Notas de geometrıa algebraica - Instituto de Matemáticas | UNAM

Notas de geometrı́a algebraica
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Notas de geometrı́a algebraica
Felipe Zaldı́var
c Felipe Zaldı́var
Índice general
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Capı́tulo 1. Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. El espacio afı́n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. El teorema de los ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Morfismos entre variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
13
15
24
25
34
Capı́tulo 2. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. El espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Morfismos entre variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
55
57
65
68
74
Capı́tulo 3. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. Dimensión de variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2. El teorema del ideal principal y la dimensión de Krull . . . . . . . . . . . . . . 82
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3. El lema de normalización de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4. Dimensión de variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5. Dimensión y morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Capı́tulo 4. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1. Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2. El espacio tangente de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3. La diferencial de una aplicación regular y morfismos étales . . . . . . . . . . 127
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4. Derivaciones y el anillo de números duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5. Expansión en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
V
VI
ÍNDICE GENERAL
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6. Factorización única en el anillo local de un punto liso . . . . . . . . . . . . . . . 149
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7. Variedades normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.8. Ramificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Capı́tulo 5. Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2. Divisores en curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3. El teorema de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4. Multiplicidades de intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Capı́tulo 6. Resolución de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1. Dilataciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.2. Dilataciones en general. Formulación algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.3. Resolución de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Bibliografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Introducción
Desde un punto de vista clásico, la geometrı́a algebraica es el estudio de los
espacios de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables.
Para garantizar, desde el inicio, que estos espacios de soluciones no sean vacı́os, se
comienza considerando polinomios con coeficientes en un campo algebraicamente
cerrado, donde el favorito es el campo de los números complejos. Después de establecer la topologı́a natural en estos espacios y las funciones naturales entre ellos, se
procede a un estudio topológico más profundo de los mismos introduciendo, para
empezar, la noción de dimensión en sus varias formulaciones. En este mismo sentido se introducen las nociones de puntos lisos, puntos singulares y espacios tangente.
A lo largo de todo el texto se discuten ejemplos apropiados para ilustrar o motivar
los conceptos y resultados principales.
En el caso importante de variedades complejas, los temas bosquejados arriba
se pueden estudiar con herramientas analı́ticas, pero la motivación para estudiarlos
desde un punto de vista algebraico es explorar hasta qué punto la validez de estos
resultados se mantiene al pasar a campos arbitrarios. Más aún, la teorı́a de números
pide, de cierta forma, que también se considere el caso de variedades definidas sobre
campos arbitrarios, no necesariamente algebraicamente cerrados.
En este libro, de naturaleza elemental, seguiremos el enfoque clásico (((preclásico))) y estudiaremos variedades algebraicas, afines o proyectivas, sobre campos algebraicamente cerrados, definidas primero dentro del espacio afı́n o proyectivo, y
después generalizadas al definirlas localmente isomorfas a espacios afines usando la gavilla de funciones natural para ((pegar)) en los traslapes. Los requisitos de
álgebra (anillos conmutativos e ideales) son los mı́nimos, usualmente adquiridos
en la licenciatura, y los resultados de álgebra que se considere que son no usuales
y que son esenciales para el desarrollo de los temas geométricos, se introducirán
conforme se vayan requiriendo, con demostraciones completas de los mismos y
con las aplicaciones geométricas que los motivan. En algunos ejercicios se requiere aumentar el nivel de álgebra conmutativa, y usualmente son generalizaciones de
resultados geométricos demostrados en el texto. Se sugiere ası́, de alguna manera,
estudiar álgebra conmutativa en forma paralela y de manera motivada por las ideas
geométricas que se van introduciendo, con demostraciones geométrico-algebraicas
completas en el contexto del libro, pero que se algebrizan naturalmente.
VII
Capı́tulo
1
Variedades afines
En este capı́tulo comenzamos el estudio de objetos definidos como ceros de
polinomios, y el resultado principal es un ((diccionario)) que traduce propiedades
geométricas de estos conjuntos a propiedades algebraicas de los ideales en el anillo
de coordenadas correspondiente.
1.1.
El espacio afı́n
Sea K un campo (algebraicamente cerrado). El espacio afı́n de dimensión n
sobre K es el conjunto
An = AnK = An (K) := {(a1 , . . . , an ) : ai ∈ K}.
Si E es un subconjunto del anillo de polinomios K[x1 , . . . , xn ], al conjunto de
ceros comunes, en AnK , de los polinomios en E:
V(E) := {P = (a1 , . . . , an ) ∈ AnK : f (P ) = 0 para todo f ∈ E}
se le llama un conjunto algebraico afı́n, o simplemente un conjunto afı́n. Observamos que si I = hEi es el ideal de K[x1 , . . . , xn ] generado por E, entonces
V(E) = V(I) (esto nos dice que al definir conjuntos algebraicos afines basta considerar ideales de K[x1 , . . . , xn ]). En efecto, como E ⊆ hEi = I, si P ∈ V(I)
entonces P es cero de todos los polinomios de I, en particular de los que están en
E ⊆ I, es decir, V(I) ⊆ V(E) (vea también la parte 4 del lema 1.1). Por otra parte, si P ∈ V(E) y si f ∈ I = hEi, entonces f es combinación lineal de algunos
f1 , . . . , fr ∈ E, es decir,
P f = g1 f1 + · · · + gr fr con los gi ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Se
sigue que f (P ) =
gi (P )fi (P ) y como fi (P ) = 0, entonces f (P ) = 0, i.e.,
P ∈ V(I). Más aún, por el teorema de la base de Hilbert, el anillo K[x1 , . . . , xn ]
es noetheriano y por lo tanto todos sus ideales son finitamente generados, es decir,
existe un conjunto finito de polinomios {f1 , . . . , fr } ⊆ E ⊆ I tal que
V(E) = V(I) = V({f1 , . . . , fr }) = V(f1 ) ∩ · · · ∩ V(fr )
es decir, todos los conjuntos afines son los ceros comunes de un conjunto finito de
polinomios.
Las primeras propiedades de los conjuntos algebraicos afines V(I) son:
1
2
1. VARIEDADES AFINES
L EMA 1.1. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces,
(1) AnK y ∅ son conjuntos algebraicos afines.
(2) Si V1 , . . . , Vk son conjuntos afines, entonces V1 ∪ · · · ∪ Vk también es afı́n.
T
(3) Si {Vi } es una familia arbitraria de conjuntos afines, entonces i Vi también es
afı́n.
(4) Si I1 ⊆ I2 son ideales de K[x1 , . . . , xn ], entonces V(I1 ) ⊇ V(I2 ).
√
(5) Si I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es cualquier ideal, entonces V(I) = V( I).
Recuerde que si A es cualquier
e I ⊆ A es un ideal, el
√ anillo conmutativo
n
radical del ideal I es el conjunto I = {a ∈ A √
: a ∈ I, para algún n ≥ 0}. Es
fácil √
probar (usando la expansión binomial) que I es un √
ideal de A. Claramente,
I ⊆ I. Un ideal I ⊆ A se dice que es un ideal radical si I = I.
Demostración. Para (1), claramente AnK = V(0) y ∅ = V(1). Para (2), basta probarlo para dos conjuntos afines, digamos V = V(I) y W = V(J). Entonces,
V ∪ W = V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J).
En efecto, si P ∈ V(I) ∪ V(J), entonces P pertenece a algunos de los conjuntos
afines, digamos P ∈ V(I) por lo que para todo f ∈ I se tiene que f (P ) = 0, en
particular para los f ∈ I ∩ J y ası́ P ∈ V(I ∩ J). Recı́procamente, si P ∈ V(I ∩ J)
y si sucediera que P 6∈ V(I) ∪ V(J), entonces existirı́an f ∈ I y g ∈ J tales que
f (P ) 6= 0 y g(P ) 6= 0 y por lo tanto f (P )g(P ) 6= 0. Sin embargo, como f g ∈ I ∩J
y P ∈ V(I ∩ J), se debe tener que f (P )g(P ) = 0, una contradicción.
P T
Para (3) mostraremos
que si Vi = V(Ii ), entonces V
i Ii =
i V(Ii ). En
P P
efecto, si P ∈ V T i Ii , como cada Ii ⊆ i Ii , entonces P ∈ V(Ii ) para todo i y
por lo tantoPP ∈ i V(Ii ). Recı́procamente,
si P ∈ V(Ii ) para todo i, entonces para
P
todo f ∈ i Ii , escribiendo f = j gj fj (suma finita) con los fj ∈ Ij , se tiene
P
P
que f (P ) = j gj (P )fj (P ) = 0 y ası́ P ∈ V( i Ii ).
√
La parte (4) se demostró
√ esencialmente antes. Para (5), como I ⊆ I, por la
parte (4)
√ se sigue que V( I) ⊆ V(I).mRecı́procamente, simP ∈ V(I), dado cualquier
f ∈ I, como existe √
m tal que f ∈ I, entonces f (P ) = 0 y por lo tanto
f (P ) = 0, i.e., P ∈ V( I).
O BSERVACI ÓN . Las partes 1, 2, 3 del lema anterior nos dicen que los conjuntos
algebraicos afines satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en una topologı́a,
a la que se llama la topologı́a de Zariski de AnK . Si X ⊆ AnK es un conjunto algebraico afı́n, la topologı́a de Zariski en X es la topologı́a inducida por la inclusión
como subespacio. Nótese que en esta topologı́a, W ⊆ X es cerrado si y sólo si
W = X ∩ V con V ⊆ AnK un conjunto algebraico y por lo tanto, por 1.1(3), también W = X ∩ V es un conjunto algebraico. En otras palabras, los cerrados en la
topologı́a de Zariski de un conjunto algebraico, también son conjuntos algebraicos.
1.1. EL ESPACIO AFÍN
3
Lo que hemos hecho hasta ahora es asociar a cada ideal de polinomios de
K[x1 , . . . , xn ] un conjunto afı́n en AnK . Se tiene la construcción recı́proca: a cada
subconjunto X de AnK le asociamos el ideal de K[x1 , . . . , xn ] dado por los polinomios que se anulan en X:
I(X) := {f ∈ K[x1 , . . . , xn ] : f (P ) = 0 para todo P ∈ X}.
Las propiedades básicas de esta construcción son:
L EMA 1.2. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces,
(1) I(∅) = K[x1 , . . . , xn ].
(2) Si X1 ⊆ X2 son subconjuntos de AnK , entonces I(X1 ) ⊇ I(X2 ).
(3) Si V, W ⊆ AnK , entonces I(V ∪ W ) = I(V ) ∩ I(W ).
p
(4) Si V ⊆ AnK , entonces I(V ) = I(V ), i.e., el ideal I(V ) es un ideal radical.
Demostración. La parte (1) es por vacuidad. Las partes (2) y (3) son directas, por
ejemplo para (3), si f ∈ I(V ∪ W ), entonces para todo P ∈ V ∪ W se tiene que
f (P ) = 0. En particular, si P ∈ V ⊆ V ∪ W se tiene que f (P ) = 0, i.e., f ∈ I(V ).
Similarmente, f ∈ I(W ). Recı́procamente, si f ∈ I(V )∩I(W ), entonces f ∈ I(V )
y f ∈ I(W )y ası́, para todo P ∈ V , f (P ) = 0 y para todo Q ∈ W , f (Q) = 0. Es
decir, para todo p
P ∈ V ∪ W se tiene que f (P ) = 0, por lo que f ∈ I(V ∪ W ).
Para (4), si f ∈ I(V ), entonces f r ∈ I(V ), para algún r y ası́, para todo P ∈ V
se tiene que f r (P ) = 0, i.e., (f (P ))r = √
0 y por lo tanto f (P ) = 0, i.e., f ∈ I(V ).
La otra inclusión siempre es válida: I ⊆ I.
Al componer las dos correspondencias
V : {ideales de K[x1 , . . . , xn ]} → {subconjuntos de AnK }
y
I : {subconjuntos de AnK } → {ideales de K[x1 , . . . , xn ]}
que hemos definido arriba, si queremos que sean inversas una de la otra, observemos
que en el lema 1.1 se tiene que: AnK = V(0) por lo que para que I sea inversa de
V se requiere que I(AnK ) = (0). Es decir, se necesita probar que si un polinomio
f ∈ K[x1 , . . . , xn ] se anula en todo AnK , entonces f = 0 es el polinomio cero. En
general esto no es cierto, por ejemplo para un campo finito K = Fq , el polinomio
f (x) = xq − x ∈ Fq [x] se anula en todo A1Fq = Fq (por el teorema pequeño de
Fermat) pero no es el polinomio cero. Sin embargo, si el campo K es infinito (en
particular, si K es algebraicamente cerrado porque todos estos campos son infinitos)
el resultado es cierto:
L EMA 1.3. Sea K un campo infinito. Entonces, I(AnK ) = 0.
4
1. VARIEDADES AFINES
Demostración. Inducción sobre n ≥ 1. El caso n = 1 es porque si f ∈ I(A1K ) ⊆
K[x] no fuera cero, como el número de raı́ces de f es ≤ que su grado, esto contradice el que K es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para ≤ n − 1
n−1
y sea f ∈ I(AnK ). Supongamos que f 6= 0. Observe primero que AK
⊆ AnK
n−1
n
identificando (α1 , . . . , αn−1 ) ∈ AK con (α1 , . . . , αn−1 , 0) ∈ AK . Factorizando
las potencias xk en los monomios de f , escribamos
(∗)
f = ak (x1 , . . . , xn−1 )xkn + · · ·
y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable xn en
f ) porque entonces f ∈ K[x1 , . . . , xn−1 ] se anula en todo AnK , en particular en
y ası́ f = 0, por hipótesis de inducción. Podemos entonces suponer que
An−1
K
k ≥ 1 y que ak (x1 , . . . , xn−1 ) 6= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por
hipótesis de inducción se tiene que ak 6∈ I(An−1
K ) y por lo tanto existe un punto
n−1
(α1 , . . . , αn−1 ) ∈ AK tal que ak (α1 , . . . , αn−1 ) 6= 0. Substituyendo el punto
(α1 , . . . , αn−1 ) en todos los coeficientes ai en (∗) se obtiene el polinomio en una
variable:
f˜ = ak (α1 , . . . , αn−1 )xk + · · · ∈ K[xn ]
n
donde el coeficiente ak (α1 , . . . , αn−1 ) 6= 0 y por lo tanto f˜ tiene ≤ gr(f˜) raı́ces,
i.e., no se puede anular en todo A1K , i.e., existe αn ∈ K = A1K tal que 0 6= f˜(αn ) =
f (α1 , . . . , αn−1 , αn ), i.e., no se anula en todo AnK .
El resultado principal es el siguiente, pero la parte medular requiere el teorema
de los ceros de Hilbert 1.15 cuya demostración se hará en la sección siguiente:
T EOREMA 1.4. Sea K un campo (algebraicamente cerrado).
(1) Si V es un subconjunto arbitrario de AnK , entonces V ⊆ V(I(V )), y la igualdad
se tiene si y sólo si V es un subconjunto algebraico afı́n.
(2)
√ Si J es un ideal de K[x1 , . . . , xn ], entonces J ⊆ I(V(J)). Más aún, IV(J) =
J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y sólo si J es un ideal radical.
Demostración. Para (1), si P ∈ V , entonces para todo f ∈ I(V ) se tiene que
f (P ) = 0 y por lo tanto f ∈ V(I(V )) y ası́ V ⊆ V(I(V )). Supongamos ahora
que V = V(J) es algebraico afı́n. Entonces, J ⊆ I(V ) y ası́, por el lema 1.2, se
tiene que V = V(J) ⊇ V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )).
Recı́procamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definición.
Para (2), si f ∈ J, entonces para todo P ∈ V(J) se tiene que f (P ) = 0 y
por lo tanto J ⊆ IV(J). La segunda afirmación de la parte (2) es (una parte de) el
contenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostración se pospondrá hasta
la sección sobre este teorema.
1.1. EL ESPACIO AFÍN
5
En general, se pueden tener inclusiones estrictas en las dos partes del teorema
anterior, como veremos en los ejercicios 3 y 4. Note que en ninguna de las partes demostradas se usó el que el campo K sea algebraicamente cerrado. Esto se
usará para demostrar la segunda parte del inciso (2), lo cual, como mencionamos
antes pospondremos hasta la sección sobre el teorema de los ceros de Hilbert.
O BSERVACI ÓN . Aceptando por un momento que ya se ha demostrado el teorema
anterior, notamos que este teorema y las partes (2) del lema 1.2 y (4) del lema 1.1
nos dicen que las correspondencias
{subconjuntos algebraicos de AnK } o
I
V
/
{ideales radicales de K[x1 , . . . , xn ]}
invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esto es una perfecta correspondencia que traduce la geometrı́a de los conjuntos algebraicos afines a una situación
algebraica. Hay una última observación que es el momento de hacer: si K es un
campo arbitrario, los conjuntos V(I) pueden ser vacı́os aún cuando el ideal I sea
propio. Un ejemplo, trivial, donde esto sucede es para x2 + y 2 + 1 ∈ R[x, y] para el
cual se tiene que V(x2 + y 2 + 1) = ∅ en A2R . El teorema de los ceros de Hilbert garantiza, además de la correspondencia anterior (vea la parte 2 del teorema 1.4), que
si I $ K[x1 , . . . , xn ] y K es algebraicamente cerrado, entonces V(I) 6= ∅. Es clara
entonces la importancia de este teorema de Hilbert y también la del sobrenombre
del teorema (garantiza la existencia de ceros de un ideal propio).
Ejemplo 1. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afı́n A1K ,
¿cuáles son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es un
DIP, entonces todo conjunto algebraico V ⊆ A1K es de la forma V = V(f ) para
un polinomio f ∈ K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f (x) se
factoriza como f (x) = c(x − a1 ) · · · (x − ak ) con c, ai ∈ K y por lo tanto
V(f ) = {a1 , . . . , an },
es decir, los conjuntos algebraicos de A1K son los conjuntos finitos, el espacio total
y el vacı́o.
Lo anterior sirve para mostrar que la topologı́a de Zariski en A1K es muy débil y
bastante diferente de la topologı́a usual en A1K = K, por ejemplo si K = C, ya que
en A1C = C se tienen más cerrados en la topologı́a métrica usual que en la topologı́a
de Zariski. Note también que los cerrados en la topologı́a de Zariski son cerrados en
la topologı́a métrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topologı́a
usual.
Ejemplo 2. Si E ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es un conjunto finito de polinomios lineales,
la variedad V(E) ⊆ AnK se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es
estudiada por el álgebra lineal.
6
1. VARIEDADES AFINES
Ejemplo 3. Si E ⊆ K[x1 , . . . , xn ] consiste de un único polinomio no constante f ∈
K[x1 , . . . , xn ], a la variedad V(E) =: V(f ) ⊆ AnK se le llama una hipersuperficie.
Si f es de grado 1, se dice que V(f ) es un hiperplano afı́n en AnK . En el caso
particular cuando n = 2, V(f ) es una curva en A2K y es una recta si f es lineal.
Ejemplo 4. Si K es un campo, dada a una matriz m × n con entradas en K, desplegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de Amn
K . Entonces, si
2
n
m = n, el grupo lineal especial SLn (K) ⊆ AK de matrices cuadradas n × n con
determinante 1, es un conjunto algebraico afı́n porque el determinante es un polinomio, es decir, para (xij )n×n , su determinante det(xij ) ∈ K[x11 , x12 , . . . , xnn ].
En forma similar se muestra que el grupo ortogonal On (K) de matrices cuadradas A tales que AT A = idn es un conjunto algebraico afı́n.
Irreducibilidad. Si X es un espacio topológico, un subespacio no vacı́o Z de X se
dice que es irreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos
cerrados propios de Z. Una variedad afı́n es un subconjunto algebraico irreducible
de algún An (note que entonces este subconjunto es cerrado en An ). Un abierto de
una variedad algebraica afı́n se llama una variedad casi-afı́n.
P ROPOSICI ÓN 1.5. Un conjunto algebraico V es irreducible si y sólo si su ideal
asociado I(V ) es un ideal primo.
Demostración. Si V es irreducible y si f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] son tales que f g ∈
I(V ), entonces poniendo W1 = V(f ), W2 = V(g), se tiene que V = (V ∩ W1 ) ∪
(V ∩ W2 ), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es
irreducible, se sigue que V = V ∩ W1 o V = V ∩ W2 , es decir, V ⊆ W1 o
V ⊆ W2 , por lo que f ∈ I(W1 ) ⊆ I(V ) o g ∈ I(W2 ) ⊆ I(V ), i.e., I(V ) es ideal
primo.
Recı́procamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados
(i.e., conjuntos algebraicos afines) W1 , W2 tales que V = W1 ∪ W2 con Wi V .
Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W1 ) ∩ I(W2 ) y además, por la inyectividad de I,
I(V )
I(Wi ). Por lo tanto, existen polinomios fi ∈ I(Wi ) − I(V ) y como los
I(Wi ) son ideales, entonces f1 f2 ∈ I(Wi ) y consecuentemente f1 f2 ∈ I(W1 ) ∩
I(W2 ) = I(V ), una contradicción con la hipótesis de que I(V ) es primo.
Ejemplo 5. AnK es irreducible ya que, por 1.3, su ideal I(AnK ) = 0, que es primo.
Ejemplo 6. Si f ∈ K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces p = hf i es un
ideal primo y por lo tanto X = V(f ) ⊆ A2K es irreducible. Note que esta variedad
algebraica es la curva afı́n definida por f (x, y) = 0. Las figuras siguientes son
algunas curvas en A2R , todas ellas irreducibles excepto la última:
1.1. EL ESPACIO AFÍN
6
7
6
-
Vhy 2 − x3 i
-
Vhy 2 − x2 (x + 1)i
6
6
-
Vhx2 + y 2 − 1i
-
Vh(y − x2 )(y − x)i
A continuación veremos que todo conjunto algebraico afı́n V se puede descomponer, en forma única, como unión de subconjuntos algebraicos irreducibles.
Esto es importante porque muchas preguntas sobre conjuntos algebraicos se pueden
responder más fácilmente cuando éstos son irreducibles.
L EMA 1.6. Sea X un espacio topológico arbitrario. Son equivalentes:
(1) X es irreducible.
(2) Si U1 , U2 son subconjuntos abiertos no vacı́os de X, entonces U1 ∩ U2 6= ∅.
8
1. VARIEDADES AFINES
(3) Todo subconjunto abierto no vacı́o de X es denso en X.
Demostración. (1) ⇒ (2): Si U1 ∩ U2 = ∅, tomando complementos X = (X −
U1 ) ∪ (X − U2 ) con X − Ui cerrados propios de X y ası́, por hipótesis, se debe
tener que X = X − U1 o X = X − U2 , i.e., U1 = ∅ o U2 = ∅, una contradicción.
(2) ⇒ (1) es similar.
(1) ⇔ (3) es directo de la definición de densidad.
C OROLARIO 1.7. Sea Y ⊆ X un subconjunto de un espacio topológico X. Si Y es
irreducible entonces su cerradura Y es irreducible.
Demostración. Un abierto U intersecta a Y si y sólo si intersecta a Y .
Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto
irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles
son cerradas y ası́, en el caso de conjuntos algebraicos, las componentes irreducibles
son variedades algebraicas.
P ROPOSICI ÓN 1.8. Sea X un espacio topológico. Entonces,
(1) Cada subconjunto irreducible de X está contenido en una componente irreducible.
(2) X es la unión de sus componentes irreducibles.
Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x ∈ X el conjunto {x}
es irreducible y ası́, por (1), está contenido en una componente irreducible de X.
Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W ⊆ X un subconjunto irreducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W .
ComoSW ∈ F, entonces F 6= ∅, y si {Xi }i∈Λ es una cadena en F, entonces su unión
Y = i∈Λ Xi también está en F ya que X ⊆ Y y Y es irreducible porque si U1 , U2
son abiertos de X tales que Ui ∩ Y 6= ∅, entonces existen ı́ndices i1 , i2 ∈ Λ tales
que Ui ∩ Xik 6= ∅ para j = 1, 2, y como {Xi } es una cadena podemos suponer
que Xi2 ⊆ Xi1 y por lo tanto Ui ∩ Xik 6= ∅, pero como Xik son irreducibles por
1.6 se sigue que U1 ∩ U2 ∩ Xik 6= ∅ y por lo tanto U1 ∩ U2 ∩ Y 6= ∅ que por 1.6
implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y ∈ F. Claramente Y es cota superior
de esta cadena y ası́, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento máximo, que
es, por definición, una componente irreducible de X que contiene a W , como se
querı́a.
Un espacio topológico X se dice que es noetheriano si toda cadena descendente
de subconjuntos cerrados de X:
Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · ⊇ Yj ⊇ · · ·
se estaciona. Observe que si X es un conjunto algebraico afı́n, los cerrados de X
también son conjuntos algebraicos. El ejemplo que nos interesa es una consecuencia
del teorema de la base de Hilbert:
1.1. EL ESPACIO AFÍN
9
C OROLARIO 1.9. Si X ⊆ An es una variedad afı́n, entonces X es un espacio
noetheriano.
Demostración. Por 1.2, a una cadena descendente de cerrados (i.e., subconjuntos
algebraicos) de X
Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · · ⊇ Yj ⊇ · · ·
le corresponde la cadena ascendente de ideales de K[x1 , . . . , xn ]:
I(Y1 ) ⊆ I(Y2 ) ⊆ · · · ⊆ I(Yj ) ⊆ · · ·
que se estaciona porque K[x1 , . . . , xn ] es un anillo noetheriano.
O BSERVACI ÓN . Un espacio topológico X es noetheriano si y sólo si toda cadena
ascendente de abiertos se estaciona. (Esto se sigue tomando complementos). También, por el lema de Zorn, lo anterior es equivalente a que X satisface la condición
máxima para conjuntos abiertos o la condición mı́nima para conjuntos cerrados.
P ROPOSICI ÓN 1.10. Un espacio topológico noetheriano X tiene sólo un número
finito de componentes irreducibles y ninguna componente está contenida en la unión
de otras.
Demostración. Sea F la familia de cerrados de X que no se pueden escribir como
unión finita de subconjuntos irreducibles de X. Probaremos que F es vacı́o. Supongamos que F 6= ∅; por la observación previa a la proposición existe un elemento
mı́nimo Y ∈ F; en particular Y no es irreducible y ası́ existen cerrados Y1 , Y2 Y
tales que Y = Y1 ∪ Y2 . Por la minimalidad de Y se tiene que Yi 6∈ F y por lo
tanto Yi es una unión finita de subconjuntos irreducibles de X y consecuentemente
Y también lo es, lo cual es una contradicción. Se sigue que F = ∅ y por lo tanto
todos los cerrados de X, en particular X mismo, se pueden representar como unión
finita de subconjuntos irreducibles y ası́, por la proposición previa se sigue que
(∗)
X = X1 ∪ · · · ∪ Xn
con las Xi componentes irreducibles de X y Xi 6= Xj si i 6= j.
Ahora, si Y es cualquier componente irreducible de X, de la relación
(∗)
Y =Y ∩X =
n
[
(Xi ∩ Y )
i=1
se sigue que Y = Xi ∩ Y para algún i (ya que Xi ∩ Y ⊆ Y y si sucediera que
Xi ∩ Y
Y para todo i, como los Xi ∩ Y son cerrados, entonces la relación (∗)
contradice el hecho de que Y es irreducible). De la igualdad Y = Xi ∩ Y para algún
i se sigue que Y = Xi , por lo que las Xi , 1 ≤ i ≤ n, son todas las componentes
irreducibles de X, i.e., éstas son un número finito.
S
Finalmente, note que tampoco se puede tener que Xi ⊆ j6=i Xj , ya que de lo
contrario Xi = Xj , para algún j 6= i, en contradicción con (∗).
10
1. VARIEDADES AFINES
C OROLARIO 1.11. Si V ⊆ AnK es cualquier conjunto afı́n, entonces V tiene sólo
un número finito de componentes irreducibles V1 , . . . , Vn y en la representación
V = V1 ∪ · · · ∪ Vn
ningún Vi es superfluo, i.e., ningún Vi está contenido en algún otro.
Ejemplo 7. Sea f ∈ K[x1 , . . . , xn ] y supongamos que f = pe11 · · · perr es su descomposición en factores irreducibles, con los pi distintos. Entonces,
\
hf i = hpe11 · · · perr i = hpei i i
i
con los
hpei i i
ideales distintos. Se sigue que
\q e
\
p
hf i =
hpi i i = hpi i
i
i
p
ya que claramente hpei i i = hpi i. Por lo tanto,
[
(∗)
V(f ) =
V(pi )
i
con cada V(pi ) irreducible porque los hpi i son ideales primos. Más aún, V(pi ) 6⊆
V(pj ), para i 6= j. Ası́, (∗) es la descomposición de la hipersuperficie V(f ) en sus
componentes irreducibles.
Anillos de coordenadas. Ası́ como el anillo K[x1 , . . . , xn ] está naturalmente asociado al espacio afı́n AnK , a cada subvariedad algebraica V ⊆ AnK se le asocia,
en forma natural, su anillo de coordenadas afı́n identificando los polinomios que
definen la misma función en V , es decir, se define
K[V ] := K[x1 , . . . , xn ]/I(V ).
O BSERVACI ÓN . Los elementos φ del anillo de coordenadas K[V ] de una K-variedad
V ⊆ AnK se pueden considerar como funciones φ : V → K, ya que si φ = f + I ∈
K[V ], con f ∈ K[x1 , . . . , xn ], para P = (a1 , . . . , an ) ∈ V se define
φ(P ) := f (a1 , . . . , an ),
y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral φ, ya
que si g es otro tal representante, se tiene que f − g ∈ I(V ) y ası́ f (a1 , . . . , an ) −
g(a1 , . . . , an ) = 0, para todo (a1 , . . . , an ) ∈ V .
Ejemplo 8. Las coordenadas xi ∈ K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) las podemos ver
como funciones xi : V → K que asignan a cada punto P = (a1 , . . . , an ) ∈ V su
i-ésima coordenada xi (P ) := ai .
1.1. EL ESPACIO AFÍN
11
O BSERVACI ÓN . El anillo K[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene a
las funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos como
funciones constantes).
Una consecuencia directa de 1.5 es:
C OROLARIO 1.12. Un subconjunto algebraico afı́n V ⊆ AnK es irreducible si y
sólo si su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero.
Ejemplo 9. Si K es algebraicamente cerrado y m ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es un ideal
máximo, entonces X = V(m) es una variedad irreducible que es un cerrado mı́nimo
de AnK (por la correspondencia 1.4 y por lo tanto debe consistir de un sólo punto,
digamos P = (a1 , . . . , an ). Se sigue que todo ideal máximo de K[x1 , . . . , xn ] es
de la forma m = hx1 − a1 , . . . , xn − an i. De hecho, se tiene algo más:
P ROPOSICI ÓN 1.13. Sea K un campo algebraicamente cerrado y sea V ⊆ AnK algebraico. Existe una correspondencia biunı́voca entre los puntos de V y los ideales
máximos del anillo de coordenadas K[V ].
Demostración. Si m ⊆ K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) es un ideal máximo, entonces
corresponde a un único ideal máximo m ⊆ K[x1 , . . . , xn ] que contiene a I(V ) y
por lo tanto V(m) ⊆ V(I(V )) = V . Por el ejemplo 9 anterior V(m) consiste de un
único punto y ası́ este punto pertenece a V .
Recı́procamente, si P ∈ V es un punto, entonces {P } ⊆ V ⊆ AnK y por 1.2 se
sigue que I{P } ⊇ I(V ). Por otra parte, si P = (a1 , . . . , an ), entonces claramente
I(P ) = hx1 − a1 , . . . , xn − an i y éste es un ideal máximo de K[x1 , . . . , xn ] que
contiene a I(V ), i.e., corresponde a un único ideal máximo de K[V ].
√
Un anillo A es reducido si su nilradical 0 = 0, es decir, si A no tiene elementos nilpotentes.
P ROPOSICI ÓN 1.14. Si I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y V = V(I), entonces el anillo de
coordenadas K[V ] es reducido.
√
√
Demostración. Por 1.4, I(V(I))
=
I
y
ası́
K[V
]
=
K[x
,
.
.
.
,
x
]/
I por lo que
1
n
p√
√
I = I, i.e., es cero.
el nilradical de K[V ] es
Puntos racionales. Si k ⊆ K es un subcampo, considerando puntos con coordenadas en k, el conjunto
AnK (k) := {(a1 , . . . , an ) ∈ AnK : ai ∈ k}
se llamará el conjunto de puntos k-racionales de AnK . El grupo de Galois Gk :=
Gal(K/k) actúa sobre AnK mediante
σ(P ) = P σ = (σ(a1 ), . . . , σ(an )
12
1. VARIEDADES AFINES
para σ ∈ Gk y P = (a1 , . . . , an ) ∈ AnK . Se sigue que el conjunto de puntos kracionales AnK (k) se puede caracterizar por
AnK (k) = subconjunto de AnK invariante bajo la acción de Gk
= {P ∈ AnK : P σ = P para todo σ ∈ Gk }.
Si V es una variedad afı́n y k ⊆ K es un subcampo, diremos que V está definida
sobre k si su ideal I(V ) puede ser generado por polinomios con coeficientes en k.
Usaremos la notación V /k para indicar que V está definida sobre k. Nótese que aún
cuando V esté definida sobre k, el conjunto de puntos de V está, en general, en AnK ,
i.e., los polinomios que definen a V pueden tener (y, en general, tienen) ceros en K
fuera de k. En geometrı́a diofantina uno de los problemas básicos es la descripción
del conjunto de puntos k-racionales de la variedad V que se define por
V (k) := V ∩ AnK (k).
Nótese que si f ∈ k[x1 , . . . , xn ] ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y si P ∈ AnK , entonces para
todo σ ∈ Gk se tiene que f (P σ ) = f (P )σ y por lo tanto, si V está definida sobre k
la acción de Gk en AnK induce una acción en V y se tiene que
V (k) := puntos de V invariantes bajo la acción del grupo de Galois Gk
= {P ∈ V : P σ = P para todo σ ∈ Gk }.
Ejemplo 10. Sea V el conjunto algebraico en A2K dado por el polinomio x2 −y 2 = 1.
Observe que como los coeficientes de este polinomio son ±1, entonces V está definido sobre cualquier subcampo k de K. Ahora, si suponemos que car K 6= 2,
entonces se tiene la biyección
2
t + 1 t2 − 1
1
,
.
AK (k) − {0} −→ V (k) dada por t 7→
2t
2t
Ejemplo 11. Recordemos que la conjetura de Fermat (ahora teorema por Wiles) asegura que, para n ≥ 3, las únicas soluciones enteras de xn +y n = z n son las triviales,
i.e., aquellas con xyz = 0. Si ahora deshomogeneizamos esta ecuación dividiendo
entre z 6= 0 y ponemos X = x/z, Y = y/z, en la ecuación afı́n correspondiente
X n + Y n = 1 se buscan ahora soluciones con coordenadas racionales, en Q, y si
V es la variedad definida por este polinomio, la conjetura de Fermat asegura en este
caso, que las únicas soluciones son, para n ≥ 3:
(
{(1, 0), (0, 1)}
para n impar,
V (Q) =
{(±1, 0), (0, ±1)} para n par.
EJERCICIOS
13
Ejercicios
E JERCICIO 1. Sea K un campo algebraicamente cerrado y suponga que f, g ∈
K[x, y] son dos polinomios coprimos. Demuestre que V{f, g} = V(f ) ∩ V(g) es
un conjunto finito. Sugerencia: Muestre primero que f, g son coprimos en el DIP
K(x)[y] y luego exprese su máximo común divisor como combinación lineal de f
y g; después eliminando denominadores muestre que existen h ∈ K[x] y a, b ∈
K[x, y] tales que h = af + bg. Concluya que hay sólo un número finito de valores
posibles de la coordenada x de los puntos de V(f, g).
E JERCICIO 2. Sea K un campo algebraicamente cerrado. Demuestre que los subconjuntos irreducibles del plano A2K son: A2K , ∅, puntos y curvas irreducibles V(f ),
donde f es un polinomio irreducible tal que V(f ) es infinito.
E JERCICIO 3. Si J ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es un ideal, la inclusión J ⊆ I(V(J)) de 1.4
puede ser estricta, por ejemplo si el campo base K no es algebraicamente cerrado.
Un ejemplo tı́pico serı́a con K = R y f (x) = x2 + 1 ∈ R[x] tomando J =
hx2 + 1i ⊆ R[x]. Muestre que I(V(J)) = R[x].
E JERCICIO 4. Aún cuando K sea algebraicamente cerrado, la inclusión J ⊆ I(V(J))
de 1.4 puede ser estricta. Muestre que para el polinomio f (x) = x ∈ C[x] si
J = hf 2 i = hx2 i ⊆ C[x] se tiene que J I(V(J)).
E JERCICIO 5. Sea J = hxy, xz, yzi ⊆ K[x, y, z].
Identifique V(J) ⊆ A3K .
¿Es irreducible?
¿Cómo es la inclusión J ⊆ I(V(J))?
E JERCICIO 6. Sea J = hxy, (x − y)zi.
Identifique
√ V(J).
Calcule J.
E JERCICIO 7. Sea K algebraicamente cerrado. Demuestre que toda K-álgebra finitamente generada es isomorfa a un cociente K[x1 , . . . , xn ]/I.
E JERCICIO 8. Demuestre que un espacio topológico irreducible es conexo. Sin embargo, se puede tener un espacio conexo que no es irreducible. Por ejemplo en A2K
el conjunto V(xy) es la unión de los ejes coordenados, que es conexo, pero no es
irreducible.
E JERCICIO 9. Si V ⊆ AnK es algebraico afı́n, demuestre que es disconexo si y
sólo si existen ideales I, J ⊆ K[x1 , . . . , xn ] tales que I ∩ J = I(V ) e I + J =
K[x1 , . . . , xn ].
14
1. VARIEDADES AFINES
E JERCICIO 10. Demuestre que en un espacio topológico Hausdorff los puntos son
los únicos subconjuntos irreducibles.
E JERCICIO 11. Demuestre que un espacio topológico Hausdorff es noetheriano si y
sólo si es finito.
E JERCICIO 12. Sea ρ : K[x1 , . . . , xn ] K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) el epimorfismo canónico. Muestre que, bajo la biyección inducida por ρ entre ideales de
K[V ] e ideales de K[x1 , . . . , xn ] que contienen a I(V ), se tiene que ideales radicales corresponden a ideales radicales, e ideales máximos corresponden a ideales
máximos.
E JERCICIO 13. Sea V ⊆ AnK un conjunto algebraico afı́n. Si f ∈ K[V ] se define
D(f ) := {a ∈ V : f (a) 6= 0} = V − Vhf i.
Demuestre:
√
√
D(f ) ⊆ D(g) ⇔ V(f ) ⊇ V(g) ⇔ f ⊆ g.
D(f g) = D(f ) ∩ D(g).
D(f n ) = D(f ).
Los conjuntos D(f ) forman una base de la topologı́a de Zariski en V .
De hecho, todo abierto de V es una unión finita de abiertos de la forma
D(f ).
D(f ) = ∅ si y sólo si f es nilpotente.
D(f ) es denso en V si y sólo si para todo g ∈ K[V ] no nilpotente se tiene
que f g no es nilpotente.
D(f ) es denso en V si y sólo si f no es un divisor de cero en K[V ].
E JERCICIO 14. Demuestre que los subconjuntos cerrados de V están en correspondencia biunı́voca con los ideales radicales de K[V ].
E JERCICIO 15. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, una subvariedad de V es subconjunto afı́n irreducible W ⊆ AnK tal que W ⊆ V . Demuestre que existe una
correspondencia biunı́voca entre la familia de subvariedades de V y el conjunto de
ideales primos de K[V ].
E JERCICIO 16. Descomponga el conjunto afı́n V(x2 − yz, xz − x) ⊆ A3K en sus
componentes irreducibles.
E JERCICIO 17. Muestre que la cúbica alabeada {(t, t2 , t3 ) ∈ A3K : t ∈ K} ⊆ A3K
es un conjunto algebraico afı́n. Grafique este curva en A3R para visualizar por qué se
dice que es alabeada (combada o torcida).
E JERCICIO 18. Muestre que el conjunto {(r, θ) ∈ A2K : r = sen θ}, con (r, θ)
coordenadas polares, es algebraico afı́n.
E JERCICIO 19. Muestre que el conjunto {(x, y) ∈ A2K
algebraico afı́n.
:
y = sen x} no es
1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT
15
E JERCICIO 20. Demuestre que toda variedad afı́n es compacta. (De hecho, casicompacta, porque no es Hausdorff).
E JERCICIO 21. Muestre que la parábola C = V(y − x2 ) ⊆ A2C es irreducible.
E JERCICIO 22. Descomponga C = V(y 4 − x2 , y 4 − x2 y 2 + xy 2 − x3 ) ⊆ A2C en
sus componentes irreducibles.
E JERCICIO 23. Generalizando el ejercicio 17, muestre que el conjunto
V = {(t, t2 , . . . , tn ) ∈ AnK : t ∈ K} ⊆ A3K
es una variedad afı́n.
E JERCICIO 24. Muestre que V = V(x2 − y 3 , y 2 − z 3 ) ⊆ A3K es irreducible.
1.2.
El teorema de los ceros de Hilbert
Después de definir subconjuntos algebraicos afines V(I) ⊆ AnK , para un ideal
propio I $ K[x1 , . . . , xn ], lo primero que tenı́amos que garantizar es que estos conjuntos no son vacı́os. Como mencionamos oportunamente, ésto es parte del teorema
de los ceros de Hilbert (la parte débil), y después, para probar la biyectividad de la
correspondencia en 1.4
{subconjuntos algebraicos de An } o
I
V
/
{ideales radicales de K[x1 , . . . , xn ]}
√
se requerı́a que IV(J) = J, lo cual también es parte del teorema de Hilbert que
a continuación probaremos, aceptando por el momento un lema de Zariski sobre
extensiones de campos, mismo que probaremos inmediatamente después, cuando
ya se hayan introducido los preliminares correspondientes:
T EOREMA 1.15 (Teorema de los ceros de Hilbert). Sea K un campo algebraicamente cerrado. Entonces,
(1) Todo ideal máximo m del anillo de polinomios K[x1 , . . . , xn ] es de la forma
m = hx1 − a1 , . . . , xn − an i,
con los aj ∈ K.
(2) Para todo ideal propio I $ K[x1 , . . . , xn ] se tiene que V(I) 6= ∅.
√
(3) Para todo ideal I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] se tiene que I(V(I)) = I.
Demostración. (1) Para comenzar, los ideales hx1 − a1 , . . . , xn − an i son máximos
ya que
K[x1 , . . . , xn ]/hx1 − a1 , . . . , xn − an i ' K
porque mediante una traslación podemos suponer que los ai = 0 y entonces el
morfismo evaluación f 7→ f (0, . . . , 0) es suprayectivo, manda un polinomio f a
16
1. VARIEDADES AFINES
su término constante y por lo tanto su núcleo lo forman los polinomios sin término
constante, i.e., los polinomios divisibles por algún xi , i.e., el núcleo es hx1 , . . . , xn i
y ası́ por el primer teorema de isomorfismo de Noether se tiene el isomorfismo
deseado. Supongamos ahora que m ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es un ideal máximo. Considere entonces la composición de morfismos
ϕ : K ,→ K[x1 , . . . , xn ] K[x1 , . . . , xn ]/m =: A
donde A es un campo porque m es máximo. Más aún, la K-álgebra A es finitamente
generada (por las clases residuales xi + m) y como es un campo, por el lema de
Zariski se sigue que A es algebraico sobre K, y como K es algebraicamente cerrado
entonces se tiene que ϕ : K ' A. Para cada xi +m ∈ A se tiene ası́ un único ai ∈ K
tal que ϕ(ai ) = xi +m. Es decir, xi −ai ∈ m y por lo tanto hx1 −a1 , . . . , xn −an i ⊆
m. Pero como como hx1 −a1 , . . . , xn −an i es máximo, entonces se tiene la igualdad
hx1 − a1 , . . . , xn − an i = m, como se querı́a.
Note ahora que (2) se sigue de (1) porque como I es propio, entonces está contenido en un ideal máximo, que por (1) es de la forma hx1 −a1 , . . . , xn −an i, es decir,
I ⊆ hx1 − a1 , . . . , xn − an i. Entonces, por 1.1 se sigue que Vhx1 − a1 , . . . , xn −
an i ⊆ V(I). Pero es claro que
Vhx1 − a1 , . . . , xn − an i = {(a1 , . . . , an )}
y por lo tanto V(I) contiene al punto (a1 , . . . , an ).
√
Mostraremos
(3) se sigue de (2). Para comenzar, I ⊆ I(V(I))
√ ahora que m
porque si f ∈ I, entonces f ∈ I para algún m, y por lo tanto para todo P ∈ V(I)
se tiene que f m (P ) = 0 y consecuentemente f (P ) = 0, i.e., f ∈ IV(I). Para
la inclusión recı́proca, sea f ∈ IV(I) y escribamos I = hh1 , . . . , hr i. Queremos
mostrar que f m ∈ I para algún m. Para hacer ésto, considere el anillo Af :=
K[x1 , . . . , xn ]f obtenido al invertir f en el anillo A := K[x1 , . . . , xn ] y el morfismo
de localización A → Af . Mostraremos que el ideal IAf generado por la imagen de
I en el anillo Af es todo Af , i.e, mostraremos que 1 ∈ Af . Una vez probado lo
anterior, note que podemos escribir
X
1=
gi hi /f m
(escogiendo un denominador común)
i
P
y consecuentemente f m =
i gi hi ∈ I = hh1 , . . . , hr i, como se querı́a. Basta
entonces probar que IAf = Af . Ahora, por el ((truco)) de Rabinowitsch, vea 1.26:
Af ' A[t]/hf t − 1i = K[x1 , . . . , xn , t]/hf t − 1i,
y por lo tanto
IAf ' IK[x1 , . . . , xn , t]/hf t − 1i = hI, f t − 1i/hf t − 1i
y ası́ debemos mostrar que el 1 ∈ Af está en el ideal
If := hI, f t − 1i = hh1 , . . . , hr , f t − 1i ⊆ K[x1 , . . . , xn , t],
1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT
17
y usando la parte (2) basta mostrar que V(If ) = ∅ en An+1
K , y para esto último
observe que (a1 , . . . , an , b) ∈ V(If ) si y sólo si los generadores hi de I se anulan
en el punto P = (a1 , . . . , an ) (ya que los hi no contienen la variable t), es decir,
P ∈ V(I), y como f ∈ IV(I), entonces f se anula en P . Ahora, como f t − 1 se
anula en el punto (P, b), i.e., 0 = (f t − 1)(P, b) = f (P )b − 1, entonces bf (P ) = 1.
Pero esta última igualdad dice que f (P ) 6= 0, en contradicción con el hecho de
que f se anula en P . Se sigue que V(If ) = ∅ y por la parte (2) esto implica que
If = h1i, como se querı́a.
En la demostración del teorema de los ceros de Hilbert usamos un lema de
Zariski que a continuación probaremos, después de unos preliminares algebraicos,
y también demostramos el lema de Rabinowitsh 1.26.
Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A ⊆ B anillos de tal forma que
B es una A-álgebra.
Diremos que B es una A-álgebra finita si B es finitamente generado como
A-módulo, i.e., si existen α1 , . . . , αn ∈ B tales que todo b ∈ B es una
combinación lineal de los αi con coeficientes en A:
b = a1 α1 + · · · + an αn
con los ai ∈ A.
Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen α1 , . . . , αn ∈ B tales
que todo elemento b ∈ B es un polinomio en los αi con coeficientes en A,
i.e., existe un polinomio f ∈ A[x1 , . . . , xn ] tal que b = f (α1 , . . . , αn ).
Si b ∈ B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio mónico
φ(x) = xm + am1 xm−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A[x]
tal que φ(b) = 0.
Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobre
A.
Claramente toda A-álgebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondiente
es de primer grado f = a1 x1 + · · · + an xn . También, B es una A-álgebra de tipo
finito si y sólo si existe un epimorfismo de A-álgebras
ϕ : A[x1 , . . . , xn ] B
sencillamente definiendo αi = ϕ(xi ).
Ejemplo 12. Si A ⊆ B son anillos, todo elemento α de A es entero sobre A ya que
es raı́z del polinomio mónico x − α ∈ A[x].
Ejemplo 13. Para Z ⊆ Q, los racionales r/s ∈ Q que son enteros son los elementos
de Z. En efecto, si a/b ∈ Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimos
18
1. VARIEDADES AFINES
y como se tiene una igualdad de la forma
an
an−1
a
+ rn−1 n−1 + · · · + r1 + r0 = 0
n
b
b
b
n
multiplicando por b queda
con ri ∈ Z
an + rn−1 an−1 b + · · · + r1 abn−1 + r0 bn = 0
de donde se sigue que b divide a an y como mcd(a, b) = 1 entonces b|a pero siendo
coprimos ésto sólo es posible si b = ±1 y por lo tanto a/b ∈ Z, como se querı́a.
L EMA 1.16. Sean A ⊆ B anillos y α ∈ B. Son equivalentes:
(1) α es entero sobre A.
(2) El subanillo A[α] ⊆ B es finitamente generado como A-módulo.
(3) Existe un subanillo C con A ⊆ C ⊆ B tal que α ∈ C y C es finitamente
generado como A-módulo.
Demostración. (1) ⇒ (2): Como α es entero sobre A se tiene que
αn = −(an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 ) ∈ h1, α, . . . , αn−1 i
y por lo tanto
αn+1 = −an−1 αn − (an−2 αn−1 + · · · + a1 α2 + a0 α) ∈ h1, α, . . . , αn−1 i
y por inducción, para todo k ≥ 0:
αn+k = −(an−1 αn+k−1 + · · · + a1 αk+1 + a0 αk ) ∈ h1, α, . . . , αn−1 i
de donde se sigue que todas las potencias αt con t ≥ 0 están el el A-módulo
h1, α, . . . , αn−1 i y como estas potencias generan A[α], entonces éste es un A-módulo finitamente generado.
(2) ⇒ (3): Sea C = A[α].
(3) ⇒ (1): Sea y1 , . . . , yn un conjunto de generadores de C como A-módulo, i.e.,
C = Ay1 + · · · + Ayn . Como α ∈ C, los yi ∈ C y C es un anillo entonces αyi ∈ C
y escribiendo estos elementos en términos de los generadores yi de C:
αyi = ai1 y1 + · · · + ain yn
con los aij ∈ A
y la igualdad anterior se puede escribir como
n
X
δij α − aij yj = 0
con 1 ≤ i ≤ n y δij una delta de Kronecker
j=1
el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en y1 , . . . , yn . Por la
regla de Cramer se tiene que det(δij α − aij ) · yi = 0 para todo i, y como C está generado por los yi se sigue que det(δij α − aij ) · C = 0 y ası́ para el 1 ∈ C se tiene
1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT
19
que det(δij α − aij ) · 1 = 0, i.e., det(δij α − aij ) = 0. Finalmente, desarrollando el determinante det(δij x − aij ) (poniendo la indeterminada x en lugar de α) se
obtiene un polinomio con coeficientes en A que se anula en α y este polinomio es
mónico porque el término de grado xn proviene del producto de los elementos de la
diagonal principal (x − a11 ) · · · (x − ann ). Se sigue que α es entero sobre A.
C OROLARIO 1.17. Si A ⊆ B son anillos y α1 , · · · , αn ∈ B son enteros sobre A,
entonces A[α1 , . . . , αn ] es un A-módulo finitamente generado.
Demostración. Inducción sobre n.
C OROLARIO 1.18. Si A ⊆ B son anillos y α, β ∈ B son enteros sobre A, entonces
α ± β y αβ son enteros sobre A.
Demostración. Por el corolario anterior A[α, β] es finitamente generado sobre A y
como α ± β y αβ están en A[α, β], por la parte (3) del lema anterior se sigue que
son enteros sobre A.
C OROLARIO 1.19. Si A ⊆ B son anillos y A := {α ∈ B : α es entero sobre A},
entonces A es un anillo y A ⊆ A ⊆ B.
Demostración. Directo del corolario anterior.
El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que
A es integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo de
fracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado en
su campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado.
Ejemplo 14. Todo dominio de factorización única (DFU) es integralmente cerrado.
Note que ésto generaliza el ejemplo 13 y la demostración es similar: si A es un
DFU con campo de fracciones K y si a/b ∈ K es entero sobre A, si suponemos
que a/b 6∈ A, entonces existe un elemento irreducible p ∈ A tal que p|b pero p - a.
Por otra parte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuación polinomial
(a/b)n + cn−1 (a/b)n−1 + · · · + c1 (a/b) + c0
con ci ∈ A.
Multiplicando por bn se obtiene la ecuación
an + cn−1 an−1 b + · · · + c1 abn−1 + c0 bn = 0
donde p divide a cada término de la izquierda excepto a lo más a an y ası́ debe
dividir a an y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradicción.
C OROLARIO 1.20. Si A ⊆ B son anillos, son equivalentes:
(1) B es una A-álgebra finita.
(2) B es una A-álgebra de tipo finito y es entero sobre A.
20
1. VARIEDADES AFINES
Demostración. (1) ⇒ (2): Toda A-álgebra finita es de tipo finito. Más aún, como
B es finitamente generado como A-módulo, por la parte (3) del lema anterior B es
entera sobre A.
(2) ⇒ (1): Por hipótesis existen α1 , . . . , αn ∈ B tales que B = A[α1 , . . . , αn ], y
como los αi son enteros sobre A, entonces por el lema anterior (de hecho, por el
corolario 1.17) B = A[α1 , . . . , αn ] es un A-módulo finitamente generado.
P ROPOSICI ÓN 1.21. Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L es
un campo que contiene a K. Si α ∈ L es algebraico sobre K, entonces existe un
d ∈ A tal que dα es entero sobre A.
Demostración. Como es algebraico α satisface una ecuación polinomial
αm + am−1 αm−1 + · · · + a1 α + a0 = 0
con los ai ∈ K.
Sea d el común denominador de los ai de tal forma que dai ∈ A y multipliquemos
la igualdad anterior por dm para obtener
dm αm + am−1 dm αm−1 + · · · + a1 dm α + a0 dm = 0
que se puede reescribir como
(dα)m + am−1 d(dα)m−1 + · · · + a1 dm−1 (dα) + a0 dm = 0
donde los coeficientes am−1 d, . . . , a1 dm−1 , a0 dm ∈ A y ası́ la igualdad anterior
muestra que dα es raı́z de un polinomio mónico con coeficientes en A, i.e., dα es
entero sobre A.
C OROLARIO 1.22 (Zariski). Si K ⊆ L son campos con L de tipo finito, entonces
L/K es una extensión algebraica y por lo tanto L/K es una extensión finita.
Demostración. Por hipótesis existen α1 , . . . , αn ∈ L tales que L = K[α1 , . . . , αn ]
y los elementos de L son polinomios en los αi con coeficientes en K. Entonces,
basta mostrar que todos los αi son algebraicos sobre K. Supongamos que ésto no
es ası́ y que algunos de los αi son trascendentes sobre K. Sin perder generalidad,
supongamos que α1 es trascendente sobre K y que el resultado es válido para extensiones de tipo finito con < n generadores. Ahora, como α1 es trascendente sobre
K, K[α1 ] es un anillo polinomial sobre K y su campo de fracciones K(α1 ) ⊆ L.
Claramente L es de tipo finito sobre K(α1 ) y está generado por los α2 , . . ., αn
y ası́, por hipótesis de inducción la extensión L/K(α1 ) es algebraica; en particular, para 2 ≤ i ≤ n todos los αi son algebraicos sobre K(α1 ). Por 1.21, existe
un d ∈ K[α1 ] tal que dαi es entero sobre K[α1 ], para todo i ≥ 2. Entonces, para cualquier f ∈ L = K[α1 , . . . , αn ] existe un N suficientemente grande tal que
dN f ∈ K[α1 , dα2 , . . . , dαn ] y ası́, por 1.16 ó 1.18, se sigue que dN f es entero
sobre K[α1 ]. En particular, aplicando este último resultado a un f ∈ K(α1 ) ⊆ L
1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT
21
arbitrario, se tiene que dN f es entero sobre K[α1 ] y este último es un dominio entero y ası́, por el ejemplo 14 es integralmente cerrado, es decir, dN f ∈ K[α1 ]. Se
sigue que
[
d−N K[α1 ]
K(α1 ) =
N
lo cual es absurdo porque K[α1 ] ' K[x] es un anillo de polinomios sobre un campo
y por lo tanto tiene un número infinito de mónicos irreducibles (por el argumento
de Euclides) que pueden ocurrir como denominadores de los elementos de K(α1 ).
Se sigue que n = 0, como se querı́a.
Localización. Una técnica usual al estudiar objetos geométricos es la de concentrarse cerca de un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geométricas
se pueden deducir de este proceso localizado. Similarmente, en teorı́a de números
al estudiar congruencias, por ejemplo, módulo un entero n, factorizando el entero
n como producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estas
congruencias módulo un primo p o potencias pr de este primo. Este proceso de localización tiene gran importancia, no sólo en geometrı́a y teorı́a de números, sino en
el álgebra en general y en otras ramas de la matemática. En esta sección se algebriza
el proceso de localización generalizando la construcción del campo de los números
racionales a partir del dominio entero Z.
Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S ⊆ A es un subconjunto multiplicativo,
i.e., 1 ∈ S y a, b ∈ S implica que ab ∈ S, se define la relación (que resulta de
equivalencia, como se verificará en el ejercicio 25) en A×S mediante (a, s) ∼ (b, t)
⇔ existe u ∈ S tal que u(at − bs) = 0. En el conjunto cociente S −1 A := A × S/ ∼
denotamos a la clase de equivalencia de (a, s) como [a, s] o como a/s y se definen
las operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q:
at + bs
ab
ab
a b
+ :=
y
:=
s
t
st
st
st
y resulta que, para comenzar, están bien definidas, y hacen de S −1 A un anillo conmutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s ∈ S y
el uno es s/s, para cualquier s ∈ S. Más aún, se tiene un morfismo de anillos
ϕ : A → S −1 A dado por ϕ(a) := a/1, al que se llama el morfismo canónico, que
en general no es inyectivo. Al anillo S −1 A se le conoce como el anillo de fracciones
de A con respecto a S.
Ejemplo 15. La construcción anterior generaliza la construcción del campo de números racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z − {0}. De hecho, en
general, si A es un dominio entero y S = A − {0}, entonces S es un subconjunto
multiplicativo y S −1 A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo de
fracciones de A. En este caso, el morfismo ϕ : A → K(A) es inyectivo.
22
1. VARIEDADES AFINES
Las primeras propiedades del anillo S −1 A son:
L EMA 1.23. Si S ⊆ A es cualquier conjunto multiplicativo y ϕ : A → S −1 A es el
morfismo canónico, entonces:
∗
(1) s ∈ S ⇒ ϕ(s) es unidad de S −1 A, i.e., ϕ(S) ⊆ S −1 A .
(2) ϕ(a) = 0 ⇔ as = 0 para algún s ∈ S. En otras palabras,
ker ϕ = {a ∈ A : existe s ∈ S tal que sa = 0}.
(3) Todo a/s ∈ S −1 A es de la forma ϕ(b)ϕ(t)−1 , para b ∈ A, t ∈ S.
Demostración. Sólo probaremos (1). En este caso note que si s ∈ S entonces 1/s ∈
S −1 A y se tiene que ϕ(s) · (1/s) = (s/1)(1/s) = s/s = 1.
De hecho, el anillo S −1 A junto con el morfismo canónico ϕ : A → S −1 A están
determinados por la propiedad (1) del lema anterior:
T EOREMA 1.24 (Propiedad universal del anillo de fracciones). Sea ϕ : A → S −1 A
el morfismo canónico. Si f : A → B es cualquier otro morfismo de anillos tal que
f (S) ⊆ B ∗ , entonces existe un único morfismo de anillos fˆ : S −1 A → B tal que
el diagrama siguiente conmuta:
A
ϕ
f
/B
<
fˆ
S −1 A
Demostración. Los elementos de S −1 A son clases de equivalencia de la forma a/s
y escogiendo un representante (a, s) ∈ a/s ponemos fˆ(a/s) := f (a)f (s)−1 , recordando que por hipótesis f (s) ∈ B ∗ y por lo tanto f (s)−1 ∈ B. Observe ahora que si
(a0 , s0 ) ∈ a/s es otro representante, entonces existe u ∈ S tal que u(as0 − a0 s) = 0,
y aplicando f a esta igualdad se obtiene que f (u)(f (a)f (s0 ) − f (a0 )f (s)) = 0
donde f (u) ∈ B ∗ por lo que f (a)f (s0 ) = f (a0 )f (s) con f (s), f (s0 ) ∈ B ∗ y
ası́ f (a)f (s)−1 = f (a0 )f (s0 )−1 , y consecuentemente fˆ es una función. Claramente
es un morfismo porque f lo es, y si a ∈ A entonces
fˆ(ϕ(a)) = fˆ(a/1) = f (a)f (1)−1 = f (a),
i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora que g : S −1 A → B es otro
morfismo tal que g ◦ ϕ = f . Para mostrar que fˆ = g, sea a/s ∈ S −1 A arbitarrio.
Escribiendo a/s = (a/1)(1/s) en S −1 A, notamos que g(a/1) = g(ϕ(a)) = f (a)
−1
y g(1/s) = g (s/1)−1 = g ϕ(s)−1 = g ◦ ϕ(s)
= f (s)−1 y ası́
g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = f (a)f (s)−1 = fˆ(a/s).
1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT
23
Como una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior determinan S −1 A salvo isomorfismo:
C OROLARIO 1.25. Si S ⊆ A es un subconjunto multiplicativo y f : A → B es un
morfismo de anillos tal que
(1) f (S) ⊆ B ∗ .
(2) f (a) = 0 ⇒ existe s ∈ S tal que as = 0.
(3) Todo b ∈ B es de la forma f (a)f (s)−1 , con a ∈ A, s ∈ S.
Entonces, existe un único isomorfismo fˆ : S −1 A → B tal que el diagrama siguiente
conmuta:
A
ϕ
f
/B
<
'
fˆ
S −1 A
Demostración. La tı́pica de objetos que satisfacen propiedades universales.
Ejemplo 16. Si p ⊆ A es un ideal primo, entonces S = A − p es multiplicativo. Se
suele usar la notación
Ap := S −1 A.
Note que A es un dominio entero si y sólo si el ideal 0 ⊆ A es primo. Por lo tanto
A0 = K(A) es el campo de fracciones de A.
Ejemplo 17. Si f ∈ A no es cero y S = {f n : n ≥ 0}, entonces S es multiplicativo. Usaremos la notación Af := S −1 A.
L EMA 1.26 (Rabinowitsch). Si f ∈ A y Af es la localización de A con respecto al
conjunto multiplicativo S = {f n ; n ≥ 0}, entonces la función
A[t]/hf t − 1i −→ Af
dada por an tn + · · · + a1 t + a0 7→ an /f n + · · · + a1 /f + a0 es un isomorfismo.
Demostración. Si f = 0 ambos anillos son cero y ası́ podemos suponer que f 6= 0.
Ahora, en el anillo A[t]/hf t − 1i se tiene que 1 = f t, donde denotamos con el
mismo sı́mbolo t a la clase de t en el cociente, y por lo tanto f es una unidad.
Sea φ : A → B cualquier morfismo de anillos tal que φ(f ) sea una unidad en B.
Entonces, φ se extiende a un morfismo
X
X
ai ti 7→
φ(ai )φ(f )−i : A[t] → B
i.e., mandando t en φ(f )−1 , el cual se factoriza a través de A[t]/hf t − 1i :
24
1. VARIEDADES AFINES
A
φ
9/ B B
A[t]
A[t]/hf t − 1i
porque f t−1 7→ φ(f )φ(f )−1 −1 = 1−1 = 0, y como φ(f ) es una unidad en B este
morfismo que extiende φ : A → B a A[t]/hf t − 1i es único con esta propiedad. Se
sigue que este cociente tiene la propiedad universal de Af y por lo tanto es isomorfo
a Af por medio de un isomorfismo que fija a A y manda t a f −1 .
Ejercicios
E JERCICIO 25. Verifique que la relación usada para definir el anillo de fracciones
S −1 A es, en efecto, de equivalencia. Compruebe también que las operaciones de
suma y producto en S −1 A están bien definidas y hacen de S −1 A un anillo conmutativo con uno.
E JERCICIO 26. Demuestre que un ideal radical I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es una intersección finita de ideales primos I = p1 ∩· · ·∩pr . Si no hay inclusiones entre los ideales
primos pi , entonces éstos están unı́vocamente determinados.
E JERCICIO
√ 27. Sea I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] un ideal y f ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Demuestre
que f ∈ I si y sólo si 1 ∈ hI, f t − 1i, donde hI, f t − 1i ⊆ K[x1 , . . . , xn , t].
Sugerencia: vea cómo se usó el ((truco)) de Rabinowitsch en la demostración del
teorema de los ceros de Hilbert.
E JERCICIO 28. Use el teorema de los ceros para probar que el radical de un ideal
I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es la intersección de los ideales máximos que lo contienen.
E JERCICIO 29. Sea I ⊆ A un ideal. Demuestre que I es radical si y sólo si A/I es
un anillo reducido (i.e., no tiene nilpotentes diferentes de cero). Si I, J son ideales
radicales de A, demuestre que I ∩ J es radical. Sin embargo, I + J no tiene por
qué ser radical. Muestre que para I = hy − x2 i y J = hy + x2 i, ambos son ideales
primos de K[x, y], y√por lo tanto son ideales radicales, pero I + J no es radical. De
hecho, muestre que I + J = hx, yi. Dibuje (o imagine) la situación geométrica,
es decir, considere las variedades afines asociadas.
E JERCICIO 30
Si V, V 0 ⊆ AnK son subconjuntos algebraicos afines, demuestre que
p
I(V ∩ V 0 ) = I(V ) + I(V 0 ). Sugerencia: V ∩ V 0 es mayor subconjunto algebraico
contenido en V y V 0 .
1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES
25
E JERCICIO 31. Demuestre que, para un polinomio f ∈ K[x], el ideal hf i es radical
si y sólo si f es libre de cuadrados (i.e., en su factorización como producto de
polinomios irreducibles no aparencen factores repetidos).
E JERCICIO 32. Si V = V(x2 , xy 2 ), calcule I(V ) y muestre que es el radical de
hx2 , xy 2 i.
E JERCICIO 33. Usando que K[x, y] es un DFU, muestre que los ideales primos de
K[x, y] son de la forma:
(i) h0i.
(ii) hf (x, y)i, con f ∈ K[x, y] irreducible.
(iii) hx − a, y − bi, con a, b ∈ K.
Vea el ejercicio 2 de §1.1
1.3.
Morfismos entre variedades afines
Ya que hemos definido variedades algebraicas afines, para poder compararlas
necesitamos definir morfismos entre ellas, donde la idea es pensar a un morfismo
como una función definida por polinomios o cocientes de ellos. Para formalizar ésto
comenzamos definiendo las funciones regulares en una variedad afı́n, análogas a las
funciones holomorfas en una superficie de Riemann.
Aplicaciones polinomiales. Si V ⊆ AnK y W ⊆ Am
K son conjuntos algebraicos
afines, una función f : V → W se dice que es una aplicación polinomial si existen
polinomios f1 , . . . , fm ∈ K[x1 , . . . , xn ] tales que para todo punto P ∈ V se tiene
que
f (P ) = f1 (P ), . . . , fm (P ) .
Observe que si W = A1K = K, la noción de aplicación polinomial f : V →
W = K coincide con la noción de función polinomial en V del ejercicio 34, o
equivalentemente con los elementos del anillo de coordenadas K[V ] vistos como
funciones V → K.
P ROPOSICI ÓN 1.27. Sean V ⊆ AnK , W ⊆ Am
K conjuntos afines. Denotemos con
K[x1 , . . . , xn ] y K[y1 , . . . , ym ] a los anillos polinomiales correspondientes. Entonces, una función f : V → W es una aplicación polinomial si y sólo si yj ◦f ∈ K[V ],
para todas las funciones coordenadas yj ∈ K[W ] (del ejemplo 8):
f
/ W ⊆ Am
K
HH
HH
yj
H
fj HHH
$ V HH
K
26
1. VARIEDADES AFINES
Demostración. Si f está dada por (f1 , . . . , fm ), entonces la composición yj ◦ f
calculada en un punto P es yj ◦ f (P ) = yj (f1 (P ), . . . , fm (P )) = fj (P ) la cual
es una función polinomial porque fj lo es y ası́ yj ◦ f ∈ K[V ]. Recı́procamente, si
f = (f1 , . . . , fm ) y suponemos que yj ◦ f = fj ∈ K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V )
para toda j, entonces existen Fj ∈ K[x1 , . . . , xn ] tales que fj ≡ Fj (mód I(V ))
y por lo tanto para todo P ∈ V se tiene que fj (P ) = Fj (P ) y ası́ f = (F1 , . . . , Fm )
con cada Fi un polinomio y ası́ f es polinomial.
Ejemplo 18. Para la curva afı́n C = V(y 2 − x3 − x2 ) ⊆ A2R (la cúbica nodal), la
función
f : A1R = R → C ⊆ A2R
A1R
f
- C
dada por f (t) = (t2 − 1, t3 − t) es una aplicación polinomial. Claramente está dada
por polinomios y sólo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, lo
cual es un cálculo directo. Note que f es inyectiva en A1R − {±1} y que f (−1) =
(0, 0) = f (1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en el
origen y en el capı́tulo 3 se explicará esta terminologı́a).
La composición de aplicaciones polinomiales se define en forma natural como
r
sigue: si V ⊆ AnK , W ⊆ Am
K , U ⊆ AK son conjuntos afines y si f : V → W y
g : W → U son aplicaciones polinomiales, entonces la composición de funciones
usual
g◦f :V →U
es polinomial ya que si f = (f1 , . . . , fm ) con los fi ∈ K[x1 , . . . , xn ] y si g =
(g1 , . . . , gr ) con los gj ∈ K[y1 , . . . , ym ], entonces g◦f está dada por los polinomios
g1 (f1 , . . . , fm ), . . . , gr (f1 , . . . , fm ) ∈ K[x1 , . . . , xn ].
Claramente la identidad idV : V → V es una aplicación polinomial. Hemos
ası́ mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entre
ellas forman una categorı́a y ası́ podemos definir el que una aplicación polinomial
1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES
27
f : V → W entre conjuntos afines sea un isomorfismo pidiendo que exista una
aplicación polinomial g : W → V tal que f ◦ g = idW y g ◦ f = idV . El resultado
siguiente relaciona la categorı́a anterior con una categorı́a algebraica:
T EOREMA 1.28. Sean V ⊆ AnK , W ⊆ Am
K conjuntos afines.
(1) Una aplicación polinomial f : V → W induce un morfismo de K-álgebras
f ∗ : K[W ] → K[V ].
(2) Recı́procamente, cualquier morfismo de K-álgebras ϕ : K[W ] → K[V ] es de
la forma ϕ = f ∗ para una única aplicación polinomial f : V → W .
En otras palabras, se tiene una biyección
{Aplicaciones polinomiales f : V → W } ↔ HomK-álg (K[W ], K[V ])
dada por f ↔ f ∗ .
(3) La correspondencia anterior es contravariante, i.e., si f : V → W y g : W →
U son aplicaciones polinomiales, entonces
(g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
Una consecuencia inmediata es que f : V → W es un isomofismo si y sólo si
f ∗ : K[W ] → K[V ] es un isomorfismo de K-álgebras.
Demostración. (1): La función polinomial f : V → W induce f ∗ : K[W ] → K[V ]
por medio de la composición con f , es decir, si g ∈ K[W ] la vemos como una
f
g
función g : W → K, entonces f ∗ (g) := g ◦ f : V → W → K. Se prueba
fácilmente que f ∗ es un K-morfismo.
(2): Sean yj ∈ K[W ] = K[Y1 , . . . , Ym ]/I(V ) las funciones coordenadas del ejemplo 8. Usando el morfismo dado ϕ : K[W ] → K[V ] calculándolo en las yj obtenemos que ϕ(yj ) ∈ K[V ] y ponemos entonces fj := ϕ(yj ). Considere entonces la
función f : V → Am
K dada por las fj , i.e., f (P ) = (f1 (P ), . . . , fm (P )). Como las
fj son polinomiales entonces f es una aplicación polinomial y sólo falta verificar
que su imagen está en W . Para ésto, supongamos que g ∈ I(W ) ⊆ K[Y1 , . . . , Ym ];
entonces
g(y1 , . . . , ym ) = 0 ∈ K[W ]
porque g ∈ I(W ). Se sigue que
ϕ(g(y1 , . . . , ym )) = 0 ∈ K[V ]
porque ϕ es morfismo. Pero como g tiene coeficientes en K y ϕ es K-morfismo,
entonces
0 = ϕ(g(y1 , . . . , ym )) = g(ϕ(y1 ), . . . , ϕ(ym )) = g(f1 , . . . , fm ).
Ahora, las fi son funciones en V y g(f1 , . . . , fm ) ∈ K[V ] es la función P 7→
g(f1 (P ), . . . , fm (P )), la cual hemos visto que se anula para todo g ∈ I(W ), y
28
1. VARIEDADES AFINES
como W es el conjunto de ceros de I(W ), se sigue que (f1 (P ), . . . , fm (P )) ∈ W ,
i.e., f (P ) ∈ W , como se querı́a.
Resta probar que para la aplicación polinomial f anterior se tiene que f ∗ =
ϕ : K[W ] → K[V ]. Para ésto, basta verificarlo en los generadores yi del dominio.
Ahora, como f = (f1 , . . . , fm ) y los fi = ϕ(yi ), entonces
f ∗ (yj ) = yj ◦ f = fj = ϕ(yj )
como se querı́a. En forma análoga se prueba que f es única con la propiedad de que
f ∗ (yj ) = ϕ(yj ).
(3): Directo usando la asociatividad de la composición de funciones.
Ejemplo 19. La aplicación polinomial f : A1R = R → C = V(y 2 − x3 ) dada por
f (t) = (t2 , t3 )
A1R
f
- C
no es un isomorfismo porque el morfismo de R-álgebras correspondiente
f ∗ : R[C] = R[x, y]/hy 2 − x3 i −→ R[t]
está dado por x 7→ t2 , y 7→ t3 , por lo que la imagen de f ∗ es la R-álgebra generada
por t2 , t3 , i.e., R[t2 , t3 ] que no es todo R[t].
Este ejemplo nos sirve también para notar que a pesar de que f es una aplicación
polinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversa g : C → A1R
está dada por:
(
0
si x = y = 0,
(x, y) 7→
y/x si x 6= 0
que no es polinomial.
Ejemplo 20. Si C = V(y − x2 ) ⊆ A2K es la parábola afı́n:
1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES
29
C ⊆ A2K
π
?
A1K
la proyección π : C → A1K en la primera coordenada: π(x, y) = x es polinomial
y su inversa es la parametrización de la parábola ϕ : A1K → C ⊆ A2K dada por
ϕ(t) = (t, t2 ). Claramente ϕ es polinomial y es inversa de π. El hecho de que ϕ
es un isomorfismo también puede verse algebraicamente ya que el morfismo que
induce en los anillos de coordenadas ϕ∗ : K[C] → K[A1K ] está dado mediante
x 7→ t donde K[C] = K[x, y]/hy − x2 i ' K[x] y K[A1K ] ' K[t].
El campo de funciones. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (i.e., es un subconjunto algebraico afı́n irreducible), sabemos que el anillo de coordenadas K[V ] es un
dominio entero (por 1.12). Su campo de fracciones se llama el campo de funciones
de la variedad V y se denota por K(V ). Los elementos de K(V ) se conocen como
funciones racionales en V . Por definición, los elementos de K(V ) son cocientes
g/h con g, h ∈ K[V ] y h 6= 0. Note que, en general, el cociente g/h no es una
función en todo V porque h puede tener ceros en V .
Una función racional f ∈ K(V ) se dice que es regular en un punto P ∈ V si
existe una expresión f = g/h con g, h ∈ K[V ] y con h(P ) 6= 0. Diremos que f
es regular en U ⊆ V si lo es en todos los puntos de U . No está de más observar
que el anillo K[V ] no es un DFU en general, por lo que las expresiones f = g/h
no son únicas. Note que si P ∈ V es un punto regular de una función racional
f ∈ K(V ), entonces se puede definir el valor de f en P escribiendo f = g/h
con g, h ∈ K[V ] y h(P ) 6= 0 por lo que este valor es f (P ) = g(P )/h(P ) ∈ K.
Es claro que este valor f (P ) no depende de la expresión de f como g/h porque si
g 0 /h0 es otra tal expresión entonces f = g/h = g 0 /h0 implica que gh0 = g 0 h y por
lo tanto g(P )h0 (P ) = g 0 (P )h(P ) por lo que g(P )/h(P ) = g 0 (P )/h0 (P ). Se sigue
que f ∈ K(V ) define una (verdadera) función de un subconjunto dom f de V en
K dado por
dom(f ) = {P ∈ V : f es regular en P }.
P ROPOSICI ÓN 1.29. Sean V ⊆ AnK una variedad afı́n y f ∈ K(V ).
(1) dom f es abierto y denso en la topologı́a de Zariski.
(2) Si K es algebraicamente cerrado, entonces
dom f = V ⇔ f ∈ K[V ].
30
1. VARIEDADES AFINES
Es decir, f es regular1 en todo V si y sólo si f es polinomial en V .
Demostración. (1): Como f ∈ K(V ), entonces f = g/h con g, h ∈ K[V ] y h 6= 0.
Ası́, hf ∈ K[V ]. Se define el ideal de denominadores de f como
If := {h ∈ K[V ] : hf ∈ K[V ]} ⊆ K[V ]
i.e., el conjunto de elementos h ∈ K[V ] tales que existe una expresión f = g/h
unión {0} (ya que el elemento 0 no se puede poner en un cociente como denominador). Claramente If es un ideal de K[V ] y observe ahora que
V − dom f = {P ∈ V : h(P ) = 0 para todo h ∈ If } = V(If )
y por lo tanto V − dom f es un subconjunto algebraico afı́n contenido en V (al que
se llama el conjunto de polos de f ). Se sigue que dom f = V − V(If ) es abierto y
dom f 6= ∅. Como V es irreducible, por 1.6(3) se sigue que dom f es denso en V .
(2): De la igualdad dom f = V − V(If ) se sigue que
dom f = V ⇔ V(If ) = ∅ ⇔ If = K[V ] ⇔ 1 ∈ If ⇔ f ∈ K[V ],
la segunda implicación por el teorema de los ceros de Hilbert ya que K es algebraicamente cerrado.
El conjunto de funciones regulares en un punto P ∈ V
OV,P = {f ∈ K(V ) : f es regular en P }
es claramente un subanillo de K(V ) porque la suma y producto de funciones regulares en P es regular en P .
P ROPOSICI ÓN 1.30. OV,P es un anillo noetheriano local.
Demostración. Si f ∈ OV,P hemos definido el valor de f en P escribiendo f = g/h
con h(P ) 6= 0 y luego poniendo f (P ) := g(P )/h(P ). Hemos ası́ definido un
morfismo de evaluación OV,P → K y su núcleo
mP := {ϕ ∈ OV,P : ϕ(P ) = 0}
es un ideal de OV,P que satisface que
OV,P /mP ' K
por lo que mP es un ideal máximo. Finalmente, observe que un elemento u ∈ OV,P
es una unidad si y sólo si u(P ) 6= 0 y por lo tanto
mP = {no unidades de OV,P }
1En la notación que se introduce después de la demostración, la parte (2) dice que O
Compare lo anterior con el caso proyectivo 2.13 (1).
V
= K[V ].
1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES
31
y consecuentemente mP es el único ideal máximo de OV,P por lo que OV,P es un
anillo local al que se conoce como el anillo local de V en P . La demostración de
que OV,P es noetheriano la dejamos para el ejercicio 42.
Si U ⊆ V es un abierto y si denotamos con OU al conjunto de funciones regulares en todo U , entonces
\
OU =
OV,P
P ∈U
es un subanillo de K(V ) que contiene a K, considerando a sus elementos como
funciones constantes en U . Si U = ∅, por definición pondremos O∅ = 0, el anillo
cero. Note que 1.30 (2) (vea también la nota (1) al pie de página) dice que
OV = K[V ].
P ROPOSICI ÓN 1.31. Si V es una variedad afı́n y U ⊆ V es un abierto, una función
f ∈ K(V ) regular en U es continua, en la topologı́a de Zariski, si la vemos como
f : U → K e identificamos K = A1K .
Demostración. Debemos mostrar que la imagen inversa f −1 (T ) de cualquier cerrado T ⊆ K es cerrado en U . Ahora, como los cerrados de K = A1K son los conjuntos
finitos de puntos (por el ejemplo 1) es suficiente probar que la imagen inversa de un
punto f −1 (a) = {P ∈ U : f (P ) = a} es cerrado en U , i.e., debemos probar que
f −1 (a) ∩ U es cerrado. Para hacer ésto, note que como f es regular en U existen
polinomios g, h ∈ K[V ], con h 6= 0 en U , tales que f (P ) = g(P )/h(P ). Entonces,
f −1 (a) ∩ U = {P ∈ U : a = f (P ) = g(P )/h(P )}
y como
a = g(P )/h(P ) ⇔ g(P ) − ah(P ) = 0 ⇔ (g − ah)(P ) = 0
entonces
f −1 (a) ∩ U = V(g − ah) ∩ U
el cual es cerrado porque V(g − ah) lo es.
C OROLARIO 1.32 (Teorema de la identidad). 2 Si, f, g : V → K son dos funciones
regulares en una variedad afı́n V ⊆ AnK , y si f = g en un abierto no vacı́o U ⊆ V ,
entonces f = g en todo V .
Demostración. El conjunto T de puntos donde f − g = 0 es cerrado porque es la
imagen inversa del 0 ∈ K y f − g es continua por la proposición anterior. Por otra
parte, f − g = 0 en el abierto U por hipótesis, i.e., U ⊆ T . Como V es irreducible,
por (1.5) (3) se sigue que V = U ⊆ T y ası́ T = V , como se querı́a.
2Extensión de identidades algebraicas.
32
1. VARIEDADES AFINES
Aplicaciones racionales. Si V ⊆ Am
K es una variedad afı́n, una aplicación racional
f : V 99K AnK es una función definida (en un
T subconjunto de V ) por funciones
racionales f1 , . . . , fn , es decir, para todo P ∈ dom fi ,
f (P ) = (f1 (P ), . . . , fn (P )).
T
Ponemos entonces dom f := dom fi . Si P ∈ dom f también se dice que f es
regular en P .
Si V ⊆ Am y W ⊆ An son variedades afines, una aplicación racional entre
variedades afines
f : V 99K W
es una aplicación racional f : V 99K AnK tal que f (dom f ) ⊆ W .
Ejemplo 21. La parametrización del cı́rculo unitario f : A1R 99K V(x2 + y 2 − 1)
dada por f (t) = (2t/(t2 + 1), (t2 − 1)/(t2 + 1)) es una aplicación racional. Por
otra parte, la inversa de la parametrización anterior, t = x/(1 − y), que es una
aplicación racional g : V(x2 + y 2 − 1) 99K A1R definida por g(x, y) := x/(1 − y),
no está definida en y = 1:
A1R
f
- C
Composición de aplicaciones racionales dominantes. En general, la composición
de dos aplicaciones racionales f : V 99K W y g : W 99K U puede no estar
definida, ya que no siendo funciones realmente, el dominio de la composición que
naturalmente es dom f ∩ f −1 (dom g) bien pudiera ser vacı́o. Un ejemplo donde
esto sucede es el siguiente:
Ejemplo 22. Si f : A1 → A2 está dada por f (x) = (x, 0) y g : A2 99K A1 es la
función racional g(x, y) = x/y, entonces dom g = {(x, y) ∈ A2 : y 6= 0} que
claramente no está en la imagen de f y por lo tanto
dom f ∩ f −1 (dom g) = ∅.
Para remediar lo anterior se consideran aplicaciones racionales f : V 99K W
que sean dominantes, es decir, tales que f (dom f ) ⊆ W sea densa en la topologı́a
1.3. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES AFINES
33
de Zariski. Note ahora que si f : V 99K W es dominante, para cualquier aplicación
racional g : W 99K U se tiene que f −1 (dom g) ⊆ dom f es un abierto denso y
ası́ la composición g ◦ f está definida en un abierto denso de V y por lo tanto es una
aplicación racional
g ◦ f : V 99K U.
Aplicaciones biracionales. Habiendo relajado la noción de aplicación regular o
polinomial entre variedades afines a la noción de aplicación racional entre ellas,
el concepto de isomorfismo se relaja también. Una aplicación racional dominante
entre variedades afines f : V 99K W es una equivalencia biracional si existe g :
W 99K V racional y dominante que es inversa de f . Esto quiere decir, que las
composiciones (que se pueden hacer porque ambas f y g son dominantes) f ◦g y g ◦
f son la identidad en los dominios correspondientes. El teorema 1.28 se generaliza
en este contexto:
T EOREMA 1.33. (1) Una aplicación racional dominante f : V 99K W induce un
K-monomorfismo (extensión) de campos f ∗ : K(W ) → K(V ).
(2) Recı́procamente, todo K-morfismo ϕ : K(W ) → K(V ) proviene de una única
aplicación racional dominante f : V 99K W .
(3) Si f, g son dominantes, entonces (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
(4) Una aplicación racional dominante f : V 99K W es una equivalencia biracional si y sólo si f ∗ : K(W ) → K(V ) es un isomorfismo de K-extensiones.
Morfismos entre variedades casi-afines. Como las variedades casi-afines son abiertos de subconjuntos afines, en general, no están dadas por ceros de ideales de polinomios. Es por ésto que los morfismos entre ellas no es natural que sean aplicaciones
polinomiales y ası́, lo mejor es que estos morfismos sean aplicaciones racionales.
Formalmente, si U, U 0 son variedades casi-afines e irreducibles, contenidas en variedades algebraicas afines V, V 0 , respectivamente, entonces:
(i) Un morfismo f : U → V 0 es una aplicación racional f : V 99K V 0 tal que
U ⊆ dom f , es decir, f es regular en todo U .
(ii) Un morfismo de variedades casi-afines f : U → U 0 es un morfismo f :
U → V 0 tal que f (U ) ⊆ U 0 .
(iii) Un isomorfismo de variedades casi-afines f : U → U 0 es un morfismo que
tiene un inverso g : U 0 → U que es morfismo de variedades casi-afines.
Ejemplo 23. En el ejemplo 19 vimos que la parametrización de la parábola semicúbica f : A1K → V(y 2 −x3 ) ⊆ A2K dada por f (t) = (t2 , t3 ) no es un isomorfismo, a pesar de que es biyectiva, y su inversa es la aplicación racional g : V(y 2 − x3 ) 99K A1K
definida como 0 en (0, 0) y como y/x si x 6= 0.
34
1. VARIEDADES AFINES
Note ahora que considerando las variedades casi-afines A1k −{0} y V(y 2 −x3 )−
{(0, 0)}, se tiene que f : A1K − {0} → V(y 2 − x3 ) − {(0, 0)} es un isomorfismo.
Por el teorema 1.33 se sigue que los campos de funciones correspondientes son
isomorfos f ∗ : K(V(y 2 − x3 )) → K(A1K ) = K[t] donde f ∗ (x/y) = t.
Ejercicios
E JERCICIO 34. Sea V ⊆ AnK una variedad algebraica y sea F(V, K) el conjunto
de todas las funciones de V a K. Con las operaciones definidas usando las de K se
sigue que F(V, K) es un anillo conmutativo con uno que contiene a K visto como
funciones constantes. Una función f ∈ F(V, K) se dice que es polinomial si existe
un polinomio F ∈ K[x1 , . . . , xn ] tal que f (a1 , . . . , an ) = F (a1 , . . . , an ) para todos los puntos (a1 , . . . , an ) ∈ V . Muestre que la familia de funciones polinomiales
forma un subanillo de F(V, K) y que contiene a K. Demuestre que la función
K[x1 , . . . , xn ] → F(V, K)
que restringe un polinomio F a una función polinomial F |V : V → K es un
morfismo de anillos cuyo núcleo es el ideal asociado a la variedad V , i.e., I(V ).
Concluya que el anillo de coordenadas K[V ] es isomorfo al anillo de funciones
polinomiales en V .
E JERCICIO 35. Sea V ⊆ AnK una variedad afı́n. Para cada abierto U ⊆ V , sea OU
el anillo de funciones regulares en U . Demuestre:
Cada OU es una K-álgebra.
Si U 0 ⊆ U son abiertos no vacı́os de V , entonces para todo s ∈ OU la
restricción s 7→ s|U 0 es regular en U 0 . Se tiene ası́ una función
resU
U 0 : OU → OU 0
dada por s 7→ s|U 0 . Si U 0 = ∅ se define resU
∅ = 0. Demuestre que estas
funciones son morfismos de K-álgebras.
Si U 00 ⊆ U 0 ⊆ U son abiertos, demuestre que
0
U
U
resU
U 00 ◦ resU 0 = resU 00 .
Si U ⊆ V es abierto, entonces resU
U = idOU .
S
E JERCICIO 36. Si U ⊆ V es abierto y si U = i∈Λ Ui , con los Ui abiertos para
cada i ∈ Λ y si se tiene un si ∈ OUi para cada i y éstas satisfacen la ((condición de
compatibilidad)) de que para todos los pares i, j
U
j
i
resU
Ui ∩Uj (si ) = resUi ∩Uj (sj )
EJERCICIOS
35
i.e., sus restricciones a Ui ∩ Uj son iguales, demuestre que existe un único s ∈ OU
tal que
resU
para todo i ∈ Λ.
Ui (s) = si
E JERCICIO 37. Este ejercicio continúa explorando las propiedades de la base D(f )
de abiertos de la topologı́a de Zariski de una variedad afı́n V (vea el ejercicio 13).
Si f ∈ K[V ], demuestre que
OD(f ) ' K[V ]f es la localización del anillo K[V ] con respecto al subconjunto multiplicativo Sf := {f n : n ≥ 0}.
D(f ) es isomorfo a una variedad afı́n. Este es un ejemplo de una variedad
casi-afı́n que es isomorfa a una variedad afı́n. Sugerencia: use el inciso
anterior.
V = D(1).
Concluya que OV ' K[V ]. Sugerencia: vea el inciso anterior.
E JERCICIO 38. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, demuestre que si para cada punto
P ∈ V denotamos con mP ⊆ K[V ] al subconjunto de funciones regulares que se
anulan en P , entonces mP es un ideal máximo de K[V ] y la función P 7→ mP es
una biyección entre los puntos de V y los ideales máximos de K[V ].
E JERCICIO 39. Si f : V 99K W es una aplicación racional demuestre que la precomposición con f induce un morfismo de K-álgebras
f ∗ : K[W ] → K(V ).
Demuestre que si el núcleo ker f ∗ no es trivial, entonces f ∗ no se puede extender en forma natural al campo K(W ), i.e., tal que el diagrama siguiente conmute,
donde la flecha vertical es el monomorfismo canónico de un dominio entero a su
campo de fracciones:
K[W ]
f∗
/ K(V )
:
f∗
K(W )
i.e., con f ∗ : K(W )
/ K(V ) dada por f ∗ (g/h) = f ∗ (g)/f ∗ (h).
E JERCICIO 40. Demuestre que f : V 99K W es dominante si y sólo si f ∗ :
K[W ] → K(V ) es inyectiva.
E JERCICIO 41. Siguiendo la demostración de 1.28 provea los detalles de la demostración de 1.33.
E JERCICIO 42. En 1.30 demuestre que OV,P es noetheriano.
36
1. VARIEDADES AFINES
E JERCICIO 43. Si f ∈ K(V ) es una función racional en una variedad afı́n V ,
demuestre que la función f : dom f → K que induce determina a la función
racional f ∈ K(V ).
E JERCICIO 44. Si V es una variedad afı́n y P ∈ V , demuestre que existe una biyección natural entre el conjunto de ideales primos de OV,P y las subvariedades (vea
el ejercicio 16 de §1.1) de V que pasan (contienen a) por P . Sugerencia: Observe
primero que hay una inclusión K[V ] ,→ OV,P y ası́ para todo primo p ⊆ OV,P su
restricción p ∩ K[V ] es un primo de K[V ] y que p está generado por p ∩ K[V ]. Use
entonces la correspondencia del ejercicio 16 de §1.1.
E JERCICIO 45. Si f : V → W es una aplicación polinomial entre variedades afines,
decimos que es una inmersión cerrada si la imagen f (V ) ⊆ W es un subconjunto
cerrado y la restricción f : V → f (V ) ⊆ W es un isomorfismo de variedades
afines. Demuestre que f : V → W es una inmersión cerrada si y sólo si el Kmorfismo f ∗ : K[W ] → K[V ] es suprayectivo.
E JERCICIO 46. Si f ∈ K(V ) es una función racional, demuestre que dom f ⊇
D(h) si y sólo si f ∈ K[V ]h .
E JERCICIO 47. Si V es una variedad afı́n, demuestre que OV,P = S −1 K[V ], donde
S = K[V ] − mP , con mP = {f ∈ K[V ] : f (P ) = 0}. Sugerencia: muestre
primero que mP es el ideal máximo del anillo local OV,P .
E JERCICIO 48. Muestre que la hipérbola C = V(xy − 1) ⊆ A2C no es isomorfa a
A1C .
E JERCICIO 49. Sea V ⊆ AnK una variedad afı́n y sea f ∈ K[V ]. Defina la gráfica
de f como Γ = {(P, f (P )) ∈ An+1
: P ∈ V }.
K
(i) Muestre que Γ ⊆ An+1
es una variedad afı́n.
K
(ii) Muestre que la función ϕ : V → Γ dada mediante ϕ(P ) = (P, f (P )) es
un isomorfismo.
E JERCICIO 50. Sea V = V(xz − y 2 , yz − x3 , z 2 − x2 y) ⊆ A3C .
(i) Muestre que V ⊆ A3C es una variedad afı́n.
(ii) Defina una aplicación polinomial suprayectiva ϕ : A1C → V . ¿Es un isomorfismo?
E JERCICIO 51. Sea f : V → W una aplicación polinomial suprayectiva entre
variedades afines.
(i) Si W 0 ⊆ W es un subconjunto algebraico afı́n, demuestre que f −1 (W 0 ) ⊆
V es afı́n.
(ii) Si f −1 (W 0 ) es irreducible, demuestre que W 0 también lo es.
EJERCICIOS
37
E JERCICIO 52. Producto de variedades afines. Para comenzar, observe que se
tiene un homeomorfismo obvio
∼
m+n
n
Am
K × AK → AK
dado por (x1 , . . . , xm ), (y1 , . . . , yn ) 7→ (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ). Ahora, si V ⊆
n
m
Am
K y W ⊆ AK son dos variedades afines, se define su producto V × W ⊆ AK ×
como la variedad algebraica cuyo ideal está generado por I(V ) e
AnK ' Am+n
K
I(W ) en K[x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ]. Demuestre que su anillo de coordenadas afı́n
es
K[V × W ] ' K[V ] ⊗K K[W ].
Capı́tulo
2
Variedades proyectivas
Se sabe que la geometrı́a se vuelve ((más fácil)) si uno añade ((puntos al infinito))
al plano afı́n para ((completarlo)), de tal forma que uno pueda decir, por ejemplo,
que dos rectas en el plano siempre se intersectan en un punto (lo cual no sucede en
el plano afı́n, si las rectas son paralelas distintas). En el espacio afı́n, en general,
la intersección de objetos, por ejemplo curvas, siempre tiene excepciones como la
mencionada anteriormente. Otro ejemplo es el de una hipérbola y una recta: en
el plano afı́n se cortan en dos puntos o uno (si la recta es tangente, digamos en
un vértice), excepto cuando la recta es una ası́ntota de la hipérbola En el plano
proyectivo, como veremos más adelante, no hay tales excepciones, de tal forma que
el teorema de Bézout tiene una formulación sencilla, como también veremos más
adelante. Esta, esencialmente, es la idea para la introducción del espacio proyectivo,
cuya definición es como sigue.
2.1.
El espacio proyectivo
En el espacio afı́n An+1
− {0} considere la relación (que es de equivalencia):
K
P ∼ Q si y sólo si existe un escalar no nulo λ ∈ K ∗ tal que P = λQ. Se define
entonces el espacio proyectivo de dimensión n como:
Pn = PnK = Pn (K) := An+1
K − {0} / ∼
(aquı́, el punto que estamos quitando, 0 ∈ An+1
K , es el punto cuyas coordenadas son todas cero). Ası́, los puntos de PnK son clases de equivalencia de puntos
(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ An+1
con alguna xi 6= 0; a estas clases de equivalencia las
K
denotaremos por P = [x0 , . . . , xn ] y decimos que las xi son las coordenadas proyectivas u homogéneas del punto P . Note que estas coordenadas sólo están definidas
salvo un factor escalar no cero,1 ya que
(x0 , . . . , xn ) ∼ (yo , . . . , yn ) ⇔ xi = λyi para algún λ ∈ K ∗ .
1Note que lo que sı́ está determinado es el hecho de que una coordenada proyectiva x sea o no
i
cero. Ahora, si xi 6= 0, entonces las razones xj /xi están bien definidas, ya que tanto xj como xi sólo
cambian por múltiplos escalares λ 6= 0. En ocasiones se usa la notación [a0 : · · · : an ] para recordar
lo anterior.
39
40
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
Este hecho es el que impide el poder definir en PnK los ceros de un polinomio arbitrario evaluando el polinomio dado en las coordenadas proyectivas del punto, por
ejemplo para el polinomio f (x, y) = 4 + 2x − y 2 en C[x, y], si queremos definir
sus ceros en P1C , observamos que el punto (6, 4) ∈ A2C es tal que f (6, 4) = 0, sin
embargo no se tiene que el punto, con coordenadas proyectivas ahora, [6, 4] ∈ P1C
sea cero de f (x, y) ya que aunque (6, 4) ∼ (3, 2), se tiene que f (3, 2) 6= 0. La
solución a este problema es considerar sólamente polinomios homogéneos, es decir,
polinomios f (x0 , . . . , xn ) ∈ K[x0 , . . . , xn ] tales que para toda λ ∈ K ∗ se tiene que
f (λx0 , . . . , λxn ) = λk f (x0 , . . . , xn )
(en este caso decimos que f es un polinomio homogéneo de grado k). Ası́, un polinomio homogéneo de grado cero es una constante (no cero; al polinomio cero
no le asignamos grado); un polinomio homogéneo de grado 1 es un polinomio sin
término constante y en el cual todos sus monomios son de grado 1; un polinomio
homogéneo cuadrático es un polinomio en el cual todos sus monomios son de grado
2; etcétera. Observe ahora que si f es un polinomio homogéneo en K[x0 , . . . , xn ],
y para todo λ ∈ K ∗ ,
entonces para todo (a0 , . . . , an ) ∈ An+1
K
f (x0 , . . . , an ) = 0 ⇔ f (λa0 , . . . , λan ) = 0.
Por lo tanto podemos definir los ceros en PnK de un polinomio homogéneo, y consecuentemente podemos definir conjuntos algebraicos proyectivos, cuidando que
usemos sólo polinomios homogéneos: si E ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un subconjunto
formado por polinomios homogéneos, el conjunto de ceros comunes de los polinomios de E
V(E) = {[a0 , . . . , an ] ∈ PnK : f [a0 , . . . , an ] = 0 para todos los f ∈ E}
se llama un conjunto algebraico proyectivo. Siguiendo el ejemplo del caso afı́n, veremos que basta considerar el caso cuando I = hEi es el ideal generado por el
conjunto E y necesitaremos la noción de ideal homogéneo. Para comenzar, notemos que dado un polinomio arbitrario en f ∈ K[x0 , . . . , xn ], lo podemos separar
en sus componentes homogéneas (polinomios homogéneos con el mismo grado)
simplemente agrupando sus monomios del mismo grado:
f = f0 + f1 + · · · + fm
donde cada fi es homogéneo de grado di . Entonces, si denotamos mediante Ad =
Kd [x0 , . . . , xn ] ⊆ K[x0 , . . . , xn ] al subconjunto de polinomios de grado d, al que
le unimos el polinomio cero, es claro que:
(1) Cada Ad es un subespacio vectorial de la K-álgebra K[x0 , . . . , xn ].
(2) Ad ∩ Ae = {0} para d 6= e.
(3) Ad · Ae ⊆ Ad+e . M
(4) K[x0 , . . . , xn ] =
Ad (suma directa de subespacios vectoriales).
d≥0
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
41
Se dice entonces que K[x0 , . . . , xn ] es una K-álgebra graduada.
L EMA 2.1. Si I ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un ideal, son equivalentes:
(1) I está generado por polinomios homogéneos.
(2) Si f ∈ I y f = f0 + f1 + · · · + fr , con los fi polinomios homogéneos, entonces
fi ∈ I para todo i.
Demostración. (2) ⇒ (1) es claro porque descomponiendo a f ∈ I en sus componentes homogéneas, (2) dice que estas componentes están en I y por lo tanto f es
combinación lineal de polinomios homogéneos que están en I.
(1) ⇒ (2): Si I = hEi con E ⊆ K[x0 , . . . , xn ] una colección de polinomios
homogéneos y f ∈ I lo descomponemos como f = f1 + · · · + fr con los fi
homogéneos de grado i, por inducción sobre r mostraremos que fi ∈ I. Para comenzar, si r = 1, entonces f1 = f ∈ I. Supongamos ahora válido para ≤ r − 1.
Mostraremos que fr ∈ I. En efecto, por hipótesis f = g1 h1 + · · · + gs hs con los
hi ∈ E homogéneos de grado di . Agrupando los términos de mayor grado en la
expresión anterior se tiene que
X
fr =
(porque los hi ∈ I).
ui,r−di hi ∈ I
i
Un ideal I de K[x0 , . . . , xn ] se dice que es un ideal homogéneo si satisface las
condiciones equivalentes del lema anterior.
Si I ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un ideal homogéneo, considerando únicamente los
polinomios homogéneos contenidos en I se define
V(I) = {[a0 , . . . , an ] ∈ Pn : f [a0 , . . . , an ] = 0 para todos los f ∈ I homogéneos}
y se tiene que si E ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un subconjunto de polinomios homogéneos
e I = hEi es el ideal homogéneo asociado, entonces
V(E) = V(I).
Observamos ahora que, como el anillo de polinomios es Noetheriano, existe un
conjunto finito de polinomios homogéneos f1 , . . ., fr en I tal que
V(I) = V(f1 ) ∩ · · · ∩ V(fr ).
El análogo a 1.1 es:
L EMA 2.2. Sea K un campo. Entonces,
(1) Pn y ∅ son conjuntos algebraicos proyectivos.
(2) Si V1 , . . . , Vk son conjuntos algebraicos proyectivos, entonces V1 ∪ · · · ∪ Vk
también lo es.
42
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
(3) Si {Vi } es una familia arbitraria de conjuntos algebraicos proyectivos, entonces
T
i Vi también lo es.
(4) Si I1 ⊆ I2 son ideales homogéneos de K[x1 , . . . , xn ], entonces V(I1 ) ⊇ V(I2 ).
Demostración. Sólo observamos que si I, J ⊆ K[x0 , . . . , xn ] son ideales homogéneos, entonces IJ, I ∩ J,
PI + J también son homogéneos, y en general, si {Ij } son
homogéneos, entonces Ij también lo es. Todo ésto es parte del ejercicio 1.
N OTA. De nuevo, las partes 1, 2, 3 del lema nos dicen que los conjuntos algebraicos
proyectivos son los cerrados para una topologı́a en PnK , a la que se conoce como la
topologı́a de Zariski.
Se tiene también la construcción recı́proca, dado un subconjunto X de PnK se
le asocia el ideal homogéneo I(X) generado por los polinonios homogéneos f ∈
K[x0 , . . . , xn ] tales que f (P ) = 0 para todo P ∈ X. El análogo a 1.2 y 1.3 es:
L EMA 2.3. Sea K un campo. Entonces,
(1) Si X1 ⊆ X2 son subconjuntos de PnK , entonces I(X1 ) ⊇ I(X2 ).
(2) Si V es un subconjunto de PnK , entonces V(I(V )) = V .
(3) Si K es un campo infinito, entonces I(PnK ) = 0. .
Demostración. Sólo observamos que en la parte 2, V quiere decir cerradura en la
topologı́a de Zariski de PnK .
El cono afı́n de un conjunto proyectivo. Si V ⊆ PnK es un conjunto proyectivo,
el conjunto de los puntos (a0 , . . . , an ) ∈ An+1
que ocurren como coordenadas
K
homogéneas de un punto de V , junto con el origen 0 = (0, . . . , 0) ∈ An+1
K , se
a
llama el cono afı́n de V y se denota por V . Ası́, si V = V(f1 , . . . , fm ) ⊆ PnK con
los fj ∈ K[x0 , . . . , xn ] polinomios homogéneos, entonces V a = V(f1 , . . . , fm ) ⊆
An+1
K (sin identificar los puntos con la relación de equivalencia que define el espacio
proyectivo). En otras palabras, si π : An+1
− {0} → PnK es la función que manda
K
un punto (a0 , . . . , an ) a su clase [a0 , . . . , an ] y si I $ K[x0 , . . . , xn ] es un ideal
homogéneo propio y V = V(I) ⊆ PnK , entonces su cono afı́n es
V a = π −1 (V ) ∪ {0}.
Observe que como los fj son homogéneos, para cada punto P ∈ V a con P 6= 0,
la recta que pasa por P y el origen 0 está totalmente incluida en V a ya que los puntos
de esta recta son de la forma tP con t ∈ K y como fj (tP ) = td fj (P ), porque fj
es homogéneo de grado digamos d, entonces fj (P ) = 0 implica que fj (tP ) = 0.
El nombre de cono viene de esta propiedad y la figura siguiente ilustra lo anterior:
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
43
es un cono con vértice en el origen, i.e.,
Observe ahora que si C ⊆ An+1
K
junto con cada punto P ∈ C se tiene que C contiene a la recta que pasa por P
y el origen, entonces I(C) es un ideal homogéneo de K[x0 , . . . , xn ]. En efecto, si
f ∈ I(C), como f (λP ) = 0 para todo P = (a0 , . . . , an ) ∈ C y todo λ ∈ K, y
si f = f0 + · · · + fr es una descomposición de f en componentes homogéneas,
entonces
X
fi (a0 , . . . , an )λi = f (λa0 , . . . , λan ) = 0
i
para un número infinitoPde λ’s (ya que K es infinito porque es algebraicamente
cerrado) y por lo tanto i fi (a0 , . . . , an )xi ∈ K[x] es el polinomio cero y ası́ sus
coeficientes son cero fi (a0 , . . . , an ) = 0 para todo i, i.e., para todo P ∈ C se tiene
que fi (P ) = 0 y por lo tanto fi ∈ I(C), para todo i, es decir, f es homogéneo.
P ROPOSICI ÓN 2.4. Si K es algebraicamente cerrado, la correspondencia V 7→ V a
es una biyección entre la familia de subconjuntos proyectivos de PnK y los conos
afines en An+1
K .
Demostración. Directo, ya que un cono afı́n con vértice en el origen es, como vimos
arriba, un conjunto afı́n C ⊆ An+1
definido por polinomios homogéneos y por lo
K
tanto el conjunto de ceros en PnK de estos polinomios es un conjunto proyectivo V
cuyo cono afı́n es C.
El ideal irrelevante. Para K[x0 , . . . , xn ] = h1i que es homogéneo porque está generado por el polinomio constante 1 que es homogéneo de grado cero, como en el
caso afı́n, es claro que V(1) = ∅. Observemos ahora que si
A+ = hx0 , . . . , xn i
es el ideal de polinomios sin término constante, i.e., de grado > 0, este ideal es
homogéneo porque está generado por los xj que son polinomios homogéneos, y
como el ideal propio A+ tiene como único cero en An+1
al punto 0 = (0, . . . , 0)
K
44
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
entonces V(A+ ) = ∅ en PnK . Por otra parte, observe que si I $ K[x0 , . . . , xn ] es
un ideal homogéneo propio, entonces I ⊆ A+ .
Podemos ahora formular y probar el teorema de los ceros de Hilbert en versión
homogénea o proyectiva:
T EOREMA 2.5 (Versión proyectiva del teorema de los ceros). Sea K un campo
algebraicamente cerrado y sea I ⊆ K[x0 , . . . , xn ] un ideal homogéneo. Entonces,
√
(1) V(I) = ∅ si y sólo si I ⊇ A+ .
√
(2) Si V(I) 6= ∅, entonces I(V(I)) = I.
Demostración. Para (1),
V(I) = ∅ ⇔ Va (I) ⊆ {0}
⇔ Va (I) = ∅ ó Va (I) = {0}
√
√
⇔ I = h1i ó I = A+ (por el teorema de los ceros afı́n)
√
⇔ I ⊇ A+
Para (2), si V(I) 6= ∅, entonces
f ∈ IV(I) ⇔ f ∈ I(Va (I))
⇔f
(∗)
m
∈ I para algún m, (por el teorema de los ceros afı́n)
√
⇔ f ∈ I.
En (∗) usamos que si f = f1 + · · · + fm es la descomposición de f en sus componentes homogéneas, entonces
f (λP ) = 0
para todo λ ∈ K ∗ ⇔ fi (P ) = 0 para todo i
lo cual se sigue del hecho de que K tiene un número infinito de elementos, como
observamos antes de 2.4.
Por el teorema de los ceros de Hilbert anterior, para un
√ ideal homogéneo I ⊆
A = K[x0 , . . . , xn ] se tiene que V(I) = ∅ si y sólo si I = A o A+ . Ası́, el
ideal A+ es una excepción a lo que podrı́amos esperar como una correspondencia
biunı́voca (como la del teorema 1.4 para conjuntos afines) y ası́ se suele eliminar
para que las cosas funcionen bien. Las partes 4, 6, 7, 8 nos dicen que las correspondencias
{subconjuntos algebraicos de PnK } o
I
V
/
{ideales radicales homogéneos 6= A+ en A}
invierten inclusiones y son inversas una de la otra. La correspondencia deseada la
da la versión homogénea del teorema de los ceros de Hilbert. Note que el ideal A+
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
45
no ocurre en la correspondencia anterior y por eso, algunas veces, se le llama el
ideal irrelevante. Observe que todo ideal homogéneo propio de A está contenido en
A+ . Más aún, juntando la correspondencia anterior con la de 2.4 (que se usó en la
demostración del teorema 2.5), se tienen las correspondencias biyectivas:
{subconjuntos algebraicos de PnK } o
O
2.4
q
{conos afines no vacı́os en An+1
K }
2.5
/ {ideales radicales homogéneos 6= A+ en A}
7
1.4
C OROLARIO 2.6. Si K es algebraicamente cerrado, V ⊆ PnK es un conjunto algebraico proyectivo y V 6= ∅, entonces I(V ) = I(V a ).
Demostración. Si V 6= ∅ es algebraico proyectivo, V = V(I) ⊆ PnK con I =
hf1 , . . . , fr i donde los fi son homogéneos. Entonces, V a = Va (I) ⊆ An+1
K . Se
sigue que
√
I(V ) = IV(I) = I = IVa (I) = I(V a )
donde la segunda igualdad es por el teorema de los ceros proyectivo y la tercera
igualdad por el teorema de los ceros afı́n.
Una variedad algebraica proyectiva o variedad proyectiva es un subconjunto
algebraico irreducible de algún PnK , con la topologı́a inducida. Un abierto de una
variedad proyectiva se llama una variedad casi-proyectiva. Se tienen los análogos
de 1.5 y 1.11:
P ROPOSICI ÓN 2.7. (1) Un conjunto algebraico V ⊆ Pn es irreducible si y sólo si
su ideal I(V ) es primo.
(2) Todo conjunto algebraico en PnK se puede escribir, en forma única, como la
unión de subconjuntos algebraicos irreducibles que no están contenidos uno en el
otro (a los que se llama sus componentes irreducibles).
Ejemplo 1. Los puntos son variedades algebraicas proyectivas, ya que, claramente
es irreducible y si P = [a0 , . . . , an ] ∈ PnK , entonces alguna coordenada es no cero,
digamos a0 6= 0 y ası́ podemos asumir que a0 = 1. Se tiene entonces que
V(x1 − a1 x0 , x2 − a2 x0 , . . . , xn − an x0 ) = {P }.
Es importante notar que los ideales correspondientes a puntos no necesariamente son máximos, como sucede en el caso afı́n.
También, PnK es irreducible porque I(PnK ) = 0 es un ideal primo homogéneo
en K[x0 , . . . , xn ]. Esto se demuestra como en 1.3.
46
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
Cubrientes afines de variedades proyectivas. Mostraremos ahora que el espacio
proyectivo PnK tiene una cubierta abierta por espacios afines y luego, como consecuencia inmediata, mostraremos que toda variedad proyectiva (respectivamente,
casi-proyectiva) tiene una cubierta abierta por variedades afines (respectivamente,
casi-afines). Para comenzar, considerando los polinomios xi ∈ K[x0 , . . . , xn ], sea
Hi = V(xi ) el hiperplano definido por xi y sea Ui := PnK − Hi el abierto correspondiente. Observe que
Ui = {[a0 , . . . , ai , . . . , an ] ∈ PnK : ai 6= 0} = {[a0 , . . . , 1, . . . , an ]}
con 1 en el lugar i, y definamos la función ϕi : Ui → AnK mediante
ϕi [a0 , . . . , ai , . . . , an ] := (a0 /ai , . . . , a[
i /ai , . . . , an /ai )
donde ai 6= 0 y en el lado derecho omitimos a ai /ai . Notamos que ϕi está bien
definida ya que si [a0 , . . . , an ] = [b0 , . . . , bn ] en Ui , entonces ai 6= 0, bi 6= 0 y
aj = λbj para 0 ≤ j ≤ n y por lo tanto aj /ai = bj /bi , i.e., es independiente de los
representantes de las coordenadas proyectivas.
P ROPOSICI ÓN 2.8. La función ϕi : Ui → AnK es un homeomorfismo, donde Ui
tiene la topologı́a inducida como subespacio de PnK .
Demostración. La función ψi : (a1 , . . . , an ) 7→ [a1 , . . . , 1, . . . , an ] (insertando un 1
en la coordenada i-ésima) es inversa de ϕi y ası́ ésta es biyectiva. Para mostrar que
es un homeomorfismo, definamos, como en el caso afı́n (vea los ejercicios 13 de
§1.1 y 37 de §1.3), para f ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneo, los abiertos distinguidos
D(f ) = PnK − V(f ) = {P ∈ PnK : f (P ) 6= 0},
y dejamos como el ejercicio 8 el probar que los D(f ) forman una base de la topologı́a de Zariski en PnK . Con esta notación note que los Ui = D(xi ). Ahora, para
mostrar que los ϕi son homeomorfismos, basta hacer ésto para el caso i = 0. Entonces, para U0 = {[1, a1 , . . . , an ]} observe que para cualquier polinomio homogéneo
f ∈ K[x0 , . . . , xn ] se tiene que
D(f (x0 , . . . , xn ) ∩ U0 = D(f (1, x1 , . . . , xn )) = D(f∗ )
donde f∗ (x0 , x1 , . . . , xn ) = f (1, x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ] es la deshomogeinización de f (poniendo x0 = 1). Además, para cualquier polinomio (no necesariamente homogéneo) f ∈ K[x1 , . . . , xn ] se tiene que
D(f ) = D(f ∗ ) ∩ U0
f
donde f ∗ (x0 , x1 , . . . , xn ) = xgr
0 f (x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ] es la homogeinización de f . Para las nociones de homogeinización y deshomogeinización, vea
la sección sobre la cerradura proyectiva. Finalmente, note que bajo la biyección
ϕ0 : U0 → AnK dada por ϕ[1, a1 , . . . , an ] = (a1 , . . . , an ) los abiertos básicos de
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
47
AnK corresponden a intersecciones con U0 con abiertos básicos de PnK . Por lo tanto
ϕ0 es un homeomorfismo.
n−1
O BSERVACI ÓN . Los hiperplanos Hi = V(xi ) son homeomorfos a PK
mediante la
n−1
función θi : Hi → PK dada por θ[a0 , . . . , 0, . . . , an ] := [a0 , . . . , an ] (omitiendo
el ai = 0 de la coordenada i-ésima) y cuya inversa inserta un 0 en la coordenada
i-ésima. Ası́, para cualquier punto P de PnK , observando si su coordenada i-ésima
o P ∈ Ui ≈ AnK . Por la proposición
es cero o no, se tiene que P ∈ Hi ≈ Pn−1
K
anterior, se sigue que
PnK = Ui ∪ Hi ≈ AnK ∪ Pn−1
K
y por lo tanto
1
0
PnK ≈ AnK ∪ An−1
K ∪ · · · ∪ AK ∪ AK .
En otras palabras, lo que hemos hecho es meter una copia del espacio afı́n AnK
en el espacio proyectivo PnK . Se suele decir que los puntos de AnK ' Ui están a
n−1
((están en el infinito))
((distancia finita)) y que los puntos del hiperplano Hi ' PK
o que son ((puntos al infinito)) y se dice que Hi es un hiperplano al infinito. Por
supuesto que la noción de estar o no en el ((infinito)) depende de la elección del
hiperplano Hi ya que escogiendo otra coordenada xj para definir Hj los puntos de
PnK pueder ser vistos o no en el infinito correspondiente a Hi . Es decir, en el espacio
proyectivo PnK no hay distinción entre sus puntos, la noción de ((puntos al infinito))
es un concepto afı́n.
C OROLARIO 2.9. Si Y es una variedad proyectiva (respectivamente, casi-proyectiva), entonces Y se puede cubrir con los abiertos Y ∩ Ui , 0 ≤ i ≤ n, que son
homeomorfos a variedades afines (respectivamente, casi-afines) mediante las funciones ϕi de la proposición anterior.
Ejemplo 2. En la recta proyectiva P1K = A2K −{0}/ ∼, con coordenadas proyectivas
[x, y] consideremos el hiperplano H0 = V(x) de tal forma que U0 = P2K − H0 '
A1K . Entonces, el hiperplano al infinito H0 lo conforman los puntos de la forma
[0, y] y notamos que estos son colineales y por lo tanto H0 consiste de un único
punto ∞ = [0, 1]. Por otra parte, A1K ' U0 = P1K − H0 = P1K − {∞} consiste de
los puntos de la forma [1, y]. Se sigue que
P1K ' A1K ∪ {∞}
y se suele definir P0K = {∞}.
Ejemplo 3. En el plano proyectivo P2K = A3K − {0}/ ∼, con coordenadas proyectivas [x, y, z], consideremos el hiperplano H3 = V(z) como el hiperplano al
infinito. Ası́, los puntos de H3 son de la forma [x, y, 0] los cuales identificamos con
48
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
2
2
[x, y] ∈ P1K , i.e., H3 ' PK
1 . El complemento U3 = PK − H3 ' AK donde indenti2
ficamos los puntos [x, y, 1] ∈ U3 con (x, y) ∈ AK olvidando la tercera coordenada.
Note ahora que si consideramos a A2K ⊆ A3K , digamos mediante (x, y) 7→
(x, y, 0), entonces P1K se puede considerar como incluido en P2K . En general, si
` ⊆ A3K es un plano que pasa por el origen (i.e., es un subespacio vectorial de A3K de
dimensión 2, sus puntos satisfacen una ecuación lineal de la forma ax+by +cz = 0,
con a, b, c ∈ K no todos cero. Entonces podemos considerar la variedad proyectiva
V(ax + by + cz) ⊆ P2K . Hay dos casos a considerar:
(i) Si a = b = 0, entonces podemos suponer que c = 1 y ası́ la variedad
correspondiente en P2K es la recta al infinito V(z) = H3 ' P1K .
(ii) Si a 6= 0 ó b 6= 0, podemos considerar la restricción de este plano de
A3K al subespacio afı́n A2K ⊆ A3K y usando que A2K ' U3 , identificando
los puntos (x, y) ∈ A2K con los puntos [x, y, 1] ∈ U3 . Por lo tanto, la
ecuación del plano, que es de la forma ax + by + c = 1 (porque z = 1)
y ası́ es una recta afı́n ` en A2K ' U3 ⊆ P2K . Por otra parte, si ahora
intersectamos este plano afı́n con la recta al infinito H3 ' P1K , en este
caso los puntos del plano son de la forma [x, y, 0] y satisfacen la ecuación
ax + by = 0 (porque z = 0) con a 6= 0 ó b 6= 0. Ası́, si por ejemplo
b 6= 0, entonces y = (−1/b)x, es decir, sólo hay un único tal punto, al
que podemos suponer que tiene coordenadas [b, −a, 0]. Note ahora que
este punto da la pendiente de la recta afı́n ax + by + c = 0, es decir,
da su dirección. Observe también que si `0 es otra recta afı́n paralela a `,
entonces tiene la misma pendiente que ` y ası́ su ecuación es de la forma
ax + by + c0 = 0 y por lo tanto `0 tiene el mismo punto al infinito que `,
i.e., rectas paralelas se intersectan al infinito.
En cualquier caso, hemos mostrado que un plano (por el origen) en A3K corresponde a una recta en P2K . Más aún, las rectas diferentes de la recta al infinito
H3 ' P1K están en correspondencia biyectiva con las rectas afines y cada una de
éstas contiene un único punto al infinito (i.e., en P1K ) correspondiente a su dirección. En general, se tiene que
P1K ≈ A1K ∪ P0K
con P0K un ((punto al infinito))
P2K ≈ A2K ∪ P1K
con P1K una ((recta al infinito))
P3K ≈ A3K ∪ P2K
etcétera,
con P2K un ((plano al infinito))
de tal forma que P1K es la recta afı́n más un punto al infinito, el plano proyectivo es
igual al plano afı́n más una recta al infinito, etcétera.2
2Podrı́a pensarse que el espacio proyectivo Pn se introdujo para traer al descubierto aquellas
K
cosas misteriosas que sucedı́an en ((lo obscurito)), i.e., ((en el infinito)).
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
49
Cerradura proyectiva. Para cualquier conjunto algebraico afı́n V ⊆ AnK , usando
que AnK ⊆ PnK , la cerradura V ⊆ PnK , en la topologı́a de PnK , se llama la cerradura
proyectiva de V y los puntos de V − V se llaman los puntos al infinito de V . Si V
está dada como el conjunto de ceros de los polinomios,
1 ≤ i ≤ m,
fi (x1 , . . . , xn ) = 0
entonces V está contenida en el conjunto algebraico proyectivo V ∗ dado por los
polinomios homogéneos
fi∗ (y0 , . . . , yn ),
1 ≤ i ≤ m,
obtenidos al homogeneizar los fi , usando la función β de la demostración de 2.8,
i.e.,
fi∗ (y0 , . . . , yn ) = y0gr fi fi (y1 /y0 , . . . , yn /y0 ).
Recı́procamente, si W ∗ ⊆ PnK es una variedad proyectiva dada por los polinomios homogéneos
gi (y0 , . . . , yn ) = 0 1 ≤ i ≤ m
∗
n
entonces Wa := W ∩ AK es la variedad afı́n dada por los polinomios
gi (1, x1 , . . . , xn ) = 0
1≤i≤m
obtenidos al deshomogeneizar los gi∗ con respecto a y0 , usando la función α de la
demostración de 2.8.
Antes de ver unos ejemplos de homogeneización y deshomogeneización, probaremos un resultado con algunas partes análogas a las afines correspondientes y una
parte que da una correspondencia entre variedades afines y sus cerraduras proyectivas:
T EOREMA 2.10. Supongamos que K es algebraicamente cerrado.
(1) Si V es irreducible entonces V lo es.
(2) La correspondencia V 7→ V que asigna a cada conjunto afı́n V ⊆ AnK su
cerradura proyectiva V ⊆ PnK es una biyección entre la familia de conjuntos afines
no vacı́os en AnK y la familia de conjuntos proyectivos en PnK tales que ninguna de
sus componentes irreducibles está contenida totalmente en el hiperplano al infinito.
(3) Si V = V1 ∪ · · · ∪ Vr es la descomposición de V en componentes irreducibles, entonces V = V 1 ∪ · · · ∪ V r es la descomposición de V en componentes
irreducibles.
Demostración. La parte 1 se sigue de 1.7 ya que la cerradura proyectiva es la cerradura en la topologı́a de Zariski de PnK .
Para la parte 2, ya tenemos la función V 7→ V que asigna a cada conjunto
afı́n su cerradura proyectiva. Recı́procamente, si W ⊆ PnK es un conjunto proyectivo, entonces su deshomogenización Wa := W ∩ AnK ⊆ AnK es un conjunto
50
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
afı́n y si W está dada por los polinomios homogéneos fi (x0 , x1 , . . . , xn ) entonces Wa está dada por los polinomios deshomogenizados fi (1, x1 , . . . , xn ), digamos de grados di . Observe entonces que al homogenizar estos polinomios poniendo
xd0i f (1, x1 , . . . , xn ) recuperamos el polinomio fi original. Finalmente, note que si
W es (una componente) irreducible que no está totalmente contenida en el hiperplano al infinito H0 = V(x0 ) ⊆ PnK , i.e., si no sucede que x0 = 0 en todo W ,
entonces ∅ =
6 Wa ⊆ W y como W es irreducible, por 1.3(3) se sigue que Wa es
denso en W y por lo tanto Wa = W . La parte 3 se deja como el ejercicio 7.
Ejemplo 4. Sea C la parábola afı́n definida por y − x2 = 0 en A2K :
6
-
Vhy −
x2 i
Su ecuación homogénea yz − x2 = 0 define una variedad (parábola) proyectiva
C en P2K y la función [x, y, z] 7→ (x/z, y/z) es un isomorfismo de C ∩ Uz en C,
donde Uz = P2K − Hz = {[x, y, z] : z 6= 0} = {[x, y, 1] ∈ P2K }. Note que
la parábola proyectiva C contiene al punto [0, 1, 0] (ya que este punto satisface la
ecuación homogénea yz = x2 ), obtenido al intersectar con el hiperplano al infinito:
C ∩ Hz = V(yz − x2 ) ∩ V(z) = {[x, y, z] : z = 0, yz = x2 ⇒ x = 0} =
{[0, y, 0] = [0, 1, 0]}, que no está en la parábola afı́n y = x2 . Ası́, la parábola
proyectiva tiene un ((punto al infinito)) donde la parábola afı́n es ((tangente a la recta
al infinito)).
Ejemplo 5. Para la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2 ) anterior, si ahora
deshomogeneizamos haciendo x = 1, i.e., consideramos la intersección C ∩ Ux =
C∩{[x, y, z] : x 6= 0} = C∩{[1, y, z]}, obtenemos la ecuación afı́n yz−1 = 0 que
es una hipérbola C 0 en A2K y la función [x, y, z] 7→ (y/x, z/x) es un isomorfismo
de C ∩ {x 6= 0} en C 0 .
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
51
6
-
Vhyz − 1i
Notamos ahora que al intersectar la hipérbola proyectiva C con el hiperplano al
infinito P1K ' Hx , la intersección
C ∩ Hx = V(yz − x2 ) ∩ V(x) = {[0, y, z] : yz = x2 , x = 0 ⇒ yz = 0}
consiste de los puntos en P2K que satisfacen yz = 0, i.e., puntos de la forma [0, y, 0]
con y 6= 0, ó puntos de la forma [0, 0, z] con z 6= 0; es decir, consiste de los ((puntos
al infinito)) [0, 1, 0] y [0, 0, 1] que corresponden a las ası́ntotas de la hipérbola afı́n
(los ejes coordenados Y y Z. Ası́, la parábola tiene un único punto al infinito mientras que la hipérbola tiene dos.
Ejemplo 6. Para la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2 ) anterior, si ahora
tomamos y + z = 0 como la recta al infinito, i.e., H = V(y + z) y K = R, haciendo
el cambio de coordenadas
x0 = x
y0 = z
z0 = y + z
(i.e, y = z 0 − y 0 ),
se tiene que
yz − x2 = 0 ⇔ (z 0 − y 0 )y 0 − x02 = 0 ⇔ x02 + y 02 − y 0 z 0 = 0
por lo que V(yz − x2 ) = V(x02 + y 02 − y 0 z 0 ). Entonces, intersectando con el plano
afı́n A2R ' U = P2R − V(z 0 ), donde z 0 6= 0 en U y ası́ podemos tomar z 0 = 1 para
deshomogeneizar la variedad proyectiva C = V(x02 + y 02 − y 0 z 0 ) y ası́ obtener la
curva afı́n V(x02 + y 02 − y 0 ) ⊆ A2R que es un cı́rculo de centro (0, 1/2) y radio 1/2:
52
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
6
-
Vhx02 + y 02 − y 0 i
y notamos que no tiene puntos al infinito ya que la intersección de C = V(x02 +
y 02 − y 0 z 0 ) con la recta al infinito P1R ' H = V(z 0 ) corresponde a x02 + y 02 = 0
cuya única solución afı́n (porque K = R) es el punto (0, 0) y ası́, proyectivamente
es vacı́o:
V(x02 + y 02 − y 0 z 0 ) ∩ V(z 0 ) = V(x02 + y 02 ) = ∅.
Los ejemplos anteriores, de la misma variedad proyectiva C = V(yz − x2 )
que al deshomogeneizar da lugar a cónicas diferentes en el plano afı́n, son casos
particulares del ejemplo siguiente:
Ejemplo 7. El polinomio cuadrático en dos variables que define una cónica en el
plano afı́n A2K
q(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F
corresponde al polinomio homogéneo cuadrático en tres variables
Q(x, y, z) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dxz + Eyz + F z 2
y la curva proyectiva que define
V(Q) ⊆ P2K
se llama una cónica proyectiva. Observamos que
V(Q) ∩ A2K = V(Q) ∩ Uz = V(q)
es la cónica afı́n q(x, y) = 0. Si K es un campo de caracterı́stica diferente de 2, hay
una correspondencia biunı́voca entre formas cuadráticas en 3 variables y matrices
3 × 3 con entradas en K:


A B/2 D/2
E/2
Q(x, y, z) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dxz + Eyz + F z 2 ←→ B/2 C
D/2 E/2 F
y, usando el proceso de Gram-Schmid, para la forma cuadrática Q existe una base
de su dominio tal que Q tiene la forma más sencilla:
(∗)
Q(x, y, z) = ax2 + by 2 + cz 2
2.1. EL ESPACIO PROYECTIVO
53
y como la curva proyectiva V(Q) ⊆ P2K que define Q(x, y, z) (a la que se llama
una cónica proyectiva) es igual a la curva que define Q(λx, λy, λz), para cualquier
λ ∈ K ∗ , para el caso cuando K = R sabemos que todo real λ es cero o ± un
cuadrado, entonces en la forma cuadrática (∗) se pueden tomar a, b, c ∈ {0, ±1}.
Más aún, como sólo nos interesa su conjunto de ceros V(Q) podemos multiplicar
todo por −1 por lo que las posibilidades para el lado derecho de (∗) son:

2
2
2

x + y + z si a = b = c = 1


2
2
2


x + y − z si a = b = 1, c = −1
Q(x, y, z) = x2 + y 2
si a = b = 1, c = 0


2
2

x −y
si a = 1, b = −1, c = 0



x2
si a = 1, b = c = 0
cuyos conjuntos de ceros V(Q) ⊆ P2R respectivamente son:
V = (x2 + y 2 + z 2 ) = el conjunto vacı́o
V(x2 + y 2 − z 2 ) = una cónica no degenerada
V(x2 + y 2 ) = un punto: [0, 0, 1] ∈ P2R
V(x2 − y 2 ) = un par de rectas
V(x2 ) = una recta doble
Donde sólo notamos que para V(x2 + y 2 ) se tiene que z 6= 0 por lo que el punto es
[0, 0, λ] = [0, 0, 1].
Más aún, en el caso de una cónica no degenerada observamos que, con el cambio
de coordenadas (x, y, z) 7→ (x, (y − z)/2, (y + z)/2), el polinomio que define la
cónica queda de la forma
y − z 2 y + z 2 4x2 + y 2 − 2yz + z 2 − y 2 − 2yz − z 2
−
=
= x2 − yz
x2 +
2
2
4
por lo que
C = V(x2 + y 2 − z 2 ) = V(x2 − yz) = V(yz − x2 )
es una cónica proyectiva no degenerada y es la misma variedad proyectiva de los
ejemplos 4, 5 y 6. Recordemos ahora que del curso de geometrı́a elemental sabemos que los casos no degenerados de las cónicas afines son: el cı́rculo, la elipse, la
parábola y la hipérbola y ahora, proyectivamente, son un sólo caso. También, en el
caso afı́n se tienen dos instancias cuando la cónica degenera a rectas, a saber, dos
rectas no paralelas que se cortan en un punto del plano afı́n o dos rectas paralelas
distintas. Ahora, proyectivamente, estos dos casos son el mismo: las rectas siempre se cortan en un punto. Los demás casos (recta doble, un punto o el conjunto
vacı́o) son los mismos que en el caso afı́n. En resumen, las cónicas afines (usuales) son propiedades de la única cónica proyectiva; estas propiedades de la cónica
54
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
proyectiva son: la cónica proyectiva corta a la recta al infinito (que se haya elegido
previamente) en un punto (parábola), dos puntos (hipérbola), en cero puntos (elipse
o cı́rculo). Es decir, hay un único objeto geométrico proyectivo, cuyas propiedades
locales las visualizamos como las cónicas afines usuales.
Ejemplo 8. Considere la variedad proyectiva E ⊆ P2K definida por el polinomio
homogéneo de grado 3
y 2 z = x3 + axz 2 + bz 3
(∗)
donde supondremos que al deshomogeneizar poniendo z = 1, i.e., al intersectar con
con el plano afı́n A2K ' U3 = {[x, y, 1]}, en el polinomio afı́n
y 2 = x3 + ax + b
se tiene que x3 + ax + b no tiene raı́ces múltiples (como veremos más adelante, esto
querrá decir que la curva correspondiente es lisa).
Por otra parte, note que al intersectar E con la recta al infinito H3 = V(z) =
{[x, y, 0]} ' P1K poniendo z = 0 en la ecuación que define E queda x = 0 y por lo
tanto y 6= 0, i.e., se tiene el único punto [0, 1, 0] ∈ E ∩ H3 al infinito.
Ası́, E = V(y 2 z − x3 − axz 2 − bz 3 ) ⊆ P2K consiste de los puntos [x, y, 1] en la
curva afı́n y 2 = x3 + ax + b y del punto al infinito [0, 1, 0]. Estas curvas E se llaman
curvas elı́pticas y son muy importantes en teorı́a de números. Cuando K = C, la
parte real de una curva elı́ptica E ⊆ P2C tiene una de las dos formas mostradas en la
figura siguiente:
y 2 = x3 − x
y 2 = x3 − x + 1/2
y observe, intuitivamente, que al proyectivizar añadiendo el punto al infinito [0, 1, 0]
a la parte real de la curva, topológica y diferenciablemente se obtienen uno o dos
cı́rculos, lo cual quiere decir que el grupo E(R) de puntos reales de E es el grupo
S 1 ó el grupo S 1 ⊕ Z/2. Se puede mostrar, ya sea ((a pie)) ó con más herramienta de geometrı́a algebraica, que la curva elı́ptica E tiene una estructura natural de
EJERCICIOS
55
grupo abeliano, donde el elemento neutro es el punto al infinito [0, 1, 0], i.e., sin él
no es posible hacer de E un grupo. La operación de grupo tiene una descripción
geométrica sencilla, si aceptamos por el momento el teorema de Bézout que probaremos más adelante: dados dos puntos P , Q en la curva elı́ptica E, considerando la
recta secante que pasa por ellos (tangente, si P = Q), sea R el tercer punto donde
esta recta corta a E (este punto existe por el teorema de Bezout); después, consideremos la recta que pasa por R y el punto al infinito [0, 1, 0] y sea R0 el tercer
punto donde esta recta (que hemos dibujado como una recta vertical en la figura siguiente) intersecta a E. La suma P + Q se define como R0 . Se prueba directamente
que, con esta operación, E es un grupo abeliano, donde la única parte laboriosa es
la demostración de la asociatividad de la operación, pero todo lo anterior se puede
simplificar mediante una demostración más conceptual usando más elementos de
geometrı́a algebraica.
P
Q
R
R0
Estructura de grupo en una curva elı́ptica
Ejercicios
E JERCICIO 1. Si I,
√ J ⊆ K[x0 , . . . , xn ] son ideales homogéneos, demuestre que
IJ, I ∩ J, I + J, I también
Pson homogéneos. Si {Ij } es una familia de ideales
homogéneos, demuestre que j Ij también lo es.
E JERCICIO 2. Si K es algebraicamente cerrado, usando el teorema de los ceros
de Hilbert usual muestre que el cono afı́n V a ⊆ An+1
con vértice en el origen
K
corresponde (por 2.1) a un ideal radical homogéneo I = I(V a ) K[x0 , . . . , xn ].
E JERCICIO 3. La noción de ideal primo homogéneo en K[x0 , . . . , xn ] es la misma
sin tomar en cuenta que el ideal es homogéneo. Sin embargo, demuestre que un ideal
56
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
homogéneo p ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es primo si y sólo si para cualesquiera polinomios
homogéneos f, g ∈ K[x0 , . . . , xn ] si f g ∈ p entonces f ∈ p ó g ∈ p.
E JERCICIO 4. Si I ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un ideal homogéneo, demuestre que el
cociente A/I = K[x0 , . . . , xn ]/I tiene una gradación natural dada por (A/I)d =
π(Ad ), donde π : A A/I es el epimorfismo canónico y Ad es la gradación
natural de A = K[x0 , . . . , xn ].
E JERCICIO 5. Si I ⊆ K[x0 , . . . , xn ] es un ideal, demuestre que I es un ideal homogéneo si y sólo si
M
I=
(I ∩ Ad ),
d≥0
con Ad la gradación natural de A = K[x0 , . . . , xn ].
E JERCICIO 6. Si K es algebraicamente cerrado, demuestre que las componentes
irreducibles de un cono afı́n en An+1
K también son conos afines con el mismo vértice.
E JERCICIO 7. Demuestre la parte 3 de 2.9.
E JERCICIO 8. Demuestre quen los abiertos distinguidos D(f ), definidos para f ∈
K[x0 , . . . , xn ] homogéneo, forman una base de la topologı́a de PnK .
E JERCICIO 9. Si K es algebraicamente cerrado, dado f ∈ K[x1 , . . . , xn ], sea f ∗ ∈
K[x0 , x1 , . . . , xn ] su homogeneizado. Similarmente, si f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] es
un polinomio homogéneo, sea f∗ = f (1, x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ] el polinomio
obtenido al deshomogeneizar f . Si I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] sea I ∗ ⊆ K[x0 , . . . , xn ] el
ideal homogéneo generado por los f ∗ con f ∈ I. Similarmente, si J ⊆ K[x0 , . . . , x−
n] es un ideal homogéneo, sea J∗ ⊆ K[x1 , . . . , xn ] el ideal generado por los f∗
con f ∈ J. Si V ⊆ AnK es un subconjunto algebraico e I = I(V ) pondremos
V ∗ := V(I ∗ ) y si V ⊆ PnK es algebraico y J = I(V ), sea V∗ := V(J∗ ).
(i) Si V ⊆ AnK es algebraico, demuestre que V ∗ es la cerradura V de V en
PnK .
(ii) Si V ⊆ AnK es algebraico, demuestre que (V ∗ )∗ = V .
(iii) Si V ⊆ PnK es algebraico, demuestre que V∗ = V ∩ AnK
(iv) Si V ⊆ AnK es algebraico y ninguna componente irreducible de V está totalmente contenida en el hiperplano al infinito o contiene a este hiperplano,
demuestre que V∗ AnK y (V∗ )∗ = V .
(v) Si V = V(x0 ) es el hiperplano al infinito, demuestre que V∗ = ∅ y por lo
tanto (V∗ )∗ = ∅ =
6 V.
E JERCICIO 10. Sea C = V(x2 + y 2 ) ⊆ A2R . Bosqueje este conjunto afı́n en A2R .
E JERCICIO 11. Sea C 0 = V(x2 − y 2 ) ⊆ A2R . Bosqueje este conjunto afı́n en A2R .
2.2. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES PROYECTIVAS
57
E JERCICIO 12. Considere las proyectivizaciones C y C 0 en P2R de las curvas de los
dos ejercicios anteriores. Determine sus intersecciones con la recta al infinito de P2R .
2.2.
Morfismos entre variedades proyectivas
Como en el caso de variedades afines, para comparar variedades proyectivas debemos definir funciones entre ellas dadas por polinomios o cocientes de polinomios.
Comenzamos asociando a un conjunto proyectivo su anillo de coordenadas.
Anillos de coordenadas. A cada conjunto algebraico V ⊆ PnK se le asocia su anillo
de coordenadas homogéneo:
K h [V ] := K[x0 , . . . , xn ]/I(V ).
Para comenzar, observemos que si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva e I(V )
es su ideal asociado, a diferencia del caso afı́n, no hay forma de definir funciones regulares en V en términos de polinomios ya que para un polinomio f ∈
K[x0 , . . . , xn ] y un punto [x0 , . . . , xn ] ∈ V como este punto es en realidad una
clase de equivalencia
[x0 , . . . , xn ] = {(λx0 , . . . , λxn ) : λ ∈ K ∗ }
entonces ((el valor)) f [x0 , . . . , x0 ] ∈ K estará bien definido si y sólo si f es un
polinomio homogéneo de grado 0, i.e., si f es constante. Por lo tanto, a diferencia
del anillo de coordenadas afı́n K[V ], los elementos del anillo de coordenadas homogéneo K h [V ] no definen funciones en la variedad proyectiva V . Ası́, tendremos
que pasar al siguiente nivel y considerar funciones racionales en V :
El campo de funciones racionales. Si V es una variedad proyectiva una función
racional en V es una función (definida en un subconjunto de V ) f : V 99K K
dada por un cociente de polinomios del mismo grado, i.e., existen polinomios homogéneos del mismo grado g, h ∈ K[x0 , . . . , xn ] tales que f (P ) = g(P )/h(p)
para P en un subconjunto de V . Note que lo anterior salva la objeción en el párrafo
previo ya que si h(P ) 6= 0 el cociente g(P )/h(P ) está bien definido porque para
todo 0 6= λ ∈ K se tiene que
g(λP )
λd g(P )
g(P )
= d
=
h(λP )
h(P )
λ h(P )
donde d es grado de los polinomios g y h. Observe también que si g/h y g 0 /h0
definen la misma función racional f entonces h0 g − gh ∈ I(V ), y recı́procamente.
Se tiene ası́ la relación (de equivalencia) ∼
g/h ∼ g 0 /h0 ⇔ h0 g − gh0 ∈ I(V ).
58
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
Se prueba fácilmente que el conjunto de (clases de equivalencia de) funciones racionales en V ,
{g/h : g, h ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneos del mismo grado con h 6∈ I(V )}/ ∼
al que se denota por K h (V ), es un campo al que se llama el campo de funciones
racionales de V .
L EMA 2.11. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva irreducible y si V = V0 ∪ · · · ∪
Vn es su cubierta afı́n usual (2.8) y (2.9), i.e., cada Vi ' AnK , y si V 6⊆ V(x0 ), i.e.,
V no está contenida en el hiperplano al infinito, entonces existe un isomorfismo de
campos de funciones K h (V ) ' K(V0 ), donde K(V0 ) es el campo de funciones de
la variedad afı́n V0 .
Demostración. Los morfismos K(V0 ) → K h (V ) y K h (V ) → K(V0 ) dados por
g ∗
f (x1 /x0 , . . . , xn /x0 )
xgr
f (x1 , . . . , xn )
0 f (x0 , . . . , xn )
7→
= gr f
g(x1 , . . . , xn )
g(x1 /x0 , . . . , xn /x0 )
x0 g ∗ (x0 , . . . , xn )
y
f (x0 , . . . , xn )
f (x0 /x0 , x1 /x0 , . . . , xn /x0 )
f (1, x1 , . . . , xn )
7→
=
g(x0 , . . . , xn )
g(x0 /x0 , x1 /x0 , . . . , xn /x0 )
g(1, x1 , . . . , xn )
claramente son inversos uno del otro, donde notamos que como V0 = V ∩ U0 , con
U0 = PnK − V(x0 ), entonces x0 6= 0 en V0 . Además, para la primera función, notamos que para cualquier f ∈ K[V0 ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V0 ) no nulo, pensándolo
como un polinomio (i.e., tomando un representante de la clase lateral) podemos
escribir
f
f (x1 /x0 , . . . , xn /x0 ) = f ∗ (x0 , . . . , xn )/xgr
0
con f ∗ homogéneo de grado gr f . Similarmente para la g en el denominador. De
aquı́ se obtiene la segunda igualdad de la definición de la primera función, donde
notamos que en el numerador y denominador se tienen polinomios homogéneos del
mismo grado gr f + gr g. También, para la segunda función notamos que como f
y g son homogéneos del mismo grado, la potencia de x0 en los denominadores de
f es igual a la potencia de x0 de los denominadores de g y por lo tanto se cancelan
quedando los cocientes de polinomios en n variables de la segunda igualdad.
El campo de funciones K h (V ) de una variedad proyectiva V ⊆ PnK se puede
ver como la localización del anillo de coordenadas K[V a ] del cono afı́n de V en el
ideal cero, como anillo graduado ya que K[V a ] = K[x0 , . . . , xn ]/I(V ) hereda la
graduación
natural del anillo de polinomios (vea el ejercicio 4) dada como K[V a ] =
L
a
d≥0 K[V ]d , donde
K[V a ]d = {f = f + I(V ) : f homogéneo de grado gr f = d} ∪ {0}
2.2. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES PROYECTIVAS
59
donde lo único que tenemos que observar es que si d 6= e, K[V a ]d ∩ K[V a ]e =
{0} porque si f está en la intersección, entonces tiene representantes f1 y f2 homogéneos de grados d y e, respectivamente, y se tiene que f1 − f2 ∈ I(V ) y
si sucediera que gr f1 = d 6= e = gr f2 , como I(V ) es un ideal homogéneo y
f1 − f2 ∈ I(V ), sus componentes son homogéneas y por lo tanto f1 , f2 ∈ I(V ),
es decir, f = 0. Para precisar el hecho de que K h (V ) es la localización del anillo
graduado K[V a ] en el ideal cero, recordamos a continuación las ideas involucradas:
L
Localización de anillos graduados. Si A =
d≥0 Ad es un anillo graduado y
S ⊆ A es un subconjunto multiplicativo cuyos elementos son homogéneos, sea
S −1 A el anillo de fracciones de A definido en §1.2. El objetivo es ver que S −1 A
tiene una gradación natural. Para ésto, si f ∈ A y s ∈ S son homogéneos, diremos
que f /s ∈ S −1 A es homogéneo de grado gr(f /s) = gr f − gr s, y observe que el
grado de f /s está bien definido, ya que si f /s = g/t, entonces existe u ∈ S tal que
u(f t − gs) = 0, i.e., uf t = ugs, y como u es homogéneo y la función grado es
multiplicativa, entonces
gr u + gr f + gr t = gr u + gr g + gr s
y por lo tanto gr f − gr s = gr g − gr t, i.e., gr(f /s) = gr(g/t). Lo anterior sugiere
tomar en S −1 A sólamente los elementos de grado cero y ası́, como anillo graduado
se define
o
nf
f
∈ S −1 A :
es homogéneo de grado 0 = S −1 A 0 ,
A(S) =
s
s
−1
donde el subı́ndice cero en S A 0 quiere decir que se toman los elementos de
grado cero.
L
Ejemplo 9. Si A = d≥0 Ad es un anillo graduado y p ⊆ A es un ideal primo homogéneo, entonces Sp := {f ∈ A : f es homogéneo y f 6∈ p} es un subconjunto
multiplicativo formado por elementos homogéneos y se define
A(p) = A(Sp ) .
L
Ejemplo 10. Si A =
d≥0 Ad es un anillo graduado y f ⊆ A es un elemento
homogéneo, entonces Sf := {f n ∈ A : n ≥ 0} es un subconjunto multiplicativo
formado por elementos homogéneos y se define
A(f ) = A(Sf ) .
L EMA 2.12. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva (irreducible), entonces se tiene
un isomorfismo de anillos graduados
K h (V ) ' K[V a ](h0i) .
60
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
Demostración. Observamos primero que como V es irreducible, entonces V a también es irreducible y por lo tanto K[V a ] es un dominio entero y ası́ h0i = I(V ) es
un ideal primo (homogéneo, obviamente) y
S(h0i) = {s ∈ A : s es homogéneo y s 6∈ I(V )},
y por definición
nf
o
K h (V ) =
: f, s ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneos con gr f = gr s y s 6∈ I(V )
s
o
nf
f
:
homogéneo con gr(f /s) = 0 y s 6∈ I(V )
=
s
s
= K[V a ](h0i) .
Funciones regulares. Si V es una variedad proyectiva y P es un punto en V , una
función racional f ∈ K h (V ) se dice que es regular en P si existe una expresión
f = g/h, con g, h homogéneos del mismo grado y tal que h(P ) 6= 0. Se definen,
como en el caso afı́n,
dom f = {P ∈ V : f es regular en P }
y
OV,P = {f ∈ K h (V ) : f es regular en P }.
Si U ⊆ V es un abierto, denotaremos con
OU = {f ∈ K h (V ) : f es regular en todo U }.
Claramente este es un anillo, el anillo de funciones regulares en U . Se tiene el análogo de 1.29 y 1.30, pero a diferencia del último inciso del ejercicio 37 del capı́tulo 1,
§1.3, no hay funciones regulares en todo V excepto las funciones constantes:3
L EMA 2.13. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva,
(1) Para toda f ∈ K h (V ), dom f ⊆ V es denso.
(2) OV,P ⊆ K h (V ) es un subanillo.
(3) OV = K.
3Esto es similar a lo que sucede para cuando K = C y V es una superficie de Riemann compacta:
por el teorema de Liouville las únicas funciones holomorfas en una superficie de Riemann compacta
son las funciones constantes, i.e, OV = C. Incidentalmente, la notación O para las funciones regulares
proviene de la palabra holomorfa, que en italiano es sin h. En la demostración de la parte (3) usaremos
algunos hechos sobre localización de anillos graduados, parte de los cuales ya han sido repasados y
otra parte está en los ejercicios.
2.2. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES PROYECTIVAS
61
Demostración. Demostraremos (3): Para comenzar, podemos suponer que V 6⊆
V(xi ) ' Pn−1
para todo i (i.e., que V no está contenida en un hiperplano al inK
finito) ya que de lo contrario reemplazarı́amos PnK por Pn−1
K . Ahora, sea f ∈ OV
una función regular en todo V y sean Ui ⊆ PnK los abiertos (afines) de 2.8, es decir Ui = PnK − V(xi ). Pongamos Vi = Ui ∩ V . Entonces, f es regular en Vi y
ası́ por 1.29 (2) (vea también el ejercicio 37 de §1.3) se tiene que f ∈ K[Vi ], y por
el ejercicio 17 de este capı́tulo se tiene que K[Vi ] ' K h [V ](xi ) donde K h [V ] es
el anillo de coordenadas homogéneo de V . Se sigue que f se puede escribir como
gi /xki i con gi ∈ K h [V ] homogéneo de grado ki (ya que f es de grado cero). Ahora,
OV , K h (V ) y K h [V ] son subanillos del campo cociente de K h [V ] y por lo tanto
ki
h
las operaciones en estos anillos son las mismas y ası́ se tiene que
Pxi ∈ K [V ]
es homogéneo de grado ki , para cada i. Escojamos ahora k ≥
ki y notemos
que el subespacio vectorial de elementos homogéneos de grado k, K h [V ]k , está generado como K-espacio vectorial, por los monomios de grado k en x0 , . . . , xn y
en cada tal monomio ocurre al menos un xi con exponente ≥ ki . Se sigue que
K h [V ]k · f ⊆ K h [V ]k ya que f = gi /xki i con gi de grado ki . Iterando este proceso
se tiene que K h [V ]k · f q ⊆ K h [V ]k para todo q > 0. En particular, xk0 f q ∈ K h [V ]
para todo q > 0 y ésto muestra que el subanillo K h [V ][f ] (del campo de cocientes
h
h
de K h [V ]) está contenido en x−k
0 K [V ], el cual es un K [V ]-módulo finitamente
generado, y como K h [V ] es noetheriano entonces K h [V ][f ] es un K h [V ]-módulo
finitamente generado y por lo tanto f es entero sobre K h [V ]. Se sigue que existen
elementos a0 , . . . , am−1 ∈ K h [V ] tales que
(∗)
f m + am−1 f m−1 + · · · + a1 f + a0 = 0
y como f es de grado 0 podemos reemplazar los ai anteriores por sus componentes
homogéneas de grado 0 y todavı́a se tiene una ecuación de dependencia entera como
(∗). Pero, como K h [V ]0 = K (lo cual observamos al principio de esta sección
donde vimos que los polinomios homogéneos de grado cero son los constantes no
nulos), entonces los ai ∈ K y ası́ f es entero sobre K y como K es algebraicamente
cerrado esto implica que f ∈ K, como se querı́a.
Un elemento f ∈ K h [V ] = K[x0 , . . . , xn ]/I(V ) se dice que es homogéneo de
grado d, si f = f˜ + I(V ) con f˜ ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneo de grado d. Observe
ahora que cada f ∈ K h [V ] se puede descomponer, en forma única, como
f = f0 + f1 + · · · + fd
con los fj homogéneos de grado j. En efecto, escribiendo f = f˜ + I(V ), con
f˜ ∈ K[x0 , . . . , xn ], y luego poniendo f˜ = f˜0 + · · · + f˜d con los f˜j ∈ K[x0 , . . . , xn ]
homogéneos de grado j, se sigue que
f = f˜ + I(V ) = f˜0 + · · · + f˜d + I(V ) = f0 + · · · + fd
62
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
con los fj = f˜j + I(V ) homogéneos de grado j. Finalmente, si se tuviera que
f = g0 + · · · + gd con los gj ∈ K h [V ] homogéneos de grado j, entonces la igualdad
f = f0 + · · · + fd = g0 + · · · + gd
implica que (f˜0 + · · · + f˜d ) − (g̃0 + · · · + g̃d ) ∈ I(V ), que es un ideal homogéneo
y consecuentemente cada componente homogénea f˜j − g̃j ∈ I(V ) y por lo tanto
fj − gj = 0.
Lo anterior traslada lo que se tiene para polinomios en K[x0 , . . . , xn ] a clases
laterales en K h [V ]. Note entonces que si f ∈ K h [V ] es homogéneo, se puede
definir
V(f ) = {P ∈ V : f (P ) = 0}
˜
y claramente, si f = f + I(V ) con f ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneo, entonces
V(f ) = V(f˜) ∩ V
y por lo tanto V(f ) es un cerrado en V . Si f ∈ K h [V ] es homogéneo, se define
D(f ) = {P ∈ V : f (P ) 6= 0} = V − V(f ),
y ası́ D(f ) es un abierto en V .
P ROPOSICI ÓN 2.14. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible, para cada f ∈
K h (V ) existe un subconjunto abierto U ⊆ V donde f es regular.
Demostración. Si f ∈ K h (V ), escribamos
f = g/h con g, h ∈ K h [V ] homogéneas
S
del mismo grado y h 6= 0. Sea U = D(h), donde h recorre los denominadores de
las expresiones de f como f = g/h. Como cada D(h) es abierto, entonces U lo es
y por definición f es regular en U .
Aplicaciones racionales. Dada una variedad proyectiva, una aplicación racional
es una función (parcialmente definida) f : V 99K PnK dada por f = (f0 , . . . , fn )
donde las fj ∈ K h (V ) son funciones racionales. Note que si g ∈ K h (V ) es no
nula, entonces (gf0 , . . . , gfn ) define la misma aplicación racional que (f0 , . . . , fn ).
Una aplicación racional f : V 99K PnK se dice que es regular en un punto
P ∈ V si existe una expresión f = (f0 , . . . , fn ) tal que:
(i) Cada fi es regular en P .
(ii) Alguna fi (P ) 6= 0.
T
Se define entonces dom f = {P ∈ V : f es regular en P } = ni=0 dom fi .
Si V ⊆ Pm y W ⊆ Pn son variedades proyectivas, una aplicación racional
f : V 99K W es una aplicación racional f : V 99K PnK tal que f (dom f ) ⊆ W .
Una aplicación racional f : V 99K W se dice que es dominante si f (dom f ) ⊆ W
es denso.
Aplicaciones regulares. Si V, W son variedades proyectivas, V0 ⊆ V y W0 ⊆ W
son abiertos, un morfismo entre variedades ó aplicación regular f : V0 → W0 es
2.2. MORFISMOS ENTRE VARIEDADES PROYECTIVAS
63
una aplicación racional f : V 99K W tal que V0 ⊆ dom f y f (V0 ) ⊆ W0 . Es decir,
f es una aplicación racional que es regular en todo V0 y su restricción a V0 tiene
valores en W0 . En el caso cuando V0 = V y por lo tanto dom f = V , decimos que
f : V → W es regular.
¿Cómo son las aplicaciones regulares en una variedad proyectiva? Comenzamos
observando que si f0 , . . . , fn ∈ K[x0 , . . . , xm ] son polinomios homogéneos del
mismo grado, la función
n
ϕ : Pm
K → PK
dada por ϕ[a0 , . . . , am ] = [f0 (a0 , . . . , am ), . . . , fn (a0 , . . . , am )] define una aplicación regular en el abierto de Pm
K donde no todos los fj se anulen, es decir, en el
conjunto abierto
[
D(fj ) = PnK − V(f0 , . . . , fn ).
Entonces, la restricción de ϕ a cualquier subvariedad V ⊆ Pm
K será una aplicación
regular. Note que, escogiendo diferentes polinomios fj se podrı́a, en principio, extender ϕ a un dominio mayor donde todavı́a fuera regular. El resultado siguiente
n
nos dice que, toda aplicación regular ϕ : V → W , donde V ⊆ Pm
K y W ⊆ PK son
variedades proyectivas, es localmente de la forma anterior:
n
P ROPOSICI ÓN 2.15. Sean V ⊆ Pm
K y W ⊆ PK dos variedades proyectivas. Una
aplicación ϕ : V → W es regular si y sólo si para todo punto P ∈ V existen
polinomios f0 , . . . , fn ∈ K[xo , . . . , xm ] homogéneos del mismo grado y tales que
ϕ[a0 , . . . , an ] = [f0 (a0 , . . . , am ), . . . , fn (a0 , . . . , am )]
para todos los puntos [a0 , . . . , am ] en una vecindad de P en V .
Demostración. Directa.
Isomorfismos y aplicaciones biracionales. Si V, W son variedades proyectivas y
V0 ⊆ V y W0 ⊆ W son abiertos, una aplicación regular f : V0 → W0 es un
isomorfismo ó aplicación biregular, si existe una aplicación regular g : W0 → V0
que es inversa bilateral de f .
Si V, W son variedades proyectivas una aplicación racional f : V 99K W se
dice que es biracional si existe una aplicación racional g : W 99K V que es inversa
bilateral de f , i.e., tal que g ◦ f = idV y f ◦ g = idW .
P ROPOSICI ÓN 2.16. Si f : V 99K W es una aplicación racional, son equivalentes:
(1) f es biracional.
(2) f es dominante y f ∗ : K h (W ) → K h (V ) es un isomorfismo.
(3) Existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆ W tales que la restricción f : V0 → W0 es un
isomorfismo.
64
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
Demostración. El morfismo f ∗ se define como en el caso afı́n y claramente (1) ⇔
(2) se prueba como en 1.33.
(3) ⇒ (1): Un isomorfismo f : V0 → W0 y su inversa g : W0 → V0 son, por
definición, aplicaciones racionales entre V y W inversas una de la otra.
(1) ⇒ (3): Por hipótesis existe una aplicación racional g : W 99K V inversa de
f : V 99K W . Pongamos V 0 = dom f ⊆ V y W 0 = dom g ⊆ W , y consideremos
las restricciones f |V 0 : V 0 → W y g|W 0 : W 0 → V . En el diagrama
g|W 0
f|
/ V 0 V 0 /6 W
mmm
mmm
m
m
m
mmm
mmmmm idW
g −1V_ 0
W
todas las flechas son morfismos y ya que idW = f ◦g como funciones racionales, entonces idW |g−1 V 0 = f |V 0 ◦gW 0 como morfismos. Se sigue que f |V 0 (g|W 0 (P )) = P ,
para todo P ∈ g −1 V 0 . Pongamos ahora V0 = f −1 g −1 V 0 y W0 = g −1 f −1 W 0 . Entonces, f : V0 → g −1 V 0 es un morfismo (por construcción), sin embargo g −1 V 0 ⊆
W0 ya que P ∈ g −1 V 0 implica que f (g(P )) = P y por lo tanto P ∈ g −1 f −1 W 0 =
W0 . Consecuentemente f : V0 → W0 es un morfismo y similarmente g : W0 → V0
también es morfismo.
Ejemplo 11. Parametrización de una cónica: si C ⊆ P2R es una cónica no vacı́a y no
degenerada, en el ejemplo 7 vimos que C es de la forma
C = V(x2 − yz).
Si ahora definimos la función
Φ : P1R → C ⊆ P2R
mediante Φ[u, v] = [uv, u2 , v 2 ] notamos que su imagen es en efecto la cónica C por
lo que la anterior función es una parametrización de C. Su inversa es la función
Ψ : C → P1R
dada por Ψ[x, y, z] = [y, x] = [x, z]. Es claro que estas son aplicaciones racionales,
inversas una de la otra.
Ejemplo 12. Parametrización de una cuádrica. Si f ∈ K[x0 , . . . , xn ] es un polinomio cuadrático homogéneo, y car K 6= 2, considere la hipersuperficie Q = V(f ) ⊆
PnK , a la que se conoce como una cuádrica. En el caso cuando n = 2, Q ⊆ P2K es
una cónica. La cuádrica Q se parametriza en forma similar a como se hace para una
cónica: fije un punto P = [a0 , . . . , an ] ∈ Q y considere un recta ` en PnK que pasa
por P parametrizada por t ∈ K, es decir, los puntos de ` son de la forma
` = {[x0 , . . . , xn ] : xi = ai + t(xj − aj )}
EJERCICIOS
65
Note ahora que la intersección Q ∩ ` se obtiene substituyendo los puntos de ` descritos arriba en la ecuación polinomial f = 0 que define Q, i.e., considerando
(∗)
f x0 , a1 + t(x0 − a0 ), . . . , an + t(x0 − a0 ) = 0
donde notamos que este es un polinomio de grado 2 en x0 , y uno de sus ceros es
x0 = a0 porque P ∈ Q. Ahora, dividiendo entre el coeficiente de x20 en (∗) se
obtiene una ecuación cuadrática
x20 + ax0 + b = 0
de la cual x0 = a0 es una de sus raı́ces y por lo tanto la otra raı́z es x0 = −a − a0 .
Ahora, como t aparece en los coeficientes de la ecuación polinomial (∗), entonces
a = a(t) es una función racional de t. Substituyendo x0 = −a0 − a(t) en los puntos
de la recta ` se obtiene que
xi = ai + t(x0 − a0 ) = ai + t(−a0 − a(t)t − a0 )
que es una función racional en t. Lo anterior da una parametrización de Q por
funciones racionales, en t.
Ejercicios
E JERCICIO 13. Si V ⊆ PnK , W ⊆ Pm
K son variedades proyectivas y f : V 99K W
es una aplicación racional dominante y si V0 ⊆ V , W0 ⊆ W son abiertos afines
tales que la restricción f : V0 → W0 , demuestre que el morfismo inducido
f ∗ : K[W0 ] → K[V0 ]
es inyectivo. Demuestre que f ∗ se extiende a un morfismo
f ∗ : K h (W ) → K h (V ).
E JERCICIO 14. En la situación del ejercicio anterior, demuestre que todo K-morfismo φ : K h (W ) → K h (V ) proviene de una única aplicación racional f : V 99K W
dominante.
E JERCICIO 15. Una variedad proyectiva V ⊆ PnK se dice que es racional si V es
m
biracionalmente equivalente a Am
K ó a PK , para algún m. Demuestre que toda cónica
2
irreducible de PK es racional. De hecho, demuestre que es isomorfa a P1K .
E JERCICIO 16. Demuestre que en P2K dos rectas distintas siempre se intersectan.
E JERCICIO 17. Sea V ⊆ PnK una variedad proyectiva y sean Ui ⊆ PnK los abiertos
de 2.8, es decir Ui = PnK − V(xi ), y sean ϕi : Ui ' AnK los homeomorfismos de
2.8. Pongamos Vi = ϕi (Ui ∩ V ) ⊆ AnK . Por 2.9 podemos pensar que los Vi son
variedades afines. Demuestre que los ϕi inducen isomorfismos naturales
(∗)
K[Vi ] → K h [V ]hxi i
66
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
donde K h [V ]hxi i es la localización de K h [V ] en el ideal primo hxi i. Sugerencia:
Muestre que la función K[y1 , . . . , yn ] → K[x0 , . . . , xn ]hxi i definida mediante
f (y1 , . . . , yn ) 7→ f (x0 /xi , . . . x[
i /xi , . . . , xn /xi )
(donde ˆ quiere decir que se omite el término considerado) es un isomorfismo y
para ésto vea la demostración de 2.8. Muestre luego que este isomorfismo manda
I(Vi ) al ideal I(V )K h [V ]hxi i y ası́ pasando al cociente se tiene el isomorfismo (∗).
E JERCICIO 18. Los incisos siguientes son los análogos de los ejercicios 35 y 36 del
capı́tulo 1,T§1.3. Sea V ⊆ PnK una variedad proyectiva. Para cada abierto U ⊆ V ,
sea OU = P ∈U OV,P el anillo de funciones regulares en U (vea la discusión antes
de 2.10). Demuestre:
Cada elemento s ∈ OU se puede ver como una función s : U → K, ya que
si P ∈ U , escribiendo s = f /g con f, g ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneos
del mismo grado y con g(P ) 6= 0, se define s(P ) = f (P )/g(P ).
Cada OU es una K-álgebra.
Si U 0 ⊆ U son abiertos no vacı́os de V , entonces para todo s ∈ OU la
restricción s 7→ s|U 0 es regular en U 0 . Se tiene ası́ una función
resU
U 0 : OU → OU 0
dada por s 7→ s|U 0 . Si U 0 = ∅ se define resU
∅ = 0. Demuestre que estas
funciones son morfismos de K-álgebras.
Si U 00 ⊆ U 0 ⊆ U son abiertos, demuestre que
0
U
U
resU
U 00 ◦ resU 0 = resU 00 .
U = id
Si U ⊆ V es abierto, entonces resS
OU .
U
Si U ⊆ V es abierto y si U = i∈Λ Ui , con los Ui abiertos para cada
i ∈ Λ y si se tiene un si ∈ OUi para cada i y éstas satisfacen la ((condición
de compatibilidad)) de que para todos los pares i, j
U
j
i
resU
Ui ∩Uj (si ) = resUi ∩Uj (sj )
i.e., sus restricciones a Ui ∩ Uj son iguales, demuestre que existe un único
s ∈ OU tal que
resU
Ui (s) = si
para todo i ∈ Λ.
E JERCICIO 19. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y P ∈ V es un punto,
demuestre que el anillo OV,P de funciones regulares en P es un anillo local con
ideal máximo
n
o
mP := f ∈ OV,P : f (P ) = 0
(las funciones regulares en P que se anulan en P ).
EJERCICIOS
67
E JERCICIO 20. Los análogos proyectivos de los abiertos distinguidos afines D(f ) =
AnK − V(f ) (vea los ejercicios 13 de §1.1 y 37 de §1.3) se definen como sigue: para
un conjunto proyectivo V ⊆ PnK , dada f ∈ K h [V ] de grado > 0 se define
D+ (f ) = {P ∈ V : f (P ) 6= 0} = PnK − V(f ).
(i) Demuestre que todo abierto no vacı́o U ⊆ V es una unión finita de abiertos
distinguidos D+ (f ).
(ii) Para xi ∈ K h [PnK ] = K[x0 , . . . , xn ], los D+ (xi ) forman una cubierta de
PnK .
Note que en 2.8 probamos que los D+ (xi ) ' AnK y ası́ el ejercicio
muestra que PnK está cubierto por un número finito de abiertos isomorfos
a afines.
(iii) Si f ∈ K h [V ] es de grado > 0, demuestre que D+ (f ) = V si y sólo si V
es finito.
Note que si f = 0, entonces D+ (0) = V y si f = constante 6= 0,
entonces D+ (f ) = ∅.
E JERCICIO 21. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible tal que V 6⊆ V(x0 ), entonces
para todo P ∈ V0 = V ∩ U0 , con U0 = PnK − V(x0 ), como V0 ⊆ U0 ' AnK ,
se puede considerar el anillo OV0 ,P ⊆ K(V0 ) (como en 1.30) además del anillo
OV,P ⊆ K h (V ) de 2.13. Demuestre que 2.11 implica que OV0 ,P ' OV,P .
E JERCICIO 22. Si V ⊆ PnK es una variedad irreducible y P ∈ V , sea
MP = {f ∈ K h [V ] : f es homogénea y f (P ) = 0} ⊆ K h [V ].
(i) Demuestre que MP es un ideal máximo.
(ii) Demuestre que OV,P ' K h [V ](MP ) .
E JERCICIO 23. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y f ∈ K h [V ] es homogéneo
no nulo, demuestre que D+ (f ) es un abierto afı́n de V . Sugerencia: muestre que
OD+ (f ) ' K[D(f )] = {g/hm : con g homogéneo de grado m · gr(h)}.
E JERCICIO 24. Demuestre que la función
n
π : An+1
K − {(0, . . . , 0)} → PK
dada por (a0 , . . . , an ) 7→ [a0 , . . . , an ] es un morfismo de variedades casi-proyectivas.
Más aún, demuestre que π es una función abierta.
E JERCICIO 25. Si V ⊆ Pm
K es una variedad proyectiva o casi-proyectiva, demuestre
que una aplicación racional f : PnK 99K V es regular si y sólo si la composición
f ◦ π es regular. En otras palabras, las aplicaciones regulares PnK → V son las
n
aplicaciones regulares An+1
K − {0} → V que se factorizan a través de PK :
68
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
PnK
f
O
/V
:
π
An+1
K − {0}
2.3.
Ejemplos
En esta sección, estudiamos algunos ejemplos importantes de variedades proyectivas y morfismos entre ellas.
Automorfismos del espacio proyectivo. Una matriz invertible M ∈ GLn+1 K
define una aplicación M : PnK → PnK mediante
 
a0
 .. 
M [a0 , . . . , an ] = M  . 
an
(el producto de la matriz M por el vector columna correspondiente) y notamos que
como M es una transformación lineal, entonces en cada componente del producto se
tiene un polinomio homogéneo lineal en las aj . Se sigue que la función está bien definida y es regular por 2.14. Más aún, es un isomorfismo porque su inversa está dada
por el producto con la matriz inversa M −1 .
Observemos ahora que las matrices escalares λ idn , con idn la matriz identidad
y λ ∈ K ∗ , inducen la aplicación identidad en PnK . Se sigue los automorfismos M ∈
GLn+1 K están determinados módulo las matrices escalares K ∗ idn ⊆ GLn+1 K,
i.e., cada clase lateral en el grupo cociente
PGLn+1 K = GLn+1 K/K ∗ idn
(llamado el grupo lineal proyectivo) induce un automorfismo de PnK , i.e., un isomorfismo de PnK en sı́ mismo. En otras palabras, hemos mostrado que el homomorfismo
de grupos
PGLn+1 K Aut(PnK )
es inyectivo, y el ejercicio 26 consiste en probar que es suprayectivo.
La aplicación de Veronese. Para los monomios de grado d en n + 1 variables:
xi00 xi11 · · · xinn
P
ij = d, notamos que hay
usando multiı́ndices i = (i0 , i1 , . . . , in ) ∈ Nn+1 con
d+n
tales monomios (multiı́ndices) de grado d. Esto se demuestra por inducción
d
2.3. EJEMPLOS
69
sobre d + n y lo dejamos como el ejercicio 27. Escribamos ahora νn,d =
La aplicación de Veronese de grado d es la función
d+n
d
− 1.
ν
vd : PnK → PKn,d
dada mediante [a0 , . . . , an ] 7→ [ad0 . . . , ai00 · · · ainn , . . . , adn ], donde ai00 · · · ainn es un
monomio en las ai de grado d y los colocamos en orden lexicográfico decreciente.
Como en cada coordenada se tienen polinomios del mismo grado en las aj que no se
anulan simultáneamente en los puntos [a0 , . . . , an ] de PnK , la aplicación de Veronese
es un morfismo de variedades proyectivas.
Subejemplo 1. Si n = 1 y d = 2, la aplicación de Veronese de grado 2
v2 : P1K → P2K
ya que d+n
− 1 = 2+1
−1=2
d
2
está dada por v2 : [a0 , a1 ] 7→ [a20 , a0 a1 , a21 ]. Notamos entonces que su imagen es la
curva v2 (P1K ) = V(xz − y 2 ) ⊆ P2K , es decir, la cónica proyectiva no degenerada.
Subejemplo 2. Si n = 1 y d = 3, la aplicación de Veronese de grado 3
v3 : P1K → P3K
ya que d+n
− 1 = 3+1
−1=3
d
3
está dada por v3 : [a0 , a1 ] 7→ [ a30 , a20 a1 , a0 a21 , a31 ]. Notamos entonces que su
|{z} |{z} |{z} |{z}
x
y
z
w
imagen es la curva v3 (P1K ) = V(xw − yz, y 2 − xz, wy − z 2 ) ⊆ P3K , es decir, la
cerradura proyectiva de la cúbica alabeada. A esta curva proyectiva se le conoce
como la curva normal racional de grado 3.
Subejemplo 3. Si n = 1 y d es arbitrario, notando que n+d
− 1 = d+1
− 1 = d,
d
d
la aplicación de Veronese correspondiente es
vd : P1K → PdK
d
dada por [a0 , a1 ] 7→ [ad0 , ad−1
0 a1 , . . . , a1 ].
En el ejercicio 28 se pide probar que la imagen de esta aplicación es una curva
proyectiva, que generaliza a la cúbica alabeada, a la que se conoce como la curva
normal racional de grado d.
En general, se tiene que:
ν
P ROPOSICI ÓN 2.17. La imagen de la aplicación de Veronese vd : PnK → PKn,d es
cerrada, y por lo tanto es una variedad proyectiva, y se tiene un isomorfismo de
ν
∼
variedades proyectivas vd : PnK → vd (PnK ) ⊆ PKn,d .
ν
Demostración. Si V = vd (PnK ), se define la función u : V ⊆ PKn,d → PnK usando
ν
que las coordenadas de los puntos de V ⊆ PKn,d están indexadas por los monomios
de grado d en n + 1 variables y por lo tanto las podemos escribir como zi para
i = (i0 , . . . , un ) ∈ Nn+1 con |i| = i0 + · · · + in = d. Observe ahora que en cada
punto de V al menos una de las coordenadas indexadas por los monomios xi00 · · · xinn
70
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
debe ser 6= 0. Sea Ui ⊆ V el subconjunto de puntos con la xdi -coordenada no cero.
Entonces, los subconjuntos U0 , . . . , Un cubren V y se tienen las funciones
Ui → PnK
(∗)
dadas mediante z 7→ [z(1,0,...,d−1,...,0) , z(0,1,...,d−1,...,0) , . . . , z(0,...,d−1,0,...,1) ] para z ∈
Ui . Dicho en otras palabras, esta función manda z a la (n + 1)-ada cuyas coordenadas están indexadas por los monomios x0 xd−1
, . . ., xn xd−1
. Note ahora que en las
i
i
intersecciones Ui ∩Uj las funciones (∗) coinciden (ésto lo dejamos como el ejercicio
29) y se tiene ası́ una función
u : V → PnK
dada localmente por polinomios y ası́ es regular, por 2.15. Finalmente, la composivd
u
V −→ PnK es la identidad porque
ción PnK −→
[x0 , . . . , xn ] 7→ vd [x0 , . . . , xn ] 7→ [x0 xd−1
, . . . , xn xid−1 ] = [x0 , . . . , xn ]
i
ya que como xi 6= 0 en Ui , entonces se puede cancelar al factor común xd−1
.
i
vd
u
n
Similarmente se prueba que la composición V −→ PK −→ V es la identidad. La aplicación de Segre. Esta función encaja un producto de espacios proyectivos
en otro proyectivo y está dada por
mn+m+n
n
sm,n : Pm
K × PK → PK
definida mediante
([x0 , . . . , xm ], [y0 , . . . , yn ]) 7→ [x0 y0 , . . . , xi yj , . . . , xm yn ]
|{z}
| {z }
|{z}
z00
zij
zmn
(fijando primero x0 y aumentando los ı́ndices de yj , luego fijando x1 y aumentando
los ı́ndices de yj , etcétera). También se puede ver como un producto de matrices:

  
z00 · · · z0n
x0
 ..
..  =  ..  y · · · y  .
n
.   .  0
zm0 · · · zmn
xm
donde notamos que cada columna de este producto de matrices es un múltiplo de
todas las otras columnas, porque las matrices del lado derecho están en coordenadas
homogéneas. Se sigue que la matriz producto tiene rango ≤ 1 y por lo tanto todos
sus subdeterminantes 2 × 2 se anulan. Estos subdeterminantes son de la forma
zij zi`
det
= zij zk` − zi` zkj
zkj zk`
con 0 ≤ i, k ≤ m, 0 ≤ j, ` ≤ n. Usando esta interpretación del encaje de Segre
mn+m+n
n
probaremos que la imagen de la aplicación Σm,n = sm,n (Pm
K × PK ) ⊆ PK
es una variedad algebraica proyectiva, la variedad de Segre.
2.3. EJEMPLOS
71
mn+m+n
n
P ROPOSICI ÓN 2.18. (1). sm,n : Pm
es inyectiva y su imagen
K × PK → PK
Σm,n es cerrada, i.e., es un conjunto proyectivo.
(2). Σm,n es irreducible.
mn+m+n
n
Demostración. Mostraremos que Σm,n = sm,n (Pm
es la vaK × PK ) ⊆ PK
riedad proyectiva definida por los ceros de los menores 2 × 2 de la matriz (zij ) de
tamaño (m + 1) × (n + 1) anterior, i.e, mostraremos que
Σm,n = V(zij zk` − zi` zkj ; para 0 ≤ i, k ≤ m, 0 ≤ j, ` ≤ n).
Para comenzar, por la discusión anterior se tiene que Σm,n ⊆ V(zij zk` − zi` zkj ).
mn+m+n
satisface todos los polinomios zij zk` −
Por otra parte, si un punto P ∈ PK
zi` zkj = 0, arreglando las coordenadas de este punto en forma matricial se obtiene
una matriz (m + 1) × (n + 1) cuyos menores de tamaño 2 × 2 se anulan. Esto
significa que la matriz (zij ) tiene rango ≤ 1 y por álgebra lineal se sabe que toda
matriz (m + 1) × (n + 1) de rango r se factoriza como producto de una matriz
(m + 1) × r y una matriz r × (n + 1). En el caso que tenemos la matriz (zij ) se
factoriza como
 
x0
 .. 
(zij ) = [(m + 1) × 1][1 × (n + 1)] =  .  y0 · · · yn
xm
donde en el lado derecho las coordenadas están determinandas salvo factores escalares no nulos. Note finalmente que como (zij ) no es la matriz cero, entonces las
matrices del lado derecho tampoco lo son. Se sigue que (zij ) ∈ Σm,n , como se
querı́a. Dejamos como un ejercicio el probar que sm,n es inyectiva y que Σm,n es
irreducible.
Subejemplo 4. La aplicación de Segre s1,1 : P1K × P1K → P3K está dada mediante
([x0 , x1 ], [y0 , y1 ]) 7→ [x0 y0 , x0 y1 , x1 y0 , x1 y1 ], donde notamos que cada coordenada
está dada por un monomio cuadrático. Vemos entonces que su imagen es:
Σ1,1 = V(z00 z11 − z01 z10 ) = V(z0 z3 − z1 z2 )
que es una cuádrica en P3K . Observamos ahora que hay dos familias de rectas en
Σ1,1 :
Las rectas de la forma s1,1 (P1K × {P }), y
las rectas de la forma s1,1 ({P } × P1K )
y notamos que las rectas del mismo tipo son disjuntas y rectas de tipo distinto se
intersectan. La figura siguiente ilustra la superficie reglada correspondiente:
Producto de variedades proyectivas. La aplicación de Segre permite, entre otras
cosas, definir en forma natural una estructura de variedad casi-proyectiva en un
producto cartesiano V × W de dos variedades casi-proyectivas, ya que el enfoque
72
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
ingenuo no funciona, por ejemplo, la topologı́a producto en A1K × A1K no es la topologı́a de Zariski en A2K (para convencerse, vea la diagonal). Usando el isomorfismo
de Segre
mn+m+n
n
sm,n : Pm
K × PK ' Σm,n ⊆ PK
n
podemos definir el producto de dos variedades V ⊆ Pm
K y W ⊆ PK considerando
m
n
primero el producto cartesiano V ×W ⊆ PK ×PK y luego su imagen bajo el encaje
de Segre
mn+m+n
n
.
sm,n (V × W ) ⊆ sm,n (Pm
K × PK ) = Σm,n ⊆ PK
Ası́, el producto de las variedades V y W es sm,n (V × W ). Por abuso de notación
seguiremos denotando esta conjunto mediante V × W := sm,n (V × W ). Note que
se tienen las restricciones de las proyecciones
pr1 : V × W → V
P ROPOSICI ÓN 2.19. Si V ⊆
ces,
Pm
K
pr2 : V × W → W
y
yW ⊆
PnK
son dos conjuntos proyectivos. Enton-
mn+m+n
es un conjunto proyectivo.
(1) El producto V × W ⊆ PK
(2) Si V y W son irreducibles, entonces V × W también lo es.
(3) V × W es un producto fibrado, es decir, en el diagrama siguiente el cuadrado
conmuta y si U ⊆ PN
K es otro conjunto proyectivo junto con aplicaciones p1 : U →
V y p2 : U → W tales que el cuadrado externo conmuta, entonces existe un único
morfismo ϑ : U → V × W tal que los triángulos externos del diagrama conmutan:
U
p1
ϑ
$
V ×E W
pr1
#
/V
p2
pr2
% W
g
f
/E
Demostración. (1): Si V = V(fi (x0 , . . . , xm )), 1 ≤ i ≤ r, y W = V(gj (y0 , . . . , yn )),
n
1 ≤ j ≤ s, y di = gr fi , ej = gr gj , entonces los puntos de V × W ⊆ Pm
K × PK
están dados por los ceros de los polinomios
∗
fik
= ykdi fi ,
∗
gj`
=
e
x` j gj ,
1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ k ≤ n
1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ ` ≤ m
que claramente son homogéneos y están en K[x0 , . . . , xm , y0 , . . . , yn ].
Proyecciones. Sean `1 , . . . , `n−d ∈ K[x0 , . . . , xn ] polinomios homogéneos lineales y linealmente independientes. Del álgebra lineal sabemos que V(`1 , . . . , `n−d )
2.3. EJEMPLOS
73
es un subespacio vectorial de An+1
de dimensión d + 1 y por lo tanto viendo este
K
conjunto de ceros E en el proyectivo correspondiente, E ⊆ PnK es un subespacio
lineal de dimensión d. Definamos
π : PnK − E → Pn−d−1
K
mediante P 7→ [`1 (P ), . . . , `n−d (P )]. Se dice que π es una proyección con centro
E. Si V ⊆ PnK es una variedad disjunta con E, entonces la restricción de π a V
define una aplicación regular
.
π : V → Pn−d−1
K
En general, si f1 , . . . , fr ∈ K[x0 , . . . , xn ] son polinomios homogéneos del mismo grado y V = V(f1 , . . . , fr ) ⊆ PnK , entonces se tiene la aplicación regular
PnK − V → Pr−1
K
dada por P 7→ [f1 (P ), . . . , fr (P )].
P ROPOSICI ÓN 2.20. Todo conjunto finito de puntos P1 , . . . , Pr de una variedad
casi-proyectiva V ⊆ PnK está contenido en un abierto afı́n de V .
Demostración. Sea V la cerradura de V en PnK y sea U = V − V . Como los
Pi ∈ V , entonces Pi 6∈ U y por lo tanto existe un polinomio homogéneo fi ∈
I(U ) ⊆ K[x0 , . . . , xn ] tal que fi (Pi ) 6= 0. Claramente podemos hacer que los fi
tengan el mismo grado y todavı́a se anulen en los Pi correspondientes. Considere
ahora las combinaciones lineales
f = a1 f1 + · · · + ar fr ∈ K[x0 , . . . , xn ]
con las ai ∈ K. Entonces, existe una tal combinación lineal f que no se anula en
cada uno de los Pi , es decir, Pi ∈ D(f ), y como f ∈ I(U ) entonces U ⊆ V(f ) y
ası́ D(f ) ∩ V ⊆ V es un abierto afı́n de V que contiene a todos los Pi .
2.3.1.
Variedades proyectivas racionales
En el ejemplo 11 vimos que la cónica proyectiva no degenerada C = V(yz −
x2 ) ⊆ P2K es biracionalmente equivalente a la recta proyectiva mediante la parametrización
ϕ : P1K → C ⊆ P2K
definida mediante [u, v] 7→ [uv, u2 , v 2 ], con inversa ψ : C → P1K dada por [x, y, z] 7→
[z, x] = [x, y].
Una variedad casi-proyectiva V ⊆ PnK se dice que es racional si V es biracionalmente equivalente a un Pm
K (o, equivalentemente, si es biracionalmente equivalente a un Am
).
K
74
2. VARIEDADES PROYECTIVAS
P ROPOSICI ÓN 2.21. Sea V ⊆ PnK una variedad casi-proyectiva. Son equivalentes:
(1) V es racional.
(2) K h (V ) ' K(x1 , . . . , xm ).
(3) Existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆ AnK que son isomorfos (biregulares).
Demostración. Se sigue de 2.15.
Ejercicios
E JERCICIO 26. Muestre que el homomorfismo PGLn+1 K Aut(PnK ) es suprayectivo.
E JERCICIO 27. Por inducción sobre d + n, demuestre que hay d+n
monomios de
d
grado d en n + 1 variables.
E JERCICIO 28. Demuestre que la imagen de la aplicación de Veronese
v : P1K → PdK
es la curva proyectiva dada por los ceros de los polinomios que se obtienen al tomar
los subdeterminantes 2 × 2 de la matriz 2 × (d + 1):
z0,d z1,d−1 . . . zd−1,1 zd,0
.
z1,d−1 z2,d−2 . . . zd,0 z0,d
E JERCICIO 29. En la demostración de 2.15 muestre que las funciones Ui → PnK
coinciden en las intersecciones.
E JERCICIO 30. Describa las imágenes en V de las rectas en P2K bajo la aplicación
de Veronese v2 : P2K → V ⊆ P5K .
E JERCICIO 31. En 2.18 muestre que la aplicación de Segre sm,n es inyectiva y que
su imagen Σm,n es irreducible.
E JERCICIO 32. Muestre que la proyección pr1 : Σm,n → Pm
K que manda la matriz
(zij ) a cualquier columna no cero [z0j , z1j . . . , zmj ] es un morfismo suprayectivo.
E JERCICIO 33. Similarmente, muestre que la proyección pr2 : Σm,n → PnK que
manda la matriz (zij ) a cualquier renglón no cero [zi0 , zi1 . . . , zin ] es un morfismo
suprayectivo.
E JERCICIO 34. Dado Q = [a0 , . . . , an ] ∈ PnK , demuestre que la composición
sm,n mn+m+n pr1
Pm
−→ Pm
K −→ PK
K dada por P 7→ sm,n (P, Q) 7→ pr1 (P, Q) es la identidad. Aquı́, pr1 es la proyección del ejercicio 32.
EJERCICIOS
75
E JERCICIO 35. Sean P0 , . . . , Pk ∈ PnK puntos distintos. Demuestre que existe un hiperplano H ⊆ PnK que pasa por P0 pero que no pasa por los otros puntos P1 , . . . , Pk .
E JERCICIO 36. Muestre que la imagen de la aplicación de Segre no está contenida
mn+m+n
en un hiperplano de PK
.
E JERCICIO 37. Si V , W son variedades afines o proyectivas, demuestre que las
proyecciones π1 : V × W → V y π2 : V × W → W son funciones abiertas.
Capı́tulo
3
Dimensión
Comenzando con la noción puramente algebraica de grado de trascendencia
para definir la dimensión de una variedad algebraica, introduciremos después las
nociones de dimensión (topológica) de Krull de un espacio topológico culminando
con el teorema principal (3.8) donde se prueba que las nociones anteriores coinciden
con la dimensión de Krull del anillo de coordenadas de la variedad dada. Comenzamos con el caso afı́n.
3.1.
Dimensión de variedades afines
Si V es una variedad algebraica afı́n, como es irreducible su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero (1.12), y su campo de fracciones K(V ) es una
extensión del campo K. Al grado de trascendencia de esta extensión se le llama la
dimensión de la variedad V :
dim V := grtrK K(V ).
Una consecuencia inmediata es que la dimensión es un invariante biracional:
n
C OROLARIO 3.1. Si V ⊆ Am
K y W ⊆ AK son variedades afines o casi-afines y
f : V 99K W es una aplicación biracional, entonces dim V = dim W .
Demostración. Por 1.33 (vea también 2.16) f : V 99K W es biracional implica que
f ∗ : K(W ) ' K(V ) y ası́ el resultado se sigue.
Ejemplo 1. Un conjunto algebraico irreducible V ⊆ AnK tiene dimensión dim V = 0
si y sólo si V consiste de un único punto P . En efecto, si V = {P }, entonces
K[V ] = K ya que I(P ) = hx1 − a1 , . . . , xn − an i, donde P = (a1 , . . . , an ). De
K[V ] = K se sigue que K(V ) = K y por lo tanto grtrK K(V ) = 0. Recı́procamente, si V = V(p) con p ⊆ K[x1 , . . . , xn ] un ideal primo y si dim V = 0 =
grtrK K(V ), entonces K(V )/K es una extensión algebraica, y como K es algebraicamente cerrado, entonces K(V ) = K. De las inclusiones
K ⊆ K[V ] ⊆ K(V ) = K
77
78
3. DIMENSIÓN
se sigue que K = K[V ] y por lo tanto p es un ideal máximo de K[V ] y consecuentemente V = {P } es un punto.
Ejemplo 2. Para el espacio afı́n se tiene que:
dim AnK = grtrK K(AnK ) = grtrK K(x1 , . . . , xn ) = n.
Ejemplo 3. Si V ⊆ AnK es un subespacio lineal (o el trasladado de un espacio
lineal) dado por polinomios lineales f1 , . . . , fm ∈ K[x1 , . . . , xn ], del álgebra lineal sabemos que reduciendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente se
obtiene un sistema de ecuaciones escalonado dado por r (donde r es el rango de
la matriz correspondiente al sistema con los fi ) polinomios lineales (homogéneos)
`i = 0, linealmente independientes, cuyo espacio de soluciones es el mismo que el
del sistema original y sabemos que la dimensión del espacio vectorial de soluciones
es d = n − r. Observamos ahora que si I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es el ideal generado
por los polinomios lineales homogéneos linealmente independientes `1 , . . . , `r , y si
xi1 , . . . , xin−r son tales que
{`1 , . . . , `r , xi1 , . . . , xin−r }
es una base del subespacio vectorial K[x1 , . . . , xn ]1 de polinomios lineales homogéneos, entonces
K[x1 , . . . , xn ]1 /I ' K[xi1 , . . . , xin−r ]1 .
En efecto, el isomorfismo es trivial si `1 = x1 , . . . , `r = xr . En el caso general, como {x1 , . . . , xn } y {`1 , . . . , `r , xi1 , . . . , xin−r } son bases de K[x1 , . . . , xn ]1 ,
cada elemento de un conjunto se puede expresar como combinación lineal de los
elementos del otro conjunto y por lo tanto
K[x1 , . . . , xn ]1 = K[`1 , . . . , `r , xi1 , . . . , xin−r ]1
y consecuentemente
K[x1 , . . . , xn ]1 /I = K[`1 , . . . , `r , xi1 , . . . , xin−r ]1 /I ' K[xi1 , . . . , xin−r ]1
como se querı́a. Por lo tanto el anillo de coordenadas de V = V(I) es K[V ] =
K[xi1 , . . . , xin−r ] = K[t1 , . . . , td ] y ası́ la dimensión de la variedad afı́n lineal V
es
dim V = grtrK K(t1 , . . . , td ) = d
la última igualdad por el ejemplo anterior. Note que esta dimensión de V coincide
con la dimensión de V como espacio vectorial (si pasa por el origen), lo cual es
evidencia de que la definición de dimensión está bien elegida.
En el caso particular cuando V = V(f ), con f ∈ K[x1 , . . . , xn ] un polinomio
lineal no nulo, el rango de la matriz asociada es r = 1 y ası́ la dimensión de V es
dim V = n − 1. Que esto sucede en el caso general es el ejemplo siguiente:
3.1. DIMENSIÓN DE VARIEDADES AFINES
79
Ejemplo 4. Si f ∈ K[x1 , . . . , xn ] es un polinomio no constante, recordemos que su
conjunto de ceros V := V(f ) ⊆ AnK es una hipersuperficie. Como K[x1 , . . . , xn ]
es un dominio de factorización única la hipersuperficie V es irreducible si y sólo
si el polinomio f es irreducible y por lo tanto el anillo de coordenadas K[V ] de la
hipersuperficie es un dominio entero. Escribamos
K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/hf i
y poniendo ti = xi + hf i observamos que estos generan K[V ] por lo que K[V ] =
K[t1 , . . . , tn ]. Sea K(t1 , . . . , tn ) el campo de fracciones de K[t1 , . . . , tn ].
Observe ahora que, como f no es cero, alguna de las variables xi ocurre en f .
Renumerando si hiciera falta, podemos suponer que xn ocurre en f . Entonces, xn
ocurre en todos los múltiplos no cero de f y por lo tanto ningún polinomio no cero
g(x1 , . . . , xn−1 ) está en el ideal hf i, es decir, no se tiene que g(t1 , . . . , tn ) = 0 en
K[V ]. Se sigue que t1 , . . . , tn−1 son algebraicamente independientes, y como tn es
algebraico sobre K(t1 , . . . , tn−1 ) porque satisface el polinomio no nulo f viéndolo
como
f = ar (t1 , . . . , tn−1 )xrn + · · · + a1 (t1 , . . . , tn−1 )xn + a0 (t1 , . . . , tn−1 )
con los ai (t1 , . . . , tn−1 ) ∈ K(t1 , . . . , tn−1 ). Entonces t1 , . . . , tn−1 es una base trascendente para K(t1 , . . . , tn ) sobre K, i.e., grtrK K(t1 , . . . , tn ) = n − 1, es decir
dim V(f ) = n − 1.
De hecho, se tiene el recı́proco (3.3) de este ejemplo, y para demostrarlo necesitaremos el resultado siguiente (compárelo además con la parte 3 de 3.9), donde
para V ⊆ AnK un conjunto algebraico arbitrario (i.e., puede ser reducible) se define
la dimensión de V como el supremo de las dimensiones de sus componentes irreducibles (máximo de hecho, porque V sólo tiene un número finito de componentes
irreducibles por 1.11).
L EMA 3.2. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible) y W
junto afı́n contenido propiamente, entonces dim W < dim V .
V es un subcon-
Demostración. Para comenzar, podemos suponer que W es irreducible, ya que siendo V unión finita de sus componentes irreducibles basta probar que para cada una
de estas se tiene la desigualdad deseada. Entonces, si I(V ) ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y si
I(W ) ⊆ K[x1 , . . . , xn ] son los ideales primos correspondientes a esas variedades
irreducibles, por la correspondencia entre ideales primos de K[V ] e ideales primos
de K[x1 , . . . , xn ] que contienen a I(V ) y como W V implica que I(V ) I(W ),
entonces a I(W ) le corresponde el ideal primo p = I(W )/I(V ) 6= 0 de K[V ] y por
uno de los teoremas de isomorfismo de Noether,
K[W ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(W ) ' K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) / I(W )/I(V ) = K[V ]/p.
80
3. DIMENSIÓN
Escribamos
K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I(V ) = K[t1 , . . . , tn ]
con ti = xi + I(V )
AnK
y observemos que para las inclusiones W ,→ V ,→
los morfismos inducidos en
los anillos de coordenadas correspondientes son restricciones:
K[x1 , . . . , xn ] → K[V ] → K[W ]
y ası́, para f ∈ K[V ] la imagen f de f en K[V ]/p = K[W ] es la restricción de f
a W . Con esta notación, para las ti ∈ K[V ] se tiene que K[W ] = K[ t1 , . . . , tn ].
Supongamos ahora que dim W = d, y renumerando si hiciera falta, que t1 , . . ., td
son algebraicamente independientes, i.e., forman una base trascendente de K(W )
sobre K. Mostraremos que para cualquier elemento no cero f ∈ p, los d + 1 elementos t1 , . . . , td , f son algebraicamente independientes en K(V ) y por lo tanto
dim V ≥ d + 1, que es lo que se requiere. En efecto, si sucediera lo contrario
existirı́a una relación polinomial no trivial entre las ti y f , digamos
(∗)
am (t1 , . . . , td )f m + am−1 (t1 , . . . , td )f m−1 + · · · + a0 (t1 , . . . , td ) = 0
con ai (t1 , . . . , td ) ∈ K[t1 , . . . , td ] y alguno de ellos distinto de cero. Como V es
irreducible entonces K[V ] es un dominio entero y por lo tanto, si hiciera falta, podemos cancelar una potencia de f y suponer que el término constante a0 (t1 , . . . , td ) 6=
0. Aplicando el morfismo K[V ] → K[W ] a la igualdad (∗), i.e., restringiendo las
funciones de (∗) a W , y notando que f ∈ p implica que f = 0, obtenemos que
a0 (t1 , . . . , td ) = 0
que es una relación polinomial no trivial entre las ti , lo que contradice su independencia algebraica.
P ROPOSICI ÓN 3.3. Sea V ⊆ AdK una variedad afı́n (irreducible) tal que K[V ] es
un DFU (por ejemplo, V = AdK ). Si W
V es una subvariedad cerrada propia,
entonces W es pura de dim W = dim V − 1 si y sólo si I(W ) = hf i, para algún
f ∈ K[V ], i.e., si y sólo si W es una hipersuperficie afı́n.
Demostración. Para laS
implicación faltante, supongamos que W es pura de dim W =
dim V − 1. SiTW = ri=1 Wi es la descomposición en irreducibles de W , entonces I(W ) = ri=1 I(Wi ) por 1.2. Por lo tanto, si probamos que I(Wi ) = hfi i,
entonces I(W ) = hf1 · · · fr i y ası́ podemos suponer que W es irreducible por lo
que p := I(W ) es un ideal primo de K[V ], que es no nulo porque de otra manera
se tendrı́a que dim W = dim V , lo cual es contrario a la hipótesis. Se sigue que
p = I(W ) contiene al menos un polinomio irreducible f y como K[V ] es un DFU
entonces hf i es un ideal primo no nulo y por lo tanto Vhf i V . Si sucediera que
hf i p entonces
(∗)
W = V(p)
Vhf i
V
EJERCICIOS
81
y ası́, por 3.1 se tendrı́a que dim W < dim Vhf i < dim V y por lo tanto dim W ≤
dim V − 2, en contradicción con la hipótesis.
N OTA . En la segunda inclusión propia en (∗) e implı́citamente en la notación p =
I(W ) ⊆ K[V ] (y también en la demostración de 3.1) usamos que si I(V ) ⊆
K[x1 , . . . , xn ] y si I(W ) ⊆ K[x1 , . . . , xn ], por la correspondencia entre ideales
primos de K[V ] e ideales primos de K[x1 , . . . , xn ] que contienen a I(V ) y como
W V implica que I(V ) I(W ), entonces a I(W ) le corresponde el ideal primo
p = I(W )/I(V ) 6= 0 de K[V ]. Y como f ∈ p es irreducible, entonces no es cero y
por lo tanto I(V ) = 0 hf i y ası́ V(f ) V(I(V )) = V .
Ejemplo 5. La conclusión de 3.3. puede ser falsa si K[V ] no es un DFU. El contraejemplo lo provee la cuádrica V = V(xw − yz) ⊆ A4K cuya dimensión es
dim V = 3 y considere los planos, contenidos en V :
W = {(x, 0, z, 0)}
y
W 0 = {(0, y, 0, w)}
y note que W ∩ W 0 = {(0, 0, 0, 0)}. Si sucediera que W = V(f ) para alguna
f ∈ K[V ], entonces V(f |W 0 ) = V(f ) ∩ W 0 = W ∩ W 0 = {(0, 0, 0, 0)} que tiene
dimensión 0, lo cual contradice 3.3 ya que según esta proposición se deberı́a de tener
que dim V(f |W 0 ) = dim W 0 − 1 = 1. Se sigue que W 6= V(f ) y consecuentemente
K[V ] = K[x, y, z, w]/hxw − yzi
no es un DFU.
Ejemplo 6. En el ejercicio 2 de §1.1 se pedı́a clasificar los subconjuntos afines irreducibles del plano A2K . Usando la noción de dimensión y el lema 3.2 lo anterior es
fácil:
(i) Si V ⊆ A2K tiene dimensión 2, entonces por 3.2 y el ejemplo 2 no puede
ser un subconjunto propio y ası́ V = A2K .
(ii) Si dim V = 1, por el ejemplo 2, V
A2K y ası́, por 3.3, V = V(f ) con
f ∈ K[x, y] irreducible.
(iii) Si dim V = 0, por el ejemplo 1, V = {P } es un punto.
Conviene definir la dimensión del conjunto vacı́o como dim ∅ = −1.
Ejercicios
E JERCICIO 1. El ejercicio 1 de §1.1 se puede hacer más fácilmente con la noción
de dimensión. Demuestre que si f, g ∈ K[x, y] son polinomios coprimos, entonces
V(f ) ∩ V(g) es un conjunto finito. Sugerencia: muestre que V(f ) ∩ V(g) V(f ).
E JERCICIO 2. Sean V ⊆ AnK algebraico (no necesariamente irreducible) y f ∈
K[V ]. Demuestre que:
82
3. DIMENSIÓN
(i) V(f ) = ∅ si y sólo si f es una unidad de K[V ].
(ii) V(f ) contiene una componente irreducible de V si y sólo si f es un divisor
de cero en K[V ].
m+1
n
E JERCICIO 3. Si V ⊆ Am
'
K y W ⊆ AK son variedades afines y V × W ⊆ AK
m
n
AK × AK es su producto, demuestre que dim(V × W ) = dim V + dim W .
E JERCICIO 4. Si V = V(y − x2 ) ⊆ A2K , calcule su anillo de coordenadas y su
campo de funciones para concluir que dim V = 1. Haga lo mismo para cada cónica
no degenerada.
E JERCICIO 5. Si V ⊆ AnK es un variedad afı́n tal que K[V ] es un DFU, demuestre
que todo ideal primo mı́nimo de K[V ] es principal. Use lo anterior para dar otra
demostración de 3.3. Sugerencia: para las componentes irreducibles Wi de W los
ideales I(Wi ) son primos mı́nimos de K[V ].
3.2.
El teorema del ideal principal y la dimensión de Krull
Hemos visto en 1.1 que mientras más polinomios se tengan, menos soluciones
existen, i.e., si E ⊆ E 0 ⊆ K[x1 , . . . , xn ] se tiene que V(E 0 ) ⊆ V(E). El resultado
fundamental que probaremos ahora (y que generaliza una parte de 3.3) dice que
cuando se impone una condición polinomial adicional en un conjunto algebraico
afı́n la dimensión no baja más que lo que uno espera, por ejemplo pensando en
sistemas de ecuaciones del álgebra lineal cuando uno añade una ecuación extra. Para
la demostración necesitaremos un resultado de E. Noether, el lema de normalización
(3.18), que probaremos en la sección siguiente y también un resultado (3.5) sobre
normas de extensiones que probamos a continuación:
L EMA 3.4. Sean A un dominio entero integralmente cerrado (por ejemplo, un DFU)
y L una extensión finita del campo de fracciones K de A. Entonces, α ∈ L es entero
sobre A si y sólo si su polinomio mónico irreducible Irr(α, K) tiene coeficientes en
A.
Demostración. Para la implicación no trivial, si α es entero sobre A, entonces existe
una ecuación polinomial para α:
(1)
αm + am−1 αm−1 + · · · + a1 α + a0 = 0
con los ai ∈ A
Si α̂ es cualquier conjugado de α, i.e., una raı́z de Irr(α, K), se tiene un K-isomorfismo
K(α)
φ
EE
EE
EE
EE
K
/ K(α̂)
yy
yy
y
y
yy
3.2. EL TEOREMA DEL IDEAL PRINCIPAL Y LA DIMENSIÓN DE KRULL
83
que manda α en α̂. Aplicando φ a la igualdad (1) se sigue que
α̂m + am−1 α̂m−1 + · · · + a1 α̂ + a0 = 0
lo cual muestra que α̂ es entera sobre A. Ası́, todos los conjugados de α son enteros
sobre A y de la relación de Viète entre los coeficientes y raı́ces de un polinomio
se sigue que los coeficientes de Irr(α, K) son enteros sobre A y como estos coeficientes están en K que es el campo de fracciones de A y como A es integralmente
cerrado, entonces estos coeficientes están en A, como se querı́a.
P ROPOSICI ÓN 3.5. Sea A un dominio entero con campo de fracciones K y sea L
una extensión finita, de grado n, de K. Si α ∈ L es entero sobre A, entonces su
norma NmL/K (α) ∈ L también es entera sobre A y, de hecho, NmL/K (α) ∈ A, y
α divide a NmL/K (α) en el anillo A[α].
Demostración. Sea f (x) = Irr(α, K) = xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 y sea F/K un
campo de descomposición de f (x). Escribamos
f (x) = (x − α1 ) · · · (x − αr )
con α1 = α, α1 · · · αr = ±a0 y los αi ∈ F .
Como α es entero sobre A, en la demostración del lema anterior se vio que cada
uno de sus conjugados αi también lo es y por lo tanto
r
Y
[L:K(α)]
NmL/K (α) =
αi
i=1
n/r
es entero sobre A. Más aún, NmL/K (α) = ±a0 ∈ A, donde n = [L : K], ya que
por el lema previo los coeficientes de f (x) están en A. Ahora, de la igualdad
0 = αr + ar−1 αr−1 + · · · + a1 α + a0 = α αr−1 + ar−1 αr−2 + · · · + a1 + a0
n/r
se sigue que α divide a a0 en A[α] y por lo tanto divide a NmL/K (α) = ±a0 . Si todas las componentes irreducibles de un conjunto algebraico afı́n V tienen
la misma dimensión d diremos que V tiene dimensión pura d, o que V es pura o
equidimensional de dimensión d.
T EOREMA 3.6 (Teorema del ideal principal de Krull). Si V es una variedad afı́n
irreducible y f ∈ K[V ] es no nula pero tiene un cero en V , entonces su conjunto
de ceros V(f ) es puro de dimensión dim V(f ) = dim V − 1.
Demostración. Mostramos primero que es suficiente probar la proposición en el
caso cuando V(f ) es irreducible. En efecto, si W0 , . . . , Wr son las componentes
irreducibles de V(f ), entonces existe un punto P ∈ W0 que no está en todas las
otras Wi , porque de lo contrario W0 ⊆ W1 ∪ · · · ∪ Wr y la descomposición V(f ) =
W0 ∪ · · · ∪ Wr serı́a redundante. Ahora, como W1 , . . . , Wr son cerrados, existe una
vecindad abierta U0 de P en V que sólo intersecta a W0 y es disjunta con las otras
84
3. DIMENSIÓN
Wi , por ejemplo U0 = D(g) con g 6∈ p0 y g ∈ p1 ∩· · ·∩pr , donde pi = I(Wi ) (note
que la irredundancia de la descomposición de V(f ) corresponde al hecho de que no
puede pasar que p0 ⊆ p1 ∩ · · · ∩ pr , que es lo que usamos en las lı́neas anteriores).
Se sigue que V(f |U0 ) = W0 ∩ U0 el cual es irreducible no vacı́o y abierto en W0 , y
ası́ basta probar que V(f |U0 ) es de dimensión dim V − 1.
p
Podemos entonces suponer que V(f ) es irreducible y por lo tanto hf i =: p es
un ideal primo de K[V ] y consecuentemente K[V(f )] es un dominio entero. Por otra
parte, como V es irreducible entonces K[V ] es un dominio entero y como es una Kálgebra finitamente generada, por el lema de normalización de Noether 3.18 existen
elementos y1 , . . . , yd ∈ K[V ] algebraicamente independientes sobre K tales que
K[V ] es entero sobre K[y1 , . . . , yd ] = K[AdK ] y K(y1 , . . . , yd ) = K(AdK ) →
K(V ) es una extensión finita de campos. Si Nm : K(V ) → K(AdK ) es la norma de
esta extensión, para f ∈ K(V ) sea f0 = Nm(f ) ∈ K(AdK ). Mostraremos que
p
(1)
p ∩ K[AdK ] = hf0 i.
Antes de probar lo anterior, observe que (1) implica que el morfismo inducido
por la inclusión K[AdK ] ,→ K[V ] al pasar a los cocientes
p
(2)
K[AdK ]/ hf0 i = K[AdK ]/p ∩ K[AdK ] K[V ]/p = K[V(f )]
es inyectivo. Más aún, como K[V ] es finitamente generado como K[Ad ]-módulo,
entoncespen (2) se tiene que K[V ]/p = K[V(f )] es finitamente generado como
K[Ad ]/ hf0 i-módulo. Se sigue que
dim V(f ) = grtrK K(V(f )) = grtrK K(V(f0 )) = dim V(f0 )
donde notamos que como f 6= 0 entonces f0 6= 0 y f0 ∈ p implica que f0
no es constante. Finalmente, por 3.3 para el cerrado V(f0 ) ⊆ AdK se tiene que
dim V(f0 ) = d − 1.
Resta probar la afirmación (1). Como ya observamos, por el lema de normalización de Noether K[V ] es entero sobre K[Ad ] y por 3.5 la norma Nm : K(V ) →
K(Ad ) manda elementos enteros (por ejemplo, f ) de K(V ) en enteros de K(An )
y como K[Ad ] es integralmente cerrado ya que es DFU, entonces estos elementos
enteros están en K[Ad ], i.e., f0 = Nm(f ) ∈ K[Ad ]. Se sigue que f divide a f0 en
K[V ] y por lo tanto f0 ∈ hf i ⊆ p y consecuentemente hf0 i ⊆ p ∩ K[Ad ] por lo que
p
hf0 i ⊆ p ∩ K[Ad ]
porque p es primo y por lo
si g ∈ p ∩
ptanto es radical. Param la inclusión faltante,
d
m
K[A ] entonces g ∈ p = hf i y por lo tanto g ∈ hf i, i.e, g = f h para algún
h ∈ K[V ] y algún m ≥ 1. Tomando normas en esta igualdad, recordando que si
e = [K(V ) : K(Ad )] como g m ∈ K[Ad ] se tiene que que Nm(g m ) = g me , se
obtiene que
g me = Nm(f h) = Nm(f ) Nm(h) = f0 Nm(h) ∈ hf0 i
3.2. EL TEOREMA DEL IDEAL PRINCIPAL Y LA DIMENSIÓN DE KRULL
por lo que g ∈
p
hf0 i, lo cual prueba la inclusión que faltaba.
85
C OROLARIO 3.7. Si V es una variedad afı́n irreducible y W V es un subconjunto
cerrado irreducible propio máximo, entonces dim W = dim V − 1.
Demostración. Como en la nota después de la demostración de 3.3, si I(V ) = P e
I(W ) = p, se tiene que P p por lo tanto existe una f ∈ K[V ] no cero, i.e., tal que
f 6∈ P y la podemos elegir tal que f ∈ p − P, es decir, existe f una función regular
no cero en V y que se anula en W . Sea V(f ) el conjunto de ceros de f (contenido
en V ). Entonces, W ⊆ V(f ) ⊆ V , y W debe ser una componente irreducible de
V(f ) porque si no lo fuera no serı́a máximo en V . Por la proposición anterior V(f )
es puro de dimensión dim V −1 y como W es una de sus componentes irreducibles,
entonces dim W = dim V(f ) = dim V − 1.
N OTA. Para otras formulaciones del teorema 3.6, vea 3.29 y el ejercicio 7 de esta
sección, donde se ((algebriza)) toda la situación en el teorema del ideal principal de
Krull y donde notamos que, en la demostración de 3.6 se redujo al caso cuando f es
un polinomio irreducible, en cuyo caso el ideal hf i = p es primo.
Dimensión de una variedad y dimensión de Krull. El resultado principal es:
T EOREMA 3.8. Si V es una variedad afı́n irreducible, entonces la dimensión dim V
de V es el supremo de los enteros n tales que se tiene una cadena de subconjuntos
cerrados irreducibles no vacı́os de V :
(1)
V = V0 ! V1 ! · · · ! Vn .
Más aún, la dimensión de V es el supremo de los enteros n tales que se tiene una
cadena de ideales primos del anillo de coordenadas K[V ]:
(2)
p0
p1
···
pn .
Demostración. Sabemos, por 1.9, que V es noetheriano y por lo tanto las cadenas
(1) anteriores son finitas. Supongamos que V = V0 ! V1 ! · · · ! Vd es una cadena
máxima de cerrados irreducibles no vacı́os de V . Por el corolario 3.7
dim Vi+1 = dim Vi − 1
para 0 ≤ i ≤ d − 1.
Se sigue que
dim V0 = dim V1 + 1 = dim V2 + 2 = · · · = dim Vd−1 + (d − 1) = dim Vd + d = d
la última igualdad porque siendo V afı́n sus puntos son conjuntos irreducibles por
1.5 y 1.13 y siendo la cadena anterior máxima se debe tener que Vd es un punto
y por lo tanto su dimensión debe ser 0. Como V = V0 , se sigue que dim V = d.
Finalmente, por la correspondencia (1.1) y por (1.2) a la cadena (1) de cerrados
86
3. DIMENSIÓN
irreducibles no vacı́os de una variedad V le corresponde una sucesión (2) finita de
ideales primos del anillo K[V ]
p0
p1
···
pd
y esta cadena es máxima porque la cadena (1) lo es.
Dimensión de Krull de un espacio topológico. Si X es un espacio topológico, su
dimensión (topológica de Krull), denotada dim X, es el supremo de los enteros n
tales que se tiene una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles no vacı́os de X:
(∗)
Z0 ! Z1 ! · · · ! Zn .
Ası́, el teorema anterior dice que la dimensión de una variedad afı́n es su dimensión
de Krull como espacio topológico.
Dimensión de Krull de un anillo. Si A es un anillo conmutativo, una cadena de
longitud n de ideales primos de A es una sucesión finita de ideales primos de A
incluidos propiamente uno en otro:
p0
p1
···
pn .
La dimensión de Krull de un anillo A es el supremo de las longitudes de las cadenas
de ideales primos de A. Usaremos la misma notación dim A para la dimensión de
Krull de un anillo A. Ası́, el teorema 3.8 dice que la dimensión de una variedad
afı́n V es igual a la dimensión de Krull del anillo de coordenadas K[V ], y como
observamos antes también es igual a la dimensión de Krull del espacio topológico
subyacente a V .
Ejemplo 7. Un espacio topológico Hausdorff tiene dimensión cero porque, por el
ejercicio 10 de §1.1, sus puntos son los únicos subconjuntos irreducibles.
P ROPOSICI ÓN 3.9. Sea X un espacio topológico.
(1) Si Y ⊆ X es cualquier subconjunto, entonces dim Y ≤ dim X.
(2) Si {Xi } es la familia de componentes irreducibles de X, entonces dim X =
sup{dim Xi }.
(3) Si X es irreducible de dimensión finita, entonces para todo subconjunto cerrado
Y ⊆ X, dim Y = dim X si y sólo si Y = X.
Demostración. (1): Si Y1 ! Y2 son dos cerrados irreducibles de Y y si Xi = Y i son
sus cerraduras en X, entonces los Xi son irreducibles (1.7) y X1 ! X2 . El resultado
se sigue.
(2): En cualquier cadena (∗), Zn está contenido en una de las componentes irreducibles Xi de X por 1.8.
3.2. EL TEOREMA DEL IDEAL PRINCIPAL Y LA DIMENSIÓN DE KRULL
87
(3): Para la implicación no trivial, si Y0 ! Y1 ! · · · ! Yn es una cadena máxima
de cerrados irreducibles no vacı́os de Y , como Y ⊆ X es cerrado, entonces ésta es
una cadena de cerrados irreducibles en X. Si sucediera que Y
X, como X es
irreducible, entonces en X se tendrı́a la cadena X ! Y0 ! Y1 ! · · · ! Yn , lo cual
contradice el que dim Y = dim X.
Ejemplo 8. Un campo K tiene dimensión de Krull dim K = 0.
Ejemplo 9. Para el anillo de enteros Z sus ideales primos son h0i y hpi = pZ, para
p > 0 un entero primo; más aún, los hpi son ideales máximos. Por lo tanto las
cadenas de ideales primos en Z son todas de la forma 0 hpi y ası́ dim Z = 1.
Ejemplo 10. Si K es un campo algebraicamente cerrado, para el anillo de polinomios K[x], sus ideales primos son el cero 0 y los ideales principales de la forma
hx − ai con a ∈ K. Por lo tanto dim K[x] = 1.
Ejemplo 11. Si K es cualquier campo, para el anillo de polinomios en n indeterminadas K[x1 , . . . , xn ] se tiene que
h0i
hx1 i
hx1 , x2 i
···
hx1 , . . . , xn i
es una cadena de ideales primos de longitud n y por lo tanto
dim K[x1 , . . . , xn ] ≥ n.
De hecho, por el teorema 3.8 se tiene que
dim K[x1 , . . . , xn ] = n
ya que por el ejemplo 2 el grado de trascendencia del campo de cocientes correspondiente es n.
Una consecuencia inmediata del teorema 3.8 y de 3.9 es:
C OROLARIO 3.10. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, entonces dim V ≤ n.
Demostración. Como V ⊆ AnK , entonces por 3.9 dim V ≤ dim AnK y ası́ el resultado se sigue del ejemplo 2 o del 10.
Ejemplo 12. Por el ejemplo 4 y el teorema 3.8 se sigue que la dimensión (topológica)
de una hipersuperficie V = V(f ) ⊆ AnK es n − 1.
Ejemplo 13. El teorema 3.8 muestra que, para el espacio afı́n AnK , su anillo de coordenadas K[AnK ] = K[x1 , . . . , xn ] tiene dimensión de Krull:
dim K[AnK ] = dim K[x1 , . . . , xn ] = n.
La dimensión es una noción local. Mostraremos que la dimensión de una variedad
irreducible V ⊆ AnK es igual a la dimensión de Krull de cualquier abierto no vacı́o
88
3. DIMENSIÓN
U ⊆ V , al cual podemos suponer que es irreducible porque si no lo es consideramos
una componente irreducible de dimensión máxima.
P ROPOSICI ÓN 3.11. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible) y U ⊆ V es un
abierto no vacı́o, entonces dim U = dim V .
Demostración. En la igualdad se interpreta dim U como la dimensión de Krull
del espacio topológico U . Ahora, como U 6= ∅, entonces U contiene un básico
D(f ) con f ∈ K[V ] no nulo. De las inclusiones D(f ) ⊆ U ⊆ V se sigue que
dim D(f ) ≤ dim U ≤ dim V . Observe ahora que por el ejercicio 37 de §1.3, D(f )
es isomorfo a una variedad afı́n y por el mismo ejercicio K[D(f )] ' K[V ]f y
claramente los campos de fracciones de K[V ] y K[V ]f son iguales y por lo tanto
dim D(f ) = dim K[V ]f = grtrK K(V ) = dim K[V ] = dim V.
Dimensión local. Si X es un espacio topológico y x ∈ X es un punto, al ı́nfimo
dimx X := ı́nf{dim U : U es vecindad abierta de x}
se le llama la dimensión local de X en x.
P ROPOSICI ÓN 3.12. Si X es un espacio topológico, entonces
dim X = sup{dimx X : x ∈ X}.
Demostración. Por la parte 1 de 3.9 se tiene que dimx X ≤ dim X. Ahora, sea
X0 ! X1 ! · · · ! Xn una cadena de cerrados irreducibles de X. Si x ∈ Xn
entonces para cualquier vecindad abierta U de x los conjuntos U ∩ Xi forman una
cadena de cerrados (irreducibles) de U y por lo tanto dim U ≥ n y ası́ dimx X ≥ n
y consecuentemente dimx X ≥ dim X.
Codimensión. Si X es un espacio topológico de dimensión de Krull dim X finita,
por 3.9 para todo subespacio Y ⊆ X se tiene que dim Y ≤ dim X y se define la
codimensión de Y en X es
codim Y = codimX Y = dim X − dim Y.
En particular, si W ⊆ V es una subvariedad de una variedad afı́n V , por 3.10 dim V
es finita, y la codimensión de W en V es
codim W = codimV W = dim V − dim W.
C OROLARIO 3.13. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible), f1 , . . . , fr ∈
K[V ] (funciones regulares en V ) y W es una componente irreducible de V(f1 , . . . , fr ),
entonces
codim W ≤ r,
es decir, dim W ≥ dim V − r. Equivalentemente, dim V(f1 , . . . , fr ) ≥ dim V − r,
generalizando el teorema del ideal principal de Krull.
3.2. EL TEOREMA DEL IDEAL PRINCIPAL Y LA DIMENSIÓN DE KRULL
89
Demostración. Inducción sobre r. Si r = 1 es el teorema del ideal principal de Krull.
Supongamos válido para < r. Como W es cerrado irreducible de V(f1 , . . . , fr ), entonces W es cerrado irreducible de V(f1 , . . . , fr−1 ) y por lo tanto W está contenido en una componente irreducible W 0 de V(f1 , . . . , fr−1 ). Por hipótesis de
inducción se tiene que codim W 0 ≤ r − 1, o equivalentemente que dim W 0 ≥
dim V − (r − 1). Ahora, W es componente irreducible de W 0 ∩ V(f1 , . . . , fr ) porque W ⊆ W 0 ∩ V(f1 , . . . , fr ) ⊆ V(f1 , . . . , fr ) y W es máximo cerrado irreducible
de V(f1 , . . . , fr ). Si fr se anula en todo W 0 , entonces W 0 ⊆ V(f1 , . . . , fr ) y como
W ⊆ W 0 con ambas irreducibles máximas se sigue que W = W 0 y consecuentemente codim W = codim W 0 ≤ r −1 y ya acabamos. Si fr no se anula en todo W 0 ,
por el teorema del ideal principal de Krull 3.6 se tiene que V(fr ) es puro de dimensión dim W 0 −1 y como W ⊆ V(fr ) es irreducible, entonces dim W = dim W 0 −1
por lo tanto
dim W = dim W 0 − 1 ≥ dim V − (r − 1) − 1 = dim V − r.
Ejemplo 14. En el corolario 3.13 anterior, en general no todas las componentes de
V(f1 , . . . , fr ) tienen la misma dimensión, y la desigualdad codim W ≤ r puede ser
estricta para todas ellas sin que haya redundancia en los polinomios fi . En efecto,
considere primero el cono
V = V(xw − yz) ⊆ A4K
y note que
V(x) ∩ V = {(0, 0, z, w)} ∪ {(0, y, 0, w)}
y como dim V = 3, entonces ambos planos tienen codimensión 1 en V (por Krull).
Similarmente,
V(y) ∩ V = {(0, 0, z, w)} ∪ {(x, 0, z, 0)}.
Pero,
V(x, y, xw − yz) = V(x) ∩ V(y) ∩ V = {(0, 0, z, w)}
consiste de un único plano, de codimensión 1 en V y ası́ todas las componentes
irreducibles de V(x, y, xw − yz) tienen codimensión 1 < 3.
P ROPOSICI ÓN 3.14. Sea W una subvariedad irreducible de codimensión r en una
variedad afı́n V . Entonces, existen r funciones regulares f1 , . . . , fr ∈ K[V ] tales
que W es una componente irreducible de V(f1 , . . . , fr ) y todas las componentes
irreducibles de V(f1 , . . . , fr ) tienen codimensión r.
Demostración. En 3.8 vimos que existe una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles no vacı́os:
(1)
V = W0 ! W1 ! · · · ! Wr = W.
90
3. DIMENSIÓN
tales que codimWj−1 Wj = 1 y por lo tanto codim Wj = j. Por inducción mostraremos que existen f1 , . . . , fr ∈ K[V ] tales que para toda j ≤ r, Wj es una
componente irreducible de V(f1 , . . . , fj ) y además todas las componentes irreducibles de V(f1 , . . . , fj ) tienen codimensión igual a codim Wj = j. En efecto, para
j = r = 1, sea f1 ∈ I(W1 ) = I(W ) no nula y aplicamos el teorema de Krull
3.6. Supongamos ahora que ya se tienen f1 , . . . , fj−1 con las propiedades requeridas. Sean Y1 = Wj−1 , . . . , Ym las componentes irreducibles de V(f1 , . . . , fj−1 )
(que estamos suponiendo que tienen codimensión j − 1). Buscamos un fj que se
anule en todo Wj pero que no sea idénticamente cero en cualquiera de los Yi , ya
que entonces, para ese fj , todas las componentes irreducibles de Yi ∩ V(fj ) tienen
codimensión 1 en Wj−1 por el teorema de Krull 3.6, y por lo tanto tendrán codimensión j en V , y Wj es una de esas componentes irreducibles. Ahora, como Yi 6⊆ Wj
para todo i, ya que Wj tiene dimensión menor que Yi , entonces I(Wj ) 6⊆ I(Yi ),
para 1 ≤ i ≤ m. Para estos ideales primos el lema siguiente garantiza entonces que
existe fj ∈ I(Wj ) tal que fj 6∈ I(Yi ) para todo i, y esta función fj es la deseada. L EMA 3.15 (Evitación de primos). Sea I ⊆ A un ideal y supongamos que I no
está contenido en ninguno de los ideales primos p1 , . . . , pr . Entonces existe h ∈ I
tal que h 6∈ p1 ∪ · · · ∪ pr .
En términos geométricos el lema dice que si Wj ⊆ V son subvariedades y se tienen
polinomios f1 , . . . , fr en V que no se anulan simultáneamente
en ninguna de las
P
Wj , entonces existe una combinación lineal h =
gi fi que no se anula en ninguna
de las Wj .
Demostración. Podemos suponer que ninguno de los ideales primos está contenido
en algún otro, porque entonces lo podemos omitir. Ahora, fijemos un ı́ndice i0 , y
para cada i 6= i0 escojamos un fi ∈ pi − pi0 y también escojamos un fi0 ∈ I − pi0
(lo cual se puede porque I no está contenido en ninguno de los primos). Entonces, el
producto hi0 = f1 · · · fr pertenece a cada pi para i 6= i0 pero no está en pi0 porque
ninguno de los factores está en pi0 y éste es primo. Pero como fi0 ∈ I, entonces
hi0 ∈ I. Variando
el i0 = i construimos hi ∈ I − pi para cada i, y por lo tanto su
P
suma h =
hi ∈ I − pi , para toda i, porque si sucediera
que h ∈ pi para algún
P
i, como hj ∈ pi para j 6= i, entonces hi = h − j6=i hj ∈ pi , lo cual es una
contradicción.
O BSERVACI ÓN . La proposición anterior muestra que, para una curva C ⊆ A3K , que
tiene codimensión 2, existen f1 , f2 ∈ K[x, y, z] tales que C es una componente
irreducible de V(f1 , f2 ). El ejercicio 12 pide mostrar que toda curva C ⊆ A3K es de
la forma C = V(f1 , f2 , f3 ) para polinomios adecuados fi ∈ K[x, y, z]. Hasta el dı́a
de hoy no se sabe si toda curva C ⊆ A3K es de la forma V(f1 , f2 ).
Una variedad, afı́n o proyectiva, V de codimensión r, en AnK o PnK , se dice que
es una intersección completa conjuntista si existen r = codim V polinomios fi ∈
EJERCICIOS
91
K[x1 , . . . , xn ] (en el caso afı́n) o r polinomios homogéneos fi ∈ K[x0 , . . . , xn ] (en
el caso proyectivo) tales que
V = V(f1 , . . . , fr ).
Con esta nomenclatura, lo que no se sabe hasta hoy es si toda curva C ⊆ A3K es una
intersección completa.
También se suele usar la terminologı́a siguiente: si V es una variedad afı́n o
proyectiva de codimensión r en AnK o PnK , si sucede que I(V ) = hf1 , . . . , fr i, se
dice que V es una intersección completa idealista.
Observe que, por la correspondencia dada por el teorema de los ceros de Hilbert, si V es una intersección completa idealista, entonces es intersección completa
conjuntista porque si I(V ) = hf1 , . . . , fr i, con r = codim V , entonces
V = V(I(V )) = Vhf1 , . . . , fr i
porque I(V ) = hf1 , . . . , fr i es radical.
Ejercicios
E JERCICIO 6. Si X es un espacio topológico y X = X1 ∪ · · · ∪ Xn con los Xi
cerrados, demuestre que
dim X = máx{dim Xi }.
E JERCICIO 7. Reformulando 3.6 demuestre que si A es una K-álgebra afı́n, i.e.,
A = K[x1 , . . . , xn ]/I, y si f ∈ A no es cero ni una unidad y si p es un ideal primo
de A, mı́nimo entre los ideales que contienen a f , entonces
dim A/p = dim A − 1.
Este resultado se conoce como el teorema del ideal principal de Krull y es válido
para cualquier anillo noetheriano.
E JERCICIO 8. Si V ⊆ AnK es algebraico irreducible y P ∈ V , demuestre que
dim V = dim OV,P .
E JERCICIO 9. Demuestre que todo subconjunto finito V ⊆ A2K es el conjunto de
ceros de dos polinomios f, g ∈ K[x, y].
E JERCICIO 10. Sea C ⊆ A3K una curva algebraica. Demuestre que existe un polinomio f (x, y) ∈ K[x, y, z] que se anula en todos los puntos de C. Muestre que el
conjunto de todos los tales polinomios es un ideal principal de K[x, y, z], generado digamos por g(x, y). Demuestre que la curva g(x, y) = 0 es la cerradura de la
proyección de C en el plano (x, y) (proyección paralela al eje z).
E JERCICIO 11. Con la notación del ejercicio anterior, sea
h(x, y, z) = gn (x, y)z n + · · · + gn (x, y) ∈ K[x, y, z]
92
3. DIMENSIÓN
el polinomio de menor grado en z y que pertenece al ideal I(C). Demuestre que si
f ∈ I(C) y si el grado de f en z es m, entonces
f · gnm = h · u + v(x, y)
donde v(x, y) es divisible por el polinomio g(x, y) del ejercicio anterior.
Concluya que V(g, h) ⊆ A3K es una curva reducible cuyas componentes son la
curva C dada y un número finito de rectas paralelas al eje z determinadas por las
ecuaciones g0 (x, y) = 0, g(x, y) = 0.
E JERCICIO 12. Usando los dos ejercicios anteriores, concluya que toda curva C ⊆
A3K está determinada por tres polinomios.
E JERCICIO 13. Un caso particular del teorema del ideal principal de Krull dice que
todas las componentes irreducibles de una hipersuperficie en AnK tienen codimensión 1. Demuestre el recı́proco, i.e., demuestre que si V ⊆ AnK es un conjunto
algebraico afı́n tal que todas sus componentes irreducibles tienen codimensión 1,
entonces V es una hipersuperficie y su ideal I(V ) es principal.
E JERCICIO 14.
3.3.
El lema de normalización de Noether
Comenzamos con una consecuencia del lema 1.16 que se usará en la demostración del lema de Noether:
C OROLARIO 3.16 (Transitividad de la dependencia entera). Si A ⊆ B ⊆ C son
anillos con C entero sobre B y B entero sobre A, entonces C es entero sobre A.
Demostración. Si α ∈ C se tiene una ecuación polinomial
(∗)
αn + bn−1 αn−1 + · · · + b1 α + b0 = 0
con los bi ∈ B
y el anillo A[b0 , . . . , bn−1 ] es un A-módulo finitamente generado por 1.17 ya que los
bi son enteros sobre A. Como la ecuación (∗) tiene coeficientes en A[b0 , . . . , bn−1 ]
entonces α es entero sobre este anillo y ası́ A[b0 , . . . , bn−1 ][α] es finitamente generado como A[b0 , . . . , bn−1 ]-módulo. Se sigue que A[b0 , . . . , bn−1 ][α] es finitamente
generado como A-módulo y por lo tanto α es entero sobre A por 1.16.
Para demostrar el lema de normalización de Noether necesitaremos el resultado
siguiente
L EMA 3.17. Si K es un campo infinito y f ∈ K[x1 , . . . , xn ] es un polinomio no
nulo de grado d, entonces existe un cambio de variables lineal x0i = xi − ai xn , para
1 ≤ i ≤ n − 1, y con ai ∈ K, tales que el polinomio
f (x01 + a1 xn , . . . , x0n−1 + an−1 xn , xn ) ∈ K[x01 , . . . , x0n−1 , xn ]
3.3. EL LEMA DE NORMALIZACIÓN DE NOETHER
93
tiene un término de la forma cxdn , con c ∈ K.
Demostración. Escribamos x0i = xi − ai xn , para alguna elección de ai ∈ K, 1 ≤
i ≤ n − 1. Sea fd la componente homogénea de f de grado d y escribamos f =
fd + g, con g de grado ≤ n − 1. Entonces,
f (x01 + a1 xn , . . . , x0n−1 + an−1 xn , xn ) = fd (a1 , . . . , an−1 , 1)xdn + términos de
grado menor en xn
P
e1
ya que cada monomio de grado d en fd es de la forma ax1 · · · xenn con ei = d, y
al substituir xi por x0i , 1 ≤ i ≤ n − 1 el monomio queda de la forma
a((x01 + a1 xn )e1 · · · (x0n−1 + an−1 xn )en−1 xenn
donde al expandir los binomios notamos que al juntar los términos de mayor grado
en xn queda
e
e
n−1 en−1 en
n−1
a(ae11 xen1 · · · an−1
xn xn ) = a(ae11 · · · an−1
· 1)xenn = md (a1 , . . . , an−1 , 1)xdn
P
P
porque ei = d, de donde se sigue la afirmación con fd = md .
Finalmente, notamos ahora que fd (x1 , . . . , xn−1 , 1) es un polinomio en x1 , . . .,
xn−1 que no es nulo, porque de lo contrario f no tendrı́a grado d; se sigue que
V(fd ) 6= AnK (ya que K es infinito). Ası́, existen a1 , . . . , an−1 ∈ K tales que
fd (a1 , . . . , an−1 , 1) 6= 0 y poniendo c = fd (a1 , . . . , an−1 , 1) se sigue la conclusión
del lema.
T EOREMA 3.18 (Lema de normalización de Noether). Si K es un campo infinito y
A es una K-álgebra de grado de trascendencia d y que es dominio entero, entonces
existen y1 , . . . , yd ∈ A algebraicamente independientes sobre K tales que A es
entera sobre el subanillo K[y1 , . . . , yd ] generado por los yi :
K ⊆ K[y1 , . . . , yd ] ⊆ A.
Demostración. Por hipótesis A es una K-álgebra de tipo finito y ası́ existe un epimorfismo K[x1 , . . . , xn ] A, i.e, A = K[x1 , . . . , xn ]/p, con p un ideal primo
(porque A es dominio entero) y claramente d ≤ n. Usaremos inducción sobre
n ≥ d. Si n = d las imágenes αi de las variables xi deben ser algebraicamente
independientes y ası́ p = 0, A = k[α1 , . . . , αd ] y no hay nada que probar. Supongamos entonces que n > d y p 6= 0. Basta entonces mostrar la existencia de una
subálgebra B ⊆ A generada por n − 1 elementos tal que A es entera sobre B ya que
aplicando la hipótesis de inducción a B existirı́an elementos α1 , . . . , αd ∈ B algebraicamente independientes sobre K y tales que B es entero sobre K[α1 , . . . , αd ] y
por la transitividad de la dependencia entera se seguirı́a inmendiatemente que A es
entera sobre K[α1 , . . . , αd ], que es lo que se quiere probar.
Resta mostrar la existencia de la subálgebra B con las propiedades requeridas y
para ésto observe primero que los n generadores αi de A (imágenes de las xi en A)
94
3. DIMENSIÓN
no pueden ser algebraicamente independientes porque n > d = grtrK A = d. Ası́,
existe una relación no trivial de dependencia algebraica entre ellas:
(1)
f (α1 , . . . , αn ) = 0
es decir, con f (x1 , . . . , xn ) ∈ p − {0}.
Por el lema 3.17 se tiene un cambio de variable lineal
x0i = xi − ai xn
para 1 ≤ i ≤ n − 1
tal que el polinomio
f (x01 + a1 xn , . . . , x0n−1 + an−1 xn , xn ) ∈ K[x01 , . . . , x0n−1 , xn ]
es mónico en xn , al cual podemos ver como un polinomio mónico en xn con coeficientes en K[x01 , . . . , x0n−1 ] ⊆ K[x1 , . . . , xn ]. Entonces, susbtituyendo xi = α y
escribiendo αi0 = αi − ai αn para 1 ≤ i ≤ n − 1, se tiene que
0
f (αi0 , . . . , αn−1
, αn ) = 0
0
es decir, hemos visto que αn es entero sobre K[α10 , . . . , αn−1
]. Además, como
0
αi = αi + ai αn , entonces también los αi , 1 ≤ i ≤ n − 1, son enteros sobre
0
0
] y por lo tanto K[α1 , . . . , αn ] es entera sobre K[α10 , . . . , αn−1
].
K[α10 , . . . , αn−1
0
0
0
0
Por inducción, para K[α1 , . . . , αn−1 ] existen y1 , . . . , yd ∈ K[α1 , . . . , αn−1 ] que
0
son algebraicamente independientes sobre K y además K[α10 , . . . , αn−1
] es entera sobre K[y1 , . . . , yd ]. Por la transitividad de la dependencia entera se sigue que
K[α1 , . . . , αn ] es entera sobre K[y1 , . . . , yd ], como se querı́a.
Una consecuencia adicional del lema de normalización de Noether, es otra demostración del lema de Zariski 1.22, de donde se obtuvo el teorema de los ceros de
Hilbert 1.15.
L EMA 3.19. Sean K ⊆ L anillos tales que L es entero sobre K. Si L es un campo
entonces K es un campo.
Demostración. Mostraremos que todo elemento a 6= 0 de K tiene inverso multiplicativo. Como 0 6= a ∈ L y L es campo, entonces 1/a ∈ L y como L es entero sobre
K entonces para 1/a existe un polinomio mónico
f (x) = xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 ∈ K[x]
tal que f (1/a) = 0, i.e.,
1
bn−1
b1
+
+ ··· +
+ b0 = 0
an an−1
a
y multiplicando por an−1 obtenemos que
1
= −bn−1 − abn−2 − · · · − an−1 b1 ∈ K
a
y ası́ K es un campo.
3.3. EL LEMA DE NORMALIZACIÓN DE NOETHER
95
C OROLARIO 3.20 (Zariski). Si K ⊆ L son campos con L de tipo finito, entonces
L/K es una extensión algebraica y por lo tanto L/K es una extensión finita.
Demostración. Sea n = grtrK L. Por el lema de normalización de Noether existen α1 , . . . , αn ∈ L algebraicamente independientes sobre K y tales que L es entera sobre K[α1 , . . . , αn ]. Por el lema anterior se sigue que K[α1 , . . . , αn ] es un
campo. Ahora, como las αi son algebraicamente independientes sobre K entonces
K[α1 , . . . , αn ] es un anillo de polinomios, y como es un campo se debe entonces
tener que n = 0 y por lo tanto L/K es algebraica.
Interpretación geométrica del teorema de normalización de Noether. Supongamos que V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible) y sea K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I
su anillo de coordenadas, donde I = I(V ). Ya hemos visto que ésta es una K-álgebra de tipo finito, digamos generada por las clases laterales αi de xi módulo el ideal
de la variedad I = I(V ), i.e., αi ≡ xi ( mod I) y K[V ] = K[α1 , . . . , αn ]. Por
el teorema de normalización de Noether 3.18 existen y1 , . . . , yd ∈ K[V ] algebraicamente independientes, d ≤ n (y en la demostracion de 3.18 vimos los yj los
podemos elegir como polinomios homogéneos lineales en los αi ) tales que en
K ,→ K[y1 , . . . , yd ] → K[V ]
se tiene que K[V ] es entera sobre K[y1 , . . . , yd ], y como obviamente es de tipo
finito, entonces por 1.20 es finita (i.e., finitamente generada como módulo). Ahora,
como cada yj es una forma lineal en los αi y cada αi ≡ xi ( mod I), entonces cada
yj ∈ K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I se puede levantar a formas lineales ỹj en x1 , . . . , xn
y además ỹj ≡ yj ( mod I). Con estas formas lineales ỹj ∈ K[x1 , . . . , xn ], 1 ≤
j ≤ d, se define una aplicación lineal
π = (ỹ1 , . . . , ỹd ) : AnK → AdK
que al restringirla a V ⊆ AnK induce una aplicación polinomial
π : V → AdK
donde notamos que, como en V se tiene que ỹj |V = yj |V porque ỹj = yj + h con
h ∈ I = I(V ), entonces en V la función π es independiente de la elección de los
levantamientos ỹj . Mostraremos a continuación que las imágenes inversas π −1 (P )
de cada punto P ∈ AnK son finitas y no vacı́as (la figura siguiente ilustra la situación
geométrica):
96
3. DIMENSIÓN
··· • ···
•
V
•
•
•
•
···
•
··· • ···
•
···
π
?
AdK
•
•
•
P
•
•
•
P
···
•
···
···
T EOREMA 3.21 (Normalización de Noether). Si K es algebraicamente cerrado, la
aplicación π : V → AdK anterior satisface que para todo punto P ∈ AdK la fibra
π −1 (P ) es finita no vacı́a. En particular, π es suprayectiva.
Demostración. Mostraremos primero que cada fibra π −1 (P ) es finita. Para ésto,
observe que como K[V ] es entera sobre K[y1 , . . . , yd ] (por el teorema de normalización de Noether 3.18), en particular cada αi ∈ K[V ] es raı́z de un polinomio
mónico
(1)
αiN + fi,N −1 (y1 , . . . , yd )αiN −1 + · · · + fi,0 (y1 , . . . , yd ) = 0
con los coeficientes fi,j ∈ K[y1 , . . . , yd ].
Por otra parte, como K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I, la igualdad (1) dice que para
los levantamientos ỹj ∈ K[x1 , . . . , xn ] de los yj , como xi ≡ αi (mód I), se tiene
que
(2)
N −1
xN
+ · · · + fi,0 (ỹ1 , . . . , ỹd ) = gi (x1 , . . . , xn )
i + fi,N −1 (ỹ1 , . . . , ỹd )αi
para algún gi ∈ I ⊆ K[x1 , . . . , xn ].
Observamos ahora que si (a1 , . . . , an ) ∈ V , entonces gi (a1 , . . . , an ) = 0, ya
que gi ∈ I = I(V ), y ası́, por (2) cada coordenada ai es raı́z del polinomio
fi (x) = xN + fi,N −1 (y1 , . . . , yd )xN −1 + · · · + fi,0 (y1 , . . . , yd ) ∈ K[y1 , . . . , yd ][x]
y notamos que como I es primo (porque V es irreducible), entonces K[V ] =
K[α1 , . . . , αn ] es un dominio entero y de las inclusiones
K[y1 , . . . , yd ] ⊆ K[V ] = K[α1 , . . . , αn ] ⊆ K(V ) = K(α1 , . . . , αn )
con K(α1 , . . . , αn ) el campo de fracciones de K[α1 , . . . , αn ], podemos considerar
a fi (x) ∈ K(V )[x] = K(α1 , . . . , αn )[x].
Hemos ası́ mostrado que para cada (a1 , . . . , an ) ∈ π −1 (P ) ⊆ V las coordenadas ai son raı́ces del polinomio mónico fi (x) con coeficientes en el campo K(V ), y
como sólo hay un número finito de estas raı́ces, entonces sólo hay un número finito
de puntos (a1 , . . . , an ) ∈ π −1 (P ), como se querı́a.
3.3. EL LEMA DE NORMALIZACIÓN DE NOETHER
97
Finalmente, para probar que cada fibra π −1 (P ) 6= ∅, si P = (b1 , . . . , bd ) ∈ AdK
pongamos
IP = I + hy1 − b1 , . . . , yd − bd i ⊆ K[x1 , . . . , xn ]
(∗)
y observemos que π −1 (P ) = V(IP ). En efecto, si Q ∈ V(IP ), entonces para todo
f ∈ I, f (Q) = 0 y por lo tanto Q ∈ V . Por otra parte, también para todo yi − bi ∈
hy1 − b1 , . . . , yd − bd i se tiene que (yi − bi )(Q) = 0, es decir, yi (Q) = bi y por
lo tanto P = (b1 , . . . , bd ) = (y1 (Q), . . . , yd (Q)) = π(Q), i.e., Q ∈ π −1 (P ).
Recı́procamente, si Q ∈ π −1 (P ), entonces (y1 (Q), . . . , yd (Q)) = π(Q) = P =
(b1 , . . . , bd ) y por lo tanto bi = yi (Q) para toda i, i.e., (yi − bi )(Q) = 0, i.e., Q ∈
V(I + hy1 − b1 , . . . , yd − bd i). Hemos ası́ mostrado que cada fibra es una variedad
afı́n, y por lo tanto, si probamos que la inclusión (∗) es propia, por el teorema de los
ceros de Hilbert (1.15) se seguirá que V(IP ) 6= ∅, que es lo que se requiere. Ahora,
para probar que IP ⊆ K[x1 , . . . , xn ] es un ideal propio, por la correspondencia
entre ideales de K[V ] = K[x1 , . . . , xn ]/I e ideales de K[x1 , . . . , xn ] que contienen
a I, esto es equivalente a probar hy1 − b1 , . . . , yd − bd i ⊆ K[V ] = K[α1 , . . . , αd ] es
un ideal propio. Observemos ahora que hy1 −b1 , . . . , yd −bd i es un ideal máximo de
K[y1 , . . . , yd ] (por el teorema de los ceros de Hilbert, ya que el anillo es, en efecto,
de polinomios) y por lo tanto es un ideal propio de K[y1 , . . . , yd ] y estamos en la
situación:
hy1 − b1 , . . . , yd − bd i K[y1 , . . . , yd ] ,→ K[V ]
con K[V ] finita sobre K[y1 , . . . , yd ] (por el teorema de normalización de Noether)
y queremos probar que hy1 − b1 , . . . , yd − bd iK[V ] K[V ], pero ésto se sigue del
lema siguiente:
L EMA 3.22 (Lema de Nakayama). Supongamos que A ⊆ B son anillos, de tal
forma que B es una A-álgebra finita (vea §1.2) y B 6= 0. Entonces, para todos los
ideales propios m A se tiene que mB B.
Demostración. Suponiendo que mB = B mostraremos que B = 0, una contradicción. Para comenzar, como m es un ideal propio, podemos suponer en la hipótesis
que es un ideal máximo. Ahora, como B es un A-módulo finitamente generado,
supongamos que α1 , . . . , αn generan B. Como estamos suponiendo que mB = B,
podemos escribir
X
αi =
aij αj
con los aij ∈ m.
j
Entonces, α1 , . . . , αn son soluciones del sistema de n ecuaciones en n incógnitas
X
(δij − aij )xj = 0
donde δij es una delta de Kronecker
j
y ası́, por la regla de Cramer det(δij − aij ) · αi = 0 para toda i. Observe ahora que
en la expansión del determinante anterior todos los sumandos tienen un factor en m
98
3. DIMENSIÓN
excepto el término correspondiente a la diagonal que es de la forma (1−a11 ) · · · (1−
ann ); por lo tanto el determinante anterior se expande como un 1 más una suma de
elementos de m. En particular, det(δij − aij ) 6∈ m y como m es máximo se sigue
que debe ser una unidad de A. Ası́, la igualdad det(δij − aij ) · αi = 0 implica que
αi = 0 para todo i y por lo tanto B = 0.
Una condición de separabilidad. En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, el lema de normalización de Noether lleva consigo una consecuencia adicional
sobre la separabilidad de una extensión asociada que será de mucha utilidad en la
subsección siguiente.
P ROPOSICI ÓN 3.23 (Noether). Supongamos que K es algebraicamente cerrado y
que A es una K-álgebra de grado de trascendencia d y que es un dominio entero.
Sea K(A) el campo de fracciones de A, al cual podemos ver como una extensión
de K:
K → A → K(A).
Entonces, los y1 , . . . , yd ∈ A que satisfacen las dos condiciones del lema de normalización de Noether (3.18)
K → K[y1 , . . . , yd ] → A
se pueden elegir de tal forma que la extensión de los campos de fracciones
K(y1 , . . . , yd ) → K(A)
es separable.
Demostración. Si car K = 0 no hay nada que probar. Supongamos entonces que
car K = p > 0. Como A es un dominio entero, A = K[x1 , . . . , xn ]/p, entonces
p es un ideal primo. Si p = 0, K(y1 , . . . , yd ) = K(A) y no hay nada que probar.
Si p 6= 0, escojamos un f ∈ p irreducible. Entonces, para cada xi se tienen dos
posibilidades:
(i) f es separable en xi , o
(ii) f es inseparable en xi , es decir, f ∈ K[x1 , . . . , xpi , . . . , xn ].
Veremos que si f es inseparable en cada xi , entonces f = g p con g ∈ K[x1 , . . . , xn ],
en contradicción con el hecho de que f es irreducible. En efecto, el que f sea inseparable en cada xi implica que f = F (xp1 , . . . , xpn ) con F ∈ K[x1 , . . . , xn ] y
P
escribiendo F =
ai1 ,...,in xi11 · · · xinn con los ai1 ,...,in ∈ K, como K es algebraicamente cerrado existen las raı́ces p-ésimas bi1 ,...,in ∈ K de cada ai1 ,...,in y consideP
rando el polinomio g =
bi1 ,...,in xi11 · · · xinn se tiene que f = g p por el argumento
usual en caracterı́stica p, i.e., por ejemplo usando que (a + b)p = ap + bp . Se sigue
que f es separable en alguna xi , y sin perder generalidad podemos suponer que esta
3.3. EL LEMA DE NORMALIZACIÓN DE NOETHER
99
es xn . Entonces, como en la demostración del lema de normalización de Noether, el
polinomio mónico
f (x01 + a1 xn , . . . , x0n−1 + an−1 xn , xn )
es mónico en xn y para las clases laterales αi = xi + p ∈ A el polinomio anterior
0
muestra que αn es entero sobre K[α10 , . . . , αn−1
] y como estamos suponiendo que
f es separable en xn , entonces αn es raı́z de un polinomio mónico separable y por lo
tanto αn es separable sobre K(y1 , . . . , yd ). Usamos entonces inducción y el hecho
de que la composición de extensiones separables es separable.
El teorema del elemento primitivo. Recordemos que el teorema del elemento primitivo dice que toda extensión finita separable L/K es una extensión simple, i.e.,
existe γ ∈ L tal que L = K(γ). Más aún, recordemos también que si el campo K
es infinito, y si L = K(α1 , . . . , αn ), entonces γ ∈ L se puede escoger como una
combinación lineal de las αi ’s.
C OROLARIO 3.24. Bajo las hipótesis del lema de normalización de Noether con
K algebraicamente cerrado, existen y1 , . . . , yd , yd+1 ∈ A tales que y1 , . . . , yd son
algebraicamente independientes sobre K, A es entera sobre K[y1 , . . . , yd ], K(A)
es una extensión separable de K(y1 , . . . , yd ), y además el campo de fracciones
K(A) está generado sobre K por y1 , . . . , yd , yd+1 .
Demostración. Como K(A)/K(y1 , . . . , yd ) es separable y finita, por el teorema
del elemento primitivo K(A) = K(y1 , . . . , yd )(yd+1 ) con yd+1 ∈ K(A). Por la
observación antes del enunciado del corolario, limpiando denominadores podemos
escoger yd+1 como combinación linal de los xi ∈ A con los coeficientes de la
combinación lineal en K[y1 , . . . , yd ] y por lo tanto yd+1 ∈ A. El diagrama siguiente
resume la situación:
K(A)
MMM
MMsimple
MMM
MMM
K(y1 , . . . , yd )
K
pp
ppp
p
p
pp puramente trascendente
ppp
Reducción al caso de una hipersuperficie. Una consecuencia geométrica importante del corolario 3.24 al lema de normalización de Noether es:
C OROLARIO 3.25. Si K es algebraicamente cerrado, entonces toda variedad algebraica (afı́n, casi-afı́n, proyectiva o casi-proyectiva) es biracional a una hipersuperficie.
100
3. DIMENSIÓN
Demostración. Comenzamos observando que por 2.16, f : V 99K W es una aplicación biracional si y sólo si existen abiertos V0 ⊆ V , W0 ⊆ W tales que la restricción f : V0 → W0 es biregular. Se sigue que la biracionalidad de f sólo depende
de abiertos densos, y por el ejercicio 37 de §1.3, todo abierto contiene un abierto básico D(f ) que es isomorfo a una variedad afı́n. Entonces, basta demostrar el
corolario para una variedad afı́n (irreducible) V ⊆ AnK . Ahora, para A = K[V ],
que es un dominio entero porque V es irreducible, en 3.24 mostramos que existen y1 , . . . , yd ∈ K[V ] algebraicamente independientes sobre K y yd+1 ∈ K[V ]
algebraico sobre K(y1 , . . . , yd ) y tales que
K(V ) = K(y1 , . . . , yd )(yd+1 ) = K(y1 , . . . , yd , yd+1 )
con yd+1 algebraico sobre K(y1 , . . . , yd ) y ası́ satisface una ecuación polinomial
con coeficientes en K(y1 , . . . , yd ). Limpiando denominadores obtenemos un polinomio con coeficientes en K[y1 , . . . , yd ] del cual yd+1 es raı́z. Este polinomio es de
la forma
f = fk (y1 , . . . , yd )y k + · · · + f1 (y1 , . . . , yd )y + f0 (y1 , . . . , yd ) = 0,
y podemos ver al polinomio anterior como
f = f (y1 , . . . , yd , y) ∈ K[y1 , . . . , yd , y]
y para la hipesuperficie V(f ) ⊆ Ad+1
K su campo de funciones racionales es
K(V(f )) = K(y1 , . . . , yd , yd+1 ) = K(V )
y por lo tanto su cerradura proyectiva es biracional a V .
Ejercicios
E JERCICIO 15. Si f : V → W es una aplicación regular dominante, i.e., f (V ) es
denso en W , entonces f ∗ : K[W ] → K[V ] es inyectivo.
E JERCICIO 16. Si f : V → W es una aplicación regular dominante, diremos que
es finita o que es un morfismo finito si K[V ] es entera sobre K[W ] (mediante el
morfismo inyectivo f ∗ : K[W ] → K[V ] del ejercicio anterior). Note que con esta
definición, la interpretación geométrica del teorema de normalización de Noether
dice que π : V → AnK es un morfismo finito.
(i) Demuestre que si f : V → W es un morfismo finito, entonces sus fibras
son finitas.
(ii) Si f : V → W es un morfismo finito, demuestre que es suprayectivo.
Sugerencia: Vea la demostración de la versión geométrica del teorema de normalización de Noether.
3.4. DIMENSIÓN DE VARIEDADES PROYECTIVAS
101
E JERCICIO 17. Si f : V → W es un morfismo finito, demuestre que f es una
función cerrada.
E JERCICIO 18. (La finitud es una propiedad local): Si f : V → W es una aplicación
regular entre variedades algebraicas y para todo Q ∈ W existe una vecindad afı́n
W 0 de Q tal que V 0 = f −1 W 0 es afı́n y f : V 0 → W 0 es finita, demuestre que
f : V → W es finita.
3.4.
Dimensión de variedades proyectivas
Los resultados anteriores sobre dimensión de variedades afines se extienden a
variedades proyectivas.
P ROPOSICI ÓN 3.26. (1): Si V ⊆ AnK es un subconjunto afı́n y V ⊆ PnK es su
cerradura proyectiva, entonces
dim V = dim V.
es su cono afı́n, entonces
(2): Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva y V a ⊆ An+1
K
dim V a = dim V + 1.
Más aún, dim V = dim K[V a ] − 1 = dim K[V ] − 1.
Demostración. Para (1), por 2.9 se tiene la correspondencia que asigna a cada afı́n
V ⊆ AnK su cerradura proyectiva V ⊆ PnK y también V es irreducible si y sólo si
V lo es, por lo que basta considerar el caso cuando V es irreducible no vacı́a. En
este caso, por 3.9, d = dim V ≤ n y ası́ existe una cadena máxima de cerrados
irreducibles no vacı́os de V
V0
V1
···
Vd = V
la cual se puede extender a una cadena máxima de cerrados irreducibles de AnK :
V0
V1
···
Vd = V
Vd+1
···
Vn = AnK
ya que dim AnK = n. Por 2.9 las cerraduras proyectivas de los irreducibles de la cadena anterior también son irreducibles y forman una cadena de cerrados irreducibles
no vacı́os:
(1)
V0
V1
···
Vd =V
V d+1
···
V n = PnK
que por 2.3 y 2.2 corresponde a una cadena de ideales primos homogéneos de
K[x0 , . . . , xn ]:
(2)
p0 ! p1 ! · · · ! pd = I(V ) ! pd+1 · · · ! pn = 0
102
3. DIMENSIÓN
con p0 6= hx0 , . . . , xn i (el ideal irrelevante) ya que V 0 6= ∅. Ahora, por el ejemplo
8, dim K[x0 , . . . , xn ] = n + 1 y como en (2) no se puede incluir al ideal irrelevante
porque corresponde a (1), entonces en la parte de la cadena (2) dada por
(3)
p0 ! p1 ! · · · ! pd = I(V )
no puede haber de p0 a pd una cadena más larga porque eso alargarı́a la cadena (2).
Se sigue que (3) es una cadena máxima de ideales primos de K[V ] que inicia en
I(V ) y termina en un ideal contenido propiamente en el ideal irrelevante. Por lo
tanto
dim V = d
como se querı́a.
Para (2), la igualdad dim V a = dim V +1 es porque en el caso afı́n sı́ se incluye
al ideal irrelevante que corresponde al vértice del cono V a . La segunda parte es
porque K[V ] = K[V a ] ya que I(V ) = I(V a ).
P ROPOSICI ÓN 3.27. (1): Si V, W son subvariedades afines de AnK , entonces todas
las componentes irreducibles no vacı́as Z ⊆ V ∩ W tienen dimensión
dim Z ≥ dim V + dim W − n.
(2): Si V, W son subvariedades de PnK , entonces todas las componentes irreducibles
no vacı́as Z ⊆ V ∩ W tienen dimensión
dim Z ≥ dim V + dim W − n.
Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que PnK está cubierto por espacios
afines. Para (1), considere la variedad producto V × W ⊆ A2n
K y la diagonal ∆ ⊆
AnK × AnK dada por
∆ = {(P, P ) : P ∈ AnK }
y observe que ∆ es un conjunto algebraico afı́n (lineal) dado por n ecuaciones
lineales
∆ = V y1 − x1 , . . . , yn − xn ⊆ A2n
K.
Se tiene entonces un isomorfismo (biregular)
f : V ∩ W → (V × W ) ∩ ∆
dado por f (z) = (z, z), con inverso la proyección (z, z) 7→ z.
Observe ahora que la variedad V ∩ W ' (V × W ) ∩ ∆ ⊆ V × W está definida
por las n ecuaciones yi −xi = 0 en V ×W , donde dim(V ×W ) = dim V +dim W .
Por el corolario 3.13 se sigue que para una componente irreducible Z ⊆ V ∩ W '
(V × W ) ∩ ∆ ⊆ V × W se tiene que
dim Z ≥ dim(V × W ) − n = dim V + dim W − n.
3.4. DIMENSIÓN DE VARIEDADES PROYECTIVAS
103
C OROLARIO 3.28. Si V, W son subvariedades de PnK tales que dim V + dim W ≥
n, entonces V ∩ W 6= ∅.
Demostración. Consideremos los conos afines correspondientes V a y W a . Entonces, por la parte (2) de la proposición 3.26 y la hipótesis
dim V a + dim W a = (dim V + 1) + (dim W + 1) ≥ n + 2
y como V a ∩ W a 6= ∅ (porque contiene al origen), entonces por 3.27 (1), todas las
componentes irreducibles de V a ∩ W a tienen dimensión ≥ n + 2 − (n + 1) = 1,
i.e., V a ∩ W a tiene dimensión ≥ 1 y ası́ contiene a un punto diferente del origen y
por lo tanto V ∩ W 6= ∅.
O BSERVACI ÓN . El corolario anterior comprueba la afirmación hecha al principio
del capı́tulo 2 de que la intersección de variedades proyectivas se comporta mejor
que en el caso afı́n, al menos en un caso particular. Una consecuencia de este corolario es que si H, H 0 ⊆ PnK son hipersuperficies y n ≥ 2, entonces su intersección es
no vacı́a. Como un caso particular, si C, C 0 ⊆ P2K son curvas en el plano proyectivo,
entonces su intersección es no vacı́a (vea también el ejercicio 15 de la sección §2.2
del capı́tulo 2). Estos son casos sencillos de la teorı́a de intersección de variedades
donde, además de ver que la intersección es no vacı́a, se tiene que ser más cuidadoso
en la definición de cómo se cuentan los puntos en los que se intersectan dos o más
variedades.
Ejemplo 15. La parte (1) de 3.27 es falsa si el espacio ambiente AnK se reemplaza
por una variedad afı́n arbitraria. Por ejemplo, considere el cono afı́n
V = V(xw − yz) ⊆ A4K .
Observe que V contiene los planos
W = V(y, w) = {(x, 0, z, 0)}
W 0 = V(x, z) = {(0, y, 0, w)}
y se tiene que W ∩ W 0 = {(0, 0, 0, 0)}.
Ahora, como el cono V es una hipersuperficie en A4K su dimensión es dim V =
3 y los planos W, W 0 tienen dimensión 2 y ası́ dim W + dim W 0 = 4. Sin embargo,
para Z ⊆ W ∩ W 0 = {(0, 0, 0, 0)} irreducible (i.e., igual al punto) se tiene que
0 = dim Z 6≥ dim W + dim W 0 − dim V = 2 + 2 − 3 = 1.
El fallo se debe a que en la demostración de 3.27 (1) usamos que la diagonal ∆ ⊆
AnK × AnK está dada por n = dim AnK ecuaciones lineales. En el contraejemplo que
estamos discutiendo la diagonal correspondiente serı́a ∆V ⊆ V × V y observamos
que esta diagonal no puede estar definida por 3 = dim V ecuaciones; de hecho,
necesita las mismas 4 ecuaciones que definen la diagonal ∆AnK . La diagonal ∆V del
ejemplo es una variedad que no es una intersección completa conjuntista.
104
3. DIMENSIÓN
P ROPOSICI ÓN 3.29. Si V = V(I) ⊆ PnK es una variedad proyectiva de dimensión
≥ 1 y si f ∈ K[x0 , . . . , xn ] es homogéneo no constante y no en I, entonces V ∩V(f )
es no vacı́o de codimensión pura 1.
Demostración. Por la proposición anterior, la dimensión de una variedad proyectiva
es igual a la dimensión de cualquier subconjunto abierto afı́n denso y ası́, si probamos que V ∩ V(f ) 6= ∅ el resultado se seguirá del caso afı́n 3.6. Para probar que
V ∩ V(f ) 6= ∅ sea V a (I) el cono afı́n de V = V(I) y V a (f ) el cono afı́n de V(f ).
Entonces, V a (I) ∩ V a (f ) 6= ∅ porque contiene al vértice (0. . . . , 0) y ası́ por 3.6
tiene codimensión 1 en V a (I). Note ahora que dim V a (I) ≥ 2 ya que V = V(I)
tiene dim ≥ 1. Ası́, V a (I) ∩ V a (f ) tiene dim ≥ 1. Esto implica que los polinomios
en I tienen un cero en común con f diferente del origen y este cero corresponde a
un punto en V ∩ V(f ), i.e., la intersección es no vacı́a, como se querı́a.
P ROPOSICI ÓN 3.30. Si V = V(I) ⊆ PnK es una variedad proyectiva pura de codimensión 1, entonces existe f ∈ K[x0 , . . . , xn ] homogéneo tal que V = V(f ), i.e.,
I(V ) = hf i.
Demostración. Se sigue de 3.3.
Ejercicios
E JERCICIO 19. En 3.27 (1), si K no es algebraicamente cerrado la conclusión es falsa. Por ejemplo, en A3R considere las variedades V = V(x2 + y 2 − z 2 ) y W = V(z).
Determine V ∩ W y muestre que 3.27 (1) no se cumple. Bosqueje estas variedades y su intersección y argumente por qué este dibujo puede llevar a conclusiones
erroneas.
E JERCICIO 20. Una variedad afı́n o proyectiva de dimensión cero consiste de un
número finito de puntos.
E JERCICIO 21. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva, demuestre que dim V ≤ n.
Más aún, demuestre que dim V = n si y sólo si V = PnK .
E JERCICIO 22. Si V es una variedad afı́n o proyectiva y V contiene a un número
infinito de puntos de una recta L, demuestre que L ⊆ V .
E JERCICIO 23. Si V y W son variedades proyectivas y si existe una aplicación
racional dominante f : V 99K W , demuestre que dim W ≤ dim V .
E JERCICIO 24. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva con anillo de coordenadas
homogéneo K h [V ], demuestre que dim K h [V ] = dim V + 1. Sugerencia: Sean
ϕi : Ui → AnK los homeomorfismos de 2.7 y sean Vi = ϕi (Ui ∩ V ) ⊆ AnK las
subvariedades afines de V correspondientes (2.8). Muestre que el anillo de coordenas K[Vi ] se puede identificar con el subanillo de elementos de grado 0 del anillo
3.5. DIMENSIÓN Y MORFISMOS
105
localizado K h [V ]xi . Concluya que K h [V ]xi ' K[Vi ][xi , x−1
i ]. De hecho, también
concluya que dim V = dim Vi , si Vi es no vacı́o.
E JERCICIO 25. Demuestre que cualquier subconjunto finito V ⊆ P2K es el conjunto
de ceros de dos polinomios f, g ∈ K[x, y, z].
E JERCICIO 26. En forma análoga al ejercicio 12 de §3.2, demuestre que toda curva
C ⊆ P3K está determinada por tres polinomios homogéneos.
E JERCICIO 27. Demuestre que todas las componentes irreducibles de una hipersuperficie en PnK tienen codimensión 1.
E JERCICIO 28. Sea V = V(I) ⊆ PnK una variedad proyectiva de dimensión ≥ 1. Si
f1 , . . . , fr ∈ K[x0 , . . . , xn ] son homogéneos no constantes y no en I y si W es una
componente irreducible de V ∩ V(f1 , . . . , fr ), demuestre que codim W ≤ r. Más
aún, si dim V ≥ r, demuestre que V ∩ V(f1 , . . . , fr ) 6= ∅.
E JERCICIO 29. Si W ⊆ V es una subvariedad proyectiva pura de codimensión r,
demuestre que existen polinomios homogéneos f1 , . . . , fr ∈ K[x0 , . . . , xn ] tales
que W es una componente irreducible de V ∩ V(f1 , . . . , fr ).
n
E JERCICIO 30. Si f : Pm
K → PK es regular y n < m, demuestre que f es constante.
3.5.
Dimensión y morfismos
Si f : V → W es un morfismo de variedades algebraicas, i.e., una aplicación
regular, dado un punto Q ∈ W podemos considerar su imagen inversa f −1 (Q) ⊆ V
y, como probamos en la interpretación geométrica del lema de normalización de
Noether, se tiene que si V = V(I), entonces
f −1 (Q) = V(I + MQ )
donde MQ es el ideal máximo correspondiente al punto Q. Ası́, las fibras f −1 (Q)
son variedades algebraicas también. Nuestro propósito ahora es comparar las dimensiones de V , W y las fibras f −1 (Q).
Ejemplo 16. Sea f : An+d
→ AnK la proyección en las primeras n coordenadas
K
f (a1 , . . . , an , an+1 , . . . , an+d ) = (a1 , . . . , an ).
Entonces, la fibra de un punto arbitrario Q = (b1 , . . . , bn ) ∈ AnK es
f −1 (Q) = {(b1 , . . . , bn , an+1 , . . . , an+d )} = {Q} × AdK ' AdK
y por lo tanto
dim An+d
= n + d = dim AnK + dim f −1 (Q).
K
106
3. DIMENSIÓN
Sin embargo no siempre se tiene la igualdad del ejemplo anterior. Un caso extremo lo da el ejemplo siguiente:
Ejemplo 17. Si f : V → W es constante, digamos f (P ) = Q0 para todo P ∈ V ,
entonces las fibras de f son:
(
∅ si Q 6= Q0 ,
−1
f (Q) =
V si Q = Q0 ,
y ası́ dim f −1 (Q0 ) = dim V pero dim f −1 (Q) = −1 si Q 6= Q0 , y en cualquier
caso no se involucra a dim W .
Lo razonable, para evitar lo anterior, serı́a pedir que f fuera suprayectiva, pero
esto se puede debilitar a pedir que f sea dominante, es decir que f (V ) ⊆ W sea
denso.
Ejemplo 18. Considere la hipérbola V = V(xy − 1) ⊆ A2K y la proyección f : V →
A1K en la primera coordenada. Claramente f (V ) = A1K − {0} y f es dominante
pero no suprayectiva. Note ahora que si Q 6= 0 en A1K , la fibra f −1 (Q) = {(x, y) :
y = Q, x = 1/Q} consiste de un único punto, y si Q = 0, f −1 (0) = ∅. Como
dim V = 1 = dim A1K , y para Q 6= 0 se tiene que dim f −1 (Q) = dim{( Q1 , Q)} =
0, entonces se tiene la igualdad
dim V = dim A1K + dim f −1 (Q)
si Q 6= 0.
Ejemplo 19. Sea V = V(xz − y) ⊆ A3K y sea f : V → A2K la proyección
f (x, y, z) = (x, y). Sus fibras son:
Si x 6= 0,
entonces
f −1 (x, y) = {(x, y, y/x) ∈ V } (un punto)
Si y 6= 0 y x = 0, entonces f −1 (0, y) = ∅
Si y = 0 y x = 0, entonces f −1 (0, 0) = {(0, 0, z) ∈ V } ' A1K .
Se sigue que la imagen de f es f (V ) = A2K − V(x) ∪ {(0, 0)}. Observe ahora
que dim V = 2, dim A2K = 2 y las fibras no vacı́as de f satisfacen que
Si x 6= 0, entonces
Si x = 0 y x = 0, entonces
dim f −1 (x, y) = dim (un punto) = 0
dim f −1 (0, 0) = dim A1K = 1
y por lo tanto, en el primer caso
0 = dim f −1 (x, y) = dim V − dim A2K = 2 − 2 = 0
3.5. DIMENSIÓN Y MORFISMOS
107
y en el segundo caso
1 = dim f −1 (0, 0) ≥ dim V − dim A2K = 2 − 2 = 0.
Observamos entonces que, en general, las fibras tienen la dimensión esperada:
dim f −1 (Q) = dim V − dim W
(decimos que éstas son las ((fibras generales))) excepto para algunos puntos especiales cuyas fibras tienen dimensión mayor a la esperada:
dim f −1 (Q) > dim V − dim W
(decimos que éstas son las ((fibras especiales))).
Antes de enunciar y demostrar el teorema correspondiente, observamos de nuevo que siendo la dimensión una cuestión local, para comparar las dimensiones del
dominio, codominio y fibras de una aplicación entre variedades casi-proyectivas,
basta considerar el caso afı́n:
L EMA 3.31. Sean f : V → W una aplicación regular dominante de variedades
casi-proyectivas irreducibles, Q ∈ f (V ) ⊆ W un punto y Z una componente
irreducible de la fibra f −1 (Q). Entonces, existen abiertos afines no vacı́os V0 ⊆ V ,
W0 ⊆ W tales que:
(1) f (V0 ) ⊆ W0 .
(2) f |V0 : V0 → W0 es dominante.
(3) Q ∈ W0 .
(4) Z ∩ V0 6= ∅.
Demostración. Sea W0 cualquier abierto afı́n que contiene a Q. Entonces, f −1 (W0 )
es un abierto de V que contiene a Z, ya que {Q} ⊆ W0 implica que Z ⊆ f −1 (Q) ⊆
f −1 (W0 ). Ahora, sean P ∈ Z y V0 un abierto afı́n que contiene a P . Note entonces
que basta probar (2). Para hacer ésto, sea U ⊆ W0 cualquier abierto no vacı́o. Como
f : V → W es dominante, se sigue que f (V ) ∩ U 6= ∅ y ası́ f −1 (U ) es abierto no
vacı́o en V ; pero como V es irreducible entonces f −1 (U ) ∩ V0 6= ∅ (cualesquiera
dos abiertos no vacı́os de V se intersectan) y por lo tanto existe P 0 ∈ f −1 (U ) ∩ Vo
tal que f (P 0 ) ∈ U ∩ f (V0 ), i.e., U ∩ f (V0 ) 6= ∅, i.e., cualquier abierto no vacı́o de
W0 intersecta a f (V0 ), i.e., f (V0 ) es denso.
T EOREMA 3.32 (Dimensión de las fibras). Si f : V → W es una aplicación regular
dominante de variedades casi-proyectivas irreducibles, entonces
(1) dim W ≤ dim V .
(2) Si Q ∈ f (V ) ⊆ W , entonces todas las componentes irreducibles Z de f −1 (Q)
satisfacen que dim Z ≥ dim V − dim W .
(3) Existe un abierto no vacı́o W0 ⊆ W tal que:
108
3. DIMENSIÓN
(i) W0 ⊆ f (V ).
(ii) dim f −1 (Q) = dim V − dim W , para todo Q ∈ W0 . De hecho, f −1 (Q)
es puro de dimensión dim V − dim W .
Demostración. Por el lema anterior podemos suponer que V y W son afines. Para la
parte (1), por 1.33 el morfismo f ∗ : K(W ) K(V ) es inyectivo y ası́ dim W =
grtrK K(W ) ≤ grtrK K(V ) = dim V .
(2): Por 3.14, para {Q} ⊆ W que satisface que codim{Q} = dim W = n, existen
f1 , . . . , fn ∈ K[W ] tales que {Q} es una componente irreducible de V(f1 , . . . , fn )
y esta última es pura de dimensión igual a dim{Q} = 0, i.e., V(f1 , . . . , fn ) consiste
de un número finito de puntos y Q es uno de estos puntos. Por el lema, podemos
reemplazar a W con un abierto afı́n que contenga a Q y a ninguno de los otros
puntos de V(f1 , . . . , fn ), i.e., podemos asumir que V(f1 , . . . , fn ) = {Q}. Ahora,
para f ∗ : K[W ] K[V ] pongamos gi = f ∗ (fi ) = fi ◦ f . Entonces,
f −1 (Q) = V(g1 , . . . , gn )
ya que
P ∈ f −1 (Q) ⇔ f (P ) = Q ⇔ fi (Q) = 0 ⇔ fi ◦ f (P ) = 0
para todo i
∗
⇔ f (fi )(P ) = 0 para todo i
⇔ gi (P ) = 0 para todo i
⇔ P ∈ V(g1 , . . . , gn ).
Pero, por 3.13, toda componente irreducible Z de f −1 (Q) = V(g1 , . . . , gn ) ⊆ V
satisface que codim Z ≤ n. Se sigue que dim Z ≥ dim V − n = dim V − dim W .
(3): Probaremos (i) y (ii) independientemente, i.e., los W0 pueden ser diferentes,
pero como son abiertos no vacı́os en W que es irreducible, entonces su intersección
es no vacı́a y tomamos W0 igual a esa intersección. Pongamos m = dim V , n =
dim W y sea r = m − n ≥ 0 (por la parte (1)). Entonces,
grtrK K[V ] = m
grtrK K[W ] = n
grtrK(W ) K[V ] = m − n = r.
Si K[V ] = K[v1 , . . . , vM ], renumerando si hiciera falta, supongamos que v1 , . . .,
vr son algebraicamente independientes sobre K(W ), de tal manera que K(V ) =
K(W )(v1 , . . . , vr ) y que vr+1 , . . . , vM son algebraicos sobre K(W ). Escribamos
K[W ] = K[w1 , . . . , wN ] y C = K[W ][v1 , . . . , vr ]. Note que C es una álgebra polinomial porque v1 , . . . , vr son trascendentes algebraicamente independientes sobre
3.5. DIMENSIÓN Y MORFISMOS
109
K(W ). Se sigue que
C = K[W ][v1 , . . . , vr ] ' K[W ] ⊗K K[v1 , . . . , vr ] ' K[W ] ⊗K K[ArK ]
' K[W × ArK ] = K[Z]
donde Z = W × ArK , y la inclusión K[W ] C ' K[Z] corresponde a la proyección
π : Z = W × ArK → W
y la otra inclusión K[Z] = K[W × ArK ] ' C K[V ] corresponde a la aplicación
dominante f 0 : V → Z = W × ArK que hace conmutar el diagrama siguiente
f0
r
V LL / Z = W × AK
LLL
LLL
π
LLL
f
L& W
Entonces, para probar (i) basta probar que f 0 (V ) contiene un abierto no vacı́o Z 0
en Z = W × ArK , ya que entonces f (V ) contendrá a π(Z 0 ) que es abierto no vacı́o
en W (por el ejercicio 37 de §2.3 las proyecciones V × W → V y V × W → W
son funciones abiertas).
Ahora, como vr+1 , . . . , vM son algebraicos sobre K(W ), entonces satisfacen
ecuaciones polinomiales de la forma
(†)
gni ,i vini + · · · + g1,i vi + g0,i = 0
para i = r + 1, . . . , M
con los gi,j ∈ K(W ), y limpiando denominadores podemos suponer que gi,j ∈
K[W ] ⊆ K[W ][v1 , . . . , vr ] = C y que gni ,i 6= 0.
Q
0
Pongamos g = M
i=r+1 gni ,i . Entonces, g ∈ C y g 6= 0. Sea Z = DZ (g) =
S
∗
0
−1
0
0
−1
0
D(gni ,i ). Entonces, (f ) (Z ) = (f ) (DZ (g)) = DV (f (g)) y se tiene que
K[Z 0 ] = K[DZ (g)] ' K[Z]g ' Cg
∗
K[DV (f 0 (g))] ' K[V ]f 0 ∗ (g)
generada, como Cf -álgebra por vr+1 , . . . , vM
y como g es invertible en Cg , entonces los gni ,i en (†) también lo son y ası́ podemos
dividir entre el coeficiente de grado en (†) para obtener polinomios mónicos y por
lo tanto los vi son enteros sobre Cg y consecuentemente K[V ]f 0 ∗ (g) es entera sobre
Cg , es decir, K[DV (f 0 ∗ (g))] es entera sobre K[DZ (g)] y por el ejercicio 16 de §3.3
se sigue que
∗
f 0 : DV (f 0 (g)) → DZ (g)
es una aplicación finita y ası́ es suprayectiva (por la segunda parte del ejercicio 16
de §3.3) y por lo tanto
∗
Z 0 = DZ (g) = f 0 DV (f 0 (g)) ⊆ f 0 (V )
como se querı́a.
110
3. DIMENSIÓN
Resta probar (ii). Para ésto, consideremos subconjuntos con r + 1 elementos
vi1 , . . . , vir+1 de v1 , . . . , vM . Entonces, estos r + 1 elementos son algebraicamente
dependientes sobre K(W ) y por lo tanto satisfacen una ecuación no trivial
(∗)
Fi (vi1 , . . . , vir+1 ) = 0
con i = (i1 , . . . , ir+1 ) y los coeficientes ai de Fi en K[W ] (después de limpiar
denominadores,
si hiciera falta). Escojamos ahora un coeficiente ai 6= 0 en (∗) y
Q
sea a = ai , donde el producto se toma sobre todos los subconjuntos con r + 1
elementos de {1, . . . , n}. Pongamos entonces W0 = DW (a) ⊆ W y note que
W0 6= ∅. Mostraremos que este W0 satisface (ii). En efecto, para Q ∈ DW (a) sea
mQ ⊆ K[W ] el ideal máximo correspondiente y escribamos mQ = hf1 , . . . , ft i.
Poniendo gi = f ∗ fi , como en la demostración de la parte (2) se tiene que
f −1 (Q) = V(g1 , . . . , gt ) = V(mQ K[V ]).
Ahora, si Z es una componente irreducible de f −1 (Q), entonces Z corresponde
a un ideal primo q ⊆ K[V ] que contiene a mQ K[V ] y es mı́nimo con esta condición.
Se sigue que
K[Z] = K[V ]/q
y por la parte (2) basta probar que dim Z = dim K[V ]/q ≤ r. Para ésto, note que
mQ ⊆ mQ K[V ] ⊆ q y ası́ mQ ⊆ q∩K[W ], donde q∩K[W ] es primo y por lo tanto
6= K[W ], y como mQ es máximo se debe tener la igualdad mQ = q ∩ K[W ]. Se
sigue que K[V ]/q está generada como K = K[W ]/mQ -álgebra por las imágenes
v i de los vi , es decir,
K[Z] = K[v 1 , . . . , v M ]
y por lo tanto K(Z) = K(v 1 , . . . , v M ). Si sucediera que grtrK K[Z] > r, entonces
existirı́an r + 1 elementos v i1 , . . . , v ir+1 algebraicamente independientes sobre K,
pero como estos satisfacen la ecuación (∗)
X
er+1
(∗∗)
Fi (vi1 , . . . , vir+1 ) =
ai,e vie11 · · · vir+1
con los ai,e ∈ K[W ], la misma ecuación, con coeficientes ai,e ∈ K[W ]/mQ = K
se satisface al pasar al cociente K[V ]/q, lo cual muestra que los vi1 , . . . , v ir+1 son
algebraicamente dependientes sobre K, y como q ∩ K[W ] = mQ es el ideal máximo correspondiente a Q, entonces ai,e = ai,e (Q). Pero como Q ∈ DW (a), uno
de los ai,e = ai,e (Q) no se anula y consecuentemente la ecuación (∗∗) en los
v i1 , . . . , v ir+1 , tiene un coeficiente no cero y por lo tanto v i1 , . . . , v ir+1 son algebraicamente dependientes sobre K, una contradicción.
Una consecuencia importante del teorema anterior es un criterio para la irreducibilidad de variedades:
3.5. DIMENSIÓN Y MORFISMOS
111
C OROLARIO 3.33. Si f : V → W es una aplicación regular suprayectiva entre
conjuntos proyectivos y si W es irreducible y además todas las fibras f −1 (Q) son
irreducibles y de la misma dimensión, entonces V es irreducible.
Demostración. Suponga que V = V1 ∪ · · · ∪ Vk es la descomposición de V en
sus componentes irreducibles. Como f es una aplicación regular entre conjuntos
proyectivos, es una función cerrada y por lo tanto las imágenes fS(Vi ) son cerradas
e irreducibles en W , y como f es suprayectiva, entonces W = f (Vi ); más aún,
como W es irreducible, entonces f (Vi ) = W para algún i. Renumerando si hiciera
falta podemos suponer que f (Vi ) = W para
W para
S 1 ≤ i ≤ s y que f (Vi )
i > s. Observe ahora que para Q ∈ W − i>s f (Vi ) se tiene que
[
[ (∗)
f −1 (Q) =
Vi ∩ f −1 (Q) =
Vi ∩ f −1 (Q)
i≤s
f −1 (Q)
i≤s
f −1 (Q)
S
y ası́
⊆ i≤s Vi , y como
es irreducible por hipótesis, se sigue que
−1
existe un i ≤ s tal que f (Q) ⊆ Vi .
Ahora, como el número s de Vi tales que f (Vi ) = W es finito, podemos encontrar un abierto U ⊆ W tal que f −1 (Q) ⊆ Vi para todo Q ∈ U .
Sea fi : Vi → W la restricción de f a Vi . Como Vi y W son irreducibles
podemos aplicar el teorema sobre la dimensión de las fibras y concluir que las fibras
de fi son de dimensión ≥ dim Vi − dim W .
S
De la igualdad (∗) se sigue que para todo Q ∈ U ⊆ W − i>s f (Vi )
[
[ −1
f −1 (Q) =
Vi ∩ f −1 (Q) =
fi (Q)
i≤s
i≤s
y como f −1 (Q) es irreducible, entonces existe un i0 ≤ s tal que dim fi−1
(Q) =
0
dim f −1 (Q) para todo Q ∈ U ySpor lo tanto para todo Q ∈ W .
Ahora, como f −1 (Q) = i fi−1 (Q) para todo Q ∈ W y como fi−1 (Q) es
irreducible, entonces existe un i0 tal que dim fi−1
(Q) = dim f −1 (Q) para todo
0
Q ∈ W . Entonces, por 3.2 la inclusión fi−1
(Q) ⊆ f −1 (Q) debe ser una igualdad
0
fi−1
(Q) = f −1 (Q) para todo Q ∈ W . Finalmente, como
0
[
[
V =
f −1 (Q) =
fi−1
(Q) = Vi0
0
Q∈W
Q∈W
se sigue que V = Vi0 y por lo tanto V es irreducible.
Ejemplo 20. El corolario anterior es falso si las variedades involucradas no son proyectivas. Por ejemplo, si V = {0} ∪ V(xy − 1) ⊆ A2K (la unión del origen de
A2K con la hipérbola afı́n xy = 1) y si f : V → A1 la proyección sobre el eje X.
Entonces, f es suprayectiva, A1K es irreducible y las fibras de f son irreducibles y
de la misma dimensión 0 (son puntos), pero V no es irreducible.
112
3. DIMENSIÓN
O BSERVACI ÓN . En la demostración del corolario anterior lo que se usó del hecho
de que las variedades involucradas fueran proyectivas es
Ejercicios
E JERCICIO 31. Sea f : V → W regular.
(i) Si todas las fibras de f tienen dimensión ≤ r, demuestre que dim V ≤
r + dim W .
(ii) Si f es dominante y todas sus fibras no vacı́as tienen dimensión r, demuestre que dim V = r + dim W .
(iii) Si V, W son variedades algebraicas, concluya que dim V ×W = dim V +
dim W .
E JERCICIO 32. Sea f : V → W una aplicación regular cerrada. Para cada entero
i ≥ 0 pongamos
Wi = {Q ∈ W : dim f −1 (Q) ≥ i}.
(i) Demuestre que los Wi son cerrados en W . Sugerencia: Inducción sobre
i ≥ 0.
(ii) Para cada i ≥ 0, defina Wi0 := Wi −Wi+1 . Es claro que Wi+1 ⊆ Wi , para
cada i. En cada Wi0 la dimensión de las fibras de f es constante e igual a
i. La unión disjunta de los Wi0 es W . Muestre que los Wi0 son localmente
cerrados y por lo tanto son conjuntos algebraicos.
E JERCICIO 33. Si f : V → W es una aplicación regular suprayectiva entre conjuntos proyectivos y si W y todas las fibras f −1 (Q) son irreducibles y de la misma
dimensión n, demuestre que dim V = n + dim W .
E JERCICIO 34. Demuestre que si V y W son variedades proyectivas (irreducibles),
entonces V × W es irreducible.
Capı́tulo
4
Propiedades locales
Como motivación, consideremos una hipersuperficie V = V(f ) ⊆ AnR , con
f ∈ R[x1 , . . . , xn ] irreducible. Dado un punto P = (a1 , . . . , an ) ∈ V , la pregunta
que queremos responder es ¿qué es el espacio tangente a la variedad V en el punto
P ? Para responder a esta pregunta, recurrimos a la geometrı́a diferencial recordando
que la expansión de Taylor de la función f alrededor del punto P , digamos en puntos
de la forma P + (h1 , . . . , hn ) = (a1 + h1 , . . . , an + hn ), para hi ∈ R pequeños,
está dada por
n
X
1X
∂f
∂2f
(P ) +
(P ) + · · ·
f (x1 , . . . , xn ) =
hi
hi hj
∂xi
2
∂xi ∂xj
i=1
i,j
ya que f (P ) = 0 porque P ∈ V = V(f ). Ahora, la intuición es que en una vecindad
de P , las diferencias xi − ai = hi son pequeñas y por lo tanto en una vecindad de P
la función f , y por lo tanto la hipersuperficie V que define, están aproximadas por
el hiperplano tangente
n
X
∂f
(P ) = 0,
(xi − ai )
∂xi
i=1
que se obtiene al substituir el punto (a1 + h1 , . . . , an + hn ) ∈ V en el polinomio f
que define V y luego desdeñar los términos de grado ≥ 2 en la expansión de Taylor.
∂f
Note que cada sumando (xi − ai ) ∂x
(P ), que define el hiperplano tangente, es un
i
∂f
polinomio lineal en n variables porque ∂x
(P ) ∈ R es una constante, y por lo tanto
i
el hiperplano tangente es, en efecto, un hiperplano, i.e., una variedad lineal.
La discusión anterior se puede llevar al caso general cuando f ∈ K[x1 , . . . , xn ]
y K es un campo arbitrario, hasta un cierto punto: la noción de derivada (parcial)
∂f
∂f k
k−1
y que
∂xi (P ) se hace puramente formal, es decir, pidiendo que ∂xi xi = kxi
∂f
∂xi (a)
= 0 para las constantes a ∈ K, y que se cumplan las propiedades formales
de linealidad y la regla del producto. El problema es la noción de pequeñez para
que en la expansión de Taylor formal se puedan desdeñar los términos pequeños
(potencias mayores o iguales que 2) y quedarse únicamente con los términos lineales. El dispositivo o truco técnico necesario es reemplazar la idea de aproximación
a primer orden cuando se considera la expansión de Taylor en puntos de la forma
113
114
4. PROPIEDADES LOCALES
(a1 + h1 , . . . , an + hn ), con deformaciones de primer orden susbtituyendo el punto dado P = (a1 , . . . , an ) por puntos de la forma (a1 + h1 ε, . . . , an + hn ε) con
ai , hi ∈ K, pero donde ε es un sı́mbolo infinitesimalmente pequeño de primer orden, lo que querrá decir que ε 6= 0 pero ε2 = 0. En otras palabras, al campo K se
le adjunta un término ε con estas propiedades y se considera el anillo de números
duales:
K[ε] := K[ε]/(ε2 ) = {a + bε : a, b ∈ K, ε2 = 0}.
La idea es que dada una variedad V definida sobre K, se buscan las extensiones
de V sobre el anillo de números duales K[ε], y a estas extensiones se les llama
deformaciones de primer orden de V . En otras palabras, para obtener el espacio
tangente a una variedad algebraica V , definida digamos como V = V(f1 , . . . , fr ),
necesitaremos resolver las ecuaciones fi = 0 que la definen no sólo sobre el campo
K si no en el anillo de números duales K[ε].
Note que para hipersuperficies V = V(f ), con f ∈ K[x1 , . . . , xn ], y para un
punto P = (a1 , . . . , an ) ∈ V , i.e., con f (P ) = 0 al considerar la expansión de
Taylor
n
X
1X
∂2f
∂f
(P ) +
(P ) + · · ·
f (x1 , . . . , xn ) =
hi hj ε2
bi ε
∂xi
2
∂xi ∂xj
i,j
i=1
en puntos de la forma (a1 + b1 ε, . . . , an + bn ε) donde las coordenadas ai + bi ε ∈
K[ε], los términos donde aparece εt con t ≥ 2 se anulan y sólo quedan los términos
n
X
i=1
n
(xi − ai )
X
∂f
∂f
(P ) =
(P ) = 0
bi ε
∂xi
∂xi
i=1
lo cual recupera el hiperplano tangente que se obtuvo, en el caso real, usando geometrı́a diferencial.
Ejemplo 1. Calcularemos el espacio tangente a la variedad afı́n V = SL(n, K) de
matrices n × n con determinante 1, en el punto P = idn ∈ SL(n, K) dado por la
matriz identidad. Para comenzar, una deformación de P es una matriz de la forma
P + εB, con B = (bij ), y observamos que P + εB ∈ SL(n, K) si y sólo si
det(P + εB) = 1, donde


1 + b11 ε
b12 ε
···
b1n ε
 b21 ε
1 + b22 ε
···
b2n ε 


det(P + εB) = det 

..


.
bn1 ε
···
bn−1,n ε 1 + bnn ε
= (1 + b11 ε)(1 + b22 ε) · · · (1 + bnn ε)
= 1 + (b11 + b22 + · · · + bnn )ε + (algo)ε2 + · · ·
= 1 + (b11 + b22 + · · · + bnn )ε
4.1. ESPACIOS TANGENTE, PUNTOS LISOS Y PUNTOS SINGULARES
115
y el lado derecho 1 + (b11 + b22 + · · · + bnn )ε = 1 si y sólo si Tr B = b11 + b22 +
· · · + bnn = 0. Se sigue que el espacio tangente a la variedad SL(n, K), en la matriz
identidad, está dado por las matrices de traza cero.
4.1.
Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares
Comenzaremos con el caso de variedades afines V ⊆ AnK . Generalizando la
discusión anterior del caso de hipersuperficies, si I = I(V ) y P = (a1 , . . . , an ) ∈
V se define el espacio tangente a V en el punto P como el subespacio vectorial
TP V de K n dado por los ceros de las ecuaciones lineales
(∗)
n
X
∂f
(P )(xi − ai ) = 0
∂xi
para f ∈ I.
i=1
Ejemplo 2. Si V = AnK , sabemos que I = I(AnK ) = 0 y por lo tanto para todo punto
P ∈ AnK se tiene que
TP (AnK ) = K n
identificando el origen con P .
Por el ejemplo anterior se sigue que si V ⊆ AnK es una variedad afı́n y P ∈ V ,
entonces TP V es un subespacio vectorial del espacio tangente TP AnK , ambos con
origen en el punto P . En particular dimK TP V ≤ dimK TP AnK = n.
Diferenciales. Para el espacio vectorial K n denotemos con xi : K n → K a la
función i-ésima coordenada, i.e., xi (a1 , . . . , an ) = ai . Es claro entonces que si
ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) ∈ K n , 1 ≤ i ≤ n, es la base canónica de K n , entonces los
xi = e ∨
i son la base dual del espacio vectorial dual
(K n )∨ = HomK (K n , K).
Note ahora que para cada polinomio lineal xi − ai en (∗), para el punto P =
(a1 , . . . , an ), viendo este polinomio como un elemento de (K n )∨ usaremos la notación
dxi |P = xi − ai ∈ (K n )∨ .
Por la discusión anterior, es claro que los dxi |P forman una base del espacio vectorial dual TP (AnK )∨ , donde recordamos que TP (AnK ) tiene origen en el punto P .
Ahora, para un polinomio f ∈ K[x1 , . . . , xn ] y para el punto P ∈ AnK se define la
diferencial de f en P como
df |P =
n
X
∂f
(P ) · dxi |P
∂xi
i=1
116
4. PROPIEDADES LOCALES
visto como un elemento de (TP AnK )∨ . Podemos entonces reinterpretar la definición
del espacio tangente TP V en términos de diferenciales como el subespacio vectorial
de TP AnK definido por las ecuaciones
df |P = 0
para todo f ∈ I = I(V ).
Comenzamos probando que en la definición del espacio tangente a V en P basta
considerar un conjunto de generadores del ideal I de V .
L EMA 4.1. Si V ⊆ AnK es algebraico afı́n con I = I(V ) ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y si
I = hf1 , . . . , fr i y P ∈ V , entonces
TP V = V(df1 |P , . . . , dfr |P ).
Demostración. En efecto, si g ∈ I es cualquier elemento, escribiendo g = h1 f1 +
· · · + hr fr con los hi ∈ K[x1 , . . . , xn ], por la regla del producto para la derivación
se tiene que
X
X
dg|P =
hj (P ) · dfj |P + fj (P ) · dhj |P =
hj (P ) · dfj |P
j
j
ya que como P ∈ V entonces fj (P ) = 0 para todo j. Se sigue que las diferenciales
df1 |P , . . ., dfr |P generan el espacio vectorial TP V .
La Jacobiana. Si V = V(I) ⊆ AnK es una variedad afı́n, con I = hf1 , . . . , fk i ⊆
K[x1 , . . . , xn ], la matriz k × n
 ∂f1
∂f1 
∂x1 · · ·
∂xn
∂f 
i
.. 
=  ...
J = Jac(f1 , . . . , fk ) =
. 
∂xj
∂fk
∂fk
∂x1 · · ·
∂xn
se llama la Jacobiana de I = hf1 , . . . , fk i. Observe que el sistema de ecuaciones
lineales que definen a TP V :
∂f1
∂f1
(P )(x1 − a1 ) + · · · +
(P )(xn − an ) = 0
∂x1
∂xn
..
.
∂fk
∂fk
(P )(x1 − a1 ) + · · · +
(P )(xn − an ) = 0
∂x1
∂xn
tiene como matriz asociada a la Jacobiana evaluada en P , i.e., a J(P ). Por álgebra
lineal se tiene que
dimK TP V = n − rango J(P ).
4.1. ESPACIOS TANGENTE, PUNTOS LISOS Y PUNTOS SINGULARES
117
Usando la observación anterior, la proposición siguiente tiene como consecuencia que la dimensión del espacio tangente TP V de una variedad afı́n V sólo depende
de una vecindad abierta V0 ⊆ V de P .
P ROPOSICI ÓN 4.2. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, la función V → N ∪ {0}
definida por P 7→ dimK TP V es semicontinua superiormente, es decir, para cada
entero r el subconjunto
S(r) = {P ∈ V : dimK TP V ≥ r} ⊆ V
es cerrado.
Demostración. Supongamos que I(V ) = hf1 , . . . , fk i. Por el lema anterior
TP V =
k
\
V dfi |P ⊆ AnK .
i=1
∂fi
(P ) , de tamaño k × n,
Consideremos ahora la matriz Jacobiana J(P ) = ∂x
j
y observe que cada una de sus entradas es una función polinomial en P y por lo
tanto cada uno de sus menores es un determinante de polinomios y ası́ también es
un polinomio. Observe ahora que
P ∈ S(r) ⇔ dimK TP V = n − rango J(P ) ≥ r
⇔ la matriz J(P ) tiene rango ≤ n − r
⇔ cada menor (n − r + 1) × (n − r + 1) de J(P ) se anula
⇔ P ∈ V menores (n − r + 1) × (n − r + 1) de J(f1 , . . . , fk ) ,
y por lo tanto S(r) = V menores (n − r + 1) × (n − r + 1) de J es cerrado.
C OROLARIO 4.3. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, existe un entero d y un abierto
denso V0 ⊆ V tales que
(
d
para P ∈ V0 ,
dimK TP V =
≥ d para todo P ∈ V .
Demostración. Sea d = mı́n{dimK TP V : P ∈ V }. Entonces, claramente
(
V
si r = d,
S(r) =
V si r = d + 1,
de donde se sigue que
V0 := V − S(d + 1) = S(d) − S(d + 1) = {P ∈ V : dimK TP V = d}
es abierto no vacı́o.
118
4. PROPIEDADES LOCALES
Puntos lisos y puntos singulares de hipersuperficies. Si V = V(f ) ⊆ AnK es una
hipersuperficie irreducible, i.e., f ∈ K[x1 , . . . , xn ] es un polinomio irreducible, y
P = (a1 , . . . , an ) ∈ V , el espacio tangente a V está descrito por una única ecuación
lineal:
X ∂f
(P )(xi − ai ) .
TP V = V
∂xi
i
Este espacio vectorial se puede determinar fácilmente y se tienen dos casos, depen∂f
diendo del tipo de punto P : si para toda i las parciales ∂x
(P ) = 0, diremos que P
i
∂f
(P ) 6= 0, diremos
es un punto singular de la hipersuperficie V . Si alguna parcial ∂x
i
que P es un punto liso o punto no singular de la hipersuperficie V . Que los puntos
singulares son ((singulares)), i.e., pocos, es el contenido del teorema siguiente:
T EOREMA 4.4. Si V = V(f ) ⊆ AnK es una hipersuperficie irreducible, entonces el
conjunto de puntos lisos Vlisos de V es abierto denso en V .
Demostración. El complemento de Vlisos es el conjunto Vsing de puntos singulares
de V , y se tiene que
n
o
∂f
∂f
∂f Vsing = P ∈ V :
(P ) = 0 para todo i = V f,
,...,
⊆ AnK
∂xi
∂x1
∂xn
y por lo tanto Vsing es un cerrado en la topologı́a de Zariski y ası́ Vlisos es abierto. Como V es irreducible, para probar que Vlisos es denso, basta probar que no es
vacı́o. Supongamos lo contrario, i.e., que Vlisos = ∅. Entonces, Vsing = V = V(f )
y por lo tanto cada uno de los polinomios ∂f /∂xi ∈ I(V ) = hf i (por el teorema de los ceros) y ası́ f divide a cada ∂f /∂xi ; pero como el grado en xi de
∂f /∂xi es estrictamente menor que el grado en xi de f , lo anterior implica que
∂f /∂xi = 0 (el polinomio cero) para cada i. Si car K = 0, lo anterior dice que
xi no aparece en f , para todo i, y consecuentemente f es una constante en K, lo
cual es una contradicción con el hecho de que f es irreducible. Si car K = p > 0,
∂f /∂xi = 0 sólo es posible si f es inseparable en xi , i.e., xi aparece en f como
xpi , y ésto para todo i; se sigue que f = F (xp1 , . . . , xpn ) con F ∈ K[x1 , . . . , xn ].
P
Si ahora escribimos F =
ai1 ,...,in xi11 · · · xnin como ai1 ,...,in ∈ K y K es algebraicamente cerrado, entonces cada uno de estos coeficientes tiene una raı́z pésima bi1 ,...,in ∈ K, i.e., bpi1 ,...,in = ai1 ,...,in . Definimos entonces el polinomio
P
g =
bi1 ,...,in xi11 · · · xinn ∈ K[x1 , . . . , xn ] y claramente se tiene que f = g p ,
por el argumento usual en caracterı́stica p, lo cual contradice el hecho de que f es
irreducible.
Espacios tangente en puntos singulares y en puntos lisos de hipersuperficies. Si
V = V(f ) ⊆ AnK es una hipersuperficie irreducible y P = (a1 , . . . , an ) ∈ V es un
4.1. ESPACIOS TANGENTE, PUNTOS LISOS Y PUNTOS SINGULARES
119
∂f
punto singular, entonces todas las derivadas parciales ∂x
(P ) = 0 y por lo tanto
i
X ∂f
TP V = V
(P )(xi − ai ) = V(0) = K n .
∂xi
i
Por otra parte, si P = (a1 , . . . , an ) ∈ V es un punto liso, entonces alguna
6= 0 y ası́ la ecuación lineal
∂f
∂xi (P )
∂f
∂f
(P )(x1 − a1 ) + · · · +
(P )(xn − an ) = 0
∂x1
∂xn
tiene algún coeficiente no nulo y ası́ el rango de la matriz correspondiente es r = 1
por lo que su espacio de soluciones TP V tiene dimensión n − 1, es decir,
dimK TP V = n − 1.
Ahora, en el ejemplo 4 de §3.1, vimos que la dimensión (como variedad algebraica) de una hipersuperficie V = V(f ) ⊆ AnK es
dim V = n − 1 = grtrK K(V )
y por lo tanto, si P ∈ Vlisos se tiene que
dimK TP V = grtrK K(V ) = dim V = dim K[V ].
Es decir, para puntos lisos de hipersuperficies afines irreducibles, todas las nociones
de dimensión coinciden.
Puntos lisos y puntos singulares de variedades algebraicas. Comenzamos generalizando el caso de hipersuperficies afines al de una variedad afı́n arbitraria. Recordemos que por 4.3, si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, existe un abierto denso V0 ⊆ V
y un entero d tales que
(
d
si P ∈ V0 ,
dimK TP V =
≥ d para todo P ∈ V .
Un punto P ∈ V se dice que es un punto liso o no singular si dimK TP V = d. El
punto P ∈ V se dice que es singular si dimK TP V > d. Diremos que la variedad
afı́n V es lisa o no singular si todos sus puntos son lisos. Un punto singular P ∈
V en ocasiones se dice que es una singularidad de V . Nuestro objetivo ahora es
generalizar, a cualquier variedad afı́n, el resultado de la subsección anterior donde
vimos que para una hipersuperficie irreducible V = V(f ) ⊆ AnK se tiene que para
todo P ∈ Vlisos
dimK TP V = dim V.
Para poder hacer lo anterior, necesitaremos reducir al caso de hipersuperficies usando que toda variedad es biracional a una hipersuperficie (3.25), y para ésto necesitaremos algebrizar más la noción de espacio tangente. Esto es el objetivo de la sección
siguiente.
120
4. PROPIEDADES LOCALES
Ejercicios
E JERCICIO 1. Considere una curva C = V(f (x, y)) con f (x, y) ∈ K[x, y] un
polinomio sin factores múltiples.
(i) Demuestre que, con la condición anterior, el ideal hf (x, y)i es radical y
por lo tanto I(C) = hf (x, y)i.
(ii) Concluya que C es pura de dimensión 1.
(iii) Si f (x, y) es irreducible, de tal forma que C también lo es, en el anillo
de coordenadas K[C] = K[x, y]h/f (x, y)i = K[x, y], que es un dominio
entero, muestre que si f (x, y) 6= x − c, con c ∈ K, entonces x es trascendente sobre K y y es algebraico sobre K(x) y por lo tanto x es una base
trascendente de K(C) sobre K. Similarmente, si f (x, y) 6= y − c, y es una
base trascendente de K(C) sobre K.
(iv) Sin usar el resultado correspondiente del texto, demuestre que el conjunto
de puntos lisos de C es abierto denso en C. Los cálculos son más sencillos,
pero la idea es repasar lo que se vio en general para el caso de curvas.
En los ejercicios 2 al 6 suponga que la caracterı́stica del campo K es 6= 2, 3.
E JERCICIO 2. Muestre que la curva E = V(y 2 − x3 ) es lisa en los puntos P =
(a, b) 6= (0, 0) y que es singular en (0, 0).
E JERCICIO 3. Muestre que la curva E = V(y 2 − x3 − x2 (x + 1)) es lisa en los
puntos P 6= (0, 0) y es singular en (0, 0).
E JERCICIO 4. Muestre que la curva E = V(y 2 − x3 + x) es lisa.
E JERCICIO 5. Muestre que la curva E = V(y 2 − x3 − 21 x) es lisa.
E JERCICIO 6. Los ejercicios anteriores son casos particulares del ejemplo general
siguiente. Considere la la curva E = V(y 2 − x3 − ax − b). Demuestre que E tiene
una singularidad si y sólo si los polinomios
y 2 − x3 − ax − b,
2y,
3x2 − a
tienen un factor común (note que los últimos dos polinomios son las derivadas parciales del primero). Equivalentemente, E tiene una singularidad si y sólo si los
polinomios y 2 − x3 − ax − b y 3x2 − a tienen un factor común.
Concluya que E tiene una singularidad si y sólo si el polinomio x3 + ax + b
tiene una raı́z múltiple.
E JERCICIO 7. Muestre que la curva de Fermat F = V(xm + y m − 1) es lisa en
todos los puntos a menos que la caracterı́stica de K divida a m. Cuando car K|m,
muestre que el polinomio que define F tiene factores múltiples. ¿Qué pasa con sus
puntos entonces?
4.2. EL ESPACIO TANGENTE DE ZARISKI
4.2.
121
El espacio tangente de Zariski
La definición que hemos dado del espacio tangente TP V usa la inclusión V ⊆
AnK . A continuación mostraremos una forma equivalente de dar esta definición que
depende únicamente de una vecindad (pequeña) del punto P en V , reformulando la definición de espacio tangente para que sólo dependa del álgebra K[V ]; de
hecho, mejor aún, para que sólo dependa del anillo local OV,P . Para comenzar, si
P = (a1 , . . . , an ) ∈ V ⊆ AnK , sea MP = hx1 − a1 , . . . , xn − an i ⊆ K[x1 , . . . , xn ]
el ideal máximo correspondiente al punto P (ejemplo 9 y 1.13 en §1.1). Sea mP ⊆
K[V ] el ideal máximo de funciones regulares en P y que se anulan en P . Como
{P } ⊆ V , entonces I = I(V ) ⊆ MP y en la correspondencia entre ideales primos
de K[V ] e ideales primos de K[x1 , . . . , xn ] que contienen a I, el ideal MP corresponde a mP , es decir, mP = MP /I ⊆ K[V ]. Más aún, por el ejercicio 1, mP es el
ideal máximo del anillo local K[x1 , . . . , xn ]MP , i.e., mP es el ideal generado por la
imagen de MP en K[x1 , . . . , xn ]MP . El resultado siguiente identifica el anillo local
(K[V ]mP ) con el anillo local OV,P :
L EMA 4.5. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible), P ∈ V , y mP ⊆ K[V ]
es el ideal máximo de funciones polinomiales que se anulan en P , entonces se tiene
un isomorfismo de anillos locales
OV,P ' K[V ]mP .
Demostración. Por definición OV,P es el subanillo del campo K(V ) formado por
las funciones racionales α = g/h con g, h ∈ K[V ] y h(P ) 6= 0. Se define entonces
OV,P → K[V ]mP
mediante α = g/h 7→ [g, h], observando que [g, h] ∈ K[V ]mP porque h 6∈ mP .
Claramente la función anterior es un isomorfismo.
El lema siguiente identifica ciertos cocientes de los anillos locales anteriores:
L EMA 4.6. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n (irreducible), P ∈ V y mP ⊆
K[V ]mP ' OV,P es el ideal máximo de este anillo local, entonces el morfismo
de localización
K[x1 , . . . , xn ] → K[x1 , . . . , xn ]MP
induce, para todo natural k, isomorfismos
(1)
'
K[x1 , . . . , xn ]/MkP −→ K[x1 , . . . , xn ]MP /mkP
que a su vez inducen isomorfismos
(2)
para todo t < k.
'
MtP /MkP −→ mtP /mkP
122
4. PROPIEDADES LOCALES
Demostración. Para abreviar la notación pondremos A = K[x1 , . . . , xn ] y m =
MP . Observe ahora que la segunda afirmación se sigue de la primera aplicando el
lema del quinto ya que se tiene el diagrama conmutativo siguiente, para todo k < n:
0
0
/ mk /mn
/ A/mn
/ (mA )k /(mA )n
m
m
/ A/mk
'
/ Am /(mAm )n
/0
'
/ A /(mA )k
m
m
/0
y por lo tanto basta probar la primera afirmación. Sea ϕ : A → Am el morfismo
canónico. Para mostrar que A/mn → Am /(mAm )n es inyectiva debemos mostrar
que ϕ−1 S −1 (mn ) = mn . Para ésto, si a ∈ ϕ−1 S −1 (mn ), entonces ϕ(a) = a/1 ∈
S −1 (mn ) y ası́ a/1 = b/s con b ∈ mn y s ∈ S. Se sigue que tsa ∈ mn para algún
t ∈ S y por lo tanto tsa = 0 en A/mn . Por otra parte, el único ideal máximo que
contiene a mn es m y por la correspondencia con los ideales del cociente A/mn se
sigue éste es un anillo local cuyo único ideal máximo es m/mn , y por lo tanto, como
ts 6∈ m/mn , debe ser una unidad en A/mn , y ası́ la igualdad tsa = 0 implica que
a = 0 en A/mn , i.e., a ∈ mn ⊆ m. Hemos ası́ mostrado que ϕ−1 S −1 (mn ) ⊆ m. La
otra inclusión es directa. Resta probar que A/mn → Am /(mAm )n es suprayectiva.
Para ésto, sea a/s ∈ Am , i.e., a ∈ A y s ∈ A − m. Como antes, el único ideal
máximo de A que contiene a mn es m y por lo tanto ningún ideal máximo contiene
a s y mn , i.e., hsi + mn = A. Se sigue que existen x ∈ A y b ∈ mn tales que
sx+b = 1. Como s es invertible en Am /(mAm )n , entonces a/s es el único elemento
de este anillo tal que s(a/s) = a. Como s(ax) = a(1 − b), la imagen de ax en Am
también tiene esta propiedad y por lo tanto debe ser igual a a/s.
Ahora, para el anillo noetheriano local K[x1 , . . . , xn ]MP , con ideal máximo
mP , en los isomorfismos de (1), para k = 1:
K ' K[x1 , . . . , xn ]/hx1 − a1 , . . . , xn − an i ' K[x1 , . . . , xn ]MP /mP
observe que el ideal mP se puede ver como un K[x1 , . . . , xn ]MP -módulo y por lo
tanto también lo es el cociente mP /m2P , y la acción K[x1 , . . . , xn ]MP × mP /m2P →
mP /m2P se factoriza a través del cociente K ' K[x1 , . . . , xn ]MP /mP , es decir,
K[x1 , . . . , xn ]MP × mP /m2P
5
/ mP /m2
P
K × mP /m2P
y ası́ mP /m2P tiene una estructura natural de K-espacio vectorial. Por el isomorfismo (2):
MP /M2P ' mP /m2P
4.2. EL ESPACIO TANGENTE DE ZARISKI
123
y por lo tanto también MP /M2P es un K-espacio vectorial.
El resultado principal es:
T EOREMA 4.7 (Zariski). Si V = V(I) ⊆ AnK , I ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y P ∈ V ,
entonces se tiene un isomorfismo natural de K-espacios vectoriales
TP V ' HomK (mP /m2P , K).
Al dual (mP /m2P )∨ = HomK (mP /m2P , K) se le llama el tangente de Zariski a V
en P .
Demostración. Consideremos primero el caso cuando V = Am
K y supongamos
además que P = 0 = (0, . . . , 0) ∈ V . Ası́, K[V ] = K[x1 , . . . , xn ] y MP = mP .
Ahora, para cada f ∈ K[x1 , . . . , xn ], sea df |P la diferencial de f en P , es decir,
X ∂f
X ∂f
df |P =
(P ) · (xi − ai ) =
(P ) · dxi
∂xi
∂xi
i
i
(ya que ai = 0 para toda i porque P = 0). Como las dxi son una base del espacio
dual (K n )∨ = TP AnK , entonces df |P ∈ (K n )∨ .
Ahora, como P = 0, MP = hxi , . . . , xn i, y se tiene la función
ϕ : MP → (K n )∨
dada mediante ϕ : f 7→ df |P . Claramente ϕ es K-lineal, y es suprayectiva porque
cada xi ∈ MP va a dar a dxi |P , que es un elemento de la base dual de (K n )∨ . Note
ahora que ker ϕ = M2P ya que
df |P = 0 ⇔ el primer término no cero de f tiene grado ≥ 2 ⇔ f ∈ M2P ,
(note que f no tiene término constante porque f ∈ MP ). Se sigue que
(K n )∨ ' MP /M2P ,
lo cual prueba el teorema en el caso cuando V = AnK , ya que T0 AnK = K n y como
MP = mP , se tiene el isomorfismo buscado.
En el caso general, la inclusión V = V(I) ⊆ AnK induce, como vimos previamente, la inclusión TP V ⊆ TP AnK ' K n , que al pasar a los espacios duales induce
la aplicación lineal suprayectiva
(K n )∨ (TP V )∨
que es la restricción res : α 7→ α|TP V . Entonces, al componer esta restricción con
la función suprayectiva ϕ : MP → (K n )∨ se obtiene la función lineal suprayectiva
ϕ
res
Φ : MP −→ (K n )∨ −→ (TP V )∨ .
Mostraremos ahora que
ker Φ = M2P + I.
124
4. PROPIEDADES LOCALES
En efecto,
f ∈ ker Φ ⇔ (df |P )T
PV
= 0 ⇔ df |P =
X
ai dgi |P
con gi ∈ I = I(V )
i
(ya que TP V ⊆ K n es el subespacio generado por los dgi |P , con gi ∈ I)
X
⇔d f−
ai gi = 0
P
i
⇔f−
X
ai gi = h ∈ M2P
con gi ∈ I
i
⇔f =h+
X
ai gi ∈ M2P + I.
i
Hemos ası́ mostrado que Φ induce un isomorfismo
MP /(M2P + I) ' (TP V )∨
y dejamos como un ejercicio el probar que
MP /(M2P + I) ' mP /m2P .
Naturaleza intrı́nseca del espacio tangente. Por el teorema 4.7 anterior, para V
una variedad afı́n y P ∈ V , hemos mostrado que
∨
TP V ' mP /m2P
y ası́ no depende del sistema de coordenadas del espacio afı́n ambiente AnK . Una
consecuencia inmediata es:
C OROLARIO 4.8. Si V es una variedad algebraica afı́n o casi-afı́n, P ∈ V y V0 ⊆
V es cualquier vecindad abierta de P , entonces se tiene un isomorfismo natural
'
TP V0 −→ TP V
y por lo tanto dimK TP V = dimK TP V0 . En otras palabras, TP V sólo depende de
una vecindad abierta de P .
Demostración. Podemos escoger un abierto distinguido V0 = D(f ) como vecindad
de P ya que éstos forman una base de la topologı́a de V . Entonces, V0 = D(f )
es isomorfo a una variedad afı́n, por el ejercicio 37 de §1.3, y claramente el ideal
máximo correspondiente al punto P ∈ D(f ) ⊆ V es el mismo MP y por lo tanto
la inclusión j : D(f ) ,→ V es tal que j ∗ : K[V ] → K[D(f )] satisface que
j ∗ (MP ) = MP y por lo tanto los tangentes de Zariski son iguales. Se sigue que el
monomorfismo TP D(f ) TP V , inducido por la inclusión j : D(f ) ,→ V , es un
isomorfismo.
4.2. EL ESPACIO TANGENTE DE ZARISKI
125
C OROLARIO 4.9. Si f : V 99K W es una equivalencia biracional de variedades
afines, entonces dimK TP V = dimK Tf (P ) W , para todo P ∈ dom f .
Demostración. Por (una variación afı́n de) 2.16 f : V 99K W es biracional si y sólo
si existen abiertos V0 ⊆ V y W0 ⊆ W tales que f : V0 → W0 es biregular y por lo
tanto se sigue que f ∗ : K[W0 ] ' K[V0 ] y por el corolario anterior:
dimK TP V = dimK TP V0 = dimK Tf (P ) W0 = dimK T(f (P ) W.
La dimensión del espacio tangente en puntos lisos. Retomamos a continuación lo
que dejamos sin terminar al final de la sección anterior.
C OROLARIO 4.10. Si V es cualquier variedad algebraica afı́n o casi-afı́n, entonces
para todo P ∈ Vlisos se tiene que
dim V = dimK TP V.
Demostración. En la sección anterior vimos que la igualdad se tiene para hipersuperficies, y en 3.25 vimos que toda variedad afı́n o casi-afı́n es biracional a una
hipersuperficie. El resultado se sigue entonces del corolario anterior.
Resumiendo, si V es una variedad (irreducible) de dimensión dim V = d, entonces:
P es liso ⇔ dimK TP V = dim V ⇔ dimK mP /m2P = dim V
⇔ mP está generado por d = dim V funciones (vea el ejercicio 9).
C OROLARIO 4.11. Si V = V(I) ⊆ AnK , con I = hf1 , . . . , fk i ⊆ K[x1 , . . . , xn ] y
P ∈ V , entonces P es liso si y sólo si el rango de la Jacobiana J(P ) es n − dim V .
Ejemplo 3. Si V
entonces para P
= V(f ) ⊆ AnK es una
= (a1 , . . . , an ) ∈ V ,
hipersuperficie, con f ∈ K[x1 , . . . , xn ],
∂f
∂f
(P ), . . . ,
(P )
∂x1
∂xn
es una matriz 1 × n que corresponde a la ecuación lineal
∂f
∂f
(P )(x1 − a1 ) + · · · +
(P )(xn − an ) = 0
∂x1
∂xn
y como vimos antes, P es liso si y sólo si Jac(f )(P ) no es el vector cero.
Jac(f )(P ) =
El caso proyectivo. La discusión anterior la hemos hecho para variedades afines
y casi-afines. Sin embargo, la podemos aplicar a variedades proyectivas o casiproyectivas, casi textualmente. Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva o casiproyectiva, un punto P ∈ V se dice que es liso si existe una vecindad abierta afı́n
V0 ⊆ V de P tal que P es punto liso de V0 . Por el corolario 4.8 lo anterior no
126
4. PROPIEDADES LOCALES
depende de la vecindad V0 de P . Similarmente se definen los puntos singulares de
V . Se tienen entonces los resultados análogos a 4.8, 4.9 y 4.10:
C OROLARIO 4.12. (1): Si V ⊆ PnK es una variedad proyectiva o casi-proyectiva,
P ∈ V y V0 ⊆ V es cualquier vecindad abierta de P , entonces
TP V ' TP V0 .
(2): Si f : V 99K W es una equivalencia biracional de variedades proyectivas,
entonces dimK TP V = dimK Tf (P ) W , para todo P ∈ dom f .
(3): Si V es cualquier variedad algebraica proyectiva o casi-proyectiva, entonces
para todo P ∈ Vlisos se tiene que
dim V = dimK TP V.
El espacio tangente como variedad proyectiva. Hemos visto que en el caso afı́n
TP V ⊆ AnK es una variedad afı́n lineal. Veremos a continuación que lo mismo es
cierto para el caso proyectivo, i.e., si V ⊆ PnK entonces TP V ⊆ PnK .
Comenzamos con el caso de una hipersuperficie V = V(f ) ⊆ PnK definida
por un polinomio homogéneo f ∈ K[x0 , . . . , xn ] de grado N , y un punto P =
[a0 , . . . , an ] ∈ V = V(f ). Entonces, el hiperplano tangente está dado por los ceros
de la ecuación lineal
X ∂f
(P ) · xi = 0
∂xi
i
porque f es homogéneo. Ahora, escribiendo PnK ' AnK ∪ V(x0 ), con AnK ' PnK −
V(x0 ) y luego poniendo V = (V ∩ AnK ) ∪ (V ∩ V(x0 )) =: V0 ∪ V∞ , si sucediera
que P ∈ V0 ⊆ AnK , entonces
T P V = cerradura de TP V0
donde V0 es afı́n. En efecto, por la fórmula de Euler
X ∂f
xi
= Nf
∂xi
i
si f ∈ K[x0 , . . . , xn ] es homogéneo de grado N . Gracias a la fórmula anterior, para
verificar si un punto P ∈ V es un punto singular de V ⊆ PnK , sólamente se tienen
que verificar n + 1 de las n + 2 condiciones
f (P ) = 0
∂f
(P ) = 0 0 ≤ i ≤ n.
∂xi
4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACIÓN REGULAR Y MORFISMOS ÉTALES
127
Ası́, por ejemplo, si el grado N de f no es divisible por car K, entonces por la
fórmula de Euler
∂f
(P ) = 0 para 0 ≤ i ≤ n ⇒ f (P ) = 0 ⇒ P ∈ V es un punto singular.
∂xi
Ejercicios
E JERCICIO 8. Demuestre que mP ⊆ K[V ] es el ideal máximo del anillo local
K[x1 , . . . , xn ]MP .
E JERCICIO 9. Use el lema de Nakayama para mostrar que a1 , . . . , an generan el
ideal máximo mP si y sólo si sus clases laterales ai + m2P generan mP /m2P como
K-espacio vectorial. Más aún, demuestre que el mı́nimo número de generadores del
ideal máximo mP es igual a la dimensión del K-espacio vectorial mP /m2P .
E JERCICIO 10. Si f : V → W es una aplicación regular entre variedades afines y
si P ∈ V , demuestre el morfismo de anillos f ∗ : Of (P ),W → OV,P manda el ideal
máximo de uno en el ideal máximo del otro. Se dice entonces que f ∗ es un morfismo
de anillos locales.
E JERCICIO 11. En la notación de la demostración del teorema 4.7, demuestre que
MP /(M2P + I) ' mP /m2P .
E JERCICIO 12. Si A es cualquier anillo conmutativo noetheriano y p ⊆ A es un
ideal primo, demuestre que Ap también es noetheriano.
E JERCICIO 13. Sea C = V(f (x, y)) una curva, con f (x, y) ∈ K[x, y] irreducible.
(i) Si P = (0, 0) ∈ C, calcule explı́citamente el espacio contangente de
Zariski mP /m2P . Especı́ficamente, muestre que todo elemento de mP /m2P
está representado por un polinomio lineal ax + by sujeto a la condición
única f` (x, y) = 0, donde f` es la parte lineal del polinomio f (x, y).
(ii) Muestre que (0, 0) es liso si y sólo si f` (x, y) 6= 0 y (0, 0) es singular si y
sólo si f` (x, y) = 0.
(iii) Si P = (a, b) ∈ C es cualquier punto, haga el mismo análisis, reduciendo
al caso anterior con un cambio de coordenadas.
4.3.
La diferencial de una aplicación regular y morfismos étales
n
Si f : Am
K → AK es una aplicación regular, que corresponde al morfismo
∗
n
de anillos f : K[AK ] = K[y1 , . . . , yn ] → K[x1 , . . . , xm ] = K[Am
K ], donde
128
4. PROPIEDADES LOCALES
para f = (f1 , . . . , fn ) pensamos a yj = fj (x1 , . . . , xm ), 1 ≤ j ≤ n, es decir,
f ∗ : yj 7→ fj (x1 , . . . , xm ).
n
Ahora, considere un punto P ∈ Am
K y su imagen Q = f (P ) ∈ AK . La diferencial de f en P es la función K-lineal
X ∂fi
(P ) · dxj |P
df |P : dyi |Q 7→ dyi |Q ◦ df |P =
∂xj
m y T An = K n , la difei.e., con respecto a las bases canónicas de TP Am
Q K
K = K
k
m
rencial df |P : TP AK → TP AK está dada por la matriz Jacobiana
 ∂f1

∂f1
∂x1 (P ) · · ·
∂xm (P )


df |P = Jac(f1 , . . . , fn )(P ) =  ...

∂fm
∂x1 (P )
···
∂fn
∂xm (P )
n
m
m y
Ejemplo 4. Si P = 0 ∈ Am
K y Q = f (0) = 0 ∈ AK , entonces T0 AK = K
n
n
T0 A = K y como f (0) = 0, entonces fi (0) = 0 y ası́, para f = (f1 , . . . , fn ):
fi =
m
X
cij xj + · · ·
j=1
i.e., no tiene término constante. Se sigue que
X
yi ◦ (df |P ) =
cij xj
j
n
y ası́ df |P : T0 Am
K → T0 AK tiene matriz (cij ).
Ejemplo 5. Si f ∈ K[x1 , . . . , xm ], pensando a f como una aplicación regular
1
m
f : Am
K → AK , su diferencial en un punto P ∈ AK es la función lineal df |P :
m
1
TP AK → Tf (P ) AK dada como sigue: identificando Tf (P ) A1K = K, entonces
df |P : TP Am
K → K se identifica con la diferencial de f como una función regular
como vimos al inicio de §4.1.
n
P ROPOSICI ÓN 4.13. Si V = V(I) ⊆ Am
K y W = V(J) ⊆ AK son variedades
m
n
afines, f : AK → AK es una aplicación regular tal que f (V ) ⊆ W y P ∈ V ,
n
entonces la diferencial dfP : TP Am
K → Tf (P ) AK manda TP V en Tf (P ) W .
Demostración. Como f (V ) ⊆ W , entonces f ∗ : K[W ] → K[V ] satisface que para
todo α ∈ J = I(W ) se tiene que f ∗ (α) = α ◦ f ∈ I(V ) = I y debemos probar que
df |P manda v ∈ TP V en Tf (P ) W . Ahora, como
TP V = V(dg|P : g ∈ I)
y
Tf (P ) W = V(dh|f (P ) : h ∈ J)
4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACIÓN REGULAR Y MORFISMOS ÉTALES
129
debemos entonces probar que df |P (v) ∈ Tf (P ) W , es decir, debemos probar que
dh|f (P ) (df |P (v)) = 0 para todo h ∈ J. Para probar ésto usaremos la regla de la
cadena.
n
X
∂h
∂h ∂yj
=
.
∂xi
∂yj ∂xi
j=1
Entonces, para f = (f1 , . . . , fn ) y yj = fj (x1 , . . . , xm ) la regla de la cadena
implica que
d(h ◦ f )|P = dh|f (P ) ◦ df |P
y si v ∈ TP (V ), entonces
dh|f (P ) ◦ df |P (v) = d(h ◦ f )|P (v)
y este vector es cero si h ∈ J = I(W ) ya que entonces h ◦ f ∈ I. Se sigue que
df |P (v) ∈ Tf (P ) W .
Diferencial de una aplicación regular. Por la proposición anterior, si f : V → W
es una aplicación regular entre variedades afines, P ∈ V y Q = f (P ) ∈ W ,
entonces se tiene la función lineal
df |P : TP V → TQ W
a la cual se llama la diferencial de f en P . Se cumplen las reglas usuales del cálculo,
f
g
por ejemplo si V −→ W −→ U son aplicaciones regulares y P ∈ V , entonces
d(g ◦ f )|P = dg|f (P ) ◦ df |P .
Ejemplo 6. Sea V = la unión de los tres ejes coordenados de A3K , es decir, V =
V(xy, yz, xz) ⊆ A3K , y sea W = V(xy(x − y)) ⊆ A2K (la unión de los dos ejes
coordenados de A2K con la recta diagonal a 45◦ ). Ası́, ambos V y W son la unión
de tres rectas que se cortan en el origen, y dejamos como el ejercicio xx el probar
que el origen es el único punto singular de V y W .
Si se tuviera un isomorfismo biregular f : V → W , entonces para todo P ∈ V
se tendrı́a que TP V ' Tf (P ) W y por lo tanto f debe mandar el único punto singular
(el origen 0) de V en el único punto singular (el origen 0) de W , es decir, f (0) = 0,
y además T0 V ' T0 W . Sin embargo observe que T0 V tiene dimensión 3 y T0 W
tiene dimensión 2. Se sigue que no puede haber un isomorfismo f : V ' W .
La diferencial de una aplicación regular y el tangente de Zariski. Si f : V → W
es una aplicación regular y P ∈ V es un punto, podemos reinterpretar la definición
de la diferencial
df |P : TP V → Tf (P ) W
130
4. PROPIEDADES LOCALES
de la subsección anterior en términos del espacio tangente de Zariski como sigue.
Observe primero que f : V → W y P ∈ V inducen el morfismo de anillos locales
f ∗ : OW,f (p) → OV,P
dado por ϕ 7→ ϕ ◦ f , y que satisface que f ∗ (mf (P ) ) = mP (vea el ejercicio x) y
por lo tanto induce por paso al cociente la función K-lineal f ∗ : mf (P ) /m2f (P ) →
mP /m2P , y al pasar a los espacios duales induce
(f ∗ )∨ : TP V ' HomK (mP /m2P , K) → HomK (mf (P ) /m2f (P ) , K) ' Tf (P ) W
a la que se llama la diferencial de f en P . Note que (f ∗ )∨ está definida, para α ∈
TP V ' HomK (mP /m2P , K) por (f ∗ )∨ (α) = α ◦ f ∗ .
Note que si V = V(I) ⊆ AnK con I un ideal radical, y si f ∈ K[AnK ] =
K[x1 , . . . , xn ], considerando su expansión de Taylor alrededor de P (suma finita
porque f es un polinomio)
X ∂f
f = f (P ) +
(P )(xi − ai ) + términos de grado ≥ 2 en (xi − ai )
∂xi
i
como (xi − ai )(xj − aj ) ∈ m2P , la expansión anterior dice que
X ∂f
f − f (P ) =
(P )(xi − ai ) mod m2P
∂xi
i
donde el lado derecho es la diferencial df |P definida anteriormente. Hemos ası́ mostrado que df |P = f − f (P ) mod m2P y por lo tanto
df |P = f − f (P ) ∈ mP /m2P
lo cual identifica la diferencial de f en P con un elemento del espacio dual mP /m2P .
Morfismos étales. Una aplicación regular f : V → W entre variedades algebraicas
lisas (afines o proyectivas) se dice que es un morfismo étale en un punto P ∈ V si
su diferencial df |P : TP V → Tf (P ) W es un isomorfismo. Se dice que f : V → W
es un morfismo étale si lo es en cada punto de V .
Ejemplo 7. Una aplicación regular f : AnK → AnK dada por f = (f1 , . . . , fn ) es
étale en un punto P ∈ AnK si y sólo si el rango de la Jacobiana J(P ) en P es n, ya
que la matriz asociada a la diferencial df |P : TP AnK = K n → K n = Tf (P ) AnK es
la Jacobiana J(P ).
Ejemplo 8. Si V ⊆ AnK es una variedad afı́n, observe que, para una indeterminada
x, el dominio entero K[V ][x] es tal que
K[V ][x] ' K[V ] ⊗K K[x] ' K[V ] ⊗K K[A1K ] ' K[V × A1K ]
4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACIÓN REGULAR Y MORFISMOS ÉTALES
131
por lo que la variedad afı́n asociada a K[V ][x] ' K[V ×A1K ] es el producto V ×A1K .
Observe que la inclusión K[V ] ,→ K[V ][x] corresponde a la proyección
π : V × A1K → V.
Ahora, si f ∈ K[V ][x] es tal que el anillo cociente K[V ][x]/hf (x)i es reducido (i.e., su nilradical es cero), y si W es la variedad afı́n asociada a K[V ][x]/hf i,
entonces el epimorfismo natural K[V ][x] K[V ][x]/hf i corresponde a una inclusión
j : W ,→ V × A1K .
Observe ahora que los morfismos naturales de K-álgebras
K[V ] ,→ K[V ][x] K[V ][x]/hf (x)i
inducen el diagrama conmutativo de morfismos de K-álgebras indicado en el lado
izquierdo:
K[V ][x]/hf i o
K[V ][x]
fNNN
NNN
NN
ϕ∗ NNN
O
K[V ]

W G
G
j
/ V × A1
K
GG
GG
π
ϕ GGG
G# V
que a su vez induce el diagrama conmutativo de morfismos regulares de variedades
afines indicado en el lado derecho de la figura anterior.
Observe ahora que la fibra de ϕ = π ◦ j : W → V en un punto P ∈ V está dada
por los pares (P, b) ∈ V × A1K tales que π(P, b) = P . Ahora, si I = I(V ), entonces
K[W ] = K[V ][x]/hf i = K[x1 , . . . , xn , x]/hI, f i con f = f (xP
1 , . . . , xn , x) y
ası́ (P, b) ∈ W satisface que f (P, b) = 0, es decir,
ci xi con los
P si f (x)i =
ci ∈ K[V ], entonces f (P, b) =P0 quiere decir que
ci (P )b = 0, es decir, b es
raı́z del polinomio f (P )(x) := i ci (P )xi .
L EMA 4.14. Con la notación anterior, el morfismo ϕ : W → V es étale en (P, b)
si y sólo si b es raı́z simple del polinomio f (P )(x).
Demostración. Si V = V(I) ⊆ AnK con I = hf1 , . . . , fr i ⊆ K[x1 , . . . , xn ], entonces
K[V ][x]/hf i = K[x1 , . . . , xn , x]/hf1 , . . . , fr , f i
y por lo tanto el espacio tangente a W en (P, b) es el núcleo de la Jacobiana
 ∂f

∂f1
1
(P
)
·
·
·
(P
)
0
∂xn
 ∂x1 .

..

 ..
.




∂f
∂f
r
r
Jac(f1 , . . . , fr , f ) =  (P ) · · ·
(P
)
0

∂xn

 ∂x1


∂f
∂f
∂f
(P
)
·
·
·
(P
)
(P,
b)
∂x1
∂xn
∂x
132
4. PROPIEDADES LOCALES
y también el espacio tangente a V en P es el núcleo de:
 ∂f1

∂f1
∂x1 (P ) · · ·
∂xn (P )


Jac(f1 , . . . , fr ) =  ...

∂fr
∂x1 (P )
···
∂fr
∂xn (P )
y la diferencial T(P,b) W → TP V está inducida por la proyección K n+1 → K n
en las primeras n coordenadas. Entonces, la diferencial anterior es un isomorfismo
si y sólo si ∂f
∂x (P, b) 6= 0 porque entonces cualquier solución del segundo sistema
de ecuaciones (con menos ecuaciones) se extiende a una solución del sistema de
ecuaciones con más ecuaciones. Finalmente, observamos que
P
i
d
∂f
i ci (P )x
(P, b) =
(b)
∂x
dx
P
y éste es cero si y sólo si b es raı́z múltiple de f (P )(x) = i ci (P )xi .
En el ejemplo anterior, la imagen geométrica de ϕ : W → V es:
···
•
V ×
A1K
⊇W
•
•
···
•
ϕ
?
V
•
P0
···
•
P
···
•
P 00
···
vista como una aplicación cubriente con gr(f ) hojas y ramificada exactamente en
los puntos donde dos o más hojas se cruzan. Por ejemplo, en la figura anterior, ϕ es
étale en P pero no lo es en P 0 ni en P 00 .
Precaución. El teorema de la función inversa no es válido en geometrı́a algebraica
(i.e., en la topologı́a de Zariski): una aplicación ϕ : V → W étale en un punto
P ∈ V puede no ser un isomorfismo local. El contraejemplo es el siguiente:
Ejemplo 9. Supongamos que car K 6= 2 y consideremos la aplicación regular ϕ :
A1K − {0} → A1K − {0} dada por ϕ(a) = a2 . La Jacobiana de ϕ es J(ϕ) = (2x) y
tiene rango 1 para todo x 6= 0 porque car K 6= 2. Por lo tanto, ϕ es étale en todos
los puntos de A1K − {0}. Sin embargo, no existen abiertos no vacı́os U ⊆ A1K − {0}
y U 0 ⊆ A1K − {0} tales que la restricción ϕ|U : U → U 0 sea un isomorfismo
(biregular), ya que si lo fuera entonces inducirı́a un isomorfismo de K-álgebras
4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACIÓN REGULAR Y MORFISMOS ÉTALES
133
ϕ|∗U : K[U 0 ] → K[U ], pero como U y U 0 son biracionales a A1K , entonces se
tendrı́an isomorfismos en los campos de funciones
ϕ∗
K(x) ' K(A1K ) ' K(U 0 ) ' K(U ) ' K(A1K ) ' K(x)
lo cual no es posible porque esta función es x 7→ x2 , que claramente no es un
isomorfismo.
La conjetura de la Jacobiana. Existe una antigua conjetura que afirma que si ϕ :
AnK → AnK es cualquier morfismo étale, entonces ϕ es un isomorfismo (biregular).
∂fi es la Jacobiana de ϕ, la conjetura se
Escribiendo ϕ = (f1 , . . . , fn ) y si J = ∂x
j
traduce en la afirmación de que si det J(P ) 6= 0 para todo P ∈ AnK , entonces ϕ
tiene una inversa regular.
La condición de que det J(P ) 6= 0 para todo P , implica que det J es una
constante no nula, por el teorema de los ceros aplicado al ideal generado por det J ⊆
K[x1 , . . . , xn ] (ya que si fuera no constante, tendrı́a algún cero en AnK ).
A pesar de una larga historia de ((demostraciones))1 erróneas, la conjetura de la
Jacobiana sigue abierta, aún el caso cuando K = C y n = 2.
Gérmenes. Dada una variedad algebraica afı́n V ⊆ AnK y un punto P ∈ V , si
α = g/h ∈ OV,P , por definición la función racional g/h es regular en el abierto
distinguido D(h), vecindad de P . Ahora, por el lema 4.5, viendo a α = g/h ∈
OV,P como la clase [g, h] ∈ K[V ]mP , por definición de localización esta clase
está formada por los pares ordenados (g, h) ∈ K[V ] × (K[V ] − mP ) sujetos a la
relación de equivalencia (g, h) ∼ (g 0 , h0 ) ⇔ existe t ∈ K[V ] − mP tal que t(gh0 −
hg 0 ) = 0 y por lo tanto identifica a todos los pares que coinciden en la vecindad
D(h). En otras palabras, en el conjunto de pares ordenados (s, U ) formados por
una vecindad abierta U de P y una sección s ∈ OV (U ) (vea los ejercicios 35 y 36
de §1.3 y el ejercicio 18 de §2.2) se define la relación
(s, U ) ∼ (s0 , U 0 )
si y sólo si existe una vecindad abierta U 00 de P tal que U 00 ⊆ U y U 00 ⊆ U 0 y además
s|U 00 = s0 |U 00 . Se prueba fácilmente que esta es una relación de equivalencia y a las
clases de equivalencia [s, U ] correspondientes se les llama gérmenes de funciones
regulares en P . Ası́, un germen [s, U ] está representado por una vecindad abierta U
de P y una sección s ∈ OV (U ), y dos tales pares representan el mismo germen si y
sólo si coinciden en una vecindad, posiblemente menor, de P . En los ejercicios 14
1Por ejemplo, B. Segre publicó en 1956 una de tales ((demostraciones)) en el caso n = 2, pero I.
Canals y E. Lluis en “Acerca de un resultado de Segre”. Anales del Instituto de Matemáticas, UNAM
10 (1970), 1-15, encontraron un error en la demostración de un lema en el artı́culo de Segre, sin
embargo la corrección que ellos proponı́an también resultó errónea. Para una ((actualización)) y más
detalles, vea: Bass, H., Connell, E. H., Wright, D., “The Jacobian Conjecture: reduction of degree and
formal expansion of the inverse”. Bull. A. M. S. 7 (1982), 287-330.
134
4. PROPIEDADES LOCALES
y 15 se pide terminar de construir la identificación del conjunto de gérmenes en P
con el anillo local OV,P .
Parámetros locales en un punto. Si P ∈ V es un punto liso y dim V = d, un sistema local de parámetros en P es una familia f1 , . . . , fd de gérmenes de funciones
regulares en P y que generan el ideal máximo mP del anillo local OV,P . Equivalentemente, las imágenes de f1 , . . . , fd en mP /m2P generan éste como K-espacio
vectorial (y como P es liso y son d = dim V generadores, entonces estas imágenes
forman una base de mP /m2P ). Equivalentemente, las diferenciales df1 |P , . . . , dfd |P
forman una base del espacio dual (TP V )∨ .
P ROPOSICI ÓN 4.15. Sea f1 , . . . , fd un sistema local de parámetros en un punto liso
P ∈ V . Entonces, existe una vecindad abierta y lisa U de P tal que los gérmenes
f1 , . . . , fd están representados por pares (f˜1 , U ), . . . , (f˜d , U ) y la aplicación f =
(f˜1 , . . . , f˜d ) : U → AdK es étale.
Demostración. Por los ejercicios 35 y 36 de §1.3 y el ejercicio 18 de §2.2 existe2 una
vecindad abierta U 0 de P tal que los gérmenes f1 , . . . , fd están representados por
funciones regulares f˜1 , . . . , f˜d en U 0 . Ahora, como el conjunto de puntos lisos de V
es abierto denso por su definición en la última subsección de §4.1, podemos elegir
U 0 ⊆ Vlisos . Observamos ahora que el morfismo f = (f˜1 , . . . , f˜d ) : U 0 → AdK es
étale en P porque su diferencial en P , df |P : TP U 0 → Tf (P ) AdK es tal que su dual
∨
∨
(df |P )∨ : Tf (P ) AdK → TP U 0 manda los generadores dxi |0 en df˜i |P y estos
∨
últimos forman una base de TP U 0 porque generan mP /m2P como K-espacio
vectorial. El lema siguiente muestra que se puede elegir una vecindad U ⊆ U 0 de P
tal que f es étale en U .
L EMA 4.16. Si f : V → W es una aplicación regular entre variedades algebraicas
lisas y f es étale en un punto P ∈ V , entonces f es étale en una vecindad abierta
de P .
Demostración. Como V y W son lisas y f es étale en P , entonces
d = dim V = dim TP V = dim Tf (p) W = dim W
y ası́ todos los espacios tangente tienen la misma dimensión d. Podemos entonn
ces asumir que V ⊆ Am
K y W ⊆ AK son afines y que f = (f1 , . . . , fd ) con los
n
fi ∈ K[x1 , . . . , xm ]. Entonces, df |P : TP Am
K → Tf (P ) AK tiene Jacobiana J(P ) =
∂fi
∂xj (P ) . Ahora, f no es étale en un punto Q si y sólo si ker df |Q contiene un vector no nulo de TP V ⊆ TP Am
K . Escribiendo I(V ) = hh1 , . . . , hr i ⊆ K[x1 , . . . , xm ],
2En lenguaje que introduciremos más adelante, O
V
es la gavilla de funciones regulares en V .
4.3. LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACIÓN REGULAR Y MORFISMOS ÉTALES
135
se sigue que f no es étale en Q si y sólo si la matriz m × (r + d):


∂hi
 ∂xj (Q)






 ∂fi

(Q)
∂xj
tiene rango < m. Notamos entonces que la anterior es una condición polinomial en
Q y consecuentemente el subconjunto de V donde f no es étale es cerrado, y no
contiene a P por hipótesis. Se sigue que su complemento es abierto y contiene a
P.
El teorema del rango. Si V y W son K-espacios vectoriales y f : V → W es una
función K-lineal de rango r, entonces
existen bases para V y W tales que la matriz
Ir 0
asociada a f es de la forma
, con Ir la matriz identidad r × r. Dicho en
0 0
otras palabras, existe un diagrama conmutativo de la forma
f
V
'
/W
Km
'
/ Kn
(x1 ,...,xm )7→(x1 ,...,xr ,0,...,0)
En geometrı́a algebraica se tiene un análogo, un poco más débil, del resultado
anterior:
P ROPOSICI ÓN 4.17 (Teorema del rango). Si f : V → W es una aplicación regular
entre variedades algebraicas lisas, dim V = m, dim W = n, P ∈ V y si el rango
de df |P es n = dim W , entonces existe un diagrama conmutativo de la forma:
UP
étale
f | UP
/ Uf (P )
Am
K
(x1 ,...,xm )7→(x1 ,...,xn )
étale
/ An
K
donde UP y Uf (P ) son vecindades abiertas de P y f (P ) respectivamente y los
morfismos verticales son étales.
Demostración. Escojamos un sistema local de parámetros g1 , . . . , gn en f (P ) y
sean fi = gi ◦ f . Entonces, df1 , . . . , dfn son linealmente independientes en TP V
porque el rango de df |P es n = dim W . Podemos completar entonces a una base del dual de TP V , i.e., existen fn+1 , . . . , fm funciones regulares en P tales que
df1 , . . . , dfn , dfn+1 , . . . , dfm es una base de (TP V )∨ . Se sigue que f1 , . . . , fm es un
136
4. PROPIEDADES LOCALES
sistema de parámetros en P . Por 4.13 y 4.14 existen vecindades abiertas UP de P y
Uf (P ) de f (P ) tales que las funciones
(f1 , . . . , fm ) :UP → Am
K
(g1 , . . . , gn ) :Uf (P ) → AnK
son étales. Estos son los morfismos verticales del diagrama, y por definición de las
fi se sigue que el diagrama conmuta.
Morfismos lisos. Una aplicación regular ϕ : V → W entre variedades lisas, se
dice que liso en un punto P ∈ V si su diferencial dϕ|P : TP V → Tϕ(P ) W es
suprayectiva. Se dice que ϕ : V → W es un morfismo liso si es liso en todos los
puntos de V .
P ROPOSICI ÓN 4.18. Una aplicación regular entre variedades lisas f : V → W es
lisa en un punto P si y sólo si existen vecindades abiertas UP de P en V y Uf (P )
de f (P ) en W tales que la restricción f |UP : UP → Uf (P ) se factoriza como
f | UP
/ Uf (P )
UP L
LLL
8
q
q
LLL
q
q
q
qq
étale LLL
L%
qqq q
× Uf (P )
Am−n
K
donde m = dim V , n = dim W y q es la proyección usual.
Demostración. Si se tiene la factorización como en el diagrama, entonces
dq|f (P )
'
×
U
−→ Tf (P ) Uf (P )
df |UP |P : TP UP −→ TP Am−n
f
(P
)
K
donde la primera función es un isomorfismo y la segunda es suprayectiva. Se sigue
que la composición es suprayectiva. Recı́procamente, si f es lisa en P , entonces
df |P es suprayectiva por lo que su rango es n = dim W . Por el teorema del rango
4.15,
Ejercicios
E JERCICIO 14. Demuestre que OV,P ' lim OV (U ), donde el lı́mite se toma sobre
−→
todas las vecindades abiertas de P .
E JERCICIO 15. Demuestre que OV,P se puede indentificar con el conjunto (anillo)
de gérmenes [f, U ] en P .
EJERCICIOS
137
E JERCICIO 16. Si V es una variedad de dimensión n, dadas n funciones fi ∈ K[V ],
demuestre que el conjunto de puntos P ∈ V tales que las fi no forman un sistema
local de parámetros, es un conjunto cerrado.
E JERCICIO 17. Demuestre que un polinomio f ∈ K[A1K ] = K[x] es un parámetro
local en un punto P = c ∈ A1K si y sólo si c es una raı́z simple de f .
Un morfismo (regular) finito entre variedades algebraicas f : V → W se dice que es
un morfismo plano si para todo punto Q ∈ W existe una vecindad abierta U ⊆ W
de Q tal que OV (f −1 U ) es un OW (U )-módulo plano. Note que f : V → W induce
el morfismo de anillos f ∗ : OW (U ) → OV (f −1 U ) para todo abierto U ⊆ W . Este
morfismo f ∗ es el que hace de OV (f −1 U ) un OW (U )-módulo.
E JERCICIO 18. Si f : V → W es un morfismo finito entre variedades algebraicas,
demuestre que f es plano si y sólo si para todo P ∈ V el morfismo de anillos locales
f ∗ : OW,f (P ) → OV,P es un morfismo plano, es decir, OV,P es un OW,f (P ) -módulo
plano.
E JERCICIO 19. Si f : V → W es un morfismo finito étale en P ∈ V , demuestre
que f es plano en P , donde la definición de plano en P es la de la última parte del
ejercicio anterior.
E JERCICIO 20. Si f : V → W es un morfismo finito dominante entre variedades
irreducibles, demuestre que dim V = dim W . Concluya que el grado de la extensión de campos K(W ) K(V ) es finito. Al grado de esta extensión se le llama el
grado del morfismo f y se denota
gr f = [K(V ) : K(W )].
E JERCICIO 21. Sea f : V → W un morfismo finito entre variedades algebraicas y
considere un punto P ∈ V . Demuestre que f es étale en P si y sólo si:
(i) f es plano en P .
(ii) La fibra f −1 (f (P )) es reducida en P .
(iii) La extensión de campos K(W ) ⊆ K(V ) es algebraica separable.
E JERCICIO 22. Si f : V → W es étale, demuestre que para todo Q ∈ W las fibras
f −1 (Q) son finitas.
E JERCICIO 23. Si f : V → W es un morfismo finito dominante entre variedades
irreducibles y la extensión finita de campos K(W ) K(V ) es separable, demuestre existe un abierto W0 ⊆ W tal que para todo Q ∈ W0 las fibras f −1 (Q) contienen
exactamente gr f = [K(V ) : K(W )] puntos.
138
4.4.
4. PROPIEDADES LOCALES
Derivaciones y el anillo de números duales
Sean K un campo (en general, puede ser un anillo conmutativo), A una Kálgebra y M un A-módulo. Una K-derivación de A en M , es una función K-lineal
D : A → M que satisface la regla de Leibniz:
D(ab) = aDb + bDa.
Observemos, para comenzar, que D(1) = 0 (lo cual se sigue del hecho de que
1 = 1 · 1 y la regla de Leibniz) y como D es K-lineal, entonces para todo c ∈ K
se tiene que D(c) = D(c · 1) = cD(1) = 0. Por inducción se prueba directamente
que, para todo entero n ≥ 1 y todo a ∈ A, D(an ) = nan−1 D(a). También, si
b ∈ A es invertible, entonces D(b−1 ) = −b−2 D(b), lo cual se sigue de bb−1 = 1
y de D(1) = 0. Como consecuencia se tiene la regla del cociente: si a, b ∈ A con
b invertible, entonces D(ab−1 ) = b−2 (bDa − aDb). Denotaremos al conjunto de
K-derivaciones de A en M mediante
DerK (A, M ).
Ejemplo 10. La función D : OV,P → mP /m2P dada por f 7→ f − f (P ) es un
K-derivación en mP /m2P .
T EOREMA 4.19. Si V es una variedad algebraica y P ∈ V , se tiene un isomorfismo
natural
Der(OV,P , K) → HomK (mP /m2P , K) ' TP V.
Demostración. Si K → OV,P es c 7→ c y OV,P → K es la función f 7→ f (P ),
entonces la composición K → OV,P → K es la identidad c 7→ c 7→ c(P ) = c, y
por lo tanto la sucesión exacta corta siguiente se escinde
0
/K o
c 7→ c
f 7→f (P )
f 7→f −f (P )
/O
/ mP
V,P
/0
y por lo tanto se tiene un isomorfismo
OV,P ' K ⊕ mP
dado por f ↔ (f (P ), f − f (P )).
Ahora, una derivación D : OV,P → K es cero en K (porque los elementos de
K son constantes vistos en OV,P ), y también es cero en m2P por la regla de Leibniz
y por lo tanto define una función K-lineal D : mP /m2P → K.
Recı́procamente, una función K-lineal d : mP /m2P → K define una derivación
en OV,P mediante la composición
OV,P
f 7→df |P
/ mP /m2
P
d
/K
4.4. DERIVACIONES Y EL ANILLO DE NÚMEROS DUALES
139
donde df |P = f − f (P ), y claramente las dos funciones anteriores son inversas una
de la otra.
Recordemos de la introducción al capı́tulo al anillo de números duales K[ε] y
observemos que éste es un anillo local con ideal máximo hεi.
T EOREMA 4.20. Si V es una variedad algebraica y P ∈ V , se tiene un isomorfismo
natural
TP V ' HomK-local (OV,P , K[ε])
donde en la derecha se tiene el Hom de K-álgebras locales.
Demostración. Por el teorema anterior, basta probar que se tiene un isomorfismo
HomK-local (OV,P , K[ε]) ' Der(OV,P , K).
Para ésto, sea ϕ : OV,P → K[ε] un morfismo local de K-álgebras. Por la observación al inicio de la demostración del teorema anterior OV,P ' K ⊕mP . Por lo tanto,
escribiendo f ∈ OV,P como f = (f (P ), f − f (P )), ya que ϕ es un morfismo de
K-álgebras locales, entonces ϕ(f (P )) ∈ K y ϕ(f − f (P )) ∈ hεi, lo último porque
f − f (P ) ∈ mP . Es decir, podemos escribir
ϕ(f ) = ϕ(f (P )) + ϕ(f − f (p)) = f0 + Dϕ (f )ε
donde f0 = ϕ(f ) y Dϕ = ϕ(f − f (P )). Mostraremos que el coeficiente Dϕ (f )
es una derivación de OV,P . En efecto, como ϕ : OV,P ' K ⊕ mP → K[ε] es un
morfismo de K-álgebras, entonces la función f 7→ f0 de OV,P → K es el paso al
cociente OV,P ' K ⊕ mP OV,P /mP es el paso al cociente f 7→ f (P ). Se tiene
entonces que
ϕ(f g) = (f g)0 + Dϕ (f g)ε
ϕ(f )ϕ(g) = f0 + Dϕ (f )ε g0 + Dϕ (g)ε = f0 g0 + f0 Dϕ (g) + g0 Dϕ (g) ε
y comparando términos en estas dos igualdades se sigue que
(f g)0 = f0 g0
Dϕ (f g) = f0 Dϕ (g) + g0 Dϕ (f )
y
y por lo tanto Dϕ : OV,P → K es una K-derivación.
Recı́procamente, si D : OV,P → K es una derivación, si j : K ,→ K[ε], la
composición j ◦ D : OV,P → K[ε] es un morfismo local de K-álgebras locales.
Finalmente, note que si ρ : K[ε] → K es la proyección ε 7→ 0, entonces el
diagrama siguiente conmuta:
ϕ
/ K[ε]
ww;
w
w
ww ww
D
wwwwwwρ
w
w{ww
OV,P
j
K
lo cual dice que las funciones definidas arriba son inversas una de la otra.
140
4. PROPIEDADES LOCALES
O BSERVACI ÓN . El teorema anterior confirma lo que se anunció al principio: en
cuestiones locales, es decir, para el estudio de las propiedades de los puntos P de una
variedad algebraica V que se preservan cuando se reemplaza V por una vecindad
afı́n de P , el invariante fundamental es el anillo local OV,P .
La descripción del espacio tangente en términos del anillo de números duales
K[ε] es conveniente cuando la variedad está dada como un ((funtor de puntos)), por
ejemplo para los grupos algebraicos, como el grupo lineal especial SLn que vimos
en la introducción de este capı́tulo. Los grupos algebraicos son variedades algebraicas que tienen estructura de grupo y son muy importantes no sólo en geometrı́a algebraica. A continuación recordamos su definición, alguna propiedad básica y unos
ejemplos:
Grupos algebraicos. Un grupo algebraico es una variedad algebraica G tal que se
tienen morfismos (regulares)
µ : G×G → G (multiplicación), e : A0K → G (neutro), ι : G → G (inverso),
que hacen de G un grupo, es decir, tales que los diagramas siguientes conmutan:
G×G×G
idG ×µ
µ×idG
/ G×G
(p,idG )
e×idG
/ G×G
G SSSS / A0K × G
µ
G×G
µ
/G
G
SSSS
SSSS
SSSS
µ
SSSS
idG
SSS) (ι,idG )
/ G×G
p
µ
A0K
G
e
/G
que corresponden, respectivamente, a la asociatividad de la multiplicación, la existencia de neutro por la izquierda y la existencia de inversos izquierdos. Aquı́ p :
G → A0K es el único morfismo al objeto terminal A0K .
En los ejemplos siguientes usaremos que el determinante de una matriz (xij ) de
tamaño n × n es un polinomio en las variables xij (entradas de la matriz), a saber
X
det(xij ) =
sgn(σ) · x1σ(1) · · · xnσ(n) ∈ K[x11 , . . . , xnn ],
σ∈Sn
donde Sn es el grupo simétrico de permutaciones de n letras, y también usaremos
el hecho de que las entradas del producto de dos matrices son polinomios en las
entradas de las dos matrices dadas.
Ejemplo 11. El grupo lineal especial
2
SLn = {M ∈ Matn×n (K) : det M − 1 = 0} ⊆ AnK
que vimos en la introducción, es un grupo algebraico afı́n. Ahı́ mismo calculamos
el espacio tangente a SLn en la matriz identidad e = idn ∈ SLn :
Te SLn = sln = {matrices M ∈ Matn×n de traza cero}.
4.4. DERIVACIONES Y EL ANILLO DE NÚMEROS DUALES
141
Ejemplo 12. El grupo lineal general
2
GLn = {M ∈ Matn×n (K) : y det M − 1 = 0} ⊆ AnK +1 ,
donde y det(xij ) ∈ K[x11 , . . . , x1n , x21 , . . . , xnn , y]. En forma similar al ejemplo
anterior, para el grupo lineal general
2 +1
GLn = {M ∈ Matn×n : y det M − 1 = 0} ⊆ An
,
considere la matriz identidad e = I = idn ∈ GLn y observe entonces que una
matriz I + εM ∈ Matn×n ([K[ε]) tiene inversa I − εM ∈ Matn×n ([K[ε]) y por lo
tanto I + εM ∈ GLn (K[ε]). Se sigue que
Te (GLn ) = gln = {I + εM ∈ GLn (K[ε]) : M ∈ Matn×n (K)} = Matn×n (K).
Ejemplo 13. Los únicos grupos algebraicos afines de dimensión 1 son:
Gm = GL1 = K ∗
Ga =
A1K
=K
el grupo multiplicativo
el grupo aditivo.
Ejemplo 14. Todo grupo finito G es un grupo algebraico, de hecho se puede realizar como un subgrupo de un GLn . En efecto, para comenzar el grupo simétrico
Sn se puede realizar como un grupo de matrices (matrices de permutaciones) haciedo actuar cada permutación σ ∈ Sn en la matriz identidad I = In permutando
sus columnas para obtener la matriz I(σ). Es claro que si σ, τ ∈ Sn , entonces
I(σ)I(τ ) = I(στ ) y también si σ −1 es la inversa de σ, entonces I(σ −1 ) = I(σ)−1
y por lo tanto el grupo de matrices de permutaciones es un subgrupo de GLn y por
lo tanto es un grupo algebraico. Finalmente, como todo grupo finito es un subgrupo
de un grupo simétrico, entonces todo grupo finito es un grupo algebraico.
Los grupos algebraicos afines se llaman grupos algebraicos lineales porque se
pueden realizar como subgrupos cerrados del grupo lineal general GLn , para algún
n.
Los grupos algebraicos conexos que se pueden realizar como subvariedades
algebraicas cerradas de un espacio proyectivo se llaman variedades abelianas, y
afortunadamente resulta que son grupos conmutativos. Las curvas elı́pticas son variedades abelianas de dimensión 1.
En los ejemplos anteriores, se puede calcular el espacio tangente en cualquier
punto del grupo algebraico G dado, y todos estos espacios tangente son isomorfos
a los calculados porque los grupos algebraicos son lisos:
142
4. PROPIEDADES LOCALES
C OROLARIO 4.21. Todos los grupos algebraicos son lisos.
Demostración. Sabemos que el conjunto de puntos lisos U de cualquier variedad,
en particular para G, es abierto denso. Ahora, para todo g ∈ G la función traslación
(izquierda) G → G dada por a 7→ ga es claramente un isomorfismo
biregular y
S
por lo tanto gU consiste de puntos lisos. Pero como G = g gU , el resultado se
sigue.
Ejercicios
E JERCICIO 24. Para el grupo ortogonal On = {M ∈ GLn : M T · M = I}, donde
M T es la matriz transpuesta de M y para el grupo SOn = ker(det : On → {±1}),
llamado el grupo ortogonal especial, demuestre que
TI On = TI SOn = son = {I + εM ∈ Matn×n (K[ε]) : M es antisimétrica}
= {M ∈ Matn×n (K) : M es antisimétrica}.
¿Cuál es la dimensión de On y de SOn ?
E JERCICIO 25. Calcule las dimensiones de GLn y SLn .
0 I
E JERCICIO 26. Sea I la matriz identidad n×n y considere la matriz J =
−I 0
de tamaño 2n×2n. El grupo simpléctico Spn es el grupo de matrices M ∈ Mat2n×2n
de determinante 1 y tales que M T JM = J (i.e., fijan a una forma antisimétrica no
degenerada).
(i) Muestre que Spn es un grupo algebraico.
(ii) Encuentre el espacio tangente a Spn en la matriz identidad.
(iii) Calcule la dimensión de Spn .
E JERCICIO 27. Si V y W son variedades algebraicas y P ∈ V , Q ∈ W son puntos,
demuestre que
T(P,Q) (V × W ) ' TP V ⊕ TQ W.
E JERCICIO 28. Demuestre que un grupo algebraico G es conexo si y sólo si no tiene
un cociente finito.
4.5.
Expansión en serie de potencias
Recordemos que si P es un punto liso de una variedad algebraica V de dimensión n, dadas funciones u1 , . . . , un ∈ OV,P se dice que son parámetros locales en
4.5. EXPANSIÓN EN SERIE DE POTENCIAS
143
P si todas las ui ∈ mP y sus clases laterales ui + m2P son una base del espacio
cotangente mP /m2P . Por el isomorfismo 4.7
∨
∼
dP : mP /m2P → TP V
se sigue que u1 , . . . , un son parámetros locales si y sólo si las diferenciales dP u1 , . . .,
dP un son linealmente independientes en TP V . Más aún, como P es liso, dimK TP V =
n = dim V y ası́ lo anterior es equivalente a que
(1)
dP u1 = · · · = dP un = 0
tenga únicamente la solución trivial en TP V .
Reemplazemos ahora V por una vecindad afı́n V 0 de P donde las u1 , . . . , un
sean regulares y denotemos por Vi0 = V(ui ) a la correspondiente hipesuperficie en
V 0 . Sea fi un polinomio cuya clase lateral es ui en V 0 . Note que
I(Vi0 ) ⊇ hI(V 0 ), fi i
por lo que
(2)
TP Vi0 ⊆ hdP fi i
donde dP fi ∈ TP V . Del hecho de que (1) sólo tenga la solución cero se sigue que
hdP fi i =
6 TP V y por lo tanto dimK hdP fi i = n−1, con n = dimK TP V = dim V .
Se sigue que
(3)
dimK TP Vi0 ≥ dim Vi0 ≥ n − 1
donde la primera desigualdad se da siempre y la segunda es por 3.13. Por (2) y las
observaciones que le siguen se tiene entonces que
dimK TP Vi0 ≤ n − 1
lo que combinado con (3) dice que
dimK TP Vi0 = n − 1 = dim Vi0
(la segunda igualdad por 3.13) y por lo tanto P es un punto liso de Vi0 .
Ahora observe que la intersección de las variedades Vi0 es el punto P . En efecto,
si esta intersección tuviera una componente W de dimensión dim W > 0 y que
pasara por P , entonces TP W estarı́a contenido en todos los subespacios hdP fi i, lo
cual contradice el que estos últimos se intersectan en 0 por (1). Hemos ası́ probado:
T EOREMA 4.22. Si V es una variedad algebraica de dimensión n, P ∈ V y
u1 , . . . , un son parámetros locales en P , regulares
en V , y si Vi = V(ui ), entonces
T
P es liso en cada uno de los Vi y además i TP Vi = 0.
144
4. PROPIEDADES LOCALES
Continuando con el análisis anterior, si P ∈ V es liso y V 0 es una vecindad afı́n
de P donde los parámetros locales u1 , . . . , un ∈ mP ⊆ OV,P son regulares, sean
Vi0 = V(ui ) de tal forma que
\
{P } =
Vi0 = V(u1 , . . . , un ).
i
Am
K , entonces P =
a1 , . . . , xm − am i
Ahora, si V ⊆
(a1 , . . . , am ) ∈ V corresponde al ideal máximo
MP = hx1 −
que a vez corresponde al ideal
p máximo mP de
OV,P . Por el teorema de los ceros de Hilbert se sigue que mP ⊆ hu1 , . . . , un i, es
decir,
mkP ⊆ hu1 , . . . , un i
para algún k > 0, viendo a los ideales en K[V 0 ] o, de hecho, en OV,P . El teorema
siguiente captura y precisa las observaciones anteriores:
T EOREMA 4.23. Los parámetros locales u1 , . . . , un generan el ideal máximo mP
de OV,P .
Demostración. Hemos visto que mP = hx1 − a1 , . . . , xm − am i y debemos probar
que xi − ai ∈ hu1 , . . . , un i. Usando inducción en m − i mostraremos que ti =
xi − ai ∈ hu1 , . . . , un , t1 , . . . , ti−1 i. En efecto, supongamos que ya se probó para
i = m, . . . , k + 1. Por hipótesis
(1)
mP = hu1 , . . . , un , t1 , . . . , tm i = hu1 , . . . , un , t1 , . . . , tk i
y de la definición de parámetros locales se sigue que
(2)
tk =
n
X
(mód m2P )
αj uj
j=1
con αj ∈ K. De (1) se sigue que todo elemento de m2P se puede escribir como
β1 u1 + · · · + βn un + β10 t1 + · · · + βk0 tk
con βi , βj0 ∈ mP y ası́ (2) dice que
tk =
n
X
αj uj +
j=1
n
X
βj uj +
k
X
βs0 ts
s=1
j=1
o equivalentemente
(3) (1 −
βk0 )tk
=
n
X
j=1
αj uj +
n
X
j=1
βj uj +
k−1
X
βs0 ts ∈ hu1 , . . . , un , t1 , . . . , tk−1 i
s=1
y como βk0 ∈ mP , se tiene entonces que 1 − βk0 6∈ mP y por lo tanto (1 − βk0 )−1 ∈
OV,P y ası́ (3) implica que tk ∈ hu1 , . . . , un , t1 , . . . , tk−1 i, como se querı́a.
4.5. EXPANSIÓN EN SERIE DE POTENCIAS
145
Series de potencias. Si P es un punto de una variedad algebraica V de dimensión
n y si f ∈ OV,P , poniendo
f (P ) = a0
f1 = f − a0
observe que f1 ∈ mP (porque se anula en P ). Ahora, si u1 , . . . , un ∈ mP son
parámetros locales en P , por definición sus clases laterales ui + m2P generan el
espacio vectorial mP /m2P . Entonces, para f1 ∈ mP existen a1 , . . . , an ∈ K tales
que
n
X
2
f1 + mP =
ai ui (mód m2P )
i=1
es decir,
f1 −
n
X
ai ui ∈ m2P .
i=1
Pongamos entonces
f2 = f1 −
n
X
ai ui = f − a0 −
i=1
Como f2 ∈
m2P ,
n
X
ai ui .
i=1
podemos escribir
X
f2 =
gj hj
con gj , hj ∈ mP .
j
Repitiendo lo que hicimos para f1 ∈ mP , pero ahora para gj , hj ∈ mP , podemos
escribir
n
X
gj −
bjk uk ∈ m2P
k=1
n
X
hj −
cjk uk ∈ m2P .
k=1
Se sigue que
f2 =
X
gj hj =
XX
j
j
bjk uj
k
X
cjk uj =
k
X
ast us ut
1≤s,t≤n
con ast ∈ K. Por lo tanto,
f2 −
X
ast us ut ∈ m2P .
s,t
Continuando de esta manera podemos encontrar polinomios homogéneos
Fi ∈ K[x1 , . . . , xn ]
146
4. PROPIEDADES LOCALES
de grados gr Fi = i y tales que
f−
k
X
Fi (u1 , . . . , un ) ∈ mk+1
P
i=0
y ası́, a la función f ∈ OV,P se le ha asociado una serie de potencias
f = F0 + F1 + F2 + · · ·
con la propiedad de para las sumas parciales
Sk =
k
X
Fi
i=1
al evaluar la diferencia en (u1 , . . . , un ) se tiene que
f − Sk (u1 , . . . , un ) ∈ mk+1
P
y decimos que la anterior es una serie de Taylor para f .
O BSERVACI ÓN . Note que para el anillo noetheriano A = OV,P y el ideal I = mP ⊆
A, se tiene la filtración mP -ádica dada por las potencias mkP :
⊆ mkP ,
mk+1
P
para k ≥ 0
y usando esta filtración como una base de vecindades del cero 0 ∈ OV,P se tiene
una topologı́a en este anillo, que resulta compatible con las operaciones del anillo.
Como OV,P es noetheriano, se prueba fácilmente que
\
mkP = 0
k≥0
y por lo tanto la topologı́a es Hausdorff. Más aún, definiendo
ν : OV,P → N ∪ {0}
mediante
(
k si f ∈ mkP pero f 6∈ mk+1
P ,
ν(f ) =
∞ si f = 0
se tiene que
(1) ν(f − g) ≥ mı́n{ν(f ), ν(g)}.
(2) ν(f g) ≥ ν(f ) + ν(g).
(3) mkp = {f ∈ OV,P : ν(f ) ≥ k}.
Las propiedades (1) y (2) dicen que ν es una valuación en OV,P y la propiedad
(3) dice que la filtración se recupera de la valuación. Usando la valuación ν, para
cualquier número real % tal que 0 < % < 1 se define una métrica en el anillo OV,P
mediante
d(f, g) = %ν(f −g)
4.5. EXPANSIÓN EN SERIE DE POTENCIAS
147
y sólo notamos que la anterior es una ultramétrica, i.e., satisface la desigualdad
(más fuerte que la desigualdad del triángulo usual):
d(f, g) ≤ máx{d(f, h), d(g, h)}
para todo h ∈ OV,P . Con la métrica anterior se tienen las nociones usuales de
sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy en el anillo OV,P . En particular se
puede completar este anillo adjuntando los lı́mites de las sucesiones de Cauchy en
la forma usual del análisis. Denotaremos mediante
b V,P
O
la completación del anillo local OV,P en la topologı́a mP -ádica. Observemos ahora
que la elección de parámetros locales u1 , . . . , un ∈ mP en un punto liso P induce,
por 4.15, un morfismo
OV,P → K[x1 , . . . , xn ]
que proviene de un morfismo étale
(ũ1 , . . . , ũn ) : U → AnK
en una vecindad abierta lisa U de P . Note que el morfismo OV,P → K[x1 , . . . , xn ]
manda el ideal máximo mP en el ideal máximo MP correspondiente al punto P y
podemos verlo como un morfismo de anillos locales
OV,P → K[x1 , . . . , xn ]MP
y pasando las completaciones correspondientes se tiene el morfismo
b V,P → K[[x1 , . . . , xn ]]
O
donde usamos que la completación del anillo de polinomios K[x1 , . . . , xn ] en el
ideal máximo hx1 , . . . , xn i es el anillo de series formales K[[x1 , . . . , xn ]] cuyos
elementos son de la forma
X
F =
ai1 ,...,in xi11 · · · xinn
con los ij ≥ 0 y los coeficientes ai1 ,...,in ∈ K. Resumiendo, la elección de parámetros locales u1 , . . . , un ∈ mP en un punto liso P induce un morfismo
b V,P → K[[x1 , . . . , xn ]]
O
b V,P induce el morfismo
que compuesto con la inclusión natural OV,P ,→ O
Φ : OV,P → K[[x1 , . . . , xn ]]
y para f ∈ OV,P su imagen bajo Φ es su serie de Taylor asociada. El hecho de que
P es un punto liso implica que la serie anterior es única, o lo que es lo mismo, que
el morfismo Φ es inyectivo ya que el núcleo del morfismo Φ es
ker Φ = {f ∈ OV,P
k
X
\
: f−
Fj (u1 , . . . , un ) ∈ mk+1
para
todo
k
≥
0}
=
mkP
P
j=0
k≥0
148
4. PROPIEDADES LOCALES
y como observamos antes, esta intersección es 0 porque OV,P es noetheriano. Hemos
ası́ probado:
T EOREMA 4.24 (Expansión de Taylor). Si P es un punto liso de una variedad V de
dimensión n, entonces existe un morfismo inyectivo
Φ : OV,P → K[[x1 , . . . , xn ]]
tal que si f ∈ OV,P su imagen Φ(f ) es la serie de Taylor de f .
C OROLARIO 4.25. Si P es un punto de un conjunto algebraico P y P es liso,
entonces está contenido en una única componente irreducible de V .
Demostración. Reemplazando V por una vecindad afı́n U de P , si Wi son
Slas com0
ponentes irreducibles de V que no contienen a P , pongamos V = V − Wi . Entonces, K[V 0 ] ⊆ OV,P . Por el teorema anterior existe un monomorfismo OV,P K[[x1 , . . . , xn ]] y el anillo de series formales no tiene divisores de cero; se sigue
que K[V 0 ] no tiene divisores de cero y por lo tanto V 0 es irreducible.
Ejemplo 15. Si V = A1K y P = a ∈ V , entonces x − a es un parámetro local
en P , es decir, mP = hx − ai y el anillo local OA1 ,P consiste de las funciones
racionales ϕ(x) = f (x)/g(x) con g(a) 6= 0. Entonces, la serie de Taylor que le
hemos asociado a ϕ
∞
X
ϕ(x) =
ak (x − a)k
k=0
satisface que
ϕ(x) −
k
X
aj (x − a)j ∈ hx − aik+1
j=0
es decir,
k
f (x) X
−
aj (x − a)j ≡ 0
g(x)
mod (x − a)k+1
j=0
o equivalentemente,
k
X
f (x) − g(x)
aj (x − a)j ≡ 0
mod (x − a)k+1
j=0
y se comprueba directamente que los coeficientes aj están dados por
aj =
como en cálculo.
ϕ(j) (a)
j!
4.6. FACTORIZACIÓN ÚNICA EN EL ANILLO LOCAL DE UN PUNTO LISO
149
Ejercicios
E JERCICIO 29. Si P ∈ V es un punto liso y u1 , . . . , un son parámetros locales en
P , demuestre que el morfismo
b V,P → K[[x1 , . . . , xn ]]
O
que inducen (vea 4.24) es un isomorfismo.
E JERCICIO 30. Demuestre que un polinomio f (x) ∈ K[x] = K[A1 ] es un parámetro local en un punto P = a ∈ K si y sólo si a es raı́z simple de f (x).
E JERCICIO 31. Demuestre que una serie de potencias
X
F =
Fi ∈ K[[x]]
i≥0
es invertible en el anillo K[[x]] si y sólo el término constante F0 6= 0.
4.6.
Factorización única en el anillo local de un punto liso
Hemos visto en 3.3 que si V es una variedad algebraica tal que K[V ] es un
DFU, entonces toda subvariedad W de V de codimensión 1 es una hipersuperficie,
i.e., existe f ∈ K[V ] tal que W = V(f ), pero si K[V ] no es un DFU se tienen
contraejemplos al resultado anterior.
A continuación probaremos que en los puntos lisos de una variedad V lo anterior es cierto localmente, i.e., que existe una vecindad W 0 de P en W tal que
W 0 = V(g) donde g ∈ OV,P . Para formular correctamente lo anterior necesitamos
precisar la noción de ser localmente un hiperplano:
Ecuaciones locales. Si W ⊆ V es una subvariedad y P ∈ W es un punto, una
familia de funciones f1 , . . . , fr ∈ OV,P se dice que son ecuaciones locales de W
en una vecindad de P si existe una vecindad afı́n V 0 ⊆ V de P tal que para W 0 =
W ∩ V 0 se tiene que
I(W 0 ) = hf1 , . . . , fr i ⊆ K[V 0 ]
con los fi ∈ K[V 0 ] representantes de los gérmenes fi ∈ OV,P . Ahora, si se define
el ideal
IW,P = {f ∈ OV,P : f se anula en W en una vecindad de P }
entonces, para V afı́n,
n
o
u
: u, v ∈ K[V ], v(P ) 6= 0, u ∈ I(W )
IW,P = f =
v
y si todas las componentes de W pasan por P (vea el ejercicio 44 de §1.3), entonces
I(W ) = IW,P ∩ K[V ].
150
4. PROPIEDADES LOCALES
L EMA 4.26. Las funciones f1 , . . . , fr ∈ OV,P son ecuaciones locales para W ⊆ V
en una vecindad de P si y sólo si IW,P = hf1 , . . . , fr i.
Demostración. Si I(W 0 ) = hf1 , . . . , fr i en K[V 0 ], entonces ciertamente las fi ∈
OV,P se anulan en la vecindad W 0 de P y por lo tanto IW,P = hf1 , . . . , fr i.
Recı́procamente, si IW,P = hf1 , . . . , fr i con las fi ∈ OV,P y si I(W ) =
hg1 , . . . , gs i, gi ∈ K[V ], considerando los gérmenes gi ∈ IW,P se tiene que
(∗)
gi =
r
X
hij fj
1≤i≤s
hij ∈ OV,P .
j=1
Ahora, las funciones fi y hij son regulares en un algún abierto distinguido V 0 =
D(g), con g ∈ K[V ] y el anillo K[V 0 ] = K[D(g)] ' K[V ]g . Observe ahora que
(∗) implica que
(∗∗)
hg1 , . . . , gs i = I(W )K[V 0 ] ⊆ hf1 , . . . , fr i.
Mostraremos ahora que I(W )K[V 0 ] = I(W 0 ) y note que, una vez probada esta
igualdad, por (∗∗) se tiene que
I(W 0 ) ⊆ hf1 , . . . , fr i
y como fi ∈ I(W 0 ), entonces I(W 0 ) = hf1 , . . . , fr i que es lo que se deseaba probar.
Resta probar la igualdad
I(W )K[V 0 ] = I(W 0 ).
Para ésto, observe que la inclusión ⊆ es directa porque W 0 ⊆ W implica I(W ) ⊆
I(W 0 ). Recı́procamente, si v ∈ I(W 0 ), como W 0 = W ∩V 0 , entonces v = u/g t con
u ∈ K[V ] y por lo tanto u = vg t ∈ I(W ) y como 1/g t ∈ K[U ] = K[D(g)], entonces v = u(1/g t ) ∈ I(W )K[U ], lo cual concluye la demostración de la igualdad
deseada.
El resultado principal que probaremos a continuación dice que para variedades
algebraicas lisas V , cualquier subvariedad W ⊆ V de codimensión 1 localmente es
una hipersuperficie, i.e., para todo punto P ∈ W existe una vecindad W 0 de P tal
que I(W 0 ) = hf i:
T EOREMA 4.27. Si V es una variedad algebraica y W ⊆ V es una subvariedad de
codimensión 1, entonces para todo punto liso P ∈ W se tiene una ecuación local
en una vecindad de P en W .
Demostración. En la demostración de 3.3 se usó fuertemente la hipótesis de que
K[V ] es un DFU. El papel local análogo a K[V ] corresponde ahora al anillo local
OV,P y en la demostración que ahora daremos usaremos que:
El anillo local OV,P de un punto liso P ∈ V es un DFU.
4.6. FACTORIZACIÓN ÚNICA EN EL ANILLO LOCAL DE UN PUNTO LISO
151
Este hecho es el contenido del teorema 4.32 que probaremos después. Usando
lo anterior procedemos a la demostración del teorema.
Para comenzar, como la afirmación del teorema es una cuestión local, podemos
suponer que V es afı́n. Sea f ∈ OV,P que se anula en W , es decir, f ∈ IW,P . Como
OV,P es un DFU, descompogamos f en factores primos. Como W es irreducible y
f se anula en W , entonces uno de los factores primos de f se debe anular en W ,
digamos g. Mostraremos que g es una ecuación local para W . Reemplazando V por
una vecidad afı́n menor, si fuera necesario, podemos suponer que g es regular en V .
Ahora, como g se anula en W entonces g ∈ I(W ) y consecuentemente W ⊆ V(g),
y como ambas variedades tienen codimensión 1 en V W es irreducible, entonces
V(g) = W ∪ W 0 y por lo tanto I(V(g)) = I(W ) ∩ I(W 0 ). Si sucediera que P ∈ W 0 ,
entonces existirı́an h ∈ I(W ), h0 ∈ I(W 0 ) tales que hh0 ∈ I(V(g)), es decir, hh0
es ceropen V(g) pero h 6= 0 y h0 6= 0 en V(g). De hh0 ∈ I(V(g) se sigue que
hh0 ∈ hgi, es decir, (hh0 )r ∈ hgi para algún r > 0, y como g es primo entonces
g|hh0 en K[V ] y por lo tanto también en OV,P , pero como este último es un DFU,
entonces g|h ó g|h0 , es decir, h se anula en V(g) ó h0 se anula en V(g) (en una
vecindad de P ) y, de nuevo, si hiciera falta, escogemos una vecindad más pequeña
de P de tal manera que h ´ h0 se anula en todo V(g), en contradicción con el hecho
de que h 6= 0 y h0 6= 0 en V(g). Se sigue que P 6∈ W 0 . Y, de nuevo, reemplazando
V por una vecindad afı́n más pequeña podemos asumir que V(g) = W .
Finalmente, si u se anula en W = V(g), entonces us ∈ hgi, para algún s > 0;
se sigue que g|us en OV,P y por lo tanto g|u (ya que g es primo) y consecuentemente
IW,P = hgi. Se aplica entonces el lema anterior.
C OROLARIO 4.28. Si V es una variedad algebraica lisa y f : V 99K Pn es una
aplicación racional, entonces el conjunto de puntos donde f no es regular tiene
codimensión ≥ 2.
Demostración. Por 1.29 y 2.13, el conjunto W de puntos de V donde f no es regular es cerrado en V . Por otra parte, como la (co)dimensión es una cuestión local,
basta verificar el corolario para una vecindad de un punto P ∈ V . Escribamos
f = [f0 , . . . , fn ] con las fi ∈ K(V ) funciones racionales. En una vecindad de P
podemos elegir las fi ∈ OV,P y sin factores comunes en OV,P . Ahora, los puntos
donde f no es regular satisfacen que f0 = f1 = · · · = fn = 0. Por otra parte, si
sucediera que el cerrado W (donde f no es regular) tuviera codimensión 1, por el
teorema anterior W tendrı́a una ecuación local: IW,P = hgi, y por lo tanto todos
los fi ∈ OV,P , como se anulan en W , entonces estarı́an en IW,P = hgi, es decir,
g|fi para todo i, una contradicción con la suposición de que no tienen factores en
común.
C OROLARIO 4.29. Si C es una curva lisa, entonces toda aplicación racional f :
C 99K Pn es regular.
152
4. PROPIEDADES LOCALES
Demostración. Por el corolario anterior, el conjunto de puntos donde f no es regular
tiene que ser vacı́o, porque dim C = 1.
C OROLARIO 4.30. Si f : C 99K C 0 es una equivalencia biracional entre curvas
proyectivas lisas, entonces f es un isomorfismo (biregular).
Demostración. Viendo f como f : C 99K C 0 ,→ PnK se sigue que f es regular. Lo
mismo para su inversa.
C OROLARIO 4.31. Dos curvas proyectivas lisas son isomorfas si y sólo si sus campos de funciones son isomorfos.
Terminamos esta sección con la demostración del teorema de que en un punto
liso el anillo local OV,P es un DFU. Además de haber usado este resultado en la
demostración del teorema 4.27 (y por lo tanto de sus corolarios en esta sección)
tendremos ocasión de usarlo para probar otros resultados importantes, por ejemplo
en la sección siguiente lo usaremos para probar que toda variedad lisa es normal.
T EOREMA 4.32. Si P es un punto liso de una variedad algebraica V , entonces el
anillo local OV,P es un DFU.
Demostración. Por el teorema 4.24 y el ejercicio 29 de §4.5 se tiene un monomorfismo
b V,P ' K[[x1 , . . . , xn ].
OV,P O
b V,P formado por las series formales con término inb P el ideal máximo de O
Sea m
b kP es el ideal formado por las series formales sin
dependiente nulo. Entonces, m
b V,P que manda
términos de grado < k. Por definición de la inclusión OV,P O
cada función f ∈ OV,P en su serie de Taylor Φ(f ) ∈ K[[x1 , . . . , xn ]] se tiene que
f − Sk (u1 , . . . , un ) ∈ mk+1
para toda k ≥ 0. Dicho de otra manera, se tiene que
P
b kP ∩ OV,P = mkP .
m
b es la completación m-ádica de A y m
b =
Resumiendo, si A = OV,P , m = mP , A
b hemos mostrado que
mA,
b es un anillo local que es un DFU.
(i) A
b = mk , para todo k > 0.
bk ∩ A
(ii) m
b y cualquier entero k > 0, existe Sk ∈ A tal que
(iii) Para cualquier F ∈ A
k
b
F − Sk ∈ m A,
donde la parte (iii) es por la definición de serie de Taylor. Probaremos a continuación
que todo anillo local (A, m) que satisface las condiciones anteriores es un DFU. De
b y este último es dominio entero, lo que falta por probar es que
hecho, como A ⊆ A
4.6. FACTORIZACIÓN ÚNICA EN EL ANILLO LOCAL DE UN PUNTO LISO
153
si a|bc en A y si mcd(a, b) = 1, entonces a|c en A, sabiendo que ésto es válido en
b Basta entonces probar que
A.
b
(1) mcd(a, b) = 1 en A implica que mcd(a, b) = 1 en A,
b implica que a|c en A.
(2) a|c en A
Para probar (1) y (2), observe éstos se siguen de la afirmación:
b ∩ A = I.
(3) Para todo ideal I ⊆ A se tiene que (I A)
b entonces c ∈ A ∩ haiA
b y ası́ (3)
En efecto, asumiendo (3) observe que si a|c en A,
implica que c ∈ hai, i.e., a|c en A, lo cual es (2). Para (1), si mcd(a, b) 6= 1 en
b entonces tendrı́an un factor común no trivial en A
b y podemos escribir a = πa0 ,
A,
b coprimos. Se tiene entonces que ab0 − ba0 = 0 y por la
b = πb0 con a0 , b0 ∈ A
b k tales que
hipótesis (iii) aplicada a a0 y b0 , existen xk , yk ∈ A y uk , vk ∈ m
a0 = xk + uk
y
b0 = yk + vk
y por lo tanto
ayk − bxk = a(b0 − vk ) − b(a0 − uk ) = ab0 − ba0 − avk + buk = −avv + buk
b
b k = ha, bimk A
∈ ha, bim
y como ayk −bxk ∈ A, entonces por (3), ayk −bxk ∈ ha, bimk , es decir, ayk −bxk =
atk + bsk con sk , tk ∈ mk . Se sigue que
a(yk − tk ) = b(xk + sk )
y ası́
a0 (yk − tk ) = b0 (xk + sk )
0 , b0 son coprimos en A
b se sigue que a0 |xk + sk , es decir, xk + sk = λa0 ,
y como aT
k
b = 0, para k suficientemente grande se tiene que a, b0 6∈ m
b k−1 y
y como m
b
ası́ xk + sk 6∈ mk−1 por lo que λ 6∈ m y consecuentemente λ es una unidad de A.
0
0
b k + sk ) = (a )A
b y ası́ xk + sk |a y por lo tanto xk + sk |a en A.
b
Se sigue que A(x
Por (2) se sigue entonces que xk + sk |a en A, i.e., a = (xk + sk )h con h ∈ A. Pero,
a(yk − tk ) = b(xk + sk ) y por lo tanto b = (yk + sk )h. Hemos entonces mostrado
que h divide a a y b en A, y como mcd(a, b) = 1 se debe entonces tener que h es
unidad de A, y ası́ hai = hxk + sk i = ha0 i, en contradicción con el hecho de que a0
b Esto prueba (1).
es divisor propio de a en A.
b ∩ A ⊆ I.
Resta sólo demostrar (3). Para ésto, note que basta probar que (I A)
P
b
Supongamos que I = ha1 , . . . , an i y sea x ∈ (I A) ∩ A. Entonces, x =
ai αi ,
(n)
(n)
(n)
n
b
b tales que αi = ai + ξi(n) .
con αi ∈ A. Por (iii) existen ai ∈ A y ξi ∈ m
Entonces,
X (n)
X (n)
b n.
x=
ai ai +
ξi ai =: a + ξ
con a ∈ I y ξ ∈ m
b n =Tmn y por lo tanto x ∈ IT+ mn para todo n > 0.
Se sigue que ξ = x − a ∈ A ∩ m
De aquı́ se sigue que x ∈ I porque (I + mn ) = I ya que mn = 0.
154
4. PROPIEDADES LOCALES
Ejercicios
4.7.
Variedades normales
Una variedad afı́n irreducible V es normal si el anillo K[V ] es integralmente
cerrado (en su campo de fracciones K(V )), es decir, todo elemento de K(V ) que
es entero sobre K[V ] está en K[V ].
T EOREMA 4.33. Sea V una variedad afı́n irreducible. Entonces, V es normal si y
sólo si todos los anillos locales OV,P son integralmente cerrados.
Demostración. Supongamos que f ∈ K(V ) es entero sobre OV,P , i.e., satisface una
ecuación de la forma
(1)
f n + a1 f n−1 + · · · + an = 0
con los ai ∈ OV,P .
Escribamos ai = bi /ci con bi , ci ∈ K[V ] y los ci 6= 0. Multiplicando (1) por dn
con d = c1 · · · cn se obtiene que
(df )n +(da1 )(df )n−1 +· · ·+(dn−1 an−1 )(df )+(dn an ) = 0
con los di ai ∈ K[V ]
y ası́ df es entero sobre K[V ] y como éste es integralmente cerrado, entonces e =
df ∈ K[V ], es decir, f = e/d ∈ OV,P ya que d 6= 0.
Supongamos ahora que todos los OV,P son integralmente cerrados. Sea f ∈
K(V ) entero sobre K[V ]. Entonces, f satisface (1) pero con los ai ∈ K[V ]. Ahora,
como K[V ] ⊆ OV,P para todo P ∈ V , entonces f es entero
T sobre OV,P y ası́ por
hipótesis f ∈ OV,P para todo P y por lo tanto f ∈ K[V ] = P ∈V OV,P .
C OROLARIO 4.34. Toda variedad lisa es normal.
Demostración. Como todo P ∈ V es liso, entonces todo los OV,P son DFU y por lo
tanto son integralmente cerrados.
Ejemplo 16. El ejemplo siguiente es de una variedad que no es lisa pero sı́ es normal:
el cono V = V(x2 + y 2 − z 2 ) ⊆ A3 , con car K 6= 2, tiene una singularidad en
(0, 0, 0), sin embargo es normal. En efecto, observe que
K[V ] ' {f +zg : f, g ∈ K[x, y]}
y
K(V ) ' {f +zg : f, g ∈ K(x, y)}
y por lo tanto K[V ] es un módulo finitamente generado sobre K[x, y], i.e., K[V ]
es entero sobre K[x, y]. Ahora, si ϕ = f + zg ∈ K(V ) es entero sobre K[V ] por
transitividad de la dependencia entera ϕ es entero sobre K[x, y]. Observe ahora que
el polinomio mı́nimo de ϕ es
t2 − 2f t + f 2 − (x2 + y 2 )g 2
y como sus coeficientes están en K[x, y], entonces 2f ∈ K[x, y] y como car K 6= 2,
se sigue que f ∈ K[x, y]. Similarmente, f 2 − (x2 + y 2 )g 2 ∈ K[x, y] y f ∈ K[x, y]
4.7. VARIEDADES NORMALES
155
implican que (x2 +y 2 )g 2 ∈ K[x, y], y como x2 +y 2 = (x+iy)(x−iy) es producto
de dos polinomios irreducibles coprimos, entonces
(x2 + y 2 )g 2 = (x + iy)(x − iy)g 2 ∈ K[x, y]
implica que g ∈ K[x, y]. Se sigue que ϕ = f + zg ∈ K[V ] = K[x, y, z]/I(V ).
Ejemplo 17. Este es un ejemplo de una variedad que no es normal: la cúbica nodal
C = V(y 2 − x3 − x2 ) ⊆ A2 . En efecto, la función racional f = y/x ∈ K(C) es
entera sobre K[C] ya que satisface la ecuación
t2 − 1 − x = 0
y claramente f 6∈ K[C].
Se tiene el análogo a 4.27:
T EOREMA 4.35. Si V es una variedad normal y W ⊆ V es una subvariedad de
codimensión 1, entonces existe un abierto afı́n V 0 ⊆ V tal que V 0 ∩ W 6= ∅ y tal
que para W 0 = V 0 ∩ W el ideal I(W 0 ) de K[V 0 ] es principal.
Demostración.
También se tiene el análogo de 4.28:
C OROLARIO 4.36. El conjunto de puntos singulares de una variedad normal tiene
codimensión ≥ 2.
Demostración. Supongamos que dim V = n y sea Vsing ⊆ V el conjunto algebraico
(cerrado) de puntos singulares de V . Supongamos que V contiene una componente
irreducible W ⊆ Vsing con dim W = n − 1. Como la codimensión de W es 1,
por el teorema anterior existe V 0 ⊆ V un abierto afı́n tal que W 0 = V 0 ∩ W 6= ∅.
Entonces, existe un punto P ∈ W 0 que es liso visto en W 0 pero no lo es en V 0 . C OROLARIO 4.37. Si C es una curva algebraica, entonces C es lisa si y sólo si C
es normal.
Demostración. Para la implicación faltante, como Csing ⊆ C tiene codimensión
≥ 2, entonces Csing = ∅.
O BSERVACI ÓN . El teorema anterior llama la atención sobre aquellas variedades
para las cuales su conjunto de puntos singulares Vsing tiene codimensión ≥ 2. Variedades con esta propiedad se dice que son lisas en codimensión 1. Ası́, el teorema
anterior dice que las variedades normales son lisas en codimensión 1. Por ejemplo, una superficie algebraica normal sólo puede tener singularidades aisladas: su
conjunto de puntos singulares Vsing no puede contener una curva.
156
4. PROPIEDADES LOCALES
Ejercicios
E JERCICIO 32. Si V una variedad afı́n irreducible, el anillo A = K[V ] es un dominio entero y su campo de fracciones es K(V ). Demuestre la contraparte algebraica
del teorema 4.26, i.e., A es integralmente cerrado en su campo de fracciones K(A)
si y sólo si para todos los ideales máximos m de A, las localizaciones Am son integralmente cerradas en K(A). En estas condiciones se dice que el anillo A es normal.
E JERCICIO 33. En la subsección sobre gérmenes en §4.3 se interpretaron los elementos α ∈ OV,P como gérmenes α = [s, U ] de funciones regulares s en una
vecindad U de P . Se tiene una situación similar para subvariedades irreducibles
W ⊆ V de una variedad afı́n V , considerando la localización del anillo K[V ] en
el ideal primo I(W ) ⊆ K[V ] y al anillo local resultante K[V ]I(W ) se le llama el
anillo local de V a lo largo de W y se denota por OV,W .
(i) Demuestre que si V es irreducible, entonces OV,W ⊆ K(V ) está formado
por todas las funciones racionales que son regulares en un punto de W , y
por lo tanto son regulares en un abierto denso de W .
(ii) Demuestre que el ideal máximo
mW ⊆ OV,W
está formado por las funciones que se anulan en W .
(iii) Demuestre que el campo residual
OV,W /mW = K(W )
es el campo de funciones de W .
E JERCICIO 34. Las construcciones del ejercicio anterior se pueden generalizar al
caso cuando V es una variedad casi-proyectiva y W ⊆ V es una subvariedad cerrada
irreducible. En este caso el anillo local OV,W es el anillo local de la subvariedad
W ∩ V 0 , donde V 0 ⊆ V es subvariedad afı́n abierta tal que W ∩ V 0 6= ∅. Demuestre
que el anillo local OV,W definido es independiente de la elección de la subvariedad
afı́n abierta V 0 ⊆ V .
E JERCICIO 35. Si V es una variedad afı́n irreducible, demuestre que V es normal
si y sólo si su anillo local OV,W en cualquier subvariedad irreducible W ⊆ V es
integralmente cerrado.
4.8.
Ramificación
En el ejercicio 16 de §3.3 se demostró que para todo morfismo finito f : V →
W sus fibras f −1 (Q) son finitas y f es suprayectivo. Por analogı́a con el teorema
sobre la dimensión de las fibras 3.32, es natural esperar que el cardinal de estas fibras
4.8. RAMIFICACIÓN
157
|f −1 (Q)| sea constante para todo punto Q de un abierto W 0 ⊆ W y que varı́e sólo
en un cerrado de W . Los ejemplos siguiente ilustran lo que se tendrá en general:
Ejemplo 18. El morfismo finito f : A1 → A1 dado por x 7→ x2 tiene gr f = 2 (vea
el ejercicio 20 de §4.3) donde se definió gr f = [K(V ) : K(W )]) y si car K 6= 2
cada punto Q 6= 0 de A1 satisface que |f −1 (Q)| = 2 y en el punto 0 ∈ A1 se tiene
que |f −1 (0)| = 1.
Lo anterior sugiere que |f −1 (Q)| ≤ gr f , sin embargo el ejemplo siguiente
muestra que esto puede ser falso:
Ejemplo 19. La parametrización f : A1 → C = V(y 2 − x3 − x2 ) ⊆ A2 de la cúbica
cuspidal, dada por f (t) = (t2 − 1, t(t2 − 1)) tiene gr f = 1, pero la imagen inversa
del punto singular 0 = (0, 0) ∈ C consiste de dos puntos f −1 (0, 0) = {±1}.
Lo que falla en este ejemplo es que la curva C no es normal:
T EOREMA 4.38. Si f : V → W es un morfismo finito entre variedades algebraicas
irreducibles con W normal, entonces para todo Q ∈ W se tiene que
|f −1 (Q)| ≤ gr f.
Demostración. Podemos suponer que V y W son afines. Pongamos n = gr f =
[K(V ) : K(W )]. Como W es normal, K[W ] es integralmente cerrado en K[V ]
y ası́, para todo α ∈ K[V ] los coeficientes del polinomio mı́nimo de α están en
K[W ]. Supongamos que f −1 (Q) = {P1 , . . . , Pk } y supongamos que α ∈ K[V ]
tiene valores distintos α(Pi ) en los puntos Pi , 1 ≤ i ≤ k. Note que una tal α se
puede encontrar fácilmente si observamos que si V ⊆ Am , entonces α ∈ K[V ] =
K[x1 , . . . , xm ]/I(V ) y ası́ basta encontrar un polinomio α ∈ K[x1 , . . . , xm ] con
esa propiedad, lo cual es obvio. Ahora, sea µ ∈ K[W ] el polinomio mı́nimo de α;
como [K(V ) : K(W )] = n, entonces gr µ ≤ n y los coeficientes de µ están en
K[W ]. Si µ = t` + a1 t`−1 + · · · + a` , reemplazando los coeficientes ai por sus
valores ai (Q) en Q obtenemos el polinomio µ = t` + a1 (Q)t`−1 + · · · + a` (Q).
Como α tiene valores distintos en los Pi , entonces µ toma distintos valores µ(Pi ) y
por lo tanto
k ≤ gr µ ≤ gr µ ≤ n
y consecuentemente |f −1 (Q)| = k ≤ n = gr f , como se querı́a.
Ramificación. Un morfismo finito f : V → W entre variedades irreducibles con
W normal se dice que es no ramificado en un punto Q ∈ W si
|f −1 (Q)| = gr f.
En caso contrario diremos que f es ramificado en Q y que Q es un punto de ramificación de f .
158
4. PROPIEDADES LOCALES
T EOREMA 4.39. Si f : V → W es un morfismo finito entre variedades irreducibles
con W normal, el conjunto de puntos donde f es no ramificado es abierto. Más aún,
si la extensión finita de campos K(W ) ⊆ K(V ) es separable, entonces el conjunto
de puntos donde f es no ramificado es no vacı́o.
Demostración. Supongamos que f no es ramificado en Q ∈ W por lo que f −1 (Q) =
{P1 , . . . , Pn } = gr f y escojamos α ∈ K[V ] tal que toma valores α(Pi ) distintos,
1 ≤ i ≤ n. Sea µ el polinomio mı́nimo de α. Con la notación de la demostración
del teorema anterior y por la última desigualdad en esa demostración, se tiene que
gr µ = gr µ = n = gr f y µ tiene n raı́ces distintas. Sea D(µ) el discriminante
de µ; entonces, la condición de que f no se ramifica en Q se puede reformular en
términos del discriminante como
D(µ) = D(µ)(Q) 6= 0.
Pero como D es un polinomio, la igualdad anterior implica que D(µ)(Q0 ) 6= 0 para
todo Q0 en una vecindad de Q y ası́ f no se ramifica en Q0 , i.e., el conjunto de
puntos donde f no se ramifica es abierto, lo cual demuestra la primera afirmación
del teorema.
Supongamos ahora que K(W ) ⊆ K(V ) es una extensión finita separable y
sea α ∈ K[V ] un elemento primitivo; sea µ el polinomio mı́nimo de α. Entonces,
gr µ = n = gr f y D(µ) 6= 0. Se sigue que existen puntos Q ∈ W tales que
D(µ)(Q) 6= 0 y por lo tanto f no es ramificado en esos puntos.
En las condiciones del teorema anterior, el conjunto de puntos de W donde
f : V → W es ramificado es un conjunto cerrado en W y se llama el lugar de
ramificación de f . Si f : V → W es un morfismo finito tal que K(W ) ⊆ K(V ) es
una extensión finita separable, diremos que f : V → W es un morfismo separable.
Si f no es separable, diremos que es un morfismo inseparable.
Ejemplo 20. Si la caracterı́stica del campo base es car K = p > 0, el morfismo
f : A1 → A1 dado por x 7→ xp es inseparable.
Ramificación y lisidad. Supongamos ahora que f : V → W es finito con W lisa
(ergo, normal por 4.43):
T EOREMA 4.40. Si f : V → W es finita y no ramificada con W lisa, entonces f
es étale.
Demostración. Por el teorema anterior K(W ) ⊆ K(V ) es una extensión finita
separable.
Ejercicios
E JERCICIO xx.
Capı́tulo
5
Intersección
Hemos visto en 3.28, que si se tienen subvariedades V, W ⊆ Pn con dim V +
dim W ≥ n, entonces V ∩ W 6= ∅. En particular, cualesquiera dos curvas proyectivas planas C, C 0 ⊆ P2 se intersectan. El ejemplo siguiente ilustra la naturaleza
proyectiva del resultado anterior: si se tienen dos cı́rculos concéntricos
C = V(x2 + y 2 − 1)
C 0 = V(x2 + y 2 − 4)
y
es claro que no se intersectan en el plano afı́n A2 (no importando cuál sea el campo
base K). Sin embargo, si se homogeinizan los polinomios anteriores y se consideran
las curvas proyectivas correspondientes
C = V(x2 + y 2 − z 2 )
y
0
C = V(x2 + y 2 − 4z 2 )
en el plano proyectivo P2 , es claro que los puntos
√
√
[1, −1, 0]
y
[1, − −1, 0]
(que son el mismo punto si car K = 2) están en ambas curvas proyectivas. De
hecho, la intersección es
0
C ∩ C = V(x2 + y 2 − z 2 , x2 + y 2 − 4z 2 )
donde notamos que el ideal que la define es
hx2 + y 2 − z 2 , x2 + y 2 − 4z 2 i = hx2 + y 2 − z 2 , z 2 i
0
y por lo tanto los puntos en común de C y C son los puntos que están en C y en
la recta L = V(z 2 ) = V(z). Notamos entonces que como L = V(z 2 ), es natural el
0
contar los puntos en la recta con multiplicidad 2. Se sigue que las cónicas C y C se
intersectan en 4 puntos, contando multiplicidades. El teorema de Bézout que probaremos en este capı́tulo afirma que cualesquiera dos subvariedades proyectivas irreducibles del plano proyectivo P2 , dadas por polinomios irreducibles homogéneos de
grados m y n, respectivamente, tienen mn puntos en común, contando multiplicidades y definiendo éstas apropiadamente. Para motivar esta definición, considere el
caso de un polinomio en una variable f ∈ K[x]. El número de raı́ces del polinomio
es igual a su grado, contando con sus multiplicidades las raı́ces repetidas. Lo que
tiene que precisarse en el caso general de la intersección de dos subvariedades es
cómo se deben contar los puntos en la intersección.
159
160
5.1.
5. INTERSECCIÓN
Divisores
Para comenzar a precisar las ideas anteriores, recuerde que una función polinomial f ∈ K[x] está unı́vocamente determinada (salvo una constante) por sus raı́ces
y sus multiplicidades: si α1 , . . . , αr ∈ A1K son las raı́ces def con multiplicidades
i1 , . . . , ir , respectivamente, entonces
f (x) = c(x − α1 )i1 · · · (x − αr )ir .
Análogamente, si ϕ(x) = f (x)/g(x) es una función racional con f, g ∈ K[x],
entonces ϕ(x) está unı́vocamente determinada por los ceros de f y g, es decir, ϕ
está determinada por sus ceros y polos (los puntos donde ϕ no es regular). Para
distinguir entre los ceros y polos de ϕ, asignaremos multiplicidad negativa a los
polos, i.e., a los ceros del denominador g. Se sigue que ϕ está determinada por
sus ceros Z1 , . . . , zr con multiplicidades i1 , . . . , ir y por sus polos p1 , . . . , ps con
multiplicidades j1 , . . . , js .
Para generalizar lo anterior al caso cuando se tiene una función racional ϕ ∈
K(V ) en una variedad algebraica V arbitraria, recordemos que para una función
regular f ∈ K[V ], la subvariedad V(f ) ⊆ V es pura de codimensión 1, es decir,
V(f ) = W1 ∪ · · · ∪ Wr
con Wi ⊆ V subvariedades irreducibles de codimensión 1. Con esto en mente, podemos considerar asignar a una función racional ϕ ∈ K(V ) una colección finita
de subvariedades irreducibles de codimensión 1 en V , con ciertas multiplicidades
que son enteros positivos o negativos. Si W1 , . . . , Wr son subvariedades irreducibles de V de codimensión 1 y con multiplicidades m1 , . . . , mr (enteros positivos o
negativos), diremos que se tiene un divisor en V y lo denotamos mediante
(1)
D = m1 W1 + · · · + mr Wr
(una suma formal). Dicho en otras palabras, un divisor en V es un elemento del
grupo libre abeliano generado por las subvariedades de codimensión 1 en V . Denotaremos a este grupo por Div(V ) y lo llamaremos el grupo de divisores de V .
El elemento neutro de este grupo es el divisor cero 0, es decir, en (1) todos los
coeficientes son mi = 0. Dados dos divisores
D = m1 W1 + · · · + mr Wr
y
D0 = m01 W1 + · · · + m0r Wr
(poniendo mj = 0 si Wj no aparece en D y similarmente para D0 ), su suma es
D + D0 = (m1 + m01 )W1 + · · · + (mr + m0r )Wr .
El inverso del divisor D dado en (1) es
−D = −m1 W1 − · · · − mr Wr .
Si en un divisor (1) se tiene que todos los mi ≥ 0, diremos que el divisor D es
un divisor efectivo o divisor positivo. Si Wi ⊆ V es una subvariedad irreducible de
5.1. DIVISORES
161
codimensión 1, el divisor D = Wi se dice que es un divisor primo. Si en (1) todos
los mi 6= 0, el conjunto algebraico
W1 ∪ · · · ∪ Wr
se llama el soporte del divisor D y se denota mediante supp D.
Si en el divisor D = m1 W1 + · · · + mr Wr todos los divisores primos Wi son
diferentes, denotaremos el coeficiente mi de Wi mediante νWi (D).
Divisores principales. Si f ∈ K(V ), f 6= 0, queremos asignarle a f un divisor y
para ésto debemos asignar a cada subvariedad W ⊆ V de codimensión 1 un entero
νW (f ). La motivación para lo que queremos hacer es pensar en el caso cuando
f ∈ K(A1 ) = K(x) y que en este caso W ⊆ A1 de codimensión 1 es tan sólo un
punto P , en cuyo caso el entero νP (f ) es el orden del cero o polo P de f , donde
si P no es cero ni polo se pone νP (f ) = 0. Para poder llevar a cabo el objetivo
general, asumiremos que la variedad V es lisa en codimensión 1, lo que quiere decir
que el conjunto de puntos singulares de V tiene codimensión ≥ 2. Consideremos
entonces una subvariedad W ⊆ V de codimensión 1. Por el teorema 4.xx existe un
abierto afı́n liso U ⊆ V que intersecta a W y tal que W está determinado en U por
una sola ecuación local, i.e., I(W ) = hui ⊆ K[U ]. Observamos entonces que como
K[U ] es noetheriano, entonces
\
huk i = 0
k≥0
U
νW
: K[U ] → N ∪ {∞} mediante
(
k si f ∈ huk i pero f 6∈ huk+1 i,
U
νW
(f ) =
∞ si f = 0.
y ası́ se define la función
U no depende del abierto liso afı́n U con las propiedades
L EMA 5.1. La función νW
listadas.
Demostración. Supongamos primero que se tiene otro abierto liso afı́n U 0 ⊆ U
tal que U ∩ W 6= ∅. Entonces u sigue siendo una ecuación local de W en U 0 y
claramente
U0
U
νW
(f ) = νW
(f ).
0
Supongamos ahora que U es cualquier otro abierto afı́n liso que satisface las
mismas condiciones que U , i.e., U 0 ∩ W y U ∩ W son abiertos no vacı́os en W .
Como W es irreducible, se sigue que
(U ∩ W ) ∩ (U 0 ∩ W ) 6= ∅.
Escojamos entonces un abierto afı́n no vacı́o U 00 ⊆ U 0 ∩ U tal que
∅=
6 U 00 ∩ W ⊆ U ∩ U 0 ∩ W.
162
5. INTERSECCIÓN
Por el primer caso considerado se tiene que
00
U
U
νW
(f ) = νW
(f )
0
00
U
U
νW
(f ) = νW
(f )
y
y por lo tanto
0
U
U
νW
(f ) = νW
(f )
como se querı́a.
Podemos entonces quitar el supraı́ndice U en la notación de νW . Observe ahora
que si V es irreducible, toda función f ∈ K(V ) se puede escribir de la forma
f = g/h, con f, g ∈ K[V ] y se define
νW (f ) = νW (f ) − νW (g)
y dejamos como un ejercicio el probar que la función νW es una valuación no arquimediana, es decir, satisface las propiedades:
(i) νW (f g) = νW (f ) + νW (g).
(ii) νW (f + g) ≥ {νW (f ), νW (g)}.
lo cual se sigue directamente de la definición de νW y de la irreducibilidad de W .
Ceros y polos. Si νW (f ) > 0, diremos que f ∈ K(V ) tiene un cero de orden
νW (f ) en W . Si νW (f ) < 0, diremos que f tiene un polo de orden −νW ((f ) en
W . Es claro que estos conceptos generalizan las nociones usuales cuando W es un
punto de V .
L EMA 5.2. Si V es lisa en codimensión 1 y f ∈ K(V )∗ , entonces νW (f ) = 0 para
casi todos los divisores primos W de V .
Demostración. Consideremos primero el caso cuando V es afı́n y f ∈ K[V ]. La
definición de νW (f ) dice que si W no es una de las componentes irreducibles de
V(f ) entonces νW (f ) = 0 y ası́ el lema es cierto para f ∈ K[V ]. Si ahora tomamos
f ∈ K(V ) y V afı́n como antes, escribamos f = g/h con g, h ∈ K[V ] y note que
por el caso considerado primero se tiene que νW (f ) = νW (g) − νW (h) = 0 si W
no es una componente de V(g) o de V(h).
Para el caso general, V se puede cubrir con un número finito de abiertos afines
Vi y cada W ⊆ V de codimensión 1 intersecta al menos un Vi de tal forma que
νW (f ) 6= 0 sólo para aquellos W tales que son cerraduras de irreducibles W 0 ⊆ Vi
y que satisfacen que νW 0 (f ) 6= 0. Como el número de componentes Vi es finito y
por el caso considerado en el primer párrafo de la demostración el número de los
W 0 ⊆ Vi tales que νW 0 (f ) 6= 0 también es finito, entonces el número de los W ⊆ V
de codimensión 1 tales que νW (f ) también es finito.
Gracias al lema anterior, dada f ∈ K(V )∗ , la suma
X
νW (f )W
W
5.1. DIVISORES
163
es finita (donde las W ⊆ V recorre el conjunto de todas las subvariedades de codimensión 1 de V ). El divisor anterior se llama el divisor principal asociado a la
función f ∈ K(V )∗ y se denota por
X
νW (f )W.
(f ) =
W
Al sumando
(f )0 =
X
νW (f )W
νW (f )>0
se le llama el divisor de ceros de f , y al sumando
X
(f )∞ =
νW (f )W
νW (f )<0
se le llama el divisor de polos de f . Es claro que
(i) (f )0 ≥ 0.
(ii) (f )∞ ≥ 0.
(iii) (f ) = (f )0 − (f )∞ .
Dejamos como un ejercicio el probar que
(iv) (f g) = (f ) + (g).
(v) (f ) = 0 si y sólo si f ∈ K.
(vi) (f ) ≥ 0 si f ∈ K[V ].
De hecho, si V es una variedad lisa e irreducible se tiene el recı́proco de la
propiedad (vi):
L EMA 5.3. Si V es una variedad lisa e irreducible y f ∈ K(V ) es tal que (f ) ≥ 0,
entonces f es regular en V .
Demostración. Si existiera un punto P ∈ V donde f no fuera regular, escribiendo
f = g/h con g, h ∈ OV,P , como P es liso entonces OV,P es un DFU1 y ası́ podemos
suponer que g/h está en forma mı́nima, i.e., g y h no tienen factores primos en
común. Ası́, como f 6∈ OV,P , existe un primo π ∈ OV,P que aparece en h pero no
en g. Se sigue que, en una vecindad afı́n U de P , la variedad V(π) es irreducible y
de codimensión 1. Sea W = V(π) su cerradura en V . Entonces, νW (f ) < 0 porque
π aparece en el denominador de f pero no en su numerador. Una contradicción. C OROLARIO 5.4. Si V es una variedad proyectiva lisa e irreducible, entonces:
(1) Si f ∈ K(V ) es tal que (f ) ≥ 0, entonces f es constante.
(2) Si f, g ∈ K(V ) son tales que (f ) = (g), entonces f = cg con c ∈ K una
constante.
1Este es un resultado importante que hemos estado asumiendo, desde antes, por ejemplo en 4.xx.
164
5. INTERSECCIÓN
Demostración. Se sigue del hecho de que K[V ] = K.
El grupo de clases de divisores. La propiedad (iv) anterior implica que el conjunto
de divisores principales de V es un subgrupo del grupo de divisores Div(V ). El
grupo cociente se llama el grupo de clases de divisores de V y se denota mediante
Cl(V ).
D, D0
Si dos divisores
∈ Div V pertenencen a la misma clase lateral en Cl V , es
0
decir, D − D = (f ) para un f ∈ K(V ), se dice que D es equivalente a D0 y lo
denotamos mediante D ∼ D0 .
Ejemplo 1. Si V = An , cualquier W ⊆ An de codimensión 1 es de la forma
W = V(f ) con f ∈ K[An ]. En particular, todo divisor primo W es principal
porque W = V(f ) es irreducible y ası́ νW (f ) = 1, i.e., (f ) = 1 · W = W . Se sigue
que todo divisor de V es principal porque
D = m1 W1 + · · · + mr Wr = m1 (f1 ) + · · · + mr (fr ) = (f1m1 ) + · · · + (frmr )
= (f1m1 · · · frmr )
y por lo tanto Cl(An ) = 0.
Ejemplo 2. Si V = Pn , toda W ⊆ Pn de codimensión 1 es una hipersuperficie
W = V(f ) con f ∈ K[Pn ] homogéneo. Más aún, si gr f = k, entonces en la carta
afı́n Ui de Pn se tiene que I(W ) = hxki f i. Por lo tanto, si f ∈ K(Pn ) escribiendo
f = g/h con f, h homogéneos del mismo grado y factorizando g y h en producto
de irreducibles
Y m
Y nj
g=
gi i
y
h=
hj
si Wi = V(gi ) y Wj0 = V(hj ), se tiene que
X
X
(f ) = (g) − (h) =
mi Wi −
nj Wj0
P
P
donde gr g = gr h, y por lo tanto mi gr gi =
nj gr hj , y como gr Wi = gr gi
0
y gr Wj = gr hj , entonces
X
X
mi gr Wi =
nj gr hj
y consecuentemente
gr(f ) = gr((g) − (h)) = gr(g) − gr(h) = 0.
Hemos ası́ probado que todos los divisores principales de Pn tienen grado cero.
Se tiene también la recı́proca: siP
D ∈ Div Pn tiene grado gr D = 0, entonces D
es principal.
D =
mi Wi , conQWi primos, entonces Wi = (fi ) y
P En efecto,Psi Q
mi
ası́ D =P mi (fi ) = ( fi ) donde f = fimi es homogéneo de grado cero
porque mi gr fi = 0.
5.2. DIVISORES EN CURVAS
165
Hemos mostrado entonces que el grado de un divisor es un homomorfismo inyectivo de grupos
gr : Cl(Pn ) → Z
D 7→ gr D.
Más aún, es suprayectivo porque para cualquier d ∈ Z y cualquier hipersuperficie
irreducible W ⊆ Pn de grado 1, es decir, un hiperplano, el divisor D = dW tiene
grado d. Se sigue que Cl Pn ' Z.
5.2.
Divisores en curvas
Si C es una curva proyectiva lisa los subconjuntos irreducibles de codimensión
1 en C son puntos y por lo tanto un divisor en C es una expresión de la forma
D = m1 P1 + · · · + mr Pr
com mj ∈ Z y Pj puntos de C. En este caso el grado del divisor D es gr D =
porque gr Pi = 1.
P
mi
T EOREMA 5.5. Si f : C → C 0 es un morfismo (regular) suprayectivo entre curvas
proyectivas lisas, entonces para todo Q ∈ C 0 la fibra f −1 (Q) consta de un número
finito de puntos y por lo tanto es un divisor en C al que denotaremos por f ∗ (Q).
Más aún, gr f = gr f ∗ (Q).
Demostración.
C OROLARIO 5.6. Si C es una curva proyectiva lisa y (f ) ∈ Div C, entonces
gr(f ) = 0.
Demostración. f ∈ K(C) corresponde a una aplicación racional f : C 99K P1 que
por 4.xx es regular, i.e., f : C → P1 . Ahora, para el punto 0 ∈ A1 ⊆ P1 y para el
punto ∞ ∈ P1 note que
f ∗ (0) = (f )0
y
f ∗ (∞) = (f )∞ .
Entonces, por el teorema anterior se tiene la última igualdad en
gr(f ) = gr(f )0 − gr(f )∞ = gr f ∗ (0) − gr f ∗ (∞) = gr f − gr f = 0.
De este corolario se sigue que si D ∼ D0 en una curva proyectiva lisa, entonces
gr D = gr D0 . Se tiene entonces un homomorfismo de grupos
gr : Cl C → Z
que obviamente es suprayectivo (todo d ∈ Z proviene del divisor dP ∈ Div C, para
P cualquier punto de C). El núcleo de este homomorfismo consiste de las clases de
divisores [D] ∈ Div C de grado cero. Denotaremos este subgrupo por Cl0 (C). La
importancia de este subgrupo la muestra el resultado siguiente:
166
5. INTERSECCIÓN
P ROPOSICI ÓN 5.7. Una curva proyectiva lisa C es racional si y sólo si Cl0 C = 0.
Demostración. Si C ' P1 , en el ejemplo 2 de §5.1 vimos que Cl C ' Cl P1 ' Z y
por lo tanto Cl0 C = 0. Recı́procamente, si Cl0 C = 0, esto quiere decir que todo
divisor de grado cero es principal. En particular, si P 6= Q son dos puntos de C,
existe una función f ∈ K(C) tal que (f ) = P − Q. Viendo a f como una función
regular f : C → P1
de donde se sigue que f es biracional y como C y P1 son curvas proyectivas
lisas, por 4.xx se sigue que f es biregular y por lo tanto C es racional.
5.3.
El teorema de Bézout
Supongamos que C ⊆ Pn es una curva proyectiva lisa. Sea F un polinomio
homogéneo en Pn , i.e., F ∈ Kh [Pn ] que no es idénticamente cero en C. Considere
la hipersuperficie V(F ) y el divisor principal (F ) de F en C
X
(F ) =
mi Pi
con Pi ∈ C tal que F (P ) = 0.
Note que este divisor está considerando los puntos en la intersección de C con V(F ).
Al grado de este divisor gr(F ) se le llama el número de intersección de C con V(F )
y se denota por
CF
y ası́, el grado de este divisor cuenta el número de puntos en la intersección C ∩
V(F ). Una consecuencia inmediata del corolario 5.6 es:
C OROLARIO 5.8. El número CF es el mismo para todos los polinomios homogéneos
del mismo grado.
Demostración. Si gr F = gr G, entonces f = F/G ∈ K(C) es homogéneo de
grado cero y (f ) = (F ) − (G), de donde se sigue que gr(F ) = gr(G) + gr(f ) y
por 5.6 se tiene que gr(f ) = 0 por lo que gr(F ) = gr(G) y consecuentemente
CF = gr(F ) = gr(G) = CG.
Para ver cómo CF depende del grado de F , por el corolario anterior basta tomar
F = Lm con m = gr F y L un polinomio lineal homogéneo. Entonces,
CF = CLm = mCL = (gr F )CL
donde usamos que gr(Lm ) = m gr(L). Por lo tanto basta considerar el caso CL
con L un polinomio lineal homogéneo.
El grado de una curva C ⊆ Pn , denotado gr C, es el máximo
gr C = máx{|C∩H| : H ⊆ Pn hiperplano que no contiene una componente de C}.
5.3. EL TEOREMA DE BÉZOUT
167
P
Observe que como CL = P ∈V(L) νP (L), entonces gr C ≤ CL, y como CL es
el mismo número para todos los polinomios lineales homogéneos L, el número de
puntos P ∈ C tales que P ∈ V(L) es máximo cuando νP (L) = 1. El lema siguiente
determina cuándo νP (L) = 1.
L EMA 5.9. Sean C ⊆ Pn una curva proyectiva irreducible y f ∈ K[Pn ] un polinomio homogéneo irreducible. Entonces, νP (F ) = 1 si y sólo si P ∈ V(f ) y
TP V(f ) 6⊇ TP C, viendo a ambos como subespacios vectoriales de TP Pn .
Demostración. Sea g un polinomio homogéneo del mismo grado que f y tal que
g(P ) 6= 0. Por definición,
νP (f ) = νP ((f /g)|C )
y sabemos que
νP (f ) > 1 ⇔ f /g ∈ m2P ⇔ dP (f /g) = 0.
∨
Pero dP (f /g) ∈ TP C es la restricción a TP C de dP (f /g) viendo a f /g ∈
K(Pn ) y además f /g es regular en P . Ası́,
νP (f ) > 1 ⇔ dP (f /g) = 0 en TP C.
Más aún, f /g es una ecuación local de V(f ) en la vecindad de P determinada por
g 6= 0. Se sigue que dP (f /g) = 0 es la ecuación que define TP V(f ) y por lo tanto
dP (f /g) = 0 ⇔ TP V(f ) ⊇ TP C,
como se querı́a.
Aplicando el lema anterior, recordemos que
CL es máximo cuando νP (L) = 1
lo cual, por el lema anterior, es equivalente a que P ∈ V(L) y que TP V(L) 6⊇ TP C,
es decir, L no es tangente a C en ningún punto P ∈ C. Escogiendo una tal L se
tendrı́a entonces que
gr C = CL.
Sólo falta mostrar que un tal polinomio lineal homogéneo L existe. Para ésto, consideremos el producto C ×(Pn )∨ , donde (Pn )∨ es el espacio proyectivo dual formado
por los hiperplanos de Pn . Sea Γ ⊆ C × (Pn )∨ el conjunto
Γ = {(P, L) : P ∈ C y L ∈ (Pn )∨ , con L tangente a C en P }.
Bajo la proyección
pr
2
Γ ,→ C × (Pn )∨ −→
(Pn )∨
la imagen de Γ tiene codimensión ≥ 1 por el teorema sobre la dimensión de las
fibras. Por lo tanto una tal L existe. Finalmente, de las igualdades
CF = (gr F ) CL
y
CL = gr C
168
5. INTERSECCIÓN
se sigue que
CF = (gr F )(gr C).
Hemos ası́ probado uno de los teoremas más antiguos y famosos de la geometrı́a
algebraica:
T EOREMA 5.10 (Bézout). Si C, C 0 son dos curvas proyectivas lisas (irreducibles),
de grados gr C y gr C 0 , respectivamente. Entonces, la intersección C ∩ C 0 tiene
exactamente (gr C)(gr C 0 ) puntos.
La demostración anterior tiene el defecto que la multiplicidad de intersección
se guardó en el teorema 5.5, en el número de puntos de la fibra f −1 (Q), o lo que es
lo mismo, en el grado del divisor f ∗ (Q) definido por esta fibra.
5.4.
Multiplicidades de intersección
Nos interesa el caso cuando la intersección de dos tales subvariedades de codimensión 1 contiene sólo un número finito de puntos. Recuerde ahora que si W1 , . . .,
Wr son subvariedades de codimensión 1 con intersección no vacı́a en una variedad
V de dimensión n, y si r < n = dim V , entonces dim(W1 ∩ · · · ∩ Wr ) > 0 ya que,
por 3.13, dim(W1 ∩ · · · ∩ Wr ) ≥ n − r. Ası́, si lo que interesa es el caso cuando la
intersección W1 ∩· · ·∩Wr consta de un número finito de puntos, el caso que interesa
es cuando r = n. De hecho, la teorı́a se desarrolla en forma más sencilla si en lugar
de intersectar n subvariedades de codimensión 1 se considera más generalmente la
intersección de n divisores D1 , . . . , Dn en V .
T
Posición
T general. Si para un punto P ∈ V se tiene que P ∈ i supp Di y si
dimP i supp Di = 0, diremos que los divisores D1 , . . . , Dn están en posición
general en P . Que la dimensión anterior sea cero quiere decir que en una vecindad
de P la intersección consiste deTP únicamente. Si D1 , . . . , Dn están en posición
general para todos los puntos de i Di , entonces esta intersección es vacı́a o consta
sólo de un número finito de puntos y se dice entonces que los divisores D1 , . . . , Dn
están en posición general.
Índices de intersección. Comenzamos definiendo ı́ndices de intersección para divisores efectivos en posición general. Sean D1 , . . . , Dn divisores efectivos en posición general en un punto P , con ecuaciones locales f1 , . . . , fn en una vecindad del
punto P . Entonces, existe una vecindad U de P en la cual f1 , . . . , fn son regulares
y no se anulan excepto en P . Del teorema de los ceros de Hilbert se sigue que el
ideal hf1 , . . . , fn i en OV,P contiene una potencia del ideal máximo mp de funciones
regulares que se anulan en P , digamos
(1)
m` ⊆ hf1 , . . . , fn i.
5.4. MULTIPLICIDADES DE INTERSECCIÓN
169
Note ahora que el K-espacio vectorial
OV,P /hf1 , . . . , fn i
tiene dimensión finita, porque (1) implica que
dimK OV,P /hf1 , . . . , fn i ≤ dimK OV,P /m`P
y por 4.xx se tiene que dimK OV,P /m`P < ∞ porque esta dimensión es la dimensión
del espacio vectorial de polinomios en n variables de grado < `. La dimensión
dimK OV,P /hf1 , . . . , fn i
se llama el ı́ndice o multiplicidad de intersección de los divisores D1 , . . . , Dn en el
punto P de V y se denota mediante
(D1 · · · Dn )P .
Observe que el ı́ndice de intersección anterior no depende de las ecuaciones locales
f1 , . . . , fn de los divisores D1 , . . . , Dn , ya que si g1 , . . . , gn son otras ecuaciones
locales, entonces gi = fi ui con ui unidades de OV,P y por lo tanto hf1 , . . . , fn i =
hg1 , . . . , gn i.
Supongamos ahora que D1 , . . . , Dn son divisores arbitrarios no necesariamente
efectivos. Por x.xx los podemos representar en forma única como
Di = Di0 − Di00
con Di0 , Di00 efectivos y sin componentes en común. Observe ahora que para cualquier permutación de los ı́ndices i1 , . . . , in y cualquier k entre 1 y n, los divisores
Di01 , . . . , Di0k , Di00k+1 , . . . , Di00n
están en posición general en P porque
supp Di = supp Di0 ∪ supp Di00
y ası́
0 = dimP
\
supp Di = dimP
i
\
supp Di0
∪
i
T
0
i supp Di
T
\
supp Di00
i
00
i supp Di .
y por lo tanto 0 = dimP
= dimP
Se define entonces el ı́ndice o multiplicidad de intersección en P de los divisores arbitrarios D1 , . . . , Dn como
X X
(−1)n−k (Di01 · · · Di00k Di00k+1 · · · Di00n )P
(D1 · · · Dn )P =
i1 ,...,in 0≤k≤n
y se define el ı́ndice o multiplicidad de intersección de D1 , . . . , Dn como
X
(D1 · · · Dn ) =
(D1 · · · Dn )P ,
P ∈supp Di
170
5. INTERSECCIÓN
notando que la suma se puede extender a todo V poniendo cero para los puntos
fuera del soporte supp Di .
Capı́tulo
6
Resolución de singularidades
El problema general es el siguiente: dada una variedad algebraica V sobre un
campo (algebraicamente cerrado) K, se desea encontrar otra variedad algebraica V 0
lisa y una aplicación biracional f : V 0 99K V tal que:
(i) f : V 0 99K V induce un isomorfismo (biregular) f : V 0 → Vlisos ,
(ii) f : V 0 99K V es biracional, por lo tanto es dominante, y ası́ V 0 se parece
mucho a V . Es decir, esencialmente V 0 no cambia mucho de V , pero al
mismo tiempo sı́ la cambia porque V 0 no tiene singularidades.
El problema general fue resuelto por H. Hironaka para el caso cuando la caracterı́stica del campo es 0, con la consecuencia adicional de que
(iii) La variedad V 0 y el morfismo f : V 0 99K V se obtienen mediante una
sucesión de dilataciones1 de subvariedades lisas sobre el lugar singular
Vsing de V
El procedimiento de dilatación es un método de modificar explı́citamente una
variedad dada metiéndola en una variedad lisa de la misma dimensión que la variedad pero metida en un ambiente de dimensión mayor donde hay más espacio para
mover la parte singular que se quiere quitar y esencialmente remover una subvariedad W de V reemplazando sus puntos por el conjunto de direcciones normales de
W en V . En general, si V y W son lisas, la subvariedad W se reemplaza por la proyectivización de su haz normal. En particular, cuando W = {P } es un punto de V
y V es liso, entonces el punto P se reemplaza por el espacio proyectivo Pdim V −1 .
El método de dilataciones permite seguir el cambio geométrico en el proceso de
resolución de singularidades.
1El término usual en alemán es aufblasen que se traduce como inflación, i.e., como inflar un
globo. En inglés la expresión usual es blow-up, que entre sus varias acepciones tiene la de soplar para
inflar un globo, dilatándolo. En el proceso que describiremos, en el caso cuando K = C y se dilata
un punto en una superficie (compleja) lo que se hace es reemplazar el punto por una copia de P1C que
topológicamente es la esfera de Riemann, lo cual coincide con la acepción de inflar o dilatar. Una
acepción más violenta de la expresión inglesa blow-up es la de explotar o la de una explosión. Note
que para resolver o desaparecer una singularidad, si la imagen geométrica que se tiene es la de una
explosión en la singularidad, es de esperarse que en lugar de desaparecer la singularidad se harı́a peor,
pero desafortunadamente en español (y en francés) se ha hecho popular el término violento.
171
172
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
Para el caso de curvas algebraicas, la resolución de singularidades ha sido estudiada casi desde el inicio del estudio de la geometrı́a de curvas y existen varios
métodos para resolver las singularidades de una curva y al final todos estos métodos
son sólo variaciones del mismo procedimiento.
Después de algunas generalidades sobre la resolución de singularidades y de la
descripción del procedimiento de dilatación, en este capı́tulo consideraremos sólo
el caso de curvas.
6.1.
Dilataciones
En la sección §4.6 vimos que una equivalencia biracional entre curvas proyectivas lisas f : C 99K C 0 es un isomorfismo (biregular). Para variedades de dimensión mayor, lo anterior ya no es cierto en general. En esta sección estudiamos la
equivalencia biracional más sencilla, pero muy importante, que no es regular. La
construcción es como sigue:
Dilatación de un punto de An . Considere el espacio afı́n An con coordenadas
(x1 , . . . , xn ) y el espacio proyectivo Pn−1 con coordenadas homogéneas [y1 , . . . , yn ].
En el producto An × Pn−1 denotamos sus puntos como [x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ].
Considere entonces el subconjunto cerrado Π ⊆ An × Pn−1 definido por las ecuaciones homogéneas xi yj = xj yi , es decir,
Π = V xi yj − xj yi : 1 ≤ i, j ≤ n ⊆ An × Pn−1
y considere la proyección pr1 : An × Pn−1 → An . Se tiene ası́ el diagrama

j
/ An × Pn−1
JJ
JJ
J
pr1
π JJJJ
$ Π JJ
An
donde a la composición π := pr1 ◦j : Π → An se le llama la dilatación de An en
el punto 0 = (0, . . . , 0). En ocasiones se dice que Π es la dilatación de An en 0.
La aplicación π : Π → An tiene las propiedades siguientes:
(1): Si P 6= 0 en An , la fibra π −1 (P ) ⊆ Π consiste de un único punto, ya que si
P = (a1 , . . . , an ) con algún ai 6= 0, entonces (P ; y1 , . . . , yn ) ∈ π −1 (P ) quiere
decir que sus coordenadas satisfacen las ecuaciones xi yy = xj yi , es decir, ai yj =
aj yi , y como ai 6= 0, se sigue que yj = (aj /ai )yi para todo j y por lo tanto
[y1 , . . . , yn ] está unı́vocamente determinado como punto de π −1 (P ); de hecho, notando que ai yj = aj yi con ai 6= 0 implica yi 6= 0, se puede escoger yi = ai y
consecuentemente yj = aj para todo j y ası́ [y1 , . . . , yn ] = [a1 , . . . , an ]. Se sigue
6.1. DILATACIONES
173
que π −1 (P ) = {(a1 , . . . , an ; a1 , . . . , an )}. Más aún, para P = (a1 , . . . , an ) 6= 0 la
función
ψ : An − {0} → Π
dada por ψ(a1 , . . . , an ) = (a1 , . . . , an ; a1 , . . . , an ) es un morfismo inverso de π y
por lo tanto
Π − π −1 (0) ' An − {0}.
(2): Si P = 0, se tiene que π −1 (0) ' Pn−1 . En efecto, todos los puntos [y1 , . . . , yn ] ∈
Pn−1 satisfacen las ecuaciones xi yj = xj yi que definen Π porque las xi = 0 para
todo i. Se sigue que
π −1 (0) = {(0, . . . , 0; y1 , . . . , yn ) : [y1 , . . . , yn ] ∈ Pn−1 } = {0} × Pn−1 ' Pn−1 .
(3): Observe ahora que los puntos de π −1 (0) ' Pn−1 están en correspondencia
biunı́voca con el conjunto de rectas L de An que pasan por el origen. En efecto,
una recta que pasa por el origen de An se puede parametrizar mediante xi = ai t,
1 ≤ i ≤ n, con los aj ∈ K no todos cero y t ∈ A1 . En esta recta L la aplicación ψ
tiene la forma:
ψ(x1 , . . . , xn ) = [x1 , . . . , xn ; a1 , . . . , 1, . . . , an ]
(con un 1 en lugar de ai , escogiéndolo tal que ai 6= 0). Se sigue que ψ es regular
cuando se restringe a L y como los polinomios que definen ψ son lineales, entonces
la imagen ψ(L) es una recta en Π que intersecta a la fibra π −1 (0) = 0 × Pn−1 en el
punto 0 × [a1 , . . . , 1, . . . , an ] = [a1 , . . . , an ] =: Q ∈ Pn−1 . Se sigue que ψ manda
L a Q y es claro que esta es una correspondencia biunı́voca entre las rectas L por el
origen de An y los puntos de π −1 (0) ' Pn−1 .
(4): Podemos interpretar la observación anterior como sigue: la aplicación ψ no
está definida en el 0 ∈ An (de hecho, ψ : An −{0} → Π) sin embargo, restringiendo
ψ a rectas L por el origen de An se obtiene una aplicación regular ψ : L → Π, y
entonces podemos utilizar esta aplicación regular para definir ψ en 0. Note que
variando2 las rectas L se obtienen todos los puntos de 0 × Pn−1 . Dicho en otras
palabras, la indeterminación que hay para definir ψ(0) se controla al ver que sus
posibles valores son los puntos del subespacio 0×Pn−1 . Ası́, aunque ψ no es regular
en 0, mediante el procedimiento anterior se obtienen no puntos arbitrarios de Π sino
únicamente los puntos de 0 × Π ⊆ Π. En este sentido la aplicación racional ψ dilata
o infla el origen 0 de An a 0 × Pn−1 ' Pn−1 . Cuando n = 2 y se tiene el plano afı́n
2En el caso cuando K = C, lo anterior se puede interpretar pensando que se puede definir ψ(P )
para P ∈ L y luego se hace tender P → 0 en la dirección de L para definir ψ(0) como el lı́mite,
notando que lo anterior depende de la elección de la recta L, i.e., el lı́mite depende de la dirección en
que se tome.
174
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
A2 , la aplicación ψ dilata el origen 0 a 0 × P1 ' P1 , que en el caso cuando K = C,
topológicamente es la esfera de Riemann, y como mencionamos en la primera nota
al pie de página, esta es la ((imagen geométrica)) que explica el nombre del proceso
anterior. La figura siguiente ilustra el caso n = 2 para las aplicaciones
π : Π → A2
y
ψ : A2 99K Π
y su acción en las rectas L que pasan por el origen de A2 . Note que las rectas π −1 (L)
intersectan la recta 0 × P1 ' P1 en puntos que no cambian cuando L rota en A2
alrededor del origen. Ası́, Π se parece a un lazo de una hélice:
(5): Veamos a continuación la estructura de Π en puntos de la dilatación, es decir,
en puntos de la forma [0; y1 , . . . , yn ] ∈ 0 × Pn−1 . Para comenzar, algún yi 6= 0 y
por lo tanto el punto [0; y1 , . . . , yn ] está en el abierto Ui determinado por yi 6= 0, y
podemos entonces suponer que yi = 1 por lo que las ecuaciones xi yj = xj yi que
determinan Π toman la forma
xi yj = xj
1 ≤ j 6= i ≤ n.
Se sigue que Ui es isomorfo al espacio afı́n con coordenadas (y1 , . . . , xi , . . . , yn ).
En particular, Π es liso.
(6): Probaremos ahora que Π es irreducible. En efecto, hemos visto que
Π = Π − π −1 (0) ∪ π −1 (0) = Π − 0 × Pn−1 ∪ 0 × Pn−1
donde Π − 0 × Pn−1 es isomorfo a An − 0 y por lo tanto es irreducible. También,
hemos visto que cada punto de la fibra π −1 (0) = 0 × Pn−1 es la cerradura de una
recta L en An − 0 ' Π − π −1 (0), es decir,
ψ(L) ⊆ Π − 0 × Pn−1 )
y por lo tanto
ψ(L) ∩ (0 × Pn−1 )) ⊆ Π − 0 × Pn−1 ).
Y como variando la recta L obtenemos todos los puntos de 0 × Pn−1 , se sigue que
0 × Pn−1 ⊆ Π − 0 × Pn−1 ) y ası́ el irreducible Π − π −1 (0) = Π − 0 × Pn−1 es
denso en Π y por lo tanto Π es irreducible.
(7): Para un punto arbitrario P0 ∈ An , mediante un cambio de variables lineal (una
traslación) se traslada P0 a 0 y se define entonces la dilatación de P0 como antes.
(8): Finalmente, note que si n = 1 y P0 = 0 ∈ A1 , entonces
Π = {(P, `) ∈ A1 ×P0 : P ∈ ` donde ` ⊆ A1 es una recta que pasa por el origen}
y como sólo hay una tal recta ` = A1 , entonces
Π = {(P, `) : P ∈ ` = A1 } = A1 ,
es decir, Π ' A1 × P0 ' A1 , i.e., no sucede nada al dilatar el 0 ∈ A1 . Por eso sólo
el proceso de dilatación sólo tiene interés cuando n ≥ 2.
6.1. DILATACIONES
175
Dilatación de un punto de una variedad afı́n. En la subsección anterior se dilató un punto P0 ∈ An . Consideremos ahora una variedad afı́n arbitraria V de
dimensión n y un punto liso P0 ∈ V . Sean f1 , . . . , fn ∈ K[V ] tales que
(i) {P0 } = V(f1 , . . . , fn ). Recuerde que como P0 tiene dimensión cero y
dim V = n, entonces P0 tiene codimensión n en V y por lo tanto existen
tales funciones f1 , . . . , fn ∈ K[V ].
(ii) Las funciones f1 , . . . , fn forman un sistema local de coordenadas en P0 .
Considere ahora el producto V ×Pn−1 y la subvariedad Π ⊆ V ×Pn−1 formada
por los puntos (P ; y1 , . . . , yn ) donde P ∈ V y [y1 , . . . , yn ] ∈ Pn−1 satisfacen las
ecuaciones
fi (P )yj = fj (P )yi ,
1 ≤ i, j ≤ n.
Sea π : Π → V la restricción de la proyección V × Pn−1 → V . Entonces, π es
regular y se dice que es la dilatación local centrada en P0 de V .
Observe que en la definición anterior se usó que V es afı́n, porque si V fuera
proyectiva no existirı́an funciones regulares no constantes fi ∈ K[V ]. Note que, si
V fuera proyectiva, se podrı́a tomar la subvariedad afı́n V0 ⊆ V definida por x0 6= 0
para dilatar un punto P0 ∈ V0 .
Se tienen las propiedades análogas a las de la dilatación de un punto de An :
(1): La aplicación regular π : Π → V induce un isomorfismo
π : Π − P0 × Pn−1 ' V − P0 .
(2): En un punto Q ∈ π −1 (P0 ), Q = [y1 , . . . , yn ] con algún yi 6= 0, poniendo
zj = yj /yi para j 6= i, las ecuaciones que definen Π toman la forma
fj (Q) = fi (Q)zj
1 ≤ j 6= i ≤ n.
Se sigue que el ideal máximo mQ correspondiente a Q es de la forma
mQ = hf1 − f1 (Q), . . . , fn − fn (Q); z1 − z1 (Q), . . . , zn − zn (Q)i
= hz1 − z1 (Q), . . . , fi − fi (Q), . . . , zn − zn (Q)i
ya que
fj − fj (Q) = fi zj − fi (Q)zj (Q) = fi (zj − zj (Q)) + (fi − fi (Q))zj (Q)
y por lo tanto
dimK TQ Π ≤ n,
−P0 ) = dim(V −P0 ) = dim V = n, entonces dimK TQ Π =
n y por lo tanto la variedad Π es lisa en todos los puntos Q ∈ π −1 (V − P0 ).
pero como dim π −1 (V
(3): Ahora, Π = π −1 (V − P0 ) ∪ (P0 × Pn−1 ) y ası́ o Π es irreducible (y por lo
tanto coincide con la cerradura π −1 (V − P0 )) o tiene una componente isomorfa a
Pn−1 (en cuyo caso las dos componentes de Π se intersectan ya que de lo contrario
π −1 (V − P0 ) serı́a cerrado y por lo tanto su imagen V − P0 también serı́a cerrada
176
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
por 4.33; se seguirı́a entonces que el punto de intersección de las dos componentes
de Π serı́a un punto liso, lo cual contradice el
Se sigue que Π es irreducible y liso y z1 −z1 (Q), . . . , fi −fi (Q), . . . , zn −zn (Q)
son parámetros locales en Q = [y1 , . . . , yn ] ∈ π −1 (P0 ) con yi 6= 0.
Dilatación de una subvariedad de An . Supongamos ahora que V ⊆ An es una
variedad afı́n que pasa por un punto P0 ∈ An . La dilatación de V en el punto P0 es
la variedad
Ve = π −1 (V − P0 ) ⊆ Π
donde π : Π → An es la dilatación de An en P0 descrita anteriormente. Denotemos
con π : Ve → V la restricción de π a Ve .
(1): Como π : Π − π −1 (P0 ) → An − P0 es regular, induce un isomorfismo
Ve − π −1 (P0 ) ' V − P0
y además
π : Ve → V
es un morfismo (regular) que es una equivalencia biracional.
(2): Observe ahora que, por la forma en que se definió π : Ve → V , su efecto en V
cerca de P0 es separar las diferentes direcciones dadas por las rectas que pasan por
P0 . El ejemplo siguiente ilustra lo anterior:
Ejemplo 1. Sea V = V(y 2 − x3 − x2 ) ⊆ A2 la cúbica nodal:
6
-
El objetivo al dilatar la singularidad 0 de la cúbica nodal V es separar las dos
ramas de la curva que pasan por 0 reemplazando la singularidad 0 por dos puntos
6.1. DILATACIONES
177
que corresponden a las dos rectas tangentes a V en 0. El método consiste en reemplazar el punto 0 por el conjunto de todas las rectas de A2 que pasan por 0. Recuerde
primero que
Π = {(x, y; t, u) : (x, y) ∈ A2 , [u, t] ∈ P1 , satisfacen tx = uy} ⊆ A2 × P1
y como P1 está cubierto por los abiertos afines D(t) y D(u), observe ahora que:
(i): En D(u) podemos escoger u = 1 y usar t como parámetro afı́n: [u, t] = [1, t] y
por lo tanto la ecuación tx = uy que define Π se vuelve y = tx en A2 × D(1) ⊆
A2 × P1 .
(ii): En D(t) podemos escoger t = 1 y usar u como parámetro afı́n: [u, t] = [u, 1]
y por lo tanto la ecuación tx = uy que define Π se vuelve x = uy en A2 × D(1) ⊆
A2 × P1 .
(iii) Se sigue que Π es la unión de las dos piezas afines anteriores:
Π = V(y − xt) ∪ V(yu − x).
(•) Analizaremos primero la pieza afı́n de Π correspondiente a D(u), donde la ecuación que define a Π es de la forma y = tx. Ası́, la parte afı́n correspondiente de Π
está dada por
Π = {(x, y, t) ∈ A2 × A1 : y = tx}
la cual es una superficie afı́n irreducible en A3 y se tiene la proyección
π : Π → A2
dada por π(x, y, t) = (x, y), cuyas fibras π −1 (x, y) son de la forma:
(1): Si x 6= 0, la fibra π −1 (x, y) = {(x, y, y/x)} consiste de un único punto.
(2): Si x = 0 pero y 6= 0, la fibra π −1 (0, y) = ∅, por la igualdad y = tx = t(0) = 0.
(3): Si x = 0 = y, i.e., el punto 0, la fibra π −1 (0, 0) es la recta E ⊆ A3 dada por
los puntos de la forma (0, 0, t) variando t ∈ K. A esta recta E1 se le llama la recta
excepcional.
(4): Por la parte (1), si x 6= 0, es decir en puntos P = (x, y) ∈ A2 − 0, la fibra
π −1 (P ) consiste de un único punto y por lo tanto la función
π : Π − π −1 (0) → A2 − 0
es invertible y su inversa π −1 : A2 − 0 → Π − π −1 (P ) está dada por π −1 :
(x, y) 7→ (x, y, y/x), que claramente es regular porque x 6= 0. Es decir, se tiene un
isomorfismo biregular
π : Π − π −1 (0) ' A2 − 0.
(5): Por la parte (3), si x = 0 = y, la fibra
π −1 (0) = {(0, 0; t, 1) : [t, 1] ∈ P1 } = 0 × P1
178
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
es la misma recta E1 de (3) pero vista como puntos de P1 determinados por las
pendientes t de E1 .
(6): Ahora, para obtener la parte Ve1 de la imagen inversa global de la cúbica nodal
V ⊆ A2 , i.e., para π −1 (V ) ⊆ Π, se tienen que resolver las ecuaciones
y 2 = x3 + x2
y = tx
en A2 × A1 = A3 . Esto se hace substituyendo y = tx en la primera ecuación para
obtener x2 (x − t2 + 1) = 0, es decir,
Ve1 = π −1 (V ) = V(y − tx, y 2 − x3 − x2 ) = V(x2 (x − t2 + 1)) ⊆ A3
la cual notamos que es reducible y tiene dos componentes:
E1 = V(x2 ) = V(x) = {(x, y, t) : x = 0 ⇒ y = 0; t arbitrario}
que es una recta, la recta excepcional, que claramente es irreducible. La otra componente es:
Ve1 = V(x − t2 + 1) = {(x, y, t) : x = t2 − 1, y libre}
a la que se conoce como la transformada estricta de la curva V . Para ver que Ve1 es
irreducible y lisa observe que la proyección π 0 : Π → A2 dada por π 0 : (x, y, t) 7→
(x, t) al restringirla a Ve1 es un isomorfismo
π 0 : Ve1 = {(x, y, t) : x = t2 − 1, y libre} → V 00
donde V 0 = V(x − t2 + 1) ⊆ A2 es una parábola (que es lisa e irreducible); el
inverso de π 0 es el morfismo (x, t) 7→ (x, xt, t).
(7): Observe que Ve1 intersecta a la recta excepcional E1 en los dos puntos [0, 0, ±1, 1]
(poniendo x = t2 − 1 = 0) que corresponden a las pendientes de las tangentes a las
dos ramas de V en 0.
(•) Analizaremos ahora la pieza afı́n de Π correspondiente a D(t), donde la ecuación que define a Π es de la forma x = uy. Ası́, la parte afı́n correspondiente de Π
está dada por
Π = {(x, y, t) ∈ A2 × A1 : x = uy}
la cual es una superficie afı́n irreducible en A3 y se tiene la proyección
π : Π → A2
dada por π(x, y, u) = (x, y).
(8): Todo es igual al caso anterior, la única diferencia es con la imagen inversa
de la cúbica V = V(y 2 − x3 − x2 ) donde al substituir x = yu se obtiene que
y 2 − y 3 u3 − y 2 u2 = 0, es decir,
Ve2 = π −1 (V ) = V(yu − x, y 2 − x3 − x2 ) = V(y 2 (1 − u2 (yu + 1))) ⊆ A3
6.1. DILATACIONES
179
que tiene dos componentes:
E2 = V(y 2 ) = V(y) = {(x, y, u) : y = 0 ⇒ x = 0; u arbitrario}
que es una recta, la recta excepcional, que claramente es irreducible. La otra componente es:
Ve2 = V(1 − u2 (yu + 1)) = {(x, y, u) : yu3 + u2 = 1, x libre}
a la que se conoce como la transformada estricta de la curva V . Para ver que Ve2 es
irreducible y lisa observe que la proyección π 0 : Π → A2 dada por π 0 : (x, y, u) 7→
(y, u) al restringirla a Ve2 es un isomorfismo
π 0 : Ve2 = {(x, y, t) : yu3 + u2 = 1, x libre} → V 00
donde V 00 = V(yu3 + u2 − 1) ⊆ A2 es lisa e irreducible; el inverso de π 0 es el
morfismo (y, u) 7→ (yu, y, u).
(9): Resumiendo, hemos mostrado que
π −1 (V ) ∩ D(u) = E1 ∪ Ve1
π −1 (V ) ∩ D(t) = E2 ∪ Ve2
donde
E1 = V(x)
y
Ve1 = V(t2 − x − 1) ⊆ D(u) ' A2
E2 = V(y)
y
Ve2 = V(1 − u2 (uy + 1)) ⊆ D(t) ' A2
Note también que:
E1 = π −1 (0) ∩ D(u) ' A1
E2 = π −1 (0) ∩ D(t) ' A1
por lo que
π −1 (0) = E1 ∪ E2 ' P1
y ası́ la transformada estricta de V es
Ve = Ve1 ∪ Ve2
donde Ve1 y Ve2 son lisas y consecuentemente Ve también es lisa.
Finalmente, note que en D(u) ∩ D(t), si tu = 1 se obtiene que
Ve1 ∩ π −1 (0) = Ve2 ∩ π −1 (0)
y por lo tanto Ve ∩ π −1 (0) consta de dos puntos que son los puntos de Ve ∩ E.
(10) Finalmente, observamos que el morfismo
π : Ve → V
180
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
es una resolución de singularidades de V . La figura siguiente ilustra lo que sucede
con la cúbica nodal vista en la dilatación:
Ejercicios
E JERCICIO 1. Razonando como en el ejemplo 1, analice la dilatación de la cúbica
V = V(y 2 − x3 ) ⊆ A2 con centro en el origen. En particular, muestre que la
transformada estricta Ve = π −1 (V − 0) es lisa y es tangente a la recta excepcional
E en un único punto. Bosqueje una figura del proceso.
6.2.
Dilataciones en general. Formulación algebraica
Si A es un anillo conmutativo (en el caso geométrico A = K[V ] es una Kálgebra de tipo finito) y si I ⊆ A es un ideal (en el caso geométrico I ⊆ K[V ]
corresponde a un subconjunto algebraico W ⊆ V ), las potencias I k son A-módulos
que satisfacen la condición de que I j I k ⊆ I j+k , para todo j, k ≥ 0, donde se define
I 0 = A, y por lo tanto se tiene una estructura de anillo graduado en la suma directa
M
BI A =
Ik = A ⊕ I ⊕ I2 ⊕ · · ·
k≥0
a la que se conoce como el álgebra de dilatación. Supongamos ahora que I =
hf1 , . . . , fk i y considere el anillo de polinomios homogéneos A[y1 , . . . , yk ] y el
epimorfismo de A-álgebras graduadas
ϕ : A[y1 , . . . , yk ] → BI A
definido mediante yi 7→ fi . Entonces, el núcleo de ϕ es un ideal homogéneo en
A[y1 , . . . , yk ]. Observe ahora que si A = K[V ] con V ⊆ An , entonces
A[y1 , . . . , yk ] = K[V ][y1 , . . . , yk ] ' K[V × Pk−1 ],
es decir, la álgebra A[y1 , . . . , yk ] corresponde al producto de variedades V × Pk−1
y por lo tanto el ideal homogéneo ker ϕ ⊆ K[V ][y1 , . . . , yk ] = K[V × Pn−1 ]
corresponde a un subconjunto algebraico
BW (V ) ⊆ V × Pk−1
a la que conoce como la dilatación de V a lo largo de W , donde W ⊆ V es el
subconjunto algebraico correspondiente al ideal I ⊆ K[V ]. El morfismo (regular)
π : BW (V ) → V
dado por la restricción de la proyección en el primer factor pr1 : V × Pk−1 → V se
llama el morfismo de dilatación o transformación monoidal de V a lo largo de W .
6.2. DILATACIONES EN GENERAL. FORMULACIÓN ALGEBRAICA
181
Probaremos a continuación que la clase de isomorfismo de BW (V ) no depende
de la elección de los generadores f1 , . . . , fk del ideal I ⊆ K[V ] correspondiente al
subconjunto algebraico W ⊆ V :
L EMA 6.1. Sean B ⊆ V ×Pk−1 , B 0 ⊆ V ×Pt−1 subconjuntos algebraicos definidos
por ideales homogéneos J ⊆ K[V ][y1 , . . . , yk ], J 0 ⊆ K[V ][y10 , . . . , yt0 ], respectivamente. Sean π : B → V y π 0 : B 0 → V los morfismos regulares dados por las
restricciones de las proyecciones respectivas en el primer factor. Supongamos que
existe un isomorfismo de K[V ]-álgebras
'
ϕ : K[V ][y10 , . . . , yt0 ]/J 0 −→ K[V ][y1 , . . . , yt ]/J.
Entonces, existe un isomorfismo (biregular) f : B → B 0 tal que π = π 0 ◦ f , i.e., el
diagrama siguiente conmuta:
B@
@@
@@
π @@
f
V
/ B0
}
}}
}}π0
}
~}
Demostración. Pongamos y i = yi mod J y y 0i = yi0 mod J 0 y supongamos que
ϕ está dado por
1≤i≤t
ϕ(y 0i ) = Fi (y 1 , . . . , y k )
donde Fi ∈ K[V ][y1 , . . . , yk ]. Como ϕ es un isomorfismo de K[V ]-álgebras graduadas, se sigue que los Fi son polinomios lineales homogéneos con coeficientes
en K[V ], i.e., son funciones regulares en V . Note ahora que el valor de Fi en un
punto (P ; Q) = (P ; b1 , . . . , bk ) ∈ V × Pk−1 se calcula substituyendo P en los
coeficientes de Fi y substituyendo las coordenadas homogéneas bj por las variables
yj . Se define entonces f : B → B 0 mediante
f (P ; Q) = P ; F1 (P ; Q), . . . , Ft (P ; Q) .
Claramente f es una aplicación regular y el diagrama del enunciado conmuta. Observe ahora que como ϕ es invertible, existe ψ = (G0 , . . . , Gk ) con los Gj ∈
K[V ][y10 , . . . , yt0 ] tales que
para todo i = 1, . . . , t
Fi G1 (b01 , . . . , b0t ), . . . , Gk (b01 , . . . , b0t ) = b0i
Gj F1 (b1 , . . . , bk ), . . . , Ft (b1 , . . . , bk ) = bj
para todo j = 1, . . . , k
y se define entonces g : B 0 → B mediante
g(P ; Q0 ) = P ; G1 (P ; Q0 ), . . . , Gk (P ; Q0 )
donde Q0 = (b01 , . . . , b0k ). Las igualdades para Fi y Gj de arriba implican que f y g
son inversos uno del otro.
182
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
Nuestro objetivo ahora es encontrar ecuaciones explı́citas para la dilatación
BW (V ) y para ello necesitatemos hipótesis adicionales sobre V y W ⊆ V .
Desde un punto de vista algebraico, lo que necesitaremos es lo siguiente: si A
es un anillo conmutativo, una sucesión de elementos f1 , . . . , fk de A se dice que es
una sucesión regular si el ideal generado hf1 , . . . , fk i es propio, f1 no es divisor de
cero de A y para todo i ≥ 2 la imagen de fi en A/hf1 , . . . , fi−1 i no es un divisor
de cero.
Ejemplo 2. Si A = K[x1 , . . . , xn ], entonces x1 , . . . , xn es una sucesión regular.
Note que si V es una variedad afı́n irreducible, entonces K[V ] es un dominio
entero, y si W ⊆ V es una subvariedad irreducible e I = I(W ) = hf1 , . . . , fn i con
los fi ∈ K[V ], entonces f1 no es divisor de cero en K[V ] y
Ejemplo 3. Si f1 , . . . , fn es una sucesión regular de A, entonces f1i1 , . . . , fnin también es una sucesión regular, para cualesquiera it ≥ 1. También, cualquier subconjunto fi+1 , . . . , fn es una sucesión regular de A/hf1 , . . . , fi i.
T EOREMA 6.2. Si f1 , . . . , fn es una sucesión regular en un dominio entero A, para
el ideal I = hf1 , . . . , fn i, el núcleo del morfismo que manda yi en fi
ϕ : A[y1 , . . . , yn ] → BI (A)
está generado por los polinomios
fi yj − fj yi ,
1 ≤ i, j ≤ n.
Demostración. Sea J = hfi yj − fj yi i ⊆ A[y1 , . . . , yn ] y note que cada fi yj −
fj yi ∈ ker ϕ por definición de ϕ. Resta probar que ker ϕ ⊆ J. Para ésto, pongamos
A1 := Af1 , I1 = hf2 /f1 , . . . , fn /f1 i ⊆ A1 y definamos
ϕ1 : A[y2 , . . . , yn ] → A1 ⊕ I1 ⊕ I12 ⊕ · · ·
mediante yi 7→ fi /f1 . Mostraremos que
(∗)
ker ϕ1 = hf1 yi − fi : i ≥ 2i =: J1 .
Asumiendo por un momento que (∗) ha sido demostrado, observe que para todo
F ∈ ker ϕ homogéneo de grado d, como F está en el núcleo de ϕ : yi 7→ fi ,
entonces F (f1 , . . . , fn ) = 0. Ası́, después de deshomogeneizar con respecto a y1 se
obtiene que
1
F (1, f2 /f1 , . . . , fn /f1 ) = d F (f1 , . . . , fn ) = 0
f1
y por lo tanto F (1, y2 , . . . , yn ) ∈ ker ϕ1 , y ası́, por (∗) se tiene que
X 1
(∗∗)
F (1, y2 , . . . , yn ) =
gi
, y2 , . . . , yn (f1 yi − fi )
f1
i≥2
6.2. DILATACIONES EN GENERAL. FORMULACIÓN ALGEBRAICA
183
y note que para los coeficientes gj existe un entero N ≥ 0 tal que y1N gj ∈ A[y1 , . . . , yn ].
Análogamente, cambiando y1 con yi y f1 con fi se obtiene que yiN gj ∈ A[y1 , . . . , yn ],
para todo i = 1, . . . , n. Ahora observe que
fi yj − fj yi = (f1 yj − fj )yi − yj (f1 yi − fi )
y ası́ (∗∗) dice que existe un entero N tal que
yiN F ∈ hfi yj − fj yi i
para todo i = 1, . . . , n. Ahora, como lo que queremos es que F ∈ hfi yj −fj yi i = J,
considere el A-submódulo M de A[y1 , . . . , yn ]/J generado por F . Como para todo
i se tienen las igualdades yiN F = 0 en M , entonces M es un A-módulo finitamente
generado (sus generadores son F y las potencias yik F con k < N . Ahora, para
cualquier ideal máximo m ⊆ A, sea
pij = (fi
mod m)yj − (fj
mod m)yi
y note que el ideal generado por los polinomios lineales pij en (A/m)[y1 , . . . , yn ]
es primo y por lo tanto las igualdades yiN F = 0 en M ⊆ A[y2 , . . . , yn ]/J implican
que M ⊗A A/m = 0 y por el lema de Nakayama se sigue que Mm = 0 para todos
los ideales máximos m de A y consecuentemente M = 0, lo que quiere decir que
F ∈ J, como se querı́a.
Resta probar la igualdad (∗) y para comenzar note que podemos ver al epimorfismo ϕ1 como
ϕ1 : A[y2 , . . . , yn ] → A1 [f2 /f1 , . . . , fn /f1 ]
donde A1 = Af1 . De nuevo, es claro que cada generador f1 yi − fi ∈ ker ϕ1 .
Recı́procamente, si F ∈ ker ϕ1 , por inducción sobre n ≥ 2 mostraremos que F ∈
hf1 yi − fi ; i ≥ 2i. En efecto, para n = 2 el morfismo ϕ1 : A[y2 ] → A1 [f2 /f1 ]
manda y2 7→ f2 /f1 y como F ∈ ker ϕ1 , entonces 0 = ϕ1 (F (y2 )) = F (f2 /f1 ).
Ahora, usando el algoritmo de la división vemos que existen d ≥ 1, G(y2 ) ∈ A[Y2 ],
R ∈ A tales que
f1d F (y2 ) = G(y2 )(f1 y2 − f2 ) + R
y como F (f2 /f1 ) = 0, substituyendo y2 7→ f2 /f1 en la igualdad anterior se tiene
que
0 = f1d F (f2 /f1 ) = G(f2 /f1 )(f1 (f2 /f1 ) − f2 ) + R = R
es decir,
(∗ ∗ ∗)
f1d F (y2 ) = G(y2 )(f1 y2 − f2 )
y considerando esta igualdad módulo f1d (recordando que {f1d , f2 } es una sucesión
regular) se sigue que
G(y2 )(f1 y2 − f2 ) ≡ 0
(mód f1d )
184
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
y por lo tanto todos los coeficientes de G(y2 ) son divisibles por f1d . Entonces, como
f1d no es divisor de cero, se puede cancelar el factor f1d en (∗ ∗ ∗) para obtener que
F (y2 ) = g(y2 )(f1 y2 − f2 )
y consecuentemente F ∈ hf1 y2 − f2 i, como se querı́a.
Supongamos ahora que n > 2 y que (∗) es válida para n − 1 ≥ 2. Observe
entonces que ϕ1 es la composición
ϕ2
ϕ3
A[y2 , . . . , yn ] −→ A1 [f2 /f1 ][y3 , . . . , yn ] −→ A1 [f2 /f1 , f3 /f1 , . . . , fn /f1 ]
donde observamos que para A0 = A1 [f2 /f1 ] se tiene que
A0 /hf1 iA0 = A0 /hf1 , f2 iA0 ' A1 /hf1 , f2 i [y2 ]
de donde se sigue que {f3 , . . . , fn } es una sucesión regular para A0 ya que lo es
para A/hf1 , f2 i. Entonces, por hipótesis de inducción
ker ϕ3 = hf1 yi − fi ; i ≥ 3i
y por lo tanto, para F ∈ ker ϕ = ker(ϕ3 ◦ ϕ2 ), como ϕ3 (ϕ2 F ) = ϕ1 F = 0, se
tiene que ϕ2 F ∈ ker ϕ3 , i.e.,
ϕ2 F (y2 , . . . , yn ) = F (f2 /f1 , y3 , . . . , yn ) ∈ ker ϕ2
X
=
gi (f2 /f1 , y3 , . . . , yn )(f1 yi − fi )
i≥3
con gi (y2 , . . . , yn ) ∈ A[y2 , . . . , yn ]. Se sigue que
X
F (y2 , . . . , yn ) −
gi (f2 /f1 , y3 , . . . , yn )(f1 yi − fi ) ∈ ker ϕ2
i≥3
y como ker ϕ2 = hf1 y2 − f2 iA[y2 , . . . , yn ], entonces
X
F (y2 , . . . , yn ) −
gi (f2 /f1 , y3 , . . . , yn )(f1 yi − fi ) = g2 (y2 , . . . , yn )(f1 y2 − f2 )
i≥3
de donde se sigue el resultado (∗) deseado.
Ejemplo 4. Sean A = K[x1 , . . . , xn ] = K[An ], I = hx1 , . . . , xn i ⊆ An , de tal
forma que V(I) = {0} ⊆ An . Como observamos en el ejemplo 2, la sucesión
x1 , . . . , xn de K[x1 , . . . , xn ] es regular. Entonces, por el teorema anterior, el núcleo
del morfismo
ϕ : K[x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , yn ] → BI (A)
que manda yi 7→ xi , está generado por los polinomios homogéneos
x i yj − x j yi
1 ≤ i, j ≤ n
y la dilatación correspondiente al ideal ker ϕ:
B0 (An ) ⊆ An × Pn−1
6.2. DILATACIONES EN GENERAL. FORMULACIÓN ALGEBRAICA
185
con proyección π : B0 (An ) → An , corresponde al caso geométrico considerado en
la primera subsección de §5.2.
El complejo de Koszul. La afirmación del teorema 5.8 se puede generalizar como
sigue. Sea f1 , . . . , fk una sucesión regularVen (un dominio entero) A y considere el
módulo
Ak con base e1 , . . . , ek . Sea r Ak la r-ésima potencia exterior de Ak .
Vr libre
Ak es un A-módulo libre con una base dada por los productos ei1 ∧ · · · ∧ eir
Ası́,
con 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ k. Para cada r = 1, . . . , k se tiene el morfismo
δr :
r
^
Ak →
r−1
^
Ak
dado por
δr (ei1 ∧ · · · ∧ eir ) =
X
(−1)j aij ei1 ∧ · · · ∧ eij−1 ∧ eij+1 ∧ · · · ∧ eir
j
(omitiendo el factor eij ). La generalización del teorema previo es:
T EOREMA 6.3. El complejo de A-módulos
0→
k
^
δ
Ak −→
k−1
^
Ak → · · · →
2
^
δ
Ak −→
1
^
Ak → A → A/hf1 , . . . , fk i → 0
es exacto.
Note que el teorema 5.8 probó la exactitud en
V1
Ak .
Lo que resta de esta sección será dedicado a probar el resultado principal siguiente que enuncia las propiedades más importantes de la dilatación de un subconjunto algebraico W ⊆ V :
T EOREMA 6.4. Sean V una variedad afı́n irreducible y lisa, W ⊆ V un subconjunto algebraico dado por W = V(I) con I = hf1 , . . . , fn i con los generadores
una sucesión regular en K[V ]. Sea π : BW (V ) → V la dilatación de V a lo largo
de W . Entonces,
(1) Para cualquier abierto distinguido D(f ) ⊆ V , con f ∈ K[V ], se tiene que
BW ∩D(f ) D(f ) ' π −1 D(f ).
(2) π induce un isomorfismo (biregular) fuera de W :
π −1 (V − W ) ' V − W.
(3) Para todo Q ∈ W , la fibra
π −1 (Q) ' Pn−1 .
186
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
(4) Para cualquier componente irreducible Wi ⊆ W , la imagen inversa π −1 (Wi )
es irreducible y de codimensión 1 en BW (V ).
(5) BW (V ) es liso.
Demostración. (1): Sabemos que K[D(f )] = K[V ]f e I(W ∩ D(f )) = I(W )f . Si
I(W ) = hf1 , . . . , fn i, entonces I(W ∩ D(f )) = hf1 /1, . . . , fn /1i lo que implica
que BW ∩D(f ) V está definido por el núcleo del morfismo
ϕf : K[V ]f [y1 , . . . , yn ] → K[V ]f ⊕ I(W )f ⊕ I(W )2f ⊕ · · ·
dado por yi 7→ fi /1. Pero claramente este morfismo ϕf es la localización del morfismo de K[V ]-álgebras
ϕ : K[V ][y1 , . . . , yn ] → K[V ] ⊕ I(W ) ⊕ I(W )2 ⊕ · · ·
dado por yi 7→ fi . Se sigue que
ker ϕf = (ker ϕ)f
y el resultado se sigue si observamos que el conjunto de ceros de (ker ϕ)f es
π −1 (D(f )).
(2): Basta probar que para cualquier abierto distinguido D(f ) ⊆ V −W el morfismo
π −1 (D(f )) → D(f ) es un isomorfismo.
p Para comenzar, observe que como D(f ) ⊆
V − W , entonces W ⊆ V(f ), i.e., hf i ⊆ I(W ) porque I(W ) es un ideal radical,
y por lo tanto f ∈ I(W ) y ası́ 1 = f /f ∈ I(W )f por lo que I(W )f = K[V ]f . Se
sigue que el morfismo
ϕ : K[V ]f [y1 ] → K[V ]f
que manda y1 7→ 1 tiene núcleo ker ϕ = hy1 − 1i, y de hecho observe que el
morfismo ϕ es ϕ : K[D(f )][y1 ] → K[D(f )], por lo que
B∅ D(f ) = Vhy1 − 1i = D(f ) × P0 = D(f ),
y por la parte (1), para ∅ = W ∩ D(f ), se tiene que B∅ D(f ) ' π −1 (D(f )), de
donde se sigue el resultado (2).
(3): Por el teorema 5.8,
BW (V ) = V(yi fj − yj fi ) para 1 ≤ i, j ≤ n
y como W = V(I), entonces para todo P ∈ W se tiene que f1 (P ) = · · · =
fn (P ) = 0. Se sigue que, para todo Q ∈ Pn−1 el punto (P ; Q) es un cero de las
ecuaciones yi fj − yj fi = 0 porque ft (P ) = 0 para todo t. Por lo tanto
n−1
π −1 (P ) = pr−1
→V
1 (P ) donde pr1 es la proyección V × P
= P × Pn−1
' Pn−1 .
6.2. DILATACIONES EN GENERAL. FORMULACIÓN ALGEBRAICA
187
Finalmente, note que como W = V(f1 , . . . , fn ) ⊆ V , entonces tiene codimensión
n en V , i.e., n = dim V − dim W .
(4): Si Wi ⊆ W es cualquier componente irreducible, por la parte (3) la restricción
π −1 (Wi ) → Wi tiene fibras isomorfas a Pn−1 que es irreducible. Por el corolario
4.33 se sigue que π −1 (Wi ) es irreducible de dimensión n − 1 + dim Wi . Finalmente, por el teorema del ideal principal de Krull, W = V(f1 , . . . , fn ) es puro
de dimensión dim V − n, y como Wi ⊆ W es una componente irreducible, entonces dim Wi = dim V − n. Se sigue que dim π −1 (Wi ) = n − 1 + dim Wi =
n−1+dim V −n = dim V −1 y como dim V = dim BW V (porque π : BW V → V
es equivalencia biracional), el resultado se sigue.
(5): Por la parte (2) sólo falta probar que BW (V ) es liso en los puntos (P ; Q) ∈
BW (V ) tales que π(P ; Q) = P ∈ W , es decir, en las fibras sobre puntos de W .
Ahora, por la parte (1), π −1 U ' BW ∩U U , con U afı́n abierto y por lo tanto podemos
suponer que V = U . Ahora, por 5.8,
BW V = V(fi yj − fj yi : 1 ≤ i, j ≤ n) ⊆ V × Pn−1 .
Entonces, para (P ; Q) ∈ BW V con P ∈ W , Q ∈ Pn−1 , queremos verificar que
(P ; Q) es punto liso de BW V . Sin perder generalidad podemos suponer que (P ; Q)
está en parte afı́n U1 de BW V definida por y1 6= 0. Observe ahora que
y1 (fi yj − fj yi ) = yi (f1 yj − fj y1 ) − yj (f1 yi − fi y1 )
y por lo tanto podemos asumir que
BW V = V(f1 yi − fi y1 : 1 ≤ i ≤ n)
en una vecindad afı́n U1 del punto (P ; Q).
Ahora, si V = V(g1 , . . . , gk ) ⊆ Am , con los gi ∈ K[x1 , . . . , xmp
], y si Fi ∈
K[x1 , . . . , xm ] son representantes de los fi ∈ K[V ] = K[x1 , . . . , xm ]/ hg1 , . . . , gk i,
y si zi = yi /y1 para i ≥ 2, entonces BW V está dado localmente por el sistema de
ecuaciones siguientes en An × An
gi (x1 , . . . , xm ) = 0
1≤i≤k
zi F1 (x1 , . . . , xm ) − Fi (x1 , . . . , xm ) = 0
2≤i≤n
188
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
cuya Jacobiana es

∂g1
∂x1 (P ; Q)

..

.


∂gk

∂x1 (P ; Q)

J =
 ∂F1
2
 z2 ∂x1 (P ) − ∂F
∂x1 (P )

..


.
1
n
zn ∂F
(P
)
− ∂F
∂x1
∂x1 (P )
∂g1
∂xm (P ; Q)
···
..
.
∂gk
∂xm (P ; Q)
···
···
∂F1
z2 ∂x
(P ) −
m
..
.
∂F2
∂xm (P )
···
∂F1
(P ) −
zn ∂x
m
∂Fn
∂xm (P )
0
..
.
0 ···
0
0 ···
F1 (P ) 0 · · ·
..
.
0
0 ···
0
..
.





0 



0 

.. 
. 
F1 (P )
donde notamos que la submatriz J1 formada por las primeras m columnas y los
últimos n − 1 renglones se obtiene de la matriz Jacobiana de W
 ∂F1
∂x1 (P ; Q)

Jac W = 
···
..
.
∂Fn
(P
; Q) · · ·
∂x1

∂F1
∂xm (P ; Q)

..

.
∂Fn
∂xm (P ; Q)
sumando múltiplos zi , para i ≥ 2, a los múltiplos por (−1) de todos los renglones
excepto del primero que se elimina.
Como W es lisa, se sigue que el rango de J1 es ≥ m − dimP W − 1 = m −
dim V + n y por lo tanto el rango de J es ≥ m + n − dim V = m + n − dim BW V ,
lo cual implica que dim BW V ≥ m + n − rango J y por lo tanto BW V es lisa. La preimagen
E = π −1 (W )
se llama la variedad (divisor) excepcional de la dilatación π : BW V → V . Note
entonces que el morfismo π ((desinfla)) E al cerrado W de codimensión n en V
(porque W = V(f1 , . . . , fn ) tiene codimensión n en V ).
Ejemplo 5. Considere la cuádrica V = V(y 2 + z 2 − x2 ) ⊆ A3 (un cono) y note que
tiene una única singularidad en 0 = (0, 0, 0). Dilatando esta singularidad obtenemos
Π = B0 A3 = {(x, y, z; u, v, w) ∈ A3 ×P2 : xv−yu = 0, xw−zu = 0, yw−zv = 0}.
Razonando como en el ejemplo 1, como P2 está cubierto por los abiertos afines
D(u), D(v), D(w), consideraremos separadamente las piezas de Π correspondientes:
EJERCICIOS
189
(1) Para la carta u 6= 0, es decir, u = 1, las ecuaciones que definen la dilatación Π
son: xv − y = 0, xw − z = 0, yw − zv = 0, es decir,
x=x
y = xv
z = xw
por lo que la transformada estricta Ve = π −1 (V − 0) de V se obtiene como sigue:
(i): Considere primero el caso cuando x 6= 0 para obtener π −1 (V − 0). Entonces,
substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuación de V : y 2 + z 2 − x2 = 0, se
obtiene que
0 = y 2 + z 2 − x2 = (xv)2 + (xw)2 − x2 = x2 (v 2 + w2 − 1)
y como x 6= 0, entonces v 2 +w2 −1 = 0. Notamos que las condiciones v 2 +w2 −1 =
0, x = libre, son las de un cilindro, que es liso:
V1 = V(v 2 + w2 − 1) ⊆ A3 .
(ii): Falta obtener la fibra π −1 (0). Notamos que esta fibra es la intersección de Ve1
con la variedad (divisor) excepcional 0 × P2 y por lo tanto en esta carta debemos
poner x = 0 además de la ecuación de V1 = V(v 2 + w2 − 1) y ası́
E1 = π −1 (0) = V(v 2 + w2 − 1 = 0, x = 0)
y por lo tanto E = π −1 (0) es racional, parametrizado por [v, w] ∈ P1 .
Finalmente, notamos que las tres cartas de Ve son simétricas y por lo tanto E es
liso y ası́ E = P1 .
La figura siguiente esboza la situación geométrica anterior:
Ejercicios
E JERCICIO 2. Sea M un A-módulo, con A un anillo conmutativo. Demuestre que
las afirmaciones siguientes son equivalentes:
(i) M es libre.
(ii) Mm es libre como Am -módulo, para todo ideal máximo m ⊆ A.
E JERCICIO 3. Si A es cualquier anillo conmutativo, f1 , . . . , fn es una sucesión regular en A e I = hf1 , . . . , fn i, demuestre que el morfismo natural
ϕ : (A/I)[y1 , . . . , yn ] → grI (A)
dado por yi 7→ fi +
I2
es un isomorfismo, donde
M
grI A =
I j /I j+1 = (A/I) ⊕ I/I 2 ⊕ I 2 /I 3 ⊕ · · ·
j≥0
190
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
es el anillo graduado asociado.
E JERCICIO 4. Si f1 , . . . , fn es una sucesión regular en A e I = hf1 , . . . , fn i, demuestre que para todo primo p ⊇ I tal que Ap 6= 0 se tiene que f1 , . . . , fn es una
sucesión regular en Ap .
E JERCICIO 5. Si A es un anillo local regular, demuestre que una sucesión (f1 , . . . , fn )
de elementos del ideal máximo m ⊆ A es una sucesión regular si y sólo si
dim A/hf1 , . . . , fn i = dim A − n.
E JERCICIO 6. Escriba explı́citamente las cartas afines de la dilatación de A3 con
centro en la variedad lisa W = V(x, y) = el eje Z. Muestre que la dilatación π :
BW A3 → A3 es el producto cartesiano π 0 × idZ de la dilatación π 0 : B0 A2 → A2
de A2 en el origen con la identidad idZ en el eje Z.
6.3.
Resolución de singularidades
Un morfismo regular π : V 0 → V de conjuntos algebraicos es una resolución de
singularidades o desingularización de V , si V 0 es lisa y π es un isomorfismo sobre
cualquier subconjunto abierto de V formado por puntos lisos. El resultado principal
en este contexto y cuya demostración está todavı́a más allá del nivel de este libro es:
T EOREMA 6.5 (Hironaka). Sea V una variedad algebraica (irreducible) sobre un
campo algebraicamente cerrado de caracterı́stica cero. Entonces, existe una sucesión finita de dilataciones πi : Vi → Vi−1 , 1 ≤ i ≤ n, con V0 = V , que son
dilataciones a lo largo de subconjuntos cerrados lisos de Vi−1 contenidos en el
lugar singular de Vi−1 , y tales que la composición
Vn → Vn−1 → · · · → V1 → V0 = V
es una resolución de singularidades de V .
El ejemplo siguiente ilustra en forma práctica el método en un caso que se
puede hacer explı́citamente pero que muestra de alguna manera algunas de las complicaciones que pueden aparecer en el caso general. No está de más señalar que la
resolución de singularidades para el caso de superficies algebraicas sobre campos
algebraicamente cerrados de caracterı́stica cero ya habı́a sido obtenida desde principios del siglo XX y por lo tanto precede al teorema general de Hironaka citado
arriba. La singularidad de la superficie algebraica que consideraremos fue estudiada
por du Val3 hacia 1934.
3du Val, P., “On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunc-
tion” I, II and III, Proc. of the Camb. Phil. Soc. 30, 453-459, 460-465 and 483-491 (1934).
6.3. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
191
Ejemplo 6. Considere la superficie algebraica V = V(x2 +y 3 +z 4 ) ⊆ A3 y note que
tiene una (única) singularidad en 0 = (0, 0, 0). Sean (x, y, z) coordenadas afines en
A3 y [u, v, w] coordenadas homogéneas en P2 . La desingularización de V se hará en
varios pasos:
PASO 1. Considere la dilatación de A3 en 0,
Π = B0 A3 = V(xv − uy, xw − zu, yw − zv) ⊆ A3 × P2
con proyección π : Π → A3 . Razonando como en el ejemplo 1 y el anterior, como
P2 está cubierto por los abiertos afines D(u), D(v), D(w), consideraremos separadamente las piezas de Π correspondientes:
(1) Para la carta u 6= 0, es decir, u = 1, las ecuaciones que definen la dilatación Π
son: xv − y = 0, xw − z = 0, yw − zv = 0, es decir,
x=x
y = xv
z = xw
por lo que la pieza correspondiente de la transformada estricta Ve = π −1 (V − 0) de
V se obtiene como sigue:
(i): Considere primero el caso cuando x 6= 0 para obtener π −1 (V − 0). Entonces,
substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuación de V : x2 + y 3 + z 4 = 0, se
obtiene que
0 = x2 + y 3 + z 4 = x2 + (xv)3 + (xw)4 = x2 (1 + v 3 x + w4 x2 )
y como x 6= 0, entonces 1 + v 3 x + w4 x2 = 0. Es decir,
V1 = V(1 + v 3 x + w4 x2 ) ⊆ A3 .
Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que car K 6= 2, 3) a las ecuaciones
de V1 obtenemos que
v 3 + 2w4 x = 0
3v 2 x = 0
4w3 x2 = 0
no tiene solución (porque x 6= 0) y por lo tanto V1 es lisa en la carta v = 1.
(2) Para la carta v 6= 0, es decir, v = 1, las ecuaciones que definen la dilatación Π
son: x − yu = 0, xw − zu = 0, yw − z = 0, es decir,
x = yu
y=y
z = yw
192
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
por lo que la pieza correspondiente de la transformada estricta Ve = π −1 (V − 0) de
V se obtiene como sigue:
(i): Considere primero el caso cuando y 6= 0 para obtener π −1 (V − 0). Entonces,
substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuación de V : x2 + y 3 + z 4 = 0, se
obtiene que
0 = x2 + y 3 + z 4 = (yu)2 + y 3 + (yw)4 = y 2 (u2 + y + w4 y 2 )
y como y 6= 0, entonces u2 + y + w4 y 2 = 0. Es decir,
V2 = V(u2 + y + w4 y 2 ) ⊆ A3 .
Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que car K 6= 2) a las ecuaciones
de V2 obtenemos que
u=0
1 + 2yw4 = 0
w3 y 2 = 0
no tiene solución y por lo tanto V2 es lisa en la carta v = 1.
(3) Para la carta w 6= 0, es decir, w = 1, las ecuaciones que definen la dilatación Π
son: xv − yu = 0, x − zu = 0, y − zv = 0, es decir,
x = zu
y = zv
z=z
por lo que la pieza correspondiente de la transformada estricta Ve = π −1 (V − 0) de
V se obtiene como sigue:
(i): Considere primero el caso cuando z 6= 0 para obtener π −1 (V − 0). Entonces,
substituyendo las ecuaciones de Π en la ecuación de V : x2 + y 3 + z 4 = 0, se
obtiene que
0 = x2 + y 3 + z 4 = (zu)2 + (zv)3 + z 4 = z 2 (u2 + zv 3 + z 2 )
y como z 6= 0, entonces u2 + zv 3 + z 2 = 0. Es decir,
V3 = V(u2 + zv 3 + z 2 ) ⊆ A3 .
Aplicando el criterio de la Jacobiana (asumiendo que car K 6= 2, 3) a las ecuaciones
de V3 obtenemos que
u=0
3
v + 2z = 0
3zv 2 = 0
6.3. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
193
y ası́ vemos que tiene una singularidad en u = 0, v = 0, z = 0, es decir, en
(0, 0, 0; 0, 0, 1).
(4) Hemos ası́ mostrado que la transformada inversa propia de V es
Ve1 = V1 ∪ V2 ∪ V3
con V1 y V2 lisas pero V3 con una singularidad en (0, 0, 0). En cada pieza Vi las
ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0 correspondientes definen la intersección de Vi con
el divisor excepcional E ' P2 :
(i) V1 ∩ E = ∅.
(ii) Vi ∩ E = la recta afı́n v = 0 en V2 y V3 .
Se sigue que la fibra de π : Ve → V en el origen es la curva
R1 = π −1 (0) ' P1 .
PASO 2. Como V3 resultó singular, repetimos todos los pasos anteriores con
V3 = V(u2 + v 3 z + z 2 ) ⊆ A3
dilatando en el origen. Para comenzar, y para evitar la introducción de demasiadas
variables, en cada paso de la desingularización de V , renombramos las variables y
ponemos
V3 = V(x2 + y 3 z + z 2 ) ⊆ A3 .
Al dilatar A3 en el origen, razonando como en primer paso, obtenemos que la trasformada estricta Ve2 de Ve1 está cubierta por las partes V1 y V2 anteriores y por tres
otras piezas obtenidas de la transformada estricta de V3 :
V4 = V(1 + u3 vx2 + v 3 x)
V5 = V(u2 + y 2 v + v 2 )
V6 = V(u2 + v 3 z 2 + 1)
y, de nuevo, por el criterio de la Jacobiana resulta que V4 y V6 son lisas pero V5 tiene
una singularidad en (0, 0, 0). Más aún, la fibra
π −1 (0) = R2 ∪ R3
es la unión de dos curvas, cada una isomorfa a P1 . Notamos que la intersección de
la imagen inversa de R1 con R2 y R3 es el punto (u, v, z) = (0, 0, 0) en V5 , que es
el punto singular de V 2 .
194
6. RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES
PASO 3. Ası́, la transformada V 3 estricta de V 2 está cubierta por V1 , V2 , V4 , V6 y
repetimos el proceso anterior para la pieza
V5 = V(x2 + y 3 z 2 + 1)
donde obtenemos otras tres piezas:
V7 = V(1 + vu2 x + v 2 )
V8 = V(u2 + v 2 z + 1)
V9 = V(u2 + vy + v 2 )
donde las primeras dos son lisas pero V9 es singular. Ası́, la transformada estricta
V 3 de V 2 está cubierta por las piezas lisas V1 , V2 , V4 , V6 , V7 , V8 . También notamos
que la fibra
π −1 (0) = R4 ∪ R5
1
es la unión de dos curvas,
√cada una isomorfa a P . En la pieza V9 estas curvas están
dadas por v = 0, u = ± −1v y se tiene que
La imagen inversa de R1 intersecta R4 y R5 en el punto donde estas dos
últimas se cortan.
√
La imagen inversa de R2 intersecta R4 en el punto (u, v, z) = (1, −
√ −1, 0).
La imagen inversa de R3 intersecta R5 en el punto (u, v, z) = (1, −1, 0).
PASO 4. Dilatamos de nuevo para desingularizar V9 , reescribiendo primero
V9 = V(x2 + yz + z 2 )
Obtenemos de nuevo tres piezas
V10 = V(1 + uv + v 2 )
V11 = V(u2 + v + v 2 )
V12 = V(u2 + v + 1)
y por el criterio de la Jacobiana, las tres partes son lisas. Es decir, la transformada
estricta V 4 de V 3 está cubierta por las piezas
V 4 = V1 ∪ V2 ∪ V4 ∪ V6 ∪ V7 ∪ V8 ∪ V10 ∪ V11 ∪ V12
cada una de ellas lisa. Finalmente, la fibra
π −1 (0) = R6
es una curva isomorfa a P1 , dada por la ecuación x2 + yz + z 2 . La imagen inversa
de R1 intersecta R6 en un único punto.
EJERCICIOS
195
Resumiendo, hemos obtenido la desingularización
π̃ : Ve4 → V
y la fibra
π̃ −1 (0) = R1 ∪ R2 ∪ R3 ∪ R4 ∪ R5 ∪ R6
con cada Ri ' P1 y se intersectan como se muestra en la figura siguiente:
donde notamos que la gráfica dual es
que es el diagrama de Dynkin E6 .
Ejercicios
E JERCICIO 7. Desingularice la curva afı́n V = V(x2 − y 2 ) ⊆ A2 mediante una
sucesión de dilataciones del espacio ambiente A2 . Describa la curva excepcional de
la desingularización π̃ : Ve → V .
E JERCICIO 8. Desingularice la curva afı́n V = V(y 2 − x3 ) ⊆ A2 mediante una
sucesión de dilataciones del espacio ambiente A2 . Describa la curva excepcional de
la desingularización π̃ : Ve → V .
E JERCICIO 9. Desingularice la curva afı́n V = V((y − x2 )(y − x − x3 )) ⊆ A2
mediante una sucesión de dilataciones del espacio ambiente A2 . Describa la curva
excepcional de la desingularización π̃ : Ve → V .
E JERCICIO 10. Desingularice la superficie afı́n V = V(x2 + y 3 + z 3 ) ⊆ A3 mediante una sucesión de dilataciones del espacio ambiente A3 . Describa la variedad
excepcional de la desingularización π̃ : Ve → V .
E JERCICIO 11. Sean A = K[A2 ] = K[x, y] e I = hx, y 2 i.
(i) Muestre que x, y 2 es una sucesión regular.
(ii) Para el morfismo ϕ : A[u, v] → BI A dado por u 7→ x, v 7→ y 2 , describa
el conjunto cerrado B = V(ker ϕ) ⊆ A2 × P1 .
(iii) ¿Es B liso?, ¿irreducible?
Bibliografı́a
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Algebra. Chapters 1 to 7. Addison-Wesley, Reading, and Hermann, Paris,
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197
Índice alfabético
abiertos
distinguidos, 46
álgebra
de dilatación, 178
álgebra
de tipo finito, 17
álgebra
finita, 17
anillo
de coordenadas afı́n, 10
de coordenadas homogéneo, 57
de fracciones, 21
de funciones regulares, 60
graduado asociado, 188
local de una variedad afı́n, 31
normal, 154
reducido, 11
aplicación
étale, 130
étale en un punto, 130
racional entre variedades afines, 32
biregular, 63
de Segre, 70
de Veronese, 69
polinomial, 25
racional, 32, 62
racional dominante, 32, 62
racional regular, 62
regular, 62
automorfismo, 68
B
biracional, 33, 63
C
cónica
proyectiva, 52, 53
campo
de fracciones, 21
de funciones de una variedad afı́n, 29
de funciones racionales, 58
cerradura entera, 19
codimensión, 88
completación, 147
componente irreducible, 8
conjunto
afı́n, 1
algebraico proyectivo, 40
proyectivo, 40
cono, 42, 43
afı́n, 42
continuidad de las funciones regulares, 31
cuádrica, 64
curva
elı́ptica, 141
curva normal racional, 69
D
derivación, 138
desingularización, 188
diagonal, 102
diferencial, 115, 128–130
dilatación, 169–171, 178
de una variedad, 174
local, 173
dilataciones, 169
dimensión, 77, 79
de Krull de un anillo conmutativo, 86
de Krull de un espacio topológico, 86
local, 88
pura, 83
divisor, 158
cero, 158
de ceros, 161
de polos, 161
efectivo, 158
excepcional, 186
positivo, 158
primo, 159
principal, 161
divisores equivalentes, 162
E
ecuaciones locales, 149
elemento
entero, 17
entero, 17
199
200
equidimensional, 83
equivalencia biracional, 33
espacio
afı́n, 1
irreducible, 6
noetheriano, 8
proyectivo, 39
tangente, 115
tangente de Zariski, 123
expansión de Taylor, 148
explosiones, 169
F
fibra, 105
finita, 100
función
polinomial, 34
racional, 57
regular, 60
G
germen, 133
gráfica, 36
grado
de un morfismo, 137
de una curva, 164
grupo
aditivo, 141
algebraico, 140
algebraico lineal, 141
de clases de divisores, 162
de divisores, 158
lineal especial, 140
lineal general, 141
lineal proyectivo, 68
multiplicativo, 141
ortogonal, 142
ortogonal especial, 142
simpléctico, 142
H
hiperplano al infinito, 47
hipersuperficie, 79
I
ideal
homogéneo, 41
irrelevante, 45
ı́ndice de intersección, 167
Índice alfabético
inflación, 171
inmersión
cerrada, 36
integralmente cerrado, 19
intersección completa conjuntista, 90
intersección completa idealista, 91
J
Jacobiana, 116
K
lema
de Nakayama, 97
de normalización de Noether, 93
lisa
en codimensión 1, 154, 159
liso en un punto, 136
lugar de ramificación, 155
L
matriz Jacobiana, 128
morfismo
étale, 130
étale en un punto, 130
canónico, 21
de anillos locales, 127
de dilatación, 178
finito, 100
inseparable, 155
liso, 136
no ramificado, 155
plano, 137
ramificado, 155
separable, 155
multiplicidad de intersección, 167
M
número de intersección, 164
norma
de un elemento, 83
normal, 152, 154
N
parámetros locales, 142
polos, 30
posición general, 166
producto
de variedades afines, 37
proyección con centro E, 73
punto
Índice alfabético
de ramificación, 155
liso, 118, 119, 125
no singular, 118
racional
de una variedad afı́n, 12
singular, 118, 119, 126
Ñ
recta
excepcional, 175–177
regla de Leibniz, 138
regular, 29, 60
resolución de singularidades, 188
O
Segre, 70
serie de Taylor, 146
singularidad, 119
sistema local de parámetros, 134
soporte, 159
subconjunto multiplicativo, 21
subvariedad, 14
sucesión
regular, 180
P
tangente de Zariski, 123
teorema
de la base de Hilbert, 1
de la función inversa, 132
de los ceros de Hilbert, 5
del elemento primitivo, 99
topologı́a
de Zariski afı́n, 2
de Zariski proyectiva, 42
transformada estricta, 176, 177
trasformación monoidal, 178
traslación, 142
Q
ultramétrica, 147
R
valuación, 160
variedad
abeliana, 141
afı́n, 6
cuasi-afı́n, 6
cuasi-proyectiva, 45
de Segre, 70
excepcional, 186
lisa, 119
no singular, 119
normal, 152
proyectiva, 45
racional, 65
Veronese, 69
201