GEOMETRÍA

GEOMETRÍA
María del Rosario Velázquez Camacho
20 a 23 de Julio de 2011
Primero algunos ejercicios de calentamiento:
Ejercicio 1. Sobre los lados AB y AC de un triángulo ABC se construyen
externamente los triángulos equiláteros ABP y ACQ respectivamente.
Demostrar que CP = BQ.
Ejercicio 2. Si en un triángulo ABC, Y es un punto sobre BC y X sobre AC
de tal manera que AY es perpendicular a BC y BX es perpendicular a AC.
Si el ángulo ∠ABC = 50° y el ángulo ∠BAC = 60°, ¿cuánto mide el ángulo
∠BT Y ?
Ejercicio 3. Considere un triángulo ABC en el cual AC > AB. Si un rayo
con origen B corta a AC en D de tal manera que los ángulo ∠ABD y ∠ACB
son congruentes, deduzca que AB 2 = AC · AD
Ejercicio 4. En un triángulo equilátero XY Z se dividen los lados en tres
partes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F, cuál es el área
del hexágono ABCDEF si el área del triángulo XY Z es 18.
Ejercicio 5. En el triángulo ABC, D y F están sobre AB y E sobre AC de
manera que DEkBC, F EkDC, si AF = 4 y F D = 6. Encontrar DB.
Ejercicio 6. Inscribimos un cuadrado en un triángulo rectángulo de lados 3, 4,
5 como se muestra en la figura. ¿Qué fracción del triángulo ocupa el cuadrado?
1
Puntos y Rectas Notables en el Triángulo
Mediana Línea recta que une el vértice de un tríangulo con el punto medio
del lado opuesto.
Mediatriz Línea recta que pasa por el punto medio de un segmento y es
perpendicular a este.
Altura Línea recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Bisectriz Línea recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes.
2
Ejemplo 1 La bisectriz es el lugar geométrico 1 de los puntos en el plano tales
que equidistan 2 a dos rectas fijas.
←→ ←→
Demostración =⇒) Sean AB y AC dos rectas con l su bisectriz. Sea P
un punto sobre su bisectriz. Se trazan P Q y P R de manera que P Q⊥AC y
←→ ←→
P R⊥AB, R y Q en las rectas AB y AC respectivamente.
Demostrar que P Q = P R.
P está en l, es decir ∠QAP = ∠RAP , como P Q⊥AC y P R⊥AB entonces
∠AQP = 90°=∠ARP , luego también se tendrá que ∠QP A = ∠RP A y como
AP = AP , entonces 4AQP u 4ARP por criterio de congruencia ALA, por lo
que P Q = P R.
←→ ←→
⇐=) Sean AB y AC dos rectas. Si D es un punto en el plano, Q y R en
←→ ←→
AB y AC respectivamente tales que DQ = DR y DQ⊥AB y DR⊥AC, probar
que D está en la bisectriz de ∠BAC.
4DRA y 4DQA son triángulos rectángulos entonces AD2 = AR2 + DR2 y
AD2 = AQ2 + DQ2 , de donde AR2 + DR2 = AQ2 + DQ2 , pero como DR = DQ
entonces DR2 = DQ2 , por lo que AR2 = AQ2 , entonces AR = AQ.
Así que ahora tenemos AQ = AR, DQ = DR, AD = AD
Entonces 4DRA u 4DQA, por criterio de congruencia LLL, por lo que
∠QAD = ∠RAD, por lo tanto AD es bisectriz de ∠BAC.
1 Un
lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades
geométricas.
2 Tienen
la misma distancia.
3
Ejemplo 2 La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales
que equidistan a dos puntos fijos.
Demostración =⇒) Sea AB un segmento con mediatriz l. Sean P que
está en l y M es el punto medio de AB. Demostrar que P equidista de A y B.
P M ⊥AB entonces ∠P M B = 90°=∠P M A, P M = P M y como M es punto
medio entonces AM = BM , entonces 4P M A u 4P M B por criterio de congruencia LAL. De donde P A = P B por lo que P equidista de A y B.
⇐=) Sean AB un segmento, P un punto en el plano tal que P A = P B. Si
M es punto medio de AB, demostrar que P M ⊥AB.
Se tiene que
P A = P B,
AM = BM
ya que M es punto
medio y P M = P M , entonces 4P M A u 4P M B por criterio de congruencia
LLL, entonces ∠P M B = ∠P M A, pero como ∠P M B + ∠P M A = 180° porque
A, M y B son colineales, de donde ∠P M B = ∠P M A = 90° . Por lo tanto
←−→
P M es mediatriz de AB.
Ejemplo 3
El baricentro 3 , corta a cada mediana en razón 2:1
Demostración Sea G el punto de intersección de BM y AL.
BG
CG
2
Probar que AG
GL = GM = GN = 1
L y M son puntos medio de BC y AC, respectivamente. Entonces LM kAB
AB
y LM
= 21
∠LM G = ∠ABG y ∠M LG = ∠BAG por ser alternos internos. Entonces
4LM G v 4ABG por criterio de semejanza AA.
AB
BG
AB
2
2
AB
AG
BG
Luego LM
= AG
LG = M G y como LM = 1 , entonces 1 = LM = LG = M G ,
AG
BG
2
por lo que LG = M G = 1 .
CG
2
Análogamente se prueba que N
G = 1
3 Punto
de intersección de las medianas.
4
Ejercicios I
Ejercicio 1. La bisectriz interna y la bisectriz externa de un ángulo son
perpendiculares.
Ejercicio 2. Las bisectrices internas de un triángulo concurren.4 Al punto de
concurresncia se le llama Incentro y es el centro de la circunferencia Inscrita.5
Ejercicio 3. Las mediatrices del triángulo concurren. Al punto de concurrencia se le llama Circuncentro y es el centro de la circunferencia Circunscrita 6 .
Ejercicio 4.
Las medianas del triángulo concurren en el baricentro.
Ejercicio 5. Las alturas del triángulo concurren. El punto de concurrencia se
llama ortocentro.
Ejercicio 6. Sea ABC un triángulo. Sean P, Q y R los puntos medios de los
lados AB, BC y CA, respectivamente. Sea S el punto de intersección entre el
lado AB (o su prolongación) y la bisectriz del ángulo P QR. Demostrar que el
triángulo P RS es isósceles.
Ejercicio 7. P es cualquier punto del interior de un triángulo ABC. Sean A’,
B’ y C’ los puntos medios de los segmentos P A, P B y P C respectivamente.
Demuestra que los triángulos ABC y A0 B’C’ son semejantes en razón 2:1
Ejercicio 8. La mediana AL del triángulo ABC divide a este en dos triángulos
de áreas congruentes.
Ejercicio 9.
congruentes.
Las medianas dividen al triángulo en seis triángulos de áreas
Ejercicio 10. En un paralelogramo ABCD, si P es el punto de intersección
de las diagonales.
Demuestre que cualqueir recta que pasa por P divide al parelelogramo en dos
figuras que tienen la misma área.
Ejercicio 11. Considere un triángulo equilátero ABC de lado 2, y D, E,
puntos sobre los lados BC y CA, de manera tal que el segmento DE sea tangente
al círculo inscrito del triángulo. Encuentre el perímetro del triángulo CDE.
4 Las tres líneas se cortan en el mismo punto.
5 Que es tangente a los tres lados del triángulo.
6 Que pasa por los tres vértices del triángulo.
5
Ejercicio 12. Con seis reglas con los extremos perforados y cinco pernos se
construye un dispositivo como el que se muestra en la figura, dos de las reglas
tienen longitud b y las otras cuatro tienen longitud a, de manera que a < b.
Se observa que al moverlos “brazos” b, los vértices marcados con las letras P y Q
se juntan o separan según el valor del ángulo αentre las longitudes b sea mayor
o menor.
Demuestra que no importa la abertura del ángulo α, el producto de las distancias
OP · OQ es constante.
Ejercicio 13. Consideremos el círculo con centro O, A y B puntos en la
circunferencia tales que ∠AOB = 60°. Sean M un punto cualquiera en el
arco AB, P, Q, , R, S, los puntos medio de los segmentos AM, OB, OA, BM,
respectivamente. Demuestre que P Q es perpendicular a RS.
6
Ángulos en una circunferencia
Ángulo Central.
ferencia.
Es aquel que está formado por dos radios de la circun-
Ángulo Inscrito.
ferencia.
Es aquel que está formado por dos cuerdas de la circun-
Ángulo Semi-inscrito. Es aquel que está formado por una cuerda y una
tangente a la circunferencia.
Teorema. Los ángulos inscritos y semi-inscritos que abarcan el mismo arco
son congruentes y miden la mitad del ángulo central que abarca dicho arco.
Teorema. El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el
circuncentro de dicho triángulo.
Proposición. Sea AB es diámetro de una circunferencia C, si P es un punto
sobre C, entonces el triángulo AP B es un triángulo rectángulo con ángulo recto
en P.
7
Cuadriláteros Cíclicos
Definición. Un cuadrilátero es cíclico si está inscrito7 en una circunferencia.
Teorema. Un cuadrilátero ABCD es cíclico si y sólo si se cumple alguna de
las dos afirmaciones siguientes
a) ∠ABC + ∠CDA = 180°
b) ∠ADB = ∠ACD
Demostración =⇒) Sea un cuadritátero cíclico, probar que
∠ABC + ∠CDA = 180° o ∠ADB = ∠ACD
ABCD es cíclico, seaα = ∠COA tomando el arco que contiene al punto D
y sea β = ∠COA tomando el arco que contiene el punto B. Se tiene entonces
α + β = 360°
Por otro lado, sabemos que ∠ABC = 21 α y ∠CDA = 12 β, entonces
∠ABC + ∠CDA = 21 α + 12 β = 12 (α + β) = 12 (360°)=180°.
7 Sus
vértices están todos sobre la misma circunferencia.
8
También, como ABCD es cíclico ∠ABD y ∠ACD abarcan el mismo arco
(AD), entonces ∠ABD = ∠ACD
⇐=) Sea ABCD un cuadrilátero tal que ∠BCD +∠DAB = 180°, demostrar
que ABCD es cíclico.
Sea C la circunferencia circunscrita al triánguloDemostración BCD, sea E
←→
la intersección de AB y C.
Sabemos entonces que ∠DCB + ∠DEB = 180° y ∠BCD + ∠DAB = 180°,
entonces
∠BCD + ∠DAB = ∠DCB + ∠DEB, pero ∠BCD = ∠DCB
luego ∠DAB = ∠DEB y como A, B y E son colineales, entonces A = E.
Por lo tanto ABCD es cíclico.
La demostración es similar si se supone que ∠ADB = ∠ACD
Teorema de Ptolomeo Si ABCD es un cuadrilátero cíclico entonces
AB · CD + BC · AD = BD · AC
9
Demostración Sean P la intersección de las diagonales AC y BD y E en
BP tal que ∠DAE = ∠CAB.
∠DAE = ∠CAB y ∠ADE = ∠ACB, entonces 4DAE v 4CAB por criterio
de semejanza AA.
AE
DE
De donde DA
CA = AB = CB ⇒ AD · BC = AC · DE
Por otro lado
∠ACD = ∠ABE y ∠BAE = ∠BAC = ∠DAE = ∠P AE + ∠EAD = ∠P AD
así que 4CAD v 4BAE
CA
CD
de donde BA
= AD
AE = BE , por lo que AC · BE = AB · CD
Luego AB · CD + AD · BC = AC · BE + AC · DE = AC(BE + DE) = AC · BD
NOTA: El recíproco del Teorema también es cierto.
Ejercicios II
Ejercicio 1. Dado un triángulo ABC con circunferencia circunscrita de centro
en O y un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita distinto de A.
Demostrar que la intersección de la circunferencia de diámetro AO y el segmento
AP es el punto medio de este segmento.
Ejercicio 2. Dos rectas perpendiculares entre si cruzan dos lados AB, CD y
BC, AD del cuadrado ABCD en los puntos E, F, G, H, respectivamente. Sea
O la intersección de dichas rectas. Demuestra que EG = F H.
Ejercicio 3. Sea ABCD un rectángulo. Se trazan exteriormente los triángulo
equiláteros AP B, BQC, CRD y DSA. Si L, M, N, O son puntos medios de
AS, AP , BQ y RD respectivamente. Demostrar que LM N O es un cuadrilátero
cíclico.
Ejercicio 4. Una circunferencia con centro O se encierra entre dos tangentes
paralelas, una tercera tangente corta a las dos primeras en P y Q respectivamente. Muestra que ∠P OQ = 90°
Ejercicio 5. Dos circunferencias se intersectan en P y Q, una recta que separa
a P y Q corta a la primera circunferencia en A y B y a la segunda en C y D,
con C entre A y B y con B entre C y D. Muestra que ∠AP D + ∠BQC = 180°.
Ejercicio 6. Dos circunferencias se cortan en A y B, por A se traza una recta
que corta a la primera circunferencia en C y a la segunda en E. La tangente en
C a la primera circunferencia y la tangente en E a la segunda circunferencia, se
intersectan en D. Muestra que BCDE es un cuadrilátero cíclico.
10
Ejercicio 7. Sea ABC un triángulo tal que el ángulo ∠ABC es recto y
AC = 2BC.
a) Construya un punto D diferente de B tal que DC = BC y AD = AB.
b) Pruebe que D pertenece a la mediatriz de AB.
Ejercicio 8. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico con AD+BC = AB. Muestra
que las bisectrices de ∠ADC y ∠BCD concurren en AB.
Ejercicio 9. En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una línea
perpendicular a M C por M intersecta a AD en K.
Demuestra que ∠BCM = ∠KCM.
Ejercicio 10. En la figura estan trazadas las bisectrices de ángulos interiores
de ABCD, las cuales se intersectan en E, F, G y H como se muestra. Probar
que EF GH es cíclico.
Ejercicio 11. En un triángulo ABC sean M, N y P puntos sobre BC, CA
y AB respectivamente. Se trazan circunferencias circunscritas a los triángulos AP N, BM P y CN M. Demuestra que las circunferencias tienen un punto
común.
Ejercicio 12. ABC triángulo con D y E pies de altura desde A y B. Sea
M en la prolongación de BE, tal que EM = AD y N la intersección de la
prolongación de BC con la perpendicular a BM por M . Prueba que N CA es
un triángulo isósceles.
Ejercicio 13. Una línea P Q paralela al lado BC de un triángulo ABC, corta
a AB y a AC en P y Q, respectivamente. La circunferencia que pasa por P y
es tangente a AC en Q corta de nuevo a AB en R. Demostrar que RQCB es
cíclico.
Ejercicio 14. Sea AB diámetro de una circunferencia que tiene centro O. Sea
L un punto sobre la circunferencia y M el pie de la perpendicular al diámetro AB
que pasa por M . N pie de la perpendicular a LO que pasa por M . Demostrar
que la longitud del segmento LN es la media armónica de a y b, en donde a es
2ab
la longitud de AM y b la longitud de M B. Es decir, probar LN = a+b
.
11
Ejercicio 15. Sea ABC un triángulo con L, M, N puntos medios de los
lados BC, CA, AB, respectivamente. Muestre que ∠LAC = ∠M BA si y sólo
si ∠CN A = ∠ALB.
Ejercicio 16. El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro del
triángulo órtico.8
Ejercicio 17. En el triángulo ABC, sean AK, BL, CM las tres alturas y
H el ortocentro. Sea P el punto medio de AH. Si BH y M K se intersectan
en el punto S, y LP y AM se intersectan en el punto T , muestre que T S es
perpendicular a BC.
Ejercicio 18. H es el ortocentro del triángulo ABC. La altura por A corta
al lado opuesto en D y corta al circuncírculo en K. Demostrar que HD = DK.
Ejercicio 19.
Pitágoras.
Utilizando el Teorema de Ptolomeo, demuestra el Teorema de
Ejercicio 20. Usando el Teorema de Ptolomeo, encuentra la razón entre la
diagonal y el lado de un pentágono regular.
Ejercicio 21. Sea ADE un triángulo rectángulo con el ángulo recto en D, sea
C punto medio de AE. Se traza una circunferencia que pasa por A y C y tiene
centro O sobre AD. Prueba que AO · AD = AC 2
8 El
triángulo formado por los pies de altura. También llamado Triángulo Pedal.
12
Incírculo, Excírculos y Circuncírculo
Definimos anteriormente la Circunferencia Inscrita (Incírculo) como la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo y cuyo centro es el punto
de intersección de las bisectrices internas del triángulo.
También tenemos que la Circunferencia Circunscrita (Circuncírculo) es la que
pasa por los tres vértices del triángulo y tiene centro en el punto de intersección
de las mediatrices.
Definición. Un Excı́rculo o Circunf erencia Excrita es una circunferencia
que es tangente a uno de los lados del triángulo y a las prolongaciones de los
otros dos lados, su centro (excentro) se ubica en el punto de intersección de una
bisectriz interna y las bisectrices externas de los otros dos ángulos. Al haber
tres lados en el triángulo entonces hay tres Excírculos.
En la figura, se muestran las circunferencias excritas y la circunferencia inscrita
al triángulo ABC. Los centros de los Excírculos se nombraron como E a , Eb , E c
dependiendo del lado al que son tangentes.
Definición. El semiperı́metro es igual a la mitad del perímetro. Si a, b, c son
las longitudes de los lados BC, CA, AB, respectivamente entonces el semiperímetro
.
de 4ABC es s = a+b+c
2
13
Dado un triángulo ABC,
si x = AY = AZ,
y = BZ = BX,
y
z = CY = CX Las igualdades son ciertas pues se están tomando segmentos
tangentes al incírculo desde los vértices del triángulo ABC. Entonces, se tienen
los siguientes resultados:
Proposición. s = x + y + z
A saber, si p es el perímetro del triángulo ABC, entonces
p = AB+BC+CA = AZ+BZ+BX +CX +CY +AY = x+y+y+z+z+x =
2(x + y + z)
y como s = p2 , entonces s = 2(x+y+z)
=x+y+z
2
Proposición. x = s − a; y = x − b; z = s − c
A saber, s − a = (x + y + z) − a = (x + y + z) − (y + z) = x
Análogamente se prueban las otras dos igualdades.
Proposición. Si P , Q y R son puntos de tangencia del excírculo opuesto a A
←→ ←→
sobre BC, AC y AB respectivamente , entonces
s = AR = AQ
A saber, AR = AQ, BP = BR y CP = CQ ya que son segmentos tangentes
desde los vértices del triángulo hacia el excírculo.
14
Luego
p = AB + BC + CA = AB + BP + P C + CA = AB + BR + AC + CQ =
AR + AQ = 2AR = 2AQ
de donde
s = AR = AQ
Ejercicios III
Ejercicio 1. Si r es el radio del incírculo y s el semiperímetro del triángulo
ABC, entonces el área del triángulo9 ABC es (ABC) = r · s
Ejercicio 2. Si ra , rb y rc son los radios de los excírculos opuestos a los lados
A, B y C del triángulo ABC, entonces
s = ra (s − a) = rb (s − b) = rc (s − c)
Ejercicio 3. Si O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, D el pie de la altura desde A y E en la circunferencia de modo que
AE sea diámetro. Si R es el radio del circuncírculo y ha es la longitud de la
bc
altura AD, probar que ha = 2R
. Donde b y c son las longitudes de AC y AB,
respectivamente.
Ejercicio 4.
(ABC) =
Ejercicio 5.
(ABC) =
abc
4R
p
s(s − a)(s − b)(s − c)
Ejercicio 6. Dado un triángulo ABC, sean x = AP, y = BQ, z = CR,
con P, Q, R, puntos de tangencia del incírculo sobre los lados del triángulo
AB, BC, CA, respectivamente. Probar que (ABC) = xyz
r
Ejercicio 7. Si r, ra , rb y rc son los radios del incírculo y los excírculos del
triángulo ABC, entonces 1r = r1a = r1b = r1c
Ejercicio 8. Dado un triángulo ABC, con AC > AB. La circunferencia inscrita a dicho triángulo tiene radio r y centro I y es tangente a BC en P . La
circunferencia excrita al triángulo ABC con radio ra y centro E, es tangente a
BC en el punto Q. Demuestre que
a) r · ra = BP · P C
b) BP = QC
c) P Q = b − c
Ejercicio 9. En el ejercicio anterior. Si ABC es un triángulo isósceles con
AB = AC, entonces r · ra = ( a2 )2
9 Área
del triángulo
ABC
se denota por
(ABC)
15
Potencia
Definición. Si P es un punto en el plano y se traza una recta que corte a la
circunferencia C en los puntos A y B, entonces se define la potencia desde P
hacia C como el producto P A · P B.
Teorema. La potencia desde P hacia C es independiente de los puntos de
intersección. Es decir, si se trazan dos rectas desde P que corten a C en A y B
una y en C y D la otra, entonces P A · P B = P C · P D
Demostración
ABCD es un
cuadrilátero cíclico,
entonces
∠CDB+∠BAC = 180°, pero también tenemos que ∠BAC+∠CAP = 180° pues
A, P, y E son colineales. Entonces ∠CDB = ∠CAP .
También tenemos que ∠AP C = ∠DP B pues son un ángulo común a dos
triángulos.
Luego 4CAP v 4BDP por criterio de semejanza AA.
CA
PC
PA
De lo anterior se tiene BD
= P
B = P D , de donde P A · P B = P C · P D,
como se quería demostrar.
Teorema. Si O es el centro y r es el radio de la circunferencia C, la potencia
desde P hasta C es igual a OP 2 − r2 .
16
Demostración Sea T el punto de tangencia desde P hacia la
circunferencia C. Sean A y B las intersecciones de una recta que pasa por P y la
circunferencia C. Primero demostraremos que P A · P B = P T 2
∠P T A = ∠T BA pues ambos abarcan el arco AT . También se tiene que
∠BP T = ∠T P A por ser un ángulo común en dos triángulos.
PT
2
Luego 4BP T v 4T P A, de donde PP B
T = P A , por lo que P A · P B = P T .
Ahora, ya que T es punto de tangencia y OT es radio, se tiene ∠P T O = 90°
y OT = r. Entonces 4P T O es un triángulo rectángulo.
Así que por el
Teorema de Pitágoras se tiene que P T 2 = OP 2 − OT 2 = OP 2 − r2 ,
pero
como
P T 2 = P A · P B, entonces P A · P B = OP 2 − r2
que es lo que se quería demostrar.
Ejercicios IV
Ejercicio 1. Dos circunferencias que se cortan en M y N tienen una tangente
común que es tangente a una circunferencia en P y a la otra en Q. Demuestra
que los triángulos M N P y M N Q tienen la misma área.
Ejercicio 2. Sean C y D dos circunferencias que se intersectan en dos puntos
distintos P y Q. Una recta que pasa por el punto P intersecta a dichas circunferencias en los puntos A y B respectivamente. Sea Y el punto medio de AB,
y sean X y Z los puntos de intersección de QY con C y D respectivamente.
Prueba que Y es también punto medio de XZ.
17
Ejercicio 3. Sea ABC un triángulo isósceles con CA = AB. Sean X, Y y Z los
puntos de tangencia del incírculo con los lados BC, CA y AB respectivamente.
Si CZ corta al circuncírculo en L y Y L corta a BC en M,
muestre que
XM = M C.
Ejercicio 4. En la siguiente figura se supone que AB = 5, BD = 5, BC = 7
AD
y AC = 9. Encuentre la razón DC
.
Ejercicio 5. Sea E un punto sobre una circunferencia de diámetro AB. Por
los puntos B y E se trazan las rectas tangentes t1 y t2 , respectivamente, que
←→
se cortan en el punto M . Sea C el punto de intersección de las rectas AE y t1 .
Demuestre que M es el punto medio de BC.
Ejercicio 6. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia llamemos
P al punto de intersección de las diagonales AC y BD, y sea M el punto medio
de CD. La circunferencia que pasa por P y que es tangente a CD en M corta a
BD y a AC en los puntos Q y R, respectivamente. Se toma un punto S sobre
el segmento BD de tal manera que BS = DQ. Por S se traza una paralela a
AB que corta a AC en un punto T . Prueba que AT = RC.
Ejercicio 7. En la figura, desde el vértice del cuadrado está trazada una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encuentre
el radio de la circunferencia en función del lado del cuadrado.
18
Ejercicio 8. Sean A, B, C y D circunferencias tales que A es tangente
exteriormente a B en el punto P, B es tangente exteriormente a C en Q, C
es tangente exteriormente a D en R y D es tangente exteriormente a A en S.
Supón además que A y C no se cortan ni tampoco B y D.
a) Prueba que los puntos P, Q, R y S están todos sobre la misma circunferencia.
b) Supón además que A y C tienen radio 2, B y D tienen radio 3 y la
distancia entre los centros de A y C es 6. Determina el área del cuadrilátero
P QRS.
Ejercicio 9. Sea ABCD un cuadrado en el que las diagonales AC y BD
son perpendiculares. Sean P, Q, R y S los puntos medios de los segmentos
AB, BC, CD y DA respectivamente.
Sean W, X, Y y Z los pies de
las perpendiculares trazadas desde P, Q, R y S hacia CD, DA, AB y BC
respectivamente. Demuestra que P, Q, R, S, W, X, Y y Z están todos sobre
una misma circunferencia.
Ejercicio 10. Sean T A y T B dos tangentes a un círculo desde un punto
exterior T . Sea P un punto del arco AB (el menor). Denotemos por M, N,
Q a los pies de las perpendiculares desde P a T A, T B y AB, respectivamente.
Demuestra que P Q2 = P M · P N
19
Ejercicios para que practiques un poco más...
Ejercicio 1. Si un cateto de un triángulo rectángulo es el diámetro de una
circunferencia, probar que la recta tangente a la circunferencia en el punto donde
ésta intersecta a la hipotenusa, bisecta10 al otro cateto.
Ejercicio 2. Dado un triángulo ABC acutángulo en el cual D, E y F son los
pies de las alturas de BC, AC y BA, respectivamente. Demostrar que la altura
AD es bisectriz del ángulo ∠F DE.
Ejercicio 3. Sea ABCD un cuadrilátero y sean P y Q los puntos de trisección11 de la diagonal BD. Sea E la intersección de la recta que pasa por A y
P con el segmento BC y sea F la intersección de la recta que pasa por A y Q
con el segmento DC. Demostrar que ABCD es un paralelogramo si y sólo si E
y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y CD.
Ejercicio 4. Se trazan dos circunferencias tangentes externas C y C’, si DE
es tangente común externa a C y C’ en D y E respectivamente, sean C en C
y B enC’, de manera que C y B entán sobre la línea de los centros de C y C’.
←→ ←→
Trazar las rectas CD y BE, estas se cortan en el punto A. Probar que
a) A está sobre la recta tangente común interna a C y C’.
b) ∠CAB es recto.
Ejercicio 5. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AB y E es el
punto de trisección de BC más cercano a C. Si ∠ADC = ∠BAE, encuentra el
valor del ángulo ∠BAC.
Ejercicio 6. Sean M y N los pies de las alturas correspondientes a los lados
AC y AB de un triángulo arbitrario ABC, respectivamente. Sea L punto medio
←→
de BC y P un punto sobre la recta N L tal que N L = LP. Probar que el ángulo
∠M N P es de 90°.
Ejercicio 7. Sea ABCD un paralelogramo y C la circunferencia circunscrita
al triángulo ABD. Sean E y F las intersecciones de C con los lados (o sus
prolongaciones) BC y CD respectivamente (E distinto de B y F distinto de
D). Demuestra que el circuncentro del triángulo CEF está sobre C.
Ejercicio 8. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AB y E es el
punto de trisección de BC más cercano a C. Si ∠ADC = ∠BAE, encuentra el
valor del ∠BAC.
10 Corta en su punto medio.
11 Que cortan al segmento en
tres segmentos congruentes.
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Ejercicio 9. Sea ABC un triángulo acutángulo no isósceles. Sea D el pie de
la altura desde A, y sean M y N los puntos medio de AB y AC respectivamente.
Además, sean R y S los puntos de intersección de AC con M D y de AB con
N D respectivamente. Demuestra que A, D, R y S están sobre una misma
circunferencia.
Ejercicio 10. Sea ABCD un trapecio con base mayor AB tal que
las diagonales AC y BD son perpendiculares. Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y sea E el punto de intersección de las
rectas OB y CD. Demuestra que BC 2 = CD · CE
Ejercicio 11. Sea AB el diámetro de un círculo con centro O. Sea C un punto
de la circunferencia tal que OC y AB son perpendiculares. Se toma un punto
P sobre el arco BC. Sea Q la intersección de las rectas CP y AB, y sea R la
intersección de la recta AP con la perpendicular a AB por Q. Demuestra que
BQ = RQ.
Ejercicio 12. Demuestra que el radio de la circunferencia circunscrita a un
triángulo, trazado a uno de los vértices de él, es perpendicular a la recta que
une los pies de las alturas desde los otros dos vértices del triángulo.
Ejercicio 13. Sobre la tangente por B a una circunferencia de diámetro AB,
se toman dos puntos C y D. Si AC corta a la circunferencia en F y AD corta
a la circunferencia en E, demuestra que AC · AF = AD · AE
Ejercicio 14. Sea C una circunferencia de centro O y sea H una circunferencia
que pasa por O y corta a C en A y B y cuyo centro se encuentra en el interior
de C. Sea D (distinto de O) un punto que está en el interior de la circunferencia
C. La recta AD corta nuevamente a la circunferencia C en E. Demuestre que
DB = DE.
Ejercicio 15. En una circunferencia está inscrito el triángulo equilátero ABC.
En el arco BC se ha tomado al azar el punto M y se han trazado las cuerdas
AM, BM y CM. Demuestre que AM = BM + CM.
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