movimiento parabolico - maribelpizarrogonzales

CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
(MOVIMIENTO PARABOLICO)
Contenido:
1. HISTORIA
2. TEORIA DEL TIRO DE PROYECTIL
3. TIPOS DE MOVIMIENTO PARABOLICO
3.1.
Movimiento semiparabólico
3.2.
Movimiento parabólico (completo)
4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABOLICO
4.1.
Ecuación de la aceleración
4.2.
Ecuación de la velocidad
4.3.
Ecuación de la posición
5. MOVIMIENTO PARABOLICO CON RAZONAMIENTO
6. APLICACIONES Y TRASCENDENCIA
1. HISTORIA
El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y
experimentaba con tiros parabólicos. Recuerda las destrezas de David frente a Golia.
Pero hasta que Galileo explicó las leyes que rigen los movimientos no se ponen las bases
de su conocimiento. Este conocimiento fue el que permitió poner una nave, lanzada desde
la Tierra, (planeta en movimiento), en órbita con Marte, que no ha parado de moverse y el
que permite predecir donde estará mañana un objeto sabiendo donde está hoy. Los
mejores "adivinos" -charlatanes que invaden la prensa y la TV anunciando sus poderesno pueden ni aproximarse.
Galileo estudió la caída de graves y basándose en su estudio experimental pudo
contradecir la creencia de los aristotélicos que afirmaban "que un cuerpo de 10 veces más
pesado que otro tardaba en caer 10 veces menos". Utilizó su pulso para medir el tiempo
de caída y también relojes de agua (clepsidras) que le proporcionaban poca precisión.
Ralentizó la caída utilizando planos inclinados y afirmó que, despreciando la resistencia
del aire. Todos los cuerpos caen en el vacío con g=9’8 m/s 2. En el aire se supone que es
vacío. Por un plano inclinado caen con una aceleración a=g· sen
Galileo realizó el experimento del gráfico con dos objetos: impulsó uno horizontalmente
desde una mesa y dejó caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. Descubrió que los
dos llegan al suelo al mismo tiempo. Partiendo de dicha observación pudo afirmar que: "
la componente vertical del movimiento de un objeto que cae es independiente de
cualquier movimiento horizontal que lo acompañe". Con esto se establece la que hoy
llamamos " Principio de Superposición", es decir, un movimiento se puede considerar
formado por otros dos que actúan
simultáneamente pero que, a
efectos
de
estudio,
puede
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 1
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
suponerse que primero ocurre uno y luego, y durante el mismo tiempo, el otro. El cambio
de posición de un objeto es independiente de que los movimientos actúen sucesiva o
simultáneamente
La parábola que describe un objeto lanzado al aire se puede estudiar como la
combinación de un movimiento uniforme rectilíneo horizontal a la altura de la salida y otro
vertical uniformemente acelerado. Este principio también se denomina Principio de
independencia de movimientos o Principio de superposición.
Galileo calculó la expresión del alcance en función de la velocidad inicial y del ángulo de
lanzamiento:
El cálculo de esta ecuación le produjo a Galileo una especial satisfacción puesto que
explica lo que le habían contado los artilleros respecto a que el alcance máximo se
produce con un ángulo de 45 º.
Con esta ecuación se puede predecir que se produce el mismo alcance para ángulos de
lanzamiento complementarios (30º y 60º por ejemplo, tiro de caños y tiro de obús).
Puedes comprobar esto con ayuda de la animación.
2. TEORIA DEL TIRO DE PROYECTIL
Galileo Galilei estudió y dedujo ecuaciones del tiro de proyectiles.
La trayectoria descrita por un proyectil es una curva específica llamada parábola. El tiro
parabólico se puede estudiar como resultado de la composición de dos movimientos:


Uniforme a lo largo del eje X (a x =0)
Uniformemente acelerado ( g=- 9.8) a lo largo del eje vertical Y.
En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, que
forma un ángulo con la horizontal. Las componentes de la velocidad inicial son :
Las ecuaciones del movimiento se obtienen
fácilmente teniendo en cuenta que es el
movimiento resultante de la composición de dos
movimientos:
Uniforme a lo largo del eje X.
Uniformemente acelerado a lo largo del eje
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 2
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
Y.
Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la
ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y.=.ax2 + bx + c, lo que representa una
parábola.
Consulta en un libro como se calcula el alcance máximo y comprueba que la expresión
del alcance horizontal en función de la velocidad inicial y del ángulo es:
Obtenemos la altura máxima cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero, el
alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0. Comprueba que se obtiene la
expresión:
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 3
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
La envolvente de todas las posibles parábolas con que puede disparar un cañón se llama
parábola de seguridad.
Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento
rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.
3. TIPOS DE MOVIMIENTO
PARABOLICO
3.1.
Movimiento semiparabólico
El movimiento de parábola
(lanzamiento horizontal) se
como la composición de un
rectilíneo uniforme y la caída
en reposo.
3.2.
o semiparabólico
puede considerar
avance horizontal
libre de un cuerpo
Movimiento parabólico (completo)
El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un
avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la
gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo
anterior implica que:



Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente
desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de
válida en los movimientos parabólicos.
Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que
alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABOLICO
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
1.
2.
Donde:
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 4
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
es el módulo de la velocidad inicial.
es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
Que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
Que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo
Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:
: [ecu. 1]
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo
de la velocidad inicial.
4.1.
Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que
corresponde a la ecuación:
Que es vertical y hacia abajo.
4.2.
Ecuación de la velocidad
La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener
integrando la siguiente ecuación:
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y
el resultado final es:
Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente
horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la
aceleración de la gravedad.
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 5
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
4.3.
Ecuación de la posición
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad
del móvil con la relación al tiempo y de la definición de
velocidad, la posición puede ser encontrada integrando
la siguiente ecuación diferencial:
La integración es muy sencilla por tratarse de una
ecuación diferencial de primer orden y el resultado final
es:
La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos
movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente
acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.
5. MOVIMIENTO PARABOLICO CON RAZONAMIENTO
Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parábola pero no
exactamente. El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balística
Para el movimiento de proyectiles supondremos que la aceleración es constante y dirigida
hacia abajo, además despreciaremos la resistencia del aire.
Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en cualquier tiempo son:
vx = vx0 = v0
0
= const.
vy = vy0 - gt = v0 sen
x = vx0t = v0 (cos
2
y = vy0t - ½gt = v0 (sen
0
- gt
)t
0
) t - ½ gt
2
0
Trayectoria de un proyectil arrojado con una velocidad inicial v0.
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 6
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
El vector desplazamiento r puede escribirse como: r = v0t + ½gt
2
La altura máxima es:
El máximo alcance horizontal es:
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 7
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
6. APLICACIONES Y TRASCENDENCIA
Galileo, que era un buen matemático, al comprobar que la trayectoria física de un proyectil
se correspondía con la representación matemática de la ecuación de una parábola, que
resultaba de la composición de dos movimientos, generalizó este razonamiento: " Dado
que la ecuación de esa trayectoria se debía a la composición de dos movimientos,
cualquier movimiento complejo se puede estudiar por el principio de superposición de
movimientos".
Sus descubrimientos son trascendentales para la física moderna por las siguientes
razones:
1.- "Si reducimos un fenómeno observable a una ecuación, podemos comprender el
fenómeno de una sola ojeada y manipulando las leyes matemáticas podemos abrir
caminos para el descubrimiento de nuevas verdades referentes a esos fenómenos
(nuevas relaciones entre las variables)". Utilizando las matemáticas para razonar tenemos
un lenguaje mucho más poderoso que el de los silogismos verbales que utilizan solo el
"más que..o menos que.." empleados hasta entonces. Herramienta básica del método
científico.
2.- Ponen de manifiesto la potencia y la necesidad de un sistema matemático desarrollado
en el que se apoyan los físicos para establecer relaciones ocultas entre las variables que
definen el fenómeno físico.
3.- Muestran que el físico trata los problemas aplicando los métodos de otras ramas de la
ciencia para ayudarse en su resolución.
Galileo explicó, mediante el estudio del movimiento de proyectiles, por qué un objeto que
cae desde lo alto de un mástil de un barco que avanza con movimiento uniforme impacta
en la base del mástil y no se queda atrás. (El objeto mientras cae tiene la componente
horizontal del movimiento del barco que ya tenía cuando estaba unido al mástil antes de
caer). Es el mismo razonamiento que explica por qué dando saltitos no podemos viajar
hacia el oeste viendo desplazarse la tierra bajo nuestros pies)
Es el conocimiento del Principio de independencia de movimientos el que le lleva a
afirmar "Eppur si muove" en el famoso proceso sobre la rotación de la Tierra. En efecto, él
sabía que no es posible detectar si la Tierra está en reposo o se mueve con movimiento
uniforme. (Ejemplo del barco). Todos los objetos ligados a la Tierra comparten sus
movimientos con el de rotación de la Tierra.
De sus estudios se establece el principio de Relatividad de Galileo: " Es imposible
detectar por experiencias físicas si un sistema está en reposo o en movimiento rectilíneo
uniforme" o también: " Las leyes de la mecánica observadas en un sistema de
coordenadas son igualmente válidas (son las mismas) en otro cualquiera que se mueva
con velocidad constante respecto al primero".
Galileo construyó un telescopio y descubrió montañas en la Luna (los cielos ya no eran
puros y perfectos), manchas solares, explicó la composición de la Vía Láctea, las "lunas"
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 8
CINEMATICA: MOVIMENTO COMBINADO
de Júpiter (en el universo un planeta no importante puede ser el centro de giro de otros
cuerpos, y el sol podría no ser el centro del universo), descubrió fases en Venus, etc.
Todo esto se descubrió hace 350 años, cuando ya
hombre había circunnavegado la Tierra, y
Renacimiento ya se había iniciado en el Arte
empezaba en las Ciencias Naturales (comenzó por
Física y la última fue la Biología).
el
el
y
la
El año de la muerte de Galileo nace en Inglaterra un
gran genio, Isaac Newton
Estudiante: Sayda M. Pizarro Gonzales
Pág. 9