problemas de campo gravitatorio y eléctrico

Problemas
Movimiento Ondulatorio
UNIDAD 2. VIBRACIONES Y ONDAS II: MOVIMIENTO
ONDULATORIO
P.II- 1. Una cuerda de 4 m de longitud emite una onda que se propaga a una
velocidad de 30 m/s, siendo su masa de 200 g. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
Solución: 45 N.
P.II- 2. Hallar la velocidad del sonido en el aire bajo las condiciones de T = 300
K.
Solución: 348 m/s (la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la
temperatura).
P.II- 3. La velocidad del sonido en el agua es de 1450 m/s. Calcular el módulo
de compresibilidad del agua.
Solución: 2.1×109 N/m2.
P.II- 4. Hallar la velocidad del sonido en el cobre. El módulo de Young del
cobre es 11×1010 N/m2 y su densidad es 8.8 g/cm3.
Solución: 3535.5 m/s.
P.II- 5. Un pulso de onda que se desplaza a lo largo del eje X se representa por
la siguiente función de onda (x e y se miden en centímetros, y t, en segundos):
yx, t  
4
2  x  4t  .
2
Determinar:
a) La amplitud del pulso.
b) Velocidad y sentido del desplazamiento.
c) Trazar la forma de la onda en t = 0s, t = 1s y t = 2s, y comprobar el sentido del
desplazamiento.
II-1
Problemas
Movimiento Ondulatorio
Solución: a) 2 cm; b) 4 cm/s y hacia la derecha (sentido positivo de las X); c) se
va desplazando 4 cm hacia la derecha.
P.II- 6. Hallar la ecuación del movimiento ondulatorio producido por una fuente
de 1000 Hz, sabiendo que la propagación se realiza con una velocidad de 340 m/s y
admitiendo que lo hace por ondas planas de amplitud igual a 0.2 mm.
Solución: y = 0.2·cos 2000 (t  x/340).
P.II- 7. La ecuación de propagación de un movimiento ondulatorio es y =
5.23·cos (0.628t  2.09x), en el que el tiempo t viene dado en segundos y x e y en
metros. Determinar:
a) La amplitud de la onda.
b) La velocidad de propagación.
c) La frecuencia.
d) La longitud de onda.
e) La velocidad de un punto situado a 2 m del foco en el instante 10 s.
f) El sentido de propagación de la onda.
Solución: a) 5.23 m; b) 0.3 m/s; c) 0.1 Hz; d) 3 m; e) 2.835 m/s; f) de
izquierda a derecha.
P.II- 8. Representar gráficamente en papel milimetrado las siguientes funciones
armónicas que representan diferentes ondas. Indicar el sentido de propagación de cada
una de ellas:
x t 
y1  Asen2   
 T 
x t 
y3  Acos2   
 T 
x 6
y 2  Asen2   
 T 
x t 
y 4  Acos2   
 T 
II-2
Problemas
Movimiento Ondulatorio
x 
t
P.II- 9. Una onda está representada por la ecuación y  2cos2  

 4 160 
donde x e y vienen dadas en centímetros y t en segundos. Determinar:
a) El carácter de la onda.
b) La velocidad de propagación.
c) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el
intervalo de tiempo transcurrido es de 2 segundos.
d) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 120
cm en la dirección de avance de la onda.
Solución: a) Se trata de una onda monodimensional armónica que se
propaga en la dirección del eje x de derecha a izquierda; b) 0.4 m/s; c)  radianes;
d) 3/2 radianes.
P.II- 10. Una onda monodimensional se propaga de derecha a izquierda con una
velocidad de 8 m/s, frecuencia de 2 s1 y amplitud de 30 cm. Calcular:
a) La longitud de onda.
b) La ecuación de propagación.
c) La velocidad de una partícula en la posición x = 2 m, en el instante t = 1 s.
Solución: a) 4 m; b) y = 0.3·sen 2 (t/0.5 + x/4) ; c) v = dy/dt = 3.77 m/s.
P.II- 11. Una onda de frecuencia 500 c.p.s. tiene una velocidad de fase de 300
m/s.
a) ¿Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de
60º?
b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que
estén separados por un intervalo de tiempo de 103 s?
c) Escribir la ecuación de esta onda.
Solución: a) 0.1 m; b)  rad; c) y = A·sen 2 (x/0.6  t/0.002)
II-3
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 12. Se produce una explosión en el aire que libera una energía de 5000 J en
una centésima de segundo. Si la onda sonora originada tiene una longitud de onda de 50
cm y la velocidad de propagación es de 300 m/s, calcular, prescindiendo de la
absorción:
a) La frecuencia de la onda sonora.
b) La intensidad de la onda a 50 m de la explosión.
c) La intensidad de la onda a 100 m de la explosión.
Solución: a) 600 Hz; b) 15.91 W/m2; c) 3.97 W/m2.
P.II- 13. Un foco sonoro de 2 vatios emite ondas esféricas en un medio que se
considera isótropo (sus propiedades no dependen de la dirección) y de absorción
despreciable. Hallar:
a) La intensidad a 1 m de distancia.
b) ¿Cuánto disminuye la intensidad al duplicarse la distancia?
c) La relación entre las amplitudes del movimiento ondulatorio en ambos
puntos.
Solución: a) 0.159 W/m2; b) 0.119 W/m2; c) A1 = 2·A2.
P.II- 14. Una onda armónica esférica tiene una intensidad de I = 6×108 W/cm2 a
20 m del foco emisor. Si se admite que no hay absorción, calcular:
a) La energía emitida por el foco en un minuto.
b) La amplitud de las oscilaciones a los 40 m, si a los 20 m es de 4 mm.
Solución: a) 181 J; b) 2 mm.
P.II- 15. Un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio
absorbente reduce su intensidad inicial a la mitad tras atravesar una capa de 6.93 mm.
¿Qué grosor deberíamos poner para conseguir reducir la intensidad hasta el 10% del
valor inicial?
Solución: x = 23,09 mm.
II-4
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 16. Determinar el coeficiente de absorción de una sustancia para el sonido
sabiendo que una lámina de 1 cm de espesor reduce la intensidad a una décima parte de
su valor. Calcular el espesor de semiabsorción.
Solución: 203 m1; 0.003 m.
P.II- 17. Sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s y que en
el agua es de 1450 m/s, determinar el ángulo con que saldrá una onda sonora que llega a
la superficie desde el interior del agua formando con ésta un ángulo de 80º.
Solución: 2.33º.
P.II- 18. Se denomina prisma óptico al sistema formado por dos láminas planas
unidas que forman un ángulo diedro A, tal como se muestra en la figura. Calcular el
valor de la desviación angular , indicada en la figura, correspondiente a un rayo que
incide perpendicularmente a la primera capa. Supóngase que se trata de un prisma de
30º e índice de refracción 1.5.
Solución: 18.6º.
30º
90º
60º
30º
N
2

P.II- 19. En ocasiones decimos que el rayo refractado se acerca o se aleja de la
normal. Señala en qué condiciones se acerca el rayo refractado a la normal y qué
condiciones se aleja.
Solución: si n > n´, se aleja; si n < n´, se acerca.
II-5
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 20. Cuando el rayo refractado se aleja de la normal aparece el fenómeno
conocido como reflexión total, que se produce a partir de un cierto ángulo (ángulo
límite). Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que pase del vidrio (n = 1.5) al aire
(n = 1). Analiza qué sucede con ángulos mayores o menores que el ángulo límite.
¿Conoces alguna aplicación de este fenómeno?
P.II- 21. La sección de un prisma de vidrio tiene la forma de un triángulo
equilátero. El rayo cae sobre una de sus caras perpendicularmente a ella. Encontrar el
ángulo B entre los rayos incidente y refractado del prisma. El índice de refracción del
vidrio es 1.5.
Solución: 120º.
n1
60º
n2
2
60º
60º
60º
30º
2
n3
B
3
P.II- 22. Una red de difracción de 20000 líneas tiene una longitud total de 4 cm.
Suponiendo que las longitudes de onda de los extremos del espectro de la luz visible
sean 390 nm (violeta) y 770 nm (rojo), determinar el ángulo abarcado por todo el
espectro visible para la figura de difracción.
Solución: 11.24º (violeta) y 22.64º (rojo).
P.II- 23. Dos ondas armónicas responden a las ecuaciones: y1 = 0.5·sen (4x 
500t) m; y2 = 0.5·sen (4x  500t  0.3) .
a) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante de la interferencia? ¿Cómo es la
interferencia que se produce?
b) ¿Cuál es la frecuencia de dicha onda resultante? Escribir su ecuación.
II-6
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 24. Una horquilla colocada verticalmente está dotada de un movimiento
vibratorio perpendicular a la superficie de un líquido, de frecuencia 100 Hz y amplitud 2
mm. Las perturbaciones producidas en dos puntos O1 y O2 se propagan por la superficie
del líquido a la velocidad de 1 m/s. Calcular la ecuación de vibración del punto P
situado a 8 cm de O1 y 9 cm de O2. Calcular también el tipo de interferencia producido.
¿Se podría haber deducido el tipo de interferencia sin necesidad de calcular la ecuación
de movimiento?
Solución: 0.04·sen 100 (0.17  2t); interferencia constructiva; sí
(atendiendo al desfase).
P.II- 25. Los puntos O1 y O2 representan dos focos sonoros que emiten ondas de
la misma frecuencia (100 ciclos/s) y amplitudes iguales a 4 cm. Las distancias x1 y x2 de
cada punto a un tercero, P, son 75 m y 87.5 m, respectivamente. La velocidad de
propagación del sonido en el aire es de 340 m/s. Determinar la forma de vibración del
punto P.
Solución: 0.042·sen (200t  47.78) m.
P.II-
26.
La
ecuación
de
una
onda
estacionaria
viene
dada
por

y  7  cos x  cos 20  t , donde x e y vienen expresadas en cm, y t en s. Se pide:
6
a) La amplitud y velocidades de las ondas componentes.
b) La distancia que existe entre dos nodos.
c) La velocidad de una partícula situada en el punto x = 3 en cualquier tiempo.
Solución: a) A= 3.5 cm, v = 120 cm/s; b) 6 cm; c) velocidad nula.
P.II- 27. Calcular los nodos de la onda estacionaria que se produce cuando dos
ondas de igual amplitud y longitud de onda 20 cm se propagan por una cuerda tensa de
longitud 40 cm con los extremos fijos.
Solución: 5, incluyendo los extremos.
II-7
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 28. Una cuerda de piano de 40 cm de longitud y 0.4 mm2 de sección y
densidad 7.8 g/cm3 emite un sonido con una frecuencia de 218 Hz. ¿Cuál es la tensión
de la cuerda?
Solución: 94.9 N.
P.II- 29. Un observador situado en una estación oye con una frecuencia de 250
Hz el silbato de un tren que se acerca y cuándo éste pasa a velocidad constante, la nueva
frecuencia percibida es de 200 Hz. ¿Cuál es la velocidad del tren y la frecuencia del
silbato? Dato: velocidad del sonido en el aire: 340 m/s.
Solución: 222.2 Hz.
P.II- 30. Un automovilista, ante un semáforo en rojo, intenta acelerar lo
suficiente para que, en virtud del efecto Doppler, vea luz verde y justificar así su
infracción. ¿Es posible lograrlo?
Solución: No, se requeriría una velocidad de 82009.347 km/s (además, el
agente de tráfico, en reposo, seguiría viendo el disco de color rojo).
P.II- 31. Un tren se mueve a la velocidad de 30 m/s. La frecuencia emitida por el
silbato de una locomotora es de 50 ciclos/s. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas
percibidas por un observador fijo: a) delante y b) detrás de la locomotora?
¿Qué frecuencia percibiría un viajero de otro tren que lleva una velocidad de 15 m/s: a)
si se aproxima y b) si se aleja del primero?
Solución: a) 6.2 m; b) 7.4 m. ; a) 57,25 Hz, b) 43,9 Hz
II-8
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 32. En la tabla siguiente se da la posición promedio correspondiente a las
líneas del espectro que los astrónomos llaman Ca(II)K y Ca(II)H observadas en diversos
cúmulos de galaxias1. La longitud de onda en un laboratorio terrestre de estas líneas es
de 3952 Å. Teniendo en cuenta que cuando una fuente de radiación como una estrella se
acerca, hay un corrimiento del color hacia el extremo azul del espectro electromagnético
observada    ,
mientras que una fuente de radiación que se aleja produce un
corrimiento hacia el rojo observada    , determinar si el Universo se está expandiendo.
Cúmulo de galaxias
 (Å)

v (m·s-1)
Virgo
3968
1214
Osa Mayor
4149
14944
Corona Boreal
4239
21544
Boyero
4470
39295
Hidra
4758
61142
Solución: Sí, se está expandiendo.
P.II- 33. ¿Cuántos fotones de longitud de onda igual a 555 nm (el color verde,
para el cual la sensibilidad del ojo humano es máxima) golpearían el ojo por segundo si
la intensidad de la radiación es de 2·10-16 W·cm-2 ( 1W  1 J  s 1 ) y asumiendo que el
radio de la pupila es de 2 mm? ¿Y cuántos fotones por segundo golpearían el ojo si la
luz incidente fuera la luz de un láser de 1mW de potencia de la misma longitud de
onda? ¿Qué se deduce de ambos resultados?
Solución: 70.22 fotones; 2.79·1015 fotones; la luz láser es mucho más intensa.
1
El doblete Ca(II)K,H aparece a 3934 y 3969 Å. Los datos de λ que se dan son realistas pero
aproximados, pues han sido obtenidos de una tabla de velocidades con pocas cifras significativas dadas en
millas/segundo. Al obtenerlas no se ha tenido en cuenta la velocidad debida a la rotación del Sol con la
Vía Láctea que es de 220 km·s1.
II-9
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 34. La energía transportada por una onda depende de: a) su velocidad de
propagación; b) su masa; c) el cuadrado de su amplitud; d) la fase; e) su longitud de
onda.
Solución: c.
P.II- 35. Una onda de presión se propaga en todas direcciones en un fluido
perfecto, no absorbente, homogéneo e isótropo. Su amplitud en un punto dado: a) es la
misma que en cualquier otro punto; b) es inversamente proporcional a su distancia a la
fuente de la onda; c) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la
fuente de la onda; d) disminuye exponencialmente con la distancia a la fuente; e) es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su distancia a la fuente.
Solución: b.
P.II- 36. Un rayo de luz fijo incide sobre un espejo plano formando 32º con su
normal. Se gira el espejo 20º. ¿Cuántos grados gira el rayo reflejado respecto a su
dirección anterior?
Solución: 40º.
P.II- 37. Las direcciones de polarización de un par de láminas polarizantes son
paralelas entre sí de manera que para una determinada luz polarizada se obtiene
intensidad máxima. ¿Cuál debe ser el valor absoluto del coseno del ángulo que debe
girar una respecto a la otra para que la intensidad se reduzca a la cuarta parte?:
Solución: 1/2.
P.II- 38. Un rayo de luz se está reflejando en un espejo plano. Si el espejo gira
un cierto ángulo en torno a un eje perpendicular al plano de incidencia, el rayo reflejado
girará un ángulo que será: a) el mismo que el que ha girado el espejo; b) la mitad que el
que ha girado el espejo; c) el doble que el que ha girado el espejo; d) mayor que el que
ha girado el espejo, pero menor que el doble del mismo; e) menor que el que ha girado
el espejo, pero mayor que la mitad del mismo.
Solución: c.
II-10
Problemas
Movimiento Ondulatorio
P.II- 39. Una onda sonora de 440 Hz tiene una longitud de onda de 77 cm. ¿Cuál
será la longitud de onda de una onda sonora de 200 Hz que se propaga en el mismo
medio?
Solución: 169.4 cm.
P.II-
40.
Considera
una
onda
armónica
descrita
por
la
ecuación
 

y  0.3  cos x  t  en unidades del Sistema Internacional. En un punto fijo del
3 
6
espacio, ¿cuánto tiempo hemos de esperar para que se repita el mismo estado de
perturbación?
Solución: 6 segundos.
P.II- 41. Una onda armónica de frecuencia 550 Hz se propaga a una velocidad
de 300 m/s. ¿Cuál es la distancia mínima entre dos puntos que en todo momento se
encuentran en el mismo estado de vibración?
Solución: 0.54 m.
P.II- 42. Dos ranuras separadas entre sí 0.5 mm se iluminan con un haz paralelo
de luz monocromática de  = 6328 Å, procedente de un láser de He-Ne. A 5 m de las
ranuras se encuentra una pantalla en la que se produce un conjunto de franjas de
interferencias. ¿Cuál es la separación entre las mismas?
Solución: 6.3 mm.
P.II- 43. ¿A qué ángulo por encima de la horizontal debe estar el Sol para que la
luz reflejada por la superficie de un lago tranquilo (índice de refracción de 1.33) esté
completamente polarizada?
Solución:  = arctg (n/n´) = 53.06º.
II-11