Breve introducción histórica

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Un poco de historia del Análisis Funcional
A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between
proofs and the best mathematician can notice analogies between theories. One can imagine that the ultimate mathematician is one who can
see analogies between analogies.
Un matemático es una persona que encuentra analogías entre teoremas; es mejor matemático el que puede ver analogías entre demostraciones y el más grande de los matemáticos es aquel que percibe analogías entre las teorías. Podemos imaginar que el estado sublime para un
matemático sería ver analogías entre las analogías.
— Stefan Banach
Stefan Banach (1892–1945)
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Si bien el análisis funcional nace como una herramienta al servicio del análisis clásico, hoy en día ha pasado a ser una vasta y bella
área dentro del análisis matemático, con entidad propia y con sus propios problemas. De hecho, en la actualidad es muy complicado abarcar
todo el análisis funcional pues, como dice J. Conway en el prólogo de su libro A Course in Functional Analysis, “puede ocurrir que dos
investigadores que trabajen en análisis funcional tengan dificultades para comprender cada uno el trabajo del otro”.
Puede decirse que la teoría abstracta de los espacios de Banach comienza con la publicación en
1922 de la tesis doctoral de Stefan Banach “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur
application aux équations intégrales” en Fundamenta Mathematicae, seguida por la publicación en
1932 de su famosa monografía Théories des Opérations Linéaries, libro que aún hoy en día sigue
siendo referencia.
No obstante, muchas de las ideas fundamentales habían aparecido desde principios del siglo XX, si
bien en casos concretos, motivadas por el estudio de problemas procedentes de otras ramas del análisis
como las ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones, las ecuaciones integrales. . . Comentemos
brevemente algunos de estos antecedentes.
Entre 1904 y 1910, David Hilbert publica una serie de artículos sobre ecuaciones integrales, motivados por los resultados de I. Fredholm (lo que hoy conocemos como alternativa de Fredholm). Estos
trabajos, junto con la tesis doctoral de su alumno E. Schmidt, suponen el nacimiento de la teoría actual
de espacios de Hilbert: aparecen ya conceptos como bola unidad, convergencia débil de sucesiones,
distancia entre elementos, teoría espectral de operadores. . . si bien todo ello restringido a las sucesiones de cuadrado sumable.
David Hilbert (1862–1943)
Paralelamente a todo esto, Maurice Fréchet desarrolla en su tesis doctoral de 1906 las nociones de espacio métrico, complitud, compacidad y separabilidad, y se embarca inmediatamente en el estudio del espacio real C[a, b] y otros espacios funcionales como H(Ω).
Al aplicar estas ideas a los descubrimientos de Hilbert, en un trabajo de Erhard Schmidt de 1908 aparece explícitamente el espacio de
dimensión infinita `2 , con las nociones actuales de distancia euclídea, norma (con la notación actual k · k), producto escalar, ortogonalidad
e incluso el lenguaje geométrico moderno, probándose el teorema de la proyección ortogonal y el método de ortonormalización de GramSchmidt.
Por otra parte, la conjunción de las ideas de Fréchet con la teoría de integración de Lebesgue, dio paso a la aparición de los espacios
L p [a, b] y al estudio de sus propiedades.
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Si bien para p = 1 este espacio estaba implícito en los trabajos de Lebesgue, la aparición del caso
p = 2 tuvo que esperar a 1907, cuando Frigyes Riesz y Ernst Fischer descubren independientemente su
famoso teorema: el espacio métrico L2 [a, b] es completo, separable e isométrico al espacio de Hilbert
de sucesiones `2 . Esta última conclusión permitió traspasar al ambiente de las funciones de cuadrado
integrable los resultados que había dado Hilbert, resolviendo problemas sobre ecuaciones integrales
que estaban latentes desde principio de siglo. En este mismo año, Riesz y Fischer descubren, también
de manera independiente, una representación de las formas lineales continuas sobre L2 [a, b], cuya
versión abstracta dice que los espacios de Hilbert son autoduales.
La aportación de Riesz al nacimiento de la teoría de espacios de Banach no se queda ahí. En
1909, representa cualquier funcional lineal y continuo sobre el espacio C[a, b] como una integral de
Stieltjes con respecto a una función de variación acotada; este resultado supuso un paso importante
en la clarificación de las ideas de dualidad, ya que es el primer ejemplo en el que el dual topológico
Maurice Fréchet (1878–1973)
no puede identificarse con el espacio base. Poco después, Riesz introduce los espacios L p [a, b], y sus
análogos discretos ` p , para 1 < p < ∞ en el estudio del problema de los momentos y de la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Aparecen aquí dos nociones importantes:
la representación del dual de L p [a, b] como L p∗ [a, b] ( 1p + p1∗ = 1) y la convergencia débil de sucesiones. Finalmente, en 1918 elabora su
teoría de operadores compactos, generalización de la teoría espectral de Hilbert al ambiente de los operadores lineales y compactos en un
espacio normado; si bien sólo da los resultados en C[a, b], los razonamientos son generales y están expresados en términos de la norma del
espacio.
Todos estas contribuciones preparan el camino para el desarrollo de una teoría abstracta de espacios normados, que estudie la dualidad y
los operadores lineales continuos entre ellos. Esto aconteció en la tesis doctoral de Banach (1920), en la que, según sus propias palabras:
el objetivo (. . . ) es demostrar algunos teoremas que son ciertos para diferentes espacios funcionales. En lugar de probar los
resultados para cada espacio particular, he optado por un enfoque diferente: considero en general un conjunto de elementos
abstractos, para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas para esos conjuntos. Entonces pruebo que
los distintos espacios funcionales particulares en los que estoy interesado satisfacen los axiomas postulados.
El marco general en cuestión es precisamente lo que hoy conocemos como espacio de Banach. Se da la definición axiomática de espacio
vectorial real, normado y completo, y la tesis contiene, entre otros resultados, una versión del principio de acotación uniforme y el principio
de contracción en espacios métricos completos. Pero sobre todo, la contribución más importante de la tesis de Banach fue sacar a la luz la
noción correcta de espacio normado, que de modo más o menos implícito, estaba subyacente en gran parte de los artículos previos sobre
análisis funcional (nombre que aparece por primera vez en un libro de Paul Lévy, publicado en 1922).
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Durante los siguientes diez años se produce un periodo de gran actividad en el desarrollo de la teoría
de espacios de Banach y sus aplicaciones a distintas ramas del análisis, estableciéndose los que el texto
de Nelson Dunford y Jacob Schwartz llama “los tres Principios Fundamentales del análisis funcional”,
a saber: el principio de acotación uniforme, cuya versión actual usando el teorema de Baire se debe
a Banach y Hugo Steinhaus (con antecedentes de Hans Hahn y el propio Banach); el teorema de la
aplicación abierta, contribución genuina de Banach, consecuencia también del teorema de Baire y que,
sobre todo en su versión del teorema de la gráfica cerrada, tiene multitud de aplicaciones; por último,
el teorema de Hahn-Banach, debido a Hahn en su versión de existencia de extensiones equinórmicas
(aunque existían versiones particulares anteriores dadas por Eduard Helly) y a Banach en su versión
para funcionales sublineales y que es el primer resultado del análisis funcional en el que se utiliza
inducción transfinita.
Así llegamos al año 1932, fecha importante en la historia del análisis funcional por la aparición de
Frigyes Riesz (1880–1956)
tres grandes monografías, que significaron la consolidación definitiva de esta materia como una rama
independiente e importante del análisis. La primera de ellas, debida a John von Neumann, trata de
los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, formalizando la teoría abstracta de espacios de
Hilbert y la teoría espectral de operadores; uno de sus grandes pilares es la equivalencia entre funciones de cuadrado integrable y series de
cuadrado sumable, que permite unificar la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria. La segunda de ellas, escrita por Marshall Stone,
presenta la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert con multitud de aplicaciones al análisis clásico. Ambas monografías son
el punto de partida para la teoría espectral de operadores y el estudio de las C∗ -álgebras. Poco más comentaremos sobre esta línea, ya que
prácticamente no tratamos estos temas en este libro.
Finalmente, el tercero de los libros es Théorie des Opérations Linéaries, de Banach, que ya hemos presentado y que está dedicado
fundamentalmente al estudio de la estructura de espacio normado completo real. En él se reúnen los resultados más importantes que se
conocían hasta la fecha, incluyendo los tres principios fundamentales del análisis funcional (los dos primeros aparecen en el ambiente
general de los F-espacios), la teoría de Riesz de operadores compactos, las bases y sucesiones básicas de un espacio normado y, finalmente,
la convergencia débil y débil-* de sucesiones, probándose versiones secuenciales de los teoremas de Banach-Alaoglu y Dieudonné.
En la siguiente década también se dan algunos avances importantes en el tema: el establecimiento por parte de Stanislaw Mazur de las
versiones geométricas del teorema de Hahn-Banach, probando la existencia de hiperplanos de soporte por cada punto frontera de cualquier
conjunto abierto y convexo de un espacio normado; la posibilidad de usar espacios vectoriales complejos en el teorema de Hahn-Banach
(Henri Bohnenblust y Andrew Sobczyk, 1938), lo que permitiría desarrollar una teoría de funciones holomorfas con valores en espacios de
Banach; y, finalmente, la introducción por Mark Krein y David Milman de la noción de punto extremo de un conjunto convexo en 1940,
probando el famoso teorema que lleva sus nombres, con tantas aplicaciones al análisis. No obstante, el desarrollo del análisis funcional
sigue otras sendas distintas del estudio abstracto de los espacios de Banach (espacios localmente convexos –que enseguida comentaremos–
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y C∗ -álgebras y teoría espectral), hasta finales de la década de los 50 cuando, por una parte, florece de nuevo la escuela polaca (diezmada
por los nazis durante la II Guerra Mundial), con matemáticos como Czeslaw Bessaga, Aleksander Pełczyński y Stefan Rolewicz, que dieron
un nuevo impulso a dicho estudio abstracto y, por otra, aparecen otros tres textos clásicos: Normed linear spaces de Mahlon Day, Linear
Operators de Dunford y Schwartz, e Introduction to Functional Analysis de Angus Taylor. Con todo ello, se puede decir que comienza la
etapa moderna de la teoría de espacios de Banach.
Los espacios normados no agotan todas las posibilidades en el estudio de los espacios funcionales.
Esto era conocido desde el principio del análisis funcional, pues pronto aparecen espacios cuya topología no está asociada a una norma: ya en su tesis de 1906, Fréchet estudia espacios clásicos que no son
normables, como H(Ω). Más aún, el mismo Fréchet se da cuenta de que la noción de espacio métrico
puede no ser suficiente para describir la topología pues, por ejemplo, la topología producto en RR no
puede ser descrita por una distancia.
También Banach en su monografía de 1932 trabaja con los llamados “espacios de tipo (F)”, que no
son normables en general, y uno de los temas centrales del libro de Banach es la topología débil, que
no es metrizable (aunque, sorprendentemente, sólo la trata en términos de convergencia de sucesiones).
Paralelamente al nacimiento del análisis funcional, y en alguna medida motivado por éste, se desarrolla otra de las grandes ramas de la matemática del siglo XX: la topología general. Ésta da el
lenguaje necesario para tratar correctamente los espacios funcionales que no son espacios métricos.
John von Neumann
Por ejemplo, en un trabajo sobre la teoría espectral (1930), von Neumann introduce, en términos de
(1903–1957)
entornos, la topología débil de un espacio de Hilbert H y las topologías débil y fuerte de operadores
en L(H), mostrando que no son metrizables. Yendo un poco más lejos, en 1934, Gottfried Köthe y
Otto Toeplitz introducen un clase de espacios de sucesiones, muchos de ellos modelos de espacios de
funciones analíticas, y ciertas topologías sobre ellos: para un subespacio vectorial E de KN , se define el espacio E × (el dual de Köthe de E)
como el formado por las sucesiones numéricas (un ) tales que ∑n>1 |un xn | < ∞ para toda sucesión (xn ) ∈ E, y se considera en E la topología
débil σ(E, E × ) y en E × la débil-* σ(E × , E).
Todo estaba pues preparado para la aparición de la noción abstracta de espacio vectorial topológico (EVT), esto es, un espacio vectorial
dotado de una topología que hace continuas las operaciones suma y producto por escalares. La paternidad de dicho concepto de EVT es
dudosa, pues aparece implícitamente en numerosos trabajos. Fréchet observa en 1926 que la suma y el producto por escalares son continuos
en los espacios funcionales que había introducido en su tesis, idea que Banach generaliza en su libro de 1932 a los espacios de tipo (F).
No obstante, fue Andrey Kolmogorov (1934) quien dio la definición formal de espacio vectorial topológico general. Un año después, von
Neumman da una definición constructiva de la noción de EVT (sin mencionar a Kolmogorov) en términos de bases de entornos de cero.
En estos dos últimos trabajos aparecen sendas nociones que serán fundamentales en el desarrollo de la teoría. Por un lado, Kolmogorov
introduce la noción de conjunto acotado de un EVT general, noción que permite caracterizar los espacios (separados) cuya topología se
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puede definir por una norma: son precisamente aquellos que poseen un entorno de cero convexo y acotado. Por otro lado, von Neumann
define los espacios localmente convexos (ELC) como aquellos EVT que admiten una base de entornos de cero convexos.
Una de las dificultades que plantea la teoría es la definición de complitud pues, si bien la complitud secuencial es fácilmente definible, si
las sucesiones no definen la topología, esta noción no es completamente satisfactoria. Este problema queda resuelto usando la convergencia
de redes, que fue introducida por Eliakim Moore y Herman Smith en 1922 generalizando el límite de una sucesión, y que sí sirve para
determinar la topología de cualquier espacio topológico (del mismo modo que las sucesiones determinan la topología de cualquier espacio
métrico). En 1940, Henri Cartan introduciría la convergencia de filtros, menos intuitiva que la de redes, pero más elegante y potente a la
hora de hacer demostraciones.
Varios tipos de EVT pueden considerarse como buenas generalizaciones de los espacios normados. Por un lado, en los F-espacios (EVT
metrizables completos) se verifican los teoremas de la aplicación abierta y Banach-Steinhaus. Por otro lado, el teorema de Hahn-Banach
es válido en ELC (esencialmente es válida la demostración de Banach) y, por tanto, el espacio dual es “suficientemente grande”, lo que
permite dar una teoría de dualidad adecuada. La intersección de estas dos clases la constituyen los espacios de Fréchet: espacios localmente
convexos, metrizables y completos; equivalentemente, ELC completos que poseen una base numerable de entornos de cero.
Gracias a la extensión del teorema de Hahn-Banach, las ideas dadas por Köthe y Toeplitz son llevadas a cualquier ELC separado, obteniéndose una potente teoría de dualidad para estos espacios. Uno
de los iniciadores del estudio sistemático de esta teoría fue George Mackey, quien en 1946 introduce
el concepto de par dual (X,Y ) y estudia las topologías (polares) asociadas a dicho par; en particular,
caracteriza todas las topologías localmente convexas en X para las que Y es el dual topológico de X
(compatibles con la dualidad) y prueba que todas tienen los mismos conjuntos acotados (teorema de
Mackey). También aparecen de este modo la topología fuerte del dual de un ELC separado (generalizando la norma del dual de un espacio normado) y las nociones de bidual y reflexividad en este
ambiente.
Paralelamente, en 1945 Laurent Schwartz inicia el desarrollo de su teoría de distribuciones, que da
el marco matemático adecuado para trabajar con las distintas definiciones de soluciones generalizadas
Laurent Schwartz (1915–2003)
de ecuaciones diferenciales y los diferentes tipos de funciones singulares que se utilizaban en la época,
especialmente en Física Cuántica. El primer espacio de distribuciones que se introduce es D0 (Ω), el
dual topológico del espacio de las funciones test D(Ω). Schwartz sabía que la noción de convergencia
que necesitaba en D(Ω) no podía obtenerse a partir de una topología de espacio de Fréchet, por lo que tuvo que definir una topología
localmente convexa específica (realmente, definió los conjuntos acotados del espacio). Cuando Jean Dieudonné conoció los resultados de
Schwartz, los relacionó con la teoría abstracta de límites inductivos de espacios topológicos y juntos estudiaron lo que hoy llamamos LFespacios y la teoría de dualidad en esta clase. La teoría siguió avanzando apareciendo, por ejemplo, una transformada de Fourier generalizada,
hasta llegar a uno de los resultados más importantes de la teoría de distribuciones, el llamado teorema de los núcleos (Schwartz, 1950) que
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afirma que prácticamente todos los operadores que aparecen en análisis son operadores integrales representados por un núcleo distribucional.
Este último resultado fue estudiado a fondo por Alexander Grothendieck, llevando a la introducción de los productos tensoriales. Es obligado
comentar que el éxito de la teoría de ELC se debe, en gran medida, a la brillantez de la teoría de distribuciones.
Finalmente, digamos que gran parte del estudio posterior de los ELC se guió por la idea de clasificarlos según su comportamiento respecto a algunos teoremas clásicos o propiedades importantes
de los espacios normados. Así, los espacios para los que se cumple el teorema de Banach-Steinhaus
se llaman tonelados; los ELC tales que toda aplicación lineal acotada sobre ellos es continua se llaman bornológicos; aquellos en los que se cumple cierta versión del teorema de la Aplicación abierta
se llaman espacios de Pták, etc.
Alexander Grothendieck (1928– )
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