tasas de interés en cadena

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VECINO A. Carlos Enrique. UIS – Ing industrial
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TASAS DE INTERÉS EN CADENA
Hay casos en los que existe más de un tipo de interés actuando a la vez y en cadena sobre
un capital, es decir, sobre el capital se aplica una tasa de interés generando un "nuevo
capital" y sobre éste se aplica otra tasa de interés obteniéndose una nueva cantidad.
Un ejemplo del uso de tasas de interés en cadena puede observase en nuestro medio, en el
cual es muy común trabajar con Unidades de Valor Real UVRs en créditos Hipotecarios a
largo plazo. En dichos créditos se habla de "interés por corrección monetaria" y de un
"interés adicional sobre saldo corregido", este último se aplica una vez hecha la corrección
monetaria. El objetivo de la creación de la UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo
Constante), la cual fue remplazada por la UVR, fue tener una unidad que eliminara los
efectos de la inflación y así, mantener un supuesto poder de compra similar a través del
tiempo, de esta forma la corrección monetaria se encargaría de ir colocando el valor de
dicha unidad en un nivel tal que mantuviera su poder adquisitivo. Sin embargo, se crearon
posteriormente topes (límites) para la corrección monetaria. Si la inflación se presenta por
debajo de dicho tope, hasta éste punto llega la corrección monetaria; pero, si la inflación
sobrepasa el tope, la corrección monetaria llega sólo hasta el límite.
Después no sólo se dieron dichos topes sino que la corrección monetaria se calculó con
base en una ponderación entre la inflación y las tasas de interés vigentes en el sistema
bancario DTF. Finalmente ya nada tiene que ver con la inflación. Su cálculo solo dependía
del valor de la tasa de captación DTF, así: "La corrección monetaria para un mes especifico
era el 74% del promedio de la DTF de las últimas cuatro semanas.
Ejemplo 3.4.1.
Suponga que en el pasado su empresa recibe de una entidad financiera un préstamo
hipotecario de $10'000.000 en un momento en que el valor de la UPAC era $5.000. La
entidad financiera colocó las siguientes condiciones:
Plazo: un año
Interés: corrección monetaria del 21% anual y un interés adicional del 10% efectivo anual
sobre saldo corregido.
En pesos:
Sobre los $10'000.000 se hace la corrección monetaria que es del 21% anual:
10'000.000(1+0.21) = $12'100.000
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Es decir, los $10'000.000 equivaldrían a $12'100.000 dentro de un año, siendo éste el saldo
corregido. Sobre dicho saldo se aplica ahora el interés adicional del 10% efectivo anual en
el mismo año:
12'100.000(1+0.1) = $13'310.000
Esta cantidad, $13'310.000 es lo que debe pagarse al final del año de plazo, y por tanto en
este momento la UPAC debe ser también corregido:
Valor del UPAC: $5.000 5000(1+0,21)= $6.050
0______________1
Entonces, una UPAC vale $6.050.
Si se observa los $10'000.000 en términos de UPACS en el momento del préstamo y al
término de un año se tiene entonces mediante la aplicación de la corrección monetaria:
Pesos:
Valor del UPAC:
UPACS
Como se observa, la UPAC conserva su poder adquisitivo, es decir, tanto en el momento
del préstamo como al finalizar el año de plazo, éste equivale a 2.000 UPACS.
Aplicando ahora el interés adicional del 10% sobre el saldo corregido del préstamo,
obtenemos la cantidad total a pagar tanto en pesos como en UPACs.
Pesos: $12'100.000(1+0.1) = $13'310.000
UPACS: 2.000(1+0.1) = 2.200 (UPACs de ese momento)
Se sabe que el valor final del UPAC es $6.050., luego:
2.200($6.050) = $13'310000
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Que concuerda con la cantidad calculada inicialmente.
De analizar el anterior ejemplo, se puede concluir fácilmente que si tenemos:
i1= tasa de interés efectiva del tipo 1
i2= tasa de interés efectiva del tipo 2
it= tasa de interés efectiva total (Reúne los tipos de interés)
Se obtiene entonces:
= + ∗ + − []
En el Ejemplo 14:
i1= tasa por corrección monetaria (21%)
i2= tasa de interés adicional (10%)
it= (1+0.21) (1+0.1) - 1 = 33,1%
Con este interés efectivo total podemos directamente obtener el saldo final:
$10'000.000 (1+0.331) = $13'310.000
NOTA IMPORTANTE: Debe tenerse en cuenta que i1 e i2 sean tasas de interés efectivas
en su tipo, y correspondientes al mismo periodo de tiempo.
El anterior no es el único caso en el que se presentan intereses en cadena, también los hay
cuando por ejemplo, se hace una inversión en el exterior en moneda de ese país,
supongamos Estados Unidos cuya moneda es el dólar.
Por ello, habrá que convertir, inicialmente, los pesos en dólares, invertir los dólares (en
Estados Unidos) sobre los cuales se recibe un interés por rentabilidad de la inversión,
generándose un nuevo monto en dólares. Estos "nuevos" dólares al convertirlos en pesos,
reportarán un mayor número de pesos por cada dólar, esto por efecto de la devaluación.
Ejemplo 3.4.2.
Supongamos que un inversionista colombiano va a realizar un proyecto en USA que
consiste en invertir US$10.000, para recibir al cabo de un año US $11.200. Si al momento
de realizar la inversión la tasa de cambio es $2.100 por cada dólar y al final del año será un
25% mayor por efecto de la devaluación. ¿Cuál será la rentabilidad lograda en pesos
colombianos?
i1= interés en USA en dólares
i2= devaluación del peso respecto al dólar (debido a la devaluación, al cambiar un dólar
por pesos, se debe recibir una mayor cantidad de pesos)
it= interés total recibido en pesos colombianos
Periodo: 1 año
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i1= (11.200-10.000)/10.000 = 12%
i2= 25%
it= (1+0.12) (1+0.25) - 1 = 40%
Observemos el movimiento en dólares, pesos y la tasa de cambio:
Es equivalente a hacer el cálculo:
21'000.000*(1+0.4)= $29'400.000
Ejemplo 3.4.3.
Un inversionista Colombiano piensa invertir $20'000.000 en un proyecto mexicano, el cual
requiere exactamente esa cantidad a la tasa de cambio actual. Este dinero rentará en México
un equivalente al 2,5% mensual, obteniéndose al cabo de 2 años 180.872,60 pesos
mexicanos.
Si el peso colombiano, tomando como base una devaluación del 20% anual respecto al peso
mexicano (MEX$) tiene al cabo de 2 años una tasa de $288 pesos colombianos (COL$) por
cada peso mexicano ($288/MEX$). Cuál será la rentabilidad anual obtenida por el
inversionista colombiano y cuál será el flujo tanto en pesos colombianos como en pesos
mexicanos?
Se calcula inicialmente la tasa de cambio actual, sabiendo que dentro de 2 años la tasa de
cambio será COL$288/MEX$ y la devaluación será del 20%:
Conociendo TC0 y aplicando la devaluación tendríamos:
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TC1= TC0(1+0.2)2
Luego:
COL$288/MEX$= TC0 (1,44)
TC0 = COL$200 / MEX$
i1= interés anual en nuevos pesos mexicanos
i2= devaluación anual del peso colombiano respecto al nuevo peso mexicano
it= interés anual en pesos colombianos
i1 = (1+0,025)12 - 1 = 34,488%
i2 = 20%
it = (1,34488) (1,2)- 1 = 61,386%
Por los 2 años, el inversionista obtendría:
F= 20'000.000 (1+0,61386)2 = $52'090.623,78
Los flujos serían entonces:
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EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS OPERACIONALES
CLASIFICACION DE LAS ALTERNATIVAS
Según los Beneficios que Generan.
Alternativas que generan diferentes beneficios: Es el caso más general, como su nombre lo
indica los beneficios generados por las alternativas son diferentes para cada una de ellas;
por lo cual su evaluación se basa en la maximización de los valores presentes, anuales y
futuros netos, ó en el cálculo de la Tasa Interna de Retorno (TIR), aunque también se podría
realizar un análisis incremental entre las alternativas consideradas.
Alternativas que generan igual beneficio: Una característica de estas alternativas, es que el
valor total de los beneficios producidos por cada una de ellas en cada periodo es el mismo,
por lo que requieren de un estudio especial que consiste en hacer un análisis de costos,
buscando la alternativa que genere los beneficios requeridos al mínimo costo.
Según la Relación de las Alternativas entre sí.
Mutuamente Excluyentes: Son alternativas que no se pueden realizar simultáneamente, por
lo tanto se debe seleccionar la mejor.
Dos proyectos son mutuamente excluyentes si el hecho de realizar uno elimina la
posibilidad de ejecutar el otro. Estudio de pre-inversión con base en un terreno para
construir un centro comercial o un edificio multifamiliar.
Independientes: Este tipo de alternativas no están afectadas entre sí por la decisión que se
tome en una de ellas, sin embargo, generalmente existen restricciones que hacen que una
decisión indirectamente afecte al conjunto de alternativas, como por ejemplo la
disponibilidad de dinero.
Complementarias: Son aquellas alternativas en las cuales para llevar a cabo una, requiere
realizar otra que la complemente.
El proyecto A es independiente de B. si los dos se pueden ejecutar simultáneamente,
sin que sin que la ejecución de uno afecte al otro. Son proyectos que no dependen de los
mismos recursos financieros limitados, ni de los de un mismo activo, no de un mismo
insumo o activo de oferta limitada, ni atienden la misma demanda ni la misma necesidad.
Sus valores presentes netos pueden sumarse para los flujos generados por proyectos.(por
ejemplo, el estudio de pre inversión para un negocio penetrar un mercado, o el estudio
de pre inversión para evaluar el cambio de tecnología en la planta de producción)
Complementarias: Son aquellas alternativas en las cuales para llevar a cabo una, requiere
realizar otra que la complemente.
Dos proyectos son complementarios si la ejecución de uno mejora la rentabilidad del
otro, comparten un activo o una inversión, sin agotarla. Como puede ser un estudio de
pre inversión para exportar plátano y otro estudio que utiliza los vástagos para
producir papel reciclado; o el estudio de pre inversión de un edificio multifamiliar y
un supermercado.
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Según la Duración. Es importante en muchos casos la duración de las alternativas y su
clasificación de acuerdo a si presentan IGUAL ó DIFERENTE vida económica.
Según la Inversión. Varios de los criterios ya vistos ofrecen resultados en los cuales se
involucra la inversión, y por lo tanto debe tenerse muy claro si se están analizando
alternativas con IGUAL o DIFERENTE inversión.
CRITERIOS DE
ALTERNATIVAS
EVALUACION
SEGUN
EL
TIEMPO
DE
- ALTERNATIVAS CON BENEFICIOS DIFERENTES, MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, IGUAL VIDA E IGUAL INVERSION
El objetivo es elegir la mejor alternativa utilizando cualquiera de los criterios vistos. Sólo
se debe tener cuidado al utilizar la TIR, ya que este criterio no tiene en cuenta el dinero que
sale del proyecto durante su transcurso; solo habla del dinero que continúa invertido y este
puede ser substancialmente diferente para cada alternativa, aún comenzando todos con
igual inversión.
- ALTERNATIVAS CON BENEFICIOS DIFERENTES, MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, IGUAL VIDA Y DIFERENTE INVERSION.
La única diferencia respecto a la anterior, es que todas las alternativas presentan diferente
inversión, por ello los criterios que involucran en su resultado el monto invertido no son
criterios adecuados. Tal es el caso del de la VR y el VFFF, los cuales debemos reemplazar
por sus sustitutos adecuados si deseamos una evaluación correcta, como son la TCP y el
VFP.
VFP = VFFF + (EXCEDENTE) (1+i*)n
Donde el EXCEDENTE es el dinero disponible y que no fue invertido en el proyecto.
Tomando como dinero disponible mínimo la mayor de las inversiones de las alternativas.
VFP es el Valor Futuro del Patrimonio.
TCP es la Tasa de Crecimiento del Patrimonio y se obtiene:
TCP= ( VFP / ( (INVERSION MAYOR)(1/n) ) ) -1
- ALTERNATIVAS CON DIFERENTES BENEFICIOS, MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, DIFERENTE VIDA E INVERSION.
A diferencia del caso anterior este tiene diferente vida, por lo tanto los criterios VFN y
VAN dejan de ser apropiados. Además, para el cálculo de VFP y TCP se debe utilizar la
mayor vida económica de las alternativas.
Ejemplo 5.10.1
Se van a considerar tres alternativas, con i*=30%
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Analizando las alternativas X e Y nos damos cuenta que Y es la mejor alternativa dado que
por los criterios de VPN, VFN, VAN, B/C, VFFF ofrece mejores resultados Y. La TIR no
estudia lo que sucede con el dinero que sale durante el transcurso del proyecto, por esta
razón no se tiene en cuenta, ya que esto sucede en el proyecto X.
Evaluaremos las alternativas Y y Z dado que X ya quedó eliminada. Estas alternativas
presentan diferentes inversiones por ello los criterios de VR y VFFF no son adecuados
(porque involucran en su resultado el monto invertido).
Para una evaluación correcta debemos reemplazarlos por TCP y VFP respectivamente.
Además, estas alternativas presentan diferente vida, por lo tanto para el cálculo de TCP y
VFP debemos utilizar la mayor de las vidas económicas, en este caso 4 años; por otra parte
los criterios VFN y VAN no son adecuados.
= 1 + + 1 + = 2`379.270,375 ∗ 1 + 0,3 + 500.0001 + 0,3%
= 4`521.101,481
El primer término de la suma es para el VFFF (trasladado al período 4)
VFPZ = es el mismo VFFF porque está en el período 4 y además todo el dinero disponible
fue invertido.
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( = 4`553.933,64
.
4`521.101,488 /%
*+ = ,
- −1
1`500.000
.
4`553.936,64 /%
*+( = ,
- −1
1`500.000
TABLA 37. Criterios de decisión.
ALTERNATIVA
Y
Z
VFP
4`521.101,481
4`553.933,64
TCP
31,721%
32%
La mejor alternativa entre Y y Z es Z, dado que el VPN, VFP, TCP de Z son mayores que los
correspondientes a Y.
B/C no se tiene en cuenta dado que su resultado involucra el VPE, el cual contiene la
inversión inicial.
- ALTERNATIVAS INDEPENDIENTES CON DIFERENTES BENEFICIOS,
VIDA E INVERSION.
En este caso, si no existieran restricciones, se limitaría al estudio individual de cada
alternativa y su respectiva decisión en cuanto a llevarse a cabo o no.
No obstante, es común que existan restricciones en cuanto uno o varios de las siguientes
variables:
•
Capital Disponible
•
Mercado
•
Materias Primas
•
Mano de obra
•
Tiempo
•
Tecnología
La restricción más común es la del capital disponible.
Por lo tanto, analizar este tipo de alternativas con restricciones se convierte en el estudio de
conjuntos de alternativas que generalmente son excluyentes entre sí, quedando así en uno
de los casos ya expuestos.
Una herramienta de gran utilidad en el estudio de alternativas con restricciones es la
Programación Lineal.
Ejemplo 5.10.2
Se tienen 5 proyectos únicos, solo con restricciones de capital.
Disponibilidad 5’000.000
i*=20%
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TABLA 38. Criterios de decisión.
PROYECTO
A
B
C
D
E
VPN
587.963
471.354
752.315
421.296
1`041.167
TIR aprox.
40%
28,8%
29,5%
24,5%
27,8%
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Ahora, hagamos un estudio de los posibles conjuntos de alternativas mutuamente
excluyentes.
TABLA 38. Alternativas de inversión.
ALTERNATIVAS
A+D
B+C
E
A+C+1`000.000(1+i*)
A+B+2`000.000(1+i*)
VPN
1`029.259
1`023.669
1`041.167
1`340.278
1`059.317
Podemos comprobar que:
01 + 2 + 2`000.0001 + ∗ = 03 + 04 + 05`666.666.78 ∗ 05`666.666.78 ∗ = 0; Debido a que no produce ninguna utilidad adicional sobre el
interés de oportunidad.
El mejor conjunto de alternativas es la de A+C*+1`000.000(1+i*)
Supongamos que existe la posibilidad de solicitar un préstamo:
ALTERNATIVA
P
COSTO DE CAPITAL
22%
VPN
-50.837,96
Un VPN < 0, no necesariamente indica que se debe descartar esta posibilidad sino que
debemos relacionarlo con los proyectos dados para ver las nuevas alternativas que se
producen.
Los nuevos posibles conjuntos de alternativas incluyendo el proyecto P serían:
TABLA 38. Alternativas de inversión.
ALTERNATIVAS
A+B+C+P
B+D+P
A+E+P
VPN
1`766.794,037
841.812,037
1`578.292,03
Hasta el momento el mejor conjunto de alternativas es: A+B+C+P.
Por lo anterior comprobamos que sí se justifica hacer el préstamo
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Ejemplo 5.10.3
Una pequeña industria de cueros proyecta elaborar dos nuevos artículos: maletines
ejecutivos y billeteras. Las condiciones de venta de la empresa son créditos a 30 días. Los
costos e ingresos por producto son los siguientes:
Para billeteras:
Por materias primas: $3.750 en el momento de iniciar el proceso.
Por mano de obra y costos generales $15.000 al final del mes que dura el proceso.
Entre la venta y el momento en que se termina el artículo transcurre 1 mes.
El precio de venta es $28.564,50
Para maletines ejecutivos:
Por materias primas $15.000 al iniciar el proceso.
Por mano de obra $15.000 al cabo de un mes.
Se termina e inmediatamente se vende.
Precio de venta $55.400.
La empresa solo dispone de $360.000 en el momento de iniciar la producción y $600.000
al final de la producción.
Si sobra dinero en un momento dado se utiliza para otras obligaciones de la empresa.
Cuántos maletines ejecutivos y billeteras se deben fabricar si este pequeño industrial
generalmente obtiene como rentabilidad un 2% mensual (i*=2%).
Billeteras
9 = 18.455,82: = 27.455,82
0 = 8.999,485;<=>>?@@=>A>?=>>
Maletines ejecutivos
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9 = 29.705,88: = 54.313,725
0 = 24.607,845;<=>>B>@CDE<A>?=><
Debido a que existen restricciones de dinero debemos plantearlo como un problema de
programación lineal:
FUNCION OBJETIVO:
Pretendemos obtener el VPN total máximo, es decir:
Max VPN total = 24607,845X1 + 8.999,485X2
donde X1 y X2 son las variables de decisión:
X1: Número de maletines ejecutivos a fabricar.
x2: Número de billeteras a fabricar.
Sujeto a las restricciones que nos da el problema:
15.000X1 + 3750X2 = 360.000
Restricción de dinero para el período cero
15.000X1 + 15.000X2 = 600.000
Restricción de dinero para el período uno
X1, X2 > 0
Es lógica esta última restricción llamada de no negatividad, dado que es imposible fabricar
una cantidad negativa de maletines.
Grafiquemos las restricciones:
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Para calcular el punto optimo, se igualan las dos ecuaciones de restricciones y se despejan
X1 y X2
Luego,
F1 = 18,66GF2 = 21,33
Dado que X1 y X2 (# de productos a fabricar) deben ser enteros, los posibles resultados
serian:
X1
18
19
19
X2
22
21
20
VPN
639.829,889
655.488,249
646.538,764
Se toma la solución que nos dé máximo VPN y además que cumpla las restricciones. Para
nuestro ejemplo estos valores son 19 maletines ejecutivos y 21 billeteras.
NOTA: En caso que sobre dinero al principio del proyecto y no se aclare que se invierta en
otras obligaciones de la empresa, las restricciones quedarían:
15.000X1 + 3.750X2 = 360.000
15.000X1 + 15.000X2 = 600.000 + (360.000-15.000X1-3.750X2)*(1+0.02)
Queda como práctica para el lector resolver el ejercicio con las nuevas restricciones.
5.10.5 ALTERNATIVAS COMPLEMENTARIAS.
En este caso el análisis correcto debe fusionar inicialmente como una alternativa global el
flujo de las alternativas complementarias y luego calcular los criterios que según el caso
sean los adecuados para la toma de decisiones, teniéndose en cuenta el análisis de los casos
anteriores.
Ejemplo 5.10.4
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Tenemos dos alternativas independientes y complementarias con restricciones de dinero.
i*=20%
El inversionista sólo dispone de $1’500.000. Debe conseguir rápidamente $500.000 que le
faltan para llevar a cabo el proyecto X
9 = 2`000.000: = 2`347.222,22
0 = 347.222,22
Supongamos que se le presentó la posibilidad de hacer un préstamo por el valor que necesita:
: = 500.0009 = 542.534,72
0 = 42.534,72
A pesar de que el proyecto P no es atractivo, al complementarse con X, tenemos una buena
alternativa, es decir, en definitiva tenemos:
9 = 1`500.000: = 1`804.687,5
0 = 304.687,5
O lo que sería equivalente:
VPN total = VPN(X) + VPN (P)
347.222,22 + (-42.534,72) = 304.687,5- Otro caso de complementariedad:
LÍNEAS DE FOMENTO: Normalmente los gobiernos ofrecen líneas de crédito blandas
(bajos intereses), para fomentar algunos sectores de la economía que consideran
prioritarios
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Ejemplo 5.10.5
Suponga el caso de un proyecto agrícola con duración de 5 años que tiene acceso a una
línea de fomento con un monto igual al 60% de la inversión total con un interés efectivo
anual del 33%; el inversionista que está estudiando la realización de este proyecto ha
trabajado con un i* del 35%.Para el Proyecto Agrícola tenemos: Una inversión de
$10’000.000 que generará beneficios durante 5 años, al final de cada año igual
$4’500.000.
: = 9`989.826,409 = 10`000.000
0 = −10.173,60
Para la Línea de Fomento tenemos:
Un préstamo por $6’000.000 a pagar a cinco años, cancelando una cuota que incluye
intereses y abono a capital de $2’000.000 al final de cada año.
: = 6`000.0009 = 4`604.282,583
0 = 1`395.717,417
Para el Inversionista quedaría:
: = 5`549.903,5579 = 4`000.000
0 = 1`549.903,557
O lo que sería equivalente:
0HIJKL = 0M + 0N
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1`385.543,817 = 1`395.717,417 + −10.173,6
Vemos como el proyecto agrícola no es bueno, pero si lo complementamos con el
ofrecimiento de la línea de fomento obtenemos una buena alternativa
5.10.6 ALTERNATIVAS QUE PRODUCEN IGUALES BENEFICIOS.
En este caso, por recibirse los mismos beneficios por todos las alternativas, el análisis se
reduce a la minimización de costos.
La mejor alternativa será aquella que genere los beneficios buscados al mínimo costo.
Definimos:
COSTO DE UN ACTIVO:
Costo de Operación y Mantenimiento
Costo de Posesión
COSTO TOTAL = COSTO DE OPERACION Y MANTENIMIENTO + COSTO DE
POSESION
Los criterios para este caso son:
Costo Presente Equivalente (CPE)
Costo Anual Equivalente (CAE)
Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
Costo Futuro Equivalente (CFE)
Costo Gradiente Geométrico Equivalente (CGCE)
En nuestro medio inflacionario un CAUE expresado en Pesos corrientes perdería el sentido
pues cada año los pesos tendrían menor poder adquisitivo y el costo real sería menor.
Sin embargo, utilizando en los cálculos del CAUE, Pesos Constantes e interés libre de
inflación (iD), un costo anual sería bastante claro en su concepción.
CGCE con = INFLACION en Pesos Corrientes, es equivalente al CAUE
$ Constantes: CAE = {CAE O y M + [P - VM/(1+iD*)n ]* (A/P,iD*,n)}
COSTO DE POSESION (CP)
$ Constantes: CP = P - VM / (1 + iD*)n
Respecto a CFE podemos decir que la mayoría de las veces es más sencillo proyectar hacia
el futuro los costos en PESOS CONSTANTES que en PESOS CORRIENTES. La manera
de relacionar pesos corrientes y constantes es por medio de la inflación esperada.
Si las alternativas tienen igual vida, el análisis es bastante sencillo en la medida en que se
conozcan los costos, pues con calcular cualquiera de los criterios enunciados y
compararlos, se puede tomar la decisión. Sin embargo, si las alternativas tienen diferente
vida, se debe buscar algún mecanismo para formar un tiempo de vida igual :
•
•
•
Extender la vida de las alternativas más cortas
Reducir la vida de las alternativas más largas
Pensar en remplazos hasta igualar vidas totales
Ejemplo 5.10.6
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Para un proceso productivo se requiere una máquina que cumpla con ciertas
especificaciones dadas, y se han preseleccionado las máquinas A y B, de las cuales se
conocen los siguientes datos:
Valor de compra
Costos anuales de operación y mantenimiento
Vida útil
Venta final (VM)
MAQUINA A
5`000.000
1`200.000 + 20% anual
6 años
5`000.000(1,2)n(1-0,15n)
MAQUINA B
3`500.000
1`320.000 + 20% anual
4 años
3`500.000(1,2)n(1-0,2n)
(n = # de años en uso)
NOTA: El 0,15 y el 0,20 indican estimativos de la depreciación de las máquinas A y B respectivamente
El valor de compra en caso de reposición crecerá un 20% anualmente. La máquina B
podría extender su vida hasta un máximo de 6 años si los costos de operación y
mantenimiento se incrementan en un 10% respecto a su valor normal; en tal caso, el
valor de mercado al final será 0. Si la empresa que requiere la máquina tiene un i* = 32%
anual y la inflación esperada es del 20% anual. Calcule:
1.
Cuál máquina debería seleccionarse en cada uno de los siguientes casos:
a) Si se piensa utilizar 4 años
b) Si se piensa utilizar 6 años
c) Si se piensa utilizar 12 años.
2.
Cuál sería el monto total hoy, suficiente para disponer de la máquina durante
infinitos años suponiendo que el dinero que no se vaya utilizando permanezca invertido al
i*%.
SOLUCIÓN:
1.a) Para 4 años
PESOS CORRIENTES
O3 = 5`000.000 ∗ 1,2% ∗ 1 − 0,15 ∗ 4 = 4`147.200
O4 = 3`500.000 ∗ 1,2% ∗ 1 − 0,2 ∗ 4 = 1`451.520
D=20%
CPEA = 5’000.000 + 1’200.000(P/C,32%,20%,4) - 4’147.200(P/F,32%,4)
Este material corresponde a algunos apartes de del libro: Fundamentos de Ingeniería Económica® .
VECINO A. Carlos Enrique. UIS – Ing industrial
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CPEA = 6’803.838,536
D=20%
CPEB = 3’500.000 + 1’320.000(P/C,32%,20%,4) - 1’451.520 (P/F,32%,4)
CPEB = 6’508.742,572
Es mejor B porque tiene un CPE menor que A.
PESOS CONSTANTES
Para trabajar en pesos constantes debemos deflactar:
Máquina A:
1`200.000
1 + 0,20
= 1`000.000
P<P+<P>P6 = P<P+<P>P6
4`147.200
1 + 0,2%
= 2`000.000
. OP<P+<P>P6 = . OP<P+<P>P6
Máquina B:
1`320.000
1 + 0,20
= 1`100.000
P<P+<P>P6 = P<P+<P>P6
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1`451.520
1 + 0,2%
= 700.000
. OP<P+<P>P6 = . OP<P+<P>P6
Debemos hallar primero el iD*
Q∗ =
− :0 0,32 − 0,2
=
= 0,1
1 + :0
1,2
Luego:
CPEA=5’000.000+1’000.000(P/A,10%,4) - 2’000.000(P/F,10%,4)
CPEA = 6’803.838,535
CPEB = 3’500.000 + 1’100.000(P/A,10%,4) - 700.000(P/F,10%,4)
CPEB = 6’508.742,572
CAEA = 1’000.000 + [5’000.000 - 2’000.000/(1,1)4] (A/P,10%,4)
CAEA = 2’146.412,41
CAEB = 1’100.000 + [3’500.000 - 700.000/(1,1)4] (A/P,10%,4)
CAEB = 2’053.318,25
MAQUINA
A
B
CAE (operación y
mantenimiento)
1`000.0000
1`100.000
CAE (posesión)
CAE TOTAL
1`146.412,411
953.318,2503
2`146.412,411
2`053.318,251
Comparando el CAE para las máquinas A y B, observamos que para la máquina A no vale la
pena el ahorro en CAE de Operación y Mantenimiento (100.000), ya que el CAE de
Posesión aumenta, originando un CAE Total mayor para A que para B, es decir B es la
máquina que debemos seleccionar.
ANÁLISIS INCREMENTAL:
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A - B (pesos constantes)
Analicemos si se justifica invertir $1’500.000 más en la máquina A para ahorrar $100.000
anuales y recibir $1’300.000 más en el año 4.
Se justificaría si TIR >10%
VPN = 100.000 (P/A,10%,4) + 1’300.000/(1,1)4- 1’500.000
VPN = -295.095,9634
No se justifica porque si el VPN < 0, significa que TIR <10%.
Luego, este análisis también nos muestra que es preferible la máquina B.
1.b) Para 6 años.
PESOS CORRIENTES:
Máquina A:
VMA = 5’000.000(1,2)6 (1 - 0,15*6) = 1’492.992
D=20%
CPEA = 5’000.000 + 1’200.000(P/C,32%,20%,6) - 1’492.992(P/F,32%,6)
CPEA = 9’073.023,734
Máquina B:
Como se extendió la vida de la máquina B a 6 años, los costos de operación y
mantenimiento se incrementaron en un 10% respecto de su valor normal (1’320.000(1,1))
= 1’452.000 y el VM al final será de 0.
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D=20%
CPEB = 3’500.000 + 1’452.000(P/C,32%,20%,6)
CPEB = 8’769.865,446
Por lo anterior concluimos que es mejor la máquina B.
PESOS CONSTANTES
Deflactando:
Máquina A:
1`200.000
1 + 0,20
= 1`000.000
P<P+<P>P6 = P<P+<P>P6
1`492.992
1 + 0,2R
= 500.000
. OP<P+<P>P6 = . OP<P+<P>P6
CPEA = 5’000.000 + 1’000.000(P/A,10%,6) - 500.000(P/F,10%,6)
CPEA = 9’073.023,734
1`452.000
1 + 0,20
= 1`210.000
P<P+<P>P6 = P<P+<P>P6
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CPEB = 3’500.000 + 1’210.000(P/A,10%,6)
CPEB = 8’769.865,446
MAQUINA
A
B
CAE (operación y
mantenimiento)
1`000.0000
1`210.000
CAE (posesión)
CAE TOTAL
1`083.233,212
803.625,831
2`083.233,212
2`013.625,831
En la máquina A no se justifica el ahorro en CAE de operación y mantenimiento (210.000)
ya que el CAE de posesión es mayor que el de B, haciendo que el CAE total de A sea mayor
que el de B. Es mejor seleccionar la máquina B.
ANÁLISIS INCREMENTAL:
A - B Pesos Constantes
Analicemos si se justifica invertir $1’500.000 más en la máquina A para ahorrar $210.000
anuales y recibir al final $500.000 (año 6).
VPN = 210.000 (P/A,10%,6) + 500.000(P/F,10%,6) - 1’500.000
VPN = -303.158,2882
Como el VPN< 0, no se justifica seleccionar la máquina A, es decir, en este caso también es
preferible seleccionar la máquina B.
1. c) Para 12 años.
PESOS CORRIENTES:
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Dado que la máquina se piensa utilizar 12 años, y la máquina A sólo tiene una vida de 6
años, será necesario utilizar 2 máquinas. En el sexto año se recibe el valor de
mercado de la primer máquina A usada ($1’492.992) y se compra una segunda
máquina cuyo costo ha aumentado el 20% anualmente, es decir:
5’000.000 (1+0,2)6 = 14’929.920.
Al terminarse el año 12 se recibe el valor de mercado de la segunda máquina, pues ya
transcurrieron sus 6 años de vida.
VM(12) = 14’929.920 (1+0,2)6 (1-0,15*6) = 4’458.050,224
CPEA=5’000.000+1’200.000(P/C,32%,20%,12)+(14’929.920-1’492.992)(P/F,32%,6)4’458.050,224 (P/F,32%,12)
CPEA=14’194.509,1
Como la máquina B se piensa utilizar 12 años y sólo tiene una vida de 4, es necesario
utilizar 3 máquinas.
En el cuarto año recibe el VM de la primera máquina B usada (1’451.520) y se compra la
segunda máquina cuyo costo ha aumentado el 20% anual:
3’500.000(1+0,2)4 = 7’257.600
Al terminar la vida de la segunda máquina (año 8), se recibe el VM de ésta que es:
VM (8)= 7’257.600(1,2) 4(1-0,20*4) = 3’009.871,872
Además, debemos comprar la tercera máquina cuyo costo será:
3’500.000(1+0,2)8 = 15’049.359,36
Al concluir el año 12 se recibe el VM:
VM (12) = 15’049.359,36(1+0,2)4(1-0,20*4) = 6’241.270,314
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CPEB = 3’500.000 + 1’320.000(P/C,32%,20%,12) +(7’257.600-1’451.520) (P/F,32%,4)
+(15’049.359,36 - 3’009.871,872) (P/F,32%,8) -6’241.270,314 (P/F,32%,12)
CPEB = 13’990.677,77
Es mejor la máquina B porque el CPE de B es menor que el CPE de A.
PESOS CONSTANTES:
CAE para un ciclo es igual al CAE de varios ciclos, por tener cada ciclo los mismos
valores.
Para máquina A:
CPEA = 14’194.509,10
CAEA =CPEA(A/P,10%,12)
CAEA = 2’083.233,212
Para máquina B:
CPEB =13’990.677,77
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CAEB =CPEB(A/P,10%,12)
CAEB = 2’053.318,251
Nuevamente comprobamos que es mejor utilizar la máquina B (CAEB< CAEA).
2. Para solucionar este punto, analizaremos rápidamente el concepto de Costo
Capitalizado (CC).
El CC es igual al CPE para una alternativa, tomando un horizonte infinito:
++ = +19 , , Q∗ , ∞1
1 + Q∗ − 1
lim ∗
→X Q
1 + Q∗ 1
1
− lim ∗
∗
∗ →X Q
→X Q 1 + Q
lim
1
, , Q∗ , ∞- = ∗
1
Q
Luego,
CC= CAE (1/iD*)
CCA = 2’083.233,212/0,1 = 20’832.332,12
CCB = 2’053.318,251/0,1 = 20’533.182,51
Si queremos disponer de la máquina A durante muchos años, es necesario tener hoy
$20’832.332,12.
Ahora si queremos trabajar con la máquina B durante muchos años, es necesario disponer
hoy de $20’533.182,51.
Esto muestra que en este caso al igual que en los anteriores es mejor seleccionar la
máquina B.
Ejemplo 5.10.7
Una pequeña empresa de calzado deportivo proyecta elaborar 2 nuevas líneas de calzado: calzado
formal y calzado infantil. Las condiciones de venta de la empresa son créditos a 30 días. Los costos
e ingresos por producto son:
Para calzado Infantil:
• Por materias primas: $7500 en el momento de iniciar el proceso
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• Por mano de obra y costos generales $30000 al final del mes que dura el proceso
• Entre la venta y el momento en que se termina el producto transcurre 1 mes
• El precio de venta es $56958.75
Para calzado formal:
• Por materias primas $30000 al iniciar el proceso
• Por mano de obra $30000 al cabo de un mes y medio
• Se termina e inmediatamente se vende
• El precio de venta es $110400
La empresa solo dispone de $720000 en el momento de iniciar la producción y $1200000 al final de
la producción.
Si sobra dinero en un momento dado se utiliza para otras obligaciones de la empresa.
Cuántos pares de calzado formal e infantil se deben fabricar si este pequeño empresario
generalmente obtiene como rentabilidad un 4% mensual (i*=4%).
Calzado infantil
9 = 36346.15: = 52661.56
0 = 16315.42;<=>>;>=>@Y><A>?=><
Calzado formal
9 = 58846.15: = 106153.84
0 = 47307.7;<=>>;>=>@Y><A>?=><
Debido a que existen restricciones de dinero debemos plantearlo como un problema de
programación lineal:
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FUNCION OBJETIVO:
Pretendemos obtener el VPN total máximo, es decir:
Max VPN total = 47307.7Y1 + 16315.42Y2
donde Y1 y Y2 son las variables de decisión:
Y1: Número de calzado formal a fabricar.
Y2: Número de calzado infantil a fabricar.
Sujeto a las restricciones que nos da el problema:
30000Y1 + 7
500Y2 = 720.000
Restricción de dinero para el período cero
30000Y1 + 30000Y2 = 1.200.000
Restricción de dinero para el período uno
Es lógica esta última restricción llamada de no negatividad, dado que es imposible fabricar una
cantidad negativa de calzado formal
Grafiquemos las restricciones:
Para calcular el punto optimo, se igualan las dos ecuaciones de restricciones y se despejan Y1 y Y2
30000Y1 + 7500Y2 = 720000
-30000Y1 – 30000Y2= -1.200000
-22500 Y2 = -480.000
Luego,
F1 = 18,66GF2 = 21,33
Dado que X1 y X2 (# de productos a fabricar) deben ser enteros, los posibles resultados serian:
X1
18
19
19
X2
22
21
20
VPN
639.829,889
655.488,249
646.538,764
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Se toma la solución que nos dé máximo VPN y además que cumpla las restricciones. Para nuestro
ejemplo estos valores son 19 pares de calzado formal y 21 pares de calzado infantil.
NOTA: En caso que sobre dinero al principio del proyecto y no se aclare que se invierta en otras
obligaciones de la empresa, las restricciones quedarían:
15.000X1 + 3.750X2 = 360.000
15.000X1 + 15.000X2 = 600.000 + (360.000-15.000X1-3.750X2)*(1+0.02)
Ejemplo 5.10.8
Imaginémonos un proyecto sobre la elaboración de cartón para huevos con una duración
de 4 años que tiene acceso a una línea de fomento con un monto de igual al 70% de la
inversión total con un interés efectivo anual del 30%; el inversionista que esta analizando
la posibilidad de hacerlo efectivo ha trabajado con un interés del 35%. Para este proyecto
hay una inversión de $20.000.000 que generara beneficios durante 4 años, al final de cada
año igual a $8.000.000
: = 17.329.925,419 = 20`000.000
0 = −2.670.074,59
Para la Línea de Fomento tenemos:
Un préstamo por $14.000.000 a pagar a cuatro años, cancelando una cuota que incluye
intereses y abono a capital de $4.400.000 al final de cada año.
: = 14.000.0009 = 9.531.458.96
0 = 4.468.541,03
Para el Inversionista quedaría:
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: = 7.798.466,419 = 9.600.000
0 = −1.801.533,59
O lo que sería equivalente:
0HIJKL = 0M + 0N
1.798.466,44 = 4.468.541,03 + −2.670.074,59
Vemos como el proyecto de elaboración de cartón para huevos no es bueno, pero si lo
complementamos con el ofrecimiento de la línea de fomento obtenemos una buena
alternativa