Ejercicios Propuestos. ∗ 1. El rango de un proyectil disparado (en el vacío) con una velocidad inicial de V0 y un ángulo de inclinación 1 α desde la horizontal es R = 32 (V0 )2 sen 2α. Usar diferenciales para aproximar el cambio del alcance si V0 se incrementa de 400 pies a 410 pies y α se incrementa de 300 a 310 . s s q 2. El período de oscilación de un péndulo de longitud L está dado (aproximadamente) por la fórmula T = 2π Lg . Estimar el cambio en el período de un péndulo si su longitud aumenta de 2 pies a 2 pies 1 pulgada y pies simultáneamente se mueve de un lugar donde g es exactamente 32 pies s2 a uno donde g = 32,2 s2 . 3. Determinar derivar. dw dt usando regla de la cadena y expresando a ) w = e−x b ) w = sen(xyz), 4. Determinar a b 2 −y 2 dw ds , y x = t, y = ) w= ∂z ∂x 3 y ∂z ∂y como funciones de ) xexy + yezx + zexy = 3. Resp. c ) + y2 b2 2 + dw dt Resp. 2 −t t antes de . 5 = 6t cos(t6 ). z2 c2 = 1. Resp. u = 3et sen s, v = 3et cos s, z = 4et . b x2 a2 = (−2t − 1)e−t √ x = s − t, y = s + t, z = 2 st. ) x 3 + y 3 + z 3 = 1. Resp. 2 de manera explícita como función de dw dt . a 2 dw dt Resp. x = t, y = t , z = t . u2 + v 2 + z 2 , 5. Determinar t. 2 ) w = ln(x2 + y 2 + z 2 ), √ √ w Resp. = −( xz ) 3 . ∂z ∂x ∂z ∂y dw ds = 0. dw dt 2 s+t . = 5et . 1 xy 2 Resp. = = −( yz ) 3 . zx +yz(e = − (xy+1)exyezx +exy = − ac 2xz . 2 dw s+t . dt , suponiendo que z = f (x, y) satisface la ecuación dada. 1 ∂z ∂x ∂z ∂x x,y,z = dw ds ∂z ∂y +exy ) . ∂z ∂y xy xz +e = − x(x+z)e xyezx +exy . 2 = − cb2 yz ∂z 2 ∂z 2 2 6. Suponer que z = f (x, y), x = r cos θ, y = r sen θ. Mostrar que ( ∂x ) + ( ∂y ) = ( ∂z ∂r ) + 1 ∂z 2 r 2 ( ∂θ ) . 7. Suponga que la temperatura T (en grados Celsius) en el punto (x,y) está dada por T = f (x, y) = 10 + 0,003x2 − 0,004y 2 . ¾En cuál dirección u debe volar un abejorro desde el punto (40,30) para calentarse más rápido? Determinar la derivada direccional Du f (40, 30) en esta dirección óptima de u. 8. Hallar una ecuación del plano tangente a la supercie dada en el punto indicado: ) b) c) d) a 2x2 + 4y 2 + z 2 = 45. 2 2 2 P unto(1, 2, 2). Resp. x + 2y + 2z − 9 = 0. x + y + z = 9. 2 2 2 x + 2y + 2z = 14. 3 2 P unto(2, −3, −1). Resp. 4x − 12y − z = 45. 2 P unto(2, 1, −2). Resp. x + y − 2z − 7 = 0. z + (x + y)z + x + y 2 = 13. P unto(2, 2, 1). Resp. 5x + 5y + 11z − 31 = 0. 9. Determinar la derivada direccional de f en P en la dirección del vector V : a ) f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2 . P (2, 1). V = h1, 1i. Resp. b ) f (x, y) = x3 − x2 y + xy 2 + y 3 . P (1, −1). V = 2i + 3j. Resp. c ) f (x, y) = sen x cos y. P ( π3 , − 2π 3 ). V = h4, −3i. Resp. ∗ Eduard Rivera Henao. 2014-06-29. Matemáticas III. 1 16 √ . 2 −13 20 . √12 . 13 2 √ ) f (x, y, z) = xyz. P (2, −1, −2). V = i + 2j − 2k. Resp. xyz √ . e ) f (x, y, z) = e . P (4, 0, −3). V = j − k. Resp. −12 2 d −1 6 . 10. Determinar la máxima derivada direccional y en la dirección en la cual ocurre: √ ) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 4y 2 . P (1, 1). Resp. 170. h7, 11i. √ 2 2 2 b ) f (x, y, z) = 3x + y + 4z . P (1, 5, −2). Resp. 392. h3, 5, −8i. a c ) f (x, y, z) = p xy 2 z 3 . P (2, 2, 2). Resp. √ 56. h1, 2, 3i. 11. Suponga que la temperatura W (en grados Celsius) en el punto (x,y,z) del espacio está dada por W = 50+xyz. a b ) Determinar la razón de cambio de la temperatura con respecto de la distancia en el punto (3,4,1) en la C dirección del vector V = h1, 2, 2i. Unidades de distancia en pies. Resp. 34 3 pie . ) Determinar la máxima derivada direccional en el punto (3,4,1) y la dirección C máximo. Resp. 13 pie . h4, 3, 12i. u en donde aparece el 12. Usted se encuentra en el punto (−100, −100, 430) sobre la colina que tiene la forma de la gráca z = 500 − 0,003x2 − 0,004y 2 con x,y,z dados en pies ) ¾En qué dirección de la brújula debe caminar para tener el ascenso más pronunciado? Resp. 36,860 Noreste. b ) ¾Con qué ángulo (con respecto a la horizontal) estará ascendiendo inicialmente? Resp. 450 . a