Maquetación 175

MAGNETISMO
aletos
CAMPO
Física para Ciencias e Ingeniería
1
MAGNÉTICO
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P
Un circuito por el que circula una corriente de intensidad I,
contenido en el plano XY, está formado por los tramos rectilíneos, LM, NP, QR y ST, y por los arcos circulares MN y RS de
radio a, que subtienden los ángulos α y β, respectivamente, y por
los arcos PQ de radio b que subtiende un ángulo γ, y por el arco
TL de radio OL = c, que subtiende un ángulo de 90º.
Calcúlese el campo magnético en el centro O de los conductores circulares.
Tómese como origen de coordenadas el centro O de los arcos
circulares y como eje OZ la perpendicular por O al plano del circuito, y cuyo sentido positivo se dirige hacia el lector.
I
N
b
L
O
I
90º
a
α γ
M
I
β R
S
T
I
I
I
Q
I
SOLUCIÓN:
El campo magnético total en el punto O es la suma vectorial de los campos creados en dicho punto por cada uno
de los tramos rectilíneos, y por el conductor semicircular.
Campo creado por los tramos rectilíneos
Se corre el riesgo de suponer que el campo creado por cada uno de los tramos rectilíneos en el punto O es infinito, porque la expresión del módulo del campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido, en
un punto situado a una distancia r, de dicho conductor, que suele aparecer en los textos de Física, es
B=
µ0 I
2π r
[1]
donde r es la distancia desde el punto en el que se desea calcular el campo, al hilo conductor, y en este caso las distancias desde el punto O a las rectas que contienen los tramos rectilíneos conductores son nulas.
Con lo cual, si r = 0, el campo, aparentemente, se hace infinito. El fallo del razonamiento estriba en que la fórmula [1] se deduce de la expresión general:
  
 µ
0 I .dl ×(r − r ')
dB =
  3
[2]
4π
r −r '
y solamente es válida para el caso en que el punto donde se calcula el campo no pertenezca al conductor rectilíneo,
o no esté contenido en la recta que determina su dirección, porque, en caso contrario, el campo es nulo.
La explicación es muy simple:
En la fórmula [2] el vector r es el vector de posición del punto en el que se desea calcular el campo, medido desde
el punto que se toma como origen de coordenadas. Por consiguiente, si se toma el punto O como origen, el vector r
es nulo.
En cuanto a r’, es el vector de posición del elemento de corriente dl que crea el campo, y cualquiera que sea la
posición de dl sobre el hilo conductor, el vector r’ que fija su posición tendrá la misma dirección que el hilo conductor, ya que su origen y extremo son puntos del propio hilo. Por tanto, los vectores dl y r´ tienen la misma dirección.
En consecuencia, el producto vectorial del numerador de [2] es nulo por ser su módulo:
 
  
dl ×(r − r ') = dl ⋅ −r ' ⋅ sen 0º= 0
[3]
y el denominador de [2] es:
  3  3
r −r ' = r ' ≠ 0
[4]
con lo cual se deduce que el campo creado en el punto O, por por cada uno de los tramos rectilíneos no es infinito,
sino nulo. Por tanto, los únicos elementos que crean campo magnético en el punto O son los arcos circulares.
Campo creado por un arco circular
[Para ver la teoría correspondiente a esta parte del problema y comprender el razonamiento que sigue, copia y
pega el siguiente enlace:
2
MAGNETISMO
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MAGNÉTICO
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYWduZXRpc3Ntb3xneDo
yOGY3MjA0ZmZkYTlhMzg0
y consulta el epígrafe 1.6]

dl

r'
dθ
Un elemento de corriente de un conductor en forma de arco circular, de longitud
infinitesimal dl, crea un campo magnético cuya expresión vectorial es [2].
Cualquier elemento de corriente de longitud infinitesimal dl del un arco tiene la
dirección de la tangente, y por tanto, el ángulo que forman los vectores dl y r’ es de
90º.
El módulo del numerador de [2] es ahora, teniendo en cuenta que r = 0:
  
 
dl ×(r −r ') = dl ⋅ r ' ⋅ sen 90º= dl ⋅r '
con lo cual, el módulo dB del campo creado es:
O
µ0 I dl ⋅r '
dB =
4π
r'
3
=
µ0 I dl
4 π r '2
[5]
y teniendo en cuenta que entre el radio r’, la longitud del arco dl y el ángulo que abarca dθ, medido en radianes,
existe la relación
dl = r’dθ
sustituyéndola en [5] se obtiene
dB =
µ0 I r 'dθ
4π r '
2
=
µ 0 I dθ
4π r '
[6]
 
La dirección y sentido de este vector son los del producto vectorial dl ×r '
Por tanto, la dirección es perpendicular al plano determinado por el conductor semicircular, y su sentido, que se
obtiene aplicando la regla del sacacorchos, es tal que se aleja del lector.
El campo total es, pues, la suma vectorial de los campos dB creados por los infinitos elementos de corriente dl,
y como todos ellos tienen la misma dirección y sentido, el módulo de la suma vectorial se reduce a la suma aritmética de sus módulos, es decir, a la integral de dB extendida de forma que quede incluido todo el arco de semicircunferencia, y como la única variable que aparece en el integrando es dθ, hay que integrar desde cero hasta el ángulo θ
que abarca el arco total:
B=
∫
θ
µ0 I dθ
0
4π r '
=
µ0 I
θ
4π r '
[7]
Campo B1 creado por el arco MN
 µ I 
B1 = 0 α k
4π a
[8]

µ I 
B2 = − 0 γ k
4π b
[9]

µ I 
B3 = − 0 β k
4π a
[10]

µ I π 
µ I 
k =− 0 k
B4 = − 0
4π c 2
8 c
[11]
dirigido hacia el lector.
Campo B2 creado por el arco PQ
alejándose del lector.
Campo B3 creado por el arco RS
alejándose del lector.
Campo B4 creado por el arco TL
alejándose del lector.
El campo resultante es:
MAGNETISMO
aletos
Física para Ciencias e Ingeniería
  
 
µ I  µ I  µ I  µ I 
B = B1 + B2 + B3 + B4 = 0 α k − 0 γ k − 0 β k − 0 k = µ0I
4π a
4π b
4π a
8 c
 1  α γ β  1  

B = µ0I   − −  −  k
 4 π  a b a  8c 
CAMPO
MAGNÉTICO
 1  α γ β  1  
  − −  −  k
 4 π  a b a  8c 
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