maqueta MAPA Herramienta Didáctica – 10

DOCUMENTO DE TRABAJO Nº.10
Estadistica
ASIGNATURA
CÓDIGO
REQUISITO(S)
OBLIGATORIA/LECTIVA
ANUAL/SEMESTRAL
DIURNA/VESPERTINA
TEÓRICO-PRÁCTICA/PRÁCTICA
CARÁCTER
PLAN DE ESTUDIO
HORAS SEMANALES
II. Aprendizajes Esperados:
Definir Variables aleatorias y su distribución.
1. Identificar Variables aleatorias y su distribución, Tipos de variables aleatorias
2. Diseño de función de probabilidad y de distribución, variable aleatoria discreta.
3. Cálcular e interpretar: la esperanza, y la varianza
III. Síntesis esquemática de Contenidos
IV. Actividades ( individuales o grupales)
1)
Se observó que el 40% de los vehículos que cruzan determinado puente son camiones
comerciales. Cuatro vehículos van a cruzar el puente en el siguiente minuto.
a)
Determinar la distribución de probabilidad para el número de camiones comerciales entre
los cuatro, si los tipos de vehículos son independientes entre sí.
b)
Determinar las funciones de distribución a F(x) .
c)
Representar gráficamente.
2)
Los registros de ventas diarias de una empresa fabricante de computadoras muestran que
se venderán 0, 1 ó 2 sistemas centrales de cómputo con sus probabilidades según la tabla:
Número de ventas:
0
1
2
Probabilidad:
0,7
0,2
0,1
a)
Determinar la distribución de probabilidad del número de ventas en un período de 2 días,
suponiendo que las ventas son independientes de un día a otro.
b)
Calcular la probabilidad de que al menos se formalice una venta en un período de 2 días.
3)
En una caja hay 10 bolitas blancas y 15 azules. Se extrae una muestra eligiendo al azar
sucesivamente, sin reposición, 3 bolitas. Sea la variable aleatoria X = cantidad de bolitas blancas en
la muestra.
a)
Determinar el recorrido de la variable X y la función de probabilidad.
b)
Calcular la probabilidad de que se elijan a lo sumo 2 bolitas blancas.
c)
Si se sabe que se eligieron a lo sumo 2 bolitas blancas, ¿cuál es la probabilidad de que se
haya elegido exactamente una blanca?
4)
Dada la siguiente función de distribución a izquierda, determinar la función de
probabilidad puntual.
 0 x0
0,040  x  1

F(X)  
0,361  x  2
 1 2  x
Ejercicio 1:
Se lanzan dos dados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados
haya salido un tres?
Solución
Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".
a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A) = 6/36=1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que
esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
Ejercicio 2:
Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(
)=0.58.
a. ¿Son independientes A y B?
b. Si M
A, ¿cuál es el valor de P(
/
)?
Solución
a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A
P(
Por tanto,
Por otro lado,
P(A
) = P[(A
B) = 1 - P(
A
B)c] = 1 - P(A
B)
) = 1 -0.58 = 0.42
P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42
Luego, A y B son independientes, pues
b. M
B ) = P( A ) · P( B )
P( A
B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42
. Por tanto,
Ejercicio 3:
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el
60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre
el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se
averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en
un día, un autobús sufra una avería.
Solución
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema
de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto,
tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =
= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =
= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
Ejercicio 4:
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4.
El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%,
respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%,
7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se
encuentre defectuosamente envasado?
Solución
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede
proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad
total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =
= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
Ejercicio 5:
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola
blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a
continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que
en la urna queden una bola blanca y otra negra?
Solución
Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden
verse las configuraciones posibles de las urna, después del lanzamiento de las monedas y las urnas
finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en
el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:
P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) =
= 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½
Ejercicio 6:
Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2
bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas
blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas
blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas
y sacar la bola?
Solución
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la
urna y, después, a la extracción de la bola.
La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que
terminan en sacar bola blanca.
P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) =
= 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4 = 13/20
Ejercicio 7:
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del
3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido
producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Solución
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema
puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto:
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad
de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando
el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
Ejercicio 8:
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas
rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es
la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden
verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres
urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
V. Evaluación de la actividades
VI. Síntesis de los contenidos :
VARIABLE ALEATORIA
OBJETIVOS:
TEMAS:
1. Variable aleatoria discreta, Función de probabilidad, y de distribución de una variable
aleatoria discreta ejemplos.
2. Cálculo e interpretación de la Esperanza, Varianza, ejemplos
Variables aleatorias.
Introducción
Una variable aleatoria es toda ley que asocia a cada elemento del espacio muestral un
número real. Esto permite sustituir los resultado de una prueba o experimento por números y los
sucesos por parte de conjunto de números reales. Una variable aleatoria presenta dos
características importantes:
Variables aleatorias y su distribución
1) Una colección (conjunto) de valores posibles al que llamamos imagen de la variable aleatoria
(antes lo llamábamos espacio muestral).
2) Una probabilidad asociada a los posibles resultados la cual queda expresada mediante una
función de probabilidad.
Tipos de variables aleatorias
Las variables aleatorias que tienen un conjunto de posibles valores discreto, se llaman
discretas. Estas variables son el resultado de contar .
Por otra parte, las variables aleatorias cuyos valores posibles se encuentran en cualquier
parte de un intervalo, se llaman continuas. Estas variables son el resultado de medir.
Denotamos con letras mayúsculas a las variables aleatorias y con minúsculas a los valores
que contemplamos para ellas.
Variables aleatorias discretas.
Sabes que esta variable nace de contar los resultado, es decir es contable, podemos
definir:
Función de Probabilidad f(x): Consideremos una v.a. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn.
Supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, esto es:
P(X=x1) = p1 , P(X=x2) = p2, P(X=x3) = p3, ..., P(X=xn) = pn, en general P(X=xi) = pi para todo i =
1,2,....,n
La función de probabilidad f(x) de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la
variable su correspondiente probabilidad pi.
f : IR 
x 
IR
f ( x)
tal que
f ( x)  P( X  x)
Es decir, si P(X = xi ) es una función de probabilidad, y debe cumplir con:
1. 0 < P( X = xi ) < 1 para todo i = 1, 2, 3, ..., n. P(x) es una probabilidad, y por lo tanto debe
tomar valores entre 0 y 1.
 P( X  x )  1 es decir la suma de probabilidades repartidas entre todos los valores de
2.
i
la variable debe ser igual a 1.
Función de Distribución F(x): En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad
de que la v.a. X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome
valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos
valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación
llamada función de distribución.
Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a
mayor. Se llama función de distribución de la variable X, y se simboliza por F(x), a la
función
F : IR  IR
x  F ( x)
tal que
F ( x)  P( X  x)
es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la
probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a xi).
Propiedades
1. F(x) es una probabilidad por lo tanto 0  F ( x)  1
2. F(xk) = 0 para todo x < xk
3. F(xk) = 1 para todo x > xk
Esperanza, Varianza.
Esperanza o media:  
n
 x P( X  x )
i
i !
Varianza:  2 
n
(x
i !
i
i
 x) 2 P( X  xi )
Desviación Estándar  
n
(x
i 1
i
 x ) 2 P ( X  xi )
Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión, de tal
manera que cuanto menores son estos dos parámetros más agrupados se encuentran los
valores de la distribución entorno a los valores centrales. Por contra, para valores grandes
de la varianza o la desviación típica los datos de la distribución se encuentran muy
dispersos.
Ejemplos:
1) Sea el espacio muestral , definidos por eventos en forma de tripleta ordenado. Determine al
sacar un suceso de  y observar la cantidad de p :
( p, p, p ) ( z , z , p )

=
a) Función de probabilidad a través
de una tabla
( z , p, z )
( p, q, z ) ( q, q, p ) ( p, z , q )
( p, q, p ) ( p, z , z ) ( p, p, z )
( p, q, q )
( z , p, z )
b) P(X  2) y la P(1<X) tal que
X: cantidad de p
( p, z , q )
c) ¿Cuál será el valor esperado y
la varianza.?
Definimos la v.a. como X: cantidad de p, luego
X
f
P(X=x)
F(x)
0
0
0/12
0
1
9
9/12
9/12
2
2
2/12
11/12
3
1
1/12
1
n = 12
1
Para determinar el valor esperado o la media utilizamos la formular dada
   xP ( X  x)  0
0
9
2
1 86
 1  2  1   7,167
12 12 12 12 12
Para la varianza se tiene que
 2   ( x  x) 2 P( X  x)  (0  1,333) 2
0
9
2
1
 (1  1,333) 2  (2  1,333) 2  (3  1,333) 2
12
12
12
12
 0,389
Obviamente que la desviación estándar será
  0,389  0,624
2) Por ejemplo si lanzamos 3 monedas al aire y a cada posible resultado de los que hay le
asociamos el número de caras obtenidas tenemos la siguiente variable aleatoria discreta:
CCC
3
CCS
2
CSC
2
SCC
2
CSS
1
SCS
1
SSC
1
SSS
0
Con la notación P(X = xi ) indicamos la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi.
En el ejemplo anterior de las monedas se tiene:
VII. Glosario
Links de interés