CAPITULO 8 INTEGRACION NUMERICA Integración Numérica

CAPITULO 8
INTEGRACION NUMERICA
Integración Numérica
Realizar una integración numérica es integrar numéricamente una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un
intervalo dado [𝑎, 𝑏], es integrar un polinomio 𝑃𝑛 (𝑥) que aproxime 𝑓(𝑥) al intervalo dado.
En el campo de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la solución de un problema se
𝑏
exprese como una integral de la forma ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; esta integral se resolvería usando el
Teorema Fundamental del Cálculo, sin embargo, existen casos donde es imposible hallar
una antiderivada de 𝑓(𝑥). Sin embargo, la integral existe y debe de evaluarse. En este
capítulo se verá la forma de lograr esto.
Integración numérica
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es
preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos
métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones,
existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se
supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar
la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la
Si la función y = f(x) está indicada en una tabla por un conjunto de pares ordenados
[ (𝒙𝟎 , 𝒇(𝒙𝟎 )) ; (𝒙𝟏 , 𝒇(𝒙𝟏 )) ; (𝒙𝟐 , 𝒇(𝒙𝟐 )) ; … ; (𝒙𝒏 , 𝒇(𝒙𝒏 )), ] , donde los xi están ordenados en
forma creciente y donde 𝒙𝟎 = 𝒂 𝒚 𝒙𝒏 = 𝒃
El polígono de interpolación para la función y = f(x) en el intervalo (a , b), 𝒙𝟎 = 𝒂, 𝒙𝒏 = 𝒃
es un polinomio de aproximación para f(x) en cualquier intervalo (xi , xj), 0 ≤ i ≤ n; 0 ≤ j ≤
n del intervalo (a , b). Se puede usar el polinomio Pn(x) para integrar f(x) en cualquiera de
los sub-intervalos.
Las ventajas de integrar numéricamente un polinomio son las siguientes:
1) Si f(x) es un polinomio de difícil integración o si f(x) es prácticamente imposible de
integrar, sin embargo, un polinomio es de integración inmediata.
2) Si se conoce la solución analítica de los resultados de la integral, y su cálculo solo
puede arrojar aproximaciones.
3) La función es representada a través de una tabla de conjunto de pares ordenados,
obtenidos como resultados de experimentaciones o cálculos previos.
Las fórmulas de integración son de manejo fácil y práctico y permite, cuando la función f(x)
es conocida, tener una idea del error cometido en la integración numérica.
Conceptos básicos
Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva f(x) en el
intervalo [a, b]. La forma teórica de hallar este valor es mediante el teorema fundamental
del cálculo.
Teorema:
Sea 𝑓 continua en [𝑎, 𝑏], y sea 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, es decir, 𝐹 es una antiderivada
𝑏
de 𝑓. Entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).1
F(x) es una función tal que
𝑑𝐹
𝑑𝑥
= 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), es decir F(x) es una antiderivada de f(x).
Sin embargo en muchos casos prácticos es muy difícil y a veces imposible hallar una
antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe aproximarse con el menor
error posible, Esto puede lograrse de por medio de serie de potencias, método gráfico o
métodos numéricos.
El problema en la práctica, se presenta cuando es necesario encontrar la antiderivada
1
2
requerida de expresiones integrales tan sencillas como ∫0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 , lo cual resulta
simplemente imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
Método de Serie de Potencias
Consiste en desarrollar en serie de Taylor la función f(x) e integrar termino a término.
1
2
Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, es posible
hacerlo desarrollando la serie.
1
1
2
∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ∑
0
0
1
1
∞
𝑖=0
1
∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫
0
0
0
1
|𝑥|10
(−1)𝑖
1
1
𝑥 𝑗𝑖
𝑥4 𝑥6
𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑥 2 + − + ⋯ ) 𝑑𝑥 =
𝑖!
2! 3!
0
1 6
𝑥4
𝑥
𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥 + ⋯ =
2!
0 3!
1
∞
𝑥3
𝑥5
𝑥7
1
1
1
1
−| | +|
| −|
| +⋯=1− +
−
+ ⋯ = ∑(−1)𝑖
3 0
5(2!) 0
7(3!) 0
3 5(2!) 7(3!)
𝑖(𝑖!)
𝑖=0
Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un número determinado de términos.
Este método este restringido a pocos casos prácticos y no es de aplicación general por las
razones siguientes:
a)
b)
c)
d)
Es posible que no exista la serie de potencias.
La serie puede ser difícil de hallar.
Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo [a, b].
La serie puede converger muy lentamente.
1 La demostración puede verse en los libros o cursos de cálculo.
Método Gráfico
Consiste en trazar la gráfica de f(x) en el intervalo [a, b] y medir el área bajo la curva. Esto
puede lograrse con unos instrumentos llamados planímetros2.
Este método aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden
ser utilizados para obtener aproximaciones; los inconvenientes son:
a) La gráfica puede ser difícil de elaborar.
b) No es muy preciso ya que está sujeto a errores de medición.
Métodos Numéricos
Los métodos numéricos generan una sucesión de números de la forma:
𝑏
𝐼1 , 𝐼2 , … , 𝐼𝑛 , … , ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, lo cual se acerca a la integfral, es decir:
𝑎
𝑏
𝑙𝑖𝑚 𝐼𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑛→∞
𝑎
El método numérico se detiene cuando se cumple algún criterio de convergencia
preestablecidas con la precisión deseada.
Como no es posible integrar directamente f(x), estos métodos aproximan la función f(x)
por otra más simple que pueda integrarse.
Las funciones más utilizadas para este fin son los polinomios. Éstos se emplean con
bastante frecuencia en métodos numéricos, por sus propiedades, en este caso porque
pueden integrar fácilmente.
Existen varios métodos para la integración numérica basadas en polinomios.
Regla del rectángulo
El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función
constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a,f(a)). Este método
se llama la regla del rectángulo:
La integraci¶on num¶erica es una herramienta de las matem¶aticas que proporciona
f¶ormulas
y t¶ecnicas para calcular aproximaciones de integrales de¯nidas. Gracias a ella se pueden
calcular,
2 El planímetro es un instrumento de medición utilizado para el cálculo de áreas irregulares. Este
modelo se obtiene en base la teoría de integrales de línea o de recorrido.
aunque sea de forma aproximada, valores de integrales de¯nidas que no pueden calcularse
anal¶³ticamente y, sobre todo, se puede realizar ese c¶alculo en un ordenador.
7.2 F¶ormulas de cuadratura. Orden
Las f¶ormulas que proporcionan una aproximaci¶on del valor de una integral de¯nida se
conocen con
el nombre de f¶ormulas de cuadratura.
En sus versiones m¶as sencillas, estas f¶ormulas aproximan el ¶area bajo la curva por el
¶area, \ parecida", de un paralelogramo. Esto s¶olo proporciona una buena aproximaci¶on si la base del
paralelogramo
es peque~na. Por ello, las f¶ormulas verdaderamente ¶utiles aproximan la integral
de¯nida mediante una
suma ¯nita de ¶areas de paralelogramos de \base peque~na". V¶eanse las Figuras 7.2 y
7.3.
En general, las f¶ormulas de cuadratura se pueden escribir en la forma:
I¤(f) =
Xn
k=1
®kf(xk); (7.2)
variando unas de otras en la forma de elegir los puntos fx1 < ¢ ¢ ¢ < xng en el intervalo [a;
b] y los
coe¯cientes (tambi¶en llamados pesos) ®k , k = 1; : : : ; n.
Introducci¶on a la integraci¶on num¶erica
La Regla Rectangular es uno de los métodos mas sencillos utilizados para resolver
integrales definidas en el cálculo numérico.
Resolver un problema de cálculo del área bajo la curva entre dos
Límites conocidos, dividiendo en n sub áreas para calcular su valor, asumiendo
cada sub área como un pequeño trapecio.
Al realizar algún tipo de calculo o experimento, normalmente se obtiene una tabla de
valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la
representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las
variables involucradas. En estos casos, la realización de cualquier operación matemática
sobre la nube de puntos, que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con
dificultades considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre
estas operaciones se encuentra la integración de funciones.
Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de
integración, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden
integrar. Es decir, un gran número de integrales de funciones elementales no
puede ser expresada en términos de ellas. Entre estos casos singulares
tenemos, a manera de ejemplo:
Existen condiciones necesarias para que una función sea integrable, y ésta está dada el
teorema citado a continuación, sin demostración
Teorema:
Si una función f es continua en el intervalo [a, b] , entonces f es integrable en
[a, b].
No obstante que las condiciones de la Proposición 1 son sumamente generales,
no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para
resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x)
cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.
Estos apuntes pretenden ilustrar al lector con una de las técnicas básicas que
permiten resolver dicha situación, a través de la denominada “INTEGRACIÓN
APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE LOS RECTANGULOS”.
Modelo Rectangular: consistente en dividir el área que se desea encontrar en n sub-áreas
en forma de rectángulos.
Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes ariables:
n: Número de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular
Δx ó dx: Ancho o base de cada sub-área
a: limite inferior definido para el calculo del área
b: limite superior definido para el calculo del área.
DESARROLLO:
Integración numérica de una función por el método de rectángulos
La integral definida entre los puntos a y b de una función continua y acotada
f(x) representa el área comprendida debajo de esa función. En ocasiones es
necesario calcular integrales (áreas) de modo numérico, es decir, sin conocer la integral
explicita de la función f(x). Existen varios posibles métodos para
calcular esta área. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto
de n sub áreas donde cada sub área semeja un pequeño rectángulo elemental
de base dx = (b − a) / n y altura h, El área sería:
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
A continuación se presentan las formulas de Newton-Cotes del tipo cerrado. Tales
formulas son aquellas en que a y b son puntos de la formula de cuadratura, o sea, 𝑎 =
𝑥0 y 𝑏 = 𝑥𝑛 ; los argumentos 𝑥𝑘 , son igualmente espaciados de una cantidade fija h, esto
es, 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 = ℎ, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1, la función peso, 𝑤(𝑥), es constante e igual a 1, y el
intervalo de integración es finito.
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función cuyos valores 𝑓(𝑥0 ), 𝑓(𝑥1 ), … , 𝑓(𝑥𝑛 ) son conocidos, ya sea por
medio de tablas o por puntos de pares ordenados; de ahí se tiene que:
𝑏
𝑛
𝑥𝑛
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑓𝑘 ∫ 𝑙𝑘 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑥0
𝑥0
𝑘=0
Suponiendo entonces 𝑥1 igualmente espaciados de h y considerando 𝑢 =
se tiene que 𝑑𝑥 = ℎ 𝑑𝑢
𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑥0 → 𝑢 = 0
𝑛
𝑥𝑛
y
𝑥−𝑥0
ℎ
𝑥 = 𝑥𝑛 → 𝑢 = 𝑛
𝑛
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑓𝑘 ℎ ∫ 𝜆𝑘 (𝑢)𝑑𝑢
𝑥0
𝑘=0
0
Donde los 𝜆𝑘 son los polinomios usados en la formula de LaGrange para intervalos
igualmente espaciados, haciendo:
𝑛
Haciendo: ∫ 𝜆𝑘 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝐶𝑘𝑛 ,
(3)
0
𝑛
𝑥𝑛
Obteniendose: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑓𝑘 ℎ𝐶𝑘1 , (4)
𝑥0
𝑘=0
Definición: El grado de Exactitud de una fórmula de integración numérica o formula de
cuadratura es el numero natural n tal que para todo polinomio Pi(x) de grado i · n, el error
E[Pi(x)] es cero y existe Pn+1(x) degrado n + 1 con E[Pn+1(x)] 6= 0.
Más concretamente, el grado de Exactitud o de precisión es el entero positivo i, tal que la
fórmula de integración es exacta para xi, i = 0; 1; 2; 3; : : : ; n
Así que la regla del trapecio tiene un grado de exactitud uno, en tanto que la de Simpson y
la de los tres octavo de Simpson tiene un grado de exactitud tres.
Regla del Trapecio
El nombre deriva de la figura geométrica del trapecio y de la fórmula de área de la misma
figura que se aplica a este método.
Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se desea obtener una
fórmula para integrar 𝑓(𝑥) entre dos puntos consecutivos 𝑥0 y 𝑥1 , usando polinomio de
primer grado, se tiene de (4)
𝑛
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
𝐶01
∑ 𝑓𝑘 ℎ𝐶𝑘1
𝑘=0
1
1
1
1
, (4)
1
𝑢−1
1
= ∫ 𝜆0 (𝑢)𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑢 = ∫ (1 − 𝑢)𝑑𝑢 =
0
−
1
2
0
0
0
𝐶11 = ∫ 𝜆1 (𝑢)𝑑𝑢 = ∫
0
0
𝑢−0
1
𝑑𝑢 =
1−0
2
𝑛
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 (3): ∫ 𝜆𝑘 (𝑢)𝑑𝑢 ≅ 𝐶𝑘1 , (5)
0
Sustituyendo 𝐶01 y 𝐶11 en (5) se obtiene:
𝑥1
𝑥1
1
1
ℎ
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ℎ [ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )]
2
2
2
𝑥0
𝑥0
𝑥1
Entonces, la formula del trapecio es: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )] (6)
2
Si el intervalo [𝑎, 𝑏] es pequeño la aproximación será razonable; mas si [𝑎, 𝑏] es grande, el
error también puede ser grande.
𝑓(𝑥)
Fig (1)
𝑎 = 𝑥0
𝑏 = 𝑥1
𝑥
Regla del Trapecio generalizado
Si el intervalo de la integral definida es grande, se puede dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de amplitud ℎ =
[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , ], ; 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛
𝑏−𝑎
𝑛
de tal forma que 𝑥0 = 𝑎 ; 𝑥𝑛 = 𝑏 y en cada sub-intervalo
Aplicando la regla del trapecio a cada sub-intervalo, el error será ahora la suma de las
áreas entre la curva de la función y las rectas de la parte superior del trapecio, como se
muestra en la figura (2)
𝑓(𝑥)
Fig. (2)
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3 = 𝑏
𝑥
Se observa ahora que ℎ → 0, por lo tanto el resultado de la integral tiende a ser exacto,
pues el error tiende a cero. Por lo tanto, cuando mayor cantidad de sub-intervalos se
introduce entre los límites de integración considerados, más preciso será el resultado.
Así, mejorando la precisión y disminuyendo el error, la fórmula del trapecio de (6) queda
así:
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
{𝑓(𝑥0 ) + 2[𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )] + 𝑓(𝑥7 )}
2
(7)
Verificación de error
Analizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error,
pare verificar la amplitud del error cometido en la solución de este ejercicio por este
método en particular.
Por definición de error es la diferencia entre el valor verdadero 𝑉𝑣 y una aproximación a
este valor 𝑉𝑎 :
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 2.4776 − 2.583897 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔𝟑𝟔
Por definición el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real 𝑉𝑟 ≠ 0
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.10636
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖𝟔𝟒
𝑉𝑣
𝑉𝑣
2.4776
El error porcentual se define como el error relativo expresado en por ciento (%).
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.04292864(%) = 𝟒. 𝟐𝟗𝟐𝟖𝟔𝟒
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande…
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se
denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual
absoluto.
A modo puramente ilustrativo y verificativo del método del trapecio valdrá este ejemplo
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
4
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
4−1
1
=3
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas
en radianes.
𝑥0
𝑥1
𝑥
1
4
2𝑥 + 1
1
1.2214
Aplicando la fórmula generalizada (7)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
4
3
3
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [3 + 9] = [12] = 𝟏𝟖
2
2
1
El valor exacto de la integral buscada es 18
Verificación de error
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 18 − 18 = 𝟎
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
0
=
=
=𝟎
𝑉𝑣
𝑉𝑣
18
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0(%) = 𝟎%
𝑉𝑣
Analizando el resultado de este ejemplo, se nota claramente que al ser la ecuación de
primer grado y no existir discrepancia entre la línea del trapecio y la función integral, no
existe error, por lo tanto, cualquiera sean los limites de integración el resultado arrojado
siempre será exacto, no así para funciones no lineales.
El ejemplo 2 ilustra esta situación, presentando el mismo ejercicio del ejemplo 1, pero
subdividiendo el intervalo en mayor parte.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio resuelto Nº 1:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
4
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
4−1
1
= 4−1 = 3
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; en este caso se tiene solamente un intervalo, que
son los limites de integración, por lo tanto solamente dos nodos, o sea, dos puntos sobre x:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
𝑥0
𝑥1
𝑥
1
4
2𝑥 + 1
3
9
Aplicando la fórmula generalizada (6)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )]
2
(6)
4
3
3
3
∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [3 + 9] = [3 + 9] = [12] = 18
2
2
2
1
Por definición de error es la diferencia entre el valor verdadero 𝑉𝑣 y una aproximación a
este valor 𝑉𝑎 :
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 18 − 18 = 𝟎
Analizando el resultado obtenido de este ejemplo, se induce que cualquiera sea el valor de
𝑛, el resultado será siempre el mismo, y sobre todo, exacto, porque la función integrada es
lineal, o sea una ecuación de primer grado, que es representada por una recta, por lo tanto,
el resultado será exacto.
Notese que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎) 𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑎 + 𝑛ℎ) = 𝑓 (𝑎 + 𝑛
𝑏−𝑎
)
𝑛
=
𝑓(𝑎 + 𝑏 − 𝑎) = 𝑓(𝑏)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎)
𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑏)
Si en cada intervalo se aproxima la función por una recta, se tiene que el área de cada
intervalo es:
ℎ
𝐴𝑖 = (𝑦𝑖 + 𝑦𝑖+1 )
2
Ejercicio resuelto Nº 2:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
4
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
4−1
3
3
3
= =1
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas
en radianes.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥
1
2
3
4
2𝑥 + 1
3
5
7
9
Aplicando la fórmula generalizada (7)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
4
1
1
1
∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [3 + 2{5 + 7} + 9] = [3 + 24 + 9] = [36] = 𝟏𝟖
2
2
2
1
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 18 − 18 = 𝟎
Analizando el resultado obtenido en este ejemplo, y comparando con el ejemplo Nº 1, se
nota que sin importar en valor de ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
, el resultado es exacto, de nuevo se resalta que
esto se debe al tipo de función que se integra.
Toda función que representa una recta siempre presentará resultado exacto con este
método, cuyalquiqera sea en valor de ℎ considerado.
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se
denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual
absoluto.
Notese que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎) 𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑎 + 𝑛ℎ) = 𝑓 (𝑎 + 𝑛
𝑏−𝑎
)
𝑛
=
𝑓(𝑎 + 𝑏 − 𝑎) = 𝑓(𝑏)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎)
𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑏)
Si en cada intervalo se aproxima la función por una recta, se tiene que el área de cada
intervalo es:
𝐴𝑖 =
ℎ
(𝑦 + 𝑦𝑖+1 )
2 𝑖
Ejercicio resuelto Nº 3:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
1.2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1.2−0
1
= 1.2 − 0 = 1.2
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas
en radianes.
𝑥
𝑒
𝑥
𝑥0
𝑥1
0
1.2
1
3.3201
𝑡g 𝑥
0
2.5722
𝑒 𝑥 𝑡g 𝑥
0
8.53997
Aplicando la fórmula (6)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
1.2
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥2 )]
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
0
(7)
1.2
[0 + 8.53997] = 0.6 × 8.53997 = 𝟓. 𝟏𝟐𝟑𝟗𝟖𝟐
2
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Estimación de error
Analizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error,
pare verificar la amplitud del error cometido en la solución de este ejercicio por este
método en particular.
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 2.4776 − 5.123982 = 𝟐. 𝟔𝟒𝟔𝟑𝟖𝟐
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 2.646382
=
=
= 𝟏. 𝟎𝟔𝟖𝟏𝟐𝟑𝟐
𝑉𝑣
𝑉𝑣
2.4776
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 1.0681232(%) = 𝟏𝟎𝟔%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande, más del doble del
valor verdadero, resultado totalmente inaceptable, sin embargo, servirá como ejemplo
para interpretar cabalmente el concepto de la integración numérica.
En este caso, debe considerarse la posibilidad de utilizar otros métodos numéricos para la
resolución de este ejercicio, o, disminuir la longitud de los intervalos (ℎ) aumentando el
valor de 𝑛. Se considera aumentar el valor de 𝑛 para así disminuir el valor de ℎ.
Ejercicio resuelto Nº 4:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
1.2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1.2−0
2
=
1.2
2
= 0.6
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas
en radianes.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥
0
0.6
1.2
𝑒𝑥
1
1.8221
3.3201
𝑡g 𝑥
0
0.6841
2.5722
𝑒 𝑥 𝑡g 𝑥
0
1.24650
8.53997
Paso 3: Aplicando la fórmula (7)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
1.2
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
ℎ
{𝑓(𝑥0 ) + 2[𝑓(𝑥1 )] + 𝑓(𝑥7 )} (7) reducido a tres nodos.
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
0
(7)
0.6
{0 + 2[1.24650+] + 8.53997} = 0.3{0 + 2.493 + 8.53997}
2
1.2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 0.3{11.03227} = 𝟑. 𝟑𝟎𝟗𝟔𝟖𝟏
0
Paso 4: Verificación de error
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 2.4776 − 3.309681 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟐𝟎𝟖𝟏
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.832081
=
=
= 𝟎. 𝟑𝟑𝟓𝟖𝟒𝟏𝟓𝟒
𝑉𝑣
𝑉𝑣
2.4776
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
9
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.33584154(%) = 𝟑𝟑. 𝟓𝟖%
𝑉𝑣
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Ejercicio resuelto Nº 5:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
1.2
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1.2−0
6
= 0.2
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
Donde: ℎ: Longitud de cada intervalo.
𝑥0 : Limite inferior de la integral, también se representa por 𝑎.
𝑥𝑛 : Limite superior de la integral, también se representa por 𝑏.
𝑛: Numero de particiones, es decir, de intervalos.
Observación: Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas
en radianes.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
2.7182
3.3201
𝑡g 𝑥
0
0.2027
0.4228
0.6841
1.0296
1.5574
2.5722
𝑥
0
0.24758
0.63073
1.24650
2.29137
4.23332
8.53997
𝑥
𝑒
𝑥
𝑒 𝑡g 𝑥
Paso 3: Aplicación de la fórmula (7)
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
1.2
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
0.2
[0 + 2{0.24758 + 0.63073 + 1.24650 + 2.29137 + 4.23332}
2
+ 8.53997]
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
0
1.2
0.2
[0 + 2{8.6495} + 8.53997] = 0.1[0 + 17.299 + 8.53997]
2
= 𝟐. 𝟓𝟖𝟑𝟖𝟗𝟕
∫ 𝑒 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
0
y
f(x)=e^x * tan x
12
10
8
6
4
2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-2
Paso 4: Verificación de error
Analizando el resultado de este ejemplo, se plantea las siguientes condiciones de error,
pare verificar la amplitud del error cometido en la solución de este ejercicio por este
método en particular.
Por definición de error es la diferencia entre el valor verdadero 𝑉𝑣 y una aproximación a
este valor 𝑉𝑎 :
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 2.4776 − 2.583897 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔𝟑𝟔
Por definición el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real 𝑉𝑟 ≠ 0
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.10636
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖𝟔𝟒
𝑉𝑣
𝑉𝑣
2.4776
El error porcentual se define como el error relativo expresado en por ciento (%).
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.04292864(%) = 𝟒. 𝟐𝟗𝟐𝟖𝟔𝟒%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande y debe
considerarse la posibilidad de utilizar otros métodos numéricos para la resolución de este
ejercicio, o, disminuir la longitud de los intervalos (ℎ) aumentando el valor de 𝑛.
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se
denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual
absoluto.
Nótese que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎) 𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑎 + 𝑛ℎ) = 𝑓 (𝑎 + 𝑛
𝑏−𝑎
)
𝑛
=
𝑓(𝑎 + 𝑏 − 𝑎) = 𝑓(𝑏)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑎)
𝑦 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑏)
Si en cada intervalo se aproxima la función por una recta, se tiene que el área de cada
intervalo es:
𝐴𝑖 =
ℎ
(𝑦 + 𝑦𝑖+1 )
2 𝑖
Ejercicio resuelto Nº 6:
Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟏.𝟐 −𝟎
𝟐.𝟑
=
𝟏.𝟐
𝟔
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
Paso 2: Se construye una tabla de pares ordenados en intervalos iguales, usando el valor
de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete
pares de puntos:
La función coseno debe hallarse en radianes.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
𝑒𝑥
1
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
2.7182
3.3201
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
0.9801
0.9211
0.8253
0.6967
0.5430
0.3624
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
1.19709
1.37409
1.50378
1.55050
1.47598
1.2032
Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
1.2
∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
0
0.2
[1 + 2{1.19709 + 1.37409 + 1.50378 + 1.55050 + 1.47598}
2
+ 1.2032]
=
1.2
0.2
[1 + 2{7.10144} + 1.2032] = 0.1[1 + 14.20288 + 1.2032]
2
= 𝟏. 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟎𝟖
∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =
0
1.2
Conclusión:
∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟎𝟔𝟎𝟖
0
2
y
f(x)=e^x*cos x
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-0.2
-0.4
Verificación de error
El valor aproximado hallado es: 𝟏. 𝟔𝟒𝟎𝟔
El valor verdadero es:
𝟏. 𝟔𝟒𝟖𝟖
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.6488 − 1.6406 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟐
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.0082
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟖
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.6488
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00497(%) = 𝟎. 𝟒𝟗𝟕%
𝑉𝑣
Comparando el ejemplo 1 con el ejemplo 2, se nota que en el primer ejemplo el error es
mucho mayor, eso se debe a que la función tangente crece muy rápidamente y el trapecio
formado entre la función presenta área mayor; mientras que la función coseno presenta
muy poca área entre sus trapecios formados y la curva de la función.
Ejercicio resuelto Nº 7:
Aproximar la integral aplicando la regla del trapecio, para mayor precisión subdividir en
cinco intervalos, o sea con 𝑛 = 5.
1
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
𝟏 −𝟎
𝟓
Paso 1: Hallar el valor de h, 𝒉 =
𝟏
𝟓
=
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥
𝑒𝑥
2
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.0408
1.1735
1.4333
1.8965
2.7183
Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
1
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
0
1
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
0.2
[1 + 2{1.0408 + 1.1735 + 1.4333 + 1.8965} + 2.7183]
2
0.2
[1 + 2{5.5441} + 2.7183] = 0.1[14.8065] = 𝟏. 𝟒𝟖𝟎𝟔𝟓
2
1
Conclusión:
(7)
2
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏. 𝟒𝟖𝟎𝟔𝟓
0
El valor verdadero de la integral buscada es: 1.4627
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.4627 − 1.48065 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟗𝟓
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.01795
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟑
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.4627
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00497(%) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟑%
𝑉𝑣
Ejercicio resuelto Nº 8:
4
Evaluar la siguiente funcion: ∫
1
1
𝑑𝑥 ,
𝑥
para 𝑛 = 6
Solución:
Paso 1: Hallar el valor de h: 𝒉 =
𝟒 −𝟏
𝟔
=
𝟑
𝟔
= 0.5, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
1
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
1
𝑥
2
3
1
2
5
1
2
1
3
2
7
1
4
Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
4
∫
1
4
∫
1
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
1
0.5
2 1 2 1 2
1
1
153
1
𝑑𝑥 =
[1 + 2 { + + + + } + ] = [1 + 2 {
}+ ]
𝑥
2
3 2 5 3 7
4
4
70
4
1
1
153 1
1 787
787
𝑑𝑥 = [1 +
+ ]= [
= 𝟏. 𝟒𝟎𝟓𝟑
]=
𝑥
4
35 4
4 140
560
4
1
𝑑𝑥 = 𝟏. 𝟒𝟎𝟓𝟑
1 𝑥
El valor verdadero de la integral buscada es: 1.3863
Conclusión:
∫
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.3863 − 1.4053 = |−𝟎. 𝟎𝟏𝟗| = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.0019
=
=
− 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.3863
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00137(%) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟕%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
Ejercicio resuelto Nº 9
1
Evaluar la siguiente funcion: ∫
0
2
√1 + 𝑥 2
𝑑𝑥, para 𝑛 = 4
Solución:
Paso 1: Hallar el valor de h: 𝒉 =
𝟏 −𝟎
𝟒
=
𝟏
𝟒
= 0.25, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥0
𝑥
2
0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
0.25 0.50 0.75 1.00
2.00 1.94 1.79 1.60 1.41
√1 + 𝑥 2
Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
(7)
1
∫
0
4
∫
1
2
√1 + 𝑥 2
𝑑𝑥 =
0.25
[2 + 2{1.94 + 1.79 + 1.60} + 1.41] = 0.125[2 + 2{5.33} + 1.41]
2
1
𝑑𝑥 = 0.125[2 + 10.66 + 1.41] = 0.125[14.07] = 𝟏. 𝟕𝟓𝟖𝟕𝟓
𝑥
1
Conclusión:
∫
2
𝑑𝑥 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟖𝟕𝟓
√1 + 𝑥 2
El valor verdadero de la integral buscada es: 1.7627
0
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.7627 − 1.75875 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟓
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.00395
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟒
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.7627
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00224(%) = 𝟎. 𝟐𝟐𝟒%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
Ejercicio resuelto Nº 10
2
3
Evaluar la siguiente funcion: ∫ √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥, para 𝑛 = 8
0
Solución:
Paso 1: Hallar el valor de h: 𝒉 =
𝟐 −𝟎
𝟖
=
𝟐
𝟖
𝟏
= 𝟒 = 0.25, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
√𝑥 2 + 5 1.71 1.7171 1.7380 1.7718 1.8171 1.8722 1.9354 2.005 2.0804
3
Paso 3: Se aplica la fórmula (7) del rectángulo
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
2
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 2{𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 )} + 𝑓(𝑥7 )]
2
3
∫ √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 =
0
2
3
∫ √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 =
0
(7)
0.25
[1.71 + 2{1.72 + 1.74 + 1.77 + 1.82 + 1.87 + 1.94 + 2.01} + 2.08]
2
0.25
[1.71 + 2{12.87} + 2.08] = 0.125[1.71 + 25.74 + 2.08] =
2
2
3
∫ √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 = 0.125[29.53] = 3.69125
0
2
Conclusión:
3
∫ √𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 = 𝟑. 𝟔𝟗𝟏𝟐𝟓
0
El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6864
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 3.6864 − 3.69125 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟖𝟓
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.00485
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟏
𝑉𝑣
𝑉𝑣
3.6864
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00131(%) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟏%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
EJERCICIOS DE FIJACIÓN
En todos los casos considerar el valor de 𝑛 tal que 4 ≤ 𝑛 ≤ 8
Los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales.
1
8) ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =
Resultado exacto de este ejercicio es 0.6666641
0
1.4
9) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
1
=
Resultado exacto de este ejercicio es 0.37033352
1.2
10) ∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
Resultado exacto de este ejercicio es 1.6640234
0
2
3
11) ∫ √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 =
Resultado exacto de este ejercicio es 1.4823763
1
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 =
−1 𝑥
12) ∫
Resultado exacto de este ejercicio es 1.8921661
3
13) ∫ 𝑥 2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 5.928007
2
1
14) ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
−2
=
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 1.3649290
𝜋
15) ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 5.8696044
0
𝜋
16) ∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 4.7280117
𝜋
2
𝜋
𝑑𝑥
17) ∫
√𝑥 2 + 1
0
𝑑𝑥 =
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 1.8622957
𝜋
18) ∫ 𝑥 −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 0.5777350
1
1.5
19) ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 1.1931572
0.5
1
20) ∫
0
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
2 𝑥2 − 3
Resultado exacto de este ejercicio es 0.5777350
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂
𝟏
𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒔𝒐𝒏
𝟑
Otra de las fórmulas de Newton-Cotes es la regla de Simpson de 1/3, consiste en
aproximar la curva con polinomios de grado 2, es decir, con parábolas.
La regla (1/3) de Simpson para integración a lo largo de un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], se
realiza particionando el intervalo[𝑎, 𝑏] en número par 2𝑛 de sub-intervalos de amplitud ℎ
igual a ℎ =
𝑏−𝑎
2𝑛
de tal forma que 𝑥0 = 𝑎, 𝑥2𝑛 = 𝑏. El número de subdivisiones debe ser
múltiplo de 2, pues se necesita de dos sub-intervalos y por lo tanto de tres puntos. Para
obtener la ecuación de una parábola se requieren tres puntos, lo cual se logra con dos
particiones, por lo cual la 𝑛 debe de ser par.
𝑥2
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )]
3
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂
𝟏
𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒔𝒐𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒂
𝟑
La regla (1/3) de Simpson viene dada por la formula:
𝑥2𝑛
∫
𝑥0
𝑥2
𝑥4
𝑥2𝑛
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + ∫
𝑥0
𝑥2
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥2𝑛−2
Usando la regla (1/3) de Simpson a lo largo del intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+2 ], 𝑖 = 0, 2, … ,2𝑛 − 2, se
tiene:
𝑥2𝑛
∫
ℎ
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )] + [𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 )] + ⋯
3
3
ℎ
+ [𝑓(𝑥2𝑛−2 ) + 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )]
3
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
𝑥0
𝑥2𝑛
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 2𝑓(𝑥4 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥2𝑛−2 )
3
+ 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )]
(7)
Simplificando la expresión se tiene:
𝑏
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑥0
𝑛−1
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
ℎ
2ℎ
4ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘 ) +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘−1 ) (8)
3
3
3
La siguiente expresión de la regla (1/3) de Simpson, o sea su generalización, es la que se
utiliza en la práctica:
𝑥2𝑛
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 2𝑓(𝑥4 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥2𝑛−2 )
3
+ 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )]
(7.2)
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio resuelto 8.1:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟏.𝟐 −𝟎
𝟐.𝟑
=
𝟏.𝟐
𝟔
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
𝑒𝑥
1
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
2.7182
3.3201
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
0.9801
0.9211
0.8253
0.6967
0.5430
0.3624
𝑥
1
1.19709
1.37409
1.50378
1.55050
1.47598
1.2032
𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥
La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones
trigonométricas.
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
𝑏
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑥0
𝑛−1
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
2
3
𝑘=1
𝑘=1
ℎ
2ℎ
4ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘 ) +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘−1 )
3
3
3
Cuando 𝑛 = 3, la formula (8) queda como sigue:
𝑏
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑥0
𝑏
ℎ
2ℎ
4ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] + ∑ 𝑓(𝑥2𝑘 ) +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘−1 )
3
3
3
𝑥6
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥0
+
1.2
∫
1.2
4ℎ
[𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥5 )]
3
0.2
2 × 0.2
[1.37409 + 1.55050]
[1 + 1.2032] +
3
3
4 × 0.2
[1.19709 + 1.50378 + 1.47598]
+
3
𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
0
∫
ℎ
2ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥6 )] + [𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥4 )]
3
3
𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
0
1
2
4
[2.2032] + [2.92459] + [4.17685]
15
15
15
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥  0.14688 + 0.389945333 + 1.113826667 = = 𝟏. 𝟔𝟓𝟓𝟎𝟗𝟐𝟎𝟎𝟑
0
El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.6487744273 − 1.655092003 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟑𝟏𝟕𝟓𝟕𝟔
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
0.006317576
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟑𝟏𝟔𝟖
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.6487744273
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00383168(%) = 𝟎. 𝟑𝟖𝟑𝟐%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
Ejercicio resuelto Nº 1:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟏.𝟐 −𝟎
𝟐.𝟑
=
𝟏.𝟐
𝟔
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
𝑒𝑥
1
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
2.7182
3.3201
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
0.9801
0.9211
0.8253
0.6967
0.5430
0.3624
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
1.19709
1.37409
1.50378
1.55050
1.47598
1.2032
La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones
trigonométricas.
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
𝑏
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑥0
𝑛−1
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
ℎ
2ℎ
4ℎ
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘 ) +
∑ 𝑓(𝑥2𝑘−1 )
3
3
3
Cuando 𝑛 = 2, la formula (8) queda como sigue:
𝑏
𝑥𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑥0
+
1.2
∫
0
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
ℎ
2ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] + [𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥4 )]
3
3
4ℎ
[𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥5 )]
3
ℎ
2 × 0.2
[1.37409 + 1.55050]
[1 + 1.2032] +
3
3
4 × 0.2
[𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥5 )]4(1.19709) + 2(1.37409) + 4(1.50378)
+
3
𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
+ 2(1.55050) + ⋯ + 4(1.47598)]
1.2
∫
0
0.2
[1 + 4(1.19709) + 2(1.37409) + 4(1.50378) + 2(1.55050) + ⋯
3
+ 4(1.47598) + 1.2032]
𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥  0.06666 [1 + 4.78836 + 2.74818 + 6.01512 + 3.101 + 5.90392
0
+ 1.2032]
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 0.06666 [24.75978] = 1.650652 …
0
1.2
∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝟏. 𝟔𝟓𝟎𝟔𝟓𝟐 …
0
El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6488.
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 1.6488 − 1.650652 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟓𝟐
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.001852
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟑
𝑉𝑣
𝑉𝑣
1.6488
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.001123(%) = 𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟑%
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣
𝐸𝑟 =
Ejercicio resuelto Nº 2:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
1.2
∫ 𝑒 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: hallar el valor de ℎ: ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1.2−0
6
= 0.2
Paso 2: Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración,
usando el valor de ℎ hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente
espaciados con siete pares de puntos:
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
𝑒𝑥
1
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
2.7182
3.3201
𝑡g 𝑥
0
0.2027
0.4228
0.6841
1.0296
1.5574
2.5722
𝑥
0
0.24758
0.63073
1.24650
2.29137
4.23332
8.53997
𝑒 𝑡g 𝑥
Paso 3: se aplica la formula de la regla de Simpson 1/3
1.2
∫
0
(7.2)
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 2𝑓(𝑥4 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥2𝑛−2 )
3
+ 4𝑓(𝑥2𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥2𝑛 )] (7.2)
𝑒 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 =
1.2
∫
0.2
[0 + 4(0.24758) + 2(0.63073) + 4(1.24650) + 2(2.29137)
3
+ 4(4.23332) + (8.53997)]
𝑒 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 =
0
1.2
∫
𝑒 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 =
1
[0 + 0.99032 + 1.26146 + 4.986 + 4.58274 + 16.93328 + 8.53997]
15
𝑒 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 =
1
[37.29377] = 0.066667[37.29377] = 2.48625
15
0
1.2
∫
0
El valor verdadero de la función (𝑒 𝑥 tg 𝑥) para los límites de integración considerados es:
2.4776
Paso 4: Calculo de error:
Es usual emplear el valor absoluto en los cálculos de errores.
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 2.4776 − 2.48625 = |−𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟔𝟓| = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟔𝟓
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.00865
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟒𝟗
𝑉𝑣
𝑉𝑣
2.4776
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00349(%) = 𝟎. 𝟑𝟒𝟗%
𝑉𝑣
Conclusión: Haciendo una comparación en cuanto a la resolución de este ejercicio por el
método de Simpson (1/3) y el método anterior (método del trapecio), se nota que el error
ha disminuido sustancialmente, pasando de un error muy grande arrojado en la resolución
por el método del trapecio de 4.293% a solo un 0.349% producido por el método de
Simpson (1/3), reduciendo el error 12,3 veces.
Ejercicio resuelto Nº 3:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
1.3
∫ √𝑥 𝑑𝑥
1
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟏.𝟑 −𝟏
𝟐.𝟑
=
𝟎.𝟑
𝟔
= 0.05, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
1
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1
√𝑥
1.02470 1.04881 1.07238 1.09545 1.11803 1.14018
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
1.3
∫
1
√𝑥 =
0.05
[1 + 4(1.0247) + 2(1.0488) + 4(1.0724) + 2(1.0955) + 4(1.1180)
3
+ 1.1402]
1.3
∫ √𝑥 𝑑𝑥 = 0.016666 [1 + 4.0988 + 2.0976 + 4.2896 + 2.1910 + 4.4720 + 1.1402]
1
1.3
∫
1
√𝑥 = 0.016666 [19.2892] = 0.32148666 …
1.3
∫
1
√𝑥 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟏𝟒𝟖𝟔𝟔 …
El verdadero valor de la integral buscada es: 0.32150
Paso 4: Calculo de error:
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 0.32150 − 0.3214866 … = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 …
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.0000133
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟏𝟓
𝑉𝑣
𝑉𝑣
0.32150
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.0000415(%) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟏𝟓%
𝑉𝑣
Conclusión: En este caso, el error presentado en el cálculo es tan ínfimo, que hasta podría
considerarse el resultado hallado como exacto.
Ejercicio resuelto Nº 4:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
0.8
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟎.𝟖 −𝟎
𝟐.𝟐
=
𝟎.𝟖
𝟒
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥0
𝑥
cos 𝑥
0
1
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
0.2
0.4
0.6
0.8
0.98006 0.92106 0.82534 0.69671
La función coseno debe hallarse en radianes.
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
𝑥0
𝑥
cos 𝑥
0.8
∫
cos 𝑥 𝑑𝑥 
0
0
1
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
0.2
0.4
0.6
0.8
0.98006 0.92106 0.82534 0.69671
0.2
[1 + 4(0.98006) + 2(0.92106) + 4(0.82534) + 0.69671]
3
0.8
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥  0.066666 [1 + 3.92024 + 1.84212 + 3.30136 + 0.69671]
0
0.8
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥  0.066666 [10.76043] = 𝟎. 𝟕𝟏𝟕𝟑𝟔𝟐 …
0
0.8
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥  𝟎. 𝟕𝟏𝟕𝟑𝟔𝟐
0
El verdadero valor de la integral buscada es: 0.7174
Paso 4: Calculo de error:
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 0.7174 − 0.717362 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟖
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.000038
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟐𝟗𝟕
𝑉𝑣
𝑉𝑣
0.7174
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.00005297(%) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟐𝟗𝟕%
𝑉𝑣
Conclusión: El error presentado en este problema es también pequeño, por lo que puede
considerarse un resultado correcto muy próximo al valor verdadero.
Ejercicio resuelto Nº 5:
Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:
0.8
∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
0
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝟎.𝟖 −𝟎
𝟐.𝟐
=
𝟎.𝟖
𝟒
= 0.2, es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de parres ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.
𝑥0
𝑥
𝑒𝑥
𝑥 𝑒𝑥
0
1
0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.22140 1.48182 1.82212
2.22554
0.24428 0.59673 1.093271 1.78043
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
0.8
∫
𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 
0
0.8
∫
0.2
[0 + 4(0.24428) + 2(0.59673) + 4(1.09327) + 1.78043]
3
𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥  0.066666 [0 + 0.97712 + 1.19346 + 4.37308 + 1.78043] =
0
0.2
× 8.32409
3
0.8
∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥  0.066666 [8.32409] = 𝟎. 𝟓𝟓𝟒𝟗𝟑𝟗𝟑 …
0
0.8
∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥  𝟎. 𝟓𝟓𝟒𝟗𝟑𝟗𝟑
0
El verdadero valor de la integral buscada es: 0.5548918…
Paso 4: Calculo de error:
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 0.5548918 − 0.5549393 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟓
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 0.0000475
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟓𝟔
𝑉𝑣
𝑉𝑣
0.5548918
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.0000856(%) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟓𝟔%
𝑉𝑣
Conclusión: El error presentado en este problemas es bastante reducido, por lo que puede
considerarse una buena aproximación al valor verdadero.
EJERCICIOS DE FIJACIÓN
Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla 1/3 de Simpson
1,5
6) ∫ (𝑥 2 − 3)𝑑𝑥
𝑅 = −3,375
0
1
7) ∫ (𝑥 3 − 2𝑥)𝑑𝑥
𝑅=0
−1
2
𝑑𝑥
𝑥
8) ∫
1
𝑅 = 1,0986
5
9) ∫ 𝑥 −𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑅 = 37,3541
0
1
10) ∫ 𝑥 −𝑥 𝑑𝑥
𝑅 = 1,2913
0
0
𝑑𝑥
−1 𝑥 + 2
11) ∫
1
2
12) ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑅 = 0,6931
𝑅 = 1,4627
0
4
13) ∫
2
𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑅 = 14,6766
1,5
14) ∫ 𝑒 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑅 = 13,7251
0
1
15) ∫
0
𝑑𝑥
3𝑥 + 2
𝑅 = 0,3054
REGLA DE SIMPSON DE 3/8
La regla de Simpson de (3/8) considera el valor de 𝑛 = 3, con el proposito de obtener una
formula para integrar 𝑓(𝑥) entre cuatro puntos consecutivos 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , consistiendo en
aproximar la función mediante una cubica. Partiendo de la formula de Lagrange:
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝑓(𝑥0 ) +
𝑓(𝑥1 ) +
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 )
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 )
𝑓(𝑥) ≅
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
𝑓(𝑥2 ) +
𝑓(𝑥3 )
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 )
(𝑥3 − 𝑥0 )(𝑥3 − 𝑥1 )(𝑥3 − 𝑥2 )
De esta expresión inicial se tiene:
+
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
𝑥3
𝑓(𝑥0 )
∫ (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )𝑑𝑥
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 ) 𝑥0
𝑥3
𝑓(𝑥1 )
+
∫ (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )𝑑𝑥
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 ) 𝑥0
+
𝑥3
𝑓(𝑥2 )
∫ (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 )𝑑𝑥
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 ) 𝑥0
+
𝑥3
𝑓(𝑥3 )
∫ (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )𝑑𝑥
(𝑥3 − 𝑥0 )(𝑥3 − 𝑥1 )(𝑥3 − 𝑥2 ) 𝑥0
Tomando sustituciones:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑢ℎ,
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ,
𝑖 = 1, 2, 3
𝑥3 = 𝑥0 + 3ℎ,
𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 ,
se tiene que 𝑢 = 0 y si 𝑥 = 𝑥3 ; entonces 𝑥3 = 𝑥0 + 𝑢ℎ,
𝑥0 + 3ℎ = 𝑥0 + 𝑢ℎ,
𝑎𝑠𝑖 𝑢 = 3 𝑥 = 𝑥0 ,
𝑑𝑥 = ℎ𝑑𝑢, 𝑥 − 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥0 − ℎ = 𝑢ℎ − ℎ = ℎ(𝑢 − 1),
𝑥 − 𝑥2 = 𝑥 − 𝑥0 − 2ℎ = 𝑢ℎ − 2ℎ = ℎ(𝑢 − 2),
𝑥 − 𝑥3 = 𝑥 − 𝑥0 − 3ℎ = 𝑢ℎ − 3ℎ = ℎ(𝑢 − 3), y 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 = (𝑘 − 𝑗)ℎ
De esto:
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
+
3
𝑓(𝑥0 )
∫ ℎ(𝑢 − 1)ℎ(𝑢 − 2)ℎ(𝑢 − 3)ℎ 𝑑𝑢
(−ℎ)(−2ℎ)(−3ℎ) 0
3
𝑓(𝑥1 )
∫ 𝑢ℎℎ(𝑢 − 2)ℎ(𝑢 − 3)ℎ 𝑑𝑢
(ℎ)(−ℎ)(−2ℎ) 0
+
3
𝑓(𝑥2 )
∫ 𝑢ℎℎ(𝑢 − 1)ℎ(𝑢 − 3)ℎ 𝑑𝑢
(2ℎ)(ℎ)(−ℎ) 0
+
3
𝑓(𝑥3 )
∫ 𝑢ℎℎ(𝑢 − 1)ℎ(𝑢 − 2)ℎ 𝑑𝑢
(3ℎ)(2ℎ)(ℎ) 0
Luego:
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
−ℎ4 𝑓(𝑥0 ) 3 3
∫ (𝑢 − 6𝑢2 + 11𝑢 − 6)𝑑𝑢
6ℎ3
0
−ℎ4 𝑓(𝑥1 ) 3 3
+
∫ (𝑢 − 5𝑢2 + 6𝑢)𝑑𝑢
2ℎ3
0
+
−ℎ4 𝑓(𝑥2 ) 3 3
∫ (𝑢 − 4𝑢2 + 3𝑢)𝑑𝑢
2ℎ3
0
+
−ℎ4 𝑓(𝑥3 ) 3 3
∫ (𝑢 − 3𝑢2 + 2𝑢)𝑑𝑢
6ℎ3
0
De esto resulta:
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ −
𝑥0
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
ℎ𝑓(𝑥0 ) − 9
ℎ𝑓(𝑥1 )9 ℎ𝑓(𝑥2 ) − 9
ℎ𝑓(𝑥3 )9
+
−
+
6×4
2×4
2×4
6×4
3ℎ𝑓(𝑥0 )
9ℎ𝑓(𝑥1 ) 9ℎ𝑓(𝑥2 )
3ℎ𝑓(𝑥3 )
+
+
+
8
8
8
8
Al final se tiene:
𝑥3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥0
3ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 )]
8
(6)
Esta formula (6) se conoce como la Regla de Simpson (3/8) de la fórmula de Newton –
Cotres.
La formula (6) expresa la regla de Simpson (3/8) con la menor particion de sus intervalos
igualmente espaciados de mayor amplitud con ℎ =
𝑏−𝑎
,
3𝑛
sin embargo, para mayor
precision, normalmente se realizan subdivisiones mayores de los intervalos de
integracion, para lo cual la formula se generaliza de la siguiente forma:
𝑥3𝑛
∫
𝑥0
3
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ℎ[𝑓(𝑥0 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 )]
8
Esta regla es más complicada. La primera sumatoría solo incluye aquellas i's que sean
múltiplos de 3. La segunda el resto, es decir, las i's que no sean múltiplos de 3. Entre las 2
cubren desde 1 hasta N-1. Para una cubica se requieren 4 puntos, por lo cual se utilizan 3
intervalos. Por esta razón N debe de ser un múltiplo de 3.
Regla 3/8 de Simpson Generalizada o compuesta
Considerando la partición 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 } del intervalo cerrado [a, b], para ℎ =
𝑏−𝑎
,
3𝑛
con
𝑥𝑘 = 𝑥0 + ℎ𝑘, 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛.; aplicando a cada sub-intervalos [𝑥3𝑘−3 , 𝑥3𝑘 ] la regla de
Simpson 3/8, luego en cada sub-intervalo se tiene:
𝑥3𝑘
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑥3𝑘−3
3ℎ
[𝑓(𝑥3𝑘−3 ) + 3𝑓(𝑥3𝑘−2 ) + 3𝑓(𝑥3𝑘−1 ) + 𝑓(𝑥3𝑘 )]
8
De esto se tiene:
𝑛
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑
𝑎
𝑘=1
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑎
3ℎ
[𝑓(𝑥3𝑘−3 ) + 3𝑓(𝑥3𝑘−2 ) + 3𝑓(𝑥3𝑘−1 ) + 𝑓(𝑥3𝑘 )]
8
3ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥6 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥3𝑛−3 ) + 3𝑓(𝑥1 ) + 3𝑓(𝑥4 ) + 3𝑓(𝑥7 ) + ⋯
8
+ 3𝑓(𝑥3𝑛−2 ) + 3𝑓(𝑥2 ) + 3𝑓(𝑥5 ) + 3𝑓(𝑥8 ) + ⋯ + 3𝑓(𝑥3𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥3 )
+ 𝑓(𝑥6 ) + 𝑓(𝑥9 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥03𝑛 )]
3ℎ
6ℎ
[𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥6 ) + 𝑓(𝑥9 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥3𝑛−3 )]
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥3𝑛 )] +
8
8
9ℎ
9ℎ
[𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥4 ) + 𝑓(𝑥7 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥3𝑛−2 )] +
+
[𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥5 ) + 𝑓(𝑥8 )
8
8
+ ⋯ + 3𝑓(𝑥3𝑛−1 )]
Simplificando:
𝑥𝑛
∫
𝑥0
𝑛−1
3ℎ
3ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] +
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
∑ 𝑓(𝑥3𝑘 )
8
4
𝑛
+
𝑘=1
𝑛
9ℎ
9ℎ
∑ 𝑓(𝑥3𝑘−2 ) +
∑ 𝑓(𝑥3𝑘−1 ) (8)
8
8
𝑘=1
𝑘=1
La formula (8) es la regla compuesta o generalizada de método de 3/8 de Simpson.
Ejercicios resueltos:
EJERCICIOS RESUELTOS COMO EJEMPLOS:
Ejercicio resuelto Nº 1:
Usando la regla (3/8) de Simpson, calcular la integral:
2.2
∫ 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥
1
Solución:
Paso 1: buscar el valor de h, 𝒉 =
𝒃−𝒂
𝟑𝒏
=
𝟐.𝟐−𝟏
𝟑×𝟏
=
𝟏.𝟐
𝟑
= 𝟎. 𝟒 es el valor del intervalo a tomar.
Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.4 hallado.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥
1
1.4
1.8
2.2
𝑥3
1
2.744
5.832
𝑙𝑛 𝑥
0
0.33647 0.58779 0.78846
3
0
0.92327 3.42799 8.39552
𝑥 𝑙𝑛 𝑥
10.648
Paso 3: ahora se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:
𝑥3𝑛
∫
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
3 × 0.4
[0 + 3 × 0.92327 + 3 × 3.42799 + 8.39552]
8
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
3 × 0.4
3 × 0.4
[0 + 2.76981 + 10.28397 + 8.39552] =
× 21.4493
8
8
𝑥0
𝑥3𝑛
∫
𝑥0
= 𝟑. 𝟐𝟏𝟕𝟑𝟗𝟓
El verdadero valor de la integral buscada es: 3.2159216852
𝐸 = 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎 = 3.2159216852 − 3.217395 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕𝟑𝟑
𝐸𝑟 =
𝐸 𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
0.0014733
=
=
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟖
𝑉𝑣
𝑉𝑣
3.2159216852
𝐸% = 100𝐸𝑟 (%) = 100 ×
𝑉𝑣 − 𝑉𝑎
(%) = 100 × 0.000458(%) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓𝟖%
𝑉𝑣
Método de Boole
Existen dos teoremas que se presentaran sin demostración, son las que permiten obtener
las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cotes.
Teorema 1: Supongamos que ∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ), sea la formula cerrada de Newton-Cotes, con
𝑥0 = 𝑎 𝑦 𝑥𝑛 = 𝑏, donde ℎ =
𝑏−𝑎
,
𝑛
entonces existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que:
Cuando 𝒏 es par:
𝑏
𝑛−1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) +
𝑎
𝑖=1
ℎ(𝑛+3) 𝑓 (𝑛+2) (𝑐) 𝑛 2
∫ 𝑡 (𝑡 − 1)(𝑡 − 2)(𝑡 − 𝑛)𝑑𝑡
(𝑛 + 2)!
0
Si 𝑛 es par, 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛+2 [𝑎, 𝑏]
Cuando 𝒏 es impar:
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) +
𝑎
𝑖=0
ℎ(𝑛+2) 𝑓 (𝑛+1) (𝑐) 𝑛
∫ 𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 2)(𝑡 − 𝑛)𝑑𝑡
(𝑛 + 1)!
0
𝑏
Si 𝑛 es impar, 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛+1 [𝑎, 𝑏]; 𝑎𝑖 = ∫𝑎 𝐿𝑖 (𝑥)𝑑𝑥
La formula cerrada de Newton-Cotes, en el caso particular en que 𝑛 = 4, es llamada la
Regla de Boole, y se expresa por la siguiente fórmula:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
𝑎
2ℎ
8ℎ7 (6)
[7𝑓(𝑥0 ) + 32𝑓(𝑥1 ) + 12𝑓(𝑥2 ) + 32𝑓(𝑥3 ) + 7𝑓(𝑥4 )] −
𝑓 (𝜉) (10)
45
945
Teorema 2:
Supongamos que ∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ), sea la formula abierta de Newton-Cotes, con 𝑥𝑛−1 =
𝑏−𝑎
𝑎 𝑦 𝑥𝑛+1 = 𝑏, donde ℎ = 𝑛+2, entonces existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que:
Cuando 𝒏 es par:
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) +
𝑎
𝑖=0
ℎ(𝑛+3) 𝑓 (𝑛+2) (𝑐) 𝑛+1 2
∫ 𝑡 (𝑡 − 1)(𝑡 − 2)(𝑡 − 𝑛)𝑑𝑡
(𝑛 + 2)!
−1
Si 𝑛 es par y si 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛+2 [𝑎, 𝑏] Si
Cuando 𝒏 es impar:
𝑎
ℎ(𝑛+2) 𝑓 (𝑛+1) (𝑐) 𝑛+1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∑ 𝑎𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ) +
∫ 𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 2) … (𝑡 − 𝑛)𝑑𝑡
(𝑛 + 1)!
𝑎
−1
𝑏
𝑖=0
Si 𝑛 es impar, 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛+1 [𝑎, 𝑏];