física - Universidad Miguel Hernández

Curso 2009/10
FÍSICA
CURSO PAU25
UNIDAD TEMÁTICA V. GRAVITACIÓN
1.- ÍNDICE.
1.1.- Concepto de campo gravitatorio.
1.2.- Ley de la gravitación universal.
1.2.1.- La constante de la gravitación universal, “G”.
1.3.- Potencial gravitatorio.
1.4.- Energía potencial gravitatoria.
1.5.- Aplicaciones al estudio del movimiento de planetas y satélites.
1.5.1.- Ley del Inverso del cuadrado.
1.5.2.-Velocidad de escape
2.- INTRODUCCION GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA
EL ESTUDIO.
En este tema introduciremos el concepto de interacción gravitatoria,
expondremos la Ley de la gravitación de Newton, que nos permitirá estudiar
el universo como un todo. Introduciremos de modo superficial el concepto
de campo, para que podamos entender la idea de acción a distancia entre
cuerpos.
Además
recomienda
el
de leer tranquilamente los puntos desarrollados, se
ir
tomando
nota
de
las
fórmulas,
ya
que
están
interrelacionadas unas con otras. Los ejercicios desarrollados y el
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formulario escrito por cada uno, serán las herramientas necesarias para
hacer los ejercicios de autocomprobación.
3.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Saber calcular problemas con la ley de la gravitación de Newton.
Conocer la constante de gravitación Universal “G”, y saber que es “g”.
Conocer el concepto de velocidad de escape.
Ir comprendiendo el concepto de campo
4.- DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS.
4.1.- Concepto de campo gravitatorio.
Todo el mundo sabe que los objetos caen debido a la gravedad, Newton no
descubrió la gravedad, lo que descubrió fue que la gravedad era universal,
es decir que todos los objetos del universo se atraen.
Así que la misma fuerza que hace caer una manzana madura, mantiene a la
luna en su órbita, y que, la luna y la tierra giren alrededor del sol es debido
a la gravedad.
Al jugar con limaduras de hierro y un imán, se produce un campo magnético,
que es un campo de fuerza que rodea al imán.
Pues la clase de campo de fuerza que rodea a los objetos masivos: es el
campo gravitacional.
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El campo gravitacional de la tierra se puede
representar por medio de líneas de campo
imaginarias. Como en el caso de las limaduras de
hierro alrededor del imán, las líneas están más
juntas donde el campo gravitacional es más
intenso. Las flechas muestran la dirección del
campo.
La intensidad del campo gravitacional de la tierra es la fuerza por unidad de
masa que ejerce sobre cualquier objeto. El campo gravitacional está
definido por: g 
F
m
Usamos el mismo símbolo que el de la aceleración debida a la gravedad
porque el campo gravitacional es igual a la aceleración que experimenta un
objeto en caída libre, cuando sobre él sólo se ejerce la fuerza de la
gravedad. Cerca de la superficie de la tierra la intensidad del campo
gravitatorio es: g 
F 9,8 N
m

 9,8 2
m
kg
s
Por tanto en la superficie de la tierra, la fuerza gravitacional que se ejerce
sobre un objeto es su peso, es decir, la atracción gravitacional entre la masa
“m” del objeto y la masa de la tierra, “M”, la distancia entre los centros de
masa es el radio “R” de la tierra. Sustituyendo estos valores (m1=m, m2=M,
d=R) en la ley de la gravitación universal y dividiendo entre m tenemos:
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  mH 
 G 

GM
F   R2    1 
g 
:   , resolviendo queda la expresión: g  2
 m
R
m 
m




Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de la órbita del
transbordador espacial, a 400 km por encima de la superficie terrestre?
Como nosotros sabemos la aceleración a 
F
y F viene dada por la ley de la
m
gravitación de Newton:
a
F

m
MT
)
r 2  GM T
m
r2
Gm(
La distancia r está relacionada con el radio de la tierra RT y la altura h:
r  RT  h  6370km  400km  6770km
Por tanto la aceleración buscada será:
a
GM T

r2
Nm 2
)(5,98  10 24 kg )
2
m
kg
 8,70 2
2
(6770km)
s
(6,67 10 11
Podemos ver que el valor numérico de “g” en la superficie de la tierra
depende de la masa de ésta y de su radio. Si la masa ó el radio de la tierra
fuesen distintos, “g” tendría un valor diferente sobre la superficie.
Conociendo la masa y el radio de un planeta cualquiera puedes calcular el
valor de “g” correspondiente.
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Ejercicio de aplicación directa:
Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Júpiter. La
masa de Júpiter es 1,9 · 1027Kg y su radio 6,98·107m. ¿Qué relación tiene
con la de la tierra?
g G
M
6,67·10 11 ·1,9·10 27
N 26,01
;
g

 26,01
;
 3veces
2
7 2
R
(6,98·10 )
Kg 9,81
4.2.- Ley de la gravitación universal.
“Todos los cuerpos se atraen entre si con una fuerza directamente
proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ellos”.
Cuando decimos que es directamente proporcional al producto de sus masas,
significa que cuantos mayores sean las masas mayor será la fuerza de
atracción que ejercen una sobre otra.
Y al decir que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
existe entre ellos, queremos decir que cuanto más alejados estén los
objetos, menor será la fuerza de atracción que ejercen uno sobre el otro.
Expresando esta ley en símbolos: F 
m1  m2
siendo:
d2
m1=masa de un objeto
m2=masa del otro objeto
d= distancia que separa sus centros de masa.
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4.2.1.- La constante de la gravitación universal, “G”.
Podemos expresar la proporcionalidad de la ley de la gravitación universal
como una ecuación exacta introduciendo la constante de la gravitación
universal “G”, quedando entonces la ecuación: F  G
m1  m2
d2
Así la fuerza de gravedad que se ejerce entre dos objetos se encuentra
multiplicando sus masas, dividiendo el producto entre el cuadrado de la
distancia que separa sus centros y luego multiplicando el resultado por la
constante “G”.
La magnitud de “G” está dada por la magnitud de la fuerza entre las masas
de 1 kg separadas por una distancia de 1m:
G=6,67 ·10-11 (N·m2)/kg2
Esta constante fue medida por un físico ingles Henry Cavendish, mucho
tiempo después de Newton, utilizando una balanza de torsión.
Ejemplo de aplicación:
Sabiendo que R=6,37·106m y que G =6,67·1011Nm2/kg2, calcular la masa de la
tierra.
F G
m1  m2
M  m2
M  m2
; F G
;ma  G
2
2
R
R2
d
M g
R2
 5,96 10 24 kg
G
4.3.- Potencial gravitatorio.
Es la cantidad de energía que posee un objeto elevado siendo igual al
trabajo realizado contra la gravedad para llevarlo a esa posición.
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4.4.- Energía potencial gravitatoria.
Para elevar objetos contra la gravedad terrestre se requiere trabajo.
Es la energía potencial debida a que un objeto se encuentra en una posición
elevada.
El trabajo realizado es igual a la fuerza necesaria para moverlo hacia arriba
por la distancia vertical que recorre. (W=F·d).
La fuerza necesaria (si el objeto se mueve con velocidad constante) es igual
al peso del objeto mg, por lo tanto el trabajo realizado al levantar un objeto
hasta una altura h está dado por el producto mgh:
Energía potencial gravitatoria = peso x altura
Energía potencial Ep= mgh
Podemos deducir 3 cosas:
1.- El trabajo sólo depende de las posiciones inicial y final que tenga el
objeto a desplazar:
Así pues: W  mgh2  mgh1
Siendo h1= posición inicial
Siendo h2= posición final
2.- La energía potencial de un cuerpo en la superficie de la tierra es nula.
3.- Afirmamos que cuando un cuerpo se encuentra a cierta altura sobre la
superficie de la tierra posee energía potencial, cuyo valor es:
Ep  mgh
Por lo que la altura h, es la distancia recorrida hacia arriba desde cierto
nivel de referencia, como la superficie de la tierra. La energía potencial mgh
es relativa a dicho nivel e inicialmente depende de mg y de la altura h, no
dependiendo de la trayectoria seguida para elevar el objeto hasta una
posición elegida.
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4.5.- Aplicaciones al estudio del movimiento de planetas y satélites.
Para entender que la gravedad se reduce con la distancia imaginamos
que tenemos en nuestro poder una pistola de mantequilla y que queremos
untar tostadas, a una determinada distancia.
Si la abertura del cañón de la pistola es cuadrada, suponemos que se
deposita una capa uniforme de mantequilla de 1mm de espesor.
Si colocamos las tostadas dos veces mas lejos de la pistola de
mantequilla, al extenderse la mantequilla por una distancia dos veces mayor,
cubrirá el doble de tostada en la dirección horizontal. Como la mantequilla
se ha extendido para cubrir un área cuatro veces mayor (porque ha cubierto
4 tostadas), el espesor de mantequilla se reducirá en un cuarto del anterior
es decir 0’25mm.
Cuando se aleja 3 veces más, se extiende para cubrir 3 x 3, o sea, así el
espesor de la mantequilla será de 1/9 del espesor original.
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4.5.1.- Ley del Inverso del cuadrado.
Esta ley nos habla sobre la disminución de la intensidad de la gravedad con
la distancia.
Como en el ejemplo de la mantequilla: Cuando una cantidad varía como el
inverso del cuadrado de la distancia a su origen.
Cuando mayor sea la distancia a la que una manzana por ejemplo se
encuentra del centro de la tierra, su peso será menor.
Pero por más que nos alejemos de la tierra, nuestra gravedad nunca
se hace cero.
Por más pequeño que sea un objeto y por más alejado que se
encuentre, su influencia se ejerce por todo el espacio.
La tierra es redonda debido a la gravitación. Puesto que todos los
objetos se atraen mutuamente, cualquier “esquina” que pudiera tener han
sido aplastadas, siendo una gigantesca esfera.
Si todo objeto tira de todos los demás, entonces los planetas tiran
unos de los otros.
Un ejemplo. La fuerza total que determina el movimiento de Júpiter
no proviene únicamente de su interacción con el sol, sino también de una
interacción con los planetas.
Cuando el planeta saturno se encuentra cerca de Júpiter, su atracción
altera la trayectoria de este. Ambos planetas se desvían de sus órbitas
normales. Esta desviación se conoce como perturbación.
A mediados del siglo pasado el planeta Urano presentaba unas
inexplicables perturbaciones que tenían desconcertados a los astrónomos,
creían que la ley de la gravitación estaba fallando a esa enorme distancia del
sol.
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La fuente de las perturbaciones de Urano fue descubierta en 1845
por dos astrónomos John Adams y Urbain Leverrier, llegando ambos a la
misma conclusión: que un cuerpo que se encontraba más allá de la órbita de
Urano estaba afectando su movimiento. Se pusieron en contacto con los
observatorios de sus respectivas localidades para que escudriñaran cierta
región del cielo. Al cabo de media hora se había descubierto el planeta
Neptuno.
Otras perturbaciones de Urano permitieron predecir la existencia del
noveno planeta, Plutón, descubriéndose en 1930 en el observatorio Lowell de
Arizona. Plutón tarda 248 años en dar una sola vuelta al sol, por lo que no lo
veremos en la posición que fue descubierto hasta el año 2178.
Las perturbaciones de las estrellas dobles y las formas de las
galaxias remotas, demuestran que la ley de la gravitación es válida más allá
del sistema solar. A distancias aún mayores, la gravitación determina el
destino de todo el universo.
La teoría de la gravedad de Newton ha afectado tanto a la ciencia
como a la civilización muy profundamente. Las ideas de Newton dieron
comienzo a la edad de la razón, o siglo de las luces.
Newton demostró que era posible descubrir el funcionamiento del
universo físico por medio de la observación y de la razón. Que profundo es
que todos los planetas, lunas, estrellas y galaxias se rijan por una regla tan
sencilla como F  G
m1  m2
d2
La condición de ingravidez no es la ausencia de gravedad, sino la ausencia de
una fuerza de soporte. Los astronautas en órbita se encuentran sin fuerza
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de soporte, por lo que están en estado de ingravidez prolongada. Esto les
provoca mareos hasta que se acostumbran.
Vamos a analizar brevemente el movimiento de los planetas en órbita
desde el punto de vista de la energía.
Tomemos un sistema formado por un planeta de masa “M” moviéndose
alrededor del sol, un satélite en órbita terrestre o un cometa de masa “m”
que pasa una vez cada cierto tiempo cerca del sol. Si tomamos a M y m como
un sistema aislado, no influenciado por nada más, al suponer que M está en
reposo en un sistema de referencia inercial (porque M es mayor que m), la
energía mecánica total E del sistema formado por los 2 objetos es la suma
de la energía cinética del objeto de masa m y la energía potencial
gravitatoria del sistema: Em  EC  E pg
Como la energía potencial gravitatoria Epg asociada a cualquier pareja de
partículas de masas m1 y m2 que se encuentran separadas por una distancia r
viene dada por la expresión: E pg  
Gm1m2
r
Y como por definición Epg tiende a ser 0 cuando la distancia r tiende al
infinito, así la energía mecánica del sistema formado por M y m es :
E
1 2 GMm
mv 
2
r
De la ecuación anterior deducimos lo siguiente:
Que la energía E puede ser positiva, negativa o nula, dependiendo del
valor que tenga v.
La tierra permanecerá siempre cerca del sol y el satélite cerca de la
tierra, son sistemas ligados.
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El paso de un meteorito no perteneciente al sistema solar representa
un sistema no ligado. El meteorito interacciona con el sol, pero no queda
atrapado bajo su influencia.
Para un sistema ligado, como el de la tierra y el sol, E tiene que ser
menor que cero, porque hemos elegido el convenio que Epg tiende a cero
cuando r tiende a infinito. Así aplicando la 2ª Ley de Newton tenemos:
F  ma 
GMm mv 2

r2
r
Multiplicando los dos miembros de la ecuación por “r” y dividiendo por 2:
1 2 GMm
mv 
2
2r
Sustituyendo en la ecuación:
E
GMm GMm
GMm

; E
2r
r
2r
Demostramos pues que la energía mecánica total debe ser negativa en el
caso de órbitas circulares. Demostramos que la energía cinética de un
objeto que se mueve en una órbita circular es igual a un medio del valor
absoluto de la energía potencial del sistema.
4.5.2.-Velocidad de escape
Imagina que lanzamos una grapadora de masa “m” desde la superficie de la
tierra con una velocidad inicial vi. En la superficie de la tierra ri=RT, cuando
el objeto alcanza la altura máxima, vf=0 y rf= rmax. Como la energía total
del sistema se conserva:
1 2 GM T m
GM T m
mvi 

2
RT
rmax
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Despejando de la ecuación anterior vi2  2GM T (
1 1

)
RT rmax
Si conocemos la velocidad inicial, con esta expresión podemos calcular la
altura máxima h, porque h=rmax-RT
Definición: es la velocidad mínima que debe tener el objeto en la superficie
de la tierra para poder seguir alejándose de ella indefinidamente:
Vescape 
2GM T
RT
Como vemos es independiente la masa del objeto lanzado desde la tierra.
Un ejemplo lo podemos apreciar en que una nave espacial tiene la misma
velocidad
de
escape
que
una
grapadora,
además
el
resultado
es
independiente de la dirección de la velocidad.
5.- RESUMEN.
En este tema hemos abordado una serie de conceptos nuevos, tales como el
concepto de campo. Con ello hemos podido explicar la interacción entre
cuerpos separados por una determinada distancia. Posteriormente hemos
trabajado con la ley de la gravitación universal de Newton, y la constante
universal “G”. Hemos repasado el concepto de energía potencial gravitatoria
y lo hemos desarrollado. A continuación y por último hemos explicado
brevemente el la ley del concepto del inverso, ésta ley nos habla sobre la
disminución de la intensidad de la gravedad con la distancia. En este punto
hemos unido los conceptos de la gravitación universal y los conceptos de
energía potencial y cinética.
6.- BIBLIOGRAFÍA
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Burbano de Ercilla, S., Burbano, E., Gracia, C. “Física general”. Mira.
Zaragoza. 1993.
Texto que presenta un esquema de la materia muy clásico. Es un libro
muy recomendado en el programa de Física de muchas escuelas universitarias
debido principalmente a su nivel asequible y su amplia cobertura de los temas.
Al final de cada capítulo se proponen una serie de problemas cuya solución
viene expuesta en otro volumen.
Cámara, J.M.; Ferrández, M.; Pastor, C. y Ruiz G. “Curso de Física”.
Ediciones TC. Alicante. 1998.
Es una obra formada por dos volúmenes, de los que sólo se encuentra
publicado el primero. Desarrolla los contenidos de la asignatura de
Fundamentos Físicos de la Ingeniería de este proyecto docente (mecánica,
mecánica de fluidos, termodinámica y electricidad). Se trata de un texto
dirigido a estudiantes de ingeniería, aunque se recomienda a estudiantes de
ciencias, dado que combina el rigor del desarrollo matemático con la claridad
de los conceptos expuestos.
Catalá, J. “Física General”. Saber. Madrid. 1988.
Libro clásico que trata un amplio abanico de temas dando una visión
general de la Física, aunque sin demasiada profundidad. Este texto ha estado
presente en el pasado en la formación de gran número de profesionales.
Tipler, P. A. “Física para la Ciencia y la Tecnología” 4ª Edición.Reverté.
Barcelona. 1999
Es un libro que consta de dos tomos y que imparte las materias en el
siguiente Orden: mecánica, ondas mecánicas y sonido, termodinámica,
electricidad y magnetismo y Física moderna. Al principio de cada capítulo
presenta los objetivos perseguidos con el fin de que los alumnos sepan la
información que contiene y conozcan el nivel de compresión que se les exigirá.
En muchos casos las deducciones se presentan sin demostración, y ésta se
expone en un párrafo opcional, al final de cada sección o capítulo. La colección
de cuestiones y problemas es extensa y de calidad docente. Contiene muchos
problemas resueltos y temas monográficos de actualidad. En general, se
adapta bien al programa propuesto.
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7.- ACTIVIDADES.
7.1.- Siendo la ley de la gravitación de Newton universal, ¿por qué no vemos
a los cuerpos precipitarse unos contra otros?.
7.2.- ¿Cómo se mantienen juntas las estrellas de una galaxia?.
7.3.- ¿Dónde pesaría más un cuerpo: en la Tierra, en la Luna o en el Sol?.
8.- GLOSARIO
Ley de la gravitación universal
Constante gravitacional
Velocidad de escape
Campo gravitacional
Energía mecánica
Energía cinética
Energía potencial
9.- EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN.
9.1.- ¿Cuánto pesaría un hombre de 70 kg en un planeta de masa 10 veces
menor y radio 10 veces mayor que la masa y radio de la Tierra.?
¿Y en otro planeta de radio 10 veces menor y masa 100 veces mayor que los
de la Tierra?
9.2.-¿A que altura sobre el nivel del mar habría que subir un cuerpo para que
su peso fuera la mitad que a ese nivel?. (R0=6370 km)
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9.3.- La masa del Sol es 324440 veces mayor que la de la Tierra y su radio
108 veces mayor que el terrestre. ¿Cuál será la altura alcanzada por un
proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba desde la superficie
solar, a una velocidad de 720 km/h?.
9.4.- Calcular la fuerza atractiva que ejerce el Sol sobre la Tierra (masas
de ambos astros: ms=1,987·1030 kg; mT=5,975 · 1024 kg; distancia media
r=1,495·1011m).
9.5.- Un hombre que en la Tierra es capaz de dar un salto de 1,5m de altura
¿A qué altura podrá saltar en la Luna?.
Dato: gravedad en la superficie lunar: 0,166 m/s2.
10.- SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN.
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