Problemas de FFEA VECTORES (versi´on 09.09.22) 1. Dados los

Problemas de FFEA
VECTORES (versión 09.09.22)
~ = 3~i + 4~j − 5~k y B
~ = −1~i + 2~j + 6~k, calcular:
1. Dados los vectores, A
a) Las longitudes de los vectores.
b) Su producto escalar y vectorial.
c) Su suma.
d) ¿Son paralelos?.
e) Ángulo formado entre ellos.
f ) Dar una expresión de un vector unitario en la dirección perpendicular a los
~ y B.
~
vectores A
~ = ~i − 2~j + 3~k, B
~ = 2~i + ~j − 2~k y C
~ = ~i + 3~j − 5~k, pueden
2. Demostrar que los vectores, A
formar los lados de un triángulo.
~ = ~k,
3. Descomponer el vector V~ = ~i + 2~j − 3~k según la dirección de los vectores: A
~ = ~i + ~j + ~k y C
~ = ~i + ~k.
B
4. Encontrar, haciendo uso del cálculo vectorial, la ecuación del plano que pasa por el
punto de vector posición ~r = ~i + 5~j + 3~k y que es perpendicular al vector ~2~i + 3~j + 4~k
5. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno como se indica
en la figura adjunta. Determinar la resultante (módulo
y ángulo con la horizontal).
6. Dado un triángulo plano cualquiera de lados A, B y C
como el que se muestra en la figura, demostrar que
se cumple:
sin(β)
sin(γ)
sin(α)
=
=
A
B
C
C 2 = A2 + B 2 − 2 AB cos(γ)
7. Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito, formado por dos segmentos cuyos
extremos abarcan una semicircunferencia vale 90o .
~ = ~i + 2~j − ~k y B
~ = a~i − ~j + ~k dos vectores libres. Determinar el valor del
8. Sean A
~ , que va desde el extremo de A
~ hasta el extremo de
parámetro ’a’ para que el vector C
~ sea perpendicular al vector D
~ = −~i + ~j + ~k.
B,
~ = 2~i + 5~j + 2~k, B
~ = 3~i − ~j y C
~ = 2~i − 3~k, determinar:
9. Dados los vectores libres A
~yB
~ x C.
~
a) El área del triángulo definido por A
~ , perpendicular al plano del triángulo anterior, de módulo 4 y
b) El vector N
~aB
~ xC
~ siguiendo el menor
sentido el correspondiente al giro que pase de A
ángulo.
~ = ~i+2~j +3~k,aplicado en a(1,2,3);
10. Dado el siguiente sistema de vectores deslizantes: A
~ = ~i − ~j + ~k,aplicado en b(-1,0,4); C
~ = −~i + 2~j − 2~k,aplicado en c(2,0,-1); Determinar:
C
a) La resultante.
b) El momento resultante respecto del origen.
11. El momento de un sistema de vectores deslizantes respecto de tres puntos viene dado,
~ o = 2~i + ~j respecto de O(0,0,0) M
~ p = 4~i + a~j respecto
en función de ’a’ ’b’ y ’c’, por: M
~ q = b~i + 4~j + c~k respecto de Q(0,1,-1) Determinar:
de P(1,1,1) M
a) Los valores de ’a’, ’b’ y ’c.
b) El vector resultante.
~ un vector función del tiempo. Demostrar que:
12. Sea el vector A(t)
~·
a) A
~
dA
dt
= A dA
dt
b) Demostrar asimismo que si A tiene módulo constante entonces
~
pendicular a A.
~
dA
dt
es per-
13. Demostrar que, si un vector mantiene la dirección constante, el módulo de la derivada
coincide con la derivada del módulo.
Problemas de Estática y Dinámica
Soluciones de VECTORES
√
√
1. a) A = 5 2 ; B = 41
~·B
~ = −25; A
~×B
~ = 34~i − 13~j + 10~k
b) A
~
~
~
~
c) S = A + B = 2i + 6~j + 1~k
~×B
~ 6= 0
d) no son paralelos, ya que A
o
e) cos θ = −0, 5522; θ = 123, 5
f) ~u = 0, 9007~i − 0, 3444~j + 0, 2649~k
2. ~ + 2B
~ −C
~
3. ~v = −4A
4. 2x + 3y + 4z = 29
5. 199,6N, 4,1o con la horizontal antihorario.
6. 7. 8. a = 0
9. a) 4,387 √
b) N = 4/ 77 (−8~i + 2~j + 3~k)
~ = ~i + 3~j + 2~k
10. a) R
~ 0 = 6~i + 10~j + 5~k
b) M
11. a) a = −1; b = −2; c = 3
~ = 3~i + 3~j + 1~k
b) R
12. 13. -
PROBLEMAS DE VECTORES.
EXTRA (versión 070905)
J.L. Font
6 de septiembre de 2007
1. Demostrar que si |~a + ~b| = |~a − ~b| entonces ~a ⊥ ~b.
2. Dados los vectores ~a = 71 (2~i + 3~j + 6~k), ~b = 17 (3~i − 6~j + 2~k) y ~c = 71 (6~i + 2~j − 3~k), demostrar que son
unitarios, que son perpendiculares entre sı́ y que verifican que ~c = ~a × ~b.
3. Demostrar que si ~a + ~b + ~c = 0 entonces ~a × ~b = ~b × ~c = ~c × ~a.
4. Dado el vector ~v1 = 3~i + 2~j − 3~k aplicado en el punto P1 = (2, −6, 4) y el vector ~v2 = 6~i − 3~j + 2~k
aplicado en el punto P2 = (4, −1, −1), calcular la resultante, el momento del sistema respecto del
0
origen de coordenadas y el momento del sistema respecto del punto O = (2, −1, 5).
5. Dado el vector ~v = 3~i − 6~j + 8~k aplicado en el punto P = (2, 1, −2), calcular su momento respecto
del eje x−2
= y−5
= z−3
.
2
3
6
6. Calcular el momento del vector ~v = ~i − 3~j + 2~k aplicado en el punto P = (1, 1, 0) respecto del eje
que pasa por los puntos A = (1, 0, −1) y B = (2, 1, 1).
1
SOLUCIONES
1.
2.
3.
~ = 9~i − ~j − ~k; M
~ O = 5~i + 4~j + 16~k; M
~ 0 = −~i − 43~j + 9~k.
4. R
O
~ ~u (~v ) = − 97 ( 2~i + 3~j + 6 ~k)
5. M
7 7
7
7
~ ~u (~v ) = 2 (~i + ~j + 2~k)
6. M
3
2
Problemas de Estática y Dinámica
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Version 101014
1. Una partı́cula se mueve sobre el eje x de modo que su velocidad es v = 2 + 3t2 + 4t3
(m/s). En el instante t = 0 su posición es x = 3 m. Determinar:
a) Las unidades de las constantes 2, 3 y 4.
b) La posición de la partı́cula en un instante genérico t.
c) Su aceleración.
d) Su velocidad media en el intervalo de tiempo t1 = 2 s y t2 = 5 s.
2. Una partı́cula describe un movimiento rectilı́neo, siendo el espacio recorrido s = 4t3 −
3t2 − 6 donde ’S’ se expresa en metros y ’t’ en segundos.
a) Determinar las unidades de las constantes de la ecuación.
b) Si la partı́cula parte del reposo, calcular el tiempo que tardará en adquirir
una velocidad de 6 m/s.
c) Calcular el valor de la aceleración cuando la velocidad es de 6 m/s.
d) Calcular el desplazamiento experimentado por la partı́cula para t = 5 s.
3. El movimiento de una partı́cula viene dado por la ecuación; ~r(t) = (t−sin t)~i+(1−cos t)~j
determinar:
a) Su velocidad
b) Su aceleración
c) La ecuación de la hodógrafa.
4. El movimiento de una partı́cula en el plano x,y está definido por las ecuaciones paramétricas x = 2t, y = 4 sin(πt).
a) Determinar la ecuación de la trayectoria y representarla gráficamente.
b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partı́cula en función del tiempo.
c) En qué instantes alcanzan la velocidad y la aceleración sus valores extremos (máximos o mı́nimos).
5. Una pelota dejada caer desde la cornisa de un edificio emplea 0.25 segundos en pasar
frente a una ventana de 2 m de altura. ¿Qué distancia hay entre el borde superior de
la ventana y la cornisa?
6. Un automóvil tı́pico tiene una desaceleración máxima de unos 7 m/s2 , y el tiempo de
reacción tı́pico para aplicar los frenos es de 0,50 s. Si en una zona escolar un automóvil
debe cumplir la condición de poder detenerse en un máximo de 4 m;
a) ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en esta zona un automóvil tı́pico?.
b) ¿Qué fracción de los 4 m corresponde al tiempo de reacción?.
7. El maquinista de un tren expreso que circula con velocidad v1 observa a una distancia
d el furgón de cola de un tren de mercancı́as que marcha por delante del expreso,
sobre la misma vı́a y en el mismo sentido, con una velocidad v2 . El maquinista del
expreso aplica inmediatamente los frenos, produciéndose una deceleración constante
a, mientras que el mercancı́as continúa su marcha a velocidad constante. Determinar
el menor valor de la deceleración para que pueda evitarse la colisión.
8. Se deja caer una pelota A desde la parte superior de un edificio en el mismo instante
en el que desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba una segunda pelota B.
En el momento en que las pelotas chocan se encuentran desplazándose en sentidos
opuestos y la velocidad de la pelota A es el doble de la que lleva B. Determinar a que
altura se produce el choque (relativa a la altura total del edificio).
9. Un esquiador se desliza por una pista de pendiente
constante que forma un ángulo θ con la horizontal.
Tras haber partido del reposo, recorre una distancia
S sobre la pista antes de encontrarse con el borde de
un escarpado vertical de altura H, como se indica en
la figura. Al pie de la escarpadura la pista continúa con
la misma pendiente. Determinar la posición del punto
donde cae el esquiador. (Se desprecian los rozamientos).
10. Una bola cae verticalmente sobre un punto A de un
plano inclinado 20o , y rebota formando un ángulo de
40o con la vertical. Sabiendo que la bola cae nuevamente sobre el plano en el punto B, determinar:
a) La velocidad con la que rebota en el punto A.
b) El tiempo empleado en el trayecto de A a B.
11. Justamente en el instante en el que un indio dispara un dardo, apuntando con la cerbatana directamente hacia un mono que está colgando de una rama, el
mono se suelta y cae libremente. Demostrar que cualquiera que sea la velocidad v0 de salida del dardo, el
mono siempre será alcanzado. El ”siempre.anterior no
es totalmente cierto; hay un valor mı́nimo por debajo
del cual no será alcanzado. Determinar dicho valor.
12. Un jugador de béisbol golpea la bola a 0,9 m del suelo de manera que ésta adquiere
una velocidad de 14,4 m/s formando un ángulo de 30o sobre la horizontal. Un segundo
jugador, situado a 30 m del bateador y en el plano de la trayectoria de la bola, comienza
a correr en el mismo instante en el que el primero golpea la bola.
a) Calcular cuál ha de ser la mı́nima velocidad del segundo jugador si es capaz
de coger la bola a 2,4m del suelo.
b) ¿Qué distancia ha recorrido el segundo jugador?.
13. Dos puntos materiales inician simultáneamente el movimiento desde el punto A, ambos con velocidad inicial
v0 . Una partı́cula recorre el diámetro de una circunferencia de radio R con una aceleración constante de
sentido opuesto al de su velocidad inicial, cuyo módulo es a1 . La otra recorre la semicircunferencia con una
aceleración tangencial de módulo constante at tal que
at = a1 . Las partı́culas llegan simultáneamente al extremo B. Determinar:
a) Tiempo invertido en el recorrido.
b) El valor de at = a.
c) Aceleración de la segunda partı́cula en B.
d) ángulo que forman en B la aceleración y la velocidad de la segunda partı́cula.
e) Velocidad en B de la segunda partı́cula.
f ) Aplicación numérica: v0 = 2,57 m/s, R = 2 m
14. Una partı́cula se mueve en el sentido de la agujas del reloj sobre una circunferencia de
radio 1 m con su centro en (x, y) = (1m, 0). La partı́cula parte del reposo en el origen
en el instante t=0 y su velocidad crece con aceleración constante de (π/2) m/s2 . En el
instante en que la partı́cula ha recorrido la mitad de la circunferencia, calcular:
a) Tiempo que ha transcurrido.
b) Módulo y dirección de su velocidad.
c) Aceleración normal y tangencial.
d) Ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración.
15. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partı́cula son:
x = R cos(ωt);
y = R sin(ωt);
z = bt
donde R, ω, y b son constantes.
a) Hacer un esquema de la trayectoria.
b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partı́cula.
c) Determinar las componentes intrı́nsecas (tangencial y normal) de la aceleración.
16. El movimiento tridimensional de una partı́cula está definido por el vector posición ~r =
(R sin(ωt))~i + ct~j + (R cos(ωt))~k.
a) Determinar las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partı́cula.
b) Calcular las componentes intrı́nsecas de la aceleración.
17. Una partı́cula móvil se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas y su velocidad viene dada por ~v = 8t3~i + 6t2~j.
a) Determinar la trayectoria.
b) Obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración.
18. La posición de una partı́cula viene expresada por ~r = 3 sin(2πt)~i+2 cos(2πt)~j en donde
t se expresa en segundos y r en metros.
a) Determinar la trayectoria de la partı́cula en el plano x,y.
b) Determinar el instante en que su velocidad pasa por un mı́nimo o un máximo.
c) Determinar el vector aceleración y demostrar que tiene la misma dirección
que r, es decir es radial.
d) Calcular las componentes intrı́nsecas de la aceleración para t = π/2 s.
19. Un punto móvil describe una circunferencia de radio R
en un plano vertical con velocidad de rotación uniforme. El centro de la circunferencia O0 se mueve alrededor del centro O de una recta horizontal de longitud
2R, de forma que la posición de O0 con respecto de O
−−→
viene descrita por la expresión OO0 = R sin(ωt)~j (Ver
figura). Las frecuencias de ambos movimientos son
las mismas y en el instante inicial el móvil se encuentra en el semieje OX. Determinar:
a) El radio de curvatura de la trayectoria.
b) Las componentes intrı́nsecas de la velocidad y la aceleración.
20. Una partı́cula se mueve en el espacio con una velocidad dada por ~v = et~i + λt2~j + 13 t3~k
siendo λ una constante. Calcular:
a) El vector de posición de la partı́cula en función de t, sabiendo que en el
instante t = 0 la partı́cula se encuentra en el punto (0, 0, 1).
b) El valor de λ para que la trayectoria sea plana.
c) Las componentes intrı́nsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la
trayectoria en función del tiempo para el valor de λ del apartado anterior.
21. Después de parar una canoa, ésta adquiere una aceleración en sentido opuesto a su
velocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta (a = −kv 2 ). Determinar:
a) La velocidad de la canoa en función del tiempo.
b) La distancia recorrida en un tiempo t.
c) La velocidad después de haber recorrido una distancia x.
d) Constrúyanse las gráficas del movimiento.
e) Supóngase que cuando se para el motor la velocidad de la canoa es de
20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se ha reducido a la mitad. Determinar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en la
definición de la aceleración.
22. Sea un móvil del que sabemos que su aceleración es proporcional a la velocidad y
de sentido opuesto a ésta. Si observamos que tarda 15 s en reducir su velocidad a la
mitad de la inicial, calcular cuánto vale la constante de proporcionalidad.
23. El movimiento rectilı́neo de una partı́cula está caracterizado por su aceleración, expresada en cm/s2 por la expresión a = −9x, siendo x la distancia (en cm) que la separa
de un cierto origen sobre su trayectoria. En el instante inicial la partı́cula se encuentra
en el punto xo =3cm y tiene una velocidad de 2 cm/s alejándose del origen. Determinar
la velocidad y la posición de la partı́cula en un instante cualquiera t.
24. La aceleración de una partı́cula que realiza un movimiento rectilı́neo, tiene módulo inversamente proporcional a la velocidad. Determinar la velocidad en función del tiempo.
25. El movimiento bidimensional de una partı́cula se define mediante las relaciones r =
60t2 − 20t3 y θ = 2t2 , donde r está expresado en milı́metros, t en segundos y θ es el
ángulo en radianes. Determinar la velocidad y la aceleración de la partı́cula cuando:
a) t=0s
b) t=1s
c) En t=0 la partı́cula está en el origen, determinar v y a cuando vuelva a pasar
por el origen.
26. El movimiento bidimensional de una partı́cula viene descrito por las ecuaciones r = 20t
y θ = πt, donde t se viene dado en segundos, θ es el ángulo en radianes que forma el
vector posición de la partı́cula con el eje x (tomado positivo en el sentido antihorario)
y r es su distancia en centı́metros al origen. Para este movimiento se pide:
a) Realizar un esquema de la trayectoria de la partı́cula.
b) Representar para t = 3 s la base local asociada al movimiento de la partı́cula.
c) Calcular en ese instante de tiempo los vectores ~r, ~v y ~a expresados en
coordenadas cartesianas y polares planas.
27. La posición de una partı́cula Q en un sistema de coordenadas O se mide por: ~r(t) =
(6t2 − 4t)~i − 3t2~j + 3~k
a) Determinar la velocidad relativa constante del sistema O respecto al sistema
O’, si la posición de Q según el sistema O’ se mide por:
~r0 (t) = (6t2 + 3t)~i − 3t2~j + 3~k
b) Demostrar que la aceleración de la partı́cula es la misma en ambos sistemas de referencia.
28. Un hombre que viaja en un camión intenta golpear un poste telefónico lanzando una
piedra justo cuando el camión pasa frente al poste. Si la velocidad con la que el hombre
lanza la piedra respecto del camión es de 20 m/s y la velocidad del camión es de
40 km/h, determinar:
a) Dirección el la que el hombre ha de lanzar la piedra.
b) Velocidad horizontal de la piedra respecto del suelo.
29. Durante una tormenta la trayectoria de las gotas de agua, observadas desde la ventana de un tren que viaja a 15 km/h, forman un ángulo de 30o con la vertical. Más tarde,
cuando la velocidad del tren ha aumentado hasta una velocidad de 30 km/h, el ángulo
entre la vertical y la trayectoria de las gotas es ahora de 45o . Si el tren se parase,
¿Cuál serı́a el ángulo? ¿Con qué velocidad se verı́an caer las gotas de agua?.
30. Una partı́cula que se abandona en la parte superior de un plano inclinado 30o con la
horizontal de longitud ` = 10 m, y desliza a lo largo de él sin rozamiento. Simultáneamente el plano se mueve con una velocidad horizontal de 3 m/s, de forma que la
partı́cula no se separa del plano. Se pide:
a) Velocidad y aceleración absolutas de la partı́cula cuando llegue al final del
plano.
b) Posición de la partı́cula respecto del sistema fijo en función del tiempo.
31. La puerta de la figura gira alrededor del eje OZ con
una velocidad angular constante ω = 30 rpm. Sobre
la puerta se mueve una mosca que describe una trayectoria circular de radio r = 10 cm con una velocidad constante de 5π cm/s. Calcular la aceleración de
la mosca en la posición indicada en la figura. Datos:
θ = 45o , a = 5 cm
32. En una verbena existe una atracción que se esquematiza en la figura. La barra E forma un ángulo β con
el eje vertical z, y gira alrededor de él en sentido antihorario con una velocidad angular constante Ω. La
plataforma horizontal P es circular, esta unida al eje
E por su centro C, y gira también en sentido antihorario alrededor de éste con velocidad angular constante
ω. Calcular el vector aceleración absoluta de una persona situada en el punto A de la plataforma cuando
pasa por el punto de su trayectoria más alejado del
eje z (representado en la figura).
33. ¿Cuál deberı́a ser la velocidad angular de la tierra para que la aceleración efectiva de
la gravedad no dependiera de la latitud?. En el caso anterior, ¿cual serı́a la aceleración
de Coriolis que experimentarı́a un cuerpo moviéndose a 100 m/s hacia el norte desde
un punto situado a 41o N?
34. Se deja caer un cuerpo desde una altura h en un lugar de la tierra situado sobre el
ecuador. Calcular cuál será la desviación del punto de impacto del cuerpo con respecto
al pie de la vertical del punto desde el que fue lanzado.
Problemas de Estática y Dinámica
SOLUCIONES
1. a) 2m/s; 3m/s3 ; 4m/s4
b) x = 3 + 2t + t3 + t4
c) a = 6t + 12t2
d) 244m/s
2. a)6m; 4m/s3 ; 3m/s2
b) 1s
c) 18m/s2
d) 425m
3. a) ~v = (1 − cos t)~i + sin t~j
b) ~a = sin t~i + cos t~j
c) (1 − vx )2 + vy2 = 1
4. a) y = 4 sin(πx/2)
b) v = (2, 4π cos(πt); a = (0, −4π 2 sin(πt))
c) t = 0, 1, 2, ... t = (2n + 1)/2 n = 0, 1, 2...
5. 2, 34m
6. a) 4,76 m/s
b) 2,38 m (59,5 %)
7. d > (v1 − v2 )2 /2a
8. Chocan a dos tercios de la base del edificio
√
9. D = 2 HS sin θ
10. a) v = 4,78 m/s
b) t = 0,98 s
q
11. v0 =
hg/2 sin2 θ
12. a) 12,2 m/s
b) 14,8 m
13. a) 2 s
b) 0,57 m/s2
c) 6,95 m/s2
d) 85,3o
e) 3,71 m/s
14. a) 2s
b) −π~j [m/s]
c) ar = π 2 m/s2
d) at = π/2m/s2
15. a) hélice de radio R y paso 2πb/ω
b) ~v = −ωR sin(ωt)~i + ωR cos(ωt)~j + b~k
~v = −ω 2 R cos(ωt)~i − ω 2 R sin(ωt)~j
c) at = 0 ; an = ω 2 R
16. a) ~v = ωR cos(ωt)~i + c~j − ωR sin(ωt)~k
~a = −ω 2 R sin(ωt)~i − ω 2 R cos(ωt)~k
b) at = 0;
an = ω 2 R
17. a)y 4 = 2x3
√
√
b)at = 12t(8t2 + 3)/ 16t2 + 9 ; an = 24t2 / 16t2 + 9
18. a) es una elipse
b) Vmax t = n/2 (n=0,1,2,3,...) Vmin t = (n + (1/2))/2
c) ~a = −4π 2~r
d) an = 83, 3m/s2 ; at = −26, 98m/s2
R
√
(1 +
2 q
19. a)ρ =
cos2 (ωt))3/2
b) v = ωR 1 + cos2 (ωt)
√
an = ω 2 R √ 2 2
1+cos (ωt)
sin(ωt) cos(ωT )
at = −ω R √
2
1+cos2 (ωt)
20. a) ~r(t) = (et − 1)~i + λ(t3 /3)~j + (1 + (t4 /12))~k
b) λ = 0
2t +(t5 /3)
c) at = √e
e2t +(t6 /9)
t 2
e t (t/3−1)
an = √
2t
6
e +(t /9)
3/2
(e2t +(t6 /9))
ρ= √t2
e t (t/3−1)
21. a) v = v0 /(1 + v0 kt)
b) x = (1/k) ln(1 + v0 kt)
c) v(x) = v0 e−kx
22. k = 0,0462 s−1
23. x = 3,07 sin(3t + 1, 35) cm ;
v = 9,21 cos(3t + 1, 35) cm/s
q
24. v =
v02 + 2kt
25. a) v = 0 mm/s ; ~a = 120~ur mm/s2
b) ~v = 60~ur + 160~uθ mm/s ; ~a = 640(−~ur + ~uθ mm/s2
c) ~v = −180~ur mm/s ; ~a = −240~ur − 4320~uθ mm/s2
26. a) ~ur = −~i ; ~uθ = −~j
b) ~r = −60~i cm; ~v = (−20~i − 60π~j) cm/s ; ~a = (60π 2~i − 40π~j) cm/s2
c) ~r = 60~ur cm; ~v = (20~ur + 60π~uθ cm/s ; ~a = (−60π 2~ur + 40π~uθ ) cm/s2
27. ~vo/o0 = 7~i
28. a) 33,7o respecto a la perpendicular a la carretera y hacia atrás
b) 59,9 km/h
29. A una velocidad de 35,87 km/h, formando un ángulo con la vertical de 8,75o
30. a) ~v = 11, 56~i − 4, 95~j m/s; ~a = 4, 24~i − 2, 45~j m/s2
b) x = 3t + 2, 12t2 (S.I) ; y = 5 − 1, 25t2
√
√
√
31. ~a = [5π 2 2 , −(15 + 25/4 2)π 2 ,−5/4π 2 2] cm/s2
32. ~a = − [r(ω + Ω)2 + Ω2 d sin(δ)] ~j
33. ω =
q
2g/R ; ac = 0,231 m/s2 hacia el este
PROBLEMAS DE CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.
EXTRA (versión 16 de marzo de 2010)
J.L. Font
16 de marzo de 2010
1. Por el pozo de una mina caen gotas de agua uniformemente espaciadas a razón de una gota por
segundo. Una gota cae sobre un ascensor que sube por el pozo a 10 m/s cuando está a 100 m por
debajo del nivel de la superficie. Calcular cuándo y dónde caerá la gota siguiente sobre el ascensor.
2. Una persona está en una barca que se mueve con velocidad constante respecto al agua. Navega rı́o
abajo y se cae un tapón de corcho. Transcurrida una hora se da cuenta y vuelve encontrando el corcho
1 km más abajo de donde habı́a caı́do (respecto de la orilla). ¿Qué velocidad lleva la corriente del
rı́o? ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que cayó el corcho hasta que lo encontró?.
3. Colocamos una moneda sobre una regla y levantamos esta última gradualmente. Cuando el ángulo
de inclinación es θ = 25o , la moneda comienza a deslizar, y recorre un espacio s = 80 cm en un
tiempo de t = 1,4 s. Calcular los coeficientes de rozamiento estático y dinámico.
4. Una partı́cula con una velocidad de 500 m/s, con respecto a la superficie de la Tierra, se dirige
hacia el Sur a 45o latitud N. Tomando como sistema de referencia la base u~x (SUR), u~y (ESTE), u~z
(ARRIBA) y tomando el radio de la Tierra R = 6370 km, es cierto que:
a) La aceleración de Coriolis aC va hacia arriba.
b) La aceleración de Coriolis aC = 41,5 × 10−3 m/s2
c) La componente X de la aceleración centrı́fuga vale 16,8 × 10−3 m/s2
d ) El módulo de la aceleración centrı́fuga vale 16,8 × 10−3 m/s2
e) Ninguna de las anteriores
5. Suponga que la fuerza de resistencia que actúa sobre un patinador veloz viene dada por F = −kmv 2 ,
donde k es una constante y m es la masa del patinador. El patinador cruza la linea de meta en
linea recta con una velocidad vf y luego disminuye la velocidad dejándose deslizar sobre los patines.
Calcule la velocidad del patinador en cualquier instante t después de cruzar la linea de meta.
6. Una varilla delgada de longitud ` lleva ensartada una pequeña esfera de masa m que puede deslizar
por ella sin rozamiento. Se hace girar la varilla en un plano horizontal alrededor de uno de sus
1
extremos con velocidad angular constante ω. Si inicialmente la esfera se encontraba en reposo en la
mitad de la varilla, calcular la velocidad con la que la esfera abandona la varilla y el ángulo girado por
la varilla hasta ese instante. Nota: se requieren conocimientos de cálculo integral y/o de resolución
de ecuaciones diferenciales para resolver este problema.
7. La ojiva de un pequeño cohete experimental sufre una deceleración por efecto de la resistencia del
aire cuyo módulo en m/s2 es igual a 6 × 10−4 v 2 donde v viene dado en m/s. Si la ojiva se lanza
verticalmente desde el suelo con velocidad inicial de 100 m/s, determinar el tiempo necesario para
que alcance la máxima altura y el valor de esa altura. Nota: se requieren sólidos conocimientos de
cálculo integral para resolver este problema.
2
SOLUCIONES
1. La gota siguiente cae 0,8514 s después de la primera y a unos 93,52 m por debajo del nivel de la
superficie.
2. El agua de rı́o lleva una velocidad de 0,5 km/h (respecto de la orilla); transcurrieron dos horas desde
la caı́da hasta el encuentro.
3. µs = tan(θ) = 0,47; µk = [g sin(θ) − a]/[g cos(θ)] = 0,37
4. (c)
5. v(t) = vf /(1 + kvf t)
6. La velocidad final es vf = ω`
p
3/4; el ángulo girado resulta ser ϕ = 1,32 rad.
7. Tarda unos 8,65 s en alcanzar una altura de unos 397,7 m
3
Problemas de FFEA
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
versión 091126
1. Un objeto de 4kg está sujeto a dos fuerzas, F~1 = 2~i − 3~j (N) y F~2 = 4~i + 11~j(N). El
objeto está en reposo en el origen en t=0.
a) ¿Cuál es la aceleración del objeto?
b) ¿Cuál es su velocidad en el tiempo t=3s?
c) ¿Dónde está el objeto en el tiempo t=3s?
2. Una fuerza horizontal de 100N actúa sobre un bloque de 12kg haciéndole subir por un
plano inclinado un ángulo θ = 25o sin rozamiento. Calcular:
a) Fuerza normal que el plano inclinado ejerce sobre el bloque
b) ¿Cuál es la aceleración del bloque?
3. Una bola de pequeñas dimensiones y masa m=5 kg
se sujeta a una cuerda de longitud L=2m para hacerla
girar describiendo una circunferencia horizontal a una
celeridad constante v0 . Sabiendo que la cuerda forma
un ángulo θ = 40o con la vertical, determinar la tensión
de la cuerda y la celeridad v0 de la bola.
4. Un cuerpo D, de masa m, se encuentra sobre una superficie cónica lisa ABC y está girando alrededor del
eje EE’ con velocidad angular constante ω. Calcular:
a) La velocidad lineal del cuerpo
b) Componentes intrı́nsecas de la aceleración
c) Reacción de la superficie sobre el cuerpo
d) La tensión del hilo
e) La velocidad angular necesaria para reducir la reacción de la superficie a
cero
5. Dos alambres AC y BC están unidos a una esfera de
5 kg. Se hace girar la esfera de modo que describa
una circunferencia horizontal a celeridad constante v0 .
Determinar la celeridad para la cual la tensión es la
misma en ambos alambres y el valor de dicha tensión.
6. En el mismo sistema del problema anterior, se hace girar la esfera de modo que describa una circunferencia horizontal a celeridad constante v. Determinar el intervalo de
valores de v para los cuales la tensión en ambos alambres es no nula.
7. Un cuerpo de 2 kg cuelga de un dinamómetro sujeto del techo de un ascensor.
¿Qué lectura indicará el dinamómetro en los siguientes casos?:
a) Cuando el ascensor desciende con velocidad de 30 m/s constante
b) Cuando el ascensor asciende con aceleración de 10 m/s2
c) Si se rompe el cable del ascensor y éste cae con aceleración g
8. Un hombre sostiene en el interior de un ascensor un cuerpo de 10kg mediante una
cuerda capaz de resistir 150N. Cuando el ascensor arranca, la cuerda se rompe. ¿Cuál
fue la aceleración mı́nima del ascensor?
9. ¿Qué fuerza horizontal F debe aplicarse constantemente al sistema representado en la figura de modo
que los cuerpos de masa m1 y m2 no se muevan respecto al M?. (No existe rozamiento en ninguna de las
superficies y la polea es de masa nula).
10. Un bloque puede deslizar por un plano inclinado, que
a su vez desliza sobre una superficie plana. Calcular:
a) Aceleración mı́nima que ha de tener el plano inclinado para que el bloque
no deslice por su superficie. Dato: no existe rozamiento entre ninguna superficie.
b) Fuerza mı́nima F para que el bloque no deslice por el plano inclinado.
c) Fuerza máxima F para que el bloque no ascienda por el plano inclinado.
d) ¿Existe un θ mı́nimo a partir del cual el bloque nunca desciende por el plano
inclinado?. Justificar la respuesta. Datos: en b), c) y d) el coeficiente de
rozamiento entre el plano inclinado y el bloque vale µ. No hay rozamiento
entre el plano inclinado y la superficie plana.
11. Un niño de masa m = 54 kg se pesa en una báscula
de resorte situada sobre una plataforma especial que
se desplaza por un plano inclinado un ángulo θ = 30o
como muestra la figura (no hay rozamiento entre la
plataforma y el plano inclinado). ¿Cuál será la lectura
de la báscula en estas condiciones?
12. Un plano inclinado que forma un ángulo θ = 30o con
la horizontal, de longitud total h = 1 m, se encuentra
en el interior de un ascensor. Un cuerpo de masa m
se deja caer desde el extremo superior y desliza sin
rozamiento. Calcular:
a) Tiempo que tarda el cuerpo en descender todo el plano inclinado si el ascensor sube con velocidad constante.
b) Tiempo que tarda el cuerpo en descender si el ascensor sube con aceleración constante a de 2 m/s2 .
13. Una persona de masa m = 58 kg se encuentra sobre
una plataforma de masa M = 14,5 kg como indica la
figura. Encontrar la fuerza que la persona debe hacer
sobre la cuerda para:
a) Subir con una aceleración de 61 cm/s2
b) Subir a velocidad constante.
14. Un marco rectangular de masa M = 5 kg del que cuelga una plomada de masa m = 1 kg desliza por un
plano inclinado un ángulo θ = 30o como muestra la
figura. Una vez iniciado el movimiento la plomada se
estabiliza formando un cierto ángulo respecto de la
vertical. Calcular:
a) ángulo que forma la cuerda de la plomada respecto de la vertical si no existe
rozamiento entre las superficies.
b) ángulo que forma la plomada si el coeficiente de rozamiento entre el marco
y el plano inclinado es µ = 0,2.
15. Una partı́cula de masa m permanece en reposo en la
cima de una semiesfera de radio R que está apoyada
por su base sobre una superficie horizontal. Cuando
desplazamos ligeramente la partı́cula de su posición
de equilibrio, ésta comienza a deslizar sobre la superficie de la semiesfera.
a) ¿En qué posición abandona la partı́cula la superficie de la semiesfera?.
b) ¿Cuál es la celeridad de la partı́cula en ese instante?.
c) ¿A qué distancia del pie de la semiesfera caerá la partı́cula sobre el plano
horizontal?.
16. Una bola de masa m se suelta sin velocidad inicial
desde un punto A y oscila en un plano vertical al extremo de una cuerda de longitud L. Determinar:
a) La componente tangencial de la aceleración en el punto B en función del
ángulo θ
b) La celeridad en el punto B en función de θ,θ0 y L
c) La tensión en la cuerda en función de m, g y θ0 cuando la bola pasa por el
punto más bajo C
d) El valor de θ0 si la tensión en la cuerda es T = 2 m g cuando la bola pasa
por el punto C.
17. Despreciando el rozamiento, determinar para el sistema representado en la figura:
a) La aceleración de cada bloque
b) La tensión en el cable.
18. Determinar la aceleración de cada uno de los bloques de la
figura si mA = 5 kg, mB = 15 kg, mC = 10 kg. ¿Qué bloque
llega primero al suelo?.
A
C
B
0.3
0.45
19. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre TODAS las superficies de contacto que aparecen en la
figura es 0.30, determinar:
a) La aceleración del bloque A
b) La tensión en el cable. (Despréciese el rozamiento en el eje de la polea).
20. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el
bloque A y el plano inclinado de la figura es 0.10, que
las masas de los bloques son mA = 10kg y mB = 7kg
y que θ = 30o , determinar:
a) El sentido del movimiento
b) Aceleración del bloque B
c) Tensión en la cuerda
21. Un pequeño bloque se deja en A sin velocidad inicial
y se empieza a mover sin rozamiento a lo largo de la
guı́a hasta B, donde deja la guı́a con velocidad horizontal. Sabiendo que h=3 m y b=1.2 m, determinar:
a) Velocidad del bloque cuando cae al suelo
b) Distancia C entre el final de la guı́a y la posición donde cae al suelo.
22. Un saco se empuja suavemente por el borde de una
pared en A y oscila en un plano vertical colgado del
extremo de una soga de 4 m que puede soportar una
tensión máxima de dos veces el peso del saco. Determinar:
a) Diferencia de cota h entre el punto A y el punto B para el cual se rompe la
cuerda.
b) Distancia desde la vertical de la pared donde el saco caerá al suelo.
23. El muelle AB tiene de constante 1,2 kN/m y está unido
a la deslizadera A de 2 kg que se mueve libremente a
lo largo de una barra horizontal. La longitud del muelle
sin deformar es de 0,250 m. Si la deslizadera se deja
en reposo en la posición de la figura, determinar la
máxima velocidad alcanzada por la deslizadera.
24. Una deslizadera de 1,5 kg está unida a un muelle y
desliza sin rozamiento a lo largo de una barra circular
horizontal. El muelle está sin deformar cuando la deslizadera está en C y su constante es de 400 N/m. Si
la deslizadera se deja en reposo en B, determinar su
velocidad cuando pasa por C.
25. Una partı́cula m se deja caer por un plano inclinado
un ángulo θ desde una altura h. En la base del plano
el cuerpo entra en una guı́a circular de radio R como
muestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre el
plano inclinado y el cuerpo es µ, y no existe rozamiento en ningún otro tramo del trayecto. Se pide calcular:
a) Velocidad del cuerpo al final del plano inclinado y trabajo realizado por las
fuerzas de rozamiento.
b) Altura h mı́nima necesaria, respecto a la base del plano inclinado, para que
la partı́cula pueda dar una vuelta entera, y módulo de la velocidad en el
punto mas alto de la trayectoria (punto B).
c) Reacción normal de la guı́a circular sobre la partı́cula en el punto A de la
trayectoria (ver figura).
26. Un pequeño cuerpo A de masa m = 5 kg comienza a
deslizar desde una altura h = 1 m por un plano inclinado un ángulo θ = 30o . En la base del plano el cuerpo entra en un canal semicircular de radio h/2 como
muestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre el
plano y el cuerpo es µ = 0,05, y no existe rozamiento
en el canal semicircular. Se pide calcular:
a) Velocidad del cuerpo al final del plano inclinado y trabajo realizado por las
fuerzas de rozamiento.
b) Reacción normal del canal semicircular sobre el cuerpo en función del ángulo ϕ(ver figura).
c) Altura, respecto a la base del plano inclinado, a la que el cuerpo se separa
del canal, y módulo de la velocidad en ese instante.
d) Velocidad del cuerpo en el punto más alto de la trayectoria una vez se ha
separado del canal.
27. Una barra recta de masa despreciable se monta sobre
un pivote sin rozamiento como muestra la figura. Las
masa m1 y m2 se suspenden a las distancias d1 y d2
del modo indicado. Se pide:
a) Energı́a potencial gravitatoria de las masas en función del ángulo θ formado
por la barra y la horizontal U (θ).
b) ¿Para qué ángulo θ es mı́nima la energı́a potencial?. Discutir el resultado
representando gráficamente U (θ) y obteniendo las posiciones de equilibrio
del sistema.
c) Demostrar que si m1 d1 = m2 d2 , la energı́a potencial es independiente de θ.
(Cuando esto ocurre el sistema está equilibrado para cualquier valor de θ).
28. Dos bloques de igual masa M están atados a los extremos de una cuerda muy ligera e inextensible que
cuelga sobre dos poleas sin rozamiento. Un tercer bloque de masa m se sujeta a continuación en la mitad
de la cuerda entre las poleas como muestra la figura.
Se pide:
a) Determinar la energı́a potencial del sistema en función de la distancia y
indicada en la figura.
b) Determinar la distancia y0 de equilibrio utilizando la función energı́a potencial. Comprobar la respuesta analizando las fuerzas.
c) ¿Cuál será la distancia máxima que desciende el bloque m?
29. Debemos construir un arrastre de esquiadores constituido por un cable del que pueden asirse, mediante las
correspondientes manillas, los esquiadores que han
de ser remolcados cuesta arriba. La pendiente en la
que ha de actuar nuestro aparato es de 30o y el ángulo
(φ) que forman, por término medio, las manillas con la
dirección del cable es de 45o . El cable debe moverse
con una velocidad constante de 10 km/h y ser capaz
de transportar simultáneamente 50 esquiadores. Suponemos que cada uno de los esquiadores pesa por
término medio, 75 kg y que el coeficiente de rozamiento entre los esquı́es y la nieve sea 0.10. Si admitimos
que la eficiencia mecánica del sistema en funcionamiento sea del 80 %, ¿Cuál deberá ser la potencia del
motor que preveamos en nuestro proyecto?.
30. La resistencia por rozamiento con el agua en un barco varı́a directamente en función
de la potencia 1.75 de su velocidad (Fr ≈ v 1,75 ). Una simple barcaza a toda potencia
puede arrastrar un barco a una velocidad constante de 5 km/h, ejerciendo una fuerza
constante de 200kN. Determinar:
a) La potencia desarrollada por la barcaza.
b) La máxima velocidad a la cual dos barcazas, capaces de desarrollar la misma potencia, pueden arrastrar el barco.
31. Una partı́cula recorre una circunferencia de diámetro
r0 bajo la acción de una fuerza central cuyo centro
atractor O está sobre la circunferencia. Calcular la celeridad v en función del ángulo θ que forma el vector
posición con la horizontal, sabiendo que la celeridad
es v0 cuando la partı́cula pasa por el punto P0 , diametralmente opuesto a O.
32. Una bola de 90 g se mueve sobre una mesa horizontal y lisa, sujeta al extremo de
un hilo que pasa a través de la mesa por un pequeño agujero O. Cuando la longitud
del hilo que hay sobre la mesa es r1 = 0,4m, la celeridad de la bola es v1 = 2,4m/s.
Sabiendo que la resistencia a la rotura del hilo es de 15 N, determinar:
a) La mı́nima longitud r2 que puede conseguirse tirando lentamente del hilo a
través del agujero.
b) La velocidad v2 correspondiente.
33. Determinar la masa de la Tierra a partir de la Gravitación Universal de Newton, sabiendo que un satélite tarda 94.51 minutos en recorrer una órbita circular a 500 km de
la superficie terrestre.
34. Los satélites de comunicaciones se sitúan en órbita circular sobre el ecuador, denominada geosı́ncrona, porque en ella dan la vuelta a la Tierra en un dı́a sidéreo (23 horas
56 minutos) y permanecen ası́ fijos respecto al suelo terrestre. Determinar la altura de
estos satélites sobre la superficie de la Tierra y la velocidad a la que recorren la órbita.
35. Un remolcador espacial recorre una órbita circular de
9600km de radio alrededor de la Tierra. A fin de transferirlo a otra órbita circular de 40000 km de radio, se
sitúa el remolcador en una trayectoria elı́ptica AB encendiendo sus motores al pasar por el punto A para aumentar su velocidad en 6260 km/h. ¿Cuánto ha
de aumentar la velocidad del remolcador cuando pase por el punto B para transferirlo a la nueva órbita
circular?.
36. Para situar satélites de comunicaciones en la órbita
geosı́ncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre, se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que durante la operación el remolcador describe una órbita circular intermedia a 350 km de altura,
determinar:
a) El aumento de velocidad que debe proporcionarse al remolcador en el punto
A para transferirlo a la órbita elı́ptica de transición representada en la figura.
b) El aumento de velocidad preciso en el punto B para transferirlo finalmente a
la órbita geosı́ncrona.
Problemas de FFEA
Soluciones de DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
1. a) ~a = 1, 5~i + 2~j [m/s2 ]
b) ~v = 4, 5~i + 6~j [m/s]
c) ~r = 6, 75~i + 9~j [m]
2. 3. T = 63, 96N ; v0 = 3, 25 [m/s]
4. a) vD = ω ` sin(θ)
b) aT = 0; aN = ω 2 ` sin(θ)
c) N = m (g sin(θ) − aN cos(θ))
d)T = m
q(aN sin(θ) + g cos(θ))
e) ω = g/` cos(θ)
5. T = 35, 87 N; v = 3, 191 [m/s]
6. 2, 425 < v < 4, 2m/s
7. a) 19, 62 N
b) 39, 62 N
c) 0 N
8. 5,2 m/s2
9. F = g(M + m1 + m2 )/(m1 /m2 )
10. a) g tan(θ)
b) F = (M + m)g(tan(θ) − µ)/(1 + µ tan(θ))
c) F = (M + m)g(tan(θ) + µ)/(1 − µ tan(θ))
11. 396, 9 N
(40, 5 kp)
12. a) 0, 639 s
b) 0, 582 s
13. a) 377, 4 N
b) 355, 2 N
14. a) 30o
b) 19o
o
15. a) 48,
q 19 con la vertical
b) (2 g R)/3
c) d = 0, 125R
16. a) q
g sin(θ)
b) 2gL(cos θ − cos θ0 )
c) mg(3 − 2 cos θ0 )
d) 60o
17. a) T = 15, 38 N
b) aA = 2, 769 m/s2 ; aB = 1, 846 m/s2 izq.
18. aA = 4, 035m/s2 arriba
aB = 0, 5765m/s2 abajo
aC = 2, 882m/s2 abajo, el bloque C llega antes
19. a) aA = 3, 434m/s2 der.
b) T = 31, 87 N
20. a) A baja; B sube
b) aB = 0,2644 m/s2
c) T = 35, 52 N
21. a) 7, 668 m/s
b) 2, 939 m
22. a) h = 2, 667 m
b) d = 2, 021 m
23. 14, 23 m/s
24. 2, 45 m/s
q
25. a) v = 2gh(1 − µ/ tan θ); WF x = −µmgh/ tan θ
√
b)h = 5R/2(1 − µ/ tan θ) ; v = Rg
c) N = 2mg
(h(1 − µ/ tan θ) − R)
R
26. a) 4, 23 m/s
b)N = mg[2 − 4µ/ tan θ − 3 cos ϕ]
c) 0, 776 m
d) 0, 91 m/s
27. a) U = g sin(θ) (m2 d2 − m1 d1 )
b) θ = 90o si m2 d2 < m1 d1 ; θ = 270o si m2 d2 > m1 d1
q
28. b) y0 = d/ (2M/m)2 − 1
29. P = 92, 5 CV
30. a) 278 kW
b) 6, 43 km/h
31. v = v0 / cos2 θ
32. a) rmin = 0, 177m
b) v = 5, 424 m/s
33. 5,9682 × 1024 kg
34. 35774 km; 3073 m/s
35. 1191,85 m/s (aprox 4290 km/h)
36. a) 2411,8 m/s
b) 1461 m/s
PROBLEMAS DE DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.
EXTRA (versión 13 de diciembre de 2006)
J.L. Font
13 de diciembre de 2006
1. Por el pozo de una mina caen gotas de agua uniformemente espaciadas a razón de una gota por
segundo. Una gota cae sobre un ascensor que sube por el pozo a 10 m/s cuando está a 100 m por
debajo del nivel de la superficie. Calcular cuándo y dónde caerá la gota siguiente sobre el ascensor.
2. Una barca se mueve con velocidad constante respecto al agua. Navega rı́o abajo y se cae un tapón
de corcho. Transcurrida una hora se da cuenta y vuelve encontrando el corcho 1 km más abajo de
donde habı́a caı́do (respecto de la orilla). ¿Qué velocidad lleva la corriente del rı́o? ¿Cuánto tiempo
transcurrió desde que cayó el corcho hasta que lo encontró?.
3. Un globo aerostático, con todos sus accesorios, tiene una masa de 220 kg y desciende con una
aceleración 10 veces menor que la de la gravedad. Calcular la masa de lastre que tiene que lanzarse
para que ascienda con la misma aceleración.
4. Colocamos una moneda sobre una regla y levantamos esta última gradualmente. Cuando el ángulo
de inclinación es θ = 25o , la moneda comienza a deslizar, y recorre un espacio s = 80 cm en un
tiempo de t = 1,4 s. Calcular los coeficientes de rozamiento estático y dinámico.
E
El alambre semicircular de radio R=10 cm gira alrededor del eje vertical
EE a razón de dos vueltas por segundo. Se inserta un abalorio (cuen5. ta de collar) que puede deslizar sin rozamiento. Tomando el valor de
g = 9,8 m/s2 , calcule el ángulo θ para el que el abalorio permanece estacionario respecto del alambre giratorio.
O
θ
R
E
En el interior de una esfera hueca de radio R, que gira con una velocidad
angular constante ω, se halla una masa puntual, como se indica en la figura
6. adjunta. Suponiendo conocidos el coeficiente de rozamiento estático µs y el
ángulo θ, determinar los valores máximo y mı́nimo de ω para que la masa no
se mueva respecto de la esfera.
1
ω
θ
7. Una varilla delgada de longitud ℓ lleva ensartada una pequeña esfera de masa m que puede deslizar
por ella sin rozamiento. Se hace girar la varilla en un plano horizontal alrededor de uno de sus
extremos con velocidad angular constante ω. Si inicialmente la esfera se encontraba en reposo en la
mitad de la varilla, calcular la velocidad con la que la esfera abandona la varilla y el ángulo girado por
la varilla hasta ese instante. Nota: se requieren conocimientos de cálculo integral y/o de resolución
de ecuaciones diferenciales para resolver este problema.
8. La ojiva de un pequeño cohete experimental sufre una deceleración por efecto de la resistencia del
aire cuyo módulo en m/s2 es igual a 6 × 10−4 v 2 donde v viene dado en m/s. Si la ojiva se lanza
verticalmente desde el suelo con velocidad inicial de 100 m/s, determinar el tiempo necesario para
que alcance la máxima altura y el valor de esa altura. Nota: se requieren sólidos conocimientos de
cálculo integral para resolver este problema.
2
SOLUCIONES
1. La gota siguiente cae 0,8514 s después de la primera y a unos 93,52 m por debajo del nivel de la
superficie.
2. El agua de rı́o lleva una velocidad de 0,5 km/h (respecto de la orilla); transcurrieron dos horas desde
la caı́da hasta el encuentro.
3. Ha de lanzar 40 kg de lastre.
4. µs = tan(θ) = 0,47; µk = [g sin(θ) − a]/[g cos(θ)] = 0,37
5. θ = 51,6o
q
q
g(1−µ tan(θ))
g(1+µ tan(θ))
< ω <
6.
R(sin(θ)+µ cos(θ))
R(sin(θ)−µ cos(θ))
p
7. La velocidad final es vf = ωℓ 3/4; el ángulo girado resulta ser ϕ = 1,32 rad.
8. Tarda unos 8,65 s en alcanzar una altura de unos 397,7 m
3
PROBLEMAS DE FFEA. Versión 080521
DINÁMICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1. Una placa circular homogénea de radio r tiene un orificio circular cortado en ella de radio r/2 como muestra
la figura. Hallar el centro de masa de la placa.
2. Hallar el centro de masa del sistema mostrado en la
figura (la masa de las barras es despreciable)
3. Una locomotora de maniobras de 65 Tm que se mueve a 6 Km/h choca y se engancha
automáticamente a un vagón de plataforma de 10 Tm que transporta una carga de 25
Tm. La carga no está firmemente unida al vagón sino que puede deslizar. Sabiendo
que el vagón estaba en reposo y con los frenos sueltos, determinar la velocidad de la
locomotora:
a) Inmediatamente después del enganche.
b) Una vez que la carga ha deslizado hasta detenerse respecto al vagón. Calcular la energı́a cinética en los instantes inicial, intermedio y final. ¿Se conserva la energı́a?.
4. Se dispara una bala de 25 g en dirección horizontal.
La bala atraviesa el bloque A y queda alojada en el
bloque B. Por dicha causa, los bloques A y B empiezan a moverse con velocidades iniciales de 2.4 y 1.8
m/s, respectivamente. Las masas son de 1.5 y 4.5 Kg
respectivamente. Hallar:
a) La velocidad v0 inicial de la bala;
b) La velocidad de la bala en el trayecto entre el bloque A y el B. Calcular la
energı́a cinética en los instantes inicial, intermedio y final. ¿Se conserva la
energı́a?.
5. Dos balas de cañón de 15 Kg cada una se unen entre
sı́ por medio de una cadena y se disparan horizontalmente con una velocidad de 165 m/s desde lo alto de
un muro de 15 m. La cadena se rompe durante el vuelo de las balas y una de ellas choca con el suelo para
t = 1,5s y a una distancia de 240 m del pie del muro y
a 7 m a la derecha de la lı́nea de fuego. Determinar la
posición de la otra bala en ese instante. Despreciar la
resistencia del aire.
6. Dos esferas A y B de masas m y 3m están unidas por
una varilla rı́gida de longitud L=0.5m y masa despreciable. Las dos masas reposan sobre una superficie
lisa y horizontal cuando se comunica repentinamente
a A una velocidad v0 = 1m/s en la dirección del eje
x. Transcurridos 0.7s la esfera A se encuentra en la
posición xA = 0,5445m, yA = 0,3112m. Determinar la
posición de la esfera B en ese instante.
7. Cuando se rompe la cuerda que une las partı́culas A
y B, de masas respectivas 2 y 3 Kg, el muelle comprimido las obliga a separarse (el muelle no está unido a
las partı́culas). La energı́a potencial del muelle comprimido es de 60 Joules y el conjunto posee la velocidad inicial de 6 m/s. Si se rompe la cuerda cuando
θ = 30o , hallar la velocidad resultante de cada partı́cula.
8. Tres partı́culas idénticas A, B y C de masa m=1kg
encierran una pequeña cantidad de material explosivo como muestra la figura. Inicialmente el sistema se
mueve sobre una superficie horizontal lisa con velocidad constante v0 = 2m/s cuando hace explosión
la pólvora liberando 100J de energı́a. Como resultado de esta explosión cada partı́cula recibe un impulso
idéntico en la dirección radial respecto del centro del
sistema. Determinar la velocidad resultante de cada
partı́cula después de la explosión.
9. Se dispara una bala de 30 g con una velocidad de
500 m/s contra un bloque A de 5 Kg. El coeficiente de
rozamiento entre el bloque A y el carretón BC es 0.50.
Sabiendo que la masa del carretón es de 4 Kg y que
puede rodar libremente, hallar:
a) La velocidad final del carretón y del bloque;
b) La posición final del bloque sobre el carretón.
10. Un hombre de masa m1 = 75kg da una patada a un bloque de masa m2 = 20kg
desde un extremo de una plataforma con ruedas de longitud L=5m y masa m3 = 40kg.
La plataforma estaba inicialmente en reposo y el coeficiente de rozamiento entre su
superficie y el bloque es µ = 0,2. Si cuando el bloque se detiene se encuentra al otro
extremo de la plataforma, calcular:
a) Distancia recorrida por el bloque (respecto al suelo).
b) Velocidad inicial del bloque.
c) Trabajo que hace el hombre al golpear el bloque.
11. Una pelota rebota hasta el 80 por ciento de su altura original. Calcular:
a) Fracción de la energı́a mecánica perdida en cada rebote
b) Coeficiente de restitución del sistema pelota-suelo
12. Se deja en libertad un bloque A cuando θ = 90o y
desliza sin rozamiento, hasta chocar con la bola B.
Sabiendo que mA =1.25 Kg, mB =2 Kg, y el coeficiente
de restitución e = 0,9, determinar:
a) La velocidad de B inmediatamente después del choque.
b) La máxima tracción que soporta el hilo que sostiene a B.
c) La altura máxima a la que se eleva B.
13. Calcular las velocidades después del choque de las
bolas de la figura. Ambas masas son iguales y el coeficiente de restitución vale 0.9.
14. En un juego de billar una bola A golpea otra bola B (de igual masa) que está inicialmente en reposo. Después del choque, completamente elástico, la bola A se mueve
formando su velocidad un ángulo de θA = 30o con la dirección inicial. Determinar el
ángulo que forma la velocidad de B con la dirección inicial de la bola A.
15. En un juego de billar, la bola A está moviéndose con la
velocidad V0 =3 (m/s) i cuando choca con las bolas B y
C que están juntas en reposo. Tras el choque, se observan las tres bolas moviéndose en las direcciones
que muestra la figura, con θ = 30o . Suponiendo superficies lisas y choques perfectamente elásticos (es
decir, conservación de la energı́a), hallar los módulos
de las velocidades VA , VB y VC .
16. En una jugada de billar una bola golpea elásticamente
otras dos simultáneamente como indica la figura. Determinar las velocidades de las tres bolas después de
la colisión (considerar las tres bolas idénticas).
Problemas de FFEA
Soluciones de DINÁMICA DE LOS SISTEMAS
DE PARTÍCULAS
1. x = 0 ; y = 7r/6
2. x = 0 ; y = h/5
3. a) 5, 2 km/h
b) 3, 9 km/h
4. a) v0 = 469, 8 m/s
b) v00 = 325, 8 m/s
5. x = −7 m ;y = 255m;z = 7, 9276m
6. xB = 0,05183m,
yB = 0,3963m
7. vA = 10, 392 m/s, 30o por encima de la horizontal. VB = 5291 m/s, 40,89o por debajo
de la horizontal
8. vA/O = vC/O = 7,37 m/s, formando 17,75o con la vertical
vB/O = 10,165 m/s horizontal
9. a) 1, 661 m/s
b) 0, 196 m de B
10. a) 4,26 m
b) 4,086 m/s
c) 195,93 J
11. a) 1/5
b) 0, 894
12. a) vB0 = 2, 507 m/s
b) T = 33, 59 N
c) h = 0, 32 m
0
= 1, 5 m/s
13. vA,y
0
= 3, 46 m/s
vB,y
0
vA,x = 2, 37 m/s
0
= −1, 77 m/s
vB,x
14. θB = 60o
15. VA = 1, 5 m/s
VB = 1, 299 m/s
VC = 2, 25
16. v10 = v20 = 0, 693v0 , formando ángulos de +30o y de -30o con la horizontal, v30 = 0, 2v0
hacia la izquierda.
Problemas de Estática y Dinámica
CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
(1er Q.:prob pares, 2ndo Q.:prob impares) version: 04.10.18
1. En un instante determinado, las velocidades de tres de los puntos de un s ólido rı́gido,
de coordenadas A(0, 0, 0), B(1, 1, 0), y C(0, 1, 1) son, respectivamente: ~v a = (6, −2, 6);
~vB = (4, 0, 5); ~vC = (5, −2, 6); Comprobar que dicho movimiento es posible y determinar
la velocidad angular del sólido rı́gido en dicho instante.
2. Un sólido rı́gido se mueve con respecto a un sistema de ejes de referencia. En un
instante dado, el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tiene una velocidad v =
(2, 1, −1). Decir si es posible que el punto del sólido de coordenadas (5, 4, 6) tenga en
ese instante algunas de las velocidades siguientes:
a) ~va = (1, 2, −2);
b) ~vB = (1, 4, −1);
c) ~vC = (2, 1, −1);
3. La barra ABC, de 600 mm de longitud, está guiada
por ruedas en A y B que se desplazan por las ranuras, como se ilustra en la figura adjunta, siendo B el
punto medio de la barra. Sabiendo que en el instante
representado, la barra forma un ángulo de 60o con la
horizontal y que la velocidad de A es de 0,6 m/s hacia
abajo, determinar:
a) La velocidad angular de la barra.
b) La velocidad del punto C.
4. Una escalera de 250 cm de longitud está apoyada en una pared vertical y en un suelo
plano y horizontal. Si el pie de la escalera es empujado de modo que se desplace
horizontalmente con una velocidad constante de 12 cm/s alej ándose de la pared
a) Calcular la velocidad del otro extremo de la escalera en el instante en que
el pie de la misma dista 150 cm de la pared.
b) Calcular la velocidad angular de la escalera en el mismo instante.
5. El cilindro grande está articulado en A y gira en el
sentido de las manecillas del reloj a una velocidad
angular constante de 60 rpm. Sabiendo que al mismo tiempo el brazo AB gira en sentido contrario con
velocidad angular constante de 30 rpm y que no existe deslizamiento entre los cilindros, determinar para
R = 150 mm y r = 75 mm:
a) Velocidad angular del cilindro B.
b) Velocidad del punto D del cilindro B.
6. Dos rodillos A y B de radio r están unidos por un bastidor AB de longitud 4r, y ruedan sin deslizar sobre una
superficie horizontal. Un tambor C de radio 2r está situado sobre los rodillos como indica la figura. Si el
bastidor se desplaza hacia la derecha a una velocidad constante v, determinar:
a) Velocidad angular de los rodillos y del tambor.
b) Velocidad de los puntos D y E del tambor.
7. La barra AB de 500 mm de longitud está articulada en
A a un punto fijo y en B a otra barra. La barra BC, de
375 mm de longitud, está articulada en B y sujeta a
una deslizadora en C. Sabiendo que en el instante representado, la distancia de B al eje de la deslizadora
es de 300 mm y que la velocidad angular de la manivela AB es de 3 rad/s en sentido horario, determinar:
a) Localizar el CIR de las barras AB y BC
b) La velocidad angular de la barra BC.
c) La velocidad de la deslizadora C.
d) La velocidad del punto central de BC.
8. En el sistema articulado de la figura el cuerpo D se
desplaza hacia abajo guiado por la barra vertical que
lo atraviesa. La longitud de la barra AB es de 3,00 m
y la de la barra BD es de 2,00 m. Cuando la barra AB
forma un ángulo de 30,0o con la vertical, la celeridad
del cuerpo D es de 2,50 m/s. En este mismo instante
se pide:
a) Dibujar y calcular la posición del centro instantáneo de rotación (CIR) de la
barra AB y de la barra BD. Indicar también (sin hacer el cálculo) el sentido
de rotación de cada una de las dos barras con respecto a su CIR señalando
la dirección y sentido del vector velocidad angular correspondiente.
b) Calcular, con la precisión que permiten los datos numéricos dados, el vector
velocidad del punto B y los vectores velocidad angular de las barras AB y
BD.
9. Una barra AB de longitud L tiene su extremo A deslizando sobre una pared lisa y su extremo B deslizando
sobre un suelo horizontal. En su centro C está articulada otra barra idéntica CD, cuyo extremo D desliza sobre el mismo suelo horizontal. El extremo A se
mueve con velocidad constante v0 hacia abajo. En el
instante en que la barra AB forma un ángulo θ con la
vertical:
a) Demuestre que la relación entre θ y ϕ es de la forma:
cos ϕ =
1
cos θ
2
siendo ϕ el ángulo que forma la barra CD con la vertical.
b) Determine de forma algebraica las velocidades angulares de ambas barras
en el instante representado.
c) Determine analı́tica y gráficamente los Centros Instantáneos de Rotación
de ambas barras, dando su posición en el sistema de referencia indicado
en el dibujo.
d) Calcule numéricamente los anteriores apartados para v0 = 3 m/s; L = 5 m;
θ = 20o .
10. Un cilindro A rueda sin deslizar sobre una superficie
horizontal. Una barra BD está unida a la rueda mediante un pasador en B y a una deslizadera en su otro
extremo D como muestra la figura. Si en el instante
representado la velocidad del centro de la rueda es
de 2 m/s hacia la derecha, calcular:
a) Velocidad angular del cilindro A.
b) Velocidad (vectorial) del punto B.
c) Velocidad del punto D de la deslizadera.
d) Velocidad angular de la barra BD.
Problemas de Estática y Dinámica
SOLUCIONES DE CINEMÁTICA DEL SÓLIDO
RÍGIDO
1. Sı́ es posible; ω = (0, 1, 2)
2. a) no
b) si
c) si, es una traslación pura.
3. a) 4 rad/s antihorario
b) 2,16 m/s; 16,1o con la horizontal
4. a) v = 9 cm/s hacia abajo
b) ω = 0,06 rad/s antihorario
5. a) ωB = 21,99 rad/s antihorario
vD = 2,36 m/s perpendicular a la barra
6. a) ωA = ωB = v/r ; ωC = v/2r
b) vD = 0 , ~vE = v~i + v~j
7. b) 6,67 rad/s
c) 2 m/s izq.
d) 1,250 m/s, 36,9o con la horizontal
8. b) ~vB = (−1, 46~i − 0, 845~j ) m/s
ωAB = 0,563 ~k rad/s;
ωBD = −1, 1 ~k rad/s
9. b) ωAB = v0 /(L sin θ) antihorario, ωCD = v0 /(L sin φ) antihorario,
c) CIRAB = L(sin θ, cos θ); CIRCD = L(sin φ + sin(θ/2), sin(φ + θ)/ sin θ)
d) ωAB = 1,75 rad/s; ωCD = 034 rad/s; CIRAB = (1,71,4, 7) [m]; CIRCD =
(5, 27, 14, 47) [m]
10. a) ωA = 2, 5 rad/s
b) ~vB = (2~i + 1, 5~j) m/s
c) vD = 5 m/s
d) ωBD = 1, 25 rad/s;
Problemas de Estática y Dinámica
ESTÁTICA (versión 081008)
1. El sistema de cables flexibles de la figura se utiliza
para elevar un cuerpo de masa M. El sistema se halla
en equilibrio en la posición indicada cuando se aplica
una fuerza de 500N entre los cables C y A. Determine
las tensiones en los cables y el valor de la masa M.
2. Un cuerpo de masa M=250Kg pende del sistema de
cables flexibles que se indica en la figura. Determine
las tensiones en los cables A, B, C y D.
F
3. Un bloque de masa 20 Kg descansa sobre un plano
rugoso como se muestra. Sabiendo que el ángulo que
forma el plano inclinado con la horizontal es de θ = 25o
y µs = 0,20, determinar el módulo y ángulo con la horizontal ϕ de la menor fuerza F necesaria:
ϕ
θ
a) Para iniciar el movimiento de subida del bloque sobre el plano.
b) Para impedir el movimiento del bloque hacia abajo.
4. Se colocan dos paquetes sobre una cinta transportadora que forma un ángulo con la horizontal de 15o y se
encuentra en reposo. Los coeficientes de rozamiento
entre la cinta y el paquete A valen µs =0.2 y µk =0.15;
entre la cinta y el paquete B valen µs ==0.3 y µk =0.25.
Los paquetes, cuyas masas son mA =6 Kg y mB =4 Kg,
se colocan sobre la cinta de modo que están en contacto entre sı́ y en reposo. Determinar:
a) Si se moverán uno o los dos paquetes;
b) La fuerza de rozamiento que actúa sobre cada paquete.
5. Dos cuerpos de masas respectivas m1 =200kg y
m2 =300kg se unen mediante una cuerda y se apoyan
en la superficie de una esfera lisa como se muestra en
la figura. Determine las reacciones sobre la superficie,
la tensión en la cuerda y el ángulo θ en la posición de
equilibrio.
6. Dos ruedas A y B de masas 2m y m respectivamente,
están unidas mediante una varilla de masa despreciable y pueden rodar libremente sobre la superficie
representada. Determinar el ángulo θ que forma la varilla con la horizontal cuando el sistema se encuentra
en equilibrio.
7. Una barra homogénea de masa m=20Kg se apoya sobre dos superficies lisas (sin rozamiento) como se representa en la figura. Determinar:
a) Valor de F necesaria para mantener en equilibrio la barra.
b) Las reacciones en los puntos de apoyo.
8. Una varilla uniforme de longitud 3R y peso P está en
equilibrio en una cavidad semiesférica de radio R. Ignorando los rozamientos, determinar el ángulo θ que
forma la varilla con la horizontal que corresponde al
equilibrio.
9. Una varilla delgada AB, de peso P, está unida a dos
bloques A y B que deslizan libremente en las guı́as
representadas. Los bloques están unidos por un hilo
inextensible y sin peso que pasa por una polea C.
a) Expresar la tensión en el hilo en función de P y del ángulo θ que forma la
barra con la horizontal.
b) Determinar el valor del ángulo θ para el que la tensión en el hilo es igual a
2P.
10. Dos barras homogéneas de igual masa y longitud se
encuentran dispuestas como se indica en la figura. El
contacto entre las barras se produce en el punto medio de una de ellas. Despreciando el rozamiento en
los puntos de contacto entre los diferentes cuerpos y
siendo E una articulación o punto fijo, Determinar:
a) La relación entre mP y mQ en función de θ para que el sistema se encuentre
en equilibrio.
b) Reacciones en el punto de contacto entre las dos barras.
c) Reacción en el punto de contacto entre la barra y la pared.
11. Un cilindro homogéneo de radio R y masa M descansa sobre otros dos cilindros homogéneos iguales entre sı́ de radio r y masa m como se muestra en la figura. Los centros de los de los dos cilindros inferiores
se hallan unidos mediante una cuerda inextensible de
longitud 2r. Despreciando los rozamientos entre todas
las superficies, calcular:
a) La tensión del hilo.
b) Fuerza de reacción del plano.
c) Fuerza de reacción entre cada cilindro.
12. Dos cilindros de masas mA y mB y radios RA y RB reposan sobre dos planos inclinados perfectamente lisos como se indica en la figura. Encontrar el ángulo
φ que formará con la horizontal la recta que pasa por
los centros de los cilindros en la posición de equilibrio.
Datos: mA =1kg, mB =2kg, θ=15o , ϕ=30o
13. Dos barras iguales de longitud 2a y masa m están
articuladas por su punto medio y unidas mediante un
hilo inextensible por su extremo superior. Sobre las
barras se coloca un cilindro de radio R y masa M como
se indica en la figura. Si todo el conjunto descansa
en equilibrio sobre una superficie perfectamente lisa,
calcular en función del ángulo θ:
111111
000000
111111
000000
R
1
0
0
1
111111111
000000000
0
1
0
1
0
1
0
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
0
1
0
1
a) Las reacciones con la superficie.
b) Tensión del hilo.
14. En la figura se muestra una grúa sencilla que levanta
una carga de 1500kg. La barra de la grúa tiene una
longitud de 7.5m, un peso de 250kg, y su centro de
gravedad se halla a 3.0m de su extremo inferior. Determinar la tensión en el cable C y la reacción en la
articulación de apoyo P, para una inclinación de la barra de la grúa de θ=60o .
15. Una barra AB de longitud 1m y masa m=4kg esta sujeta por una cuerda CB de longitud 1.1m en un extremo
y apoyada en una pared rugosa en el otro como muestra la figura. En esta situación la barra se mantiene en
equilibrio, siendo el ángulo que forma la cuerda con la
pared de θ=60o . Calcular:
a) Tensión en la cuerda
b) Coeficiente de rozamiento mı́nimo entre la barra y la pared para que ésta
pueda mantenerse en equilibrio.
16. Una barra maciza y homogénea, de longitud L y peso
P, se halla en equilibrio formando un ángulo θ con la
horizontal. El extremo A de la barra reposa sobre una
superficie horizontal y rugosa, a la vez que se apoya
en un punto B sobre una esquina también rugosa, a
una altura h sobre el suelo. Supóngase que el coeficiente de rozamiento estático es el mismo en ambos
puntos.
a) Dibujar el diagrama de sólido libre de la barra en movimiento inminente.
b) Determinar la expresión algebraica del coeficiente de rozamiento µ en función de L, h y θ
c) Calcular las normales y las fuerzas de rozamiento en los puntos de apoyo,
sabiendo que L=5 m, h=1 m, θ =20o y P=100 N.
17. Un armario de 60 Kg está montado sobre ruedas que
pueden bloquearse para evitar la rodadura. El coeficiente de rozamiento entre el suelo y cada rueda es
0.30. Suponiendo que las ruedas están bloqueadas,
determinar:
a) La fuerza P necesaria para mover al armario hacia la derecha
b) El mayor valor de h si el armario no ha de volcar.
18. Un embalaje de 30 Kg de masa está sometido a una
tracción por la cuerda indicada. El coeficiente de rozamiento entre el embalaje y el suelo es 0.35. Si el
ángulo que forma la cuerda con la horizontal es de
30o , determinar:
a) La tensión T necesaria para mover el embalaje;
b) Si el embalaje volcará o deslizará.
19. Determinar el valor mı́nimo de P que debe aplicarse
a la cuña, sin masa apreciable y con un ángulo de
6o , para mover el bloque de 800 kg. El coeficiente de
rozamiento estático es 0.30 en todas las superficies
en contacto.
20. Se utiliza una cuña para elevar un armario de 250 kg
de masa como se muestra en la figura. El coeficiente
de rozamiento es de 0.30 entre todas las superficies.
Determinar:
a) La fuerza mı́nima F que hay que aplicar para introducir la cuña.
21. Una carga homogénea de 20 kN de peso cuelga
de una armadura mediante dos cables inextensibles
como se muestra en la figura. Determinar la fuerza en
cada varilla de la armadura.
22. Determinar las fuerzas en las varillas CG y FG de la
armadura que sustenta el puente que se muestra en
la figura sabiendo que la distancia entre dos nudos
alineados horizontalmente es de 6 m.
23. La barra de la figura tiene masa M y longitud L. Se
halla apoyada en rodillos por ambos extremos, y en
su extremo inferior conectada a un muelle de longitud natural nula y constante elástica k que lo sujeta
a la pared. Determine por el método de los trabajos
virtuales el valor del ángulo que forma la barra con la
horizontal en la posición de equilibrio.
24. El mecanismo de dos barras de la figura se utiliza para sostener una carga de masa M. Las barras tienen
igual longitud El sistema se halla articulado en A y C, y
apoyado mediante un rodillo en B. El punto B se halla
unido al soporte A mediante un muelle de constante
k y longitud natural D. Determine el valor del ángulo θ
en la posición de equilibrio.
Problemas de Estática y Dinámica
Soluciones de ESTÁTICA
1. TA = 2,84 kN
TB = 8,29 kN
TC = 2,88 kN
TD = 7,79 kN
M = 794 kg
2. TA = 1,50 kN
TB = 2,96 kN
TC = 2,83 kN
TD = 1,41 kN
3. a) 116,2 N, θ = 36,31o
b) 46, 43 N, θ = 13, 69o
4. a) A desliza; B no se mueve
b)Fa = 8,53 N; Fb = 10,15 N
5. θ = 33,7o
T = 1,63 kN
N1 = 1,09 kN
N2 = 2,45 kN
6. θ = 18,4o
7. a) F = 84,9 kN
b) RA = 147 kN , RB = 98 kN
8. θ = 23, 2o
9. a) T = (P/2)(1/(1 − tan(θ)))
b) 36, 9o
10. a) (mQ /mP ) = tan2 (θ)
b) R = mQ g/ sin(θ)
c) R = mQ g/ tan(θ) = mP g tan(θ)
q
11. a) T = (M g/2)(r/ (R + r)2 − r2 )
b) N = ((2m + M )/2)gq
c) R = (M g/2)(R + r/ (R + r)2 − r2 )
12. φ = 62, 4o
13. a) N = (2m + M )g/2
g tan(θ) +
b) T = 2m+M
2
M gR
2` sin2 (θ)
14. T = 11,7 kN
Rx = 11,1 kN
Ry = 20,7 kN
15. T = 25,2 N
µs = 1,22
16. b) µ = tan[(1/2)arc sin((L/h) sin2 (θ) cos(θ))]
b) µ es la raı́z de µ2 L sin2 (θ) cos(θ) − 2µhL + L sin2 (θ) cos(θ)
c) NA = 16, 37 N, FA = 4, 89 N , NB = 80, 35 N , FB = 24, 02 N
17. a) P = 176, 5 N
b) h = 1 m
18. a) T = 98, 95 N
b) Desliza
19. P = 1856, 7 N
20. a) P = 2470,5 N
b) P 0 = 72,8 N
21. FAB = 25 kN T
FAE = 5 kN T
FBC = 16,65 kN T
FBD = 10 kN T
FBE = 8,34 kN C
FCD = 13,35 kN C
FDE = 13,35 kN C
22. FF G = 11,25 kN T
FGC = 2,08 kN C
23. sin(θ) = M g/2kL
24. sin(θ) = (M g + 2kD)/4kL
PROBLEMAS ESTÁTICA.
EXTRA (versión 15 de febrero de 2010)
J.L. Font
15 de febrero de 2010
ϕ
1. Un cilindro homogéneo pesa 500 N. Reposa sobre un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal θ = 55o y está unido
por su centro a un hilo que cuelga del techo y que forma un ángulo
de ϕ = 75o con la horizontal. Calcular la tensión en el hilo y la
reacción normal al plano.
θ
2. Un cilindro homogéneo pesa 50 N y reposa sobre dos planos inclinados que forman los ángulos θ = 45o y ϕ = 30o . Calcular las
reacciones normales en A y B.
A
θ
B
ϕ
T
2
3. Un bloque de masa m=50 kg reposa sobre una superficie horizontal
y lisa, estando en equilibrio estático bajo la acción de las fuerzas
T1 = 300 N y T2 = 500 N. Calcular la reacción normal y el ángulo
θ que forma T2 con la horizontal.
4. Tres cilindros idénticos tienen un peso cada uno de 500 N y están en
contacto entre sı́. El conjunto reposa sobre dos planos inclinados que
forman un ángulo θ con la horizontal. Ignorando los rozamientos,
calcular el mı́nimo valor de θ para que haya equilibrio. Nota: los
dos cilindros en contacto con los planos inclinados casi no se tocan
entre sı́.
1
θ
T
1
m
θ
θ
C
5. Dos cilindros idénticos tienen una masa cada uno de 200 kg y están
en contacto entre sı́. El conjunto reposa sobre un plano inclinado
que forma un ángulo θ = 45o con la horizontal y con una pared
vertical. Ignorando los rozamientos, calcular las reacciones en los
puntos de contacto A, B y C.
B
A
θ
F
θ
6. Un cilindro homogéneo de masa m=100 kg y radio R=250 mm ha
de superar un escalón de altura h=50 mm mediante una fuerza F
aplicada en su centro de masa y que forma un ángulo θ = 30o con
la horizontal. Ignorando los rozamientos, calcular la fuerza F.
h
A
7. Una barra homogénea se apoya por sus extremos en sendos planos inclinados perpendiculares entre sı́. Sabiendo que el ángulo que
forma uno de los planos inclinados con la horizontal es ϕ = 30o e
ignorando los rozamientos, calcular θ.
θ
B
ϕ
A
8. Una barra homogénea de 100 N de peso se apoya en una articulación
en A y en un suelo liso en B, formando un ángulo θ = 30o con la
horizontal. Sobre ella reposa un cilindro de 500 N de peso, que a su
vez se apoya sobre una pared lisa y vertical. Calcular las reacciones
en A y en B.
50
75
θ
B
F
F1
9. En la estructura articulada de la figura hay una carga F1 = 1000 N
aplicada en el nudo D y una carga F2 = 2000 N aplicada en el nudo
C. Sabiendo que L=8 m y H=4 m, calcular las reacciones en los
apoyos y los esfuerzos en cada barra.
2
L
D
C
H
B
A
2
B
θ
10. La estructura de la figura está articulada en A y apoyada en rueda
en C. Hay una carga F = 5 kN aplicada en el nudo D. Sabiendo
que L=2 m y θ = 30o , calcular las reacciones en los apoyos y los
esfuerzos en cada barra.
A
C
θ
D
F
L
F2
L
L
B
F1
C
ϕ
θ
A
11. La estructura de la figura está articulada en A y unida a un hilo
en C que a su vez está unido al techo. Hay dos cargas: F1 = 3 kN
aplicada en el nudo D y F2 = 4 kN aplicada en el nudo B. Sabiendo
que L=3.6 m, θ = 60o y que ϕ = 30o , calcular las reacciones en los
apoyos y los esfurzos axiles de todas las barras.
D
L
L
D
C
B
h
12. La estructura de la figura está articulada en A y apoyada en rueda
en E. Hay dos cargas: F1 = 5 kN aplicada en el nudo G y F2 = 10 kN
aplicada en el nudo F. Sabiendo que L=6 m y h=4 m, calcular las
reacciones en los apoyos y los esfuerzos axiles de las barras CG y
FG.
G
A
F
F1
E
F2
Y
F
C
B
D
10
7
13. El poste AC, de 10 m de longitud, tiene una rótula en A
y está sujeto por dos tirantes BD y BE. Sabiendo que la
fuerza F es de 8,4 kN, calcular la reacción en la rótula y
la tensión de los tirantes.
A
X
6
Z
3
6
6
E
SOLUCIONES
1. N = 137,7 N, T = 435,9 N
2. NA = 25,88 N, NB = 36,60 N
3. N = 90 N, θ = 53,13o
4. θ = 10,9o
5. NA = 4157,8 N, NB = 3920 N, NC = 1385,9 N
6. F = 592,2 N
7. θ = 30o
8. Ax = 288,7 N →, Ay = 283,3 N ↑, NB = 316,7 N
9. Ax = 1000 N ←, Ay = 500 N ↓, NB = 2500 N, FDC = 1000N C, FDA = 0, FAB = 0, FAC = 1118N T,
FBC = 2500N C
10. Ax = 0, Ay = 1,25 kN ↑, NC = 3,75 kN, FAB = 2,50kN C, FAD = 2,17kN T, FDB = 5,00kN T,
FDC = 2,17kN T, FCB = 4,33kN C
11. Ax = 3 kN →, Ay = 0,7 kN ↑, Cy = 3,3 kN ↑, FAD = 0,81 kNT , FAB = 3,41 kNC, FBD = 4,62 kNC,
FBC = 5,72 kNC, FCD = 6,60 kNT
12. Ax = 0, Ay = 20/3 kN ↑, Ey = 25/3 kN ↑, FF G = 11,25 kN T , FCG = 2,08 kN C, FBC = 10 kN C
13. Ax = 3,6 kN ←, Ay = 14 kN ↑, Az = 0, TBD = TBE = 11 kN
4