Tema 20.

Capı́tulo 20
Conjuntos de Borel
Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene
a todos los abiertos de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos
formar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a complementarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntos
constituirán la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiar
en este capı́tulo. Veremos que la relación entre estos conjuntos y los conjuntos medibles es mucho más estrecha que la de una simple relación de
contenido.
σ-Álgebras
En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido
anteriormente, el de σ-álgebra.
Definición 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de
X diremos que forman una σ-álgebra si satisface las condiciones siguientes:
1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A .
2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entonces
Bc ∈ A .
3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k =
1, . . . entonces ∪Bk ∈ A .
Procediendo como para la σ-álgebra M , se deduce que si A es una σ-álgebra
entonces A es cerrada también respecto a las intersecciones numerables y
respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar
197
198
Conjuntos de Borel
20.1
que cualquier intersección de σ-álgebras es también una σ-álgebra. Esto
permite dar la siguiente definición.
Definición 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X,
llamaremos σ-álgebra generada por F, a la menor σ-álgebra que contiene a
F. Denotaremos a veces a esta σ-álgebra por σ(F).
Es claro que σ(F) está siempre bien definida. De hecho, σ(F) es la intersección de todas la σ-álgebras que contienen a F. (Nótese que al menos hay
una σ-álgebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos
de X).
La σ-álgebra de Borel
Si X es un espacio topológico, a la σ-álgebra generada por los abiertos de X
se le denomina σ-álgebra de Borel. Sabemos que en Rn la σ-álgebra de Borel,
B, está contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contención
es estricta) y a ella pertenecen además de los abiertos, los cerrados, los
conjuntos Fσ y los Gδ ası́ como los semintervalos etc. Ha sido precisamente
la familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definir
la medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuación, que ésta
también puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, como
la de los abiertos, la de los Gδ , compactos etc.
Proposición 20.3 Para cada conjunto A ⊂ Rn se tiene:
(a) m∗ (A) = inf{m(U ) : U abierto ⊂ A}.
(b) Existe un conjunto Gδ , G, que contiene a A y tal que m(G) = m∗ (A).
Demostración. (a) Por la monotonı́a de la medida exterior, m∗ (A) es menor
o igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego sólo hará
falta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan próxima
a la de A como se desee. Sea ε > 0 y (Ij ) una colección numerable de
semintervalos tales que
X
A ⊂ ∪ Ij ,
m(Ij ) ≤ m∗ (A) + ε.
Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que
o
Ij ⊂ Kj ,
m(Kj ) ≤ m(Ij ) +
ε
.
2j
20.4
Conjuntos de Borel
199
o
Obviamente A está contenido en el abierto U = ∪ Kj y
m(U ) ≤
X
m(Kj ) ≤
X
m(Ij ) + ε ≤ m∗ (A) + 2ε.
(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk ⊃ A tal que m(Uk ) ≤
m∗ (A) + 1/k, entonces la medida del conjunto Gδ , G = ∩Uk ⊃ A, coincide
con la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa que
el conjunto G \ A sea de medida nula. De hecho, esto último sólo va ser
cierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver en
el siguiente teorema).
Teorema 20.4 Para un conjuto B de Rn , las condiciones siguientes son
equivalentes
(i) B es medible.
(ii) Para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗ (U \ B) < ε.
(iii) Para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗ (B \ F ) < ε.
(iv) Existe un conjunto Gδ , G ⊃ B, tal que m∗ (G \ B) = 0.
(v) Existe un conjunto Fσ , H ⊂ B, tal que m∗ (B \ H) = 0.
Demostración. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es un
conjunto abierto que contiene a B con m(U ) < m(B) + ε, entonces
m(U \ B) = m(U ) − m(B) < ε.
Si, por el contrario, m(B) = ∞, sea {Ck } una partición numerable de Rn
por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamando
Bk = B ∩ Ck y considerando un abierto Uk ⊃ Bk con m(Uk \ Bk ) < ε/2k , se
tiene
X
m(Uk \ Bk ) < ε.
U = ∪ Uk ⊃ B y m(U \ B) ≤ m(∪(Uk \ Bk )) ≤
Esto demuestra que i) implica ii).
ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto Up ⊃ B tal que
m∗ (Up \ B) < ε/p.
Entonces el conjunto G = ∩Up satisface la condición iv), pues
m∗ (G \ B) ≤ m∗ (Up \ B) < 1/p, ∀p ⇒ m∗ (G \ B) = 0.
200
Conjuntos de Borel
20.4
iv) implica i) En efecto, escribamos B = G \ Z con Z = G \ B. Entonces, por la condición iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible.
Resulta ası́ que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es,
por tanto, también un conjunto medible.
Para probar que la condición ii) es también equivalente a las ya vistas,
procedemos ası́: B es medible si y sólo si B c es medible si y sólo si para
cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B c tal que m∗ (U \ B c ) < ε. Como
U \ Bc = B \ U c,
denotando por F al cerrado U c , se deduce de lo anterior que B es medible
si y sólo si para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗ (B \ F ) < ε.
De forma análoga se demuestra que la condición v) es también equivalente a las otras.
Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y sólo si es de la forma L =
B ∪ Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel N
de medida nula.
Demostración. El teorema anterior establece que L es medible si y sólo si
existen dos conjuntos H, G (Fσ y Gδ respectivamente), tales que
H ⊂ L ⊂ G y m(G \ L) = m(L \ H) = 0.
Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L \ H y N =
B2 \ B1 .
Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados a
partir de los conjuntos de la σ-álgebra de Borel. Este hecho suele expresarse
diciendo que la σ-álgebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la compleción respecto a la medida de Lebesgue de la σ-álgebra B de los conjuntos
Borel.
Transformaciones de medibles
En esta sección vamos a considerar un tipo particular de transformaciones
de Rn que mantiene el carácter medible de los conjuntos, dentro del que
se encuentran las aplicaciones de clase C 1 . Nosotros usaremos este hecho
posteriormente en el Capı́tulo 27, dedicado al cambio de variables en la
integral. Debemos señalar que el carácter medible no es una propiedad
topológica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio
20C).
20.7
Conjuntos de Borel
201
Lema 20.6 Sea T : U ⊂ Rn → Rn una aplicación lipschitziana, de constante k respecto de la norma k · k∞ . Entonces,
(a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m∗ (T (Q)) ≤ k n m(Q).
(b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula.
Demostración. (a) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Puesto que T es
lipschitziana,
kT (u) − T (u0 )k∞ ≤ kku − u0 k∞ ≤ k l/2 ,
∀u ∈ Q
lo que nos indica que T (Q) está contenido en un cubo centrado en T (u0 ) y
de lado k l. Por tanto
m∗ (T (Q)) ≤ (k l)n = k n m(Q)
(b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que
Z ⊂ V ; m(V ) < ε
Escribamos V = ∪Ck , como unión numerable de semicubos disjuntos. Entonces
X
m∗ (T (Z)) ≤ m∗ (T (V )) ≤
m∗ (T (Ck ))
X
≤
k n m(Ck ) = k n m(V ) < k n ε.
Del carácter arbitrario de ε se deduce ya que m∗ (T (Z)) = 0.
Proposición 20.7 Si T : U ⊂ Rn → Rn una aplicación localmente lipschitziana en el abierto U , entonces la imagen por T de cada conjunto medible
es medible.
Demostración. Sea B ⊂ U un conjunto medible. Por tanto B = H ∪Z donde
H es un Fσ y Z un conjunto de medida nula. Es fácil comprobar que H puede
escribirse como unión numerable de conjuntos compactos y por tanto T (H)
(debido a la continuidad de T ) es también un conjunto Fσ . Para que T (B)
sea medible sólo habrá que ver que T (Z) es un conjunto de medida cero. En
efecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida en
U , donde T sea una aplicación lipschitziana. Entonces, teniendo en cuenta
que cada subconjunto de Rn tiene la propiedad de Lindelöf, podemos escribir
∞
U = ∪ B(ui , ri ).
i=1
202
Conjuntos de Borel
20.7
Si denotamos entonces por Zi = Z ∩ B(ui , ri ), para que el conjunto T (Z)
sea de medida nula bastará con que cada uno de los conjuntos T (Zi ) lo
sea. Pero esto último es consecuencia directa del lema anterior, ya que T es
lipschitziana sobre B(ui , ri ).
Corolario 20.8 Toda transformación de Rn que sea lineal o de clase C 1
lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles.
Demostración. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas.
Otras propiedades de m∗
Vamos a considerar en esta sección dos nuevas propiedades de la medida
exterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al paso
al lı́mite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles)
y también respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos.
Ambas propiedades las usaremos en el capı́tulo siguiente para obtener el
teorema caracterización de las funciones medibles.
Proposición 20.9 Si A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., es una sucesión no decreciente de
conjuntos entonces
m∗ (∪ Ak ) = lim m∗ (Ak )
k→∞
Demostración. Sean Gk , k = 1, . . ., conjuntos Gδ tales que Gk ⊃ Ak y
m(Gk ) = m∗ (Ak ). Si la sucesión {Gk } fuese también creciente, se tratarı́a
de aplicar el resultado, ya probado, de idéntica formulación que el que buscamos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamos
a construir la sucesión
∞
∞
j=1
j=2
B1 = ∩ Gj , B2 = ∩ Gj , . . . ,
Los conjuntos {Bk } son también medibles y constituyen una sucesión creciente. Además
Bk ⊃ Ak y m∗ (Ak ) ≤ m(Bk ) ≤ m(Gk ) = m∗ (Ak ),
luego
m∗ (∪ Ak ) ≤ m(∪ Bk ) = lim m(Bk ) = lim m∗ (Ak ) ≤ m∗ (∪ Ak ).
k→∞
k→∞
20.10
Conjuntos de Borel
203
Vamos a obtener ahora un caso particular de la fórmula m∗ (A × B) =
m∗ (A) · m∗ (B), concretamente aquél en que B es un intervalo. Ver [24] para
una demostración en el caso general.
Proposición 20.10 Para todo conjunto A de Rn y para todo semintervalo
J de Rp se tiene que m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J).
Demostración. Vamos a considerar varias etapas:
(1) Es inmediato que la fórmula se verifica si A es un semintervalo o un
conjunto abierto.
(2) Si A, B son dos conjuntos de medida finita, entonces
m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B).
Para cada ε > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables de
semintervalos {Ik }, {Js } tales que
X
X
A ⊂ ∪ Ik , B ⊂ ∪ Js y
m(Ik ) ≤ m∗ (A) + ε,
m(Js ) ≤ m∗ (B) + ε
S
resulta entonces que A × B ⊂ Ik × Js y
X
X
X
X
m(Ik × Js ) =
m(Ik ) · m(Js ) =
m(Ik )(
m(Js )) ≤
k,s
k,s
X
k
s
m(Ik )(m∗ (B) + ε) ≤ (m∗ (A) + ε) · (m∗ (B) + ε) =
k
m∗ (A) · m∗ (B) + εm∗ (A) + εm∗ (B) + ε2 .
Puesto que ε es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita , de lo anterior
se deduce finalmente que m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B).
(3) Si m∗ (A) = 0, entonces m∗ (A×B) = 0 cualquiera que sea el conjunto B.
Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto B
es de medida finita. En el caso de que m∗ (B) = ∞, descomponiendo el
conjunto B como unión numerable de conjuntos Bp de medida finita, se
tendrı́a
A × B = ∪ A × Bp
es decir A × B es una unión numerable de conjuntos de medida nula, luego
él también es de medida nula.
204
Conjuntos de Borel
20.10
Nota. Para que la desigualdad m∗ (A × B) ≤ m∗ (A) · m∗ (B) tenga validez
en todo caso, sólo habrı́a que convenir en tomar en este contexto 0 · ∞ = 0
y α · ∞ = ∞ si α 6= 0.
Lema 20.11 Si A × K ⊂ U , donde K es un compacto y U un abierto,
entonces existe un abierto O tal que
A × K ⊂ O × K ⊂ U.
(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente
fórmula m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J).
Sea U un abierto tal que
A × J ⊂ U, y m(U ) ≤ m∗ (A × J) + ε
y sea O un abierto tal que A × J ⊂ O × J ⊂ U . Entonces
m∗ (A) · m(J) ≤ m(O) · m(J) = m(O) · m(J) =
m(O × J) ≤ m(O × J) ≤ m(U ) ≤ m∗ (A × J) + ε.
Por el carácter arbitrario de ε, se deduce que m∗ (A) · m(J) ≤ m∗ (A × J)
y, por tanto, también se da la igualdad ya que la desigualdad contraria la
hemos demostrado antes.
Que también, m∗ (A × J) = m∗ (A) · m(J), se obtiene del hecho de que
Z = J \ J es un conjunto de medida nula, se tiene que
(20.1)
m∗ (A × J) ≤ m∗ (A) · m(J) = m∗ (A) · m(J)
= m∗ (A × J) ≤ m∗ (A × J) + m∗ (A × Z) = m∗ (A × J).
Observemos que para la demostración de 20.1 sólo se ha necesitado que
el conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la fórmula es válida para J
un intervalo de cualquier tipo.
Corolario 20.12 Si L1 ⊂ Rn y L2 ⊂ Rp son conjuntos medibles entonces
el conjunto L1 × L2 es medible.
Demostración. Escribiendo Li = Bi ∪ Zi , i = 1, 2, con Bi Borel y Zi de
medida nula, podemos descomponer L1 × L2 como unión de medibles de la
siguiente forma (ver Ejercicio 20A)
L1 × L2 = B1 × B2 ∪ B1 × Z2 ∪ Z1 × B2 ∪ Z1 × Z2 .
20G
Conjuntos de Borel
205
Ejercicios
20A Demostrar que la σ-álgebra de Borel en Rn está generada por las siguientes
familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos
del tipo {(x1 , . . . , xn ) : x1 ≤ b1 , . . . , xn ≤ bn }.
20B Sean X, Y espacios topológicos
(a) Probar que si h es una aplicación continua de X en Y entonces la contraimagen
por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y .
(b) Utilizar que las proyecciones en un producto topológico son continuas para
probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto
de Borel de Y es un conjunto de Borel en X × Y .
20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0).
(a) Demostrar que la aplicación
ϕ(x) =
m(B ∩ [0, x])
m(B)
es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C).
(b) Probar que m(ϕ(B)) = 1.
(c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que ϕ(V ) es
un conjunto medible que no es un conjunto de Borel.
(d) Observar que ϕ no mantiene el carácter medible de los conjuntos, a pesar de
ser un homeomorfismo.
20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces
m(B) = sup{m(K) : K compacto ⊂ B}.
Recı́procamente, si la fórmula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces
B es medible.
20E Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn es un conjunto de medida
nula de Rn .
20F Probar que la gráfica de toda función continua f : U ⊂ Rn → Rp , donde U
es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que
toda variedad diferenciable de Rk de dimensión n < k es un conjunto de medida
nula de Rk .
20G Probar que para un conjunto B ⊂ Rn son equivalentes:
(a) B es medible.
(b) B × Rp es medible.
(c) Si J es un semintervalo, B × J es medible.