tablas y gráficos para el diseño de vigas y columnas sometidas a

TABLAS Y GRÁFICOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS Y
COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA Y
OBLICUA, DE ACUERDO AL PROYECTO CIRSOC 201-2002
Ing. Susana B. Gea, Dra. Ing. Liz G. Nallim
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta.
Salta, Argentina
RESUMEN
La próxima puesta en vigencia de la actualización del Reglamento
Argentino de Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, afín con la línea americana
de diseño por resistencia con factores de reducción de resistencia variables y de
incremento de cargas, requiere de ayudas de cálculo adecuadas.
En el presente trabajo se muestra cómo, a través de los posibles
diagramas de deformación en rotura y las ecuaciones de equivalencia y
empleando la hipótesis de diagrama uniforme de tensiones en el hormigón, se
obtuvo en forma exacta los siguientes elementos para el diseño y verificación de
secciones de hormigón armado: tablas adimensionales para vigas sometidas a
flexión compuesta recta, con armadura simple y doble asimétrica; diagramas de
interacción para elementos con armadura doble simétrica sometidos a flexión
compuesta recta y elementos comprimidos solicitados por flexión compuesta
oblicua.
Se incluye dichas tablas y diagramas, para diferentes calidades de
hormigón y acero y variadas configuraciones de sección transversal y de armado.
ABSTRACT
Since the Argentine code for reinforced concrete structures, CIRSOC 201,
is soon going to be updated according to the American Strength Design Method,
new adequate design aids are to be needed.
In this paper design aid tables and diagrams are developed in an exact way
by means of the possible strain diagrams in failure, the equivalence equations and
the rectangular compression diagram for concrete. Adimensional tables for axial
load and bending in beams with both simple and non symmetric double
reinforcing, interaction diagrams for uniaxial bending loaded members
symmetrically reinforced and for biaxial bended, axially loaded columns are
presented, each one for different concrete and steel strengths and different
rectangular sections and reinforcing distribution.
1. INTRODUCCIÓN
Se encuentra próximo a entrar en vigencia en Argentina el Reglamento de
Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, el cual adopta como base la escuela
americana, el ACI 318-2002. Este, a su vez, tiene entre sus características más
innovadoras, respecto de la versión 1999, la incorporación de un coeficiente de
seguridad variable en el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta,
según se detalla en el Capítulo 2.
A partir de este cambio, las ayudas de cálculo existentes, como por
ejemplo las desarrolladas en ACI, 19971, pierden utilidad, siendo necesario el
desarrollo de nuevas tablas y gráficos que contemplen la variabilidad de dicho
coeficiente de seguridad.
2. SEGURIDAD ESTRUCTURAL
Llamaremos Qd a las cargas de servicio especificadas, U a la resistencia
requerida y Sn a la resistencia nominal del elemento estructural.
Los coeficientes de seguridad parciales son denominados factores de
reducción de resistencia, φ, y factores de mayoración de cargas, γi, conformando
el método de diseño con factores de carga y resistencia.
La seguridad estructural está garantizada si se cumple:
Sd ≥ U,
(1)
con:
Sd = resistencia de diseño
Sd = φ . Sn
(2)
U = Σ γi . Qdi
(3)
La resistencia requerida U se expresa en términos de cargas mayoradas, o
de los momentos y fuerzas internas correspondientes.
Factores de Carga, γi.
Los factores de carga γi corresponden a carga permanente (γD), sobrecarga
accidental (γL), presión lateral de tierra (γH), peso y presión de fluido (γF), viento
(γw) y sismos (γE) y difieren en magnitud.
Además, estos factores toman diferentes valores según la combinación de
cargas que se adopte y la probabilidad de que estas actúen simultáneamente, de
acuerdo al capítulo 9.2 de CIRSOC 201.
Factores de Reducción de Resistencia, φ
Los factores de reducción tienen en cuenta las inexactitudes en el cálculo y
fluctuaciones en resistencias, mano de obra y dimensiones.
Los factores de reducción de resistencia incluyen la importancia de las
consecuencias de la falla de los elementos respecto a toda la estructura y el tipo
de falla. Esto último se refiere al grado de advertencia que presenta la misma, lo
cual a su vez, está relacionado con la ductilidad y esta a su vez depende de la
deformación a la que esté sometido el acero en la fibra más alejada del eje
neutro, εt.
Solicitación
Secciones controladas por tracción
Secciones controladas por compresión:
Elementos con armadura en espiral que satisface lo
especificado en 10.9.3
Otros elementos armados
Corte y torsión
Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje
de postesado)
Zonas de anclaje de postesado
Modelos de bielas (Apéndice A)
φ
0,90
0,70
0,65
0,75
0,65
0,85
0,75
Tabla 1 – Factores de reducción de resistencia φ2
Se dice que una sección está controlada por tracción cuando εt ≥ 0.005
(considerando siempre la deformación del hormigón εcu = 0.003).
Las secciones controladas por compresión son aquellas para las cuales
εt < εy. Para los aceros con tensión especificada de fluencia fy = 420 MPa, el límite
es εy = 0.002.
Para valores intermedios de εt se considera que la sección se encuentra en
zona de transición.
φ = 0,57 + 67 εt
0.90
φ
φ = 0,48 + 83 εt
Espiral
0.70
0.65
Otra
Controlada
por Compresión
εt= 0,002
Transición
Controlada
por Tracción
εt= 0,005
Figura 1 – Variación de φ con la tensión de tracción de la armadura más alejada
del eje neutro, εt2
El reglamento permite que el valor de φ se incremente linealmente desde el
valor dado para las secciones controladas por compresión hasta el valor dado
para las secciones controladas por tracción (Tabla 1 y Figura 1).
3. HIPÓTESIS PARA EL CÁLCULO EN FLEXIÓN COMPUESTA
Para el cálculo de secciones sometidas a flexión compuesta se considera
las siguientes hipótesis:
1. Se cumple la hipótesis de Bernoulli; es decir, las secciones se mantienen
planas hasta la rotura. Así, las deformaciones en acero y hormigón son
proporcionales a la distancia al eje neutro. (Figura 2)
2.
b
d'
εs'
c - d'
Nu
h
Mu
×
x
εcu
c
d
d-c
d'
εt
Figura 2 – Nomenclatura y deformaciones en una sección sometida a
flexión compuesta
3. La máxima deformación utilizable en la fibra comprimida extrema del
hormigón en flexión compuesta se asume igual a εc = 0,003.
4. La tensión en la armadura fs por debajo de la tensión de fluencia fy se toma
como el producto del módulo elástico del acero Es por la deformación
específica del acero εt. Para deformaciones específicas mayores que fy/Es ,
la tensión en la armadura se considera independiente de la deformación e
igual a fy.
5. En el diseño de los elementos de hormigón armado solicitados a flexión se
desprecia la resistencia a la tracción del hormigón.
6. Se puede suponer un bloque rectangular de tensiones equivalente en el
hormigón, como se muestra esquemáticamente en la Figura 3 (Ver también
Tabla 2)
0.85f'c
βc
c
a/2
a = β1 c
C = 0.85 f'c ba
C =α f'c bc
T = A fs
T = A fs
Figura 3 – Distribución rectangular equivalente de tensiones en el hormigón
f’c
β1
Valores de β1
> 30 MPa
≤ 30 Mpa
= 0.85 −
0.85
(
)
0.05 fc` − 30
≥ 0.65
7
Tabla 2 – Valores de β1 en función de la resistencia especificada del hormigón2
4. TABLAS PARA EL DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN
COMPUESTA RECTA, CON ARMADURA ASIMÉTRICA
Sea una sección como la que se indica en la Figura 4, sometida a flexión
compuesta, donde Mn y Nn son los esfuerzos nominales.
εcu =0.003
Mun
c
Nun
at
0.85 f'c
C = 0.85 f'c ba
z
d
ys
d'
εs
T
Figura 4 – Esquema de resistencia nominal de secciones sometidas a flexión
compuesta
Las resultantes de las fuerzas internas desarrolladas en el hormigón y el acero
están dadas por:
T = As fy
(4)
C = 0.85 f’c a b
(5)
Con
a = β1c
(6)
La posición del eje neutro queda determinada por el diagrama de
deformaciones a través de la siguiente expresión:
c=
0.003
d = kcd
0.003 + ε t
(7)
La resistencia nominal a flexión compuesta está dada por:
Msn = Mn - Nn . ys = C.z = T.z
(8)
Nn = T – C
(9)
De las condiciones de seguridad U ≤ φ Sn se derivan las expresiones siguientes:
- Equivalencia estática de fuerzas
Nu = φ (As fy – 0.85 f’c β1 kc d b)
(10)
- Equivalencia estática de momentos
Msu = φ 0.85 fc' β1 k c b d2 (1-
β1 kc
)
2
(11)
A fin de dar una solución universal, independiente de los valores
particulares de b y d, se adimensionaliza la ecuación (11)
msu =
Msu
b ⋅ d2 ⋅ f ´ c
(12)
Reemplazando la ec. (11) en (12) se obtiene:
 β ⋅k 
msu = 0.85 ⋅ φ ⋅ β1 ⋅ k c 1 − 1 c 
2 

(13)
Es importante notar que, a pesar de que msu no depende directamente de
f´c, sí lo hace a través de β1.
Debido a que kc depende de εt, al igual que φ, si se fija un tipo de hormigón
queda determinado β1 y se tiene para cada εt un valor de kc y su correspondiente
msu.
El valor de la armadura se obtiene despejando As de la ec. (10):
As =
0.85fc' β1k c
Nu
⋅d⋅b +
fy
φ ⋅ fy
(14)
Para una sección y una resistencia f´c dadas resulta:
As = ks ⋅ d ⋅ b +
Nu
φ ⋅ fy
(15)
siendo:
ks =
0.85fc' β1k c
fy
(16)
A cada valor de εt le corresponde un valor de φ, uno de msu y uno de ks
Con esto se construye una tabla (Tabla 3) que tiene validez para acero
ADN-420 (lo mismo se efectuó para AM-500).
CIRSOC 201, en el cap. 10.3.5, especifica que la deformación neta de
tracción, εt, para la resistencia nominal en flexión debe ser mayor o igual que
0.004 para los elementos no pretensados con Nd < 0.1 f’c Ag (Ag = área transversal
bruta). Por ello, en los casos en que msu resulta en una deformación del acero
menor que 0.004 se prefiere colocar doble armadura asimétrica. La resolución de
estas situaciones se puede realizar con las expresiones presentadas al pie de la
Tabla 3.
EJEMPLO
Determinar la armadura necesaria para resistir las solicitaciones que se indican:
h=60cm
d=55cm
Mu
Nu
ys
f’c = 25 MPa
Mu = 200KNm
Nu = 0.1 KN
d´=5cm
b=30cm
Resolución:
ys= 60/2 – 5 = 25 cm
Msu = 200 KNm – 100 KN x 0.25 m = 175 KNm = 0.175 MNm
m su =
0.175
= 0.077
0.3 ⋅ 0.55 2 ⋅ 25
Para un hormigón H-25 y msu = 0.077 (sin interpolar se toma msu = 0.08) se
obtiene de Tabla 3: ks=56 y φ= 0.9, correspondiendo a εt = 0.02, con lo que
resulta:
A s = 56 ⋅ 0.3 ⋅ 0.55 +
0.1
= 11.9cm2
0.9 ⋅ 0.042
ACERO fy = 420 MPa
ARMADURA SIMPLE
Msu = Mu - Nu ys
f'c [Mpa]
β1
ρmín [%]
m suc
m su*
m su =
A s = k s ⋅ b [m ] ⋅ d[m ] +
M su
b ⋅ d 2 ⋅ f 'c
20
0,85
0,266
25
0,85
0,298
N u [MN ]
= cm 2
φ ⋅ 0 . 042
[ ]
35
30
0,85
0,326
40
0,77
0,376
0,81
0,352
msu
ks
m su
ks
m su
ks
msu
ks
m su
ks
0,040
0,044
0,050
0,057
0,066
0,080
0,101
0,135
0,138
0,140
0,143
0,145
0,148
0,151
0,154
0,157
0,160
0,163
0,167
0,170
0,174
0,178
0,182
0,186
0,190
0,195
0,200
0,205
0,204
0,205
0,205
0,206
0,207
0,207
0,208
0,209
0,223
0,238
0,254
22
24
27
31
37
45
57
79
81
83
84
86
88
90
92
94
96
98
101
103
106
109
112
115
118
121
125
129
133
138
142
147
159
172
188
206
306
516
1180
0,040
0,044
0,050
0,057
0,066
0,080
0,101
0,135
0,138
0,140
0,143
0,145
0,148
0,151
0,154
0,157
0,160
0,163
0,167
0,170
0,174
0,178
0,182
0,186
0,190
0,195
0,200
0,205
0,204
0,205
0,205
0,206
0,207
0,207
0,208
0,209
0,223
0,238
0,254
27
30
34
39
46
56
72
99
101
103
105
108
110
112
115
117
120
123
126
129
132
136
139
143
147
152
156
161
166
172
178
184
198
215
235
258
382
645
1474
0,040
0,044
0,050
0,057
0,066
0,080
0,101
0,135
0,138
0,140
0,143
0,145
0,148
0,151
0,154
0,157
0,160
0,163
0,167
0,170
0,174
0,178
0,182
0,186
0,190
0,195
0,200
0,205
0,204
0,205
0,205
0,206
0,207
0,207
0,208
0,209
0,223
0,238
0,254
32
36
41
47
55
67
86
119
121
124
126
129
132
135
138
141
144
147
151
155
159
163
167
172
177
182
188
194
200
206
214
221
238
258
281
310
459
774
1769
0,038
0,042
0,047
0,054
0,064
0,077
0,096
0,130
0,132
0,134
0,137
0,139
0,142
0,145
0,147
0,150
0,153
0,157
0,160
0,163
0,167
0,171
0,175
0,179
0,183
0,187
0,192
0,197
0,196
0,197
0,197
0,198
0,199
0,200
0,201
0,202
0,216
0,232
0,249
36
40
45
52
61
75
96
132
135
138
141
143
146
150
153
156
160
164
168
172
177
181
186
191
197
203
209
215
222
230
237
246
265
287
313
344
510
861
1967
0,036
0,040
0,045
0,052
0,061
0,073
0,092
0,124
0,126
0,128
0,131
0,133
0,136
0,138
0,141
0,144
0,147
0,150
0,153
0,156
0,160
0,163
0,167
0,171
0,175
0,180
0,184
0,189
0,188
0,189
0,190
0,190
0,191
0,193
0,194
0,195
0,210
0,226
0,243
39
43
49
57
67
81
104
144
147
150
153
156
159
163
166
170
174
178
182
187
192
197
202
208
214
220
227
234
241
249
258
267
288
312
340
374
554
935
2137
εt [%o]
φ
kc
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
9,75
9,50
9,25
9,00
8,75
8,50
8,25
8,00
7,75
7,50
7,25
7,00
6,75
6,50
6,25
6,00
5,75
5,50
5,25
5,00
4,75
4,50
4,25
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,87
0,85
0,83
0,81
0,77
0,73
0,69
0,65
0,65
0,65
0,65
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,13
0,17
0,23
0,24
0,24
0,24
0,25
0,26
0,26
0,27
0,27
0,28
0,29
0,29
0,30
0,31
0,32
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,38
0,39
0,40
0,41
0,43
0,46
0,50
0,55
0,60
0,67
0,75
0,86
ARMADURA DOBLE
∆M su [MNm ] 

1
⋅
A s = k s c ⋅ b[m ] ⋅ d[m] +  N u [MN] +
= [cm 2 ]
d − d' [m ]  0.0378

ε's [%o]
f's
k's
0,10
2,2
420
26,46
0,12
2,04
420
26,46
0,14
1,88
395
28,14
0,16
1,72
361
30,76
d'/d
0,18
1,56
328
33,92
A ' s = k 's ⋅
0,20
1,4
294
37,79
0,22
1,24
260
42,67
∆ Msu [MNm ]
= cm 2
d − d' [m ]
[ ]
0,24
1,08
227
48,99
0,26
0,92
193
57,51
Tabla 3 - Tabla de coeficientes adimensionales para el diseño de secciones
sometidas a flexión compuesta con armadura asimétrica
5. DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXIÓN COMPUESTA OBLICUA
En esta sección se describe el procedimiento general desarrollado para el
diseño de secciones sometidas a flexión compuesta oblicua.
Con frecuencia el proyectista conoce el esfuerzo normal de compresión y
los momentos requeridos que solicitan a una sección de columna, como por
ejemplo la de la Figura 5.
y
Myu
h
×
Mxu
x
Nu
b
Figura 5 – Ejemplo de sección rectangular sometida a flexión compuesta oblicua
A fin de generar diagramas de interacción para flexión compuesta oblicua
que permitan, con las solicitaciones Mxu, Myu y Nu, determinar las
correspondientes armaduras, se plantea el esquema de la Figura 6.
y
d
α
v
εc=0.003
x
c
u
εsi
d‘
εt
Figura 6 – Planteo esquemático de sección sometida a flexión compuesta oblicua
Entre los sistemas coordenados de referencia (x,y) y (u,v) existe la
siguiente relación :
u = x sen α - y cos α
v = x cos α + y sen α
(17)
(18)
Para cada valor de α son barridos todos los posibles valores de c (Figura 6)
y en cada caso se determina:
a. La resultante de compresiones en el hormigón, de acuerdo a la hipótesis
de bloque rectangular de tensiones (Fig. 3):
Ncd = φ ∫ 0.85 × fc' × β1 × dA
(19)
A*
donde la integral se efectúa usando el sistema de coordenadas (u,v) y
sobre el área activa de la sección y φ el valor que corresponde de acuerdo
a εt (Figuras 1 y 6).
b. La resultante de fuerzas en el acero:
Nsd = φ∑ A si × σ si
(20)
i
donde Asi es la sección transversal de la i-ésima barra de acero que está
sometida a la tensión σsi, de acuerdo a su deformación εsi.
c. El valor del esfuerzo normal Nd:
Nd = Ncd + Nsd
(21)
d. El momento resultante de las tensiones de compresión en el hormigón:
Mcd = Ncd × v g
(22)
donde vg es la distancia desde el centro de gravedad de la sección activa
de hormigón al eje v.
e. El momento de diseño resultante de las fuerzas de compresión y tracción
de las barras de acero.
Msd = ∑ Nsi × v i
i
donde vi es la ordenada de la barra i-ésima en en el sistema (u,v)
f. El valor del momento de diseño resultante en el sistema (u,v):
Md = Mcd + Msd
(23)
g. De (1) se puede igualar:
Nu = Nd
(24)
Mu = Md
(25)
A través de la transformación inversa de (17) y (18) y de las coordenadas
del centro de gravedad del área activa de hormigón (xg,yg) se obtiene los
momentos Mux y Muy en el sistema de coordenadas (x,y).
h. A continuación se fija una configuración de armaduras; por ejemplo, barras
concentradas en las esquinas o distribuidas en el perímetro (Figura 7)
Figura 7
b
d
, γ = , f’c y fy = 420 MPa
h
h
(que es la resistencia a fluencia que corresponde al único tipo de acero en
barras admitido por CIRSOC 201 para armaduras longitudinales).
También se fija valores determinados para As,
i. A fin de dar generalidad al problema, se define los adimensionales:
Nu
bh fc'
(267)
M
m xu = 2xu '
bh fc
nu =
myu =
µ=
(26)
Myd
(27)
b2h fc'
A s fy
bh fc'
(28)
donde A s = ∑ A si
i
De esta manera, con las consideraciones realizadas en (j) y reemplazando
las expresiones (19) a (23) en las (27) a (28), estas quedan como función
únicamente de α, εt y c.
Las expresiones (19) a (28) fueron empleadas para desarrollar un programa
con el que, en primer lugar, se obtuvo las superficies de interacción como las que
se indica en la Figura 8. Para ello, se tuvo en cuenta la limitación que impone
CIRSOC 201 al valor de Nd:
Nu máx = 0.85 φ [0.85 fc’ (Ag – As) + fy As]
(30)
a)
c)
b)
d)
Figura 8 – Superficies de interacción: a) Sección cuadrada, armadura
distribuida, µ=0.2; b) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas,
µ=2.0; c) Sección rectangular b/h=0.3, armadura concentrada en esquinas, µ=1.8;
d) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas, µ=0.6 a 1.2,
representadas en un solo cuadrante
Con el propósito de otorgarles un uso práctico, se volcó las curvas de nivel
para una serie de cuantías mecánicas μ. La simetría permite que estas curvas
puedan ser representadas en octantes, por lo que cada gráfico abarca ocho series
de curvas de nivel, cada serie correspondiendo a un plano nd = cte.
Se muestra en las Figuras 9 a 13 algunos ejemplos de las series. En todas
estas figuras se ha tomado γ=0.9. Las curvas presentadas en las Figuras 9 a 12
corresponden a hormigones con fc’≤30 MPa, mientras que la Figura 13
corresponde a fc’=40 MPa. Por otro lado, la forma de la sección transversal,
definida a través de b/h, y las configuraciones de armado son diferentes en las
Figuras 9 a 12.
A los fines de este trabajo se mantiene la escala en todas las figuras, lo cual
permite evaluar comparativamente las soluciones correspondientes a diferentes
relaciones b/h y configuraciones de armaduras.
Se observa que las diferencias son mínimas entre los diagramas de
interacción para fc’ ≤ 30 y fc’ = 40 (Figuras 12 y 13), ya que sólo cambia β1, de
0.85 a 0.79 respectivamente (Tabla 2).
6. DIMENSIONAMIENTO A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA
Se trató a la flexión compuesta recta como un caso particular de la flexión
oblicua, obteniendo una serie de diagramas de interacción, para diferentes
configuraciones de armado, relaciones de forma b/h, γ y fc’. En la Figura 14 se
muestra una de estas series.
7. CONSIDERACIONES FINALES
En este trabajo se presenta un conjunto de tablas y diagramas que
permiten el diseño de secciones de hormigón armado sometidas a flexión
compuesta oblicua, según las especificaciones y exigencias del próximo
reglamento.
Para el trazado de estas curvas se desarrolló un algoritmo general que fue
programado en computadora. El mismo considera todas las posibilidades que
pueden presentarse en este tipo de solicitación, quedando incluida como caso
particular la flexión compuesta recta.
El programa es sumamente versátil, pues permite considerar diferentes
configuraciones de armadura, relación de forma de la sección transversal, tipo de
hormigón y recubrimiento de armaduras.
Es importante resaltar que en todas estas ayudas de cálculo se ingresa con
las solicitaciones U obtenidas del análisis con las cargas mayoradas con los
factores de carga γi y que el factor de reducción de resistencia φ (variable según la
sección se encuentre controlada por tracción, compresión o se encuentre en zona
de transición) ya está incluido en las tablas y diagramas.
Además, los resultados que se muestra a través de las superficies de la
Figura 9 permiten apreciar de manera global y conceptual la capacidad resistente
de secciones de diferentes configuraciones y geometrías. Se aprecia claramente
en estas la forma que les otorga el factor φ y el aplastamiento superior producido
por la limitación en la capacidad resistente de columnas, dada por el reglamento
(ec. 29).
Mxu
Para fc’ ≤ 30 MPa
γ = d/h = 0.9
As/4
As/4
Myu
h d
×
fy = 420 MPa
Nu
As/4
b
Mxu
mxu =
2 '
c
bh f
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
As =
f y'
0.8
0.7
0,8
0,6
0,5
myu =
Myu
2
nu =
'
c
b hf
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
0,4
0,3
0,2
0,1
0
m2
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
nd=1,0
0,8
0,8
m2
μ= 2.0
0,7
Nu
bh fc'
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
0,6
μ= 1.5
nd=0,8
0,5
nd=0,1
0,5
μ= 1.0
0,4
0,4
μ= 2.0
0,3
μ= 2.0
μ= 2.0
μ= 1.5
0.2
0,3
μ= 0.5
μ= 1.5
0.2
μ= 1.0
μ= 1.0
μ= 0.5
0.1
μ= 2.0
μ= 1.5 μ= 1.0
m1
0
0.1
μ= 0.0
μ= 0.0
0
m1
0.1
μ= 2.0
μ= 1.5 μ= 1.0 μ=0.5
m1
μ= 0.0
μ= 0.0
μ= 0.5
0.2
0,3
μ= 1.0
μ= 0.5
μ=
μ=2.0
2.0
μ= 1.5
0.1
0.1
0.2
0.2
μ= 0.5
0,3
0,3
μ= 1.0
μ= 1.0
0,4
0,4
0,4
μ= 1.5
μ= 1.5
nd=0,6
0,5
nd=0,2
0,5
0,5
μ= 2.0
0,6
0,6
0,6
μ= 2.0
m2
m2
0,7
nd=0,5
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,7
0,8
Figura 9- Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección
cuadrada, armadura concentrada en las esquinas, γ=0.9, fc’≤30 MPa
Mxu
Para fc’ ≤ 30 MPa
γ = d/h = 0.9
Myu
h d
×
fy = 420 MPa
Nu
b
mxu =
Mxu
bh f
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
As =
f y'
0.8
0.7
0,8
0,6
0,5
myu =
2 '
c
Myu
2
nu =
'
c
b hf
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
m2
0,6
0,7
0,8
0,8
m2
nd=1,0
0,7
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
μ= 2.0
nd=0,8
0,5
Nu
bh fc'
0,6
nd=0,1
0,5
μ= 1.5
0,4
0,4
μ= 1.0
0,3
0,3
μ= 2.0
μ= 2.0
0.2
μ= 1.5
μ= 1.5
μ= 0.5
0.1
μ= 2.0 μ= 1.5
m1
0
0.2
μ= 1.0
μ= 1.0
μ= 1.0
μ= 0.0
0.1
μ= 0.5
0
m1
μ= 2.0 μ= 1.5
μ= 1.0 μ=0.5
0.1
μ= 0.0
μ= 0.5
0.2
μ= 1.0
0,3
μ= 0.0
m1
μ= 1.0 μ= 1.5 μ= 2.0
μ= 0.5
0.1
0.1
μ= 0.5
0.2
0.2
μ= 1.0
0,3
0,3
μ= 1.5
μ= 1.5
0,4
0,4
0,4
μ= 2.0
μ= 2.0
nd=0,6
0,5
nd=0,2
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
m2
0,8
0.8
0.7
0,7
0,7
nd=0,3
m2
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,4
0,5
0,6
0,8
0,8
0,7
0,8
Figura 10 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para
sección cuadrada, armadura distribuida, γ=0.9, fc’≤30 MPa
Mxu
Para fc’ ≤ 30 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5
Myu
hd
×
fy = 420 MPa
Nu
b
mxu =
Mxu
bh f
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
As =
f y'
0.8
0.7
0,8
0,6
0,5
myu =
2 '
c
Myu
2
nu =
'
c
b hf
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
0,4
0,3
0,2
0,1
0
m2
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
μ= 2.0
0,6
0,8
0,8
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
μ= 2.0
0,6
μ= 1.5
nd=0,8
0,5
0,7
m2
nd=1,0
0,7
Nu
bh fc'
nd=0,1
μ= 1.5
0,5
μ= 1.0
0,4
0,4
μ= 1.0
0,3
0,3
μ= 0.5
0.2
0.2
0.1
μ= 2.0
m1
0
μ= 0.0
μ= 1.5 μ= 1.0
μ= 0.5
μ= 1.0 μ= 1.5
0.1
μ= 2.0
0
m1
0.1
μ= 2.0
μ= 1.5 μ= 1.0 μ=0.5
μ= 0.0
μ= 0.0
m1
μ= 0.5
μ= 1.0 μ= 1.5
μ= 2.0
μ= 0.5
0.2
0.2
0.2
μ= 0.5
0,3
μ= 1.0
0,4
μ= 1.5
0.1
0.1
0,3
0,3
μ= 1.0
0,4
0,4
μ= 1.5
nd=0,6
0,5
nd=0,2
μ= 2.0
0,6
0,6
0,6
μ= 2.0
m2
m2
0,7
nd=0,5
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0,5
0,5
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,7
0,8
Figura 11 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para
sección rectangular, armadura concentrada en las esquinas, γ=0.9, fc’≤30 MPa.
Mxu
Para fc’ ≤ 30 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5
Myu
hd
×
fy = 420 MPa
Nu
b
mxu =
Mxu
2 '
c
bh f
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
As =
f y'
0.8
0.7
0,8
0,6
0,5
myu =
Myu
2
nu =
'
c
b hf
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
m2
0,6
0,7
nd=1,0
0,8
0,8
m2
0,7
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
nd=0,8
0,5
Nu
bh fc'
0,6
nd=0,1
0,5
μ= 2.0
0,4
0,4
μ= 1.5
μ= 2.0
0,3
0,3
μ= 1.0
μ= 1.5
0.2
0.2
μ= 0.5
μ= 1.0
0.1
μ= 2.0 μ= 1.5
m1
0
m1
μ= 1.5 μ= 2.0
μ= 1.0
μ= 0.0
μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0 μ=0.5
μ= 0.0
0.1
0,4
0.1
0.1
0.2
0.2
μ= 1.0
μ= 1.5
μ= 1.5
μ= 2.0
μ= 2.0
0,3
0,3
0,4
0,4
nd=0,6
0,5
m1
μ= 0.5
μ= 1.0
0,3
0.1
μ= 1.0
μ= 0.5 μ= 1.0μ= 1.5 μ= 2.0
μ= 0.0
μ= 0.5
0.2
μ= 0.5
nd=0,2
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,7
0,8
Figura 12 - – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para
sección rectangular b/h=0.5, distribuida, γ=0.9, fc’≤30 MPa.
Mxu
Para fc’ = 40 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5
Myu
hd
×
fy = 420 MPa
Nu
b
mxu =
Mxu
2 '
c
bh f
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
As =
f y'
0.8
0.7
0,8
0,6
0,5
0,4
myu =
Myu
2
nu =
'
c
b hf
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
m2
0,6
nd=1,0
0,8
0,8
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
nd=0,8
0,5
0,7
m2
0,7
Nu
bh fc'
0,6
nd=0,1
0,5
μ= 2.0
0,4
0,4
μ= 1.5
μ= 2.0
0,3
0,3
μ= 1.0
μ= 1.5
0.2
0.2
μ= 0.5
μ= 1.0
0.1
μ= 2.0 μ= 1.5
m1
0
m1
μ= 1.5 μ= 2.0
μ= 1.0
μ= 0.5
μ= 2.0 μ= 1.5μ= 1.0 μ=0.5
μ= 0.0
0.1
μ= 0.0
0,4
0.2
0.2
μ= 1.5
μ= 1.5
0,3
0,3
μ= 2.0
μ= 2.0
0,4
0,4
nd=0,6
0,5
0.1
0.1
μ= 1.0
μ= 1.0
0,3
m1
μ= 0.5 μ= 1.0μ= 1.5 μ= 2.0
μ= 0.5
μ= 0.5
0.2
0.1
μ= 1.0
nd=0,2
0,5
0,5
0,6
0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,7
0,8
0,8
0,7
0,8
Figura 13 - – Diagramas de interacción para en flexión compuesta oblicua para
sección rectangular b/h=0.5, armadura distribuida, γ=0.9, fc’=40 MPa.
Para fc’ ≤ 30 MPa
γ = d/h = 0.9
fy = 420 MPa
mu =
Mu
Mu = Momento flector obtenido con las cargas mayoradas
bh2 fc'
Nu
nu =
Nu = Esfuerzo normal obtenido con las cargas mayoradas
bh fc'
Ast/2
h
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ fc'
A st =
f y'
d
Ast/2
d‘
b
1,6
1,5
μ = 2.0
1,4
1,3
μ = 1.5
1,2
1,1
1
μ = 1.0
nu
0,9
0,8
0,7
μ = 0.5
0,6
0,5
μ = 0.0
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
mu
Figura 14 – Diagramas de interacción para γ=0.9, fc’ ≤ 30 MPa y armaduras
concentradas en dos bordes paralelos.
BIBLIOGRAFÍA
1. American Concrete Institute - Design Handbook: Beams, One-Way Slabs,
Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, Two-Way Slabs, and Seismic
Design in accordance with the Strength Design Method of 318-95 – USA 1997
2. CIRSOC – Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón
CIRSOC 201 – Noviembre 2002.
3. Gea, Susana - Flexión Oblicua en Hormigón Armado – Consejo de
Investigación , Universidad Nacional de Salta - 1990
4. Portland Cement Association - Notes on ACI 318-02 Building Code
Requirements for Structural Concrete with Design Applications – USA –
2002.