diferencia
a-
LP
es
=
~Q4,
55
afecta
y
se
al
vuelve
dos
menor
entonces
valor
al
de
paso
8.
optimizaciones
que
o-,
no
dcl
donde
se
se
llevan
o-
LP
es
a
un
cabo
Capítulo 2. Metodología
los pasos
correspondientes
a la fijación
basada en el Primal
de costes reducidos ni el paso
u“U
‘U
14 de generación de restricciones que se detalla a continuación.
Paso 14:
Generación
pueden
de restricciones.
lograr
más
procedimientos
reducciones
anteriores,
de restricciones,
Una vez comprobado
del
se ejecuta
la
nuevas restricciones,
cualquier
fase
se
utilizando
de
los
identificación
añadiendo al problema cuasi—global la SEC y la
PFC más violadas
(utilizando
los
descritos en las secciones 2.4.2. y
las
problema
que no
restricción
-
algoritmos
de
2.4.3.). Cuando
se elimina de la
no
activa
actual
que hubiera
sido
separación
se añaden
relajación
LP
añadida
con
U
u
u
U
anterioridad.
Si
no
se
ha obtenido
ninguna
restricción
violada,
FIN.
El
algoritmo proporciona como salida la cota inferior z.
-
Paso 15: Si se ha podido añadir alguna restricción
en el paso anterior
U
ji
se actualiza la solución actual del LP. Ir al paso 7.
U
Otros cortes válidos para el SOP
En lugar de introducir como corte una restricción tipo SEt, o PFC es
posible
introducir
inducida
ATSE,
por
pfl,
en
ellas.
el
problema
Muchos
de
relajado
los
restricción
válida
del
U
que sean también válidos para el
ji
ji
cortes
se pueden escribir de forma
cualquier
válidos
para
el
politopo
SOP(n,P).
Las clases
facetas
para
(1982),
Padberg
muchos.
Sin
exhaustivo
de
el P
y
desigualdades
Rinaldi
embargo
sobre
válidas
se han estudiado
estas
no
(1990),
es
condiciones
y
de desigualdades
en Grdtschel
Grdtschel
objetivo
y
‘U
de
este
y
(1977),
Holland
trabajo
su aplicabilidad
que definen
Padberg
(1991>
hacer
al SOP,
un
y Rao
y
otros
estudio
ya que no
serán necesarias para la metodología que propondremos en el capítulo 3.
ji
‘U
U
56
‘U
U
13
Capítulo
2.5.-
2. Metodología
basada en el Primal
OBTENCION DE COTAS INFERIORES. SOP CON RELACIONES Dl
PRECEDENCIA Y ACOTACIONES
Se plantea el problema de encontrar un camino hamiltoniano 11 con peso
total
mínimo en un grafo
precedencia
superiores
dadas
por
de forma
el
digrafo
que se satisfagan
P=(N,TT).
cuando
al peso de cada subcamino hamiltoniano,
las
relaciones
existen
de
acotaciones
proporcionadas
por el
vector n—dimensional d.
Para ello se desarrolla un algoritmo de planos de corte
modelo
sigue
2.5 de la sección 2.2.3.
el esquema
descrito
La metodología
en el algoritmo
básica de este algoritmo
2.2.
condiciones que fuerzan la precedencia y las
basado en el
Ahora,
sin embargo,
acotaciones son
las
introducidas
en la relajación lineal del modelo (debido a que el número de ellas es del
orden de n2 como máximo), y sólo se utiliza el algoritmo de separación
descrito en la sección 2.4.2 para las SEC.
La experiencia
que se obtienen
combinatorio.
computacional
están
Parece
muy
para este
alejadas
necesario,
de
por tanto,
modelo indica
que las
la solución óptima
utilizar
permita la obtención de buenas cotas inferiores.
un
del
cotas
problema
nuevo enfoque que
Este será el problema que
abordaremos con la metodología propuesta en el gapítulo siguiente.
2.6.- ALGORITMO EXACTO
En
cualquiera
anteriormente,
óptima,
o
bien
el
de
los
algoritmo
cuando
algoritmos
termina
la única
de
cuando
restricción
planos
se
de
corte
encuentra
violada
es
la
la
descritos
solución
condición
de
integralidad (restricción (6) del modelo 2.5).
En problemas
solución óptima
En
concreto,
de no muy grandes
utilizando
si
la
dimensiones
las técnicas habituales
única
restricción
5.7
violada
es posible llegar a la
de pro~ramaciónj entera.
es
la
condiéión
de
u
Cap itulo 2. Metodología
integralidad,
se
similar
descrita
a la
puede
utilizar
una
en Padberg
y
técnica
basada en el Primal
branch—and—cut,
Rinaldi
(1991). para
de
forma
el -problema
del
viajante.
-
13
objetivo es
El
fijar
variables
a un
valor determinado
(0 ó
1).
En
cada nudo n habbá un subconjunto N~o de variables fijadas con valor O, y un
subconjunto 1’? de variables
N
0
U
N
u
fijadas con valor 1, de forma que se verifique
c A.
1
N~=<x
-
o
II
/x
Ji
/x
En
cada
nudo
probablemente
=lenelnudon>
se
nuevas
U
=Oenelnudon>
efectúa
variables
la
fase
fijaran
de
sus
preproceso,
valores
a cero
con
lo
ó
uno.
a
continuación se resuelve para ese nudo el problema de programación
asociado,
y
después
restricciones
se
tratando
ejecuta
de
el
procedimiento
identificar
de
condiciones
que
lineal
generación
violadas.
A
de
13
U
Estas
restricciones se añaden al subproblema lineal asociado.
Se resuelve por tanto en cada nudo un subproblema similar al problema
original.
Cuando- en un nudo
integralidad
se
continúa
el
la única condición violada es la condición de
proceso
de
ramificación
variable que será fijada a cero ó a uno.
Así
en
cada
nudo
estarán
fijadas
correspondientes
variables
a
las
ramificaciones
hasta
eligiendo
no
sólo
las
llegar
a él,
sino
una nueva
variables
todas
que hayan sido fijadas en el fase de preproceso efectuada
las
en el
U
-u
U
ji
mismo nudo o en cualquiera de sus nudos predecesores en la ramificación.
De
incluirá
sus
la
misma
las restricciones
nudos
predecesores.
ramificaciones
requerida
forma
tendremos
en
cada
generadas
Por
nudo
el
subproblema
en el mismo nudo
tanto
en
nudos
distintos problemas
lineal
y en cualquiera
provenientes
a resolver,
asociado
y
de
de
distintas
la información
en cada nudo debe ser almacenada. Utilizando este procedimiento
58
13
‘U
13
ji
U
u
Cap (tulo 2. Metodología
1
basada en el Primal
se resuelven problemas más complejos, pero el número de ramificaciones
es
menor que si se efectúa el tradicional algoritmo branch—and—bound.
El
proceso de ramificación continúa hasta que en una rama se obtenga
una solución entera, que se almacenará si es mejor que la mejor solución
obtenida hasta el momento, o hasta que la cota proporcionada por un nudo
sea
peor
adelante
que
el
la
mejor
solución
obtenida.
proceso de ramificación,
Cuando
la mejor
no
solución
se
puede~ seguir
obtenida
hasta
momento será la solución óptima del problema.
¡
59
el
u
u
u
u
u’
a
a
u
.1
‘3
u’
u
2
SI
a
u
u
u
SI
u
Capítulo 3
Metodología basada en el Dual
3.1.- INTRODUCCION
3.1.1.— Motivación
Una
vez
analizada
la
metodología
basada
en
el
primal,
)odemos
observar dos inconvenientes fundamentales para su aplicación al SOP:
1) Dados los tipos de condiciones del SOP que se relajan
de
eliminación
precedencia
(DFC’s)),
en
de
subciclos
(PFC’s)
y
(SEC’s),
restricciones
restricciones
que
fuerzan
(restricciones
que
fuerzan
la
las
acotaciones
el número de condiciones es finitamente grande (exponencial
LVI +1 Al) en los dos primeros casos. Por tanto, no hay ¡ninguna
garantía de que en el pedr de los casos no fuera necesario generar y,
por tanto,
añadir al
condiciones
de este
problema LP un número
tipo.
Por consiguiente,
llegaría a invalidar la razón fundamental
tipo de metodología.
finitamente
de
en ese punto extremo se
por la cual se adopta este
.
61
grande
.
CapItulo 3. Metodología
2)
Una de
las
algorítmico,
condiciones
más
importantes
basada en el Dual
desde
el
como es la condición de integralidad,
tipo de metodología.
Por tanto,
se corre
punto
de
se relaja
vista
en este
el grave peligro de que la
convergencia sea muy pequeña, es decir, que la diferencia en el valor
de la función objetivo entre dos problemas sucesivos de PL (en el que
en el segundo se ha incluido alguna
óptima
condición violada por la solución
del primero) sea muy pequeña y, por tanto,
la cota
inferior
esté alejada del valor óptimo.
Por
tanto,
proponemos
utilizar
una
metodología
distinta,
Esta metodología
se basa en técnicas
de relajación
La~rangiana
adecuadamente adaptadas al problema que nos ocupa.
Una
décadas
de
ha
las
sido
idea~
la
más
de
se
considerar
entera
términos
de
complejidad),
pequeño
de
solución
pueden
óptima
a un
que
complicados
restricciones
da lugar
a nivel
observación
programación
restricciones
útiles
adicionales.
computacional
una
cota
las
últimas
muchos
problemas
difíciles
de
como
problemas
fáciles
(en
por
un
La
conj&nto
-
dualización
problema Lagrangiano fácil
proporciona
en
inferior
relativaniente
de
estas
de resolver,
(en
a
u
U
U
que
denominaremos Metodología Dual, para la obtención de cotas inferiores para
el SOP.
u
u
problemas
cuya
de
minimización)
al valor óptimo del ptobl~ma origiñal. Así, es posible
utilizar el problema’ La~rangiano en lú~ár de la relajación linéai pata la
u
U
U
U
u
-
obtención
de
cotas.
Además,
el
enfoque
Lagrangiano
ofrece
un
número
u
import~nté de veñtajas res~ecto a la relajáción lineal.
Este enfoque fue utilizado p¿r HeId y Karp (197Ó) para, a partir
-
de
un Ñ-o6lema Lagtangiano básado en árboles generadores de peso mínimo,
proporcionar
eficiente
que
un
algoritmo
todos
los
para
el
obtenidos
Problema
hasta
del
entonces
U
Viajante
utilizahdo
muchó
más
relajaciones
lineales. A partir de ese momento lá técni¿a se ha utilizádo en muchos
problemas combinatorios - “clásicos”, pi-oporcidnando, en la mayot<a de los
-
U
u
-.
casos, el mejor algoritmo éxistenté para el problema.
u
62
U
13
St
U
.
u
-
U
Capítulo 3. Metodología
-
Sin
embargo,
restricciones
tradicionalmente
adicionales
a dualizar
se
suponía
basada en el Dual
que
era relativamente
el
conjunto
de
pequeño en relación
con las dimensiones del problema. Con nuestra Metodología Dual proponemos
-
una extensión de -las técnicas Lagrangianas a problemas donde el número de
restricciones complicadas es finitamente grande, como es el problema que
nos ocupa.
1)
Las características
de esta metodología son las siguientes:
Al
metodología
igual
que
la
inferiores
primal,
obtener
cotas
relajados
para los que se tiene
esta
resolviendo
metodología
consiste
iterativamente
la garantía
en
problemas
de que el valor
en la
función objetivo (a minimizar) de cada nuevo problema no es superior
al
valor
obtenida
de
la
solución
anteriormente.
menos,
las
así
óptima,
pero
En nuestro
llamadas
tampoco
inferior
a
la
cota
problema concreto relajaremos,
restricciones
complicadas,
es
decir,
al
las
PFC’s y DFC’s.
2) La primera diferencia
la
condición
problema
con la metodología primal es que no se relaja
de integralidad
resultante
relajado
de las
variables
ya no
es un
binarias.
Por tanto
el
problema de Programación
Lineal, sino que sigue siendo un Problema Combinatorio
Esta característica
ese problema
cierta
es muy importante,
combinatorio pueda resolverse
esperanza
de
que
la
convergencia
porque en el caso~ de que
en tiempo polinorhial hay
al
óptimo
del
problema
original sea más rápida que en el caso de la relajación lineal.
3) La segunda gran diferencia (en nuestro problema concreto) es! que, en
principio,
no
se relaja
un tipo de condiciones muy dificil
de tratar,
como son las SEC’s (número exponencial de condiciones) y, por tanto,
se
incrementa la expectativa de una deteriorización
fuerte
en
la
función objetivo.
El problema resultante
de relajar
63
en el SOP las condiciones PFC’s y
Capítuló. 3. Metodología basada en el Dual
-
U
DFC’s es un problema combinatorio para el que no hay algoritmos conocidos
con- complejidad polinomial (ver sección l.6.S).
-
El problema relajado queda plañteádó de la forma siguiente:
U
4
=MINcV
s. a.
(1) x(X> = n—1
(2) x(á(j))
=
1
VjEVMO>
(3) x(&¼j))s 1
VjeV
(4) x(W)
VWcV , 2 s
(5) x
E
5
IWI-l
W~
5
4
n-l
<0$>
U
Se puede observar que este modelo es el programa 0—1 para obtener el
camino Hamiltoniano en el grafo
viajante
asimétrico.
D=(V,A) de mínimo peso, o problema del
Este problema es k9’—duro y, por tanto, la relajáción
obteñida no es un “buen” problema combinatorio.
La condición
(3)
exige que no
salga más
de un
arco de cada
Podemos observar que el problema resultante al relajar
el problema de obtener una arborescencia generadora
nudo.
esta condición es
de mínimo peso,
U
U
problema que tiene complejidad polinomial. Ver sección 1.6.2.
de la metodología
U
que proponemos, no se relajan las condiciónes SEC’s, pero en su lugar
ji
4) Así, y ésta
se
relaja
condiciones
es una característica
(en
forma
dualizada,
muy importante
como
ya
se
(3), que llamaremos de asignación.
una aproximación
-
4
j
al problema del viajante
no
verá)
tipo
de
Es preciso notar que
necesitaría
otro tipo de relajación. (Ver HeId y Karp (1970)).
Una vez identificadas
las
condiciones (y cortes
asignación,
el
de ningún
reforzados)
de
U
U
PFC’s y DFC’s que hayan sido violadas por la solución óptima
del problema
del
árbol generador
de mínimo peso, si se incluyesen estas
a
64
4
U
u
-
r
-
-
condiciones
en
el
-
conjunto
Capítulo
de
se
3. Metodología
restricciones
destruiría
la
del
-
basada en el Dual
problema
estructura
de
combinatorio
relajado,
obviamente,
arbor?scencia
generadora
de dicho conjunto de condiciones. Vemos aquí, pues, dos graves
inconvenientes:
El primer
inconveniente
sería
del mismo
metodología primal puesto que, actuando
incrementar
El
tipo
que en
el caso de la
de esta forma, se puede llegar a
el problema relajado en un número exponencial de condiciones.
segundo
inconveniente
es
que
no
existen
hoy
día
algoritmos
con
complejidad polinomial para resolver el nuevo problema combinatorio.
Por
tanto,
necesitamos
utilizar
la
información
obtenida
por
la
violación de las condiciones de asignación, PFC’s y DFC’s sin que por ello
destruyamos
la
estructura
del
problema
combinatorio
y,
por
tanto,
sin
incrementar el número de condiciones.
5) Así,
proponemos dualizar
violación
hayamos
las
condiciones
y
Para
hemos
identificado.
ello
cortes
de
implicados
cuya
expresar
estos
cortes de forma que su dualización signifique
únicamente
una
modificación (obviamente, lineal) en los coeficientes de la función
objetivo
tanto,
de
las
una
mismas
metodología
multiplicadores
totalmente
de
variables
del
apropiada
Lagrange.
nuevo en el
para
Ver
problema.
estimar
sección 3.3.
tratamiento
Precisaremos,
por
los correspondientes
Este
de problemas
es~uemaf no
combinatorios
es
(ver
por ejemplo Aboundi, Hallefjord y Jornsten (1991) para el problema de
asignación
con
ciertas
condiciones
adicionales),
pero si es
novedoso
para el SOP.
Un problema combinatorio
problema auxiliar
a resolver
SEC’s
de
en
programa
lugar
0—1 para
las
alternativo al anteriormente
en cada
condiciones
iteración
de
resolver el problema
propuesto
consistiría
asignación.
de asignación,
como
en reía jar
Tendríamos
así
las
el
que tiene también
complejidad polinomial.
Identificar
condiciones
de asignación
65
no
satisfechas
por
una
solución
CapItulo 3. Metodología
binaria
es
binaria.
Ahora bien,
asignación
tan
trivial
cómo
en
identificar
nuestro
y, por tanto,
SEC’s
problema
basada en el Dual
¡Sara
la
sólo tenemos
misma
n
solución
condiciones
de
eñ el péor de los cásos sólo es necesario estimar
-
n multiplicadores de Lagrange. En cambio hay un número exponencial
condiciones SEC’s, lo que implica que el número de multiplicadores
de
de
Lagrange a estimar y actualizar podría ser excesivamente grande. Por otro
lado, conjeturamos que este tipo de relajación seria más débil.
Parece
pues,
en
principio,
que
hay
razones
para
justificar
la
la
resolución
de
utilización del problema de la arborescencia ~eneradora.
En definitiva
(1)
Resolver
nuestra
problemas
metod¿logia
dual
combinatorios
propone:
difíciles
via
condiciones
violadas,
y
obtener con complejidad
polinomial
cortes equivalentes y más fuértes pára la solución óptima del problema
combinatorio auxiliar.
(3)
-
La
utilización
apropiada
de
la
teoría
función objetivo para su convergencia
Lagrangiana
al
dualizar
hacia la solución óptima,
la
via la
utilización de las condiciones y cortes identificados.
3.1.2.- Desarrollo de la metodología
Una vez motivada la conveniencia de enfrentarse
nuevo
enfoque,
adecuado
para
en
esta
la
sección
3.2
metodología,
se
y
al problema desde un
desarrolla
se
e]
describe
modelo
nuestra
cortes
metodología
“naturales”
para
y
PFC’s
reforzar
y
válidos
para
dualizar.
identificar
DFC’s.
los cortes
a
El
En
cortes
capítulo
5
el
el
tipo
capítulo
válidos
presenta
válidos tal que se obtenga
u
-u
u
‘U
U
de
para
la
4
las
u
U
U
‘U
U
matemático
preproceso
necesario para ese modelo. En la sección 3.3 se describe el método para la
actualización
y utilización de los multiplicadores de Lagrange - de las
condiciones
U
U
problemas combinatorios con complejidad polinomial.
(2) Identificar
u
u
se
presenta
U
U
condiciones
motivación
teórica
una dualización
más
U
fuerte de las condiciones violadas.
66
‘U
u
u
-‘e
Capítulo 3. Metodología
basada en e¡. Dual
3.2.- MODELO MATEMATICO
3.2.1.- Modelización
Entre
las
modelizaciones
0—1
equivalentes
posibles
para
el
ÑOP,
el
siguiente modelo es el que más se adapta a nuestros requerimientos:
Modelo 3.1
Mm
s. a.
(1,] >EA
~
cx
~-3
(1) x(A) = n—l
<j>)
<2) x(3
= 1
(3) x(W)
VjEV\<O>
VWcV,IWI~
W—í
(4a) x<5tj)) = 1
VjcV , y
(4b) x(e5~ (j))
VjEV
<~>
i <
j
5
1
1
en 1< si el
1
= < jeV/ 3(j,ikIT, i*j >
i
V = V\V
2’
2
arco
(i,jklT;
1
es decir,
x
satisface
las
relaciones de precedencia dadas por el conjunto de arcos en 11
<6)
y
VjcV; es decir,
s d
x
satisface
la acotación
al
peso
acumulado de cada nudo, donde y tiene la expresión (1.1).’
J
1<
(7) xc<o,í>
El problema relajado,
mínimo,
consiste
en
problema de la arborescencia generadora ‘de peso
minimizar
la función
objetivo
anterior
sujet
-
a
las
condiciones (1), (2>, (3> y (7).
En
nuestra
metodología
modelización matemática
dual
modificar
es
necesario
con
una
es inmediato comprobar si alguna PFC o
en cuyo caso habría que utilizar
los coeficientes
capitulo 4 se estudia
contar
precisa de las condiciones (5) y (6), ya que. dada
una solución al problema relajado,
DFC es violada>
no
de
la función
objetivo
esta
en
informacikn
el problemal
para
En el
la forma de obtener un corte válido para el SOP a
67
13
Capitulo
3. Metodología
partir de una condición (5) ó (6) violada.
u
basada en el Dual
13
U
-
3.2.2.— Preproceso
Tal como se ha formulado en la sección 2.3,
el objetivo fundamental
del preproceso en la metodología primal es hacer más fuerte la formulación
del problema,
más
fuerte
transformando
(i.e.,
ninguna
solución
relajado
puede
se
han
entera).
el sistema en otro sistema
eliminado
De esta
proporcionar
soluciones
forma
una cota
continuas
la solución
inferior
0—1 equivalente
más
sin
y
eliminar
del
problema
alta,
ya que
lineal
se
ha
13
ji
13
eliminado un haz de soluciones factibles lineales.
No todos los procedimientos
2.3 son necesarios
de preproceso presentados
en el planteamiento
de la metodología
dual, ya que el
problema en todo momento es un prógrama 0—1. No obstante,
efectuar un preproceso para tratar
en la sección
es conveniente
de fijar variables a o ó a 1, ya que se
disminuyen las dimensiones del problema.
-
Por
tanto,
el
preproceso
descrito
en
la
sección
2.3
13
13
ji
la
U
a un valor
U
tiene
sig’úiéñte especialización para la metodología dual:
1.— Se utiliza
el procedimiento
2.3.1 para fijar
variables
determinado.
U
2.— Los procedimientos 2.3.2, 2.3.3 y 2.3.4 no son necesarios.
U
3.— El procédimiento -2.3.5 está implícito en el modelo.
4.—
Se
utiliza
el
procedimiehto
2.3.6
para
detectar
cuando
un
problema dado es infactible.
3.3.- RELAJACION LAGRANGIANA
u
3.3.1.— Resultados fundamentales
Sea
un
problema
‘U
13
combinatorio
formulado
programación entera IP
68
como
el
problema
de
ji
13
U
u
1¡
•
--
Capítulo 3. Metodología
z
-
basada en e~l Dual
=Mincx
s.a.
Axsb
Dx
5
d
x ~ O y entero
Sea LP la relajación lineal del problema IP, y sea z
Sea la relajación Lagrangiana LR
z()
= Mm
cx
s.a
+
LP
su valor óptimo
u
u(Bx—d)
Ax~b
x ~ O y entero
donde u
es
el
restricciones
a
vector
de variables
dualizar.
Se
duales
puede
asociadas
observar
que
con el conjunto
las
restriccioíSes
problema IP se han separado en dos conjuntos de forma que LR
u
de
del
es 1 ácil de
resolver en relación con IP para una realización de u.
Proposición
3.1: El problema LR
u
es una relajación
del problema IP,
con
u ~ 0.
Demostración:
Veamos que se verifican las condiciones de la definición 1.21:
(i) Obvio.
(Ii) Sea x
*
óptimo para IP. Entonces x
z(u) = mm
< cx
+
u(Bx—d) 1 s cx
es factible para LR
*
+
u(B?—d)
-c
cx
y
u
=
2
u
dado que u ~ O y Dx- d 50
En general, no es posible garantizar
u tal
que z (u) = z
que se pueda encontrar un vector
pero, puesto que el problema LR
u
proporciona cotas
inferiores para la solución óptima de IP, la mejor elección para u será
solución óptima del problema D
z
= max
2
(u)
69
la
Capítulo-3.
Este
problema
se
denomina
el
dual
Metodología
lagrangiano
basada en el Dual
del
problema
IP.
Ver
su
dual
uu
U
Geoffrion (1974>, Fisher (1981) y Guignard y kim (1987), entre otros.
Teorema
3.1:
Dado
el problema
IP,
su relajación
lineal
LP
y
lagrangiano D, se verifica:
5
(a)
z
(b) Si para un u 3x
U
‘U
U
que satisface las condiciones
*
(i) x
(u)
es óptimo para (LR
Bx s d
U
=0
(iii) u(Bx—d)
entonces x
(c)
Si
x
U
es óptimo para IP.
satisface
(iii), entonces x
las
condiciones
Ci>
(u)
y
es una solución c—óptiná ~
-
del
IP, con
apartado
¿
=
(b)
pero
u(Hx—d)
Demostracion:
(a) Pot la proposición 3.1, z(u) s z
Vu
z
*
Por otra parte,
z
= max z~(u)
max < mm
u
max
cx.
+
<mm
u(Bx—d) 1 Ax
x
—
max
u
{ max
y vb-ud 1 vA
—
mm
< cx 1 Ex
5
cx
5 +
c
u(Bx-d) 1 Ax
+
5
= max ZD(u)
5
5
z
b, x ~ O y entero> ~
uR,
y
~ O, u ~ O
d, AxS b, x ~ O > =
satisface (i) y Cii) entonces x
*
Además, z
Z
()()
*
D
= cx
Por tanto x
es factible para IP.
~ z-(u)(x ) = cx
ya que, por la proposición 3.1, z IP
*
+
u(Bx—d) = cx
-
13
13
U
ji
b, x z O > =
donde las dos igualdades se deben al argumento de dualidad lineal.
(b) Si x
no
y
-
(dado que x
satisface (iii)).
U
13
U
U
13
es óptimo para IP.
70
“U
13
“U
U
¡
-
u
‘--4
Capítulo
3. Metodología
el
basada en
Dual
*
(c> Obvio, ya que x
es factible y satisface
la condición de la delinición
1.22.
Definición
3.1: El problema LR
valor óptimo
no
varía
tiene la propiedad de integralidad si su
u
si se elimina
la condición
de integralidad
.
en las
variables, i.e.,
LD
() = z
donde
LD
es
el
(u>
problema
Vu ~ O,
D,
donde
se
ha
eliminado
la
condición
de
integralidad.
Teorema
3.2: Si LP es factible y LR
u
tiene la propiedad de integ-alidad,
entonces
z
LP
=z
Demostración:
= max z
u~O
LD
(u)
(por dualidad lineal)
= max zD(u)
(por la propiedad de integralidad)
u
O
-
u
Por tanto la relajación Lagrangiana proporciona una cota igual o mejor
que
-
la
relajación
propiedad
de
lineal.
En
integralidad
modelizaciones
sólo
Lagrangiana cuando la obtención
es
para
las
operativo
(o aproximación)
que
utilizar
de z
LR
la
u’
tiene
la
relajación
sea más fácil que
la obtención de z
LP
3.3.2.-
Estimación de los
multiplicadores
de Lagrange.
Puesto que la mejor cota posible para el problema IP en la me&dología
lagrangiana
es z
=
max z (u), se trata
u
O
del problema dual Lagrangiano.
de
los
metodos
de estimación
de encontrar
la solución óptima
Esto no siempre es posible, pero la mayoría
-
de multiplicadores
soluciones óptimas o casi óptimas para este problema.
71
se
basan
en encontrar
Capítulo
3. Met¿dología
basada en el Dual
El- problema ID cuenta con un gran número de propiedades estructurales
-
que facilitan
su resolución.
Suponiendo que el conjunto X =
x ~ O y entero > de soluciones factibles para LR
puede representar
t
como X =
x ,
t=l
T >,
u
x / Ax ~
b
es finito, entonces X se
y- el problema D se puede
expresar como el siguiente problema lineal- con muchas restricciones
2
2
= max
D
s.a.
25 +
cxt
Se
inferior
observa
así
de una familia
continua,
cóncava,
para
cada
u
la
función
finita de funciones
diferenciable
c.s.
•
2(u)
es
O
lineales.
la envoltura
3.2:
Un
satisface:
z(u>
vector
5
y
z()
+
es
-
pero no diferenciable
un
y(u—u)
subgradíente
Vu
j
z (u) es una función
en general
en
los puntos u, tal que el problema LR—
u tiene óptimos múltiples.
Definición
ji
u
u(Bxt~d)
que
ji
ji
de
zD(u)
en
u
si se
~
0
u
U
13
Observación 3.1: La función zD(u) es subdiferenciable en todo punto.
*
Proposición
3.2: Un vector u
(u) en u*..
Existen
en la literatura
-
dual
-
Lágrangiano.
En
es óptimo para O
O es un subéradiente de
gran número de algoritmos para el ptoblema
general,
estos
algoritmos
siguen
alguno
de
los
siguientes enfoques;
u
ji
13
(1) El método del subgradiente.
(2)
Versiones
del
método
simplex
utilizando
técnicas
de generación
de
columnas.
u
(3) Métodos específicos de ajuste de multiplicadores.
Dado
que
proporcionando,
el
método
omitimos
el
(1)
es
desarrollo
72
el
de
que
mejores
los otros
resultados
dos
métodos.
está
(Ver
u
‘U
“U
u
-
-
Fisher
(1981)
-
para
~1
-
una
~.
Cap itulo 3. Metodología
basada en eV Dual
extensión
de
de
técnicas
estimaci
de
multiplicadores).
Método del subgradiente
para resolver el problema D
*
Dado un valor inicial u
u
donde x
k
se genera una secuencia <u }, tal que
k
+a<Bx—d)
k+1
k
k
es una solución óptima de LRu
y ak es un
k
escalar
ositivo,
denominado longitud de paso.
Teorema3.S:z(u>-~-z
si
a
40
k
1=0
y
Sa-~w.
Demostracion:
Ver Bertsekas (1982), entre otros.
Generalmente se utiliza la siguiente expresión para a
A (z
a 1<
donde A
para z0
z
—
k
=
Bx-d
es un escalar tal que
(obtenida,
(u
Ok
k
))
112
O < A
frecuentemente,
1< 5
*
2
aplicando
y
una
z
es una cota superior
heurística
al
problema
r
IP), ver ¡-leId, Karp y Wolfe (1974) y HeId. Wolfe y Crowder (1974).
A menudo la sucesión A
A
k
se obtiene fijando A
= 2
y
dividienc.o por 2
cuando el valor z (u) no ha aumentado en un número fijo de iteraciones.
D
Esta
la
3<
regla funciona
condición
parte
la
bien empíricamente,
suficiente
diferencia
establecida
(z —z0(u3<))
no
en
aunque no tiene porqué <¡erificar
el
tiende
teorema
en
3.5,
general
ya que
a
cero
4
por
si
otra
*
z
se
*
obtiene a partir de una heurística para IP, pues z ~ z
~ z
11’
0
El método normalmente termina cuando se llega a un número determinado
de iteraciones.
73
1J
-
-
-
CapItulo -3. -Metodología
-
basada en el Dual
3.3.3.- Relajación Lagrangiana del SOP
Tal como se indicó en la sección 3.1 las condiciones del SOP a relajar
y
son las condiciones de tipo (4), (5)
Por tanto,
(6) del modelo 3.1.
la relajación Lagrangiana obtenida
cx
u(yx
+
—
w(ax
+
1)
-
ji
‘U
13
s. a.
5
(3) x(W)
VjeV\<0}
W—1
VWcVJWM
13
(7) xs{O,i>I<
donde
u
es
vector
el
asignación x(&}j))
vector
5
de variables
correspondientes
matrices
y a
~‘
reforzamiento
de
variables
1, representadas
duales para
a
las
de
condiciones
las
duales
para
las
en la forma
los cortes
(5)
pueden contener
válido
13
13
ji
es
-
(1) x(Á) = n—l
(2) x(c5 (j)) = 1
13
rx
válidos de
y
(6)
del
respectivas.
1,
modelo,
ax
el
“U
5
donde
a uno
(Ver
de
y w es
la forma
elémentos superiores
condiciones
5
condiciones
las
debido
capítulos
4
al
y
s
5).
Puesto
igualdad,
que
el
las
restricciones
multiplicador
de
tipo
correspondiente
no
(4a)
son
restricciones
está
restringido
en
de
signo.
El resto de los multiplicadores han de ser mayores o iguales que cero. (Se
supone que al multiplicador de una coñdición violada todavía no detectada
13
se le asigna el valor estimado nulo).
Cada
vectores
iteración
Lagrangiana
de multiplicadores
se
distingue
por
la
actualización
u y w. Así, en cada iteración
de
se resuelve
los
un
problema combinatorio de la arboréscencia generadora de peso mínimo, y se
pasa
a
la
correspondiente
siguiente
iteración
a una restricción
identificando
un
corte
válido
violada y realizando una modificación
.74
‘U
13
en
13
u
u
•
-
•
-
Cap itulo 3. Metodología basada en el Dual
-
los coeficientes de las variables en la función objetivo.
Se
secciones
utilizarán
a
continuación
anteriores
adaptándolas
los
conceptos
y desarrollándolas
y
notación
de
las
para el problema
que
nos ocupa.
Sea el siguiente
problema SOP, donde en el espacio de soluciones X se
recogen las condiciones que definen una arborescencia:
(P)
min<cx/Axsb,xeX>
donde b y c son vectores y A es la matriz de dimensiones
apropiadas
que
de
el
sistema
condiciones
que
acotaciones.
La
vector de
Axsb
recoje
fuerzan
el
las
relajación
multiplicadores
conjunto
precedencias
Lagrangiana
u
de
y
de
condiciones
condiciones
<1’)
asignación,
que fuerzan
relativa
a Axsb
(dimensionado como b y con las
tal
las
con el
restricciones
en signo indicadas anteriormente) es
(LR )
Claramente,
desaparecen
mm
+
< cx
para
u
=
u(Ax—b) ¡ xeX
0,
las
de la función objetivo.
que el valor
condiciones
En general,
óptimo de (LR u ), sea z D (u),
óptimo de (P), sea z
.
es un
llamadas
“complicadas”
(LR ) depende de
u, tal
u
limite inferior
El dual Lagrangiano (D) determina
del valor
el mejor límite
inferior de z
(D)
Puesto
z
que z
=maxz(u)
O
u
O5
z
,
el
valor
óptimo
de
(D)
es
un
buen
limite
inferior del valor óptimo del problema original. En muchos casos, es fácil
crear
un
algoritmo
heurístico
para,
manipulando
la
solución
de
(D),
obtener una solución factible (y probablemente muy buena) para el problema
original (P).
Para
subgradiente
resolver
tal
(D)
se
podría
como
se
ha
utilizar
indicado
75
en
en
la
principio
sección
el
métcdo
J
anterior.
del
Esta
u
-
.
-
-
-
Capítulo 3. Metodología
-
metodología
resuelve
subáradiente
g = Ax 3< —b, donde xk es la solución óptima
arborescencia
el
(LRu).
-
problema
Para
(D)
basada en el Dual
la
calculando,
iteración
iterativamente,
k
se
-
el
al problema
de
actualizan
los
U
U
multiplicadores de Lagrange u;- segúrv la fórmula
u
donde
=max{0,u
a
k
=A
3<
~
u
+ag>
3<+i
3<
—z(u)
.D
k
-
-
.
k
De nuevo se resuelve el problema para la
3<
zI,
En la expresión (3.1) z
sea la diferencia
z
(demostradc& por
Reíd
iteraciones
necesarias
serán
suficientemente
salvo
correspondiente
—
también
una
en
-
y
grande
que haya
que
—
es un estimador de z
(1970))
para
que
y,
por
obtener
z
perjudica
solución
heurísti¿a,
la función
objetivo.
pequeño,
incluso
heurística no es un buen método.
se
algoritmo
pudiera
tendría
el escalar
cuando k-*
obtener
mayor
tomar
en
3<
z
este
valor
z
el
3<
de
valor
algoritmo),
valor
de
como
una
mejor
incluso,
zk
sea tal
la
solución
ji
1-u
se
aproximación
a
podría
constante
dejar
(z3<0k
—z (u
z0,
))-*
el
O
u
13
A continuación se presenta una metodología que, en el marco
.
puede ayudar a obtener z
(en la esperanza de ir reduciendó la distancia
generación
de
filas
y
2
-
-
columnas
—
3<
para cada iteración
z
para
la
estimación
de
multiplicadores.
Sea T el conjunto de puntos éxtremos del conjunto x; ~que engioba las
-
restricciones
13
ji
el valor
(siempre ~ O) sea
Ak (cg. ,A = 1) si se consigue que la diferencia
w
de
del
un
cuyo caso se toma
Salvo que
para
número
Se suele tómar
la convergencia
de u
U
-
eficiencia e,
de la generación de cortes,
Método
menor
z 1’ (siempre ~ O) es- ffiuy pequeño, y además
muy
U
etc.
, tal que cuanto menor
tanto,
.
--
Si
0
k+l,
mayor precisión tendrá la actualización
Karp,
(lo
iteración
del
problema
con
coñdíciones
76
fáciles
(en
nuestro
caso;
el
U
U
ji
‘U
13
13
U_
- --
l~”
-~ 1
•
1
Capítulo
problema de
arborescencia).
seria infactible).
Se
supone
que T ~
0
basada en e- Dual
(de
lo
-
contrario,
(P)
Se puede reescribir el problema (LR ), tal que
u
(u) = mm
+
<cx
+
t
u (Ax-b)
tET
x t representa
el vector
<cx t
u (Ax-b) > = mm
xEX
donde
3. Metodología
las
coordenadas
del punto extremo t para
teT.
Por
tanto,
la
resolución
del
problema
CD)
es
equivalente
a
la
resolución de problema
O
maxz(u)=max<min<cxt
u
u
tET
con
+u(Axt~b)>>
u ~0
Vi
excepto
aquellos
correspondientes
asignación
con
igualdad,
cuyo multiplicador
a
asociado
no
restricciones
está
.
de
restringido
en signo; problema que se puede reescribir de nuevo como un problema de
programación
lineal,
sea (DM)
(Dual Maestro> según la descomposicion
de
Henders (1962)
(DM)
max< T/
3,scxt
+u(Axt~b)VtET>.
u
Definición 3.3: Una desigualdad tipo Benders es una desigualdad del tipo
s cxt
-
Cada
+
u (Axt~b)
punto extremo
para algún teT.
teT
i. e., una de las restricciones
un problema
con tantas
proporciona
una desigUaldad
del problema.
filas como
Por tanto
puntos extemos
tipo
el problema (DM) es
haya en X, y tantas
columnas como restricciones “complicadas” haya en el problema (P).
Si el conjunto T fuera conocido explícitamente
el
problema
óptimo.
Pero
impráctico
lineal
T~
trabajar
preciso considerar.
(DM)
para
puede ser
con
(DM),
obtener
un
el
número
dado el
vector
bastaría
de
enormemente
número
de
E enders,
-
con resolver
multiplicadores
grande
condiciones
u
que
haría
que
sería
En cambio es muy posible que sólo un número pequeño de
77
U
Ca»ítulo 3. Metodología
-
córidiciones en (DM) sean ne¿esarias
-
basada en el Dual
para resolver el problema, i.e.,
pocos
13
puntos extremos en 1 ptoporcionan condiciones activas en (DM). Supongamos
por un momento que se conoce el conjunto de puntos extremos, sea- 5 para
SST,
cuyas
correspondientes
condiciones
en
(DM)
son
suficientes. para
resolver el problema. Por tanto, se puede reescribir (DM), tal que
-
(DM)
max{ r/TScx
u
+u(Ax-b)VtcS
uu
>.
La metodología de Benders (ver apendice 1) permite en general obtener
el conjunto
-
S
de una forma eficiente. Sin embargo én nuestro caso, no es
-
-
sólo el conjunto 1 quien no es conocido explícitamente. Tampoco están
explícitamente
modelizadas
todas
las
restricciones
“complicadas”
del
-
problema
y,
por
correspondientes
Ob~ervación
fórmá;
tanto,
desconocen
los
elementos
del
vector
Axt~b
a condiciones no identificadas.
3.2:
junto
se
-
con
El
la
vector
de
multiplicadores
a,
el
vector
multiplicador
u
está
variable
u
de
para
el
variables
problema
(u,r)
(P)
para
U
u
U
el
iJ
está
U
problema (DM).
Defiñición
prefijado
3.4:
El
a cero y está deactivado
activado
si
su
si es una variable libre
valor
del problema
(DM>.
Llamaremos
(DMR) (Problema Dual Maestro Relajado)
a una relajación
del problema (DM) donde no aparecen las condiciones tipo Benders relativas
a puntos extremos todavía no identificados y donde algunas componentes del
vector,
u
(aquellos
multiplicadores
correspondientes
a
restricciones
complicadas todavía no identificadas> están activadas.
Podemos utilizar el método que se verá en el capítulo siguiente
para
generar cortes para, a su vez, construir progresivamente un conjunto cada
vez más restrictivo de condiciones en (DMR). Es preciso notar que en la
iteración
k -se
resuelve
el
problema
la arborescencia (LRu) y, por
tanto, .se obtiene una nueva solución, sea x3<. La fase de identificación de
cortes violados. (y su correspondiente
reforzamiento)
proporciona
un
78
de
u
U
U
U
ji
U
U
u
u
4-
conjunto
de
Capítulo 3. Metodología
-
-
restricciones,
sean
(AY’
b>
<
para
basada en eL Dual
~
(donde
6ík
1k
-
es
el
conjunto de cortes) que son violadas en el problema original por el punto
1’.
La aplicación
del punto
en la función objetivo de (LRu
3<
x
proporciona la condición tipo Benders a incluir en el problema (DMR k+i ).
Y’
Las condiciones en 13< implican que los correspondientes
-
Lagrange
<y,
por
utilizarse
en
la optimización
correspondientes
3<.!
(DMR
tanto,
13<1
variables
en
de (DMR
columnas
<DMR))
3<-*i
).
deben
multiplicadores
deactivarse
Esto implica
en la matriz
y,
la adición
de condiciones
de
así,
de las
del p -oblema
). Ver figura 3.1.
—4
(DMR)
(DMRJ<,)
figura
A
continuación
nuevo vector
en
el
se
3.1
resolvería
de multiplicadores
problema
de
este
nuevo problema
de Lagrange.
arborescencia
(LRu3<.! )
sea u
k+i
,
para
obtener
el
que se utilizaría
correspondiente
a
la
siguiente
iteración.
Supóngase que antes de añadir la nueva condición basada en el punto
al problema dual maestro relajado, el conjunto de condiciones en (DMR)
3<
es 5 ,
y
el correspondiente
nueva condición derivada
relajado, esto es,
v(DMR)
valor en la función objetivo
del punto
~ +
1~ U 0
cx3<
u
j=i.2
Y’
(Ax3<—b>
k—i
79
¡
es v(DMR ).
13<
La
será un corte en el problema dual
(3.2)
u
Capítulo 3. Métodología
bbservación¡Safa
el
-
3.3:
Incluso
problema
si no
original
se identifica
que esté
violado
basada en el Dual
ni ngún
por
el
nuevo
corte
k
punto
indddido ñor la< condición (32) debe introducirsé en (DMR
x ,
ji
válido
el
corte
).
U
-
3<
Observación
3.4: En caso de que x
driginal y la situación
no viole ninguna condición del problema
anterior- se cúmpla con igualdad estricta,
Y’
es la
solución óptima del problema general (P).
U
U
Es preciso notar que en la metodología de Benders, dado que todas las
restricciones
no
incluidas
en
X
están
multiplicadores,
en el conjunto que definen los puntos extremos
dualizadas
con
la
sucesión
de
valores
valores
nulos
en
sus
respectivos
de
v(DMR >
es
monótona
U
3<
Z
decreciente. Por tanto, se puede utilizar el valor v(DMR ) como el valor
en la obtención de la amplitud de paso a y, finalmente, converge a
v(DM). En la práctica, se podría terminar 3<la ejecución del algoritmo
cuando
la
diferencia ~dntre
z
y
v(LRu )
(limites
superior
e
inferior
de
v(DM), respectivamente) sea menor que una tolerancia dada.
Ahora bien, dado que la dualizacion (LR ) no incluye en el SOP todas
u
lás
coñdiciones
de asignación;
niultiplidadores duales respectiVos
precedencias
y
están activados),
-
añaden nuevos’ cortes,
-
mayores
(o
dimensiones
correspondientes
visúálizar~ el
duál
el problema
(DMR-),
édmo
v(DMR 1<
)
(DMR) se convierte
es
lo
mismo,
de Lagrange).
una
secuencia
(DMR ),...,
(DMR ),
1
v(DMR 2 )V
que
multiplicadores
problema
maestro
lo
acotaciones
(i.e.,
los
resulta que cuando se
2
se
en un probieñia de
permite
En esta
de
situación
relajaciones
tal
que
deactivar
la
los
podemos
del
problema
serie
v(DMR ),
1
3<
¿onverge al óptimo v(DM), aunque no necesariamente
de
se
del
forma ffionótona.
En
principio,
subgradiente
para
podría
obtener
comenzar
utilizando
los multiplicadores
dualés
la
u.
metodología
A
-
medida
que el
óptimo del problema de la arborescencia no se deteriore adecuádamente, se
podría
utilizar
el
problema
relajado
(DMR)
para
incrementar
la
convergencia.
El
problema
(DMR)
podría
incluir
las
condiciones
correspondientes
a
las
arborescencias
iteraciones anteriores.
80
1
x ,
x
2
,...
obtenidas
en
las
u
U
‘U
ji
ji
ji
ji
U
u
U
u
ji
ji
U
u
-
-
basada en el1 Dual
Capítulo 3. Metodología
.
Algoritmo 3.1
La
metodología
del
subgradiente
tiene
normalmente
convergencia muy rápido en las primeras iteraciones,
incrementa
tienen
el
número
escasa
de
variación
y,
iteraciones,
los
por
el
tanto,
ritmo
de
de
Lágrange
.1~.
deteriorizacion
utilización
reemplazar
de
cortes
a la metodología
violados
del
en
subgradiente
el
problema
del
1
óptimo de la relajación Lagrangeana se va paulatinamente reduciendo.
La
de
pero a medida jque se
multiplicadores
ritmo
un
(DMRI puede
e incrementar
el
ritmo de
convergencia a v(DM).
Paso O: Resolver LR
con u = O, primera relajación Lagrangiana del problema.
o
Sea x su solución óptima y v<LR ) su valor óptimo. Hacer z = v(LR ).
0
-—1
o
-4
Hacer 5 = < 0 >,
= 10
k = 0, a- = O, a- = K (cte.), z =
1
.
c
-
w
,
Estimar el vector u según el método del subgradiente.
Paso 1: k = k+l
Resolver (LR ) y hacer z = max
k
v(LR)
Si
1
—
+¡
v( LR)
<2,
v(LR
3<
J
kí
< e ó x
no proporciona nuevos cortes,
v(LR)
-
hacer o- = o-+l. En caso contrario hacer 5 = 5 u { x
> y afiadir los
nuevos cortes.
Paso 2: Heurística: Si se encuentra una nueva solución, actualizar
2
= mm
< z, nueva solución >
Paso 3: Resolver (DMR ) para el conjunto 5 actual.
8
Hacer z
3<
= v(DMR
1<
Paso 4: Actualizar u:
3<
Si a > o- entonces obtener u a partir de (DMR ). En caso contrario
obtener u utilizando
la metodología
cota superior.
81
del subgradiente
E
con ~
como
u
-
.
-
Capítulo 3. Metodología
-
Pasa 5: Criterio
-
de parada:
z—z
z
SealNT=
Si
INT
basada en el Dual
e,
<.
o el número
de iteraciones
es alto,
o
xk factible
FIN. En caso contrario ir al pas9 1.
3.4.- ALGORITMO GENERAL DE PLANOS DE CORTE UTILIZANDO METODOLOGíA
1
a
‘U
“U
u
ji
DUAL. Lineas .generaíes:
Entrada:
Matriz
de coeficientes
c
P=(N,ll>.
Paso 1: Calcular
la
envoltura
Ji
y
digrafo
transitiva
acíclico
cerrada
del
de precedencias
digraf o
acíclico
P
para obtener el digrafo de precedencias inicial.
Paso 2: Preproceso.
Paso 3: Solución
la
(Sección 3.2.2)
inicial
solución
proporciona
factible.
óptima.
La
la primera
Obtener
una
aplicación
de
cota superior,
cota
un
superior
algoritmo
inicial
de
heurístico
con valor z en la función
objetivé,
Pasa 4: Obtención de la primera
relajación
siguiente problema relajado:
—
Incluir
las
(que junto
restricciones
del problema.
Considerar el
-
(1),
(2),
(3)
y
(7)
con la función objetivo representan
del
modelo
el problema
encontrar la arborescencia de peso mínimo).
—
Ignorar las PFC y las DFC (restricciones
3.1
de
-
(5) y (6) del modelo,
respectivamente).
—
Relajar
las
restricciones
tipo
(4)
utilizando
la
metodología
Lagrangiana con multiplicadores u.
Se
¡Áantea
así
el
siguiente
problema
denominaremos Relajación Lagrangiana Debil:
82
relajado,
al
u
13
‘U
13
U
ji
‘U
13
u
uu
que
U
U
u
U
1~
-:
-
-
J-.
Capítulo 3. Metodología
MinL(u)=
Y
(c+u)x
(14)6k
¿~
3<
s.a.
Ii
1
—Y’¿~
u
conuy ~O
y
VvCV
2
‘
yEV
(1),(2),(3),(7)
Para la primera iteración,
II
basada en el Dual
-
en principio, asignar u
y
= O VveV,
1<
1.
Paso 5: Resolver la relajación Lagrangiana Lk para la etapa k-ésima.
(Problema de la arborescencia de mínimo peso, con solución T).
Paso 6: Identificar condiciones de asignación violadas por T.
Paso ‘7: Identificar,
por
inspección,
PFC
y
DFC
violadas
por
la
arborescencia T.
Paso 8: Reforzar las restricciones
PFC y DFC identificadas
por adióíón de
variables (Secciones 4.2 y 4.3 respectivamente)
Paso 9: Reforzar
las
coeficientes
restricciones
utilizando
anteriores
información
por
incremento
proporcionada
por
de
otras
restricciones violadas ya identificadas. (Capitulo 5)
Paso 10: Reforzar
restricciones
información
proporcionada
identificadas.
En general,
violadas
por
ya
identificadas
las
nuevas
utilizando
la
restricciones
(Capítulo 5).
después de los pasos 7, 8, 9 y 10
se obtienen cortes
violados del tipo
-
ax
~
1
5
k
<
<í,j>eF cA
a los que
se asocian
multiplicadores
Lagrangiana fuerte
83
w1,
obteniendo
asi
la Reía jación
Capítulo 3. Metodología
Mm
L (u,w) = cx
+
u(x—l)
+
w(«x-k)
basada en el Dual
con u ~ O VvEV
3<
,
w~ O VI
2
.
s.a.
(1), (2), (3), <7)
Para
la primera
iteración
después de
introducido
el
corte
4
4
l—ésimo,
en principio, asignar w = 0.
Paso 11;
Actualización
multiplicadores
de los multiplicadores
de
las
de Lagrange. Actualizar los
restricciones
violadas
identificadas,
según el algoritmo 3.1.
4
4
Si no ~e ha identificado ninguna restricción violada FiN.
Paso 12: k
=
k+l. Ir al paso 5.
‘U
84
Capítulo 4
Cortes válidos para el
4.1.-
SOP
INTRODUCCION.
Sea el modelo (3.1) para el
arborescencia
(2),
(3) y
generadora
SOP. La solución óptima al problema de la
de mínimo
peso
(7) del modelo proporcionará
dualización
(i.e.,
penalización
en
dado por las
restricciones
(1),
una cota inferior para el SOP. La
la
función
objetivo)
de
las
restricciones
del
restricciones de tipo (4) puede incrementar dicha cota.
Si
la
solución
obtenida
satisface
problema,
entonces
es la solución óptima.
encontrar
aquellas
restricciones
solución actual y,
a partir
Estos
introducirán,
cortes
dualización
se
que
sean
de ellas,
todas
En caso contrario,
‘fuertemente”
obtener
dualizados,
las
se trata
violadas
por
de
la
cortes válidos para el SOP.
en
la
de los mismos requiere una estimación
función
objetivo.
La
de sus correspondientes
multiplicadores de Lagrange. Ver sección 3.3.
Las restricciones
(aparte
de las
SOF no
restricciones
consideradas
de tipo
en la arborescencia
gcneradora
(4) que se dualizan de entrada)
85
son
Capítulo
4. Cortes válidos
para el
Sol’
las restricciones
de tipos (5) y (6). Las primeras evitan que forme parte
de
un
la
solución
y las
(i.j)dfl.
subeamino
de
segundas obligan
la
forma
1)
(O
si
W(O
j)
para
j) VJEV sea tal
a que el suboamino (O
uU
j
j
que se satisfaga
Z
(I,k>E(O
es
decir,
eliminan
j)
~
5d
la posibilidad
(4.1)
,
de que forme
parte
de
la solución
un
j) tal que y~ > d, para y~ según (1.1).
suboamino (O
Las restricciones
que fuerzan la precedencia para cada arco (i,j)ETI se
han modelizado en la literatura con la siguiente expresión,
x(j:W)
o, equivalentemente,
+
x(W)
+
x(W:i)
5
~W
,
U
con la expresión
x(O:W)
+
x(W)
+
x(W:j)
Wj,
5
VWSV\<O,i,j>,
El
corte
Escudero,
V(i,J)dfl,
(4.2a),
Grñtschel
fue
y
descubierto
Stoer
uj
V(i,j)efl,
jWj ~ 1
(4.2b)
independientemente
(1993)
y
Halas,
Fischetti
por
y
U
Ascheuer,
Pulleyblank
(1994).
Una
violación
de
las
restricciones
de
tipo
(6)
corresponde
a
un
j cuya acotación d es menor que el peso total acumulado del
.1
subcamino (O
1). Por tanto, ese subcamino debe prohibirse. Para ello
vértice
proponemos imponer la condición
x(O
con W
En
A(O
=
las
relaciones
j) s
1W)
—
1
(4.3)
j).
dos secciones
de precedencia
siguientes
y
se
obtienen
las restricciones
modelizaciones
que fuerzan
las
para
U
u
las
acotaciones
86
u
u
• Capítulo
que son más fuertes que las expresiones
válidas
para
el problema
4. Cortes válidos part
el SOl’
(4.2] y (4.3), respectivamente,
SO? original.
Utilizamos la definición
y
2.4 para
el concepto de “fortaleza” de un sistema.
4.2.- CORTES VALIDOS INDUCIDOS POR LAS RELACIONES DE PRECEIJENCIA.
4.2.1. Obtención de cortes válidos.
Teorema 4.1: Sean 5
1
y 5
2
subconjuntos de V\W, tal que 5 xS
12
Entonces
x(S:W)
+
x(W)
x(W:S)
+
S II.
IWI
5
(4.4)
es una desigualdad válida para el SOP, VW c V\{O>, ¡iV¡ ~ 1.
Demostración:
Sea
3<
un
camino
hamiltoniano
que
satisface
las
relaciones
de
precedencia. Para una solución dada, x, sean
5
52
*
< leS 1 x(W:i)
=
1
=
1
< JES 2 ¡ x(j:W)
=
Para cada jeS
=
1
>
(4.5)
1 >
se considera el subcamino de 3< que empieza en el nudo
j,
2
recorre un subconjunto de nudos de W y termina en el primer nudo que no
pertenece
12
puede ser sucesor de
*
S II y. por tanto,
a W, sea 1. Entonces ISS, ya que 5 xS
1 no
j.
De la misma forma,
dado isS1, si se considera
el subcamino de 3< que
empieza en un vértice kW, a continuación recorre un subconjunto de nudos
de W y termina en i, resulta que NS, ya que 5 xS
1
2
£
U y. por tanto, 1 no
puede ser predecesor de i.
*
Por tanto,
mínimo
j
el subgraf o
+
1 1
de 3< generado
componentes.
por los nudos de W tieke como
Como cada
entonces el subgrafo es un bosque, y así
87
componente
es
un
camino,
U
Capítulo 4. Cortes válidos para el SOl’
wj—(jS~+~Sj).
x(W)<
Como
1
¡S
=
Corolario 4.la:
x(W:S)
y
(4.6)
entonces se verifica
x(S:W)
=
(4.4)
Si además de las hipótesis del teorema 4.1, existe kEW tal
que {k> x 5 c TI
reforzar
2
y
5
x <k> c U, entonces la desigualdad (4.4) se puede
1
x(S:W) 4 x(W)
x(W:S) s
+
U
U
j
(4.7)
¡
Demostracion:
Sean las
hipótesis
del teorema
4.1
pero,
generado por los nudos de W tiene como mínimo
que el nudo k no puede pertenecer
nudo jeS
ahora,
S
el subgraf o
<SL
de
3<
1 componentes, ya
a ningún subcamino que empiece en un
j) ni a ningún subcamino que termine en un nudo icS
(pues k <
(pues i <1<).
Teorema 4.2:
Sea 5
< jsV\W
=
tal que 3(i,j)dll;
i*j,
i*O, kW > y sea 5
1
2
un subconjunto de V\W tal que 5 1 x 5 2 ~ II. Entoñces
x(O:W)
+
x(S:W)
+
x(W)
+
x(W:S) ~
es una desigualdad válida para el SO?, VW c V\dO},
U
W~
(4.8)
a
U
U
j
jw¡ ~ 1.
a
Observación
contener
4.1:
algún
El
conjunto
elemento,
5
pero no
puede
ser
vacío.
necesariamente
El
conjunto
5
debe
todos los que satisfagan
las condiciones dadas en su definición.
Demostracion:
*
Si x(O:W)
*
Si: x(O:W)
=
=
O
se cumplen las hipótesis del teorema 4.1.
1 el subgrafo tiene j
que el primer nudo no perteneciente
O
y
atraviesa
W,
sea
1,
no
+
1 componentes como mínimo, ya
a W del camino que empieza en el nudo
puede pertenecer
88
a 5
y,
por
tanto,
esta
U
U
U
U
U
U
U
Ii
¡
•
•
•
Capítulo 4. Cortes válidos para 1e1 SOl’
componente del subgraf o generado por W no
notar
que el nudo 1 no puede pertenecer
está contabilizada.
a 5
Es preciso
ya que, por definici ón, no
puede tener ningún predecesor i tal que kW, i*O, i*l.
Corolario
4.2a:
que <k> x 5
1
u
[
Si además de la hipótesis del teorema 4.2 existe keW tal
c U
2
•
y 5
x <k> c TI, entonces la desigualdad (4.8) se puede
1
reforzar como sigue,
x(0:W)
x(S 2 :W)
+
+
x(W)
x(W:S)
+
IwHL
s
(4.9)
Demostración:
El nudo k no puede pertenecer
nudo 0, atraviesa
MT.
no ser que 5
0.
=
al subcamino, si existe,
que empieza en el
y termina en el primer nudo 1 no pertenecientela
MT, a
Además k no puede pertenecer a ningún subcarnino que
empiece en un nudo jeS
(k <
2
j)
ni a ningún subcamino que termine en un
nudo ieS (i < k).
U
Teorema 4.3: Sean 5
tales que
1
y 5
icS,
(5—
<1>) cli.
2
dos subconjuntos de V\W, y sean los nudos i
2
SxS
1
•
Sea k
2
cli,
y .1
(5— <i>)x<i>cIl
un nudo de V\( MT u
51 u 5 2 ) tal
que (i,k)eTl y
(k,jkfl. Entonces
x(S:W)
+
x(i:W)
+
x(W)
+
x(W:j)
+
IWI
x(W:S) ~
es una desigualdad válida para el SO?, VW c VVO>,
Observación
verifiquen
4.2: En el caso en que los conjuntos 5
las
hipótesis
del
teorema
4.3,
la
1
(4.10)
WI ~
y 5
2
desigualdad
1.
deI teorema 4.1
(4.10)
es
un
4.5),
el
reforzamiento del corte (4.4).
Demostración:
Dado el teorema 4.1,
*
y definidos los conjuntos 5
subgrafo generado por MT tiene al menos [5
5
X
1
5
6
TI.
2
89
+
1S
y 5
1
según
2
componentes, dado que
*
Si x(i:MT)
termina
en
el
,
primer
nudo
1
no
perteneciente
a
MT,
proporciona
del subgraf o generado por MT que no ha sido contabilizada,
componente
que kS
1, el subcamino que empieza en i, atraviesa el conjunto MT y
=
pues (5
1
fi> ) x O> c IT. (Análogo para x(MT:j)
—
1
Además l!=j,ya que 3k perteneciente
a V\(MT u 5
=
una
ya
1).
u 5 ) tal que (i,kkTI y
1
*
x(S:W)
=
+
u
x(W:S)
Y puesto que
entonces
(4.11)
x(W)
MT¡—(
5
S¡+JS[-F
x(i:MT)
+
U
2
(k,j)Efl.
Ls[+[sI
u
x(MT:j)
c. 4. d.
El siguiente teorema define otro tipo de desigualdades válidas
U
para
u
el SOP
Teorema 4.4: Sea (i
3
>~
,..
.
123
5
k
< i ,i 3
=
,i ) un camino en (V,TI). Se define
i
123
.k
>
51
=
< is
J ~i
j impar>
(4.12)
52
=
< ¡ES!
J
j
(4.13)
par
MT S V\S.
u
u
entonces
y
•
x(51:W)
+
x(W)
-4-
x(W:S1) s
jw[
(4.14)
x(S 2 :MT)
+
x(W)
+
x(W:S) ~
IMTI
(4.15)
SO?.
son ddsiguaidades válidas para el
Demostracían:
*
Sean los siguientes conjuntos:
5
y
5
11
12
=
<leS
j
1
<iES
.1
1
¡ x(W:i)
j
=
1>
/x(i:MT)=1>.
J
90
(4.16)
(4.17)
u
u
u
u
u
u
3
•
E
3
u
Capítulo 4. Cortes válidos para el SOl’
-
*
Para todo i
E
5,
el subcamino de 3< que empieza en un nudo
continuación recorre un subconjunto de nudos de MT y termina en
que NS,
1
j
ya que o bien
y, por tanto, l=i~ ES
j-1
1, o
=
bien Bi
j—1
eS
tal
2
que i
NMT,
es tal
,
<1
j—2
a
j-1
<
j
ó LES.
2
6 5,
el subcamino en 3< que empieza en el nudo i
recorre
j
j
un subconjunto de nudos de MT y termina en el primer nudo que no pertenece
*
Para todo i
,
•
a W, sea 1, es tal que lES
quei<i
3
*
3+1
<i 3+2
y,portanto.l=i
(4.14)
Is[
=
x(MT:S)
y
k, o bien 31
=
J+I
5
E
tal
1
eS 1 ólES.
3+1
W
Por tanto, el subgrafo generado por
mínimo. Como
*
ya que, o bien j
,
2
S[
tiene
=
5
+
x(S:W),
5
componentes como
se verifica la expresión
c.q.d.
La expresión (4.15) se demuestra utilizando un razonamiento análogo.
u
4.2.2.— Identificación de restricciones violadas. Algoritmos de separ aman.
Sean f,
cortes
Q~,
£2,
£2
especificados
respectivamente.
4
los
por
(Cada
conjuntos
de
índices
los
teoremas
4.1,
conjunto
contiene,
en
de
las
4.2,
faffii 1 las
4.3
principio,
un
de
~
4.4,
número
exponencial de índices).
Sea T la arborescencia cuyo nudo raiz es el nudo O que optiíniza
relajación
de
lagrangiana
identificar
solución
y,
alguna
a partir
actual
del problema combinatorio
relación
de ella,
de precedencia
generar
que
un corte
sea
con
auxiliar.
violada
índice
la
Se trata
por
en algún
esta
£2~,
para i=1,2,3,4.
La figura
4.1
ilustra
las
dos
posibles
situaciones
en
las
que
relación dé precedencia (i,j)dfl puede ser-violada por la arborescencia T.
91
una
Cap itulo 4. Cortes válidos para el SOl’
uU
u
•0
•0
ij
*
*
*
*
•1
*
1
*
*
1;
*
1
*
*
*
J
T
T
Figura 4.lb
Figura 4.ía
Figura 4.1
Caso 1:
Dado un
subcamino
de
una desigualdad
la
par
de nudos
forma
violada
(j
i),
(i,j)
tales
(ver
figura
con índice
en £2
1
que
o
iE?(j)
4.la),
en £2
y
se
,
3
T contiene
puede
más
un
identificar
fuerte
que la
desigualdad (4.2a), definiendo los siguientes conjuntos:
*
MT
=
*,Para
{ lEV /
lE(j
O, 14 l!=j>
en 1.
obtener una desigualdad con índice en £2
(i.e., el corte (4.4)
dado por el teorema 4.1), definimos
5
1
52
=P(j) n (V\W)
(iES)
1
( mayor subconjunto de V\MT 1 jeS y
2
5
1
x 5
2
~ II ).
Ejemplo 4.1: Ver figura 4.2
A continuación
se comprueba
la condición impuesta
en el corolario
4.la para introducir, si es posible, el corte más fuerte (4.7).
92
u
u
u
u
E
u
1
¡
¡
ja
w
‘SS
81
S2
en O
=
(VSA)
en P
(V.1])
(f.c.,
corte
Figura 4.2
*
Para
obtener
una
desigualdad
can
Indice
en
£2
3
(4.10) dado por el teorema 4.3), definimos
5
1
S
2
1 iES,1 (5 1 —<i>)x<i>
( mayor subconjunto de P(j) n (V\W)
E
( mayor subconjunto de V\MT 1 jcS
,
21
5 x 5
Z
e IT
y
<j} x (5 2 —<j>) c 11)
siemiSre que JkEV\(MTUS uS ) tal que (i,lc)eTl y (k,j)elI.
12
Ejemplo 4.2: Ver figura 4.3
k
w
si
82
en O
=
enP-
(VSA)
Figura 4.3
93
•r])
u
Cap itulo 4. Cortes válidos para el SOl’
Caio 2:
j, si existe algún nudo
Dado un nudo
(ver
figura
4.lb)
identificamos
en
iE?(j)
j) en
tal que k(O
generaL
una
familia
de
desigualdadades violadas con indice en O: Podemos entonces introducir en
el problema cortes del tipo 14.8) proporcionados
por .~-éI teorema 4.2,
--
definiendo el siguiente conjunto MT, tal que
*MT=<lEV/lE(O,...,j),l*O,l*j>enT
De
acuerdo
verifiquen
las
con
la
hipótesis
elección
del
de
los
conjuntos
teorema
4.2
se
que estarán violados siempre que jES
correspondiente <4. 2b).
1
Sean Q yMQ
,
5
1
obtendrán
y serán
y
5
2
tales
distintos
más fuertes
que
cortes,
que el corte
j
< kEQ/ 3<1,k)ET con kW>
Observación 4.3: El nudo
p
j siempre pertenece a Q.
4.1: Si se construyen los conjuntos 5 y
de forma que
5
=0
el corte
u
J
dos subeonjuntos de V tales que,
< V ksV\W 1 3ieP<k), ¡!=1<,i*O, kW
Q
u
u
(4.18)
u
u
(4.8) obtenido es el corte más violado por la arborescencia 1 de
entre todos los cortes -posibles proporcionados por el teorema 4.2.
U
>~flemostración{
Sea el corte (4.8)
La solución
actual
x(O:MT)
x
es
conjunto W es tal que W
+
x(S:W)
la
+
x(MT)
+
correspondiente
< lEV 1 IE(O
1
x(MT:S)
a la
SIMTL
arborescencia
j) en T, 1*0. l*j
T,
y
el
>. Entonces:
*
x(W) y [MT son constantes para toda elección de 5
*
El único arco con origen en algún nudo de V\W y destino en algún nudo de
y 5.
MT es el arco con origen en el nudo 0. Así, para la solución actual,
94
U
U
u
u
U
Capítulo 4. Cortes válidos para el SOl’
x(0:MT)
=
x(S’:W)
2
O
=
2
Por consiguiente,
*
x(W:S 1 ).
O
VS’cV / O S 5’ y, por tanto, x(S:W)
2
el
corte
Cualquier 5 1 ~
O
(4.8)
estará
es tal que 5
más
S
violado
cuanto
mayor
sea
(para que se verifiquen las
Q
hipótesis del teorema 4.2), y entonces x(W:S ) ~ x(W:S’).
¡
Así,
el
corte
(4.8)
obtenido
a
partir
1
de
los
conjuntos
5
y
5
2
definidos según (4.18) es el más violado.
U
Observación 4.4: Los únicos arcos que influyen en la violación del corte
(4.8) son los arcos de la forma (l,k)ET con leW, kcQ
Por tanto todos los
.
cortes obtenidos a partir
de conjuntos 5
tales que Q
y 5
~ 5
son tan
O —4a—-—b—---*é
—~1
2
1
violados como el corte dado por la proposición 4.1.
Ejemplo 4.3: Ver figura 4.4.
J”—4J”’
O
en F
Q
=
< i,J, J
=
(VII)
Solucion actual T
,~j ,j
a
1’
is.
w
5
=
2
1”’
<i,i, j’,jtj”’>
0
en O
-
(VSA)
Figura 4.4. Corte más violado
95
Capítulo
Proposición
4.2:
Sea
4. Cortes válidos para el SOl’
Q tal que Q 1 S 5 1
51 S
Sea 5 2 ~
Q\S 1
tal
que
xS~II. El corte (4.8) proporcionado por 5 y 5 es tan violado y más
fuerte que el corte propocionado por la proposición 4.1. si se verif ¡ca
la siguiente condición:
>
W:S[
+
corte
es
tan
MT:Q\SuS[
j
u
U
2
(4.19)
Demostración:
*
Si
Q1
S
S~
el
violado
como
el
proporcionado
por
la
de
la
proposición 4.1.
*
I0:MTI
y
IMTI son constantes para toda elección de 5 y 5
1
*
El
corte
(4.8)
proposición
tiene
4.1,
consideradas
además
frente
en
la
W:QI
%w[
a
proposición
variables
W:Sj
+
4.2.
en
2
las
variables
Utilizando
la
hipótesis
en
las
condición
hipótesis
(4.19),
se
verif ¡ca:
S:MT
W:S¡ > ¡W:S[
+
pues 5,5
1
~
2
+
W:Q\SuS¡
+
W:Q¡,
=
IW:S>I
el
siguiente
U
U
Q.
U
Sea
1
algoritmo
para
identificar
el
corte
más
fuerte
j
3
posible entre los más violados:
Algoritmo 4.1:
Paso 1: Hacer 5
=
Q.
Hacer Q
Paso 2: Si
2
máximo subconjunto de Q\S tal que 5 xQ
1
2
Paso 3: Si
Q2:MT[
Paso 4: Hacer
2
S
W:Q2j
+
W:Q\S uQ
=
96
j
ir al paso 6.
1
~ II.
2
3
3
3
3
3
a
a
‘3
CapItulo 4. Cortes válidos para
Paso 5: VjcQ\S uS
12
<j>
si
•
5
X
2
~ IT
hacer
5
5
=
1
1
.1
SOP
u<j>.
Ir al paso 8.
Paso 6: V
Q’ c Q ,si Q x O \Q< Sfi
2
2
2
5
1
Q2
Si 5
5
=
5
5
22
= Q
=0
2
de
variación
Q’:W[.
—
x(0:W)
4.5: Un conjunto de nudos
candidato a pertenecer a 5
una
hacer
= Q \Q’
Paso 8: Fin. Se obtiene el corte
supone
IW:Q’I,
2
Q’2
u
1
<
Q’:WI
2
ha sido modificado, ir al paso 2.
Paso 7: Hacer
ObservacIón
y
22
en
1
o a 5
el
+
x(S:W)
+
x(MT)
+
x(W:S) ~
IMTI
Q’2 en las hipótesis del paso 6 es
Introducirlo en 5 en lugar de en 5
2
1
¡
2
número de variables del corte (4.8) de
Esta diferencia
.
es positiva y, por tanto,
Ja introducción
Q< en 5 hace más fuerte el corte.
2
1
Observación
Q 2 c Q2
4.6: Como el paso 6 se ejecuta V
,
la complejidad de
este algoritmo es no polinomial.
Observación 4.7: Si se sustituye
Paso 6: Vj 6Q2 .si
el paso 6 del algoritmo por
*
<j> x O2 \<j> S Uy
e
5 = Su <j
1
j:W¡
<
W:j
j hacer
1
Q 2 =Q\{j>
2
Si 5
se
obtiene
polinomial).
ha sido modificado, ir al paso 2.
un
algoritmo
con
Pero en este caso no
complejidad
cuadrática
hay garantía
(y,
por
tanto,
de que el corte obtenido
sea el más fuerte entre los más violados, aunque sí es uno de estos cortes
y tan fuerte o más que el obtenido a partir de la proposición 4.1.
97
Capítulo 4. Cortes válidos
Ejemplo
4.4: Para la situación
descrita
en el ejemplo
J
para el SOl’
4 3, el corte
más
fuerte obtenido por el algoritmo es el dado por la figura 4 5
a
1’
w
en Q
si
JIW[
>
W:j
a
(VA)
en A para 36 < j’, j”>
Figura 4.5
Una vez obtenido el
impuesta
en
el
corte,
coralario
a continuación se comprueba
4.2a
para
introducir,
si
es
la condición
posible,
e]
reforzamiento (4.9).
J
Caso 3: Para identificar desigualdades violadas con índices en £2 4
1.- Dado un par de nudos
de la forma
(j
el
j
(i,j) tales que ieP(j) y T contiene un subcamino
i), se define el conjunto MT de forma que,
W<IEV/IE(j
Dado
j
digrafo
i),lsi,l*j>enT.
P=(V,IT)
de
precedencias,
sea
1’>
el
subgrafa
generado por V\W. Sea C un camino desde el nudo O hasta el nudo
j en
P’ tal que iEC, y sea C’ el conjunto de nudos del camino C, tal que
98
u
u
Capítulo 4. Cortes válidos para el SOl’
1
2
1<
k+1
k+2
k.m+1
Formamos el conjunto 5 del teorema 4.4 de la siguiente forma:
*Sikesparymesimpar
45=C’
*
Si k es impar y m es impar ~ 5
=
*
Si k es par y m es par
=
5
*Sikesimparymespar
i E
h
donde
Sean
y
5h
1
5h
2
5h =C’\<i>
h
tal
que h
<i1~,1
(4.20)
(4.21)
C’\< i
h
(4.22)
h
(4.23)
45=C’\<i>
~
(4.24)
los conjuntos formados a partir del conjunto
con
h=t
ó
donde
h=k~1~..,k~m
e significa
=
st
que no
(4.25)
se ha eliminado
ningún n ido del
1
camino C, de forma que:
Si k es par
(casos (4.20) y (4.22)>,
s¡ =<ieShinespar>,
1
h
5
= <
2
Si k es impar
i
n
E
5 1 n es impar
(4.26)
(casos (4.21) y (4.23)),
5h
=
1
h
52
<
La desigualdad
T, dado que i,jESh1
< i
E
Sin
i E
n
Sin
h
es impar>,
(4.27)
es par>
(4.14) para s
,
=
es violada por la arborescencia
1
1
y es más fuerte que la desigualdad (4.2a).
Dependiendo de la elección del nudo i
a eliminar
(en casc
¡
h
sea
necesario),
se
obtiene
una familia
99
¿
de
cortes
no
de que
dom: nados
e
Capítulo
4. Cortes válidos para el SOl’
igual de fuertes (e.d., con el mismo número de variables).
6’1
Sea
< (a;b)eT 1 acMT
=
más violado de la familia
¿
beS1’1 > para cada h dado. El corte (4.14)
,
por la solución actual T será
aquel tal
IDNI sea máximo.
que
6’2
Sea
para 5
se
bES” > para cada h dado. El corte (4.15)
2
‘
51’ estará violado por la arborescencia T si[ D~
=
2
obtiene
más
< (ab)cT 1 aeMT
=
una
violado
familia
de
cortes
por
la solución
4.3:
Si no
violados
actual
del
T será
tipo
[
MT.
(4.15),
el
que
¡ D~ ¡
aquel tal
(i.e.,
:31cv\W
tal
que
existe
ninguna
(i,l).(l,j)ETI
elección
) entonces
de
no
h
corte
sea
existe
garantía
iJ
‘3
que ~
tal
‘3
‘3
Si
máximo.
Proposición
‘3
‘3
de
que la arborescencia T viole ningún corte en £2
4
‘3
Demostración:
*
Construidos
los conjuntos
51’ y 5”
1
(4.27),
se
verifica
proposición, jeS
*
Para
que
ieS~
según
las
expresiones
(4.26)
o
de
la
2
siempre.
En
las
hipótesis
la solución actual
x correspondiente
a la arborescencia
1
se
verifica:
1’
x(S:W)
=
O
x(S”:MT)
2
=
1
x(MT)
IWI
=
(j ~ 5 h )~
-
1
U,
Si
la
2
=
‘3
‘3
Si x(MT:S”)
1 = 1 (i.e~, no existen arcos de MT a 5 1 excepto al nudo
entonces la desigualdad (4.14) no es violada por la solución x.
x(MT:S”)
‘3
2
O
(j.c.,
no
existen
arcos
de MT
desigualdad (4.15) no es violada por la solución x.
100
a
5”),
2
entonces
U
‘3
‘3
•
Capítulo
4. Cortes válidos para el SOl’
Observación 4.8: Es preciso notar que los arcos de
intervienen
en
el
corte
(4.15)
salvo
en
j
a MT y de
las
hipótesis
18
y
a i no
de
la
proposición 4.3.
Observación
4.9: Si h
entonces 5
= 0
=
C’ y se obtiene un único corte
del tipo (4.14) y un único corte del tipo (4.15) como máximo.
Obtención del camino C
Cualquier
satisfagan
camino
C
la condición
desigualdades
violadas.
en
el
digraf o
P,
de la proposición
(excepto
aquellos
4.3) proporciona
que
una’ o más
El término del lado derecho es el mismo
.1
para
cualquier corte.
Si se toma C como el camino máximo del nudo O al nudo
j
pasando por
(donde se considera que todos los arcos de IT tienen igual longitud),
entonces se obtiene la faiñilia de cortes más fuertes
número de variables),
(i.e.,
con mayor
pero no necesariamente el corte más violado por
la solución actual T.
Por el contrario,
superiores
n
a
EV 1 3
obtienen
si el camino
aquellos
arcos
incidentes
algún arco de W a i
cortes en general
máximo se obtiene asignanco pesos
n
en
el
conjunto
en la arborescencia
de
vértices
T>, ent¿nces se
con menos número de variables,
p~ro más
violados por la solución actual.
En
concreto,
desarrollada,
la
en
el
de
la
capítulo
determinado
la
proponemos
obtención
facilitarán
a
de
de la función
cortes
En
con
de
el
no
la
técnicas
casos
se
segundo procedimiento.
lo’
en
consiga
se introducirá
experiencia
del primer
mayor
las
aquellos
iteraciones,
objetivo,
de
la utilización
utilización
5.
vista
número
de
los
computacional
procedimieñto
de
variables,
reforzamiento
que,
para
descritas
para
número
una deteriorizacion
el corte obtenido
que
fuerte
a partir
del
Capttulo 4. Cortes válidos para el SOl’
j, si existe algún nudoiEP(j), y T contiene. un subcamino
2.— Dadó un nudo
u
U
j) tal 4be k(0,.n,j), se defin&el conjunto MT talque,
(0
u
MT
*
j), 1*0~ l*j > en T.
{ lEV 1 IE(0
=
s
Dado
el
digraf o
P=(V,TI)
de
precedencias,
sea
P’
el
subgraf o
generado por V\MT. Sea 12 un camino desde el nudo O hasta el nudo
j
en
U
P’, y sea U el conjunto de nudos del camino 12, tal que
=
i=Oi
<
1
=j
,i,i
‘2’
>
k ¡<+1
Formamos el conjunto S.dei teorema 4.4 de la siguiente forma:
*Sikespar
*
Si k es impar
donde
isfi
S= C’\< ~>
4
(4.28)
i>
1’
(4.29)
k
Sean S1’1 y S1’2 los conjuntos formados según
respectivamente, ‘a partir. del conjunto 51’, donde
C’\< i >
h
=
z
o h
‘c~ue s1’
=
12’.
La desigualdad
(4.14) para 5
=
tal que h
=
con
=
1
T, dado que O,jES 1
6
h
=
(4.12)
¿
y
2~..,k
(4.13)
‘3
(4.30)
u
5 1’ es violada por la arborescencia
1
y es más fuerte que la desigualdad (4.2b>.
Dado un camino 12, y dependiendo de la elección de i
uña faimilia
‘3
4SC’
•
,
se obtiene
dé cortes ño dórninados e igual de fuertes (e.d.,
con el
mismo número dé Variables).
Sea D
=
{ (a,b)eT 1 áMT
1.
,
beS
> para cada h dado. El corte (4.14)
1
más
violado de la familia
que
¡ 6’
¿
por la solución
sea maxímo.
102
actual 1 será
aquel tal
‘U
U
‘3
‘3
u
‘3
u
u
Capítulo 4. Cortes válidos para el sol’
1’
Sea O 2
para 5
=
=
<
h
(a,b)ET 1 aEW
beS 2 > para cada h dado. El corte (4.15>
,
51’ estará violado si.
de
cortes
violados
del
tipo
[W
0h
2
(4.15),
el
solución actual T será aquel tal que
.
Si se obtiene una familia
corte
más
violado
por
la
sea máximo
4.2.3.— Ejemplo de identificación de restricciones violadas.
Sea el grafo dirigido G
precedencias
1’
(V,fl)
=
cerrado transitivamente.
tanto. (l,v)ETT VveV.
tal
(V,A) de la figura 4.6, y sea el digrafo de
que
<(2,3),(3,4),(4,5),(S,St(8,9)>
La arborescencia T de mínimo peso en el grafo O es:
—~
2
—~
3
—
8
7
-.—
—
4
—
5
—÷
6
—.4
es decir, se obtiene una primera solución relajada haciendo
x
x
12
=x
=
II
O
23
=x
38
=x
87
u !y u es
1 y, por
El nudo 1 hace las veces de nudo auxiliar
Figura 4.6
1
~
=x
74
=x
46
=x
56
V(i,j)~T
103
=x
Sq
=1
9
Capítulo
Esta
camino
(4,8)
solución
no
hamiltoniano
y
(5,8).
Por
viola
en G),
tanto
ninguna
condición
pero
viola
sí
necesitamos
u
4. Cortes válidos para el SO?
de
dos
asignación
relaciones
identificar
cortes
de
(i.e.,
j
es un
precedencia:
válidos
U
inducidos
por estas relaciones que sean violados por la solución x actual.
Cortes
inducidos por la precedencia
*
El corte de tipo (4.2a) que se obtiene es
*
Se identifica un corte de tipo 1 haciendo
5
5
2
= <
2,3,4,5
= <
8,9
obteniéndose el corte
x
x
+
U
(4,8):
+
x
5
74
87
x
+
1
5
,
j
j
1
que es más fuerte
que el
4.la,
no se
corte (4.2a).
No se
verifican
las hipótesis
del corolario
por lo tanto
puede reforzar disminuyendo el término independiente.
* Se identifica un corte de tipo 3 haciendo
i=4
j=S
5
2
=<S,9>
k=5
obteniéndose el corte
x
+
x
*
x
+
x
5
1
Este corte es un reforzamiento del corte de tipo 1 obtenido anteriormente.
u
u
‘3
U
‘3
u
Para identificar posibles cortes de tipo 4, sea
*
‘3
El camino 12 de longitud máxima en E’ del nudo 1 al nudo E es
1
—~
2—
3
—
4
—
5
—~
8
1
Por tanto, sea C’= < 1,2,3,4,5,8 >
S=C’
5
= <
2,4,8
52
= <
1,3,5
u
104
‘3
u
:
Capítulo
El conjuntoS
proporciona el corte x
+
x
Sol’
4. Cortes válidos para el
x
+
51
Este corte está dominado por el corte de tipo 3 anterior.
El conjunto 5
no proporciona ningún corte violado, ya que no hay ningún
2
arco en T de un nudo en MT a un nudo en
Cortes inducidos por la precedencia
2’
y por tanto, ¡D¡
El corte de tipo (4.2a) que se obtiene es x87
*
Se identifica un corte de tipo 1 haciendo
= {
7,4
5
= <
2,3,5
= <
8,9 >
1
52
O < ¡MT[.
(5,8)
*
MT
=
x74
+
x45 ~ 2
+
}
obteniéndoseelcorte
x
No se verifican
87
+x
97
+x
las hipótesis
74
+x
46
+x
del corolario
94
52
4.la,
por
lo tanto
no
se
puede reforzar disminuyendo el término independiente.
Para cualquier
*
elección de 5
y 5
no existe
ningún k verificando
las
2
1
hipótesis del teorema 4.3. Por tanto no es posible obtener níngun corte de
tipo 3 para esta precedencia violada.
Para identificar posibles cortes de tipo 4, sea
*
MT
= <
4,7 >
El camino 12 de longitud máxima en P’ del nudo 1 al nudo 8 es
1
—*
2
—*
3 ~
5—~ 8
Por tanto, sea 12=
Estamos
en
las
<
1,2,3,5,8
hipótesis
de
la
proposición
4.3,
ya que
el
nudo
5
es
inmediatamente anterior al nudo 8 en C. Así, no tiene porqué haber ningún
corte de tipo 4 violado. En este caso, sea
5
= <
2,5 }
5
= <
1,3,8
1
2
El conjunto 5
1
no proporciona ningún corte válido para el problema.
105
•
Capítulo 4. Cortes válidos para el SO?
.
El conjunto
5
proporciona el corte x~
2
x74
+
87
+
x
2
5
•
válido pero no
violado por la solución actual x.
Introducidos
de
estos
Lagrange
objetivo del
se
cortes
obtiene
en el problema
un
vector
nuevo
problema relajado.
y
estimados
sus multiplicadores
de coeficientes
•
u
en
la
j
función
La soludión a éste nuevo problema
es la
‘U
arborescencia
1—.4 2—* 3 —*4 —*5 —*6~~ 8 —*7
9
En este
caso,
violada,
y
la condición
habrí a
que
de asignación
activarla.
u
correspondiente
Además,
la
al nudo
precedencia
6
(8,9)
está
está
violada, y dará lugar a cortes de tipo 2.
Cortes inducidos por la precedencia
Para esta precedencia violada, el corte 4.2b que se obtiene es
*
x
(8,9)
12
+x
+x
23
+x
34
45
+x
56
+x
69
55
Para identificar cortes de tipo 2, sea
*
MT
< 2,3,4,5,6
Q = <8,9>
Q
< 8,9 >
=
Utilizando
la
proposición
4.1,
se
obtiene
el corte
más
violado
de
entre
los posibles cortes de tipo 2 haciendo
5
1
= <8,9>
5
0
obteniendose el corte (más fuerte que el corte 4.2b)
x
+x
12
+x
23
+x
34
+x
45
4-x
56
+x
25
+x
38
+x
68
69
=<8>
1
52 =<9>
Como
[S:MT[
=
2
,
jMT:S[
=
1
y
¡W:Q\SUS[
hipótesis de la proposición 4.2 ( 2 > 1
x
+x
+x
+x
+x
+x
+
O
+x
4
‘3
‘3
‘3
U
‘3
‘U
55
Se obtiene otro posible corte de tipo 2 haciendo
5
1
=
O
,
se verifican
las
‘U
4
‘3
). Por tanto el corte
+x
+x
+x
55
U
106
‘3
u
u
Cap itulo 4. Cortes válidos para el SO?
obtenido
es
tan
violado
como
el anterior
y
más
fuerte,
ya
que
se ha
incrementado el número de variables.
4.3.-
CORTES VALIDOS INDUCIDOS POR LAS ACOTACIONES SUPERIORE S AL PESO
ACUMULADO DE CADA NUDO
4.3.1.— Obtención de cortes válidos.
Se
trata
de obtener
cortes
válidos
para
el
SO? tales
que
eliminen
aquellas soluciones que no satisfagan la condición (4.1).
El primer corte
con
MT
y1 > d
=
J
.
ACO
propuesto
3);
por
es el corte (4.3),
tanto
se
j)
x(O
prohibe
el
IV’
5
camino
(O..
J
~.
¡
1,
—
.j)
si
Veamos como reforzar ese corte.
J
Ejemplo
4.5: (Ver
(4.3).
condición
proporciona
figura 4.7).
Es fácil
Sea
el camino
ver que el corte x
+
01
(0,i,j,g)
x
Ij
+
una desigualdad válida para el problema
x
Jg
tal
+
x
0)
que
+
x
JI
“iola la
x
+
Ig
original, siemre
5
2
que
el peso acumulado del camino permutado (0,j,i,g) también viole la cota del
nudo g, d
g
O
~~*J
—*i
—*g
Figura 4.7
Dado una camino p
=
i(k)=g), con P
(O,i(1)
=
conjunto de nudos en el camino p, sea
Inicialmente E =A(p),
trata
de
ir
provenientes
camino
p
cuyos
N(p) donde N(p) es el
(P,E) un subgrafo parcial de O.
donde A(p) es el conjunto de arcos del camino p. Se
aumentando
de
=
el
conjunto
permutaciones
arcos
no
de
estén
la
de arcos
forma
todos
denominará permutaciones expí (citas.
107
E añadiendo
p’
incluidos
=
nuevos
arcos
(O,iMl) ,...,i’ (k)=g)
en
E,
a
las
que
del
se
•
Definición
4.1:
Capítulo 4. Cortes válidos para el SO?
Dado un
camino p
=
(0,i(í)
nudo g, llamaremos longitud de p, sea L,
tal que T
i(k)=g) desde el nudo O al
al peso acumulado del nudo g.
es el peso del arco (a,b)Ep. Por tanto,
ab
L=
•
El
U
‘U
U
‘U
objetivo
es
T
(a,b)Ep
identificar
secuencialmente
de un camiño p dado que verifique
L
> d
permutaciones
de A(~’) a E, el &orte
explícitas
x(E) ~
1 MT
1 sea todavía
—
un corte válido. Es preciso notar que no todas las permutaciones
permutaciones
p
de forma que, añadiendo los
,
£
arcos no redundantes
U
(4.31)
de p son
que pefmiten añadir arcos al conjunto E. Sean los siguientes
U
conceptos:
Definición
4.2:
parcial
Dado
un
=
(P,E),
~‘
camino
PO
=
(0,i(1)
i<k)=g),
N(p0)
donde 1’
y
y
=
E
el
subgrafo
U Mp’) con p
1=0
‘3
o
permutación
implícita
p
explícita
o
de p en
de
p
Vi=1
llamaremos
j,
a todo camino del nudo O al nudo g en el
grafo ~ que pase por todos los nudos y tal que p
Definición
4.3:
explícita
Llamaremos
p’
de un
permutación
permutación
cambio
permisible
=
p
(0
g)
*
a
con
una
L
j.
p’ Vi=0
>
permutación
d
tal
,
que
satisfaga la siguiente condición:
L,
~‘=
> d, y no hay ninguna permutación
(P,E’) con L ~ s d
p
Así,
el
corte
(4.3)
,
donde E’= E
implícita p
U <(k,l)ep9.
*
en
(4.32)
£
se puede reforzar
utilizando
el corte
definido
en
el siguiente teorema:
Teorema 4.5: Sea
E
=
~‘
=
‘U
U
U
‘3
(P,E) un subgrafo parcial de G tal que inicialmente
A(p), donde p es un camino dado p
LOS
=
(0
g), 1’
=
Mp) y L
g
> d
.
g
‘3
‘3
‘U
U
U
u
¡
•
•
Capítulo
4. Cortes válidos para el SO?
Entonces, el corte
x(E) sjW
g
1-1
(4.33)
es un corte válido para el SO? con E e E
U
{(k,1)ep’> si y sólo
fi
es
una permutación permisible de p.
Demostración
4z)
Cualquier camino en el graf o ~ del nudo O al nudo g que pase por todos
los
nudos
permitida
estos
tiene
MT~
¡
arcos,
por definición
caminos
y
su
longitud
de permutación
es factible
para
es
permisible.
el problema
superior
a
Por tanto,
original,
la
máxima
ninguno de
de donde
el corte
(4.33) es válido al no eliminar ninguna solución factible.
~)
Si al introducir
sigue
siendo válido
factible.
los arcos de una permutación p’ en E el cort•e (4.33)
es debido a que no se ha eliminado
Por tanto al introducir
implícita p
con L
*
p
5
d
ninguna
solución
p’ no se ha formado ninguna perr rtutación
y, entonces, p’ es permisible.
g
U
Ejemplo 4.6: El siguiente ejemplo ilustra la necesidad de que se verifique
la condición (4.32)
para que el nuevo corte siga siendo válido. Ver figura
4.8.
‘o
7
Figura 4.8
109
8
Capítulo 4. Cortes válidos para el SO?
-
Sea
el
camino
inicial
=
p
Supongamos que identificamos
(0,1,2,3,4,5)
el camino
=
q
1
=
L
33
(0,1,4,2,3,5)
>
=
d
=
1 L
7
34
.
> d
q
Así,
inicialmente,
~=(P,E),
donde
(2,3),(3,4),(4,5),(1,4),(4,2),(3,5)>,
=
P
(0,1,2,3,4,5),
y
es
la
Lp
62
,
>
d5
El
.
conjunto
{(O,4),(4,1),(l,3),(3,2),(2,5)>.
=
Adviertase que x(p)
peso
del
=
satisfecha
por
del
5. L•
nudo
cualquier
5.
sea
del
*
graf o
p
=
arco
=
sería
~‘
una
6 s d= 7, pero el corte (4233) no
tanto
la
condición
superior
(4.32)
camino p’ para poder introducirlo
debe
al
ser
en el corte y
que este siga siendo ún corte válido para el SO?.
Observación
4.10:
Cuantas
más
permutaciones
permisibles
se
identifiquen,
más fuerte será el corte (4.33).
Observación
mucho
4.11:
tiempo.
La verificación
Por
ello
se
de la
condición
introducirá
un
(4.32)
puede
concepto
u
U
E
(0,4,1,2,3,5)
de que no viola la acotación
Por
‘U
(0,4,1,3,2.5)
~‘.
este camino, a pesar
acumulado
arcos
Finalmente,
permutación implícita en el graf o
permitiría
de
{(0,1),(1,2),
longitud
(1,k)eE. Supongamos ahora que queremos añadir el camino p’
1
5
=
E
u‘U
de
consumir
más
fácil
‘U
‘U
‘U
‘3
‘U
‘3
U
verificación que el concepto de permutación permisible.
Sea ~
—
=
(P,E) un subgrafo parcial de G
A<p), donde p es un camino dado p
es la longitud asociada
desde el nudo
O al
a un arco
nudo k
=
=
(0
(a,b)SA.
en el digrafo
(V,A) tal que inicialmente E
=
g). E
Sea
~.
s
Sea
Ok
N(p)
L>
~‘
=
Observación
4.12:
(P,E’), con E’
La distancia
mínima
110
=
E
desde
mínima
(P,E) el
=
Th
‘ab
la distancia mínima desde el nudo g hasta el nudo m en el digrafo
=
y 1
la distancia
inducido por ~ tal que (b,a)eE si y sólo si (a,b)EE y
una permutación p’, sea
d
digraf o
Sea
~.
nudo
O
al
nudo
Dada
g
U
~gm
U A(p’).
el
‘U
‘U
en
‘3
U
‘3
‘3
u
¡
U
Cap itulo 4. Cortes válidos para el SO?
p(O
g) no corresponde necesariamente a la longitud de una perrrutación
de nudos en P=N(p).
Definición 4.4: Llamaremos permutación aceptable a una permutació 1 p’ de
un camino p = (O
g) con L
> d
P
£
tal que satisfaga la siguiente
condición:
s’
> d
,
donde s’
es la distancia mínima del nra1 o O al
Og
nudo g en el digrafo
Lema 4.1: Toda permutación
(4.34)
~‘.
aceptable es una permutación
permisible, pero
no viceversa.
Demostración
a) Sea p’ una permutación aceptable.
Entonces, por definición,
s’
> d
Cg
el digraf o
y,
Por tanto, todo camino de O a g tiene longitud mayor que d
~.
en particular,
L
> d
,
p
que L
*
> d
p
en
g
.
y toda
permutación
implícita
p
*
en
es tal
~“
g
Así, p’ es permisible.
U
g
b) No toda permutación permisible es aceptable. Ver Ejemplo 4.7.
Ejemplo 4.7:
Sea el camino p = (0,1,2,3,4,g),
con L = 20 > d = 5, y la permutación
p
permisible
=
p’
(O,4,l,2,3,g).
con
L
,
=
£
17
>
5.
Por
tanto,
j
e’
grafo
p
= (P,E> es tal queP=N(p>
que
yE=
A(p)UA(p’).
La permutación
p” = (0,2,4,3,1,g)
L ,
y
= 11
> 5
toda
permutación
es una permutación
implícita
que
se
permisible,
•1•
forme
ya
con su
p
introducción
tiene,
obviamente,
5
arcos
y,
por
tanto,
longitud
n1 ayor
o
igual a 8, suma de los pesos de los cinco arcos de menor peso en
Sin embargo
en el nuevo grafo
~“
111
= (P,E’) con E’ = E U A(p”), se
Capítulo
cumple que
s’
Og
= 4 < 5 y~ por tanto,
Nota: La distancia mínima s’
Og
4. Cortes válidos
p”
no
es
•
0
—e
1
=4
‘3
aceptable.
u
= 4 corresponde al camino (0,2,4,1,g).
4
4W
para el SO?
i1~
4
2
:3
=-*
4
_____
4
uu
1~
—~—*
g
d
g
~5
1•
Figura 4.9
Corolario
4.3a: El corte x(E)
[MT[—1 es válido para E e E
5
U A(p’), donde
£
p’es una permutación aceptable dep.
Definición
4.5:
Una permutación
p’ de p
es descartable
si satisface
la
condición
5
Ok
+T
.
kI
+s
sd
(4.35)
£
para algún arco (k,l)ep’
‘3
‘3
‘U
‘U
u
‘3
Lema 4.2: Toda permutación descartable es no aceptable.
Demostración
Supongamos que la condición (4.35) se sátisface
para un
arco <k,l)Ep’.
Sea E el siguiente conjunto de arcos:
112
‘3
u
u
• Capítulo 4. Cortes válidos para el SO?
H
<(r,sIIECM(O
k) >
U (k,l) U < (a,b) ¡ (b,a)eCM(g
1)>
(4.36)
donde
CM(0
k) es el conjunto de arcos que forman parte del camino mm. mo del
nudo O al nudo k en
CM(g
1) es el conjunto de arcos que forman parte del camino mini mo del
nudo g al nudo 1 en
Los arcos en B forman un camino desde el nudo O hasta el nudo
en
= (P,E’) donde E’ = E U <(k,I)Ep’>. tal que su longitud es menor o igual a
d
.
Por tanto, la longitud del camino mínimo del nudo O al nudo g e.
es
g
menor o igual a d
y la permutación p’ no es aceptable.
U
g
Observación
4.13: El recíproco del lema 4.2 no es cierto,
como sLE puede
ver en el siguiente ejemplo:
Ejemplo
4.8:
queremos
Sea el
introducir
Vke<O
grafo
~
= <P,E) del ejemplo 4.7.
la permutación
p”. Se
calcula
en ~
Supongamos
que
y~s
5,
y
g).
=4
5
s
01
s
gk
Ok
=8
5
=8
5
02
=12
gI
s
g2
03
gS
=12
04
=4
5
g4
= 4j
=4
A continuación se verifica la condición (4.35) V(k,l)cp”:
(0,2) e O
+
1
+
3 > 5
(3,1)
4
12
(2,4) e 8
+
1
+
4 > 5
(1,g)
4
4
4
+
4
+
4 > 5
(4,3)
4
4
+
+
1
+
+
12 > 5
O = 5
Así la permutación p” es descartable y, por tanto, no aceptab. e, como
se
observaba
en
el ejemplo
U),
pero
algoritmo de camino mínimo al graf o
~‘.
no
ha
sido necesario
Por tanto,
apI icar
un
no se introdi. [cen sus
arcos en
Consideremos
el mismo
ejemplo,
donde ahora se asigna
al arco
longitud 5 en lugar de 4, e intentemos introducir la permutación p”.
113
(0,1)
J
5
=5
01
5
s
=12
5
ti
02
s
=9
=13
5
=8
g2
=4
5
5
ga
‘U
=4
04
03
u
=4
g4
A continuación se comprueba la condición (4.35) V(k,l)ep”:
(0,2) ~ O
+
1
+
8 > 5
(3,1) ~ 13
(2,4) 4 9
+
1
+
4 > 5
(1$g)4
4
+
4
+
4 > 5
(4,3)
4
La
permutación
permutación
p”,
por
es no aceptable,
tanto,
4
+
12 > 5
+
5+í+ó>5
no
es
descartable.
pues en el grafo
embargo
la
= 4 < 5, donde s
s’
~‘
Sin
og
Og
sigue correspondiendo al camino (0,2,4,1,g).
Así, permutación no descartable
Sea el ejemplo 4.6 correspondiente
no es permisible, pues 3p
*
u
A* permutación aceptable.
Observación 4.14: permutación no descartable
ala
=\~
permutación permisible.
figura 4.8.
implícita 1 L
• =
6
5
p
En él la permutación
= 7.
d
5
Sin embargo ningún arco (k,l)sp’ verifica la condición 4.35, ya que
(0,4)
9>7
(1,3)
56 > 7
(4.1)
28 > 7
(3,2)
30 > 7
(2.5)
27 > 7
y, por tanto, p” es no descartable.
Comprobando
automáticamente
primero
permutaciones
necesario
aplicar
que
verifiquen
no
complejidad
del
la
un
condición
(4.35)
podemos
que no van a ser aceptables.
análisis
para
de la
ningún
condición
(k,l)Ep’.
(4.35)
Así, sólo será
(Obsérvese
es
que
sensiblemente
la
inferior
a la cdrnplejidad de un algoritmo de camino rnínirño, ver sección 1.6.3).
Para
reforzar
el
corte
(4.3),
x(0
lineas generales los siguientes pasos:
114
j)
5
¡MT
J
j
—
1,
se
‘3
‘U
‘3
‘3
‘3
descartar
algoritmo de camino mínimo a aquellas permutaciones
(4.35)
‘3
‘U
‘3
siguen
en
“3
‘U
‘U
‘3
‘3
u
‘ji
Capítulo
4. Cortes válidos para el SO?
Algoritmo 4.2:
Entrada: Un camino p = (0,.. .,g) tal que L > d
p
Inicialmente sea
g
= (P,E) con 1’ = N(p) y E = A(p).
Paso 0: Determinar
AM, donde AM es el conjunto de los
1
[MT
g
peso
mínimo
,
en
conjunto
que en este
arcos con
caso coincide con E.
Hacer 1 = 0.
Pasa 1: Dado el grafo ~ = (P,E), encontrar una permutación explícita
de
p.
(Ver
sección 4.3.2).
Si no
se
encuentra
ninguna
p’
nueva
permutación o no se quiere reforzar más e] corte, FIN.
Paso 2: Si L ,
d
5
p
Paso 3; Construir
E’= E
a d
ir al paso 1.
£
el conjunto
AM’ para el nuevo graf o
(P,E’) con
~‘
U A(p’). Si el peso total de los arcos en AM’ es superior
p’ es permisible. Hacer 1 = O e ir al paso 7.
g
Paso 4: Determinar s
Paso 5: Comprobar
y s
gI
VId’ en el grafo
Si 1=1, s<- s’ VIEP
~.
1=0.
01
la condición (3.22)
V(l,k)ep’.
Si p’ es descartable
s d
es aceptable.
ir
al paso 1.
Paso 6: En
calcular s’
~‘
VleP. Si s’
01
p’ no
Ir al
paso 1. En caso contrario hacer 1=1 e ir al paso 7.
Paso 7: Hacer E e E
x(E)
5
U A(p’) y AM e AM’ en
El nuevo corte reforzado es
~.
¡MT [—1. Ir al paso 1.
g
4.3.2.— Identificación de permutaciones. Búsquedas locales.
Para
generar
p = (0,i(1)
permutaciones
g) 1 L
> d
p
en
búsquedas
consiste
en
locales.
encontrar
medio de un número
aceptables
p’
de
un
subcamino
proponemos un procedimiento heurísticd
dado.
basado
£
Dado
el
aquellos
camino
otros
p.
el
caminos
limitado de intercambios
arcos no pertenecientes a dicho camino.
115
procedimiento
que
pueden
de arcos del
básicamente
obtenerse
.1
camino
por
p por
•
Capítulo
•
.
4. Cortes válidos para el SOR
1
J
El
procedimiento
realiza
dos
tipos
de
búsquedas
tipo, denominado TRíA, se basa en tres intercambios
variantes.
El segundo tipo,
locales.
El
primer
de arcos y tiene dos
denominado Sí, se basa en dos intercambios de
arqos y una orientación inversa.
i) El tipo de búsqueda denominado TRIA—1 parte de un par de nudos i,jep.
Supongamos
El
nuevo
que
p
camino
es
de
que
se
la
forma
(O
a(i),i,z(i)
considera
es
(0
,g) supuesto que estos arcos pertenecen a
Á.
a(j),j,z(j)
a(i),i,j,z(i)
g).
a(j),z(j),
Ver figura 4.10.
1~
z(i)
..:
—.-*
a(j)
—*
1
z(j)
j
...
—.4
g
—-4
•1’
Figura 4.10
u) El tipo de búsqueda TRIA—2 parte de un par de nudos
el
nuevo
camino
(0
a(i),z(i)
j,i.z(j)
g),
i,j~p,
supuesto
que
estos
Observación 4.16: a(i)=0 y j=g es una elección válida para la búsqueda.
1
O
—*
a(i)
z(j)
‘3
‘U
‘3
y considera
arcos pertenecen a A. Ver figura 4.11.
.1
‘3
‘3
‘3
u
Observación 4.15: i=O y j=g es una eleción válida para la búsqueda.
0 —e
‘3
‘3
‘U
u
—o
...
—4
£
‘U
u
u
•1’
Figura 4.11
116
‘3
u
u
¡
2’, 4’
•
Capítulo 4. Cortes válidos para el SO?
iii) El tipo de búsqueda Hl parte de un par de nudos i,jep,
nuevo
camino
(O
i,R(z(i)
j),z(j)
g),
supuesto
que
y considera el
¡
estos
arcos
pertenecen a A. Ver figura 4.12.
Observación 4.17: i=0 y j=g es una elección válida para la búsqueda.
1
0
—o i
z(i)
e—
...
j
4—
z(j)
—.4
g
1’
Figura 4.12
4.3.3.— Obtención del peso L de un camino permutacion.
p
Dado un camino p =
(0,i(1)
g) con peso L
, sea una permutación
p
p’=(O,i’(1)
g) obtenida con los tipos de búsqueda TRIA—1, TRIA—2 y Hl.
El peso L , se obtiene de la forma siguiente:
p
Sea a
la ganancia que se obtiene insertando el nudo 1 entre el nudo
1k
¡
k y el nudo z(k) en el camino p. Esta ganancia se puede expresar corno
kz(k)~kí +c
kí
Sea
I,z(k)
)
¡
la ganancia que se obtiene eliminando el nudo k del
(3
k
(4.37)
camino p.
Esta ganancia se puede expresar como
¡3
k
+c
=c
k.z(k)
—c
a(k),z(k)
(4.38)
Tipo de búsqueda TRIA—1:
L,L
p
-(a
p
+¡3)
(4.39)
.1
Ii
Tipo de búsqueda TRIA-2:
L p , = L.p
-
((3 1
+
(4.40)
a jI
117
‘U
Capítulo
4. Cortes válidos para el SO?
‘3
‘Tipo de búsqueda HL
L (o4,(1>
<o
L <o,I,(1)
L
L
(0,1 ‘(1>
p’
donde ~
=1>
L (0,1
1)
—L (O,I’(1)
j
y)
J
z(I ),z(j))
ji
j
VvER(a(j)
z(v))
j
z(I>)
z(i))
z(I),z
(4.41)
-$
p
z(j))
a
+1
-L
‘3
118
Capitulo 5
Reforzamiento de cortes válidos
5.1.- INTRODLJCCION
Sea
el
problema
(1),
la
SO? expresado
del
(2) y
árbol
(3)
dualización
según
generador
del modelo
de
las
el
modelo
3.1.
de peso mínimo
3.1,
junto
La solución
dado por
con la condición de
restricciones
tipo
(4),
óptima
las
del
restricciones
integralidad,
proporcionará
y
ursa
cota
del
SO?,
inferior para el SO?.
Si
la
solución
obtenida
entonces
es la solución
aquellas
restricciones
“fuertemente”
función
óptima.
de
todas
tipos
para el SO?.
objetivo
multiplicadores
de
y,
(5)
(?FC’s>
Estos cortes
para
Lagrange
las
En caso contrario,
violadas por la solución actual,
cortes válidos
la
satisface
del
ello,
nuevo
descrita en la sección 3.3.
Sea el politopo
119
y
restricciones
se trata
(6)
(DFC’s)
y a partir
se introducirán,
se
estiman
problema,
de encontrar
los
según
qúe
sean
de ellas: obtener
dualizádos,
en
correspondientes
la
meiodología
u
Capítulo 5. Reforzamiento
pfl
{
= CONV
1) x(A)
xE<O,l>IA¡, tq
= 1
3) x(W) ~
fw¡—í
4)
x(á
+
VjcV\<0>
(j)) 5 1
5) x satisface
VWcV, [W[~ 1
U
VjcV
‘3
‘U
las relaciones
de precedencia.
6) x satisface la acotación al
peso acumulado de cada
{
= C0NV
donde P
rl
xe<o,í>[A[,
t.q. Mc s b
nudo.
}
es un politopo 0—1 positivo, ya que A es una matriz de ceros y
soP
unos y, por tanto,. todos lbs elementos de A son no negativos, y b > O.
Para
cada
restricción
acuerdo con la metodología
corte
violada,
el
válido
descrita
en el capítulo
que
se
obtiene
de
4, es una, restricción
tipo ax s b, donde el vector a contiene sólo ceros y unos, y el escalar b
es entero positivo.
su
dualización,
capítulo.
Así,
Se puede intentar
utilizando
5.3,
cortes
5.4
y
metodología
a
5.6 desarrolla
se
los distintos
que
los
tipos
se
válido antes de
describe
en
los fundamentos
este
teóricos
.
la información proporcionada por
identificados,
desarrollan
este corte
se desarrollan
un corte utilizando
anteriormente
5.5
reforzar
metodología
en la, sección .5.2
que permiten reforzar
otros
la
mientras
algoritmos
que
en
específicos
de desigualdades
un ejemplo de identificación
‘3
U
n
2) x(6(j))
x satisface
de cortes válidos
las
que
obtenidas.
y reforzamiento
secciones
aplican
La
‘3
‘3
u
U
U
U
la
sección
de cortes para
un programa SO? dado.
uu
5.2.- FUNDAMENTOS TEORICOS
Las siguientes definiciones son necesarias:
Definición
5.1:
Una desigualdad ~x
5
maximal si [3 ieN y a’ > a tales que
120
a
con a0 > O válida para pfl
sop es
‘U
‘3
u
U
s
•0
u
•
Capítulo
a’x
II
sea válida para ?~
JENMI>
«x
ji
~a
de cortes yálidos
o
IAl
, con N=< 1,2,3
sol,
Definición
+~
5. Reforzamiento
¡
5.2: Una desigualdad ax s a
maximal para el coeficiente
1 si
con a > O válida para pfl
es
o
o
so~
a’ > a tal que
~
1
a’x
+~
II
j EN\<I>
¡
ax Sa
jj
O
sea válida para P”sol, , con N={ 1,2,3
Definición
5.3: Un dique
12 es un conjunto de índices de variables 0—1 tal
que sólo una de las variables
con índices en 12 puede tomar valor uno. En
este caso se dice que la desigualdad x(C)
5
1 es la desigualdad
inducida
por el dique C.
Definición 5.4: Un dique 12 es maximal si no está dominado por nin~ún otro
dique 12<; es decir, 12 es maximal si no hay otro dique 12’ tal que CcC’.
Definición 5.5: Un dique 12 es trivial si ¡C[
todo programa
1. Es preciso notar que en
con variables 0—1 el dique formado por el índice de cada
variable es trivial.
Definición
5.6: Un cubrimiento
12 es un conjunto
índices de variables
0—1
tal que sólo un número determinado de variables con índices en 12, sea k
puede tomar
valor
desigualdad x(C)
5
uno, con O < k<
k
c
¡12
c
dice ‘que la
En este caso se
es inducida por el cubrimiento 12.
Definición 5.7: Una desigualdad ax
5
a
0
y a
I.
es de tipo mochila si a ~ O VjeN
1
>0.
Observación 5.1: Se supone que
:3jEN
tal que a > a , y que
1
0
• 121
>
JEN
a
J
> a.
.0
¡
14
Cap Etulo 5. Reforzamiento
Definición
5.8:
Se
dice
que un
cubrimiento
12
de cortes válidos
está
implicado
desigualdad tipo mochila si existe un número entero, sea k
tal
que
toda
solución
0—1
factible
para
también es factible para la desigualdad x(C)
Observación
5.2:
Si la relación
la
c
desigualdad
por
para O<k
tipo
una
c<IC[
mochila
kc
5
inversa es también cierta,
u
entonces ambas
u
J
desigualdades son equivalentes.
Proposición
5.1:
desigualdad
ax
Sea F =
~
{ xel”’ :
sop
válida
ax
= a
~
(con
para
maximal si y sólo si VjcN BxeF tal que x
>
o
la cara definida por
> 0).
la
La desigualdad
es
= 1.
U
‘3
Demostracion;
ax
•
=
a~ es maximal. Supongamos que BjeN tal que VxEF x
= O.
Entonces cualquier punto x factible tal que x j = 1 verifica ax < a o
Por tanto el coeficiente a1 se podría incrementar en Mm
<a0-
ax
>,
‘dx’ factible
positiva,
o
en
características,
y
la
cualquier
y
tal
que x
cantidad
si no
1,
=
1
cantidad
existe
un
x
estrictamente
con
estas
condición no sería maximal.
~):
Si VjeN BxEF 1 x
= 1, entonces si incremetaramos el coeficiente
.1
lo sustituyeramos por a’ > a, para ese punto x tendríamos:
E
desigualdad
no
ax
a4Eax
=
válida
para
Por tanto la desigualdad ax
Estudiemos
a
+a’x
ji
continuación
es maximal, para,
a
es maximal.
el
U
problema
de
en caso de que no lo sea,
más fuerte incrementando
desigualdad dada.
y
.1
>a o
identificar
desigualdad que modelice una PFC ó una 0F12, o algún
ellas,
a
?~ .
sop
5
para
ello
•122
U
‘3
alguno
de
si
una
‘3
‘U
u‘U
‘U
corte inducido por
obtener una condición
los
j
coeficientes
de
la
‘3
‘3
‘U
U
Capítulo 5. Re forzamiento
Observación
5.3: Todas las PFC’s, DFC’s y
son desigualdades
para
cada
kE<
coeficiente a
k
r
del tipo a x
1
[A[
b
5
r
r
los cortes
de cortes válidos
inducidos por ellas
Dada una restricción
.
> estudiemos
si se puede aumentar
de esté
tipo,
el valor
del
k
en a , para a ~ O.
r
Proposición 5.2: Sea Rr = max <a x ¡ Ax
a) Si R1r = b r VI entonces a r x
b) Si 31 1 R’
r
< b
b
5
a y-1 se puede sustituir
b
5
r
no es maximal, y el ~jeficiente
r
a ,I = a r¡
por
xc<o,i>IÁI
es maximal.
r
entonces a x
r
b, x 1 = 1,
5
br
+
siendo
—
entonces
maximal para el coeficiente 1 la nueva condición.
Demastracion:
a) SiR1 =b
y-
Si
a x
entonces3x
*
/ax
=b
y-
esto
se verifica
b
es maximal
5
VlE{
1
b) Supongamos que 31 IR
¡A¡
< b
=1
a” = a 1
+
b
y-
—
y-
R 1 > a1
y-
.
>,
entonces,
por
y que sustituimos
y-
y-
• con x
y-
la
proposición
5.1,
el coeficiente~ a
por
y-
y-
Veamos que la restricción
y-
a’1 x
+~
y-
jEN\<I>
1
a1x sb
rj
(5.1)
sigue siendo válida para pfl
sol,
Sea un
punto factible
x =
(x,...,x~..,x
a tI
x
[Al) Veamos que x satisface
la restricción (5.1>:
*
Si
x
=
O
entonces
y-
+~
1
jEN\<l>
hipótesis, ya que a x s b
y-
.1
ax
rJ
=~
i
ax
rJ
era una desigualdad válida para
y-
123
b
p¿r
y-
JEN
50P
‘3
Capítulo 5. Reforzamiento
de cortes válidos
,~1
U
*
Si x
=1,
R’ = max
1
ax ¡ Ax s b, x
<
y-
=1,
‘3
=
xe<O,íWÁ[>
y-
a1
max
+
y-
—
E
{
a1x 1 Ax s U, xE<0,L>IAk
y-
jEN\<I>
Portantomax{a’’
x
JEN\<I>
—a” +R1 —a1
y-
y-
=1>=
/Ax5b,x
a~x
+~
y-
~
a1 +b
=
y-
y-
—R’ +R1 —a1
y-
y-
b
=
r
y-
y-
y la desigualdad sigue siendo válida para todo x factible de
La proposición
5.2 es. por tanto
para que una restricción a x
5
b
y-
U
.
una condición necesaria
y
suficiente
sea maximal. Sin embargo para contrastar
y-
esta condición es necesario resolver un problema con la misma complejidad
que el problema original. Huscamos por eso condiciones más débiles que
puedan contrastarse
Proposición
tal
en tiempo polinomial:
5.3: Sea
que se resuelven
dopde
1
= max
rl
ax 1 ax
r
independientemente
es el conjunto
b
5
1
estos
1
, x
= 1,
¡
xE<0,IWAI
problemas para i
de cortes válidos (reforzados
E
>
M c 1,
o no) que se hayan
identificado más las desigualdades tipo (4) del problema original
Sea R’ =
y-
mm
<
Si
*
3
>.
R1
Entonces
rl
¡ EM
1
¡
R’
< b
y-
resulta
que la
coeficiente a I se puede sustituir por
y-
Observación
5.4:
condición
no
es maximal
y
el
y-
tI
y-
=
ay-¡
+
—I
Ry-
by-
El problema a resolver para cada i para obtenér R1rl es
del tipo denominado mochila 0—1. Para i = r el problema se denomina SSP
(Subset
Sum Problem),
panorámica
especial
se
para
de algoritmos
pueden
el
que hay algoritmos
mochila y
utilizar
los
especiales.
5SF, ver Martello
algoritmos
(1984) y (1988).
124
descritos
Para
y Toth (1990).
en Martello
y
una
En
Toth
‘3
‘3
‘3
2
‘3
‘3
‘3
U
U
‘U
‘3
‘3
‘3
‘3
u
Li
u
1
II
•
<.et.
4.,
•
Capítulo
5. Reforzamiento
de cortes válidos
Demostración:
es una cota superior
al valor de R’. ?or tanto
caso
la demostración
cuenta que si x
del
apartado
b
de la proposición
x
¡
~E
y-J /Axsb,x
a1x
jEN\<l>
¡
y-
P
por tanto
5.2,
teniendo
y-
la desigualdad
—l
=I.xE<O,1>IÁI
¡
a y- +b y- -R y- +R y- -a
=
y-
1
sigue
siendo
válida
>
¡
y- sb y-
para todo x
factible
rl
La proposición
coeficientes
lugar
de
U
.
sol,
en
=1 en el punto factible x
max<a”y-
y
es válida en este
r
y-
a
original.
5.3 es
una condición
individualmente.
una
nueva
Así,
restricción,
forman
puede sustituir
parte
puede
de variables,
de
la restricción
incremento
que
Si además un conjunto
incrementados,
el
suficiente
una
para
de
incrementar
los
coeficiente
da
cada
reemplazar
la
cpndición
cuyos coeficientes
han sido
estructura
tipo
a
dique,
entonces
se
original por una nueva en la que todos
los
coeficientes con índices en el dique han sido aumentados.
Proposición
, si existe un conjunto de
o
variables con índices en 12, tal que en un subconjunto s;O todo coeficiente
a,
5.4: Dada una restricción a
con icS,
restricción
sustituir
puede ser individualmente
del
tipo
x(C)
5
1,
a
incrementado,
entonces
y además existe
la restricción
por una nueva en la que todos los coeficientes
original
una
se puede
con índices en 5
han sido incrementados.
Demostración:
Obviamente
la nueva restricción
en 5 incrementados
es más fuerte
con todos los coeficientes
con índices
que la restricción original.
Veamos que
no elimina ninguna solución factible:
Cualquier
solución
factible
es tal
125
que sólo una de las
variables
con
•
•
Cap Club
•
5. Re forzamiento
de cortes
válidos
‘~1
U
índices en 12, sea x
, puede tomar valor uno. Si c45 o todas las variables
con
toman
índices
en
equivalente
12
valor
cero,
a la condición original.
equivalente
a
la
coeficiente dcx,
condición
entonces
la
nueva
condición
‘3
es
Si ceS entonces la nueva condición es
obtenida
al
incrementar
únicamente
el
condición válida por hipótesis.
U
‘3
Ejemplo 5.1:
Dada una restricción de la forma
ax
~
II
supongamos
para
(5.2)
A
II
los
o
II
que se ha conseguido un
índices .1,
1’
y
1”.
incremento
Tenemos entonces
individual
tres
de coeficientes
nuevas restricciones,
cada una de las cuales podría reemplazar a la restricción original;
&x
+
« ,x~
II
+
a ,,x,,
II
ax
+&4x1.
ax
+a~x4+a,,x,,
+
x¡
«
5
+...
4-...
u
(5.4)
‘3
(5.5)
Sa
cuenta con la restricción
x ¡ ~+ x,,1
+
(5.3)
o
a,,x,,
Pero si además se
ejemplo
Sa
+...
II
5
1 ,
entonces
inducida
por un dique,
se puede reemplazar
por
cada una de
las restricciones anteriores por:
«‘x
+
II
atx,
ya que sólo
cada
solución
sistema
*‘a’,,x,,
1
1
s a
+...
dado por
las
Por
u
“3
una de las variables
factible.
‘3
‘3
‘3
‘3
x
tanto,
condiciones
(5.6)
0
x,
la
(5.3),
x,,
puede tomar valor uno en
condición
<5.4)
(5.6)
es
ó (5.5) y,
equivalente
obviamente,
‘3
al
más
fuerte.
Una
generador
vez
de
obtenida
peso
función objetivo
la
solución
mínimo,
para obtener
es
óptima
preciso
para
modificar
el
los
problema
coeficientes
una cota inferior del valor
que sea más fuerte que la anterior.
del
árbol
de
la
‘3
‘3
óptimo de SO?
Sea el siguiente algoritmo basíco:
126
‘3
“3
Li
Capítulo 5. Reforzamiento
de cortes válidos
válidos
PFC’s
Algoritmo 5.1:
Paso 1: Identificar
cortes
“fuertemente”
relajado
por cubrimientos).
Pasa 2: Tratar
se utiliza
(Nota: Estos cortes son desigualdades
indtlcidas
por
la
solución
óptima
Ver capítulo 4.
cada uno
de los cortes válidos identificados
a base de incrementar sus coeficientes.
la información proporcionada
identificados
y
1DFC’s
problema
de reforzar
anteriormente,
por
del
violadas
actual.
inducidos
(reforzados
o
no)
y
Para ello
por cortes anteridrmente
restricciones
inducida~
por
diques. (Nota: La desigualdad resultante es de tipo mochila).
Paso 3: Inducir
del
corte
reforzado
el
correspondi ente
conjunto
de
diques rnaximales. Ver sección 5.5.
Paso 4: Utilizar
diques
este
para
nuevo
corte
reforzar
los
y
las
restricciones
cortes,
a
su vez
inducidas
por
reforzados
o
no,
correspondientes
a
los
anteriormente introducidos.
Paso 5: Estimar
los multiplicadores
de Lagrange
nuevos cortes, y resolver el nuevo problema relajado.
Definición
5.9: Dado
un
corte ax
cardinal del conjunto de variables
Definición
5.10: Dada
soporte ~x
5
{
5
b,
se flama densidad
x 1 a
la condición ax
5
de] ¿ox-te al
O
*
b
a reforzar,
y una cbndición
, se llama potencial de la condición soporte
o
del conjunto de variables < x 1 a * O y a ~ O
Observación
condición
a
5.5: Dada
una condición a reforzar,
soporte cada una de las
al cardinal
se puede utilizar
condiciones anteriormente
como
identificadas.
Para ello se van eligiendo las condiciones soporte en orden decreciente en
cuanto a su potencial.
127
u
•
En
los
pasos
2
Capítulo 5. Reforzamiento
•
y
4
del
algoritmo
utilizando
en principio
calculado
cuanto se puede incrementar
descritas
en este
único
corte
se
trata
de cortes
de
reforzar
un
una sola condición cada vez como soporte.
capítulo,
reforzado.
se
Para
cada coeficiente
decide
ello
sustituir
se
tendrán
el
corte
Una vez
actual
cuenta
las
por
un
siguientes
observaciones:
Observación
exista
5.6: La
algún, dique
proposición 5.4
puede aplicarse
‘3
‘3
‘3
según las técnicas
corte
en
válidos
en
el
caso de
que
de potencial mayor que uno. En ese caso se utilizará
‘U
‘U
‘U
el dique identificado de máximo potencial.
Observación
coeficiente
5.7; Si no
se puede incrementar
de la coñdición
a reforzar,
simultaneamente
de un
ante la posibilidad de incrementar
el coeficiente de una variable presente en el corte
variable nueva, preferimos incrementar la densidad del
hay indicios de que ese corte
más
pueda ser soporte
o introducir una
corte, puesto que
más frecuente
de otras
condiciones tipo cubrimiento y mochila a reforzar.
Estudiemos a continuación el problema planteado en la proposición 5.3.
‘3
‘U
‘3
‘3
‘3
Se trata de obtener
1
N
R y-i = max
donde ax
se
indica
=
<
ax
1 ax
r
1
5
b
, x
=1, xe<0,l>
>
b puede ser una condición tipo cubrimiento o tipo mochila según
en
los
pasos
anteriores.
En
todos
los
casos
se
verifica
la
‘3
‘3
siguiente proposición:
Proposición 5.5: Sea el problema
max
(P)
ay-x
axsb
N
(5.7)
‘3
‘3
xE{O,1>
Sea JI el conjunto de índices
3
tales que x
= 1 en el óptimo de CF), y .12
‘3
128
‘U
ti
¡
•
Capítulo 5. Reforzamiento
el
conjunto
de
j tales que x
índices
=
O en
de cortes
el óptimo
de
yálidos
(P
J2 = NVII.
SeaR
rl
,xE<O,1>N >
=max<ax/axsb
y-
1
Entonces se verifica que R>
rl
= R
Víedí.
rl
Demostración:
Si leil entonces x
= 1 en x
factible para el problema
max < ay-x ¡ ax
b
5
solución óptima de (P). Por tantc
x
es
,x = 1, xe<o,í>N >
y si es óptimo para uno de los dos problemas lo es también para el otro.
Por tanto
Por
U
.
rl
rl
tanto,
según
la proposición
5.5,
sólo
será
necesario
obte~er
rl
cuando 1E32.
En las dos secciones siguientes se estudiará el probí ~ma de
la obtención de R rl y R1 para cada tipo de restricciones soporte y
condiciones a reforzar.
523.- REFORZAR RESTRICCIONES TIPO CUBRIMIEN17O.
Estudiemos ahora el problema planteado en la proposición
caso
en
el
que
se
pretende
reforzar
una restricción
tipo
5.3,
para el
cubr ¡miento,
problema que puede ser resuelto en tiempo polinomial: Obtener
R’
=max<cx/axsb
rl
donde
restricción
r
c
es
ax
el
5
vector
b
,x
1
es
=i,xe<
04>N>
1
de
de
ceros
tipo
y
unos en
mochila.
(5.8)
la función
Puede
ser
objetivo.
una
La
restricción
original del problema, es decir, un corte tipo cubrimiento sin reforzar,
que denotaremos por x(J ) 5 k , donde .1 es el conjunto de indices de las
1
variables
con
coeficiente
1
positivo
1
en
129
la
restricción,
o
puede
ser
una
válidos
u‘3
(con algún coeficiente entero mayor que uno) que sea
‘3
Capítulo 5. Reforzamiento
restricción
reforzada
válida para el problema, y que denotaremos por xCJ )
5
de cortes
k.
Estudiemos cada uno de estos problemas:
5.3.1.— Caso 1: Una restricción tipo cubrimiento
Problema:
x(i ) 5 k
yx(.J) 5k
como soporte.
Incrementar los coeficientes de la restricción tipo cubrimiento
, utilizando
como soporte la restricción tipo cubrimiento
,para Jnite
1
y-
1
1
U
‘3
‘U
‘3
Sea el siguiente problema para cada Ial, donde J = 3W
(12)
rl =
Max <x(Jr )
x(J)1 5k 1 , x ¡ =1, xs<0,1>’~1 >
¡
(5.9)
‘3
y sea el problema general
(12)
lI=Max<x(d)/x(J)sk
y-
rl
,xe<o,1>1~’ >
1
(5.10)
Proposición 5.6: Sean R
y R
los valores óptimos de los problemas (5.9)
rl
rl
y (5.10) respectivamente, y sean los siguientes conjuntos de índices;
B=Jnj
r
1
A=JVI
,
.11 = conjunto
D=J\i
,
1
de índices
correspondientes
r
a variables que toman valor
1 en alguna solución óptima de (12), y
.12 = conjunto
de índices correspondientes
‘3
‘3
‘3
a variables
que toman valor
‘3
‘3
O en alguna solución óptima de (12).
Entonces se verifica que:
a)R=
[A[ +Min< k
, [H[
>
,
11=3
r
,
‘3
b)Silei
1~
c) Si lelE)
Ry-1
y-~
Ry-1 = [A[
J2=D
+
Mm
< k—1 , [H[
130
‘U
‘3
‘3
u
“‘‘-‘st
4
Capítul~o 5. Reforzamiento
de cortes
‘álidos
Demostración:
a)
Las
variables
con
índices
en
el
conjunto
restricción.
Su valor no está restringido
valor
(i.e.
uno
intervienen
fil
VIEA).
en la función
Las
objetivo.
A
no
intervienen
y, por tanto,
variables
Entonces
con
en
la
pueden tomar el
índices
en el mejor
en
O
no
de los casos
tomarán valor cero (i.e, 1cJ2 VlcD). Las variables
de B pertenecen a la
función objetivo
valor uno
y a la restricción.
Tomarán
el
el
máximo
número permitido:
Mm
Ademas,
como
variable
cuyo
y
[H
índice
óptima (i.e., fil
< k
[
¡H¡
,
>.
son siempre mayor o igual
esté
en
B tomará
valor
que uno, cualquier
uno
en
alguna
solución
VIsE). Por tanto:
Ry-1= [A[ +Min<k
,
[B[
>,
JI = AuH = .1 y- , y
.12 = D
b) Si leí
= 1 en alguna solución
leil. Entonces x
4
y-
óptima del problema
1
(12). Esa solución es también óptima para el problema (12), y pcr tanto
y-l
c)
Las
rl
variables
restricción.
valor uno.
objetivo.
con
índices
en
el
conjunto
Su valor no está restringido
A
no
y, por tanto,
intervienen
en
la
pueden tomar el
Las variables con índices en O no intervienen en laj función
Como lsD,
todas
las
variables
con
índices
en D excepto
deben tomar el valor cero. Las variables con índices en E pertenecen a
la función objetivo y a la restricción.
el máximo número permitido: Mm
<
k
Por tanto
—1 ,
¡E1
>,
tomarán el valor uno
¡
ya que la restricción
es de la forma
>0 x sk-1.
JEJ
.3
¡
J*l
Así,
rl
=
jA[
+Min<k1—1 , [E[ >
131
U
•
Cap itulo 5. Re forzamiento
.
de cortes válidos
Corolario 5.Ca: Se verifica que
a) R’
= Rl’
rl
b)R’
si l,l’ED
‘3
‘3
ó< l,l’tD.
ti
silefly
SRI
l’~D.
rl
ti
Demostración:
El número de variables que toman valor uno en el máximo (y por tanto
es
el valor de R1 ) [Aj
+ Mm
< k —1 , [H[ > si lcD, y
[A¡
Mm
+
< 1< , [H[ >
si
u
lSD,
cantidades ambas independientes de 1.
Además Mm
{ k—l ,[E¡
>sMin<k
,
[H[
U
>
El algoritmo de incremento de coeficientes es el siguiente:
Algoritmo 5.2:
Datos: Indices r e i, los conjuntos J
Paso 1: Obtener A, H, D.
Paso 2: Sea
Si Ry-D
1 ~ ky-
Paso 3: Si
rl
<
1
[H[
,
‘3
‘3
1
>.
STO?. No se puede incrementar ningún coeficieñte.
k y-
se
obtiene
una
nueva restricción
para
cada
lsD,
donde el nuevo coeficiente para x , con lsD, será
a
Paso 4: Sea
Si
RA7 =
RAE
ti
J
‘U
‘3
y J , y el coeficiente entero k
r
[A[ +Min{k—1
rl =
‘3
‘3
‘3
~ k
IA[
y-
= ky-
+Min{k
rl
—
,
[Hj
>.
STOP. No se puede incrementar
ningún coeficiente
‘3
‘3
‘3
u
con índice en J
132
‘3
u
u
Capítulo 5. Re forzamiento
Paso 5: Si R AB < k
y-!
se obtiene una nueva restricción para cada Ial , tal
y-
que el nuevo coeficiente para x
,con íd
1
a’ = 1
¡
Observación
de cortes válidos
5.8:
+
k
—
r
, será
r
RAE
y-I
Cada nueva restricción
con
un
coeficiente
incrementado
puede sustituir a la restricción original.
El algoritmo 5.2 puede mejorarse
en caso de contar con un cl [que de
potencial mayor que 1, según la siguiente proposición:
Proposición
5.7: Si el dique 12 elegido es tal que 3SSC con
[5
¡
y tal
que S~AuH, entonces
= IA[—ISnA[+
6
+
Mm
< k—l . [H¡—¡SnB¡
= jA[—¡SnA[+
‘5
+
Mm
< k
AB
con ‘5 =
{
1
O
,
jH¡—¡SnE[
+
+
(ha) >
y
(1—6)
si ¡SnA¡ > O
en caso contrario
Demostración:
*
x(C)
5
1
x(SnA)
*
Si
+
4
5
1.
+
1 variables con índices en A podrán tomar valor~ 1 en el
> O
¡ A¡ [SnA j
óptimo
1 VSSC. Por tanto si SSAuH se verifica
5
x(SnH)
Sr¡A[
Sólo
x(S)
—
de
los
problemas
(5.9)
y
(5.10>.
En
ambos
casos,
tpdas
las
variables con índices en SnH deben tomar valor O y. por tanto, el número
máximo de variables con índices en H que pueden tomar el valorj 1 viene
dado por la expresión
Mm
Mm
1
< k1—1 , [H[—[SnH¡ > para R
<
k
1
,
IHVISnEI
>
D
rl
para R
133
AB
rl
Capítulo 5. Reforzamiento
*
de cortes
válidos
= 0
Si [SnA[
Todas las
variables con índices en A tomarán valor 1 en el máximo de
ambos problemas.
Sólo una variable con índice en SnE puede tomar valor
1, y,
el número
por tanto,
máximo de variables
con índices en H que
pueden tomar el valor 1 viene dado por la expresión
Mm
<
k1—1 ,
Mm
{ k
[E¡—¡SnH[+
1 > para RD
y-’
AB
Observación
,
¡B¡—ISnE[+ 1> para Rrl
5.9: Los
pueden pertenecer
coeficientes
simultaneamente
U
.
incrementados
con índices en un
a una nueva restricción
dique
que sustituya a
la restricción original.
5.3.2.- Caso 2: Una restricción
Problema:
XCI )
k
5
Incrementar
tipo mochila como soporte.
los coeficientes
de la restricción
tipo cubrimiento
y- utilizando como soporte la restricción tipo mochila x(J 1 )
con xGI)
x
=>0
y-
JEJ
entero Va > 1,
,
xU)
j
r
1
ax
=>0
jEJ
,donde
BJEJ
a
>1
y
a
J
y
Jy-nJ
*0.
r
ri
1
j
¡
JUJ
:
= 1, xe<o.i>[~’
>,
‘3
‘3
‘U
‘3
‘U
k
j
R’ = Max <xCI ) 1 XCI) s k • x
¡
~ue
jj
Sea el siguiente problema para cada Ial, donde J =
(CM)
tal
S
‘U
‘3
‘3
‘U
(5.11)
‘3
U
‘3
‘3
y sea el problema general
(CM)
Sea
R = Max <xli >1 x(J) s k , XE<0,1>[~
y-l
y1
j
.11
el
conjunto
de
índices
>.
correspondientes
toman el valor 1 en una solución óptima de (CM), y .12
Como en el problema anterior, sea
E=dni
r
¡
,
A=J\j
D=j\J
y-
134
(5.12>
a
las
variables
que
‘3
‘3
JUI.
U
‘3
‘U
u
1,
1••
Capítulo
Observación
(CM)
¡
5.10:
tendrá
hipótesis
podrá
x
de
Nótese
=
la
1
que
VicA.
incrementar
ningún
sin
pérdida
Observación
BSSC
con
Sea
en
cx
[Sj>i
caso
5 k
Si
a~a,
El
y
Con
R’
sea
objeto
c
La
=
reducir
el
computacional,
de
acuerdo
un
mochila
anticipar
coeficiente
orden
si
en
en
el
k
cortes
de
(CM)
no
y-
se
válidos
y
ce
cada
verifican
las
procedimiento
,
de
lcy- —
(
vector
número
descrito
no
= 1
.3
cubrimiento
para
todo
en
iteración
los
ya
entonces
1
tal
que
).
para
jal,
y
yreforzar
a
c
=
O
.3
será
de
proceso
y
con
considerar
los
índices
coeficientes
de
la
no
este
es
ningún
posteriores,
que
(5.13>
inicialmente
1
.Por
>
iteraciones
interesante
¡A
lcd será:
6<0,í>n
de
mayor
c
—
y-
0.
+ 1
=1, ~
creciente
iteraciones
que
=k
y-
A =
potencial
tipo
x
que
k
[A[—[AnSI
tal
Estableciendo
la
las
12
axsk,
correspondiente,
incrementado
=
es
no
considerada.
que
~
caso
a resolver
<cx ¡
complejidad
tipo
k
un
mochila
su
con
dique
restricción
Max
de
este
[A[
se considerará
un
entonces
programa
(CM )
En
si
óptima
<k,sead=.P\A
existe
contrario.
.
y-
5.3.
¡AJ
y SCA
n~[i[
tanto,
de generalidad,
5.11:
solución
de
coeficiente.
Encasocontrario,si
tanto,
Re forzamiento
cualquier
Por
proposición
5.
.1
se
puede
incrementar
coeficiente
para
en
restricción
orden,
posible
ello
j=1
el
podtá
n
y
c1
ser
=
c
.3
(Ver
proposición
Sea una
5.9).
ordenación
c
es
que
decir,
no
situamos
forman
situamos
precederá
a
los
a
coeficientes
posteriormente,
parte
índices
en el
Sc
conjunto
a
5...Sc
primero
del
de índices
los
.1 .
y-
índices
Además
nueva
j
en
la
de
la
restricción
de manera
tal
que
a
cubrimiento
de
.1,
.1
(5.14)
correspondientes
(i.e.
r
para
c
=
1
ordenación.
tipo
índices
.3
,
en
si
a
variables
y
a
su
derecha
<
a
.3
,
el
indice
1
modo
mochila,
para
los
para
los índices
135
las
D),
este
independiente
De
c
a
se
índices
en .1
ordenan
en
los
D
y,
Cap itulo 5. Reforzamiento
de cortes válidos
Pata cadá binomio compuesto por una restricción tipo cubrimiento y una
restricción
tipo
mochila,
se
puede
efectuar
la
ordenación
(5.14)
con
el
algoritmo Quicksort; su complejidad es O(nlogn).
Sea A
c
el valor de la suma de los i primeros términos de la secuencia
a<>.c~a
<1)
c
(2)
A
A 1 =A
=0 1—1 +c
a
;es decir:
(nl (nl
para
a
(1) (1)
i=1,2
n
(5.15)
o
El algoritmo para resolver
el problema CM (5.12) una vez determinado
el vector A es el siguiente:
Algoritmo 5.3:
Paso 1: Obtener el valor de a, donde ae<0
cumple: A
a
n> es el único entero que
k < A «+1
5
1
a
Paso 2: R = Max <x(J
)
1 x(i
y-
1
~ k
)
j
,XE<O,l>
=
>0
c
3=1
Paso 3: Calcular p ¿ argmax <0, a VjeD>
.3
Paso 4: .11 =
<
(j)
: p < j
5
a
‘3
‘3
‘3
‘4
‘3
‘U
‘3
‘U
‘3
‘3
‘3
u
i2 = i\.J1
El programa mochila a resolver para cada índice 1 tal que (l)Ei2 es el
siguiente:
= c
max>0
+
cx
LI)>
s .a.
(CM)
1
J
>0
a x
1 EJ\< (¡1>
1
x e<0. 1>
1
5k—a
1
(5.16)
(II
ViEJ\< (1)>
136
‘3
‘3
‘3
‘U
‘U
‘3
u
Capítulo 5. Re forzamiento
Observación
R (1)
5.12:
R
=
para
(1)632
tal
que
c
de cortes
a
.
LI) Cl)
=
c
válidos
a
para
Cf> Cf)
(f)eJl.
El
1,
una
algoritmo para resolver
vez determinado
(5.15), para i = 1,2
el
el programa
vector
A,
mochila
donde
A
es
(5.16) para el
el valor
índice
definido
en
n, es el siguiente:
Algoritmo 5.4:
Pasa 1: Obtener
el valor
de a,
donde ac<1
n>\<l> es
el
único
entero
para el que se cumple:
{
1 5k—a
<A1 , donde
A-«
¡
(1)
a
A1 =
A —ca
(1) (1>
paral<a
(5.17)
en otro caso
y
a.í
«+2
Paso 2: Calcular R
‘~
para 1 < «
(1)
(J)
:
paraotro
en
l=«+l
caso.
(1) <~>
(5.18)
, tal que
a
>0c.>
si l<a
(5.19)
1=1
>0
c<.>+ c<>
en otro caso.
I=1
Paso 3: c
CI)
Observación
mochila
= c
CI)
+
max <0, k
5.13:
(5.16)
Puesto
para
cada
—
RLI»
que
sólo
índice
es
1
condición dada en la observación 5.12,
la siguiente manera:
137
tal
necesario
que
resolver
(1)632
y
no
el
problema
verifica
la
el algoritmo puede simplificarse
de
Capitulo
Paso 1: Obtener
el
valor de a,
5. Reforzamiento
donde ae<l
de cortes válidos
n>\<l> es el
.
único
‘3
‘4
entero
para el que se cumple:
1 5.k—a
A—a
1
1
=
<A’
donde
a’
(1)
A-
c Cl> a Cl)
A1 =A
-a
~
y
para 1 = «+1
A
‘4
‘3
en otro caso.
puesto que 1< a y leiz implica 1< p.
Proposición
5.8:
La
complejidad
del
algoritmo
5.4
para
resolver
el
programa mochila (5.16) es 0(logn).
Demostración:
Determinar
realizar
el
mediante
valor
una
de
a
y
con
búsqueda
ello
binaria
el
valor
similar
a
de
la
R<’>,
se
puede
utilizada
en
5.14: El algoritmo 5.4 obtiene el coeficiente reformado
reemplaza al coeficiente c j en la condición cubrimiento cx
Dado
el
incremento
ordenamiento
en
orden
ya
no
iteración
j
c
l=n+I—j
Cl)
con
iteraciones
proposición
etapas,
para
no
es
ningún
Por
dirección
j+l
n
se efectúa
índice
(n),(n—1)
de
y
(p),
(p—l)
(1),
p = argmax <0,a VjeD>.
138
de
que
la
si
en
a
en
~
1,
donde
las
(Ver
incremento
cuyos indices están
fijada
iteraciones
correspondiente
=
cCl)
proceso de
que es
que
incrementado
a los índices en D. En ambos
la variable
(p+l)
coeficiente
para
el
las
ser
c
ky-
5
anticipar
el
podrá
primero para aquellas variables
el
puede
incrementar
=
tanto,
comenzando
se
coeficiente
q
las correspondientes
proceso,
y
creciente,
posible
posteriores
5.9).
(5.14),
el
u
algoritmo Quicksort y. por tanto, con complejidad O(logn).
Observación
‘3
en dos
en 3
casos,
y luego
durante
se
mueve
p
es
tal
en
u
‘3
‘3
‘U
‘U
‘3
‘U
‘U
‘U
el
la
que
‘U
‘3
‘3
1]
Capítulo 5. Re forzamiento
Proposición
5.9:
Sean
*
(1)
(n+1—j>
correspondientes
a las variables
iteraciones
y
q
y
R~~>
j
q>j
*
Sean RCI)
programas
y
(p)
de cortes
(n+1—q)
=
válidos
los ‘índices
que se fuerzan a tomar el valor 1 en las
Sa
, c
respectivamente, y sea a
= c
para
Cp>
mochila
los
valores
óptimos
de
(5.16) correspondientes
CI)
Cp>
la función
a las
objetivo
respectivas
de
los
itera¿ iones
j
y q.
Entonces, resulta que R<~> ~
Demostración:
Para la iteración j,
=c
CI)
Para la iteración q,
+max>0
cx
1
=
c
>0
max
+
Ip)
l
I6J\<C 3)>
cx
II
IEJ\<Cp)>
s. a.
s. a.
>0
5k—a
ax
1
>0
(1)
IEJ\<
VieJ\<(l)>
(5.20)
5k-a
I I
lEJ\ <(1)
x 6<0,1>
ax
1
Cp)
Cp> >
x 6<0,1>
Vial\<(p)>
(CM1)
(Ch~
p
Los posibles casos son los siguientes:
1.
x<>
=
1 en la solución óptima de (CM1)
a.
x
=
(5.20).
1 en la solución óptima de (CM ) (5.20).
(1)
p
Todas las variables que en (CM ) toman el valor uno también
p
lo pueden tomar en (CM ), puesto
que tienen la
misma
holgura
en
b.
X()
=
restricción
tipo
mochila
y
mismo
el
en la función objetivo para (CM ) y (CM ). Por
coeficiente
tanto R<>’>
la
p
=
1
Rl».
O en la solución óptima de (CM ).
1’
Puesto que x<>
=
1 en el óptimo de (CM ) entonces 3f
139
=
p
Capítulo 5. Reforzamiento
tal
que
x
•
que
=
<1)
1 Vi~1
=
f
de cortes válidos
de (CM ).
en el óptimo
Puesto
p
O en el óptimo de (CM) entonces f < 1, y además
•
p
es posible que haya un conjunto de variables,
sea
para
fi>
7
a
a
5
(f)
5
a
CI>
•
~
,
que
que,
en
tomen
el
valor
1.
Por
tanto,
CI)
R<’>
ya
caso
contrario,
x
no
CI>
hubiera
tomado el valor cero en la solución óptima para (CM ).
p
2. x<~
=
O en la solución óptima para (CM).
a.
x
1 en la solución óptima de (CM ). En este caso
=
(1)
p
R<’>
—
o
la
situación
es
impasible,
ya
que
entonces
la
solución óptima de (CM ) es factible para (CM) y mejor, en
p
contradicción con que x
U.
x
¡
Cp>
O en el óptimo de (CM ).
=
p
=0 en la solución óptima de (CM).
CI)
En este caso,
Bf < p talque
x~>= 1
óptimo de (CM ). Estas variables
Vi
=
1
f en el
también toman el valor 1
en el la solución óptima de (CM ).
p
Además, comok
variables
tantoR
Por tanto,
del ~roblema
(p)
i,
~R
1
—a’
~k
Cp)
con a
Cf)
a
5
a
5
<1)
—a
1
,
(3)
Cl>
al menos una de las
tomará
el valor
Por
CI)
el número de variables
con valor 1 en la solución
óptima
méchilá’ asociádo a la iteración q, nunca será inferior que el
número correspondiente para el problema asociado a la iteración
Corolario
1.
5.8a:
Si
Rl’>
=
k
y- ,
resulta
que
RCP>
~
k
j.
U
y- en la hipótesis
‘U
contemplada en la proposición 5.6.
140
‘U
‘3
‘U
u
•
•
,
4’
Capítulo 5. Re forzamiento
de cortes
válidos
Demostración:
Trivial.
La
U
descripción
restricción
tipo
del
algoritmo
cubrimiento
cx
de
incremento
k
5
dada
la
de
coeficientes
restricción
de
tipo
la
mochila
y.
ax
5
k
es la siguiente:
Algoritmo 5.5:
Paso 1: Ordenar los coeficientes c a de modo que:
.31
cC)a Sc a 5...Sc
a
CI)
C2) C2)
(ti> (n)
teniendo
en
c
=0.
=c
Ci>
cuenta
que
(i)
precede
a
(j)
si
a <
a
CI>
y
(.3)
Paso 2: Calcular p tal que:
p
argmax <0, a VjED>
.3
=
Paso 3: Calcular el vector A, donde
A=A
1
¡—1
+
i=1,2
Ci>
y
n
A=0
O
Paso 4: Obtener R, .11 y 32 según el algoritmo 5.3.
Paso 5: Para
cada
1=n+1—j
hacer:
entonces
c
a
CI) CI)
=
R
c
.
j
iteración
(1)
=
si
R;
(l)eiI
de
Proposición
n+1—j
5.10:
1,2
n—p,
ó
ca
<1> (1)
lo contrario
R~1>
mientras
(i.e.,
—
c
a
en
1e32 y
Cf>
<
k
donde
para
(f)eil,
3(f)eil
tal
que
a ), ejecutar el algoritmo 5.4.
Cf> Cf>
Paso 6: Para cada iteración j
=
=
,
=
n—p+1,n—p+2
n,
mientras R<1>< 1:
r
donde
ejecutar el algoritmo 5.4.
La
complejidad
del
141
algoritmo
5.5
para
obtener
los
u
•
Capítulo 5. Reforzamiento
de cortes válidos
coeficientes c Vjei es 0(nlogn).
Demostración:
El
pá~o
1
ejecuta
el
algoritmo
Quicksort
y,
por
tanto,
tiene
complejidad 0(nlogn),
el paso 2 tiene complejidad •0(logn), el paso 3 tiene
complejidad
los
0(n)
O(nlogn) pues
y
el
paso
algoritmo
4
4.4
y
5
se
conjuntamente
ejecuta
n
veces
tienen
en
complejidad
el peor
de
casos.
los
U
Observación
paso 4
del
5.15: (l>e32 para todo l=n+1—j donde j=n—p+l, n—p-*2
algoritmo 4.3.
Por tanto
el Paso 6
n. Ver
queda simlSlificado
al no
necesitar analizar si (l)sJl.
Observación 5.16: Cada ejecución del algoritmo 5.4 en los pasos 4 y 5 para
la iteración
j
Observación
y
actualiza el coeficiente cC> para 1
=
5.17:
a
c
(l)sJl
ó
c a =
CI) CI)
c
para
Cf> Cf)
(f)eil
entonces
de coeficientes
logrado por
el
algoritmo
5.5 puede mejorarse en caso de contar con un dique 12 de potencial mayor
que
1,
tal
que
ordenación
a
en
=
5
(5.14)
mm
no
<
3S~C
[5 [>1 y
teniendo
a ¿ icS
aparezcan
iteraciones
con
>,
en
sólo
variable x
en
En
.
cuenta
ese
la
caso
variable
se
x
efectua
tal
,
la
que
de forma que el resto de las variables con indices
la ordenación. De esta forma se realizan las
correspondientes
correspondientes
SSJ
a
todas
las
variables,
a índices ieS con i*j. Para estos
por la variable x
J
‘4
U
‘3
u
u
CI)
5.18: El incremento
u
n+l—j.
=c+max{0,k-R>.
CI)
Observación
Si
‘3
‘3
U
‘3
índices
excepto
las
se sustituye
la
‘4
‘3
U
‘3
y se comienza de nuevo el algoritmo.
1
Observación
5.19: Cada dique
sustituye
la
a
restricción
12 en .1 puede producir
SOP
dada
cx
~
k
y- ),
en
una condición
la
que
se
(que
pueden
incrementar,
simultaneamente,
todos los coeficientes correspondientes
a
variables que formen parte del dique y que individualmente puedan ser
incrementados.
142
‘U
U
‘U
‘3
U
U
u
•
•
:
.t
Capítulo 5. Reforzamiento
de cortes válidos
5.4.- REFORZAR RESTRICCIONES TIPO MOCHILA.
5.4.1.— Caso 1: Una restricción tipo cubrimiento como soporte.
Problema:
x(i )
Incrementar
k
5
y.
los
utilizando
coeficientes
como
de
soporte
la
la
restricción
restricción
tipo
tipo
mochila
cubrimiento
y-
x(i)
sk
1
,con
=>0
x(J)
r
1
ax
1.3
x(i)
,
163
yVj6J
,
3jei
y.
y.
x
=>0
1
,donde
.3
a
.3
~ 1 y entero
1
tal que a > 1, .1 ni *0.
.3
y-!
Sea el siguiente problema para cada Ial, donde J
R1rl = Max {x(J y- ) 1 x(J 1 ) 5k 1
(MC)¡
x
,
=
.1 rl
u.!
=1, xe<0,1>’~’
>,
¡
(5.21)
1
y sea el problema general
(MC)
R
Sea Ji
el conjunto
rl
=
Max <XCI
y- ) 1 x(i 1 )
de
5 k
índices
x6<O,1>’~’ >.
,
1
correspondientes
(5.22)
a
las
toman el valor 1 en una solución óptima de (MC), y J2
=
variables
J\J1.
que
Sean los
conjuntos
H=ini
y-
Observación
,
1
A=IÑJ
D=i\J
,
1
y.
5.20: Nótese que cualquier solución óptima de (MC) y de cada
(MC
1) tendrá
x1
=
1
VkA.
Por
tanto,
>0
si
a
k
no
se verifican
las
JEA
hipótesis
de la proposición 5.3.
En este caso el procedimiento
descrito
no
podrá incrementar ningún coeficiente.
En caso contrario
,
sea J
=
J\A
,
k
=
y.
pérdida de generalidad,
Observación
se considerará que A
5.21: Si existe un dique
k
—
y.
>0
a
.
Por tanto,
sin
.3
lEA
= 0.
12 de potencial mayor que 1, tal que
143
j
3S~C, con [S¡
> 1 y SCA, eñtoticesk
k
=
- >0
yJ
1
max < a
—
,
.3
>
jES
u
.J\A.
=
Sea n~¡J[
cero
en
ax 5 k
c~c, y sea a un vector de componente i—ésima a
caso
y-
.
contrario.
La
restricción
tipo
mochila
a
si ial
1
,
y
y-
reforzar
será
n
“U
Sea una ordenación en el conjunto de Indices .1, tal que
‘3
R =Max<ax¡cxsk
ca
Cl>
es decir,
(1>
~c
a>
~c
_
(2) (2)
•
1
=1,xe<0,1>
a
(ti)
situamos primero los índices
en orden no creciente
x
3’
(5.23)
<n>
correspondientes
de sus coeficientes
y-
a
1
y,
a las
variables en
a su derecha,
situamos
(en cualquier orden) los índices en D.
La
descripción
restricción
cx
‘U
El ~Yrograma mochila a resolver para todo í¿i será:
(MC)
.1
a
JEA\5
5
tipo
del
álgoritmo
mochila
ax
s
de
1<y.
incremento
dada
la
de
c¿eficientes
restricción
tipo
de
la
u
u
u
cubrimiento
k es la siguiente:
Algoritmo 5.6:
Paso 1: Ordenar los cóeficientes c a de modo que
.31
c<a
~c
a
k
a
a
1=1
.
CI>
Si Rs
~ k
PARAR. No se puede incrementar
y-I
ningún coeficiente.
Paso 3: Sea c
Paso 4: .11
.12
=
{
u
-~
E
Paso 2: Sea R=
rl
~
= w.
Calcular p
(j)
:
1
5
j < p
U)
: 1
5
j s k
=
argmin
c VjcDu<n+1>
1
si p 5 k
<
‘U
u
‘U
en otro caso
“U
= J\.J1
144
u
‘3
ti
k
Paso 5:R y-1 =Za
CI>
J=1
Paso 6: Para cada iteración j
=
1
n—p+1, donde 1
=
n—p+2
=
c
=
n+1—j hacer:
(1>
R =R
y.’
Paso 7: Para cada iteración j
=
*
n+1—j hacer:
si (lkil
6
c a
(1) CI)
*
mientras R<1> < 1< donde
y-
n,
a
para (f)cJl entonces R~1~= R
Cf) Cf)
rl
en caso contrario ( i.e., (l)eJ2 y [3(f)eJl
t.q. cha>
=
c a
Cf> ir)
k —1
entoncesR CI)
>0
aC>
.1=1
Observación
5.22:
coeficiente a
para 1
(1)
a <1> =a
Observación
que
en
dique
Cada
CI>
=
Se
cada
iteración
se
reordenan
12
CI>
iteración
j
del
algoritmo
5.6
actua iza
el
n+1—j, de forma que
+max<0,k-Ry.
5.23:
a
aplica la
CI>
>
observación
j correspondiente
los
índices
de
5.18 del
a un
forma
apartado SÁ .2,
índice
que
no
1
perteneci ~nte
aparezcan
en
tal
al
la
ordenación los índices ieC, i*l
5.4.2.— Caso 2: Otra restricción tipo mochila como soporte.
Sea el vector x de variables 0—1, y sean las condiciones reforzadas
ax
y-
5
b
(5.24)
ax
5
b
(5.25)
y
donde a
~ O y a
Ej
JI
~ O Vjal y enteros, son los elementos de los
145
‘ectores
Capítulo 5. Reforzamiento
a
y a,
respectivamenté,
tal que BgeJ
y-
con a
y-
yb>Oyb
de cortes
> 1. Ms.!
y.g
con a
1
‘U
válidos
if
> 1,
y
>0.
Se propone a continuación un método de incremento de los coeficientes
de la restrición
tipo mochila (5.24) de manera que la condición resultante
‘U
‘U
‘U
sea equivalente a la inicial y más fuerte.
Para cada variable x, lel, se define el siguiente programa 0—1:
(MM
):
=ay-1 +max
R
>0
‘4
‘4
ax
s.a.
>0
ax
1.3
.3
sb—a
1
II
1, xc <0,1>
1
Es decir,
izquierda de
Vj*l
(5.26)
1
es el máximo valor que puede tomar el término de la
R r,I
(5.24), si x es una solución factible para la restricción
‘4
‘U
‘3
(5.25), tal que x
1= 1.
‘3
Por tanto; la nueva restricción (reforzada) será
ay-xsb
donde los elementos
y-j
rJ
{
(5.27)
~
del vector
ay-1
•
y-.,
a+ max
si j*l
R
<O,b
producirá
no
5.25:
sólo
Dado un dique
sobre
el
.i
(5.28)
>
sí j=l
y-,~
—
Observación 5.24: Puede ocurrir que a
Observación
‘U
tienen la expreston:
a
Mi
y
a rl
Cc.! tal
que
=
coeficiente
O
de
~
1.
lsC,
la variable
el
x
incremento
,
sino
se
sobre
‘3
‘3
‘U
coeficientes correspondientes a variables en el dique 12.
146
Mi
‘4
ti
•
Dado un dique
12,
Capítulo 5. Reforzamiento
para cada variable
x1,
IEC,
de cortes vtlidos
se define el si.~uiente
programa 0—1:
1
(MM
):
>0
+max
=a
r,C,i
r,C,I
jEJ\< 1 >~
~
s. a.
>0
ax
JEJ\<I>
Sb-a
~
>
x= 1, x
j
1
=
II
O VjeC\<l}
x e<0,1>
.3
(5.29)
Vjei\C
Por tanto, la nueva restricción (reforzada) será
ax
y-
5
donde los elementos a
b
(5.30)
VjeJ del vector a
tienen la expresión:
y.
ay-.3
{ :~+
sijgC
max <0,b -R~
y- y-,C,I
si jEC
(5.31)
.1
Observación 5.26: Para unas restricciones dadas r e i, y para un dique
12,
el programa
hecho,
xp
=
(MMv
(5.29)
r,C,I
)
y
se
repite
(MM”
)
[C¡ veces
únicamente
con pequeñas modificaciones.
se
diferencian
en
que
se
De
impone
1 para (MM~y-,C,I ) y x q= 1 para (MM”y.,C,I ) para p,qeC.
Observación 5.27: Para la resolución del problema (5.26) y (5.29) ~e puede
utilizar
el
algoritmo
para
optimización
del
problema
de
la
mochila
descrito en Martello y Toth (1984), (1990).
5.4.3.—
Caso 3: Misma restricción
como soporte
Sea el siguiente problema para el índice pEC. como un caso particular
del problema (5.29),
147
Capítulo 5. Refor±amtento de cortes válidos
u1
u
(S):R~
=max<ax/axsb.x
P
Una
vez
obtenido
R~,
problema para obtener R”
los
coeficientes
ciertas
del
no
siempre
con p*q.
,
vector
circunstancias
=1,xe{O,l>ti>
P
a.
es
(5.32)
necesario
resolver
Sea la ordenación no
Entonces
es
posible
sin resolver el nuevo problema,
un
nuevo
decreciente
determinar
~
de
bajo
para q > p, una vez
obtenido PP. (Ver proposiciones 5.11 y 5.12).
Observación 5.28: ~ < q si a,5
aq.
Proposición
valor
5.11:
Sea
R~
el
óptimo
de
(5
determinar el valor de R~ para q > p
con q sC
•
•
Entonces:
Caso
1: x
=
o
(5.32).
)
Se
,p e 12
p
en la solución óptima x~
,x(C
p
p
u,
del problema (5
con valor
P
óptimoR~.Siademás
entonces R”
+
0s5~a
R~
=
sb—R~,
—a
‘5
len la solución óptima x~ de(S)
=
9
,con valor
óptimo R~.
p
Entonces R9 ~
PP
Demostracion:
Caso 1: x
O en el óptimo x~ para (5 ).
9
p
Dada una solución factible
para el problema (5 )
~aP
sea Nac.l el
,
P
conjunto
de
Entonces,
p
E
índices tales
correspondientes
• N
a
las
solución óptima para
a)
2<p
=
E
,q
p
<s
que leN
Ni
3,
si
p
variables
que
.
y sólo
donde N
,
p
a
es
si x
el
toman
P
ap
=
1
de
valor
uno
el
conjunto
en x
~.
p
O en el óptimo para (Sq)•
*
Entonces
p EN,
‘4
‘4
‘U
“U
‘4
‘3
‘U
ap
índices
en
‘3
‘3
de
si.
)
q
Caso 2: x
trata
p
-
Mi
la
‘4
‘4
‘U
*
~E
.
Como Os
148
‘55
b
—
R~ por hipótesis,
‘U
‘4
Ii
Capítulo 5. Reforzamiento
N
x
a
=
q
a
N
*
p
=1
—
+
<p>
VieN
..
<q> es tal que la solucion x
a
de cortes válidos
con
a
qj
x
u
E
¡
u
•
~
a
Vi~Nia
J
3
9
Veamos
es factible para el problema(s).
q
que esta
solución
función objetivo es ax
a
es
con x
,
óptima
a
para
(5 ).
con
p ~ Ni’
a
Si no es óptima es porque 3 N’* N
9
9
+
Ni’
9
<p>
para el problema (5 ) (a
p
<q>
—
proporciona
s a )
p
la
,
q e N’ que
,
9
proporciona una solución factible, tal que ax’ > axt
En este caso,
en
1.
=
9
9
una solución
ractible
y con mejor valor en la función
q
objetivo que el proporcionado
por Ni * , en contradición
con que Ni *
3,
3,
proporcionaba el valor óptimo.
Por tanto la solución dada por Na es óptima, Nia
¡
3
¡
3
Su valor
9
=
PP
—
a
3,
b)x
+
a
= PP
9
=lenelóptimox
Esto significa
tanto,
+~
4
=
9
N
y
9
c.q.d.
“para(S).
que ~
es una solución factible
para (5
).
pl
y,
por
si es óptima para un problema también lo es para >el otro.
*
Pero eso contradice
la hipótesis de que x
=
O en el óptimo para
(5 ). Por tanto es imposible.
3,
E
u
E
¡
Caso 2: x *
=
1 en el óptimo para (5 ).
9
a) x p•
—
3,
1 en el óptimo x * para (5 9).
Si R” < R9 entonces la solución x
=
que
la
solución
óptima
2<”
para
mejor.
149
no es óptima para (5
),
ya
p
(5 9 )
es
factible
para
(5 3, )
y
• Capitulo 5. Reforzamiento
PP
Si
—
> R” entonces la solución x
de cortes válidos
para (5
)
j
no es óptima por
q
‘U
una razón análoga.
Por tanto
j
=
*
b)x=Oenelóptimox
para(S).
*9
9
Si ~
PP entonces la solución x
no es óptima para (5 ),
9
que la solución ¿ptiina para (5) es factible para (5) y mejor.
—
3,
Por tanto R9
ya
~ PP.
U
PP
=
b
entonces no es necesario resolver el problema para ningún q tal que x
=
1
Corolario 5.lOa: Supuestas las hipótesis de
la proposición 5.11, si
9
en el óptimo para (5 3, ).
Demostración:
Estamos en las hipótesis del caso 2 de la proposición 5.11.
PortantoR~~R3,=b.
por tanto
ComoelproblemaesunS5P,R95bVq~R9=by
no se podrá incrementar
su coeficiente a
resolver explícitamente el problema.
Proposición
determinar
5.12:
Sea
R» el
Entonces R”
.
Así, no es necesario
9
valor
óptimo
de
el valor de R9 para q > p, con p.q
a—a •<b—R3,.
93,
= PP
+
E
U
(5)
(5.32).
Se
trata
12
x(C) s 1, y 0 5 ‘5
de
~.
Demostración:
Dado que p,q
E
12 entonces:
En el óptimo para(S)
p
x
*
=1*
x
3,
por tanto
=0
9
En el óptimo para (5 qq
) x • =1*
Se verifican
*
x *p =0
+
las hipótesis
proposición 5.11 y, por tanto, 1?”
=
PP
‘U
‘U
•150
‘5.
}
del apartado
a) del caso 1 de la
‘U
u
“U
‘U
‘U
‘U
‘U
‘4
‘3
‘3
‘U
u
‘U
‘U
u
u
Capítulo 5. Reforzamiento
Observación
5.29:
Sea JIci el conjunto de índices
de cortes válidos
<1> tal
que x
1 en
una solución óptima para el problema
(S):RMax<ax/axsb,xe<O,1?
Se verifica entonces que R
R
=
(5.33)
>
Vpeil.
p
Observación 5.30: Para la resolución del problema (5.32) y (5.33) se puede
utilizar
el
algoritmo
para
optimización
del
problema
SSP
descr ito
en
Martello y Toth (1988), (1990).
5.5.- IDENTIFICACION DE CLIQUES MAXIMALES.
Problema: Dada una condición tipo mochila
Sax
jEJ
~b
(5.34)
~
identificar todos los diques maximales inducidos por ella.
Sea una ordenación en el conjunto de índices 3, con na [3,
a
Cl)
a.
Para cada índice j
~ij)=
mm
E
Cn>
< 1
n
< k 1 lsk=n , a .3
+
tal que
sb
(5.35)
se define
ak > b
,
con jtk >
(5.36)
n+1, en otro caso
Obviamente si ~«j) = n+1. la variable x
no
*
*
trivial
implicado
por
~ij) n+1), el conjunto 12(j)
Proposición
5.13:
Sean
la
=
E
i.j
condición
.3
no
pertenece
(5.34).
En
a ningún dique
otro
caso,
(i.e.,
<j> u { k ¡ k ~ ~«j)> define un dliquei
<
1
n
~(j) n+l. Entonces
(b)~«i)=7(j)siysólosia+a
j
?CI>—1
sb.
151
> dos
índices
tales
que
<
j
y
Capítulo 5. Reforzamiento
Mi
Mi
‘3
de cortes válidos
Demostración:
Ver Dietrich, Escudero, Garín y Férez (1993).
1
A
partir
de
este
resultado
es
posible
obtener
todos
los
diques
u.
maximales inducidos por la condición (5.34) sin repeticiones.
‘3
‘3
Algoritmo 5.7:
Paso 1: Ordenar
lós
coeficientes
de
la
condición
mochila
en
orden no
decreciente, de modo que
a
=...Sa
Sa
(1)
(2>
a
sb
Ci,)
Mi
‘3
‘U
Paso 2: Calcular r(n) según la expresión (5.36).
Sea h
Si h
=
mm
< n, 2(n) >
n PARAR. No existe ningún dique no trivial inducido por
=
+
la condición mochila dada.
Paso 3: Sea g = mm < k ¡ hsksn,
ak
Paso 4: Se define el dique 12(h)
<h> u { k /k ~ g
Paso 5: Si g
=
ah> b
}
>
h+1 PARAR. Se han identificado todos los diques maximales.
=
En caso contrario hacer h
Paso6:Sig=h+1
ó
a
+a
1’
Paso 7: Hacer g
=
=
‘3
h+l.
sbiralpaso4.
u
g—1
g—1 e ir al paso 6.
5.6.- EJEMPLO ILUSTRATIVO.
Sea el grafo dirigido O
precedencias
1’
(11,11)
=
tal
y II es cerrado transitivamente
de nudo auxiliar,
(V,A) de la figura 5.1, y sea el digrafo de
que
<(5,6),(6,7),(7,S),(7,4),(4,2)j10,8)>
(ver figura 5.2). El nudo 1 hace
y, por tanto, (l,vÑfl VvcV.
152
S
TI
las veces
‘3
‘3
‘3
u
‘3
u
u
u
1
E
1
E
¡
¡
1
¡
Cap itulo 5. Re forzamiento
de cortes
aálidos
u
¡
1
¡
1
¡
¡
¡
1
¡
1
u
Figura 5.1
TI
77¾
clausura transitiva de
4-~ 2
10—4
8
Figura 5.2
La arborescencia de mínimo peso en el graf o G es:
1
—
8
9 —e 10
2 —.43—e 11
4—~ 5
L—*
7
La precedencia
6
(58) es violada por esta solución.
Se obtiene asj
el corte
de tipo 1;
x 89 +x 910
+x
102
23
+x
311
+x
+x
114
153
46
+x
46
+x
47
s6
(5.37)
2
CapItulo 5. Reforzamiento
Para
la precedencia
(5,6),
también
violada, se
de tipo 2:
x 18 +x
89
+x 910 +x
Siguiendo
el
por tanto,
corte
se
(5.37)
resuelve
el
habría
como
introduce el
multiplicadores
de
nuevo
+~
+x 23 +x 311 +x 114
el algoritmo 5.1,
utilizando
los
102
que tratar
soporte.
corte
(538)
Lagrange
problema
46
obtiene
+x
46
caso
cuya
el corte
no
solución
cortes,
la
se
siguiente
arborescencia:
6
La precedencia
(5,2) es violada por esta solución.
Se obtiene así
el corte
de tipo 2:
x
23
+x
+x
311
como existe k
=
114
+x
+x
46
4 tal que
+x
46
47
5—* 6—
53
(5.39)
7—.* 4—* 2
en TI, se verifican las
hipótesis del corolario 4.la. Se obtiene así el corte reforzado
x
23
+x
+x
311
114
+x
+x
46
+x
46
52
(5.40)
47
89
+x
910
(5.41)
En este caso el corte obtenido es un dique.
(5.37) utilizando como soporte el corte (5.40).
Siguiendo el algoritmo 5.2,
D
R’=
,
[A[
3
,
[Ej
[A¡ +Min<k,
=
9
,
k
=
2
[E¡ >=5<6
•
k
=
VlsJ
154
6
Intentemos
reforzar
Mi
Mi
‘U
a
u
u
u
u
‘U
u
La precedencia (10,8), también violada, proporciona el corte de tipo 1
x
u
u
u
y,
de estimar
dos
es
(5.38)
es posible,
Después
a estos
corte
(5.38)
+x 47 57
sin reforzar.
correspondientes
válidos
el siguiente
de reforzar
En este
relajado,
de cortes
9
el corte
‘U
‘U
‘Mi
‘3
u
u
¡
•
Capítulo 5. Reforzamiento
Se obtiene
de cortes válidos
así el corte reforzado tipo mochila (incrementando
coeficientes
en las variables del dique (5.41), según la observación 5.6)
2x 89 +2x
El corte
corte
311
+,c 114 +x 45 +x
(5.38), de tipo cubrimiento,
como soporte
el
+x ¡02 +x 23 +x
910
el cubrimiento
(5.42),
+x
46
47
s6
(5.42)
no se podía reforzar ut ¡lizando
(5.37). En cambio, si utilizamos como soporte
reforzamiento
del
corte
(5.37),
que
es
una
cóndición
mochila, y se aplica el algoritmo 5.5,
Paso 0: [A[
1 4k y.
=
k
=
1
-
=
6
Paso 1: Se ordenan los coeficientes, de forma que
(6)=46
Paso 2: p
(7)=47
Paso3:A=O
0
5
Paso 4: A6
(9)=910
O
=
A
(8)=89
=5
5
ki < A7
A=1
1
A=2
2
A=3
3
A=4
4
A
A
A =9
A
=6
6
4
a
=
7
=7
8
9
=11
6. Según el algortimo 5.3 se obtiene:
R=6
32
=
<(7), (8). (9)
Paso 5: Aplicando el algoritmo 5.4 para 1
a
R<~ =>0c
1=1
(1)
+c
=
(9) y 1
=
(8) se obtiene
415<6k
y.
(8)
R
=5<6
Portantoa’
=c
C9>
+(6—5)=2,a’
C9>
=c
(8)
(8)
Por otra parte,
R (7) =R (6) =R CS> =R
Obteniéndose
el
corte
(tipo
(4)
=R (3> =R
mochila)
155
C2) =R Cl)
reforzado
=6~k
siguiente
y(incrementando
‘3
coeficientes en las variables del dique (5.41))
x
18
+2x
+2x
89
+x
910
Intentemos
+x
¡02
ahora
+x
23
+x
311
reforzar
+x
114
+x
46
la condición
+x
46
mochila
s7
(5.43)
47
(5.43)
utilizando
u
el
cubrimiento (5.40) como soporte (algoritmo 5.6).
Paso O: A
18, 89, 910, 102>
= <
.1
J\A
=
k
,
=
k
y.
—
a
6 < 7
=
=
k
Por tanto
.3EA~
1
=
6
>0
.
y.
Paso 1: Se ordenan los coeficientes, de forma que
(1)
=
23
(2)
=
311
(5)
=
46
(6)
=
47
Páso2:R
1
=
y-l
~
k
(3>
=
114
(4)
=
45
y-
Por tanto no se puede incrementar ningún coeficiente.
Sin
embargo,
utilizando
la
restricción
tipo
dique
(5.41)
según
la
observación 5.21, el paso O pasa a ser
Paso 0: .1
=
J\A
YportantoR
y-!
,
k
r
=
=1<k
k
y.
-
2
-
2
=
3
y-
Así, aplicando el algoritmo, se obtiene la siguiente condición reforzada,
x
18
+3x
89
+3x
910
+x
102
+x
23
+x
311
+x
+x
114
46
+x
46
+x
47
57
(5.44)
que sustituye a la condición tipo mochila (5.43).
Estimando
calculando
la
los multiplicadores
solución
del
de Lagrange
nuevo
problema
de todos
estos
relajado
se
cortes
y
obtiene
la
óptima
del
arborescencia
1
5
que no
6—* 7
viola ninguna
4
10—.4 2—
restricción
8
9
3—* 11
y es, por tanto,
problema.
156
la solución
‘U
‘U
Mi
‘U
‘U
‘U
‘3
‘U
‘3
‘U
‘U
‘U
‘U
‘U
u
u
Apéndice 1
Descomposición de Benders
1.- INTRODUCCION
E
u
u
En la práctica,
lineal
son
actuales.
las dimensiones de muchos problemas de progr’amación
demasiado
El
tipo
grandes
para
técnica
desarrollada
de
ser
resueltos
por
con
Benders
los
ordénadores
(1962)
permite
resolver problemas de grandes
dimensiones en aquellos cajos en los que se
pueda
identificar
un
de condiciones
gran
dificultad.
Para
conjunto
de
conjunto
ello
condiciones
se
utilizará
(denominadas
cuya
cierta
resolución
dualización
condiciones
estructura general no va a ser explotada.
Sea el siguiente problema (P) de programación lineal:
*
z
mm
cx
s. a.
Ax
xeX
=
b
= {
x
:
Dx
5
d,
x ~ O
>
157
no
ofrezca
del
difíciles)
otro
cuya
Apendice 1.
donde
c
es
condiciones,
el
b
vector
de
d
correspondientes
y
los
vector de variables,
que
X es
un
dondiciones
coeficientes,
A
Descomposición
y
D
términos
son
las
de Benders
matrices
independientes
todos ellos con las dimensiones apropiadas.
conjunto
difíciles,
no
y
vacío y
X el
acotado.
conjunto
Sea Ax
de soluciones
=
b
el
y
x
de
el
Se supone
sistema
U
U
‘U
de
que puede obtenerse
U
de forma simple, bien porque está definido por subsistemas independientes
con dimensiones relativamente pequeñas, o existen algoritmos polinomiales
para su obtención, o cualqúier
otra razón que perniita su consideración
de
forma explícita.
2.- ESQUEMA GENERAL EN LA DESCOMPOSICION DE BENDERS.
Sea CD) el problema dual del problema (F):
-
z=maxwb+vd
s.a.
wA
+
vD
U
‘U
‘U
‘U
Sc
vSO
donde w y y son vectores de variables con las dimensiones apropiadas.
‘U
?ara una realización del vertor w, sea el problema (D) :
z
w
=
wb +max vd
s.a.
yO
c—wA
5
vsO
U
‘U
‘U
Por tanto el problema CD) se puede escribir de la forma siguiente:
=
max z
=
max wb +max vd
s.a.
vD
5
c—wA
v50
Utilizando
argumentos
simples
de teoría
siguiente formulación para el problema CD):
*
z
=
max wb lin
(c-wA)x
de
la dualidad,
resulta
la
U
u
XEX
158
‘3
U
u
E
•
Apendice 1.
Descomposición
de Benders
Dado que el conjunto X es no vacio y acotado, resulta
(c—wA)x ¡ xEX > para un w dado es un punto
óptimo para el problema < mm
extremo
de
X.
Sea T
=
x,
<
que él punto
x,.
. .
,x
el conjunto
>
(finito) de’ puntos
extremos de X. Por tanto el problema (D) se puede reescribir como
+
*
z
y,
=
en
max wb
w
forma
mm
<
.3=1,2,.
explícita,
..t
el
(c—wA)x
problema
(D)
es
equivalente
al
denominado
Problema Maestro (PM)
max z
s. a.
z
5
wb
+
Vj
(c—wA)x
=
.3
donde z es la variable a maximizar.
.
Sea
(z ,w
*
su correspondieñie
)
valor
óptimo.
Dado que el número
grande
no
sería
de puntos extremos de X puede ser finitamente
t
práctica
la resolución
explícita
del
problema
(PM).
Sin
embargo, empíricamente se observa que una gran mayoría de las condiciones
en
S~
(PM) se
de
satisfacen
puntos
suficientes
con desigualdad
extremos
para
resolver
relajado
tal
cuyas
el
estricta.
Así,
correspondientes
problema;
es
existe
condiciones
decir,
existe
un
conjunto
en
(PM)
son
un
problema
*
,
maestro
considerando
un
que
subconjunto
obtiene
de
el
mismo
condiciones
vector
(i.e.,
puntos
óptimo
(z ,w
extremos)
del
problema maestro.
Sea (PMR) una relajación de este tipo para un número determinado, sea
t, de puntos extremos en
max z
s.a.
z ~ wb
+
(c—wA)x
Vj
=
1,2,..., t
,
t
5
.1
Sea (z,w) la correspondiente solución óptima.
159
t
u
•
•
.
•
Apendice 1.
Descomposición
de Benders
11
1
‘U
Observación 1: z es un límite superior para z.
—
*
Observación 2: z
z si y sólo si (z,w) satisface también las condiciones
=
en • (PM) que explícitamente no se han incluido en (PMR).
Observación
3: z
u
< z si hay alguna condición en (PM) y, obviamente,
no
‘U
en (PMR) que sea violada por el vector (z,w).
Para comprobar que todas las condiciones en (PM) son satisfechas por
el vector (z,w), es decir, para comprobar la condición
o su equivalente
z
5
wb
z
5
wb
+
+
Cc—wA)x
mm
Vj =1,2
t
< (c—wA)x >
.1=1
t
U
‘U
‘U
es preciso resolver el siguiente problema auxiliar (PA):
=
wb
+
mm
‘U
< (c—wA)x >
xEX
donde x recoge el punto extremo correspondiente a la condición en (PM) con
U
el menór valor en el témino de la derecha. Sea dicho valor z, tal que si
U
z
=
E~•• entonces E
+
=
zi
En casó contrario (i.e., z > z
óptimo x en (PA), sea x
z s wb
(c—wA)k
,
)
al menos el punto
corresponde a una condición violada en (PM), sea
que kes preciso añadir a (PMR).
U
k
Dado que
iterativamente
t
es un . número finito, el algoritmo que consiste en resolver
los problemas (PMR) aumentado y (PA> converge en un número
finito de iteraciones.
Observación
4: Aunque se añade una condición al problema (PMR) en cada
iteración, sería fácil instrumentar un esquema en él que se eliminasen
condiciones que de una forma repetida sean fuertemente satisfechas,
evitando siempre el problema del zig—zag.
Observación
5:
Dada
la
estructura
de
las
condiciones
que
definen
160
u
‘U
el
conjunto X, un paso crucial en los algoritmos basados en la descomposición
de Henders es la rapidez con la cual debe resolverse el problema (PA).
‘3
‘U
‘U
‘3
u
u
Apendice
1.
Descomposición
de Benders
3.- VARIABLES DUALES EN EL PROBLEMA MAESTRO RELAJADO.
El problema (PMR) puede también expresarse de la forma siguiente:
max wO
s.a.
donde
O
+ + 5
z
w(Ax -b)
z
j
es
Vj=1,2
el
vector
Vj
cx
nulo,
y
el
1,2
=
punto
t
,
t s t
extremo
x
.3
se
supone
‘:onocido
t
Algebraicamente, el problema puede escribirse como
{
max (0, 1>
W]
s. a.
(
J{
(Ax-b) t
.3
wtj
5
.3
Sea (PDMR) el problema dual de (PMR), con la siguiente expresión:
z
=
mm
>0
.3
(cx )X
.3.3
s. a.
I
donde
1
variable
x
Ax-b ]A=
es un
dual
vector
lo]
de unos y
de la condición
A es el vector
dual
en (PMR) correspondiente
tal que
XI
es la
al punto ktremo
.3
El sistema de condiciones en (PDMR) también puede expresarse a mo
>0(Ax)X
.3.3
.3
>0A =1
A ~O
.3
bEA =b
.3
.3
Vj
=
1,2
t
de donde resulta
161
u
Apendice 1.
Descomposición
de Benders
1
u
=
>0
mm
.3
‘3
c(xA)
.3.3
u
s.a;
.3
A ~ Cx A)
>0X =1
Cuando
U
=
E
se tiene que el vector que da la solución óptima del
,
problema dual al (PM), y por tanto
vector
x
resultante
en X activos
la solución al problema original, es el
de la combinación
lineal
de los puntos
extremos
x1
en el (PMR), tal que los coeficientes de ponderación
‘U
‘U
U
son
los valores de las variables duales de las condiciones del (PMR).
Así, en general se verifica que
~ ;,
con
=
~ la solución óptima para el problema
,
.3 _
original se alcanza cuando z
*
=
z
z, en el punto
X = >0
.3
Finalmenté,
descomposición
es
de
oportuno
Henders
destacar
es
que
la
independientemente en Dantzig y MTolfe (1960).
el
P
u
x A
.3.3
esquema
descomposición
‘U
primal
de
la
introducida
U
U
u
u
u
‘U
u
162
‘U
u
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