balance macroscopico de energia mecanica

Fenómenos de Transporte. Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos
Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental
Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular
BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGIA MECANICA
-Existen numerosas aplicaciones de interés práctico donde resulta más
importante evaluar magnitudes vinculadas con la energía del sistema
(por ejemplo la potencia W de una bomba necesaria para bombear un
determinado caudal de fluido) que magnitudes dinámicas (como
caudales, pérdidas de carga, etc).
-Por esta razón es necesario realizar un estudio de las diferentes
formas de energía y de interconversión de las mismas que pueden
existir en un sistema.
Salida de
masa
Energía
Mecánica
Energía
Interna
W
Q
Ev
Ep
Entrada de
masa
-Así, la energía puede acumularse como potencial, cinética e interna y
puede transferirse como calor o trabajo.
-La energía potencial es aquella asociada con la posición de la materia.
-La energía cinética es aquella asociada con el movimiento de la
materia.
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-La energía interna incluye todas las formas de energía de un sistema,
excepto las debidas a la posición (energía potencial) y al movimiento
(energía cinética).
-Cuando existe una transferencia de energía entre el sistema y los
alrededores debido a la existencia de una diferencia de temperaturas,
se dice que la energía se transfiere por medio de un flujo calórico o
calor Q.
-Todos las demás formas de transferir energía entre el sistema y los
alrededores que no sean flujo calórico o por transferencia de masa se
denominan trabajo W.
-Por convención se adopta al trabajo como positivo cuando el sistema
lo realiza sobre los alrededores y negativo cuando los alrededores
realizan un trabajo sobre el sistema.
-Cuando al sistema ingresa o egresa masa se genera una transferencia
convectiva de energía cinética, potencial y/o interna.
-Resulta útil agrupar las energías cinética y potencial bajo la
denominación de energía mecánica diferenciándola de la energía
interna.
-La energía mecánica puede alterarse por la realización de trabajo o
por el ingreso/egreso de masa.
-La energía interna puede alterarse por la existencia de un flujo
calórico o por el ingreso/egreso de masa.
-Cuando se realiza esta "separación" de formas de energía es necesario
considerar que parte de la energía mecánica puede transformarse de
manera irreversible en energía interna por fricción, Ev. Y que ambas
formas de energía pueden interconvertirse por efectos de
compresión/expansión, Ep.
-Con el próposito de poder evaluar magnitudes como la potencia de
una bomba es que se realiza un balance parcial de energía, tomando
únicamente en cuenta la energía mecánica del sistema.
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-Objetivo: obtener una expresión matemática para la variación de
energía mecánica de un volumen de control arbitrario.
-Suposiciones:
1)Se considera que la posibilidad de interconversión de energía
mecánica e interna es despreciable frente a la conversión irreversible
de energía mecánica en interna (Ev >> Ep). Esta es una buena
suposición para fluidos incompresibles.
2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vector
velocidad
-Aplicando el principio de conservación:
⎡Velocidad ⋅ de ⎤ ⎡Velocidad ⋅ de ⎤ ⎡Velocidad ⋅ de ⎤
⎢ acumulación ⋅ de ⎥ ⎢ entrada ⋅ de
⎥ ⎢ salida ⋅ de
⎥
⎢
⎥−⎢
⎥=⎢
⎥−
⎢ energía ⋅ cinética⎥ ⎢ energía ⋅ cinética⎥ ⎢ energía ⋅ cinética⎥
⎢ y ⋅ potencial
⎥ ⎢ y ⋅ potencial
⎥ ⎢ y ⋅ potencial
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡Velocidad ⋅ de ⎤ ⎡Conversión
⎤
⎢ realización ⋅ de ⎥ ⎢ irreversible ⋅ de
⎥
⎥
⎥−⎢
−⎢
⎢ trabajo ⋅ sobre ⎥ ⎢ energía ⋅ mecánica ⎥
⎢ los ⋅ alrededores⎥ ⎢ en ⋅ energía ⋅ int erna⎥
⎣
⎦
⎦ ⎣
-Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica a un
volumen de control arbitrario:
S1
W
S2
Volumen de control: Va
h1
Z
h2
Y
X
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-Se obtiene :
d (K tot + Φ tot )
=
dt
∫
1 2
v ρvdA −
2
S1
+
∫
∫
1 2
v ρvdA +
2
S2
pvdA −
S1
∫
∫
ˆ ρvdA −
Φ
S1
∫
ˆ ρvdA +
Φ
S2
pvdA − W − E v
S2
-Donde:
K tot =
(
∫
1 2
ρv dV
2
Φ tot =
Va
Φ̂ = − g x x + g y y + g z z
)
∫
ρΦˆ dV
Va
Energía potencial por unidad de masa.
-El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores se ha
desdoblado en dos contribuciones: W representa el trabajo realizado
por el sistema sobre partes móviles de los alrededores (por ejemplo
mover una turbina) y luego está el trabajo necesario para introducir al
fluido en el volumen de control a través de S1 y para sacarlo a través de
S2.
-Este trabajo se denomina "trabajo de circulación" y está dado por los
términos:
∫
S1
pvdA −
∫
pvdA
S2
-Recordando la definición de valor medio de una función, podemos
definir:
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∫
v3 = S
v 3 dA
S
-Si además, suponemos que ρ, Φ y p son constantes sobre S1 y S2 la
expresión del balance queda:
∫
d (K tot + Φ tot ) 1
S
= ρ1 S1 1
dt
2
S1
∫
−
+ p1 S1
S1
∫
∫
− p2 S 2
+
vdA
ˆ 2 ρ 2 S2 S 2
−Φ
S2
vdA
S1
v 3 dA
1
S
ρ 2 S2 2
2
S2
vdA
ˆ 1 ρ 1 S1 S1
+Φ
S1
∫
∫
v 3 dA
+
vdA
S2
S2
− W − Ev
-Utilizando las definiciones de valores medios:
d ( K tot + Φ tot ) 1
1
ˆ 1 ρ 1 S1 v1 − Φ
ˆ 2 ρ 2 S2 v2 +
= ρ 1 S1 v13 − ρ 2 S 2 v 23 + Φ
2
2
dt
+ p1 S1 v1 − p2 S 2 v 2 − W − E v
-Esta ecuación es el balance macroscópico de energía mecánica y posee
las siguientes restricciones:
1)La interconversión de energía mecánica e interna es despreciable
frente a la conversión irreversible de energía mecánica en interna (Ev
>> Ep).
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2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vector
velocidad
3)En las secciones de entrada y salida ρ, Φ y p son constantes.
-Para régimen turbulento se deberá cumplir que:
v3 ≅ v
3
-Para régimen laminar o perfiles de velocidad muy distorsionados esta
no es una buena aproximación y se utiliza un factor de corrección
definido como:
α=
v
3
v3
-El valor de α tiende a 0.5 para régimen laminar (perfil de velocidad
parabólico) y a 1 para régimen turbulento (perfil de velocidad casi
plano).
-Si el sistema de ejes se toma como en la figura con el eje "z" vertical y
apuntando hacia arriba entonces: gx = gy = 0 y gz = -g, por lo tanto:
Φ̂ = gz
-Con estas consideraciones el balance macroscópico de energía
mecánica queda:
d (K tot + Φ tot ) ρ1 S1 v1
=
dt
2α 1
3
ρ S v
− 2 2 2
2α 2
3
+ ρ1 S1 v1 gZ1 − ρ 2 S2 v 2 gZ 2 +
+ p1 S1 v1 − p2 S 2 v 2 − W − E v
-Utilizando el operador Δ:
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⎡ρ v 3S
⎤
d (K tot + Φ tot )
= −Δ ⎢
+ ρg v SZ + p v S ⎥ − W − E v
dt
α
2
⎢
⎥
⎣
⎦
-Donde el primer término del miembro de la derecha representa la
entrada neta de energía cinética al volumen de control, el segundo la
entrada neta de energía potencial, el tercero el trabajo neto de
circulación del fluido, el cuarto el trabajo que el sistema realiza sobre
los alrededores y el quinto la conversión irreversible de energía
mecánica en interna.
-Para el caso particular en que el sistema opera en estado estacionario
el balance macroscópico de materia conduce a:
ρ1 v1 S1 = ρ 2 v 2 S 2
-Además, en estado estacionario:
d (K tot + Φ tot )
=0
dt
-Por lo tanto, es posible dividir todos los términos por ρ v S y el
balance se reduce a:
⎡ v 2
p⎤ ˆ ˆ
Δ⎢
+ gZ + ⎥ + W + E v = 0
ρ⎥
⎢ 2α
⎣
⎦
-Donde:
Wˆ =
Ev
Eˆ v =
ρ vS
W
ρ vS
COEFICIENTES DE FRICCION
-De manera análoga a lo que sucede con el balance macroscópico de
cantidad de movimiento, el balance macroscópico de energía mecánica
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puede utilizarse de manera directa para calcular Ev o para calcular
magnitudes de mayor interés aplicado, por ejemplo la potencia
necesaria para bombear un determinado fluido.
-Cuando se desea calcular alguna magnitud diferente a Ev, también de
manera análoga a lo que ocurre con F en cantidad de movimiento, es
necesario utilizar una vía independiente para evaluar Ev.
-La metodología utilizada consiste, nuevamente, en definir un
coeficiente de fricción adimensional "ev" que deberá ser evaluado
experimentalmente.
-Para ello se define la siguiente ecuación:
1
Eˆ v = e v v 2 , donde v es una velocidad característica del sistema.
2
-Por lo tanto, la siguiente etapa consiste en realizar las evaluaciones
experimentales de "ev" para diferentes sistemas de flujo: conductos
rectos, accesorios de tuberías, flujo en orificios, sistemas de agitación,
etc.
COEFICIENTE DE FRICCION EN CONDUCTOS RECTOS
-Puesto que el fenómeno que origina a los coeficientes "f" y "ev" es el
mismo y que existe una total analogía en el tratamiento de los balances
macroscópicos de cantidad de movimiento y de energía mecánica, se
puede pensar que debe existir alguna relación entre "f" y "ev".
-Así, por ejemplo, en conductos rectos F incluye arrastre de forma y
fricción de piel, mientras que Ev corresponde a las pérdidas
irreversibles de energía mecánica en interna debidas al roce provocado
por estos dos mismos fenómenos.
-Con el objetivo de encontrar la vinculación existente entre "f" y "ev"
para conductos circulares y rectos plantearemos simultáneamente los
balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía,
aplicándolos a un mismo volumen de control: un tramo del conducto
circular y recto.
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-Suponiendo que por el conducto circula un fluido newtoniano de ρ y μ
constantes en estado estacionario y con flujo desarrollado, los balances
simplificados resultan:
Plano "1"
L
z
Plano "2"
Plano de referencia
-Balance macroscópico de materia:
v1 = v 2
-Balance macroscópico de cantidad de movimiento:
F = S ( p1 − p2 ) + ρSLg
-Balance macroscópico de energía mecánica:
-En estado estacionario:
⎡ v 2
p⎤ ˆ ˆ
Δ⎢
+ gZ + ⎥ + W + E v = 0
ρ⎥
⎢ 2α
⎣
⎦
-Como el flujo es desarrollado α1 = α2 y el sistema no realiza trabajo
sobre los alrededores, por lo tanto W=0, se obtiene:
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( p − p2 ) − g (0 − L) = ( p1 − p2 ) + gL
Δp
Eˆ v = −
− gΔZ = 1
ρ
ρ
ρ
-Reemplazando:
F
Eˆ v =
ρS
-Si se reemplaza por las definiciones de F y Ev en función de "f" y "ev"
se obtiene:
ev =
4L
f
D
-Esta ecuación puede generalizarse para conductos de sección no
circular en régimen turbulento utilizando el radio hidráulico 4Rh=D
ev =
L
f
Rh
-Nótese que para conductos no es necesario realizar una nueva
evaluación experimental para obtener "ev" ya que es posible utilizar la
evaluación de "f" y luego calcular "ev" con cualquiera de las dos
ecuaciones anteriores.
COEFICIENTES DE FRICCION EN ACCESORIOS DE TUBERIAS
-En las conducciones para fluidos no sólo existen partes rectas sino que
además hay diferentes tipos de accesorios: codos, válvulas,
contracciones, expansiones, bifurcaciones, etc que contribuyen de
manera significativa a las pérdidas irreversibles de energía mecánica.
-Para estos accesorios no es posible utilizar la ecuación deducida antes
que vincula a "f" y "ev" ya que ésta sólo es válida para conductos
rectos. Por esta razón se han realizado evaluaciones experimentales
para cada tipo de accesorio.
-Por lo tanto, las pérdidas totales de energía mecánica por fricción
pueden evaluarse sumando las pérdidas producidas en los tramos
rectos y en cada uno de los accesorios existentes en la conducción:
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Eˆ v =
∑
⎛1 2 L ⎞
⎜⎜ v
f ⎟⎟ +
2
R
h ⎠
⎝
∑
⎛1 2 ⎞
⎜ v ev ⎟
⎝2
⎠
tramos
accesorios
rectos
-Para las pérdidas en cada tramo recto se utiliza la velocidad media
correspondiente a ese tramo, mientras que en el caso de los accesorios
si se producen cambios de sección es necesario saber si en la evaluación
experimental de "ev" se utilizó como velocidad característica la
velocidad aguas arriba o aguas abajo del accesorio.
-En expansiones bruscas la mayor parte de las pérdidas por fricción se
deben a los torbellinos que se producen por desprendimiento de la
capa límite al pasar de una zona de baja presión (alta velocidad en el
conducto mas estrecho) a una de alta presión (debido a la disminución
de velocidad al producirse la expansión).
-Por este motivo cuando se desean disminuir las pérdidas de energía en
una conducción se utilizan difusores en los lugares donde es necesario
realizar cambios de diámetro en la conducción. En ellos el cambio es
gradual, con lo que se evita el desprendimiento de la capa límite y se
reducen sustancialmente las pérdidas de energía. Un fenómeno similar
existe en las contracciones.
LONGITUD EQUIVALENTE DE CAÑERIA
-Una forma alternativa de evaluar "ev" en accesorios consiste en
utilizar la denominada "longitud equivalente".
-La longitud equivalente se define como: "la longitud de tubería recta y
lisa de igual diámetro que el accesorio que produce igual pérdida de
energía que éste".
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-Cuando existen contracciones o expansiones la longitud equivalente se
expresa adoptando el diámetro de la conducción de menor sección.
-Existen tablas y nomogramas en los cuales están evaluadas las
longitudes equivalentes de distintos tipos de accesorios.
-Llamando Le a la longitud equivalente, las pérdidas totales de energía
mecánica por fricción pueden evaluarse de acuerdo con la siguiente
ecuación:
Eˆ v =
∑
tramos
rectos
⎛1 2 L ⎞
⎜⎜ v
f ⎟⎟ +
2
R
h ⎠
⎝
∑
accesorios
⎛ 1 2 Le ⎞
⎜⎜ v
f ⎟⎟
2
R
h ⎠
⎝
-El cálculo de Ev utilizando "ev" o "Le" es equivalente.
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