4. Números complejos

Métodos Matemáticos (Curso 2013 – 2014)
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4. Números complejos
Definición de número complejo
Un número complejo z se define como un par (x, y) de números reales x e y dados en
un cierto orden,
z = (x, y)
y sujetos a las siguientes reglas y leyes operativas:
1. El par (x, 0) representa el número real x:
(x, 0) = x.
Por ello, los números reales están comprendidos en los números complejos.
2. Al número (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se representa por i:
(0, 1) = i.
Los números reales x e y se llaman respectivamente componentes real e imaginaria
de (x, y), escribiéndose
Re(z) = x,
Im(z) = y.
3. Un par de la forma (0, y) se dice que es imaginario puro.
4. Dados dos números complejos z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ), se dice que son iguales
si x1 = x2 y x2 = y2 . En particular z = 0 si y sólo si x = 0 e y = 0.
5. Se define la suma de dos números complejos en la forma
z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
6. El producto de dos números complejos viene dado por
z1 z2 = (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Observación
En particular tenemos, por la suma, que (x, 0) + (0, y) = (x, y), y por el producto, que (0, y) =
(0, 1)(y, 0) = iy. Esto justifica otra forma usual de escribir un número complejo
z = (x, y) = x + iy. El producto zz se escribe z 2 . Si aplicamos la regla del producto a i2 tenemos.
i2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.
Existen dos números complejos relacionados con un número complejo z = (x, y), el
opuesto −z = (−x, −y) y el conjugado z̄ = (x, −y), y que son muy útiles para restar y
dividir complejos.
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Entonces z1 − z2 = z1 + (−z2 ), es decir:
(x1 , y1 ) − (y1 , y2 ) = (x1 , y1 ) + (−x2 , −y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ).
Por otro lado
z1 z̄2
(x1 , y1 )(x2 , −y2 )
z1
=
=
=
z2
z2 z̄2
(x2 , y2 )(x2 , −y2 )
x1 x2 − y1 y2 x1 y2 + x2 y1
,
x22 + y22
x22 + y22
Observación
Nótese que dado un complejo z = (x, y), se tiene que z z̄ = x2 + y 2 es un número real. Se define
el valor absoluto o módulo de un número complejo como
p
√
|z| = z z̄ = x2 + y 2 . Representación geométrica
Es natural asociar al par ordenado (x, y) que representa el número complejo z un punto
del plano xy, en el que se ha trazado un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.
A cada número complejo le corresponde un punto y recı́procamente. El origen representa
el punto z = 0. Cuando se usa para representar números complejos, el plano xy se llama
plano complejo (ver figura 28).
Fig.28
La representación gráfica de la suma y de la resta de números complejos se muestra
en la siguiente figura
Fig.29
De las representaciones de la figura 29 se sigue inmediatamente que para dos números
complejos cualesquiera z1 y z2 ocurre que
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 − z2 | ≥ | |z1 | − |z2 | |
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que establecen que la longitud de un lado de un triángulo es siempre menor que la suma,
y mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos.
Forma trigonométrica
Si r y θ son las coordenadas trigonométricas del punto z donde r ≥ 0, tenemos (ver
figura 30)
x = r cos θ,
y = r sen θ
y el número complejo z puede escribirse en la forma trigonométrica
z = r cos θ + ir sen θ
(2).jpg
Fig.30
p
El radio vector r es x2 + y 2 ; o sea,
r = |z|.
El ángulo θ se llama argumento de z (θ = arg z) .
Productos, potencias y cocientes
El producto de dos números
z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1 ),
z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2 )
es
z1 z2 = r1 r2 [cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 + i(sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2 )]
y esta fórmula conduce a la forma trigonométrica del producto
z1 z2 = r1 r2 [(cos θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 )].
En la figura 31 se da la interpretación geométrica de esta expresión.
Fig.31
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En consecuencia si z = (cos θ + i sen θ) y si n es un entero positivo,
z n = rn (cos nθ + i sen nθ).
Cuando r = 1, tenemos la fórmula de Moivre para exponentes enteros positivos.
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ.
El cociente de dos números complejos en forma trigonométrica viene dado por la fórmula
r1
z1
= [cos(θ1 − θ2 ) + i sen (θ1 − θ2 )]
z2
r2
(r2 6= 0).
Extracción de raı́ces
Extraer la raı́z enésima z 1/n de un número complejo z consiste en hallar un número z0
tal que
z0n = z.
Esto es lo mismo que escribir (siendo z = r(cos θ + i sen θ) y z0 = r0 (cos θ0 + i sen θ0 ))
r0n (cos nθ0 + i sen nθ0 ) = r(cos θ + i sen θ).
De donde se sigue
r0n = r,
nθ0 = θ + 2kπ
(k = 0, 1, 2, . . .)
y finalmente
z0 = r
1/n
θ + 2kπ
θ + 2kπ
cos
+ i sen
n
n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
Por tanto, existen n valores distintos para la raı́z enésima de un número complejo z
(siempre que z 6= 0).
EJERCICIOS
√
1 Escribir en su forma trigonométrica el número complejo 1 + i 3, su conjugado y su opuesto.
2 Determinar el número complejo z por la condición de que
1
|z| = = |1 − z|.
z
3 Utilizar la fórmula de Moivre para calcular el seno y el coseno del arco doble y triple.
4 Escribir los siguientes números complejos
(1 + i)4 ,
en forma trigonométrica.
5 Hallar
√
2
27 y
√
2
27 − 3i
(1 + i)2
,
1−i
√
i,
(−1)1/3