Rev. Mex. Fis. 30(1) (1983) 105.

Revista Mexicana de Física 30 no. 1 (1983) 105.117
lOS
SOBRE EL TEOREMA DE VON NEUMANN
DE VARIABLES OCULTAS
A. Nieva
Departamento de Matem~ticas de la Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Aut6noma de México
(recibido febrero 17, 1983; aceptado septiembre
6, 1983)
El presente trabajo tiene como objeto mostrar que la demostración
de van Neumann sobre inexistencia de variables ocultas es matemáticamente
impecable, pero que está utilizando implícitamente una hipótesis muy restrictiva, a saber, que toda probabilidad en la mecánica cuántica debe sur
gir del formalismo matemático usual de ella. Pero si se acepta cierto principio £lsico heterodoxo de carácter general, entonces se da cabida a
la existencia de probabilidades conjuntas, a las probabilidades condiciona
les y, por consecuencia, a ciertos entes matemáticos que formalmente cum-plen las condiciones que se suele pedir a ciertas variables para ser vari!
bIes ocultas. Además, se obtiene que esos entes resultan ser dispersivos.
ABSTRAer
The Object of the present paper i5 to show that von Neumann's
J
lOó
proof that hidden variables do nat exist 15 mathematically impeccable,
but that he i5 implicitly employing a very restrictive hypothesis which
i5 that every prObability in quantum mechanics must arise froro its usual
mathematical formalismo
But if a carta in heterodox physical principIe of
a general character 15 accepted. the existence of joint prObabilities may
be established, leading to conditional prObabilities ando in consequence,
to cartain mathematical antitias that formally ful£il1 the conditions
that are usually required for cartain variables to be interpretad as
"hidden". Thoseantitias turn out to be dispersive.
l.
INTROOOCCION
El criterio de von Neumann,
-en el rondo at6mico es acausal o inde~
para probar que el canportamiento
terminista
esencialmente,
consiste en probar que existe un ensamble que
sea a la vez puro y dispersivo.
Von Neumann demuestra(Z)
tor de estado.~(1
I~II =
partir de la hip6tesis
como 10 bautit6 Mme. P. Février(l),
que todo ensamble
1) es puro y dispersivo.
Buncional,
La demostraci6n
estadístico
que es el formalismo
(F.M.U.) de la mecánica cuántica (Io1.C.).
Los aspectos que toca el presente
que la demostraci6n
es a
sean or!
o, en gene~
matemático
usual
trabajo son los de mostrar
de von Neumann es matem~ticamente
lo cual se demuestra
por el ve£
implícita de que todas las probabilidades
ginadas de la manera ya conocida por su operador
ral, por el an~lisis
generado
inobjetable,
para
su teorema a partir de lo que se ha tenido, se ha
aceptado y se ha usado desde Born: un vector de estado que genera un en~
samble de sistemas cuánticos
y una colecci6n
los cuales se conocen ciertas propiedades
ese ensamble;
y que no es objetando
de operadores
estadísticas
por medio de
de los sistemas de
la validez de la herramienta
matemáti
ca o la l6gica que se usan como se puede echar abajo la "dernostraci6n" de
que "la naturaleza
ha prescindido
no replantean:lo las concepciones
truye la mecánica
cuántica.
mática que pennite
del principio
de raz6n suficiente",
si~
de base sobre las que van NetDnanI1 cons~
Es por esto que se hace una fOllJRllaci6n mate
la constTUcci6n
de ciertas probabilidades
condicional;s
que no surgen de y en el F.M.U. de la M.C., pero que hacen que los ensambl~S originados
pllendo
por un vector de estado sean impuros y dispersivos,
así esa condici6n
cum~
necesaria , mas no suficiente , que von N etunann
107
pide a una teoría para ser causal,
para ser detenninista
La formulaci6n
matemática
ne por base física el principio
pio sostenido,
por ejemplo,
ci6n de probabilidades
conjuntas
que no conmutan
ciden con las usuales
que se presenta
posici6n,
a que:
teoría acausal,
tas.
de magnitudes
, X.,,
X., compuesto
~
sentará
hermiteano
,
donde x.
adem~s, usaremos
continuo,
es el autovalor
por todos los autovectores
la proyecci6n
2.
recalcarlo,
asociada
DB>DSfRACION
6stas
cufuItica es lUla
trabajar
y con valores
correspondiente
espe,£
en
al autoespacio
correspondientes
al autoespacio
ocul-
en un espacio
la representaci6n
X, definido
DEL TEORmA
coi~
Con esta fannulaci6n se 1l~
lo dicho, nos es suficiente
y separable;
tral de un operador
aquél, ~ x.
a oper~
marginales
b) no se puede afirmar que no existen variables
complejo
y
la constru~
físicas asociadas
y cuyas probabilidades
en la M.C. (6,7); aunque, hay'que
Para mostrar
de Hilbert
hace posible
a) no se puede afinnar que la mec~nica
y
tie-
espín, etc.; princi-
de la Peña y Getto(4),
Este principio
no pueden surgir del F.M.U. de la M.C.(7).
ga entonces
~.e.,
en este trabajo
momento,
por Einstein(3),
(¡aunque no se crea!).
dores hermiteanos
ocultas,
de que en cada instante un sistema cuánt!
co tiene sllfiultáneamente energía,
Wigner(S)
para tener variables
esencialmente.
a x .
i"
X i repre-
X. (8).
,
DE VON NELNANN.
En la secci6n 1 del Cap. IV del libro de van Neumann(2). éste da
un criterio
que permite
cialmente: es suficiente
puro y dispersivo.
Ensamble
puro. -
valores
i
=
r},
1,2, •.•
tivamente,
,
P(r.)
si una teoría es indeterminista
probar que existe un ensamble
Sea E un ensamble
El ensamble
aP'(r.)
diferentes
,
+
de probabilidad
física R con
,
P(r.),
E se dice que es impuro si es mezcla de dos (o
El y E", con probabilidades
tales que para cada magnitud
=
esen~
que sea a la vez
donde para cada magnitud
se tiene su distribuci6n
1'2""
más) subensambles
dctenminar
SP" (r.),
pI y p". respe£
física R se tiene que
(i
=
1.2 •••• )
108
donde a}' B son reales
dientes de R.
positivos
que suman tulO
que además son indepen-
)'
Y se dirá que el ensamble es homogéneo
o puro cuando la
f6nnula anterior implique que
P(r.)
,
=
P'(r.)
1
para cualquier
=
(i
P"(r.)
,
magnitud
1 J 2, ... )
física R.
Ensamble dispersivo.-
Un ensamble
es dispersivo
si existe al menos una
magnitud física definida en ~l con dispersi6n positiva.
sivo cuando toda magnitud
Jispcrsi6n
cero.
Partiendo
física definida
del F.M.U. de la M.C. (el an51isis
samble de sistemas cuánticos
trar en forma mntcmáticamente
teoría indeterminista
existencia
ocultas.
Hilbert y una colecci6n
do la> autovector
magnitud
A
X =
física
consideremos
'"
X,
.x., sobre el ensamble Ella
1. 1.
a>
'"
la in-
Z,
H'
definidos
para cierto problema.
de sistemas cuánticos
asociada al operador
H
preparados
a.
Consi
en cierto esta
-
El valor medio de la
con desarr.)110 espectral
A
Lx
es una
un espacio de
A, B
henni teanos
del operador A, con autovalor
'j.J
cuántica
y, por lo tanto, se demuestra
Veamos:
de operadores
a>
y del c~
en cierto estado, se puede demos-
en ese espacio, de Dmportancia
deremos el ensamble El
j.c., con
funcional)
impecable que la mecánica
esencialmente
de variables
y con valores
preparado
y será no dispc!:
en él sea constante,
denotaremos
por
~11a> x
en vez de la
notaci6n usual <aIXla>; y este valor medio es igual a
donde I IX. ,la>\ l' es la probabilidad de que sobre ese ensamble la magnitud
física X tome el valor
La dispersi6n
~,
..
de X sobre ese ensamble
y será igual, como es usual,
la denotaremos
por DI a> X
a
y esto último en vista de que (X Con esto veamos que E >
1a
~II
a>
X) es operador
es dispersivo
hcnni teano.
y puro:
109
l'
Es dispersivo.anterior
Tomemos un operador
que para nada conmute con
R de la lista de operadores
A,
situaci6n
que debe ocurrir
para que esa lista sea digna de tomarse en cuenta; como
DI
R~ O siempre,
~
ma expresi6n
supongamos que DI
de la dispersi6n,
A
de 10 cual se obtiene
la>
que, al ser
el subespacio
a>
R
=
O; utilizando
=
que Rla>
~II > R)la>,
'"
lin~al generado
la> •
2' Es ensamble puro. -
PI a> '
lidad
bIes E'Ia>
J
PII'a> ,
y
la>
P
la>
la>
diferentes,
= aP'
+
la>
donde a y 8 son números
Tomemos
A
R
la magnitud
que
El a>
R> O.
Entonces
,con
probabi-
áe dos subensama>
sistemas
PI a>
con
tam
_
cuánticos
pero cuyas respectivas
se relacionan
R para
a>
es mezcla
cuyos correspondientes
bién están en el estado
P'
DI
Supongamosque el ensamble E
es impuro, i.c.,
y E'IIa>
O:
al menos sobre
Por lo tanto, si
nada cormuta con A entonces debe tenerse que
el ensamble E
es dispcrsivo.
la>
=
10 cual nos dice
a""
por
R)la>
a>
de R, que R y A conmutan
autovcctor
la últi-
~
tendremos que (R - ~II
probabilidades
por medio de
SP"
la>
reales positivos
que suman uno.
física R, correspondiente
al operador
A
=
¿r.R,;
si para cada i,
1 1.
la magnitud
PI a> (r.)
1
denota la probabilidad
física R tome el valor r. sobre los sistemas
samble El a> ,P'I
a>
(r.)1.
,
denota la probabilidad
,
(r.)
denota
1.
la probabilidad
me el valor r., sobre los sistemas
por la relación
Pla>(ri)
aPia> (ri)
+
,
tonces deberán
del ensamble
E'I'a>
EI
a>
y
,entonces,
tendremos
que
fíSica R; como esas probabili
por el formalismo
existir proyecciones
••.
de ensamble
BP'¡'a> (r)
para cada valor r. de cada magnitud
darles deben ser originadas
-
de que la IDk~gnitud física I R to-
entre estas probabilidades,
=
del en
de que la magnitud
física R tome el valor r. sobre los sistemas
pula>
de que
Ri, R'.
••.
1.
matemático
y
R'~ con
1
P1a>(r;l = IIRkl""II',
P¡a> (r;l = IIR'i 13>11' y
2
Pil'a> (ri) = 1I Ri'l ID 11 • Tendremos entonces que
usual, en
las cuales -
110
A
A
aIIR~la>II'
IIR.la>II'
1
+BIIR'¡la>II'
de la cual se obtiene
A
(R. la>,
la»
: a(W la>,
13» + B(R'.'I3>, 13»
;
111
Y como esto sucede para cualquier vector normalizado,
se obtiene
que
R. '" aR~ + BRI,I
1
obteniendo,
1
1
así, una formulación del problema probabilista
minos de proyecciones,
Ri
cos autovalores de
normalizado tal que
en tér
Corno los úni
o sea, del F.M.U. de la M.C.
son O 6 1, tendremos que: si t!' es un vecto~
R.
6\ll, donde 6 es O 6 1; tendremos que
1
6 = (R.~.~).
1
A
Si en este producto substituimos
aR'
i
+
SR"
i
por R"
obtendremos
1.
que
6 = [(aR~ + BR'.')M]
1.
=
a(R~
1.
1.
.M)
+ B(R'.' ~,~)
y. como (S~,~)
• (~,5~) = I 15~1l' para cualquier
obtenemos de lo anterior
que 6 = aIIR~~II'
1
tomando en menta las condiciones
IIRi~II'
: IIR'¡~1l'
= ~.'
~ =
1
(R~M)
: (R'¡M)
(1 .
I-
1."
a R
=
6.
Y
6~ .
cama la suma de dos vectores ortogonales, i.c.,
~ = R.~
R.)~ , donde
R. es la proyecci6n
l.
S,
Ahora,
1
Por último, tomando cualquier vector normalizado
rrespondiente
proyecci6n
+ BIIR'.'~II'.
sobre ex y S, obtenemos que
: 6~ por lo cual
esto implica que R!~'
1
.
1.
1P y
expresándolo
ortogonal
co-
1.
,
i
tendremos por lo anterior que
Con 10 cual hemos demostrado
que las proyecciones
Ri
R'i
y R"
i
son iguales.
Por 10 tanto, si en un ensamble generado por un vector de estado
la> su probabilidad
P > es cambinaci6n lineal convexa de dos pro
1a
babilidades
a> y P't'a>J y si todas estas estfm dadas por el
F.M.U., i.e., como los cuadrados de las magnitudes de proyeccio-
Pi
111
nes del vector de estado, normalizado,
necesariamente
esas prob~
bilidades son iguales entre sí; llegamos así a la conclusi6n:
Todo ensamble
generado por un vector de estado es puro.
Ahora, si se quiere sostener el Principio
CO,
que van Neumann
identifica
de Raz6n SUficiente,
comportan
formaci6n
proceso de medici6n,
la>
completa
que
no da la informaci6n
físicas de cada sistema del ensamble
de carácter
estadístico
ensamble
estados verdaderos.
cuántico
iE
sino únicamente
preparados
cuán-
en sus corrcspon
Pero esto no puede ser porque Ela> es un
Por lo tanto, en base a que todas las probabilidades
lido a nivel cuántico
contradicci6n.
matemático
el Principio
de la mecánica
nuestra
ignorancia
que ha prescindido
y como no hay causas
entonces
suponer v~
conduce a una
dada por la> sea incompleta.
la causa de la dispersión,
sino la pro
para que dos sistemas cuánticos
en forma diferente
por lo que no puede haber elementos
maci6n adicional,
aún no descubiertos
mente los valores
de las diferentes
esencialmente,
escondidos,
que junto con la> determinen
magnitudes
en
bajo el mismo proceso de
el mundo at6mico es indeterminista
s6lo aparentemente,
que usen d£
del PrinCipiO de Raz6n Suficiente(2).
ni explicaciones
el mismo estado se comporten
cuántica,
de Raz6n Suficiente
No es que la infonmaci6n
es entonces
pia Naturaleza
medici6n,
entonces
sobre las pro-
puro.
ben surgir del formalismo
'~
o Principio
de ellas; por 10 cual el ensamble
tico Ela> debe ser una mezcla de subensambles
dientes
de Causalidad
que dos sistemas en el mismo estado se
en la misma forma bajo cualquier
se e5t~ sosteniendo
piedades
con el Principio
que establece
clási
del Determinismo
y no
info!
causa!
físicas de cada sistema
del ensamble.
3.
Enfoquemos
mecánica
cu~ntica
SOBRE PROBABILIDADESCONJUNfAS
la teoría probabilista
en la siguiente
fonna:
de la fase estacionaria
de la
teniendo un espacio de Hilbcrt
,
,
y una colecci6n de operadores hermiteanos A, ••. ,Z, definidos y con valores en ese espacio, que son linportantes para cierto problema.
1°
Consideremos
el ensamble de sistemas cuánticos
que se encuentran
112
en cierto instante
en el estado
Si X es un operador
espectral,
la>, autovector normalizado
¿x.X. es su desarrollo
y
de aquella colecci6n
la probabilidad
de los sistemas
de A.
> >
cuánticos
del ensamble
que tienen su X igual a xi está dada por Pla>(X) = 11 xila>II'
Hasta aquí el enfoque estadístico tradicional desde Born.
2°
Considérese,
en contra de las concepciones
y sus afluentes,
Copenhagen
de la corriente
de
para citar 5610 dos fi-
por ejemplo,
guras, van Netnnann(2) y Landau(9), que en cada instante
un sis!£.
ma cuántico tiene a la vez energía, momento, posici6n, etc.,
Einstein(3), de la Peña y Cetto(4), etc. En base a esta concepci6n, representemos cada sistema cuántico de los produciros en el
ensamble
anterior,
como operadores
presentaremos
reales y tantas
como un vector con componentes
consideremos
en la colecci6n
anterior,
i.e., re-
un sistema cuántico por
cj, •••, zk)
donde a es el autovalor
autovalor
de A asociado
los sistemas posibles
lo denotaremos
(a).
(a,xi,yj)
Y, por ejemplo,
aquellos
,
al autovector
sistemas
cuánticos
de Z.
rado.
por n > o simplemente
estando
el conjunto
de todos
a
,
a Y igual ay.
la>, todo esto en el instante
cuando no se preste
por (x.,y.).
,
J
se representará
los sistemas
por
1a
denotará
de
que tengan el valor correspondiente
A veces, por brevedad,
ese conjunto
>
A la totalidad
X igual a x., y que tengan el valor correspondiente
pero que están en el estado
la>, b. es un
,
de B, ••• y zk es un autovalor
J
consid~
a confusi6n,
También
diremos, que
de (a,x. ,y.) en el estado de la> de A, tam1.
.•••J
...•
bién están en el estado X. de X y en el estado Y. de Y, donde
,
>
J
es el autoespacio
de X correspondiente
a su autovalor
x. y Y.
es el autoespacio
de Y correspondiente
a su autovalor
y .•
,
>
Xi
J
J
La magnitud física X, asociada al operador X, de un sistema cuán
tico será, entonces, el 3utovalor correspondiente
a ese operador que tenga
el sistema cuántico, Le., X(a,bi' •.. 'Xj, •••• ,~) = xj' o sea que esa ma&.
nitud física es una funci6n definida sobre el conjunto de todos los siste
mas cuánticos
(a) y con valores
en el espectro
de
X, o eX)
= {Xl ,X2,.,,},
-
113
En esta
estado
fonnulación,
de X está
X señala
éste
las que considera,
una propiedad
cuántico,
y de ninguna mancr<l es una medición
por ejemplo,
Habiendo hecho tal
la pregunta
de lU1 sistema
en qué
perturbadora
de
van ~et~ann.
fonnulación,
de cuál es la probabil
surge
entonces
idad de un evento,
de manera natural
de b fonn~l
digamos,
Y =y ) = (x., lj J para el caso en que X y Y no corunuten, ya que la
i'
~
~)
respuesta
se tiene cuando corunutan.
Notando que lUW probabilidad
es ori(X =x
por el F.~I.U. de la M.C. cuando ella
ginada
IIP.!P11
2
(P.lP,¡P),
~
=
~
lizado,
una proyección
no hay que ir muy lejos
hcnniteano
que origine
hay recetas
en cuanto
narlas
p.~es
donde
para
que,
en fonna natural
Se exhibirá
anteriores:
tal
por lo dicho
y;p tUl cierto
por la respuesta:
esa probabilidad
construir
es de la fonna
tipo
conjtmt;l(7)
de probabil
•
nOl1J1a
-
Wl operaJor
Pero,
sin emb~lrgo,
iJades (6, 7);
y son recetas
el F.M.U. es inc3paz de origi-
recientemente,
y, menos aún, detenninnrlas.
la receta
conviniendo
expuesta
en denotar
en la (11tima de las
PI a> (x.)J.
=
P.
~
13s prohabi lidadcs
en los segllll~los miemhros están
cha en l°
de esta
secci6n,
p(x .• y.)
p.q.l2
1
1 )
)
vcctor
no existe
PI a> (y.),J
=
y 'l.
]
referencias
donde
dadas de 13 manera d 1-
definamos
n Ii))
+ £([i)
donde
a)
(i)
denotará
la derecha
al inten'alo
tarfÍ al intervalo
cha [(1
+
cerrado
por la izquierda
[(1 + PI +... +Pi_1)/2,
q,
+ •••
cerrado
+
q.
por la izquierda
)/2,
(1
q,
+
+ •••
+
y abierto
denotará
dentro
J
definici6n
se puede constlui
el campo a generado
Y que además es tal
l'
tma
por los eventos
dc
que:
)
i) ¡: p(x. ,Y.)
ii)
de tal
a la Kolmogorov sobre
~
por la dere-
del paréntesis.
fonna (x.,lJ.)
1
dl'n~
la longi tud o medida de LC'bes~"l.lede lo que aparezca
Veamos que a partir
babi lidad
por
y [j)
q.l/2).
)-1
.q )
b)
y abierto
(1 + PI +... + Pi)/Z)
J.
con esta
)
=
PI a> (y.)]
probabilidad
do probabilista
usual;
bilidad
P >(\)
la
y
¡: I'(x
~
conjtmta
en otras
i'
y)
j
= l'
la>
i
X y Y son dependientes
pal<Jbras:
P(x. ,Y.)
1
trivial
(x);
Pla>(Y ).
j
)
en el ~enti
no es la prob~
114
A. Es claro que a partir de su definici6n
0$ P(Xi'Yj) $ 1
B. Veamosque.L. P(Xi'Yj) • 1
Primero, s~'hene que
¿ P(Xi'Yj) =¿ (Piqj
]
=
y
+
j
COlOO
[i)
Pi/2
n [j))
t([i)
n [j))
+ a([i)
j
n [j) y [i) n [j') son ajenos si j
Í' j',
se tendrá,
usaooo propiedades de la medida de Lebesgue, que
a([i) n [j)) • t(¿[i) n [j]) = t([i) n ¿[j)),
j
j
j
y cano ¿[j) = [1,1) =-[i), obtendremos que
j
PJ2
+
n [j)) = Pi/2
a([i)
t[i)
+
= Pi/2
+
Pi/2 = Pi
]
Por lo tanto,
delllUestraque
que
.L.
; P(xi'Yj)
¡:i P(xi'Y]')
=
De manera similar se
P1a,(xi).
= PI
a>
(y.).
J
y de todo esto es claro
P(xi'Yj) • l.
1.J
c.
Como todo el espacio 0la>se puede expresar como la suma (uni6n
de eventos
ajenos) de todos los eventos de la forma (xi'Yj)'
el campo o generado por ellos es aquel que consiste de las s~
mas a 10 más numerables
la funci6n P definida
de eventos de este tipo; por lo cual
sobre la colecci6n
de eventos
(xi'~j)
se
puede extender de manera íDüca en tal forma que resul ta ser me
dida de probabilidad
sobre ese campo o.
D. Por último, n6tese que t([i)
n [j)) es cero o una de las dife-
rencias posibles entre dos de los números que son extremos de
los intervalos
fonna PiQj/2.
que intervienen,
10 cual no puede ser de la
115
4.
ffiBRE PROBABILIDADES CXlNDICIONALES
Habiendo podido definir probabilidades
truir probabilidades
condicionales
conjuntas,
podemos cons-
como se hace normalmente;
aunque tampo
co éstas estfuo detenninadas unívocamente. denotaremos por P
C'.IY.) al
a> 1. J
cociente PC'i'Yj)/P[a>(Yj)' y será la probabili~ad de la co ecci6n de sis
l
temas cuánticos que estando en el estado Yj de Y estén tambi~n en el esta
do Xi de
X
del ensamble de siste~s cuánticos e~ el estado
la>.
Y,tomando un operador Y para el ~al Yj la> ;'O. para cualquier
proyecci6n Yj del desarrollo espectral de Y, podemos construir los sube~
sambles diferentes ((a.Y.).
PIa> ([Y.)).
para j = 1.2 ••.•• cuya mezcla nos
J
J
da el ensamble original
i) (a)
=
((a), P »,
en los t6nminos siguientes:
1a
E(a'Yj) con (a'Yi) n (a'Yk)
= ~. j;'
k.; Le •• la colecci6n de
todos los sistemas posibles de los suhensamhles
es igual a la colee
ci6n de todos los sistemas posibles del ensamble original.
ii) la probabilidad
del ensamble original, dada por el F.M.U., es una
canbinaci6n lineal convexa de las probabilidades
bIes, o sea
Pla>
en la cual:
12•
= ~
p[a>( IYj) Pla>(Yj)'
como funciones P .,( [Yj) y P1a>( IYk)'
I
rentes; 22 las PI
(y.)
son positivas
Por lo cual, concluimos,
La contradicci6n
babilidades
P¡a>
y
pl¡~> sean
enunciado
del
del ensamble, van Neumann(2).
((a), P » es impuro.
ja
en la secci6n 2 es s6lo
van Neumann pide implícitamente
originadas
que equivale a que el as sean originadas
~l está usando una hip6tesis
k. son dife-
el ensamble
con 10 demostrado
en su demostraci6n,
j ;'
suman uno y son independientes
evento a quien sea~PI~qUela probabilidad
aparente:
de los subensam-
que las pr~
por su operador estadístico,
10
por el F.M.U., como aquí se hiz6;
más de las que enuncia; el teorema debe ser
así:
El ensamble
generado
por un vector
de estado
es puro respecto
las probabilidades dadas por el formalismo matem£tico usual de
la mecSnica
cuSntica
.
a
116
Entonces,
lo que hemos demostrado
mas la restricci6n
si
no las
en esta
parte
es que si quita
de c6mo deben ser esas probabilidades
restringimos
a que sean originadas
condicionales,
por ese fonnalismo
matemáti-
co. entonces los cns,unblcs son impuros.
Para redondear
¡X'lr el
originada
condicion~l
que Pla~('iIYj)
II~ila>II'IIYjla>II'
Pla>(Xi)"
IIXila>ll',
obtenemos
dada por ese
por
Xi Y por
así;
a) si
=xiIYj)
X
entonces
se tiene
lo tanto
que
"JP(xi'Yj)
que
?btenemos
que
I IXJ1> I 1:= IIXil.>ll';
P(Xi'Yj)"
IIXila>II'IIYjla>II'.
1a)
por 10 tanto
de
IUj) no está
cada P
formal i~mo.
a una magnitud
que en cada subcnsamble
Pla>(X
obtenemos
y cano p¡a>(X)
no fue escogida
y en cuanto
tiene
que cada Pla>( [Yj) no es
supongamos que lo sea, esto es, que
está dada a través de cierta proyecci6n,
d,;, lo cual
que Xi"
Pero P(Xi'Yj)
verifiquemos
",IIXil.>II';
P(Xi'Yj)"
esto
parte
F.M.U. de la ~í.C.:
eS3 probabilidad
Le.,
esta
y
Y
= l'¡a>(xiIYj);
no tienen
física
su distribuci6n
X, asociada
X,
al operador
de probabilidaJ
está
se
dada
además
algún
autovector
en común, existen
valores
de
X, Xi Y xk para los cuales P1a>(xiIYj)
y P1a>(xk!Yj)
son positivas
y diferentes,
resultando
así que hay algtmos subensambles donde
X es dispersiva.
Aunque Y no es ~ispersiva
sobre
cada
lUlO
de esos
subensambles.
b) La Jistribuci6n
de probabilidad
F.~l.U. está
dada también
P1a>(XiIYJ,
¡.c., por
P1a>(li)
indeterminismo
refonnulaci6n
esencial
A. Podemos decir
deban estar
de la mecánic~
nerados
dada por el
aleatoria
por tm vector
la conJici6n
¿c6mo quedan entonces
y el de la inexistencia
que al suprimir
des condicionales
usual
la variable
= ~Pla>(Xi¡Yj)Pla>(Yj)
En fin con esta
del
de X en el ensamble,
promediando
suficiente,
cuántica,
de estado
de variables
la condici6n
de que las
dadas por el
y obtener
los asuntos
fonnalismo
ocultas?
probabilid~
matemático
así
que los
ensambles
son impuros,
estamos
excluyendo
que ilnpone van Neumann, para
la
g£
inexisten
117
cia de la causalidad.
Por lo cual, planteadas
así las cosas,
hasta aquí, no se puede afirmar que la teoría sea causal;
co se puede afirmar que sea indetenminista
mismo se puede decir respecto
esencialmente.
a las variables
ocultas:
hasta este punto no se puede afirmar que existan,
de afirmar
B. Además,
tampoY lo
si bien
tampoco
se PU!
(x.IY)
cumple
que no existen.
debe natarse que la variable
formalmente
aleatoria
con las características
riables ocultas.
Y aún más, esa variable
va ya que toma los diferentes
con probabilidades
valores
PI
positivas
do así, al menos formalmente,
Feyerabend(ll) •
a
PI
a>
1
que se suele pedir a las va-
>(yo.)
aleatoria
PI >kly.)
es dispersi(j .1.2
••.• )
a
1
J
(j:::: 1,2, ... ), corroboran
J
las predicciones
(-
de Brody 10) y
AGRADECIHIENfOS
El autor desea expresar
su agradecimiento
1-taríaCetto, TonW.s Brody y Luis de la Peña
bién quiero agradecer
eieren profundizar
a los maestros
su siempre cordial
al prof. Feo. Soto sus sugerencias,
Ana
ayuda.
las cuales me
T~
hl
más en este tema.
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