Capítulo 2 Transformada de Laplace

Capítulo 2
Transformada de Laplace
2.1.
Integrales impropias
Vamos a repasar las cosas aprendidas en Análisis I sobre integrales impropias. Por ahora
pensaremos en una función de variable e imagen real, es decir, f : [a; b] ! R.
Cuando se de…ne
Z
b
f (t) dt
a
se asume que f es acotada en el intervalo (a; b) y que tanto a como b son …nitos. Si alguno
de estos requisitos (o ambos) fallan, tenemos que darle una nueva interpretación al símbolo
Rb
a f (t) dt; y en tal caso se lo llama integral impropia.
Veamos primero el caso en que uno de los límites es in…nito: si b = 1; entonces se de…ne
Z 1
Z b
f (t) dt = l m
f (t) dt
b!1 a
a
cuando tal límite existe (estamos asumiendo queRf es integrable en [a; b] para todo b < 1). En
1
este caso, se suele decir que la integral impropia a f (t) dt converge, mientras que si el límite
no existe se dice que la integral diverge. Acá se hace el mismo abuso del castellano
que cuando
R1
hablamos de convergencia y divergencia de series, ya que en el mejor de los casos a f (t) dt es
un número, y por lo tanto no puede “converger”o “diverger”. Lo correcto sería decir “la función
f en integrable en (a; 1)”.
Ejemplo 2.1
1. La integral impropia
Z b
t p dt =
1
R1
1
t
1
1 p
p dt
converge si p > 1 y diverge si p
b1 p
ln (b)
1
1 pues
si p 6= 1
;
si p = 1
57
Transformada de Laplace
58
de donde concluimos que l mb!1
R1
2. La integral impropia
0
Rb
p dt
t
1
1
1 p
=
no existe
si p > 1
:
si p 1
cos (t) dt diverge pues
Z
b
cos (t) dt = sin (b) ;
0
y l mb!1 sin (b) no existe.
Rb
De manera análoga se de…ne integrales impropias de la forma 1 f (t) dt; y si tenemos una
R1
Rc
función de…nida en todo R y las integrales c f (t) dt y 1 f (t) dt convergen ambas para algún
c; entonces se de…ne
Z
Z
Z
1
1
f (t) dt =
R1
Z
1e
b
e
ajtj
ajtj dt
dt =
0
y si c < 0 entonces
0
e
ajtj
dt =
c
de donde concluimos que
Z
1
converge solo si a > 0 pues en tal caso si b > 0 entonces
b
at
e
dt =
0
Z
f (t) dt:
c
1
Ejemplo 2.2 La integral
c
f (t) dt +
Z
0
eat dt =
c
R1
Z
1
e
ajtj
1
e
a
ab
1
(1
a
eac )
dt =
1
1
!
b!1
!
c! 1
1
;
a
1
;
a
2
:
a
Además,
claramente la integral 0 e ajtj dt diverge si a
R1
at
dt diverge cualquiera sea el valor de a.
1e
0. Notar además que la integral
R1
Al igual
que
para
series,
diremos
que
la
integral
a f (t)
R 1dt converge absolutamente si la
R1
integral a jf (t)j dt converge (y la misma de…nición para 1 f (t) dt). Tenemos las siguientes
propiedades:
R1
R1
1. RSi c es un número y las integrales a f (t) dt y a g (t) dt convergen ambas, entonces
1
a (cf (t) + g (t)) dt converge y
Z 1
Z 1
Z 1
cf (t) + g (t) dt = c
f (t) dt +
g (t) dt:
a
a
a
R1
2. Si f (t)
0 para todo t
a; entonces la integral a f (t) dt converge o el conjunto
Rb
R1
f a f (t) dt : b > ag no es acotado, y en tal caso se pone a f (t) dt = 1.
R1
3. Si 0 g (t) f (t) para
todo
t
a;
entonces
si
la
integral
podemos
a f (t) dt converge
R1
R1
R1
decir que la integral a g (t) dt converge, y si a g (t) dt diverge podemos decir a f (t) dt
diverge.
Transformada de Laplace
59
R1
R1
4. RSi la integral a f (t) dt converge absolutamente, entonces converge, y a f (t) dt
1
a jf (t)j dt.
R1
R1
5. La integral
R 1 a f (t) dt converge si y solo si r f (t) dt converge para todo r > a; y
l mr!1 r f (t) dt = 0.
Estas propiedades se demuestran más o menos así: la primera es porque el límite de la suma
es la suma de los límites y la propiedad vale si en lugar de 1 ponemos un número b: La segunda
es un poco más complicada pero en realidad debería ser intuitivamente comprensible: si una
función (real) F (t) es creciente en (a; 1) entonces si es acotada el l mt!1 F (t)
R t existe, y si no es
acotada l mt!1 F (t) = 1. Aplicar eso a la función (real creciente) F (t) = a f (x) dx: Para la
Rt
Rt
tercera, aplicar el mismo hecho a las funciones crecientes G (t) = a g (x) dx y F (t) = a f (x) dx
y compararlas. Para, (4) es una aplicación de (3) a las funciones g (t) = f (t) + jf (t)j y 2 jf (t)j ;
y un poco de álgebra. Por último, (5) resulta de
Z
b
f (t) dt =
a
Z
r
f (t) dt +
Z
b
f (t) dt
r
a
tomando l mb!1 primero, y l mr!1 después. Notar la absoluta analogía con las propiedades de
series.
Veamos ahora un poco las integrales impropias con intervalo …nito pero función no acotada:
si f no es acotada en a; se de…ne
Z b
Z b
f (t) dt = l m
f (t) dt
"!0+
a
a+"
cuando tal límite existe (notar que lo que hacemos es integrar f en intervalitos más chicos que
[a; b] ; y por eso necesitamos que " tienda a cero por valores positivos). En tal caso, diremos
que la integral impropia converge, mientras que si el límite no existe diremos que la integral
impropia diverge.
Ejemplo 2.3 la integral impropia
Z
b
t
p
Rb
0
t
p dt
converge si p < 1 y diverge si p
1
1 p
b1
ln (b)
dt =
"
p
"1 p
ln (")
1 pues
si p 6= 1
;
si p = 1
de donde concluimos que
lm
"!0+
Z
b
t
"
p
dt =
(
b1 p
1 p
no existe
si p < 1
:
si p 1
La de…nición en este tipo de integrales impropias se extiende a todos los casos de manera
obvia. Por ejemplo, si f no es acotada en b entonces
Z b
Z b "
f (t) dt = l m
f (t) dt
a
"!0+
a
Transformada de Laplace
60
cuando tal límite existe; si f no es acotada en a y en b entonces
Z
b
f (t) dt = l m
"!0+
a
Z
c
f (t) dt + l m
"!0+
a+"
Z
b "
f (t) dt
c
cuando ambos límites existen para algún c en el intervalo (a; b) (notar que son dos límites
Rc
Rb "
separados, no dice l m"!0+ a+" f (t) dt + c f (t) dt ), y si f no es acotada en algún punto
c de (a; b) entonces
Z
b
f (t) dt = l m
"!0+
a
Z
c "
f (t) dt + l m
"!0+
a
Z
b
f (t) dt
c+"
cuando ambos límites existen. Tenemos propiedades análogas a las anteriores, las enunciamos
para el caso en que f no es acotada en a:
1. Diremos que la integral
verge.
Rb
a
f (t) dt converge absolutamente si la integral
2. Si c es un número y las integrales
Rb
a (cf (t) + g (t)) dt converge y
Z
Rb
a
Rb
f (t) dt y
b
(cf (t) + g (t)) dt = c
a
Z
a
a
jf (t)j dt con-
g (t) dt convergen ambas, entonces
b
f (t) dt +
a
Rb
Z
b
g (t) dt:
a
Rb
3. Si 0 g (t) f (t) para todo t a; entonces si la integral a f (t) dt converge podemos
Rb
Rb
Rb
decir que la integral a g (t) dt converge, y si a g (t) dt diverge podemos decir a f (t) dt
diverge.
Rb
4. Si la integral a f (t) dt converge absolutamente, entonces converge.
Por último, nos quedan las integrales impropias donde tenemos ambos problemas juntos: ni
la función a integrar es acotada ni el intervalo es …nito. Un ejemplo típico de esto es tomar una
función que no es acotada en a y plantear
Z 1
f (t) dt:
a
Vamos a decir que esta integral impropia converge cuando para algún c > a las integrales
Z c
Z 1
f (t) dt
y
f (t) dt
a
R1
c
Rc
R1
convergen ambas, y en tal caso a f (t) dt = a f (t) dt+ c f (t) dt (es decir, la dividimos en dos
integrales, y nos queda cada una con un problema). De nuevo, tenemos las mismas propiedades
que ya no vamos a enunciar.
Transformada de Laplace
2.2.
61
Funciones de…nidas con integrales impropias
Cuando comenzamos con Fourier, vimos la idea de de…nir funciones usando integrales (funciones de muchas variables, integrando respecto de algunas). Ahora vamos a de…nir funciones
usando integrales impropias: por ejemplo si g (x; t) es una función de…nida en [a; b] [c; 1) tal
que para cada x …jo la integral impropia
Z 1
g (x; t) dt
c
converge,
entonces eso de…ne en [a; b] una nueva función, que le asigna a cada x el valor
R1
c g (x; t) dt:
R1
La región de convergencia de la integral impropia c g (x; t) dt es el conjunto
Z 1
g (x; t) dt converge ;
x2R:
c
es decir, el mayor conjunto donde la integral impropia converge.
Ejemplo 2.4 Si g (x; t) = e
t cos (xt) ;
entonces la función
Z 1
F (x) =
e t cos (xt) dt
0
R1
e t , y la integral 0 e t dt
está de…nida en todo R; pues para todo x vale que e t cos (xt)
converge. En este caso se puede calcular F explícitamente:
Z b
t=b
1
x
t
t
t
e cos (xt) dt =
e cos xt +
e sin xt
1 + x2
1 + x2
0
t=0
1
x
1
1
=
e b cos xb +
e b sin xb +
!
:
2
2
2
1+x
1+x
1 + x b!1 1 + x2
Además se puede calcular explícitamente F 0 (x); y veri…car que queda
Z 1
Z 1
@
0
t
F (x) =
e cos (xt) dt =
te t sin (xt) dt:
@x
0
0
Una de las funciones más célebres de…nidas usando integrales impropias es sin duda la función
: Para x > 0 se pone
Z
1
(x) =
tx
1
e t dt:
0
Veamos primero que, efectivamente, esa integral impropia converge para todo x > 0: escribimos
Z 1
Z 1
Z 1
x 1
t
x 1
t
(x) =
t e dt =
t e dt +
tx 1 e t dt = I1 (x) + I2 (x) :
0
0
1
I1 (x) es integral impropia solo si 0 < x < 1; pero tomemos un x así …jo, entonces
tx
1
e
t
tx
1
8 t > 0;
Transformada de Laplace
62
y como
Z
1
tx
1
dt =
0
tx
x
t=1
=
t=o
1
;
x
concluimos por comparación que I1 (x) converge. Veamos ahora I2 (x): como (para cada x > 0
…jo)
l m t2 tx 1 e t = l m tx+1 e t = 0
t!1
t!1
t2 tx 1 e t
(¿por qué?) tenemos que existe N > 0 tal que
tx
de donde se deduce que la integral
1
Z
1
8t
t2
t
e
1
tx
1
1 8t
N; y entonces
N;
e t dt
N
R1
RN
2
(pues N 1t dt converge), y entonces I2 (x) converge pues I2 (x) = 1 tx
Rconverge
1 x 1
e t dt: Es decir, acabamos de probar que (x) está de…nida para todo x > 0:
N t
Nota 2.5 La integral que de…ne
de…nir en dichos valores.
diverge para todo x
1 e t dt
+
0; por lo tanto no se puede usar para
Seguimos estudiando : integrando por partes, vemos que
Z 1
Z 1
t=1
(x + 1) =
tx e t dt = tx e t
+
xtx 1 e t dt = 0 + x (x) ;
t=0
0
0
es decir
(x + 1) = x (x)
Además
(1) =
R1
0
e t dt =
e
t
t=1
t=0
8 x > 0:
= 1; y entonces
(1) = 1
(2) = 1 (1) = 1
(3) = 2 (2) = 2
(4) = 3 (3) = 6;
etc.
En general, queda
(n + 1) = n! 8 n 2 N;
es decir, la función es una función continua que interpola los valores de n! pues cada ves que
x 2 N se tiene que (x + 1) = x!:
Otra cosa interesante es la siguiente: la relación
(x) =
(x + 1)
x
vale para todo x > 0, pero en el miembro de la derecha puedo poner x0 s del intervalo ( 1; 0) ; así
que de…no de esa forma en tal intervalo. Y ahora sigo, y puedo de…nir en R f0; 1; 2; 3; :::g :
Transformada de Laplace
63
Por último, calculemos
(1=2): haciendo el cambio de variables
t = y 1=x ; dt =
1 1
yx
x
1
dy;
queda
(x) =
Z
1
tx
1
e t dt =
0
Z
1
y (x
1)=x
0
y por lo tanto
1
2
=2
Z
1
e
1=x 1 1
e (y ) y x
x
y2
p
dy = 2
2
0
1
=
dy =
p
1
x
Z
1
1=x
e (y ) dy;
0
:
¡(x)
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
x
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
2.3.
Funciones de orden exponencial
De…nición 2.6 para una función f : [0; 1) ! R y para s 2 R; se de…ne la transformada de
Laplace de f como
Z 1
L (f ) (s) =
f (t) e st dt
(2.1)
0
cada vez que la integral impropia converge.
Es difícil explicar la razón de esta de…nición en este contexto, pero resulta una variante de
una versión “continua” de las series de Fourier (la transformada de Fourier). La transformada
L (f ) de una función f es una nueva función (de s), cuyo dominio dependerá, en general, de f .
De esta manera, se puede pensar en L como un operador que transforma una función f (t) en una
nueva función L (f ) (s). Si F (s) es una función tal que F (s) = L (f ) (s) ; entonces diremos que
f es la transformada de Laplace inversa de F; y denotaremos este hecho por f (t) = L 1 (F ) (t).
Transformada de Laplace
64
Una condición necesaria para que la integral (2.1) exista es que la función f sea integrable
en todo intervalo de la forma [0; b] (con b > 0), y eso lo aseguraremos tomando la siguiente
condición de continuidad:
De…nición 2.7 Una funcion f : [a; b] ! R es continua por tramos si existe una partición
a = t0 < t1 <
< tn = b de [a; b] tal que f es continua en cada intervalo [tj ; tj+1 ] (límites
laterales en los bordes).
Una funcion f : [0; 1) ! R es continua por tramos si es continua por tramos en todo
intervalo de la forma [0; b].
En lo que sigue de esta sección, trabajaremos exclusivamente con funciones continuas por
tramos en [0; 1).
Ejemplo 2.8 Si f (t) = e
L (f ) (s) =
Z
1
at ;
e
entonces para s >
at
e
st
dt =
Z
0
0
1
e
a tenemos
"
(s+a)t
dt =
e
(s+a)t
s+a
#t=1
t=0
=
1
:
s+a
Puesto que para s
a la integral diverge, tenemos que el dominio de L (f ) (s) es el intervalo
1
1
( a; 1), y en tal intervalo vale L (f ) (s) = s+a
(ojo, no confundir a L (f ) (s) con s+a
: el dominio
de la última función incluye estrictamente al de la primera). Con la notación de arriba, en este
caso tendríamos que
1
e at = L 1
(t) .
s+a
1
s+a
-at
e
-a
Nota 2.9 Puesto que para calcular la transformada de Laplace solo necesitamos una función
de…nida en [0; 1); pero esto suele ser una limitación a la hora de realizar otros procedimientos,
se suele pensar que las funciones involucradas valen 0 en ( 1; 0) : De aquí en más tomaremos
esa convención.
Lo siguiente que haremos es …jar condiciones para existencia de la transformada de Laplace.
En eso, la siguiente de…nición es central
De…nición 2.10 Si f : [0; 1) ! R es una función y existen constantes reales ; M y T tales
que jf (t)j
Me t 8 t
T; entonces f se dice de orden exponencial con exponente . Para
escribir menos, denotaremos esto por OE ( ).
Transformada de Laplace
65
Esta propiedad nos dice que f “no crece más rápido que una exponencial”. Notar que en
la de…nición no se hace hincapié en encontrar las constantes más chicas con esa propiedad. Por
10
ejemplo, la función f (t) = t10 es de orden exponencial con exponente 1; pues como l mt!1 tet =
10
0 se tiene que 9 T 0 tal que tet
1 si t T; y entonces t10 et si t T (una mejora leve de
este razonamiento muestra que cualquier polinomio es de orden exponencial con exponente ;
2
cualquiera sea > 0; ejercicio). Por otro lado la función f (t) = e(t ) no es de orden exponencial
2
( e(t )
M e t es equivalente a t2
t ln (M ) ; la cual no es válida en ningún intervalo del
tipo [T; 1).
Si tenemos jf (t)j M e t 8 t T y además sabemos que f es acotada en [0; T ] ; entonces
~ tal que jf (t)j
~e t 8 t
se puede ver (ejercicio) que existe M
M
0. En particular esto es
cierto cuando f es continua por tramos en [0; 1). Puesto que nosotros vamos a trabajar en
toda esta sección con funciones continuas por tramos en [0; 1), tomaremos esto como función
de orden exponencial (de hecho, la razón por la cual no se de…ne así directamente es para evitar
disidencias con la mayoría de los textos que tratan el tema).
Ejemplo 2.11
1. Los polinomios p (t) =
PN
n
n=0 an t
son funciones de OE ( ) para cualquier
2. Las funciones acotadas son de OE ( ) para cualquier
periódicas acotadas en un período lo son.
3. Si f es de OE ( ) y
> 0.
> 0, en particular las funciones
> , entonces f es de OE ( ).
4. Si f y g son de OE ( ), entonces f + g es de OE ( ) y f g es de OE (2 ).
Rt
5. Si f es de OE ( ) y continua por tramos en [0; 1); y g (t) = 0 f (x) dx; entonces g es de
max ( ; 0)
si
6 0
=
OE ( ) ; con =
(es decir, si = 0 entonces g es de
cualquiera > 0
si
=0
OE (") 8 " > 0).
6. Si f es derivable y de OE ( ) entonces f 0 puede no serlo, por ejemplo considerar la función
2
f (t) = sin et .
7. Si f (t) es derivable y f 0 (t) es continua por tramos y de OE ( ) ; entonces f es de OE ( ) ;
con
como en el punto (5). Ojo: esa fórmula no da el mínimo ; da uno con el cual
funciona. La función e 3t es OE ( 3) y su primitiva 31 e 3t también.
La de…nición de función de orden exponencial está hecha a medida de la transformada de
Laplace, para asegurar la existencia de la misma y sus buenas propiedades, según el siguiente
teorema fundamental:
Transformada de Laplace
66
Teorema 2.12 Si f es continua por tramos en [0; 1) y de orden exponencial, con jf (t)j
Me t 8 t
0; entonces la transformada de Laplace de f; L (f ) (s) existe para todo s > ; es
una función continua en el intervalo ( ; 1) ; y
M
jL (f ) (s)j
.
s
M e t e st = M e (s )t 8 t
Demostración. Puesto que jf (t)j M e t ; entonces f (t) e st
0: Como la función M e (s )t es integrable en (0; 1) si y solo si s > , concluimos que, para
todo s > , la función f (t) e st es absolutamente integrable en (0; 1) ; y
Z
jL (f ) (s)j =
Z
1
0
1
f (t) e
st
Z
dt
1
st
f (t) e
dt
0
Me
(s
)t
dt =
0
(s
Me
s
)t t=1
t=0
=
M
s
.
Vemos que L (f ) (s) es continua: tomamos s0 2 ( ; 1) ; y (para tomar l ms!s0 ) consideremos
0
los valores de s > +s
2 . Por el Teorema del Valor Medio sabemos que existe (t) en el intervalo
de extremos s y s0 (que depende de t) tal que
(e
st
e
s0 t
)=
te
(t)t
(s
s0 )
Entonces
jL (f ) (s)
L (f ) (s0 )j =
Z
Z
1
0
1
f (t) (e
st
e
s0 t
)dt =
Z
1
0
f (t) ( t)e
(t)t
(s
s0 ) dt
0
= M (s
f (t) ( t)e
Z 1
M e t te
(t)t
(s
+s0
2
s0 )dt
t
(s
s0 )dt =
0
s0 )L (t)
s0
2
= M (s
s0 )
4
(s0
)2
,
de donde resulta que
l m L (f ) (s) = L (f ) (s0 ) .
s!s0
(el cálculo de L (t) (s) está en el próximo ejemplo).
Es importante destacar que las hipótesis que se piden en el teorema son su…cientes pero
no necesarias, es decir, existen funciones que no cumplen tales hipótesis y sin embargo tienen
transformada de Laplace. De cualquier manera, dentro de las hipótesis puestas entran la mayoría
de los casos que se presentan en el uso de la transformada. Otra cosa: la desigualdad que incluye
el teorema dice que la transformada de Laplace decrece cuando s ! 1 “al menos tan rápido”
como 1=s. Esta última a…rmación debe tomarse en el mismo sentido que cuando hablamos de la
velocidad con la que decrecen los coe…cientes de Fourier de una función.
Ejemplo 2.13
Transformada de Laplace
1. Si f (t) = 1 8 t
67
0; entonces para s > 0 se tiene que
L (f ) (s) =
Z
y la integral diverge si s
2. Si f (t) = ta 8 t
s > 0; queda
L (f ) (s) =
1
1
a
t e
1
st
e
e
dt =
st t=1
s
0
t=0
1
= ,
s
0.
st
dt =
0
1; entonces haciendo el cambio de variables x = st; para
Z
1
0
y la integral diverge si s
Z
dt =
0
0; donde a >
Z
st
f (t) e
x
s
a
e
x dx
1
=
s
sa+1
Z
1
xa e
x
dx =
0
(a + 1)
,
sa+1
0. En particular, se tiene que 8 n 2 N,
L (tn ) (s) =
n!
sn+1
8 s > 0.
Para 1 < a < 0 esto da un ejemplo de función que no es acotada pero tiene transformada
de Laplace.
3. Si f (t) = sin (!t) 8 t
L (f ) (s) =
Z
0; entonces para s > 0 queda
1
st
sin (!t) e
dt =
e
0
t=1
st (! cos !t + s sin !t)
s2 + ! 2
t=0
=
s2
!
+ !2
A continuación veremos las propiedades de la transformada de Laplace
Proposición 2.14 (linealidad) El operador L es lineal en el siguiente sentido: si f; g son
funciones tales que L (f ) (s) y L (g) (s) existen ambas para s s0 , entonces para todo número
real a vale que L (af + g) (s) = aL (f ) (s) + L (g) (s) 8 s s0 .
Demostración.
L (af + g) (s) =
Z
1
(af + g) (t) e
st
dt = a
0
Z
1
f (t) e
st
dt +
0
= aL (f ) (s) + L (g) (s) ;
Z
1
g (t) e
st
dt
0
donde el segundo igual vale pues ambas integrales convergen para s
s0 .
Ejemplo
la propiedad anterior con uno de los ejemplos, concluimos que se
PN2.15 Combinando
n
p (t) = n=0 an t (un polinomio de grado N ), entonces
L (p) (s) = L
N
X
n=0
n
an t
!
(s) =
N
X
n=0
n
an L (t ) (s) =
N
X
n=0
an
n!
sn+1
.
Transformada de Laplace
68
2.4.
Transformada de derivadas e integrales
Proposición 2.16 (Transformada de la derivada) Si f es continua en [0; 1) y de OE ( ) ;
y existe f 0 en “casi todo punto” (ver Notación 1.28) y es continua por tramos en [0; 1) y de
OE ( ) ; entonces
L f 0 (s) = sL (f ) (s) f (0) 8 s > .
Demostración. En estas hipótesis podemos usar integración por partes; entonces para s >
se tiene que
Z 1
Z 1
t=1
0
st
st
0
f (t) ( s) e st dt.
f (t) e dt = f (t) e
L f (s) =
t=0
0
Por ser f continua en [0; 1) resulta f (t) e
que f (t) e
st
t=1
st
t=0
0
= f (0) ; y por ser de OE ( ) y s >
tenemos
= 0; y entonces queda
L f 0 (s) =
f (0) + sL (f ) (s) .
Nota 2.17 Es común encontrar en la propiedad anterior, f (0) reemplazado por f (0+ ) ; que es
por de…nición l mt!0+ f (t) El signi…cado es el mismo que le damos nosotros, ya que al pedir
que f sea continua en [0; 1); nos estamos re…riendo de manera tácita a un límite lateral en 0.
Utilizando tal notación , podemos pedir f continua en (0; 1) ; y (conservando las otras hipótesis)
tendríamos como conclusión que L (f 0 ) (s) = sL (f ) (s) f (0+ ).
Corolario 2.18 Si f; f 0 ; f 00 ; ; f (n 1) son continuas en [0; 1) y de OE ( ) ; y existe f (n) en
“casi todo punto” y es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) ; entonces
L f (n) (s) = sn L (f ) (s)
sn
1
f (0)
sn
2 0
f (0)
sf (n
2)
(0)
f (n
1)
(0)
8s> .
Demostración. veamos el caso n = 2
L f 00 (s) = L
f0
0
(s) = sL f 0 (s)
= s2 L (f ) (s)
sf (0)
f 0 (0) = s (sL (f ) (s)
f (0))
f 0 (0)
f 0 (0) ;
el caso general se sigue por inducción en n.
Ejemplo 2.19 Si f (t) = sin (!t) ; entonces f 0 (t) = ! cos (!t) ; y f (0) = 0; y entonces
L (cos (!t)) (s) =
1
1
!
s
L f 0 (s) = s 2
= 2
.
2
!
! s +!
s + !2
Transformada de Laplace
69
La propiedad anterior es una de las más importantes para el uso que nosotros le vamos a
dar a la transformada de Laplace: la resolución y estudio de sistemas modelados con ecuaciones
diferenciales, fundamentalmente por ecuaciones lineales con coe…cientes constantes. Veamos el
siguiente ejemplo: tenemos el problema de condiciones iniciales
x00 + bx0 + cx = f (t)
:
x (0) = x0 ; x0 (0) = y0
Asumiendo que se dan las condiciones necesarias, tomando transformada de Laplace queda
L x00 + bx0 + cx = L (f ) ;
y usando el Corolario anterior y las condiciones iniciales, resulta
s2 L (x) (s)
sx0
y0 + b (sL (x) (s)
x0 ) + cL (x) (s) = L (f ) (s)
De esa ecuación puede despejarse L (x) (s) ; y queda
L (x) (s) =
L (f ) (s) + sx0 + y0 + bx0
.
s2 + bs + c
Lo notable de esto es que el miembro de la derecha es conocido, por lo cual sin resolver la
ecuación, sabemos exactamente cuanto vale la transformada de Laplace de la solución (la única
solución que satisface las condiciones iniciales). De aquí siguen dos alternativas posibles: encontrar x “invirtiendo” el operador L; o sin encontrar x; deducir sus propiedades a partir de
su transformada de Laplace. Ambos caminos son muy usados, y ambos dependen de un hecho
fundamental: la transformada de Laplace de una función la determina por completo, según el
siguiente teorema:
Teorema 2.20 (Lerch) Si f y g son funciones continuas por tramos en [0; 1) y de OE ( ),
y L (f ) (s) = L (g) (s) 8 s s0 ; entonces f (t) = g (t) 8 t > 0; salvo posiblemente en los puntos
donde f y/o g sean discontinuas.
Demostración. Escapa al alcance de este curso, se puede ver una en Kreider, Kuller, Ostberg,
Perkins “Introducción al Análisis Lineal”.
El teorema anterior nos permite hablar del operador L 1 que mencionamos más arriba. Si
(s) es una función de…nida en el intervalo ( ; 1) y sabemos que (s) = L (f ) (s) ; entonces,
salvo posiblemente por valores puntuales, f es la única función (continua por tramos en [0; 1) y
de OE) con esa propiedad, y se pone f (t) = L 1 ( ) (t). El único camino que tenemos (por ahora)
para invertir la transformada de Laplace es por veri…cación directa, tanto en transformada de
funciones especí…cas como en las propiedades del operador L. De aquí en adelante enunciaremos
cada propiedad del operador L con la correspondiente equivalente para L 1 .
Ejemplo 2.21
Transformada de Laplace
70
1. La linealidad del operador L implica la linealidad del operador L 1 ; cuando se restringe
el dominio de L de forma tal que sea invertible. Es decir, si j (s) = L (fj ) (s) 8 s > ,
entonces L 1 (a 1 + 2 ) = aL 1 ( 1 ) + L 1 ( 2 ).
2. L 1 1s = 1. En rigor, deberíamos poner “si es una función cuyo dominio es el intervalo
(0; 1) y en dicho dominio (s) = 1s ; entonces L 1 ( ) (t) = 1 8 t 0”, pero semejantes
consideraciones no aportan demasiado y complican enormemente nuestra tarea.
PN
PN an 1 n!
P
an
an n
3. L 1
(t) = N
n=0 sn+1 =
n=0 n! L
n=0 n! t .
sn+1
4. L
1
!
s2 +! 2
= sin (!t).
5. Supongamos que f es continua en [0; 1), de OE ( ), y que f 0 existe en “casi todo punto”,
es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) : Entonces si (s) = L (f ) (s) ; luego
L
1
(s (s)
f (0)) = f 0 .
Esto tiene poca utilidad práctica (para invertir s (s)) ya que las hipótesis en general son
imposibles de veri…car (ver Proposición 2.47 para el cálculo de f (0)). Lo que suele hacerse
(si se tiene f = L 1 ( ) y f (0)) y se quiere invertir s (s) f (0) es calcular f 0 ; y luego
calcular L (f 0 ) (s) y ver si efectivamente da s (s). Debido a que en la mayoría de las
aplicaciones la variable t representa al tiempo y la variable s a la frecuencia, este ejemplo
suele leerse como “multiplicar en frecuencia por s es lo mismo que derivar en t”.
Proposición 2.22 (Transformada de la Integral) Si f es continua por tramos en [0; 1) y
de OE ( ) ; entonces
Z t
1
max ( ; 0)
si
6= 0
f (r) dr (s) = L (f ) (s)
L
8 s > , donde =
.
cualquiera
>
0
=
0
s
0
Esta propiedad suele leerse como “dividir en frecuencia es lo mismo que multiplicar en tiempo”
Rt
Demostración. Primero, notar que la función g (t) = 0 f (r) dr es continua y de OE ( ) ; por
lo cual tiene sentido calcular su transformada de Laplace. Además g 0 (t) = f (t) en casi todo
punto, y g (0) = 0; por lo cual la Proposición 2.4 nos dice que
L g 0 (s) = sL (g) (s)
8s> ;
de donde se sigue inmediatamente la propiedad.
Corolario 2.23 En las hipótesis de la propiedad anterior, si (s) = L (f ) (s) ; entonces
Z t
1 1
L
(s) (t) =
f (r) dr.
s
0
Demostración. Aplicar L
1
a la Proposición 2.22.
!
Ejemplo 2.24 puesto que L (sin (!t)) (s) = s2 +!
2 , entonces
Z t
1
1 !
L 1
(t) =
sin (!r) dr = (1
2
2
ss +!
!
0
cos (!t))
Transformada de Laplace
2.5.
71
Función de Heaviside
Se llama así a la función escalón unitario
u (t) =
y se denota ua (t) = u (t
0
1
si t < 0
;
si t 0
a). Si bien no es una limitación, en general se utiliza a > 0.
u(t)
ua (t)
0
0
a
Esta función es muy útil cuando se trabaja con trasformada de Laplace, pues nos da una
notación sencilla para “pensar” que las funciones con las que trabajamos están de…nidas como
cero en el intervalo ( 1; 0): basta con tomar f (t) u (t) en lugar de f (t) (recordar el comentario
hecho al calcular L 1 1s ; que según nuestra convención da u y no 1). Por ejemplo, cuando
n!
8 s > 0. Pero más allá
calculamos L (tn ), lo correcto hubiera sido poner L (u (t) tn ) (s) = sn+1
de las formalidades, tiene muchas otras virtudes porque puede usarse como un “interruptor”que
enciende cierta señal en un instante a: puesto que
f (t) ua (t) =
0
f (t)
si t < a
;
si t a
resulta que si quiero escribir que a una señal g (t) se le agrega otra señal f (t) en el instante a; la
señal resultante será g (t) + f (t) ua (t). Esto es particularmente útil en el modelado de sistemas
donde diferentes fuerzas actúan en diferentes instantes de tiempo.
Otro uso frecuente de la función ua es para desplazar funciones en su variable: la función
f (t a) ua (t) tiene la misma grá…ca que f (t) u (t) pero con el cero en a
ua (t)f(t-a)
f(t)
0
0
a
Ejemplo 2.25 Cuando uno quiere “…ltrar” una señal f (t) y dejarla solo para cierto intervalo
de tiempo [a; b); como
8
si t < a
< 0
1 si a t < b ;
ua (t) ub (t) =
:
0
si t b
Transformada de Laplace
72
la señal …ltrada queda f (t) [ua (t)
ub (t)].
f(t)
ua(t) - ub (t)
f(t)(ua(t) - ub (t))
1
1
0
a
0
b
a
b
Proposición 2.26 (Corrimiento en frecuencia) Si f es continua por tramos en [0; 1) y de
OE ( ) ; entonces
L eat f (t) (s) = L (f ) (s a)
8 s > + a.
Demostración.
at
L e f (t) (s) =
Z
1
at
f (t) e e
st
dt =
0
Z
1
f (t) e
(s a)t
0
Corolario 2.27 En las hipótesis de la propiedad anterior, si
L
Ejemplo 2.28
y entonces
1. Si
(s) =
1
2. Puesto que L (cos (2t)) (s) =
L
(s) = L (f ) (s) ; entonces
entonces como L t3 (s) =
1
L
s
;
s2 +4
a) .
a)) (t) = eat f (t) .
( (s
6
;
(s+4)4
dt = L (f ) (s
6
(s + 4)4
=e
6
,
s4
resulta
(s) = L t3 (s + 4) ;
4t 3
t .
se tiene que
s
1
(s
8
8) + 4
2
= e8t cos (2t) .
Proposición 2.29 (Cambio de escala) Si f es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) ;
y c > 0; entonces
1
s
L (f (ct)) (s) = L (f )
8s>c .
c
c
Demostración. Haciendo el cambio de variables x = ct queda
Z 1
Z 1
sx dx
1
st
= L (f ) (s=c) .
L (f (ct)) (s) =
f (ct) e dt =
f (x) e c
c
c
0
0
Transformada de Laplace
73
Corolario 2.30 En las hipótesis de la propiedad anterior, si
L
1
(s) = L (f ) (s) ; entonces
( (s=c)) (t) = cf (ct) .
Proposición 2.31 (Corrimiento en tiempo) Si f es continua por tramos en [0; 1) y de
OE ( ) ; y a 0; entonces
L (f (t
a) ua (t)) (s) = e
as
L (f ) (s)
8s> .
Demostración. haciendo el cambio de variables x = t a queda
Z 1
Z 1
st
L (f (t a) ua (t)) (s) =
f (t a) ua (t) e dt =
f (t a) e
a
Z0 1
f (x) e s(x+a) dx = e as L (f ) (s) .
=
st
dt
0
Nota importante 2.32 El resultado anterior no es válido si a < 0; probar por ejemplo con
la función f (t) = t + 3 y a = 3. El problema en realidad viene de que cuando uno dice
“f (t) = t + 3” tiende a olvidar que en realidad queremos decir f (t) = (t + 3) u (t). Otro tema
delicado con la propiedad anterior, es que es muy común confundir f (t) con f (t a) ; y la
propiedad anterior no dice que L (f (t) ua (t)) (s) = e as L (f ) (s) ; y en general esa igualdad no
es cierta. Si tenemos que calcular L (f (t) ua (t)) (s) para cierta función f; lo que se suele hacer es
llamar g (t a) = f (t) ; es decir, construyo una nueva función que vale g (t) = f (t + a) 8 t 0
(¡y cero para t < 0!), y entonces
L (f (t) ua (t)) (s) = L (g (t
a) ua (t)) (s) = e
as
L (g) (s)
(como calcular L (g) es otra cuestión, que se resuelve caso por caso).
Ejemplo 2.33 Para calcular L t2 u3 (t) (s) ; hacemos g (t
y entonces
L t2 u3 (t) (s) = e
3s
= e
3s
L (t + 3)2 (s) = e
3s
L
t2 + 6t + 9
L t2 (s) + L (6t) (s) + L (9) (s) = e
Corolario 2.34 En las hipótesis de la propiedad anterior, si
L
3) = t2 ; es decir, g (t) = (t + 3)2 ;
1
e
as
(s) (t) = f (t
(s) =
3s
2
6
9
+ 2+
.
3
s
s
s
(s) = L (f ) (s) ; entonces
a) ua (t) .
Transformada de Laplace
74
2.6.
Derivación e integración de transformadas
En esta sección vamos a aplicar los resultados que vimos en la sección 2.2, para obtener
resultados (en principio sorprendentes) sobre la suavidad de la transformada de Laplace.
Proposición 2.35 (Derivación de la transformada) Si f es continua por tramos en [0; 1)
y de OE ( ) ; entonces L (f ) (s) es derivable en ( ; 1) y
d
L (f ) (s) =
ds
L (tf (t)) (s)
8s> .
Demostración. Queremos ver que
lm
h!0
L (f ) (s + h)
h
L (f ) (s)
+ L (tf (t)) (s)
= 0.
s
s
Tomemos s > (…jo) y consideremos los valores de h 2
(para tomar l mh!0 ).
2 ; 2
Utilizando un Polinomio de Taylor de grado 1 y la fórmula de Lagrange del resto vemos que
existe (t) en el intervalo de extremos 0 y h tal que
e
ht
e
ht
=1
ht +
(ht)2
e
2
(t)t
,
en particular
jhj t2 ( s )t
e 2 .
2
1 + ht
h
Entonces
L (f ) (s + h)
h
L (f ) (s)
Z
1
+ L (tf (t)) (s) =
M e te
st jhj t
2
Z
1
f (t)
0
s
M jhj
e( 2 )t dt =
2
2
M jhj
=
L t2
2
0
(s+h)t
e
Z
1
e st + hte
h
st
!
dt
s
t2 e ( 2 )t dt =
0
s
2
=
M jhj
8
2
2
(s
)3
! 0.
h!0
Observación 2.36 Es muy importante notar que lo que estamos probando es que la Regla de
Leibnitz (para derivar funciones de…nidas mediante una integral) vale en este caso, y
Z 1
Z 1
d
d
d
@
st
L (f ) (s) =
f (t)e dt =
f (t)e st dt;
ds
ds 0
ds 0 @s
es decir, podemos derivar dentro de la integral. Esto además ayuda a recordar la fórmula.
Corolario 2.37 En las hipótesis de la propiedad anterior, si
L
1
0
(s) (t) =
tf (t) .
(s) = L (f ) (s) ; entonces
Transformada de Laplace
75
Corolario 2.38 (otro más) Si f es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) ; entonces
L (f ) (s) tiene derivadas de todos los órdenes en ( ; 1) y 8 n 2 N vale que
dn
L (f ) (s) = ( 1)n L (tn f (t)) (s)
dsn
8s> .
Demostración. Por inducción en n, usando la Proposición 2.35. Lo notable de esto es que vale
bajo las mismas hipótesis para f; es decir, no importa si nuestra función es discontinua o si tiene
in…nitas derivadas, siempre su transformada de Laplace tiene in…nitas derivadas.
Corolario 2.39 (del Otro Corolario) En las hipótesis de la propiedad anterior, si
L (f ) (s) ; entonces
(s) =
Ejemplo 2.40 Supongamos que queremos encontrar f y sabemos que L (f ) (s) = ln
Como
s+1
s 1
L
d
ln
ds
s+1
s 1
=
s 1
s+1
1
(s
(n)
(s) (t) = ( t)n f (t) .
1) (s + 1)
(s 1)2
=
1
s+1
1
s
1
=L e
t
.
et (s) ;
y teniendo en cuenta que
L
1
d
ln
ds
s+1
s 1
(t) =
tf (t) ;
resulta
tf (t) = e
es decir, f (t) =
2
t
t
et ;
sinh (t).
Proposición 2.41 (Integración de la transformada) Si f es continua por tramos en [0; 1)
y de OE ( ) ; y l mt!0+ f (t)
t existe, entonces L (f ) (s) es integrable en ( ; 1) ; y
Z
s
1
L (f ) (r) dr = L
f (t)
t
8s> .
Demostración. Primero notar que el enunciado dice que la integral impropia converge. En
nuestras hipótesis, la función g (t) = f (t)
t es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) (ejercicio),
y entonces la Proposición 2.35 nos dice que
L (f ) (s) = L (tg (t)) =
d
L (g) (s)
ds
8s> .
Transformada de Laplace
76
Integrando, y teniendo en cuenta que L (g) (s) decrece como 1=s cuando s ! 1; queda
Z 1
Z 1
d
L (f ) (r) dr =
L (g) (r) dr = [L (g) (r)]r=1
r=s
ds
s
s
f (t)
=
l m L (g) (r) + L (g) (s) = L (g) (s) = L
(s) ,
r!1
t
o sea listo.
Notar que la hipótesis sobre l mt!0+ f (t) =t implica que f (0+ ) = 0; y entonces dicho límite
vale f 0 (0+ ). Por lo tanto, la hipótesis es equivalente a pedir que exista f 0 (0+ ) (que es, por ahí,
más fácil de entender).
Corolario 2.42 En las hipótesis de la propiedad anterior, si (s) = L (f ) (s) ; entonces
Z 1
f (t)
1
(r) dr (t) =
L
.
t
s
; entonces
Ejemplo 2.43 Si f (t) = sin(!t)
t
Z 1
Z 1
L (f ) (s) =
L (sin (!t)) (r) dr =
s
2.7.
s
h
!
r ir=1
dr
=
arctan
=
r2 + !2
! r=s
2
arctan
s
.
!
Funciones periódicas
En esta sección vamos a usar funciones periódicas (como cuando vimos series de Fourier),
pero teniendo presente que pensamos a las funciones como cero en el intervalo ( 1; 0) : Con
esta convención, una función f (t) será periódica de período T si f (t + T ) = f (t) 8 t
0,
y nos referiremos a este hecho como “f es periódica en [0; 1)”. En general resulta que f es
periódica de período T en [0; 1) si y solo si f (t) = g (t) u (t) ; con g periódica de período T:
Notar que si f es periódica en [0; 1) de período T; y es continua por tramos en [0; T ]; entonces
f es continua por tramos en [0; 1) y de OE (0) (ejercicio).
Proposición 2.44 (Transformada de funciones periódicas) Si f es periódica en [0; 1) de
período T; y es continua por tramos en [0; T ]; entonces
Z T
1
L (f ) (s) =
f (t) e st dt
8 s > 0.
1 e sT 0
Demostración. Si f tiene período T , entonces
f (t) = [u (t)
uT (t)] f (t) + uT (t) f (t) = [u (t)
uT (t)] f (t) + uT (t) f (t
(gra…car y veri…car!), entonces usando la Proposición 2.31 tenemos
Z T
Z T
L (f ) (s) =
f (t) e st dt + L (uT (t) f (t T )) (s) =
f (t) e
0
0
st
dt + e
sT
T)
L (f ) (s) ,
Transformada de Laplace
77
es decir, listo.
Ejemplo 2.45 Para calcular la transformada de Laplace de la función de período 2 tal que
f (t) = t2 en el intervalo [0; 2); hacemos
Z 2
t=2
2
s2 t2 e st + 2ste st + 2e st
2
2
st
2s 2s + 2s + 1
t e dt =
2e
;
=
s3
s3
s3
0
t=0
de donde
L (f ) (s) =
1
e
1
2s
2
s3
2e
2s 2s
2
+ 2s + 1
s3
.
Para utilizar la propiedad anterior se suele usar la función de Heaviside, de la siguiente forma:
si tenemos f (t) de…nida en [0; 1) y queremos la transformada de Laplace de la función g (t)
que es periódica de período T y coincide con f en el intervalo [0; T ); entonces
Z T
Z T
Z T
g (t) e st dt =
f (t) e st dt =
[1 uT (t)] f (t) e st dt
0
0
Z0 1
=
[1 uT (t)] f (t) e st dt = L (f ) (s) L (uT f ) (s) ;
0
y queda
L (f ) (s) L (uT f ) (s)
,
1 e sT
es decir, en lugar de calcular una integral necesitamos dos transformadas de Laplace.
L (g) (s) =
Ejemplo 2.46 Para calcular la transformada de Laplace de la función de período 2 tal que
f (t) = t2 en el intervalo [0; 2) con este método, primero notar que
2 + 2)2 u2 (t) (s)
L t2 u2 (t) (s) = L (t
2)2 u2 (t) (s) + L (4 (t
= L (t
=
2
e
s3
2s
4
e
s2
+
2s
4
+ e
s
2s
2) u2 (t)) (s) + L (4u2 (t)) (s)
;
y entonces
L (f ) (s) =
2.8.
1
1
e
2s
2
s3
2
e
s3
2s
+
4
e
s2
2s
4
+ e
s
2s
.
Valor inicial y …nal
Las siguientes dos propiedades nos permiten conocer, en determinadas circunstancias, el valor
límite de f en 0 y en 1; a partir de su transformada de Laplace. Es decir, podemos estudiar el
comportamiento de f en los bordes del intervalo (0; 1) sin tener explícitamente a la función f .
Ambas propiedades son consecuencias inmediatas de la Proposición 2.4.
Transformada de Laplace
78
Proposición 2.47 (Teorema del valor inicial) Si f es continua en [0; 1) y de OE ( ) ; y
existe f 0 en “casi todo punto” es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) ; entonces
l m sL (f ) (s) = l m f (t) .
s!1
t!0+
Demostración. Notar que la propiedad dice que, bajo las hipótesis pedidas, ambos límites
existen y son iguales. Las hipótesis pedidas son exactamente las mismas que las de la Proposición
2.4, y están puestas pues dicha propiedad es lo único que necesitamos: puesto que
L f 0 (s) = sL (f ) (s)
f 0+
8s> ;
y teniendo en cuenta, que según el Teorema 2.12,
l m L f 0 (s) = 0;
s!1
tomando límite queda demostrada la propiedad.
Corolario 2.48 En las hipótesis de la propiedad anterior, si (s) = L (f ) (s) y c = l ms!1 s (s),
entonces
L 1 (s (s) c) (t) = f 0 (t) .
(ver el punto 5 del Ejemplo 2.21).
Ejemplo 2.49
1. Si
L (f ) (s) =
entonces
f 0+ = l m s
s!1
2. Si f (t) = cos (!t) entonces L (f ) (s) =
lm s
s!1
s2
s
= 1, y entonces L
+ !2
2s2
s+3
;
+ 2s + 1
s+3
1
= :
2s2 + 2s + 1
2
s
;
s2 +! 2
1
s2
entonces
s
+ !2
1 (t) = f 0 (t) =
! sin (!t) .
Nota 2.50 En general se aplica el Teorema 2.47 sin poder veri…car las hipótesis, ya que no se
dispone de la función y no tenemos ningún resultado que nos de condiciones de suavidad para f
a partir de su transformada de Laplace, L (f ). Sin embargo, utilizando el método de fracciones
parciales, se puede ver que si L (f ) (s) = p(s)
q(s) ; con p y q polinomios y el grado de p menor o que
el grado de q; entonces f está dentro de las hipótesis (ejercicio).
Proposición 2.51 (Teorema del valor …nal) Si f es continua en [0; 1) y de OE; y existe
f 0 en “casi todo punto” es continua por tramos en [0; 1) y de OE ( ) con < 0; entonces
l m sL (f ) (s) = l m f (t) .
s!0
t!1
Transformada de Laplace
79
Demostración. Notar que acá necesitamos que f 0 sea de OE con exponente negativo: En estas
condiciones, el primer teorema nos asegura que L (f 0 ) (s) está bien de…nida y es continua en un
entorno de s = 0, y entonces (usando la Proposición 2.4)
L f 0 (0) = l m L f 0 (s) = l m sL (f ) (s)
s!0
s!0
f 0+
= l m sL (f ) (s)
s!0
f 0+ .
Finalmente notar que también
0
L f (0) =
Z
1
f 0 (t) dt = l m f (t)
t!1
0
f 0+ .
Igualando las expresiones obtenemos el resultado.
2.9.
Convolución
En muchas aplicaciones de la transformada de Laplace aparece la necesidad de trabajar con
productos del tipo L (f ) (s) L (g) (s) (por ejemplo cuando se busca la función de transferencia,
ver Sección 2.10). Por lo tanto es natural preguntarse qué ocurre cuando intentamos hacer la
transformada inversa del producto. Es fácil de veri…car que, en general, no es cierto que la inversa
del producto sea el producto de las inversas, por ejemplo
L t2 (s) =
2
s3
L t4 (s) =
y
24
;
s5
y entonces no se veri…ca que
L
1
t2 t2 = L
1
t2 L
1
t2 .
La respuesta está en la siguiente de…nición:
De…nición 2.52 Para f; g funciones continuas por tramos en [0; 1) se pone
(f
g) (t) =
Z
t
f (r) g (t
r) dr
0
la convolución de f con g.
La integral que de…ne f g existe para todo t > 0 por ser la función h (r) = f (r) g (t r)
continua por tramos en [0; t] (ejercicio), por lo tanto f g es una nueva función de…nida en
[0; 1): Esta nueva operación puede ser pensada como un “producto”de…nido en el conjunto de
las funciones continuas por tramos en [0; 1); de la misma forma que tenemos el producto usual
en R. En general, no es fácil ver “que pasa” cuando uno hace la convolución de dos funciones
cualquiera, en el sentido de que es difícil predecir como será (que aspecto tendrá) la función
f g a partir del aspecto de f y g. En el contexto en el que estamos (funciones de…nidas en
[0; 1)), uno de los casos más fácil de entender es cuando uno piensa en g como una “campana”
asimétrica hacia t = 0 y de área 1 (ver dibujo): en tal caso, …jado t, el valor de (f g) (t) será un
Transformada de Laplace
80
promedio ponderado de los valores de f (x), con 0 < x < t, con mayor peso a los valores cercanos
a t. Es por eso que, en general, (f g) será una función más suave que f , pero “parecida” a
f (mientras más concentrada hacia x = 0 sea la campana de g; más parecida será (f g) a f;
hasta llegar al extremo cuando g es la función impulso o de Dirac).
g(x)
g(t-x)
(f * g)(x)
area 1
f(x)
x
0
0
x
t
El producto de convolución tiene las siguientes propiedades: si f; g; h son funciones continuas
por tramos en [0; 1); y a un número real, entonces:
1. f
g = g f (conmutatividad)
2. (f
g) h = f
3. f
(g + h) = (f
4. (af ) g = a (f
(g h) (asociatividad)
g) + (f
g) = f
h) (distribución respecto a la suma)
(ag) :
Estas propiedades se demuestran muy fácilmente, solo la segunda requiere un más de trabajo.
Por supuesto que lo que nos interesa a nosotros es la siguiente:
Proposición 2.53 (Convolución) Si f y g son continuas por tramos en [0; 1) y de OE ( ) ;
entonces (f g) es continua en [0; 1); de OE ( + ") 8 " > 0; y
L (f
g) (s) = L (f ) (s) L (g) (s)
8s> .
Demostración. Primero veamos que (f g) es de OE ( + ") 8 " > 0: por hipótesis sabemos
que existe M > 0 tal que jf (t)j M e t y jg (t)j M e t 8 t 0, y entonces
j(f
g) (t)j =
Z
Z
t
f (r) g (t
r) dr
0
t
0
puesto que para todo " > 0 vale que t
j(f
jf (r) g (t
1 "t
"e
8t
g) (t)j
r)j dr
Z
t
M e rM e
(t r)
dr = M 2 te t .
0
0 (ejercicio), se tiene que
M 2 e(
+")t
.
Eso implica que tenemos de…nida L (f g) (s) 8 s > + " cualquiera sea " > 0, y por lo tanto
8s> .
En cuanto a la continuidad el tema es más complicado, acá va una idea (que se puede
formalizar como ejercicio): tomo t0 2 [0; 1) y 0 < h < 1 (la razón de tan extraña elección se
Transformada de Laplace
81
verá abajo), entonces
Z
t0 +h
f (r) g (t0 + h r) dr
(f g) (t0 + h) (f g) (t0 ) =
0
Z
Z t0 +h
Z t0
f (r) g (t0 + h r) dr
f (r) g (t0 + h r) dr +
=
t0
0
=
Z
f (r) [g (t0 + h
r)
g (t0
r)] dr +
t0
f (r) g (t0
r) dr
0
t0
f (r) g (t0
r) dr
0
Z
t0
Z
t0 +h
f (r) g (t0 + h
r) dr
t0
0
= I1 (h) + I2 (h) :
Como h < 1 y usando que f es acotada en [t0 ; t0 + h] y que g es acotada en [0; 1] ; se ve fácilmente
que
l m I2 (h) = 0:
h!0+
Para I1 (h) ; haciendo el cambio de variables x = t0 r queda
Z t0
I1 (h) =
f (r) [g (x + h) g (x)] dr.
0
Acá el análisis se complica: para ver que eso tiende a cero necesitamos usar la noción de continuidad absoluta (fuera del alcance de este curso) y que g tiene …nitas discontinuidades en el
intervalo [0; t0 + 1] ; pero debería quedar claro que
l m [g (x + h)
h!0+
g (x)] = 0
8 x donde g es continua,
y eso hacer creíble que
l m I1 (h) = 0:
h!0+
Argumentos similares muestran que
l m I1 (h) = l m I2 (h) = 0;
h!0
y por lo tanto (f
Por último,
L (f
h!0
g) es continua en t0 .
g) (s) =
Z
1
st
(f g) (t) e dt =
0
Z 1Z t
=
f (r) g (t r) e
0
Z
1
0
st
Z
t
f (r) g (t
r) dr e
st
dt
0
drdt;
0
invirtiendo el orden en las integrales (lo cual es lícito, por Fubini, en nuestras hipótesis) queda
Z 1Z 1
Z 1
Z 1
L (f g) (s) =
f (r) g (t r) e st dtdr =
f (r)
g (t r) e st dtdr.
0
r
r
0
Finalmente, haciendo el cambio de variables x = t r en la integral de adentro queda
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
s(x+r)
sr
L (f g) (s) =
f (r)
g (x) e
dxdr =
f (r) e
g (x) e sx dx dr
0
0
0
0
Z 1
Z 1
sr
=
f (r) e
(L (g) (s)) dr = L (g) (s)
f (r) e sr dr = L (g) (s) L (f ) (s) .
0
0
Transformada de Laplace
82
Corolario 2.54 En las hipótesis de la propiedad anterior, si (s) = L (f ) (s) y (s) = L (g) (s) ;
entonces
L 1 ( ) (t) = (f g) (t) .
2.10.
Estabilidad
Una de las aplicaciones más importantes del teorema anterior el la que se da en Teoría de
Control para determinar la estabilidad o no de un sistema físico. Un sistema físico en general se
caracteriza por aceptar entradas (fuerza, voltaje, presión, corriente, etc.) y producir una salida
en respuesta a esa entrada. En general caracterizamos las entradas y las salidas con funciones
reales f (t) ; t 0 (pensando que la variable t representa al tiempo).
De…nición 2.55 Un sistema es lineal si la respuesta se comporta de manera lineal con respecto
a la entrada, es decir, si y1 es la respuesta a la entrada x1 y y2 a la entrada x2 ; entonces la
respuesta a la entrada ax1 + bx2 será ay1 + by2 . Un sistema es invariante en el tiempo si el
efecto de correr en el tiempo la entrada produce el mismo corrimiento en la salida, es decir,
si y1 (t) es la respuesta a la entrada x1 (t) entonces la respuesta a la entrada y1 (t t0 ) será
x1 (t t0 ). La función de transferencia G (s) de un sistema lineal e invariante en el tiempo se
de…ne como la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y la entrada, suponiendo
que las condiciones iniciales son todas cero. Es decir,
G (s) =
L (xo ) (s)
:
L (xi ) (s)
Se puede ver que para tales sistemas (lineales invariantes en el tiempo) dicha de…nición es
buena, es decir, no depende de la entrada que elijamos para calcularla. La función de transferencia
caracteriza por completo al sistema físico. Para representar un sistema se utilizan bloques que
identi…can la entrada y la salida, y la función de transferencia que lo caracteriza, como el
siguiente:
xi
G
xo
Para …jar ideas veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.56 Si tenemos un sistema masa-resorte forzado y amortiguado como muestra el
dibujo, entonces la ecuación que describe el sistema es
v
mx00 + vx0 + kx = f (t)
;
x (0) = x0 ; y (0) = y0
m
k
0
x
f(t)
Transformada de Laplace
83
donde m es la masa, v el coe…ciente de rozamiento, k la constante elástica del resorte, f la
fuerza aplicada al resorte (la entrada al sistema), y x la posición de la masa en cada instante
de tiempo t
0 (la respuesta del sistema a la entrada, o sea la salida). Aquí x0 e y0 son las
condiciones iniciales (posición y velocidad respectivamente). Tomando transformada de Laplace
queda
ms2 L (x) (s) sx0 y0 + vsL (x) (s) x0 + kL (x) (s) = L (f ) (s) :
Asumiendo que las condiciones iniciales son nulas (x0 = y0 = 0) y despejando obtenemos
L (x) (s)
1
=
;
2
L (f ) (s)
ms + vs + k
es decir, la función
G (s) =
ms2
1
+ vs + k
es la función de transferencia de tal sistema. Notar que en la función aparecen todos los parámetros del sistema, y que no depende ni de la entrada ni de la salida.
Para el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo se utiliza lo que se llama “álgebra
de bloques”, que permite obtener la función de transferencia de un sistema que consiste de
varios subsistemas interconectados de diferente manera, y de los cuales conocemos su función
de transferencia. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplos:
1. Si tenemos dos sistemas interconectados como sugiere el dibujo
xi
xp
G
xo
H
(la entrada al segundo sistema es la salida del primero), con funciones de transferencia H
y G respectivamente, entonces
G (s) =
de donde
L (xp ) (s)
L (xi ) (s)
y
H (s) =
L (xo ) (s)
;
L (xp ) (s)
L (xp ) (s) L (xo ) (s)
L (xo ) (s)
=
= G (s) H (s) ;
L (xi ) (s)
L (xi ) (s) L (xp ) (s)
es decir, la función de transferencia es el producto de las funciones de transferencias de
c/u de los sistemas.
2. Si tenemos dos sistemas interconectados como sugiere el dibujo
xi
G
H
xg
xo
xh
Transformada de Laplace
84
(hay una entrada a dos subsistemas y la salida del sistema es la suma de ambas salidas),
con funciones de transferencia H y G respectivamente, entonces
G (s) =
L (xh ) (s)
L (xi ) (s)
y
H (s) =
L (xg ) (s)
;
L (xi ) (s)
puesto que xo = xh + xg ; resulta L (xo ) = L (xh ) + L (xg ) ; y entonces
L (xh ) (s) + L (xg ) (s)
L (xo ) (s)
=
= G (s) + H (s) ;
L (xi ) (s)
L (xi ) (s)
es decir, la función de transferencia es la suma de las funciones de transferencias de c/u
de los sistemas.
3. Si tenemos dos sistemas interconectados como sugiere el dibujo
xi
xi xf
xf
xo
G
H
xo
(hay una entrada a un sistema, la salida del mismo entra a otro, que produce una salida
que realimenta al primero), entonces
G (s) =
L (xo ) (s)
L (xi ) (s) L (xf ) (s)
y
H (s) =
L (xf ) (s)
;
L (xo ) (s)
entonces, despejando L (xf ) en ambas ecuaciones obtenemos
L (xi ) (s)
1
L (xo ) (s) = L (xf ) (s)
G (s)
y
H (s) L (xo ) (s) = L (xf ) (s) ;
igualando y despejando llegamos a
L (xo ) (s)
L (xo ) (s)
G (s)
=
=
;
1
L (xi ) (s)
G (s) H (s) + 1
H (s) L (xo ) (s) + G(s) L (xo ) (s)
que es la función de transferencia de un sistema a lazo cerrado.
De…nición: Un sistema se dice estable si la respuesta a toda entrada acotada es acotada, y
asintóticamente estable si la respuesta a toda entrada acotada tiende a cero cuando el tiempo
tiene a in…nito.
En el último capítulo veremos condiciones sobre la función transferencia para que un sistema
sea estable.
Transformada de Laplace
2.11.
85
Tabla de transformadas
Potencias
f (t)
1
t
tn
f (t)
F (s) = L(f ) (s)
1
s
1
s2
n!
, n entero positivo
n+1
s
t
F (s) = L(f ) (s)
r
1=2
ps
t1=2
2s3=2
( + 1)
,
s +1
t
>
1
Funciones trigonométricas
f (t)
F (s) = L(f ) (s)
k
s2 + k 2
s
2
s + k2
2k 2
s (s2 + 4k 2 )
s2 + 2k 2
s (s2 + 4k 2 )
2ks
sin kt
cos kt
2
sin kt
cos2 kt
t sin kt
(s2 + k 2 )2
s2 k 2
t cos kt
2 (1
sin at
t
cos kt)
t
(s2 + k 2 )2
s2 + k 2
ln
s2
a
arctan
s
f (t)
F (s) = L(f ) (s)
sin kt + kt cos kt
sin kt
1
kt
kt cos kt
cos kt
sin kt
a sin bt b sin at
ab (a2 b2 )
cos bt cos at
a2 b2
sin at cos bt
t
2ks2
(s2 + k 2 )2
2k 3
(s2
k 2 )2
k2
s (s2 + k 2 )
k3
s2 (s2 + k 2 )
1
2
2
(s + a ) (s2 + b2 )
s
(s2 + a2 ) (s2 + b2 )
1
2
1
a b
arctan a+b
s + 2 arctan s
Funciones Hiperbolicas
f (t)
sinh kt
cosh kt
2
sinh kt
cosh2 kt
F (s) = L(f ) (s)
k
s2 k 2
s
2
s
k2
2k 2
s (s2 4k 2 )
s2 2k 2
s (s2 4k 2 )
Funciones exponenciales
f (t)
t sinh kt
t cosh kt
2 (1
cosh kt)
t
F (s) = L(f ) (s)
2ks
(s2 k 2 )2
s2 + k 2
(s2 k 2 )2
s2 k 2
ln
s2
Transformada de Laplace
86
f (t)
eat
teat
tn eat
ebt
f (t)
F (s) = L(f ) (s)
1
s a
1
(s a)2
n!
, n entero positivo
(s a)n+1
eat
t
ln ss
1
2
p e a =4t
t
a
2
p
e a =4t
2 t3
eat ebt
a b
aeat bebt
a b
a
b
F (s) = L(f ) (s)
e
p
a s
p
e
s
p
a s
(s
(s
1
a) (s
s
a) (s
Funciones exponenciales, hipoerbólicas y trigonométricas
f (t)
eat sin kt
eat cos kt
eat sinh kt
eat cosh kt
F (s) = L(f ) (s)
k
(s a)2 + k 2
s a
(s a)2 + k 2
k
(s a)2 k 2
s a
(s a)2 k 2
f (t)
F (s) = L ff g (s)
sin kt sinh kt
sin kt cosh kt
cos kt sinh kt
cos kt cosh kt
2k 2 s
s2 + 4k 4
k s2 + 2k 2
s4 + 4k 4
k s2 2k 2
s4 + 4k 4
s3
s4 + 4k 4
Funciones de Bessel
f (t)
F (s) = L(f ) (s)
1
p
2
s + k2
J0 (kt)
Delta de Dirac (t)
f (t)
(t)
(t t0 )
F (s) = L(f ) (s)
1
e
st0
Función de Heaviside u (t)
f (t)
f (t
u (t
a) u (t
a)
a)
F (s) = L(f ) (s)
e
e
as F
(s)
as
s
Propiedades generales
f (t)
eat f (t)
f (t a) u (t
f (n) (t)
tn f (t)
Rt
0 f ( ) g (t
F (s) = L(f ) (s)
a)
)d
F (s a)
e as F (s)
sn F (s) s(n 1) f (0)
dn
( 1)n ds
n F (s)
F (s) G (s)
:::
f (n
1) (0)
b)
b)