Preliminares

Capítulo 1
Preliminares
1.1.
Fuentes y sumideros. Topologías inicial y final
Cuando a los cursos de Topología General se les imprime el enfoque categórico, como hicieron Graciela Salicrup
en [7] y Roberto Vázquez en [13], se suele hablar de fuentes cartesianas, de fuentes topológicas, así como de sus
conceptos duales, es decir, de sumideros cartesianos y topológicos. A continuación se presentan las definiciones de
estos conceptos.
Una fuente cartesiana o fuente en Set o Set-fuente es una pareja
F = (X, (fλ )Λ )
en la que X es un conjunto arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones
fλ : X → Xλ , λ ∈ Λ
con dominio común. En tal caso se dice que X es el dominio de la fuente F, que la clase de conjuntos (Xλ )Λ
es el codominio de la fuente F y que las funciones fλ son las flechas de la fuente F. Otras notaciones
empleadas para designar fuentes cartesianas son
F = (fλ : X → Xλ )Λ
y
f
λ
F= X→
Xλ
Λ
Un sumidero cartesiano o sumidero en Set o Set-sumidero es una pareja
S = ((fλ )Λ , X)
en la que X es un conjunto arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones
fλ : Xλ → X, λ ∈ Λ
con codominio común. En tal caso se dice que X es el codominio del sumidero S, que la clase de conjuntos
(Xλ )Λ es el dominio del sumidero S y que las funciones fλ son las flechas del sumidero S. Otras notaciones
empleadas para designar sumideros cartesianos son
S = (fλ : Xλ → X)Λ
y
f
λ
S = Xλ →
X
Λ
Una fuente topológica o fuente en Top o Top-fuente es una pareja
F = ((X, τ ) , (fλ )Λ )
en la que (X, τ) es un espacio topológico arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones continuas
fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ) , λ ∈ Λ
Al espacio (X, τ ) se le llama dominio de la fuente F, a la clase de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ codominio
de la fuente F y las funciones continuas fλ son las flechas de F. Otras notaciones empleadas para designar
fuentes topológicas son
F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ
1
y
fλ
F = (X, τ ) → (Xλ , τ λ )
Λ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
2
Un sumidero topológico o sumidero en Top o Top-sumidero es una pareja
S = ((fλ )Λ , (X, τ ))
en la que (X, τ) es un espacio topológico arbitrario y (fλ )Λ es una clase arbitraria de funciones continuas
fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ) , λ ∈ Λ
Al espacio (X, τ) se le llama codominio del sumidero S, a la clase de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ dominio
del sumidero S y las funciones continuas fλ son las flechas del sumidero S. Otras notaciones empleadas
para designar sumideros topológicos son
S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ
y
fλ
S = (Xλ , τ λ ) → (X, τ )
Λ
En las cuatro definiciones que siguen, así como en las dos proposiciones subsecuentes, se hablará de fuentes y de
sumideros a secas bajo el entendido de que se hace referencia a fuentes cartesianas y topológicas así como a sumideros
cartesianos y topológicos, simultaneamente.
(a) Se dice que una fuente F separa puntos si cualesquiera dos puntos distintos del dominio de F tienen
imágenes distintas bajo al menos una de las flechas de F.
(b) Se dice que un sumidero S cubre puntos si cualesquier punto del codominio de S tiene una preimagen bajo
al menos una de las flechas de S.
(a) Una fuente F = (fλ : X → Xλ )Λ es una monofuente si para ella se verifica la ley de la cancelación
izquierda, es decir, si siempre que dos funciones (continuas)
g, h : W → X
son tales que para toda λ ∈ Λ
fλ g = fλ h
entonces g = h.
(b) Un sumidero S = (fλ : Xλ → X)Λ es un episumidero si para él se verifica la ley de la cancelación derecha,
es decir, si siempre que dos funciones (continuas)
g, h : X → Y
son tales que para toda λ ∈ Λ
gfλ = hfλ
entonces g = h.
En [7] y en [13] se demuestra que:
(a) F es una fuente que separa puntos si, y sólo si, F es una monofuente.
(b) S es un sumidero que cubre puntos si, y sólo si, S es un episumidero.
(a) Cuando para los conjuntos Xλ , λ ∈ Λ, del codominio de una fuente cartesiana existen sendas topologías
τ λ , siempre es posible hallar una única topología τ para X, llamada inicial con respecto a (fλ )Λ y a (τ λ )Λ ,
con la cual, para toda λ ∈ Λ, la función
fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ )
es continua. Es la topología generada por la familia
γ = fλ−1 (U ) : λ ∈ Λ y Uλ ∈ τ λ
En tal situación se hablará de la fuente
F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ
como de una fuente inicial.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
3
(b) Cuando para los conjuntos Xλ , λ ∈ Λ, del dominio de un sumidero cartesiano
fλ
S = Xλ → X
Λ
existen sendas topologías τ λ , siempre es posible hallar una única topología τ para X, llamada final con respecto
a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ , con la cual, para toda λ ∈ Λ, la función
fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ)
es continua. Es la topología
τ = U ⊆ X : ∀λ ∈ Λ, fλ−1 (U ) ∈ τ λ
En tal situación se hablará del sumidero
S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ
como de un sumidero final.
Tanto en [7] como en [13] se caracteriza a las topologías inicial y final demostrando que:
fλ
Si F = (X, τ ) → (Xλ , τ λ )
Λ
es una Top-fuente arbitraria, entonces son equivalentes:
(a) τ es la topología inicial con respecto a (fλ )Λ y a (τ λ )Λ .
(b) τ tiene por subbase a γ ′ = fλ−1 (Uλ ) ⊆ X : λ ∈ Λ y Uλ ∈ γ λ , subbase de τ λ
(c) τ es tal que cada fλ es continua, y será continua toda función
g : (W, ω) → (X, τ)
tal que para toda λ ∈ Λ es continua la composición
fλ g : (W, ω) → (Xλ , τ λ )
Además, τ es la única topología para X que satisface esta propiedad.
(d) τ es la más pequeña de las topologías para X según las cuales, para toda λ ∈ Λ, fλ es continua.
f
λ
Si S = (Xλ , τ λ ) →
(X, τ )
Λ
es un Top-sumidero arbitrario, entonces son equivalentes:
(a) τ es la topología final con respecto a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ .
(b) τ es tal que cada fλ es continua, y será continua toda función
g : (X, τ ) → (Y, σ)
tal que para toda λ ∈ Λ es continua la composición
gfλ : (Xλ , τ λ ) → (Y, σ)
Además, τ es la única topología para X que satisface esta propiedad.
(c) τ es la más grande de las topologías para X según las cuales, para toda λ ∈ Λ, fλ es continua.
1.2.
Productos topológicos
Por los cursos de Topología General se sabe que la topología de Tychonoff para el producto
Xλ de la familia
λ∈Λ
de conjuntos subyacentes de una familia cualquiera de espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ está generada por la familia
γ=
Pλ−1 (U) ⊆
Xλ : λ ∈ Λ y U ∈ τ λ
λ∈Λ
donde Pλ denota a la λ-proyección
Pλ :
Xλ
→ Xλ
λ∈Λ
(xλ )Λ
→ xλ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
4
Como consecuencia del inciso (a) de 1.9 resulta que τ , la topología de Tychonoff, es la topología inicial para
Xλ
λ∈Λ
correspondiente a (Pλ )Λ y a (τ λ )Λ . Por consiguiente, la fuente topológica de λ-proyecciones
Pλ :
Xλ , τ
→ (Xλ , τ λ )
λ∈Λ
Λ
es un caso particular, muy importante, de fuente inicial. Como se prueba en [7] y en [13], a esta fuente la caracteriza
una propiedad universal: la llamada propiedad universal del producto topológico.
Se dice que una fuente en Top
F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ
tiene la propiedad universal del producto topológico si para cualquier otra fuente topológica G con el
mismo codominio que F
G = (gλ : (W, ω) → (Xλ , τ λ ))Λ
existe una única función continua
g : (W, ω) → (X, τ )
tal que, para toda λ ∈ Λ,
fλ g = gλ
En los textos citados se demuestra que:
Al darle a
Xλ la topología de Tychonoff, τ , la fuente topológica de λ-proyecciones
λ∈Λ
Pλ :
→ (Xλ , τ λ )
Xλ , τ
λ∈Λ
Λ
tiene la propiedad universal del producto topológico.
Salvo homeomorfismos, el dominio de una fuente de codominio (Xλ , τ λ )Λ con la propiedad universal del producto topológico es único. Es decir, que entre los dominios de cualesquiera dos Top-fuentes
(fλ : (Y, σ) → (Xλ , τ λ ))Λ
y
(gλ : (Z, ρ) → (Xλ , τ λ ))Λ
que tengan la propiedad universal del producto topológico existe un homeomorfismo
h : (Y, σ) → (Z, ρ)
De aquí que si
F = (fλ : (X, τ ) → (Xλ , τ λ ))Λ
tiene la propiedad universal del producto topológico, se diga que (X, τ ) es un producto topológico de la familia
(Xλ , τ λ )Λ con λ-proyecciones fλ .
(Xλ , τ λ ) siempre es una monofuente.
Proposición 1.1
λ∈Λ
1.2.1.
Producto de funciones
Otro concepto cuyo dual será más adelante de gran utilidad es el de producto de funciones.
Sean (Xλ )Λ y (Yλ )Λ dos familias de subconjuntos de X y de Y , respectivamente. Supóngase que para toda
λ ∈ Λ existe una función
fλ : Xλ → Yλ
Considérense las λ-proyecciones
pλ :
Xλ → Xλ
λ∈Λ
y
qλ :
Yλ → Yλ
λ∈Λ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
5
así como la composición
Xλ → Yλ
fλ pλ :
λ∈Λ
Puesto que (qλ )Λ tiene la propiedad universal del producto cartesiano, existe una única función
Xλ →
Πfλ :
λ∈Λ
Yλ
λ∈Λ
tal que para toda λ ∈ Λ
qλ Πfλ = fλ pλ
A la función Πfλ se le da el nombre de producto cartesiano de la familia de funciones (fλ )Λ .
1.3.
Coproductos cartesianos y topológicos
Definición 1.1 Sean, (Xλ )Λ una familia de conjuntos y S = (fλ : Xλ → X)Λ cualquier Set-sumidero de dominio
(Xλ )Λ . Se dice que S tiene la propiedad universal del coproducto cartesiano si para cualquier otro Setsumidero T con el mismo dominio que S
T = (gλ : Xλ → Y )Λ
existe una única función
g:X →Y
tal que, para toda λ ∈ Λ,
gfλ = gλ
En tal caso se dice que X es un coproducto cartesiano de la familia (Xλ )Λ . Los conjuntos Xλ son los cofactores
del coproducto y las funciones fλ son las coproyecciones del mismo. Para designar al coproducto cartesiano de
(Xλ )Λ se empleará la notación
Xλ
λ∈Λ
Definición 1.2 Sean, (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos y S = (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ cualquier Topsumidero de dominio (Xλ , τ λ )Λ . Se dice que S tiene la propiedad universal del coproducto topológico si para
cualquier otro Top-sumidero T con el mismo dominio que S
T = (gλ : (Xλ , τ λ ) → (Y, σ))Λ
existe una única función continua
g : (X, τ ) → (Y, σ)
tal que, para toda λ ∈ Λ,
gfλ = gλ
En tal caso se dice que (X, τ) es un coproducto topológico de la familia (Xλ , τ λ )Λ . Los espacios topológicos
(Xλ , τ λ ) son los cofactores del coproducto topológico y las funciones continuas fλ son las coproyecciones del
mismo. Para designar al coproducto topológico de (Xλ , τ λ )Λ se empleará la notación
(Xλ , τ λ )
λ∈Λ
Cuando se hable de coproducto o de sumidero a secas, se estará pensando cualquiera de los dos casos: cartesiano
o topológico.
Ejemplo 1.1 Una biyección f1 : X1 → X es un coproducto cartesiano.
En efecto, si f1′ : X1 → X ′ es cualquier función de dominio X1 y f : X → X ′ es la función f = f1′ f1−1 , entonces
ff1 = f1′ f1−1 f1 = f1′ f1−1 f1 = f1′
Y si g : X → X ′ es tal que gf1 = f1′ , entonces g = f1′ f1−1 , es decir, g = f . Por lo tanto, f es única.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
6
Ejemplo 1.2 Un homeomorfismo f1 : (X1 , τ 1 ) → (X, τ ) es un coproducto topológico.
El resultado que sigue se refiere a la esencial unicidad del coproducto cartesiano (topológico).
Teorema 1.1 El coproducto cartesiano (topológico) es único salvo biyecciones (homeomorfismos). Es decir, si
(fλ : Xλ → X)Λ
(fλ′ : Xλ → X ′ )Λ
y
son dos coproductos de la misma familia (Xλ )Λ , entonces existe una biyección (homeomorfismo) h : X → X ′ tal que,
para toda λ ∈ Λ,
hfλ = fλ′
Y, recíprocamente, si (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto de (Xλ )Λ y h : X → X ′ es una biyección (homeomorfismo)
cualquiera; entonces
(hfλ : Xλ → X ′ )Λ
también es un coproducto de (Xλ )Λ .
Demostración 1 Por definición de coproducto existen funciones (continuas)
f′
f
X → X′ → X
tales que para cada λ ∈ Λ
ffλ = fλ′
y
(f ′ f) fλ = f ′ (f fλ ) = f ′ fλ′ = fλ
y
f ′ fλ′ = fλ
Entonces
(ff ′ ) fλ′ = f (f ′ fλ′ ) = ffλ = fλ′
Pero dado que X y X ′ son coproductos, 1X y 1X ′ son las únicas funciones (continuas) para las cuales se tiene que
Xλ
Xλ
fλ ւ
ց fλ
→
X
1X
X′
X
fλ′ ւ
ց fλ′
→
1X ′
X′
Por lo tanto
f ′ f = 1X
y
ff ′ = 1X ′
Por lo tanto, f y f ′ son biyecciones (continuas) mutuamente inversas, lo cual demuestra la primera parte del teorema.
Recíprocamente, sean (fλ : Xλ → X)Λ un coproducto de (Xλ )Λ y h : X → X ′ es una biyección (homeomorfismo)
cualesquiera. Sea (fλ′ : Xλ → X ′′ )Λ cualquier sumidero; como X es un coproducto de (Xλ )Λ , existe una única función
(continua) f : X → X ′′ tal que ffλ = fλ′ . Considérese la función inversa h−1 : X ′ → X y hágase f ′ = f h−1 ; entonces
f ′ (hfλ ) = (f ′ h) fλ = fh−1 h fλ = f h−1 h fλ = ffλ = fλ′
Y si g : X ′ → X ′′ es una función (continua) tal que, para toda λ ∈ Λ, g (hfλ ) = fλ′ , entonces (gh) fλ = fλ′ ; por
consiguiente, gh = f y g = f h−1 = f ′ , es decir, f ′ es única. Esto demuestra que
(hfλ : Xλ → X ′ )Λ
es un coproducto de (Xλ )Λ .
(Xλ , τ λ ) siempre es un episumidero.
Proposición 1.2
λ∈Λ
Demostración 2 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia arbitraria de espacios topológicos y sea
fλ
S = (Xλ , τ λ ) → (X, τ )
un coproducto de (Xλ , τ λ )Λ . Si
h, k : (X, τ ) → (Y, σ)
Λ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
7
son funciones continuas tales que para toda λ ∈ Λ, hfλ = kfλ , entonces puede considerarse el sumidero de funciones
continuas
hfλ
S = (Xλ , τ λ ) → (Y, σ)
Λ
Puesto que S posee la propiedad universal del coproducto topológico, existe una uúnica función continua
f : (X, τ ) → (Y, σ)
tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = hfλ . Puesto que aquí tanto f = h como f = k satisfacen la igualdad anterior,
entonces la unicidad de f implica que h = k. Esto prueba que S es un episumidero.
Teorema 1.2 Sea (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ un Top-sumidero arbitrario; son equivalentes:
(a) (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ es un coproducto topológico.
(b) (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto cartesiano y τ es la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a
(fλ )Λ .
Demostración 3 (a)⇒(b) Sea (fλ′ : Xλ → X ′ )Λ un Set-sumidero arbitrario y sea τ ′ la topología indiscreta para X ′ ;
entonces
(fλ′ : (Xλ , τ λ ) → (X ′ , τ ′ ))Λ
es un Top-sumidero; por (a) existe una, y sólo una, función continua
f : (X, τ ) → (X ′ , τ ′ )
tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ′ . Si g : X → X ′ fuera otra función tal que, para toda λ ∈ Λ, gfλ = fλ′ , entonces
g : (X, τ) → (X ′ , τ ′ )
sería continua y, por lo tanto, coincidiría con f . Esto prueba que (fλ : Xλ → X)Λ es un coproducto cartesiano.
Ahora sea ξ la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ . Entonces, para toda λ ∈ Λ, es continua
fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, ξ)
lo que hace de
(fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, ξ))Λ
un sumidero de funciones continuas. Puesto que
(fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ
tiene la propiedad universal del coproducto topológico, existe una única función continua
f : (X, τ) → (X, ξ)
tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ . Obviamente, para toda λ ∈ Λ, 1X fλ = fλ . Por ser (fλ : Xλ → X)Λ un coproducto
cartesiano, resulta f = 1X . Por lo tanto,
1X : (X, τ ) → (X, ξ)
de donde resulta que
ξ⊆τ
Pero la topología final es la más grande de las topologías para X que hacen continuas a las fλ ; por consiguiente
τ ⊆ξ
Esto demuestra que τ es la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ .
(b)⇒(a) Sea
(fλ′ : (Xλ , τ λ ) → (X ′ , τ ′ ))Λ
cualquier Top-sumidero; por (b) existe una única función
f : X → X′
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
8
tal que, para toda λ ∈ Λ, f fλ = fλ′ . Entonces cada composición
fλ
f
(Xλ , τ λ ) → (X, τ ) → (X ′ , τ ′ )
es continua, y como τ es final para X con respecto a (τ λ )Λ y a (fλ )Λ , resulta que también
f : (X, τ ) → (X ′ , τ ′ )
es continua. Por lo tanto, (fλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ))Λ es un coproducto topológico, como se quería demostrar.
Definición 1.3 Sea (Xλ )Λ una familia de conjuntos tal que para cualesquiera λ, λ′ ∈ Λ se tiene que
λ = λ′ ⇒ Xλ ∩ Xλ′ = ∅
Entonces:
(a) La suma ajena de la familia de conjuntos (Xλ )Λ es, simplemente,
Xλ .
λ∈Λ
(b) Si para cada λ ∈ Λ es τ λ una topología para Xλ , la suma ajena topológica de la familia de espacios
topológicos (Xλ , τ λ )Λ es un espacio topológico (X, τ ) cuyo conjunto subyacente X es
Xλ y cuya topología τ es
λ∈Λ
tal que, para toda λ ∈ Λ, Xλ ∈ τ, y que restringida a Xλ coincide con τ λ .
Lema 1.1 Sean, (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos,
X=
Xλ , U ⊆ X y τ una topología para X tal que, para toda λ ∈ Λ,
λ∈Λ
1.1 Xλ ∈ τ
1.2 τ |Xλ = τ λ
Entonces, para toda λ ∈ Λ, se tiene que
U ∈ τ ⇔ U ∩ Xλ ∈ τ λ
Demostración 4 Si U ∈ τ , entonces para toda λ ∈ Λ,
U ∩ Xλ ∈ τ |Xλ
Y puesto que, para toda λ ∈ Λ, τ |Xλ = τ λ , resulta que
U ∩ Xλ ∈ τ λ
Recíprocamente, puesto que
τ λ = τ |Xλ = {V ∩ Xλ : V ∈ τ }
si para toda λ ∈ Λ, U ∩ Xλ ∈ τ λ , entonces para toda λ ∈ Λ existe Wλ ∈ τ tal que
U ∩ Xλ = Wλ ∩ Xλ
de donde, uniendo sobre λ, se tiene:
(U ∩ Xλ ) =
λ∈Λ
(Wλ ∩ Xλ )
λ∈Λ
Pero
(U ∩ Xλ ) = U ∩
λ∈Λ
Xλ
λ∈Λ
así que
(Wλ ∩ Xλ )
U=
λ∈Λ
y como para toda λ ∈ Λ, Xλ ∈ τ λ , resulta
(Wλ ∩ Xλ ) ∈ τ
λ∈Λ
∴U ∈τ
=U
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
9
Proposición 1.3 Si (Xλ , τ λ )Λ es una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a
dos y existe una topología τ para
Xλ tal que, para toda λ ∈ Λ,
λ∈Λ
1.3 Xλ ∈ τ
1.4 τ |Xλ = τ λ
entonces tal tal topología es única.
Demostración 5 Supóngase que también τ ′ es una topología para
Xλ tal que, para toda λ ∈ Λ,
λ∈Λ
Xλ ∈ τ
y
τ |Xλ = τ λ
Entonces, tanto para τ como para τ ′ es válido el lema anterior, de modo que, para toda λ ∈ Λ, se tiene:
U ∈ τ ⇔ U ∩ Xλ ∈ τ λ ⇔ U ∈ τ ′
∴ τ = τ′
Lema 1.2 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a dos y sea
(X, τ ) la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ . Entonces, τ es la topología final para X correspondiente a
(τ λ )Λ y a la familia de inclusiones (ιλ : Xλ ֒→ X)Λ .
Demostración 6 Considérese la topología final para X correspondiente a (τ λ )Λ y a (ιλ )Λ
τ ′ = U ⊆ X : ∀λ ∈ Λ, ι−1
λ (U) ∈ τ λ
Para toda λ ∈ Λ, es claro que Xλ ∈ τ ′ . Sea U ∈ τ ′ ; entonces, para toda λ ∈ Λ, se tiene:
U ∩ Xλ ∈ τ λ
o sea que, para toda λ ∈ Λ,
τ ′ |Xλ ⊆ τ λ
Por otra parte, si V ∈ τ λ , entonces
V ⊆X
V ∩ Xλ′ =
y
V , si λ′ = λ
∅, si λ′ = λ
es decir, para toda λ′ ∈ Λ,
′
ι−1
λ′ (V ) ∈ τ λ
lo que significa que V ∈ τ ′ . Por lo tanto, V ∩ Xλ ∈ τ ′ |Xλ ; pero V ∩ Xλ = V . Luego, para toda λ ∈ Λ,
τ λ ⊆ τ ′ |Xλ
Por lo tanto, τ ′ es una topología para X tal que, para toda λ ∈ Λ,
Xλ ∈ τ ′
y
τ ′ |Xλ = τ λ
Por la proposición anterior, una topología para X con estas propiedades es única; por lo tanto, τ ′ = τ .
Proposición 1.4 Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia de espacios topológicos cuyos conjuntos subyacentes son ajenos dos a
dos. Si (X, τ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ , entonces cada inclusión
ιλ : (Xλ , τ λ ) ֒→ (X, τ)
es abierta, es cerrada y
τ λ = ι−1
λ (U ) : U ∈ τ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
10
Demostración 7 Si (X, τ ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ , entonces cada inclusión es continua
e inyectiva y
′
τ = U ⊆ X : ∀λ′ ∈ Λ, ι−1
λ′ (U ) ∈ τ λ
Sean, V ∈ τ λ y λ′ ∈ Λ, arbitrarias. Entonces,
∅, si λ′ = λ
′
; ∴ ι−1
λ′ (ιλ (V )) ∈ τ λ
V , si λ′ = λ
′
′
ι−1
λ′ (ιλ (V )) = Xλ ∩ ιλ (V ) = Xλ ∩ V =
Esto demuestra que ιλ (V ) ∈ τ, es decir, que ιλ es abierta. De aquí que, si C ⊆ Xλ es cerrado, se tenga
ιλ (Xλ − C) ∈ τ
Entonces,
Xλ − C ∈ τ
Puesto que, para toda λ′ = λ, Xλ′ ∈ τ, también
∪ Xλ′
λ′ =λ
∪ (Xλ − C) ∈ τ
Consecuentemente
X−
∪ Xλ′
λ′ =λ
∪ (Xλ − C)
es cerrado en (X, τ ). Pero
X−
∪ Xλ′
λ′ =λ
∪ (Xλ − C) = Xλ ∩ [X − (Xλ − C)] = Xλ ∩
∪ Xλ′
λ′ =λ
∪C = C
Esto demuestra que ιλ es cerrada. Finalmente, puesto que (X, τ ) es la suma ajena topológica de la familia (Xλ , τ λ )Λ ,
entonces τ λ = τ |Xλ ; de aquí que
τ λ = {U ∩ Xλ : U ∈ τ } = ι−1
λ (U ) : U ∈ τ
Definición 1.4 Sea (Xλ )Λ cualquier familia de conjuntos donde hay varios miembros con elementos comunes. Para
toda λ ∈ Λ se define
Xλ′ = {(x, λ) : x ∈ Xλ }
y una función
Xλ
x
h
λ
→
Xλ′
→ (x, λ)
Entonces:
1. La suma ajena de (Xλ )Λ es
Xλ′
λ∈Λ
Notación:
Xλ
λ∈Λ
2. Si, para toda λ ∈ Λ, Xλ está topologizado por τ λ , entonces la suma ajena topológica de la familia de
espacios topológicos (Xλ , τ λ )Λ es la suma ajena topológica de la familia de espacios topológicos (Xλ′ , τ ′λ )Λ ,
donde τ ′λ es tal que, para toda λ ∈ Λ,
hλ : (Xλ , τ λ ) → (Xλ′ , τ ′λ )
resulte un homeomorfismo; es decir, para toda λ ∈ Λ,
τ ′λ = {h (W ) : W ∈ τ λ }
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Notación:
11
(Xλ , τ λ )
λ∈Λ
Observación 1.1 A consecuencia del lema anterior,
(Xλ , τ λ ) es un espacio cuyo conjunto subyacente es
λ∈Λ
Xλ := ∪ X
λ∈Λ
y cuya topología es final respecto al sumidero de composiciones
(Xλ , τ λ )
hλ
ι′
(Xλ′ , τ ′λ ) λ
Xλ
−→
֒→ λ∈Λ
Λ
Descripción de los coproductos cartesianos y topológicos.
Sea (Xλ )Λ una familia arbitraria de conjuntos.
1. Si los miembros de la familia no tienen puntos en común, entonces su coproducto cartesiano es el sumidero de
inclusiones:
ιλ : Xλ → ∪ Xλ
λ∈Λ
Λ
2. En el caso restante, el coproducto cartesiano es el sumidero de composiciones:
Xλ
Notación:
hλ
ι′
Xλ′ λ
Xλ
−→
֒→ λ∈Λ
Λ
Xλ
λ∈Λ
Sea (Xλ , τ λ )Λ una familia arbitraria de espacios topológicos.
1. Si los miembros de la familia no tienen puntos en común, entonces un coproducto topológico suyo es el sumidero
de inclusiones:
(ιλ : (Xλ , τ λ ) → (X, τ ))Λ
donde (X, τ ) es la suma ajena topológica de (Xλ , τ λ )Λ .
2. En el caso restante, el coproducto topológico es el sumidero de composiciones:
(Xλ , τ λ )
Notación:
hλ
ι′
(Xλ′ , τ ′λ ) λ
(Xλ , τ λ )
−→
֒→ λ∈Λ
Λ
(Xλ , τ λ )
λ∈Λ
Coproducto de funciones.
El concepto dual correspondiente al de producto de una familia de funciones continuas es el siguiente.
Definición 1.5 Sea
(fλ : (Xλ , τ λ ) → (Yλ , σ λ ))Λ
cualquier familia de funciones continuas.
Si cada familia de conjuntos (Xλ )Λ y (Yλ )Λ consta de elementos ajenos dos a dos, entonces el coproducto de
(fλ )Λ es la única función continua, denotada por ∐fλ , que para toda λ ∈ Λ hace conmutar al diagrama:
(Xλ , τ λ )
ιλ
֒→
fλ ↓
(Yλ , σλ )
donde
∪ Xλ , τ
λ∈Λ
y
∪ Yλ , σ
λ∈Λ
∪ Xλ , τ
λ∈Λ
↓ ∐fλ
֒→
λ
∪ Yλ , σ
λ∈Λ
son las sumas ajenas topológicas de (Xλ , τ λ )Λ y de (Yλ , σ λ )Λ , respecti-
vamente. Debido a la conmutatividad del diagrama correspondiente a λ′ ∈ Λ se tiene que, para cualquier
xλ′ ∈ ∪ Xλ :
λ∈Λ
∐fλ (xλ′ ) = ∐fλ ◦ ιλ′ (xλ′ ) = λ′ ◦ fλ′ (xλ′ ) = fλ′ (xλ′ )
λ∈Λ
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
12
Si (Xλ )Λ o (Yλ )Λ constan de miembros con elementos en común, entonces el coproducto de (fλ )Λ es la única
función continua, denotada por ∐fλ , que para toda λ ∈ Λ hace conmutar al diagrama:
(Xλ , τ λ )
ι′λ hλ
−→
Xλ , τ
λ∈Λ
fλ ↓
↓ ∐fλ
(Yλ , σλ )
donde
Xλ , τ
λ∈Λ
y
Yλ , σ
λ∈Λ
−→
′λ kλ
Yλ , σ
λ∈Λ
son las sumas ajenas topológicas de (Xλ , τ λ )Λ y de (Yλ , σ λ )Λ , respecti-
vamente. Debido a la conmutatividad del diagrama correspondiente a λ′ ∈ Λ se tiene que, para cualquier
xλ′ , λ′ ∈ ∪ Xλ′ :
λ∈Λ
∐fλ xλ′ , λ′ = ∐fλ ◦ ιλ′ hλ′ (xλ′ ) = λ′ kλ′ ◦ fλ′ (xλ′ ) = fλ′ (xλ′ ) , λ′
lo cual completa la descripción de ∐fλ .
1.3.1.
Otros conceptos preliminares
Finaliza este capítulo con la presentación de otros conceptos que se requerirán a lo largo de este estudio.
Definición 1.6 Una retracción en Top es cualquier función continua que posea una inversa derecha continua; es
decir, es una función continua
r : (X, τ ) → (Y, σ)
para la cual existe
s : (Y, σ) → (X, τ )
continua y tal que
rs = 1(Y,σ)
Definición 1.7 Una sección en Top es cualquier función continua que posea una inversa izquierda continua; es
decir, es una función continua
s : (Y, σ) → (X, τ )
para la cual existe
r : (X, τ ) → (Y, σ)
continua y tal que
rs = 1(Y,σ)
Observación 1.2 f es un homeomorfismo si, y sólo si, es sección y retracción al mismo tiempo.
Definición 1.8 Una inmersión es una función continua e inyectiva
f : (X, τ ) → (Y, σ)
tal que τ es inicial respecto a f y σ.
Definición 1.9 Un cociente es una función continua e inyectiva
f : (X, τ ) → (Y, σ)
tal que σ es final respecto a τ y f .
Observación 1.3 f es un homeomorfismo si, y sólo si, es inmersión y cociente al mismo tiempo.
Observación 1.4 Toda sección es inmersión.
Observación 1.5 Toda retracción es un cociente.