Tema 2 Oscilaciones y Ondas

Tema 2
Oscilaciones y Ondas
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Movimientos periódicos
Movimientos que se repiten a intervalos regulares
Período, T ≡ tiempo necesario para
describir un ciclo completo (s)
Frecuencia, ν ≡ Número de ciclos por
segundo (Hz)
1
ν =
T
Movimiento armónico simple
smax ≡ amplitud
s(t ) = s max cos(ω t + δ )
ω ≡ frecuencia angular
2π
ω=
= 2πν
T
δ ≡ fase inicial
s(t)
smax
t
Cinemática del MAS
s (t ) = s max cos(ω t + δ )
v(t ) =
smax
d s (t )
= −ω smax sen(ω t + δ )
dt
ω smax
s
T/2
T
t
v
t
π
= ω smax cos(ω t + δ + )
2
d v(t )
a (t ) =
= −ω 2 smax cos(ω t + δ ) =
dt
= ω 2 smax cos(ω t + δ + π ) = − ω 2 s
ω
2s
max
a
t
Dinámica del MAS
F = m a = − mω 2s = − K s
K = mω 2
Se comunica energía al sistema realizando trabajo para separar el cuerpo una
distancia s de la posición de equilibrio y después se deja oscilar libremente
s
s
1
W = ∫ F ds = ∫ K s ds = K s 2
2
0
0
1 2 1 2
E total = E cinética + E potencial = mv + Ks =
2
2
1
1 2
2 2
2
= mω smax sen (ωt + δ ) + Ksmax cos 2 (ωt + δ ) =
2
2
1 2
= Ksmax = cte
2
Dinámica del MAS
E total = E cinética + E potencial
s
1 2 1 2 1 2
= mv + Ks = Ksmax = cte
2
2
2
T/2
T
smax
t
E potencial
1
2
K smax
2
t
E cinética
Movimiento armónico simple y
movimiento circular uniforme
y
ω smax
ω
smax
s
x
ω2 smax
s
T/2
T
t
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm
Tipos de oscilaciones
Oscilaciones libres
F = −K s
ω0 ≡
s
smax
t
s (t ) = smax cos(ω 0 t + δ )
Frecuencia natural o propia
s
smax
smax e − µ t
t
Oscilaciones amortiguadas
F = − K s − γ v = − K s + Froz
s (t ) = smax e
−µ t
cos(ω t + δ )
Oscilaciones forzadas
ω < ω0 s
smax
t
ω = ω0 s
smax
t
F = − K s − γ v + Fmax cos(ω t )
s (t ) = s max cos(ω t + δ )
Fmax
s max =
m 2 (ω 2 − ω 02 ) 2 + γ 2ω 2
ω > ω0 s
smax
t
Movimiento amortiguado
Amortiguado
http://www.ehu.es/acustica/espanol/basico/mases/mases.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/rozamiento/rozamiento.htm
Movimiento amortiguado
Amortiguado y forzado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transitorio.htm
Resonancia
s max =
smax
γ =0
Fmax
2
2
2
0
2
2
m (ω − ω ) + γ ω
Condición de
resonancia
γpequeño
2
ω = ω0
γgrande
La amplitud de la oscilación
forzada depende de la frecuencia
impulsora y de la constante de
amortiguamiento. La amplitud
máxima se produce aproximadamente a la frecuencia propia o
de resonancia ω = ω0, pero si
además el rozamiento es pequeño
la amplitud puede ser muy grande.
ω0
ω
Aplicaciones de la resonancia
Habla y audición humanas
Sintonizador de aparatos de radio y TV
Análisis químico de materiales
Resonancia
En el año 1940, en Tacoma (EEUU), un puente colgante se destruyó debido al
fenómeno de la resonancia unos meses después de haber sido inaugurado.
Un temporal azotó la región y una de las componentes de la fuerza del viento fue
de frecuencia igual a una de las frecuencias características del puente. Éste entró
en resonancia y empezó a oscilar con una amplitud tan grande que lo destruyó.
Resonancia
http://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag
Medida de las características de una vibración
Osciloscopio: medidas de amplitud, frecuencia y diferencias de fase
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Concepto de onda
Propagación de una perturbación a través del espacio
Movimiento oscilatorio caracterizado por su frecuencia
Clasificación de las ondas
Según la relación entre la dirección de vibración y
la de propagación: longitudinales o transversales
Según las dimensiones en las que se propaga:
uni, bi- o tridimensionales
Según el tipo de energía que se propaga:
mecánicas o electromagnéticas
Según su confinamiento: viajeras o estacionarias
Ondas longitudinales y transversales
La vibración puede ser perpendicular (ondas transversales) o
paralela (ondas longitudinales) a la dirección de propagación
Función y ecuación de ondas
Ondas armónicas: Representación analítica
Pulsos
y
d
d
y = f(x+d)
Pulsos viajeros
u
y = f(x-d)
x
y = f(x)
y
y = f(x+ut)
x

f ( x,t ) = f  0 ,t − 
u

u
y = f(x-ut)
x
Función y ecuación de ondas
Ondas armónicas: Representación analítica
Vibraciones
s( t ) = smax cos( ωt )
Dirección de propagación
s
Ondas
x
  x 

s( x,t ) = s  0,t −  = smax cos ω  t −   =
u

  u 
x
s( x,t ) = smaxcos [k ( x − u t )]
ω 

= smax cos ωt − x  = smax cos [ kx − ωt ]
u 

u=
smax ≡ amplitud
ω ≡ frecuencia angular
k ≡ número de onda angular
δ ≡ fase inicial
ω
k
x
s( x,t ) = smaxcos [k ( x + u t )]
Doble periodicidad de una onda
s( x,t ) = smax cos ( kx − ωt )
Período temporal T
Período espacial
λ
o longitud de onda
s (x0,t)
T
en x = x0
t
λ
s (x,t0)
en t = t0
Número de onda
x
k=
ω
u
=
Velocidad de propagación de la onda u =
2π 2π
=
Tu
λ
ω
k
=
λ
T
  x t 
s( x, t ) = smaxcos [k ( x − ut)] = smaxcos (kx − ω t ) = smaxcos 2π  − 
  λ T 
Función y ecuación de ondas
Vibraciones
Función
s(t ) = smax cos(ω 0 t + δ )
Ecuación
d2s
2
+
ω
0s = 0
2
dt
Ondas
Función de ondas
s( x, t ) = smaxcos (kx − ω t )
Ecuación de ondas
∂s
∂2s
= ω smax sen ( k x − ω t ); 2 = −ω 2 smax cos ( k x − ω t )
∂t
∂t
∂ s
∂2s
= − k smax sen ( k x − ω t ); 2 = −k 2 smax cos ( k x − ω t )
∂x
∂x
2
∂
s
∂2s
2
=
u
∂t2
∂ x2
Ondas transversales en una cuerda
Función de ondas
y( x,t ) = ymaxcos (kx − ω t )
Ecuación de ondas
2
2
∂ y
2 ∂ y
=
u
∂t2
∂ x2
u=
F
λm
F ≡ tensión de la cuerda
λ m ≡ densidad lineal de masa
u
Ondas: frentes de onda y rayos
Frentes de onda
a) y
a) planos
b) esféricos
c) cilíndricos
z
b)
x
z
c)
y
x
z
A grandes distancias los
frentes de onda esféricos
se convierten en planos
Rayos
a) paralelos
b) divergentes
c) convergentes
a)
b)
c)
y
x
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Ondas sonoras
Ondas de presión capaces de estimular el oído humano
Frecuencia de las ondas sonoras
20 Hz
400 Hz
1600 Hz
20000 Hz
Bandas de ondas sonoras audibles
Infrasonidos
10 Hz
Graves
Medios
Agudos
100 Hz
1000 Hz
10000 Hz
Ultrasonidos
100000 Hz
Aplicaciones de las infrasonidos y ultrasonidos
Infrasonidos: estudios geológicos
Ultrasonidos: investigación de sólidos, sónar, aplicaciones en
medicina (diagnóstico, terapéuticas, quirúrgicas), limpieza de
superficies
Generación de las ondas sonoras
Sistema mecánico que vibra: oscilaciones forzadas de las moléculas del
medio cercanas que reproducen la vibración original.
La vibración se comunica a las moléculas contiguas, propagándose la
perturbación.
Ondas sonoras longitudinales
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
a) desplazamiento
s( x,t ) = smaxcos(kx − ω t )
2
∂ s
∂t2
2
∂ s
= u2
∂ x2
b) presión
Moléculas en reposo
Moléculas al
paso de la onda
s
Onda de
desplazamiento
∆V
S ∆s
∆p = − B
= −B
V
S ∆x
s2
t
x
p
Onda de presión
x
s1
V S
V +∆V S
∆x
∆x + ∆s
ds
π
∆p = − B
= − kBsmax sen( kx − ωt ) = ∆pmax cos( kx − ωt − )
dx
2
2
∂ 2 ∆p
2 ∂ ∆p
=u
2
∂ t
∂ x2
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
Velocidad de propagación
u=
B
uaire = 20, 05 T
ρm
B ≡ Módulo de compresibilidad
ρ m ≡ Densidad
T ≡ Temperatura (K)
uu (10
(1033 m/s)
m/s)
Sólidos
uL =
Y
ρm
;
uT =
G
ρm
Aire
Aire
0’34
0’34
Agua
Agua
1’57
1’57
Aluminio
Aluminio
5’0
5’0
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Intensidad de las ondas
desplazamiento
Densidad de energía
Flujo de energía
ρE =
E total
V
presión
ρE =
1
ρ mω 2 s max 2
2
ω 2 p max 2
p max 2
1
ρE = ρm
= 2
2 2
2
k B
2u ρ m
E total E total V
IE =
=
= ρ E IV = ρ E S u
t
V t
V
S
x=ut
Intensidad de la onda: Flujo de energía por unidad de superficie transversal
atravesada por la onda
pmax 2
P E total I E
1
2
2
= = ρ E u = Z ω smax =
I= =
S S t S
2
2Z
Impedancia acústica
Z = ρ mu
Sensación sonora
La sensibilidad del oído varía
de forma aproximada con
el logaritmo de la intensidad
Nivel de
intensidad
Umbral de
audición sonora
L( dB ) = 10 log
(
I
I0
I 0 = 10 −12 W/m 2
L (dB)
L (dB)
Nivel mínimo audible
0
Tráfico intenso
80
Susurro
20
Discoteca
100
Casa (interior)
40
Nivel de dolor
120
Conversación
60
Rotura del tímpano
160
)
Propagación del sonido: energía
Ley del cuadrado de la distancia
I1 =
I2 =
I2
r2
P
4π
r12
I1
=
I2
P
r22
r12
r1
I1
4π r22
Ley de absorción
∆I = −α I∆x
I0
I1
x
I = I 0 e −α x
Propagación de las ondas: interacción con un obstáculo
El resultado de la interacción depende de la relación entre las
dimensiones del obstáculo (d) y la longitud de onda (λ)
d >>λ
Reflexión
y refracción
d≥λ
Difracción
d<λ
La onda no detecta el obstáculo
Principio de Huygens
Cada punto del frente alcanzado por la onda
se convierte en un foco puntual emisor de ondas
esféricas secundarias, y cualquier frente de
ondas posterior, se obtiene como superficie tangente
a los frentes de ondas de estas ondas secundarias
Reflexión y refracción: geometría
Refracción θi
Reflexión
θi
θr
u1
θi
u1
u2
θt
BD = u1t = AD senθ i
AC = u1t = AD senθ r
θi = θ r
BD = u1t = AD senθ i
AC = u2t = AD senθ t
senθ i u1
=
senθ t u2
Difracción
Cambio de dirección de la onda tras
la interacción con un obstáculo de
dimensiones del orden de λ
sin α ≈
α
d
α
d
λ
d
Difracción (cubeta de ondas)
Difracción (luz)
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Interferencias: ondas de la misma amplitud y frecuencia
Principio de superposición: cuando a un punto llegan, al mismo tiempo, varias
ondas, la función de onda resultante es la suma algebraica de las diferentes
funciones de onda que intervienen.
p1 = p max cos(k x − ω t )
p 2 = p max cos[k ( x + ∆x) − ω t ]
p R = p1 + p 2 = 2 p max
IR
Interferómetro
Intensidad de la
onda resultante
Diferencia de fase
k ∆x
k ∆x
cos(
) cos(k x − ω t +
)
2
2
I R = 4 Icos
2
ϕ = k∆x
ϕ
2
δ = k ∆x =
4I
λ
2π
λ
∆x
Interferencias constructivas y destructivas
Intensidad de la onda resultante
Interferencia: a) constructiva
p1
p1max
T/2
ϕ = nπ
∆x = n λ 2
b)
T
t
p1
p1max
p2
p2max
ϕ
2
ϕ = k ∆x
b) destructiva
ϕ = n 2π
( n = 0,1, 2,3,...)
∆x = nλ
a)
I R = 4 I cos 2
( n = 1,3,5,...)
T/2
T
t
p2
t
p2max
pR
t
pR
pRmax
t
pR= 0
t
Ondas estacionarias
Interferencias de ondas con sus reflejadas
pR
t1 = 0
p1 = p max cos(k x − ω t )
t2
p 2 = p max cos(k x + ω t + δ )
δ
δ
pR = p1 + p2 = 2 pmax cos(kx + ) cos(ωt + )
2
2
Amplitud nula: nodo
Amplitud máxima: vientre
t3
t4 = T/4
t5
t6
t7 = T/2
x
Ondas estacionarias en tubos sonoros
δ
δ
pR = p1 + p2 = 2 pmax cos(kx + ) cos(ωt + )
2
2
Tubos sonoros (extremos abiertos)
pR (x = 0) = 0
pR (x = L ) = 0
δ =π
n=1
Tubos sonoros (un extremo cerrado)
pR = 2 pmax sin(k x ) sin( ω t )
pRmax ( x = L ) = 2 pmax
n=2
k L = nπ n = 1,2 ,3...
nλ
2
nu
ν =
2L
L=
kL=n
n=3
n =1,2,3...
L
π
2
nλ
4
nu
ν =
4L
n=1
n=3
n = 1,3,5...
n=5
L=
n =1,3,5...
L
Tubos sonoros
Órgano de la Catedral (Barcelona)
Ondas estacionarias longitudinales en un tubo sonoro
Extremos
abiertos n=1
Un extremo
cerrado n=1
Extremos
abiertos n=2
Un extremo
cerrado n=3
Ondas estacionarias. Transversales en una cuerda
http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/