Longitud de onda Banda A Banda B

Problema Mach-Zehnder (Junio 2004)
Los dispositivos basados en interferometría de Mach-Zehnder pueden emplearse, entre otras
cosas, en filtros ópticos para sistemas de comunicaciones ópticas. La figura 1 muestra el
esquema de un filtro que emplea dos acopladores 2×2 50% y dos guías de onda de longitudes L1
y L2 e índice de refracción efectivo neff. Despreciando las pérdidas en los acopladores y guías de
onda, puede demostrarse que la función de transferencia del filtro entre las puertas 1 y 3 viene
dada por:
|H(f)|2 = P3/ P1 = cos2 (∆Φ/2), siendo ∆Φ = k (L1 – L2), con k el vector de onda.
Figura 1
a) Explique, en forma cualitativa y en un máximo de cinco líneas, las bases físicas de
funcionamiento del filtro (0,5 puntos)
b) Deduzca la separación, tanto en frecuencia como en longitud de onda (sin aproximaciones),
entre dos máximos de transmisión del filtro. Dibuje esquemáticamente, en frecuencia, la función
de transferencia del filtro (0,5 puntos).
Se desea diseñar un filtro Mach-Zehnder para ser empleado en un sistema WDM, en el cual se
transmiten dos bandas (A y B), cada una con tres señales, siendo las longitudes de onda
centrales de cada banda 1554,4 y 1612,9 nm, respectivamente, y la separación entre canales de
cada banda 800 GHz (véase figura 2).
Longitud de onda
Banda A
Banda B
Figura 2
c) Sabiendo que el índice efectivo de las guías de onda es 1,7, determine el valor (L1 – L2) para
un filtro que maximice el paso de las tres señales de la banda A y minimice el paso de las tres
señales de la banda B (1 punto)
d) Compruebe que con el valor escogido se maximiza el paso de la frecuencia central de la
banda A. Calcule la relación, en dB, entre la potencia de la señal central de la banda A y la
potencia de la señal menos atenuada de la banda B (1 punto)
NOTA: tenga en cuenta que necesita buena exactitud en los cálculos numéricos, para lo que
debe mantener los decimales en las operaciones.
SOLUCIÓN PROBLEMA 2:
a) El primer acoplador divide el campo óptico en dos mitades, que se propagan por cada una de
las ramas, llegando al segundo acoplador con distintos desfases debido a la diferencia de
caminos. Al unirse de nuevo se producirán interferencias constructivas o destructivas
dependiendo de la frecuencia, dando lugar al efecto de filtrado.
b) Los máximos de la función de transferencia:
|H(f)|2 = P3/ P1 = cos2 (∆Φ/2)
se producirán para:
∆Φ/2 = mπ, con m entero, con lo que sustituyendo k = 2π neff ν /c, las frecuencias de los
máximos serán:
νm = m c / neff (L1 – L2 )
y la separación entre máximos ∆ν,
∆ν = c / neff (L1 – L2 )
Expresando la misma condición en longitud de onda λm = c / νm:
λm = neff (L1 – L2 ) / m, lo que da lugar a que la separación entre máximos no es constante en
lambda, sino que depende de m:
∆λ = λm - λm+1 = neff (L1 – L2 ) * [1/ m – 1/(m+1)] = λm * λm+1 / neff (L1 – L2 )
La función de transferencia del filtro tendrá la forma:
1.2
νm-1
νm
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Frecuencia
νm+1
c) Como primera opción, se diseña el filtro para que las tres señales de la banda A estén
cercanas a un máximo y que las tres de la banda B estén en un mínimo, tal como muestra la
figura
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
FRECUENCIA
0
1
1.5
2
2.5
Banda
3
Banda
3.5
4
La frecuencia central de la banda es 193 THz, y la de banda B es 186 THz, con lo que la
distancia entre máximos de la función de transferencia deberá ser:
∆ν = 2 * (193 – 186) THz = 14 THz = c / neff (L1 – L2 ), de donde se obtiene:
(L1 – L2 ) = 12,6 µm.
Ahora debemos comprobar que hay un máximo en la frecuencia central de la banda A,
deduciendo el valor de m para esa diferencia de distancias:
m = νm neff (L1 – L2 ) / c = 193 THz * 1,7 * 12,6 µm / c = 13,78
Como m debe ser entero utilizamos m = 14, y recalculamos (L1 – L2 ):
(L1 – L2 ) = m c / νm neff = 12,8 µm.
NOTA: existen otras soluciones válidas alternativas
d) Comprobamos que la función tiene un máximo en 193 THz:
|H(f) H(193 THz) |2= cos2 (∆Φ/2) = cos2 ( Π *193 THz * 12,8 µm * 1,7 /c) = 1
y calculamos en cuál de las tres frecuencias de la banda B la función es máxima:
|H(186 THz) |2 = 0.00059
|H(186,8 THz) |2 = 0.0247
|H(185,2 THz) |2 = 0.042
Con lo que la relación pedida será 10 log (1/0,042 ) = -13,7 dB