ESTIMACION DE PARAMETRO DE INTERVALO 3

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
ESTIMACION DE PARAMETROS. INTERVALOS
PERIODO ACADEMICO: I-2011
3.
NOMBRE:
N = 420
n = 60
𝜇 = $14.630
𝜎 = $2.400
Hallamos la desviación estándar de la muestra.
SEMESTRE:
No:
FECHA:
1. MEDIA MUESTRAL.
Recuerde que usted necesita conocer:
1.
2.
3.
4.
2.
El contador toma una muestra aleatoria de 60 facturas de venta
de una empresa de juguetes en el aeropuerto Alfonso Bonilla
Aragón, en el mes de Septiembre, de una población de facturas
de 420 y encuentra que el promedio de ventas según la totalidad
de facturas es de $14.630 y una desviación estándar de $2.400.
Determínese:
𝜎𝑥̅ =
𝜇 = Media poblacional.
𝜎 = Desviación estándar de la población.
𝑛 = Numero de elementos de la muestra.
𝜎
𝜎𝑥̅ = 𝑛 Desviación estándar de la media muestral.
𝜎
√
=
𝑛
Las colas:
2.400
= 309.83
√60
100%−95%
2
=
5%
= 2.5%
A=
𝜇
𝑍2
2
2.5%
100
= 0.025
√
5.
𝑒 = Error estándar = 𝑍 √𝜎𝑛
6.
𝑍 =
𝑋̅𝑖 −𝜇
= Fórmula para calcular las unidades
𝜎𝑋
̅
𝑍1
estandarizadas.
Un auditor toma una muestra aleatoria de tamaño 36, de una
población de 1.000 cuentas por cobrar de una empresa muy
importante en los Estados Unidos. El valor promedio de las
cuentas por cobrar de la población es de 2.600 us., con una
desviación estándar poblacional de 450 us.
N = 1.000
n = 36
𝜇 = 2.600US
𝜎 = 450us
Determinamos la desviación estándar de la muestra:
𝜎𝑥̅ =
𝜎
=
1. El intervalo de confianza del 95%.
Para A = 0.025, entonces 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96
Si 𝑍1 = −1.96, entonces 𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑍1 𝜎𝑥̅
𝑋̅1 = 14.630 − (1.96)(309.83)
𝑋̅1 = 14.630 − 607.27
𝑋̅1 = 14.022.73
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑋̅2 = 14.630 + 607.27
𝑋̅1 = 15.237.27
14.022.73 ≤ 𝜇 ≤ 15.237.27
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las ventas promedio diarias de la empresa,
estarán entre [14.022.73; 15.237.27].
450
= 75
√𝑛 √36
100%−95%
Las colas
= 2.5%, representa una área A = 0.025
2
Si el A = 0.025, tenemos que las unidades estandarizadas Z son:
𝑍1 = −1.96
y
𝑍2 = +1.96
2.
Encuentre el intervalo de la totalidad de las facturas de la
empresa en dicho mes.
𝑇̅1 = 𝑋̅1 𝑁 = (14.022.73)(420) = 5.889.546.6
𝑇̅2 = 𝑋̅2 𝑁 = (15.237.27)(420) = 6.399.653.4
𝑍1
1.
𝜇
CONCLUSIÓN: El promedio de ventas totales durante el mes en
la empresa será de: [5.889.546.6; 6.399.653.4 ].
3. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 580. Determínese el número de elementos necesarios
para analizar en la muestra.
e = 580
𝑍2
Hallar el intervalo de confianza del 95%.
𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅
Si 𝑍1 = −1.96 entonces
𝑋̅1 = 2600 − (1.96)(75)
𝑍𝜎
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
𝑋̅1 = 2600 − 147
𝑋̅1 = 2453
Si 𝑍1 = 1.96 entonces
𝑋̅2 = 2600 + (1.96)(75)
𝑋̅2 = 2600 + 147
𝑋̅2 = 2647
2.453 ≤ 𝜇 ≤ 2.647
2.
3.
𝑛=
4.
=
1.96𝑥450 2
( 155 )
𝑍𝜎 2
1.96𝑥450 2
)
130
𝑛= (𝑒) = (
5.
𝑍𝜎
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
= 46.03 entonces n = 47
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos aumenta.
aproximamos
1.96𝑥2.400 2
) = 170.73,
360
aproximamos
n = 171.
5. Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
Si organizamos una tabla con los datos obtenidos en cada uno de
los ejercicios 3 y 4, obtenemos:
= 32.38 entonces n = 33
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 130. Determínese el número de elementos de la
muestra.
) = 65.77 ,
580
n = 66.
4. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 360. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 360
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que el promedio de las cuentas por cobrar de la
empresa están entre los valores [2.453; 2.647].
Encuentre el intervalo de las cuentas por cobrar totales de
la empresa.
𝑇1 = 𝑋̅1 𝑁 = (2.453)(1.000) = 2.453.000 𝑢𝑠
𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (2.647)(1.000) = 2.647.000 𝑢𝑠
Podemos afirmar que en la empresa el promedio de las
cuentas por cobrar totales de la empresa se encuentran
entre los valores: [2.453.000; 2.647.000].
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 155. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑍𝜎 2
(𝑒)
1.96𝑥2.400 2
4.
n
e
1
60
607,27
2
66
580
3
171
360
CONCLUSIÓN:
1. Si se disminuye el margen de error en una estadística, se
debe aumentar el número de elementos de la muestra,
para su análisis.
DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL.
Se debe conocer:
x
1.
p = n Proporción muestral.
2.
σP = √
3.
n = Elementos de la muestra.
4.
e = 𝑧√
P(1−P)
n
P(1−P)
n
Error de la proporción.
Margen de error.
5.
5.
z
𝑝𝑖 −𝜇
=
𝑝=
= Fórmula para calcular las unidades
𝜎𝑝
=
109
260
= 0.42
Hallamos la desviación estándar de la proporción.
estandarizadas.
Un administrador de la Universidad recopila datos sobre una
muestra aleatoria nacional de 230 estudiantes inscritos en el
programa de postgrado en Administración de Empresas y
encuentra que 54 de ellos tienen Licenciatura en Administración
o contaduría.
N = 1.000
n = 230
𝜇 = 2.600US
𝜎 = 450us
Halamos la proporción de la muestra.
𝑝=
𝑥
𝑛
𝜎𝑝 = √
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Las colas:
𝑥
54
=
= 0.2348
𝑛
230
= √
100%−96%
2
0.42(1−0.42)
260
=
4%
2
= 0.0306
= 2%
0.02
A=
2%
100
= 0.02
0.02
Determinamos la desviación estándar de la muestra:
𝜎𝑝 = √
Las colas
𝑝(1 − 𝑝)
0.2348(1 − 0.2348)
=√
= 0.0279
𝑛
230
100%−90%
2
𝑍1 = −2.05
= 5%, representa una área A = 0.05
Estime la proporción de esos universitarios que utilizan la
máquina de afeitar, utilizando un intervalo de confianza del
96%.
Para A = 0.02, entonces 𝑍1 = −2.05 y 𝑍2 = 2.05
Si 𝑍1 = −1.96, entonces 𝑝̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑍1 𝜎𝑝
𝑝̅1 = 0.42 − (2.05)(0.0306)
𝑝̅1 = 0.42 − 0.06237
𝑝̅1 = 0.35763
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑝̅2 = 0.42 + (2.05)(0.0306)
𝑝̅1 = 0.42 + 0.06237 = 0.482
0.358 ≤ 𝜇 ≤ 0.482
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las ventas promedio diarias de la empresa,
estarán entre [0.358; 0.482]
0.95
0.05
-1.64
+1.64
𝑍1
1.
𝜇
𝑍2
Estime la proporción de esos estudiantes a nivel nacional,
que tienen licenciatura en administración o contaduría,
utilizando un intervalo de confianza del 90%.
𝑝𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅
Si 𝑍1 = −1.64 entonces
Si 𝑍1 = +1.64 entonces
2.
𝑝1 = 0.2348 − 1.64(0.0279)
𝑝̅1 = 0.2348 − 0.0457
𝑝1 = 0.1891
3.
𝑝̅2 = 0.2348 + (1.64)(0.0279)
CONCLUSIÓN: El promedio total de estudiantes que puede
utilizar la máquina de afeitar será entre: [430; 579 ], utilizando
una confianza del 96%.
3. Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 96%, es
de 0.095. Determínese el número de elementos de la
muestra, que se necesitan analizar.
e = 0.095
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 90% podemos
asegurar que de los estudiantes de la universidad en el
postgrado de Administración, tienen licenciatura en
contaduría o administración un porcentaje que esta entre el
18.91% y 28.05%.
Halle el intervalo de los estudiantes.
𝑇1 = 𝑝1 𝑁 = (0.1891)(230) = 43.49 Aproxima a 44
𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (0.2805)(230) = 64.60 Aproxima a 65
Podemos afirmar que en la Universidad en el postgrado de
administración los estudiantes que tienen licenciatura en
contaduría o administración está entre los valores: [44; 65].
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es
de 0.06. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑛=
4.
𝑍 2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
=
(1.64)2 0.2348(1−0.2348)
(0.06)2
𝑛=
𝑛=
𝑒2
=
(1.64)2 0.2348(1−0.2348)
(0.03)2
𝑛=
(2.05)2 0.42(1−0.42)
(0.095)2
= 113.43 n = 114
𝑍2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
=
(2.05)2 0.42(1−0.42)
(0.056)2
= 326.44 n = 327
5.
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
Si organizamos una tabla con los datos obtenidos en cada uno de
los ejercicios 3 y 4, obtenemos:
= 134.23 n= 135
= 536.93 n= 537
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
aumenta.
Una mercaderista de una prestigiosa empresa de fabricación de
de maquinas de afeitar para caballeros entrevista a 260
trabajadores universitarios, de un total de 1200,
para
determinar la satisfacción y uso de la maquina y encuentra que
109 de estos responden satisfactoriamente, dando explicaciones
del buen funcionamiento y precio de la maquina y el resto
prefiere usar otro tipo de máquina.
N = 1200
n = 260
x = 109
Calculamos la proporción:
=
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 96%, es
de 0.056. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 0.056
5.
6.
𝑍2 𝑝(1−𝑝)
𝑒2
4.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es
de 0.03. Determínese el número de elementos de la
muestra.
𝑍 2 𝑝(1−𝑝)
Halle el intervalo de los trabajadores universitarios que
pueden utilizar la máquina de afeitar de la empresa.
𝑇̅1 = 𝑝̅1 𝑁 = (0.358)(1200) = 429.6
𝑇̅2 = 𝑝̅2 𝑁 = (0.482)(1200) = 578.4
𝑝̅2 = 0.2348 + 0.0457
𝑝2 = 0.2805
0.1891 ≤ 𝜇 ≤ 0.2805
2.
𝑍1 = −2.05
1.
Si el A = 0.05, tenemos que las unidades estandarizadas Z son:
𝑍1 = −1.64
y
𝑍2 = +1.64
0.05
𝜇
7.
n
e
1
260
0.06237
2
114
0.095
3
327
0.056
CONCLUSIÓN:
Si se disminuye el margen de error en una estadística, se debe
aumentar el número de elementos de la muestra, para su
análisis.
Si se aumenta el margen de error se disminuye los elementos de
la muestra.
DISTRIBUCION t STUDENT.
Datos que se deben tener a mano como conocidos:
1. n − 1 = Grados de Libertad de la muestra.
2.
3.
4.
5.
n = Numero de elementos de la muestra.
μ = Media poblacional.
s = Desviación estándar poblacional.
s
σ = Desviación estándar de la muestra.
√n
6.
8.
𝑡𝑛−1
=
𝑋̅−𝜇
𝑠
√𝑛
n = 20
𝜇 = 4.0000 hr
𝑠 = 200 hr
Hallamos la desviación estándar de la muestra.
𝑠
=
200
= 63.26
√10
√𝑛
100%−95%
Las colas:
2
=
5%
= 2.5%
2
A=
2.5%
100
= 0.025
Grados de libertad: n – 1 = 10 – 1 = 9
𝑡1
𝜇
𝑡2
𝑋̅1 = 4.000 − (2.262)(63.26)
𝑋̅1 = 4.000 − 143.09
𝑋̅1 = 3856.91
Si 𝑍2 = 1.96, entonces 𝑋̅2 = 4.000 + 143.09
𝑋̅1 = 4.153.09
3.856.91 ≤ 𝜇 ≤ 4.153.09
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos
asegurar que las promedios de vida útil de los bombillos
estará entre [3.856.91; 4.153.09].
2.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 155. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 155
2.262𝑥200 2
𝑡𝑠
155
) = 8.51,
aproximamos n = 9.
3.
Suponga que el margen de error para la misma desviación
estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es
de 130. Determínese el número de elementos de la
muestra.
e = 130
2.262𝑥200 2
𝑡𝑠
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
4.
9.
130
) = 12.11,
aproximamos n = 13.
Compárese con los resultados del enunciado del problema
y concluya.
n
e
1
10
143.09
2
9
155
3
13
130
Si el margen de error aumenta, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
disminuye.
2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos
del problema, el número de elementos de la muestra
aumenta.
Calcular un intervalo de confianza al nivel de significancia del α
= 0.01 para el peso exacto mediante los resultados obtenidos
con 10 básculas:
7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11, 7.12, 7.03, 7.05
Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una
distribución normal con media el peso exacto, estamos
interesados en encontrar un intervalo de confianza que
contenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.01
y desviación típica desconocida, está determinado por:
n = 10
cada cola 0.005 Grados de libertad : n-1 = 9
1.
≤ μ ≤ x̅ + t n−1
S
√n
10
̅ = ∑i=1 Xi
X
10
7.20+7.01+7.36+6.91+7.22+7.03+7.11+7.12+7.03+7.05
10
71.04
=
=
7.1040
10
=
La desviación estándar de la muestra:
̅ 2
∑10
i=1(Xi −X)
σ= √
10
= 0.1220
Para A = 0.01 t = -3.250 y t = 3.250.
El intervalo será:
̅ i = μ ± t i σX̅
X
̅1 = 7.104 − (3.250)(0.1220)
Si t1 = −3.250 entonces X
̅
X1 = 7.1040 − 0.3965
̅
X1 = 6.7075
̅ 2 = 7.1040 + (3.250)(0.1220)
Si t 2 = +3.250 entonces X
̅ 2 = 7.1040 + 0.3965
X
̅
X2 = 7.5005
6.7075
≤ μ ≤ 7.5005
CONCLUSIÓN: Con una confianza del 99% podemos asegurar que
el promedio de la medidas del peso con las diez basculas de la
población está entre los valores [6.7075 ; 7.5005].
Lic. Simeón Cedano Rojas
ESTIMACION DE PARAMETROS E INTERVALOS 3.DOCX
1. Hallar el intervalo de confianza.
Para A = 0.025, entonces 𝑡1 = −2.262 y 𝑍2 = 2.262
Si 𝑡1 = −2.262 entonces 𝑋̅𝑖 = 𝑋̅ ± 𝑡1 𝜎𝑥̅
𝑛 = ( 𝑒 )2 = (
S
√n
La media muestral es:
estandarizadas t para la distribución.
La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 10 bombillos
metal High light (Luz para escenarios deportivos) es 4.000 horas,
con una desviación estándar de muestral de 200 horas. Se
supone que la vida útil de los bombillos tiene una distribución
aproximadamente normal. Se estima la vida útil promedio de la
población de bombillos de la cual se tomo la muestra, utilizando
un intervalo de confianza del 95%.
𝜎𝑥̅ =
x̅ − t n−1
Fórmula para calcular las unidades