8 11 3 21 5 4 9 2 10 x e dx x x x + − + − − ( ) y f x = ``( ) 20 12 18

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Interpretar
el
significado
geométrico y analítico de la
Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas
integral definida teniendo en
básicas de integración
para dar solución a problemas de
cuenta sus propiedades para la
aplicación en diferentes contextos
resolución de problemas
Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
entorno de aplicación.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i da d e s q u e a c o nt i n u a c i ó n s e e n u n c i an t e n i e n d o e n c u en t a la
c a r p et a g uí a d e A p un t e s d e l Pr o f e so r
ACTIVIDAD No 1
Resuelve las siguientes integrales:
1.
4
∫ (3 x − 5 x +
3 x 7
− + 6 e x − 11) dx
2
x
3.
8x 8

11
3
21
x
+
−
+
−
5
e
−
4

 dx
∫  9 10 5 x 4 2 x x6



3
Obtén y = f ( x ) si se sabe que y ''( x ) = 20 x − 12 x + 18 ;
4.
Cierta empresa tiene la siguiente función de costo marginal:
2.
y '(2) = 100
y (4) = 1300
dC
= 1.5 x3 − 3.3 x 2 + 4.4 x + 12 , donde x es el nivel de producción en cientos de unidades y C es
dx
el costo en pesos; también se sabe que 600 unidades (x = 6) cuestan $2,500.
a) Obtén la función de costo total.
b) Calcula el costo de producir 2,500 unidades.
c) ¿Cuál es el costo fijo para la empresa?
d) ¿En cuánto se incrementan sus costos si la producción aumenta de 2,500 a 3,000 unidades?
Contesta esta pregunta utilizando dos procedimientos diferentes.
5.
2
Una empresa sabe que su ingreso marginal es I ′( x ) = 400 x − 6 x , para 50 < x < 100 , donde x es el
nivel de ventas en unidades y I ( x ) es el ingreso en dólares; su ingreso por la venta de 60
unidades es de $ 288,000 dólares.
a) Obtén la función de ingreso I ( x )
b) Obtén la función de demanda p(x)
c) Calcula su ingreso si vende 75 unidades.
d) Calcula el precio del artículo para una demanda de 75 unidades.
e) Calcula la demanda en el mercado si el precio sube 15%.
f) ¿En qué porcentaje se incrementó la demanda para la condición del inciso e?
g) ¿Cuál es la elasticidad de la demanda?, ¿De qué tipo es?
h) Para la condición del inciso e, ¿aumenta, disminuye o permanece constante el ingreso del
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fabricante, y por qué?
¿Cuál es el ingreso para el fabricante, según la condición del inciso e?
¿Cuál es el porcentaje de incremento del ingreso, de acuerdo con el resultado del inciso i?
i)
j)
6. Para cierto país, la razón de cambio del porcentaje P de hogares con televisión por cable se puede
4
+ 5 , para 5 ≤ t ≤ 10 , donde t es el número de
t
aproximar mediante la siguiente función P′(t ) =
años transcurridos a partir de 1995 (t = 5) y hasta el año 2000 (t = 10). Se sabe que en 1998 (t = 8)
el porcentaje de hogares con televisión por cable resultó ser de 54.32% (P = 54.32)
a) Obtén la función P = f (t ) que representa el porcentaje de hogares con televisión por cable.
b) Calcula el porcentaje de hogares con televisión por cable en el año de 1995 y en el año 2000.
c) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año
1995? Interpreta este resultado.
d) ¿Cuál es la razón de cambio del porcentaje de hogares con televisión por cable en el año
2000? Interpreta este resultado.
e) ¿Cuál es el incremento en el porcentaje de hogares con televisión por cable de 1995 a 2000.
ACTIVIDAD No 2
Para resolver los siguientes ejercicios de integral indefinida ten en cuenta las siguientes integrales:
∫ k dx = k x+ C
∫x
n
x n+1
dx =
n +1
∫[ f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
∫ k f (x)dx = k∫ f (x)dx
∫x
+ C, para n ≠ - 1
−1
dx = ∫
dx
= ln x +C
x
∫e
x
dx = e x +C
1. Encuentra la integral indefinida:
1.
5.
9.
12.
15.
∫
x4 dx
∫
3 x
dx
−2
∫
∫(
2.
6.
(1+ u+u 2+u 5 ) du
∫
4
)
2 x − 3 4 x dx
x (x + 10) dx
2. Determina la función
Ing. Edgar Vargas Ruiz
∫x
1
dx
10
∫5
3.
1
5
x2
10.
13.
16.
dx
7.
∫
∫
5 4
x dx
4.
(8+ u) du
8.
 2x 2 8 4 
− x  dx

3 
 7
∫
3
1 
 x − 3  dx
x

∫
∫
x 4 + 10 x 2
5x2
dx
11.
14.
17.
∫
∫
∫
∫
7
2
−
4 9
dx
x
3 x
e dx
5
(∫ x8.3−9x6 +3x−4 +x−3) dx
x 6 (2 − x) dx
20x 4 − 3x 2 +15x
5x 2
dx
y = f(x) sujeta a las condiciones iniciales indicadas:
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a.
c.
3.
dy
= 3x 2− 2x
dx
d 2y
dx
2
= x +1 si
si y (3) = 20
y '(0) = 1; y (1) = 5
b.
y' = x2 + 2x ; y ( 2) = 1
d.
f ' '(x) = 84x 2−18x ,
f ' ( 4) = 1656; f (1) = 17
Encuentra la función de costo para cada una de las siguientes funciones de costo marginal:
dC
= C´ ( x) = 0.2x 2 +5x ; el costo fijo es de $10
dx
dC
= C´( x) = x 2 − 110 x + 2800 ; el costo fijo es de $5000
b.
dx
a.
1
c. C´( x) = x 2 ; 16 unidades cuestan $60
d. C´( x) = 0.0015 x3 − 0.033x 2 + 0.44 x + 0.25 ; 10 unidades cuestan $25
4. Encuentra la función de demanda. Ten presente que si x = 0
a.
dR
1
= R '( x) = 15 − x
dx
15
b.
R (0)= 0.
dR
= R´( x) = 50 − 3x − x 2
dx
5.
La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es P´( x) = 4 − 6 x + 3x 2 , y la
“utilidad” cuando ningún artículo se vende es de - $40. Encuentra la función de utilidad.
6.
Las importaciones (en miles de millones de dólares) a Estados Unidos desde Canadá a partir de
1988 han cambiado a una razón dada por f ( x) = 1.26 x 2 − 5.5 x + 8.33 , donde x es el número de
años desde 1988. Estados Unidos importó $82 mil millones en 1988. Encuentra:
a) La función que dé las importaciones en el año x.
b) ¿Cuál fue el valor de las importaciones desde Canadá en 1993?
7. El costo marginal de cierta empresa está dada por C ' ( x ) = 24 − 0.03 x + 0.006 x 2 . Si el costo de
producir 200 unidades es de $22700, encuentre:
a. La función de costo
b. Los costos fijos de la empresa
c. El costo de producir 500 unidades.
8. La función de ingreso marginal de cierta empresa es R′ ( x ) = 20 − 0.02 x − 0.003 x 2
a.
b.
Encuentre la función de ingreso.
¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?
9. La función de utilidad marginal de una empresa es P ' ( x ) = 5 − 0.002 x y la empresa obtiene una
utilidad de $310 al venderse 100 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?
10. La propensión marginal al consumo, en millones de unidades monetarias, u.m, es
dC
0.2
= 0.3 +
.
dY
4 y
Cuando el ingreso es cero, el consumo vale 100 millones de u.m. Halle la función de consumo.
11. La propensión marginal al ahorro es
2
. Cuando el ingreso es cero, el consumo vale dos mil millones
3
de u.m. Halle la función consumo.
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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12. Si el ingreso marginal I ' ( x ) = 10 + 24 x − 9 x 2 , Halle las funciones de ingreso y demanda.
3
13. Si el flujo de inversión esta dado por I (t ) = 20t 7 y la acumulación inicial de bienes de capital a t = 0
es igual a 25 , determine la función que representa el capital K .
ACTIVIDAD No 3
1. Resuelve las siguientes integrales definidas:
a)
∫
3
1
(3 x 2 − 4 x +
9
+ e x − 6)dx
x
27
b)
∫8
 2

5
 3 2 − 2 + 1 dx
 x

x


Resuelve los problemas por medio de la integral definida
2.
Para cierto fabricante de artículos de cerámica, la función de ingreso marginal en pesos por cada
100 unidades adicional vendidas diariamente es I ′ = 55 − 0.4 x , para 0 ≤ x ≤ 150 .
a) Calcula el incremento en sus ingresos, cuando la producción y venta diaria aumenta de 2,000 a
8,000 unidades, mediante una integral definida.
b) Obtén la función de ingreso para el fabricante.
c) A partir de la función del inciso b, calcula nuevamente el incremento en sus ingresos cuando
sus ventas diarias aumentan de 2,000 a 8,000 unidades.
d) ¿Cuál es la función de demanda para el fabricante?
e) ¿A qué precio debe dar el artículo para que su ingreso sea máximo?
f) ¿Cuál es el ingreso máximo?
g) ¿Cuál es la demanda diaria en el mercado cuando su ingreso es máximo?
h) En las condiciones de los incisos e y g, ¿cuál es la elasticidad puntual de la demanda? ¿De
qué tipo es?
3.
Cierta empresa conoce que su utilidad marginal está dada por la siguiente función para 0 ≤ x ≤ 50 :
U ′( x) = −3 x 2 + 60 x + 2,000
en dólares por tonelada adicional producida y vendida
semanalmente.
a) Calcula, mediante una integral definida, el incremento en su utilidad cuando la producción y
venta aumenta de 20 a 30 toneladas.
b) Obtén la función de utilidad para la empresa si se conoce que al inicio (x = 0) tenía pérdidas
por $15,000 dólares.
c) Con la información obtenida en el inciso b, ¿podrías decir cuáles son los costos fijos de la
empresa? ¿Por qué?
d) Calcula la utilidad semanal de la empresa cuando se producen y venden 20 unidades.
e) Calcula la máxima utilidad semanal posible para la empresa.
f) ¿Cuál es el nivel de producción y ventas para tener máxima utilidad?
g) ¿Cuál es el nivel de producción y ventas para que la empresa deje de tener pérdidas y
comience a tener ganancias?
4.
El gerente de una compañía estima que la compra de una determinada pieza de equipo resultará
en un ahorro en los costos de operación para la compañía. La razón de cambio de ahorro en el
costo de operación es A′( x) = 4,000 x + 1,000 en dólares/año, para 0 ≤ x ≤ 10 , cuando el equipo
ha estado en uso durante x años.
a) ¿Cuál es el ahorro en los costos de operación en los primeros 5 años?
b) Si el precio de compra es de 36,000 dólares, ¿cuántos años de uso se requieren para que el
equipo se pague por sí solo?
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
5.
Para el producto de un fabricante, el ingreso marginal y el costo marginal están dados
67
C ' ( x) = 0.2 x + 5 ; para 4 ≤ x ≤ 20 , donde x es el nivel
respectivamente por
I ' ( x) =
+2
3 2
x
de producción y ventas en miles de unidades y I, C son respectivamente el ingreso y los costos de
fabricación en miles de pesos.
a) Calcula el incremento en la utilidad del fabricante si el nivel de producción y ventas aumenta de
10,000 a 15,000 unidades.
b) Calcula el incremento en el ingreso y el incremento en los costos para los niveles del inciso a.
c) Obtén las funciones de ingreso, costo y utilidad, si se conoce que para un nivel de producción y
ventas de 5,000 unidades el costo de fabricación es de $200,000 y el ingreso es de $250,000.
EVALUACIÓN
INTEGRALES INDEFINIDAS
1. Evalué las siguientes integrales
a.
∫
( 2t + 3)
3t
2
dt
b.
x −8
dx
3
x
∫ 2−
c.
∫e
Ln( x2 +3)
dx
2. La función de costo marginal de una empresa es C ′( x) = 30 + 0.05 x
a. Determine la función de costo C(x), si los costos fijos de la empresa son de $2000 por mes.
b. ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?
c. Si los artículos se pueden vender a $55 cada uno, ¿Cuántos deben producirse para maximizar la
utilidad?
3. La función de ingreso marginal de cierta empresa es I ′( x ) = 30 − 0.01x − 0.002 x 2 .
a. Encuentre la función de ingreso.
b. ¿Cuánto ingreso se obtendrá por la venta de 100 unidades del producto de la empresa?
c. ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?
4. La función de utilidad marginal de una empresa es U ′( x ) = 15 − 0.003 x y la empresa obtiene una
utilidad de $310 al venderse 20 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?
5. Find the most general antiderivative of the function. (Check your answer by differentiation.)
a. f ( x ) = 12 − x3 − 3 x 4 + 2 x 7
b. f ( x) =
3
x − 3 x2
2
c. f ( x ) =
2 − 5 x 2 − 3x 4
x3
d. f ( x) = 3e x + 7 sec 2 x
6. Find the antiderivative F of that satisfies the given condition.
a. f ''( x) = 6 + x 3 − 3 x 5
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b. f ′( x) = 4 x3 + 11x + 5 , F ( −1) = 10
c. f ''(t ) =
2
, F ( 4) = 20 , f ′( 4) = 7
t
(
d. f ′( x ) = 4 + 3 1 − x 2
)
−1
, F (1)=0
7. Verificar las siguientes igualdades:
−9
3
dx = 3 + c
4
x
x
1
1
3
4
∫ ( 4 x − x 2 ) dx = x + x + c
x2 − 1
2( x 2 + 3)
dx
=
+c
∫ x 32
3 x
∫
a.
b.
c.
8. Hallar la integral indefinida y verificar la respuesta por derivación:
∫
a.
3
x dx
b.
1
∫ x3 dx
c.
x3 − 1
∫ x dx
d.
2
∫ ( t − sent ) dt
e.
e 2 x − 3e x
∫ e x dx
INTEGRALES DEFINIDAS
1. Obtenga las siguientes integrales definidas:
a)
d)
∫ −1 ( x
3
∫
1
0
3
+ 2 x − 1) dx
b)
3
3 x 2 e x dx
e)
∫1 ( 4
2
3
∫1
)
x − 2 x 2 dx
 x3 + 4 x 2 − 3 

 dx
x2


c)
∫ 0 x ( 3x
f)
∫ 2  x + 2  dx
2
3
2
+ 2 ) dx
3
 3x 
2. Aplicaciones de la integral
a) La función Costo Marginal de un producto cuando se producen X unidades, viene dada por
C '( x) = 6 x 2 + 2 x + 3 . Obtenga la función costo total sabiendo que el costo total para producir 10
unidades es de $494.000. Si para el mismo problema la utilidad viene expresada por
U ( x ) = 10 x3 + 25 x 2 + 10 x − 5.000 ; obtenga la función Ingreso Total y el valor del Ingreso Total
3
2
para X = 20 unidades.
b) La función Costo Marginal de una empresa viene expresada por C '( x) =
la Función Costo Total sabiendo que para X=0 los Costos Totales son:
Ing. Edgar Vargas Ruiz
500
11000
x−
. Obtenga
13
13
150000
13
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1
Conteste además las siguientes preguntas:
i.
¿Cuáles son los costos fijos de producción?
ii. ¿Cuáles son los costos totales de producir X = 40; y; X = 80 unidades?
iii. ¿Cuántas unidades minimizan el Costo Total? ¿Cuánto valen esos Costos Mínimos?
iv. Grafique y analice la función Costo Total.
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Cálculo conceptos y aplicaciones, editorial Thomson
HOFFMANN, Cálculo para administración, economía y ciencias sociales, editorial Mc Graw Hill
LARSON Ron, Cálculo, editorial MC Graw Hill
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL DEFINIDA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Interpretar
el
significado
geométrico y analítico de la
Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su
integral definida teniendo en
entorno de aplicación
cuenta sus propiedades para la
Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales
resolución de problemas
sencillas
Utiliza las propiedades y los teoremas fundamentales del cálculo
para la solución de problemas
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
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ACTIVIDAD No 1
1. Calcula las siguientes integrales definidas:
1.
4.
7.
10.
∫
∫
8 dx
2.
1
1
x 4 dx
5.
−2
∫
∫
2
4
1
27
8
3
− e x dx
5
8.
∫
6
2
0.5
∫
∫
2x2
dx
7
−1
1
dx
x10
3.
6.
3
2
( y + 2 y +1) dy
2
9.
∫
∫
∫
9
dt
−2
32
2
5
0
x4
dx
2
(1 + u +u 2 +u 5 ) du
0
1 
3
 x - 3  dx
x

2. Para cierto fabricante la función de utilidad marginal es p ´( x) = −3 x 2 + 90 x + 5400 , calcula el
incremento en la utilidad, cuando la demanda aumenta de 50 a 60 unidades. Utiliza una integral
definida.
3. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R´(x) = −3 x 2 + 60 x , Calcula el incremento
en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades. Utiliza una integral definida.
4. Una empresa ha encontrado que su razón de gastos por día (en cientos de dólares) por cierto tipo de
trabajo está dada por E '( x) = 4 x + 2 , donde x es el número de días desde que se inició el trabajo.
a) Calcula el gasto total si el trabajo dura 10 días.
b) ¿Cuánto se gastará en el trabajo del décimo al vigésimo día?
c) Si la empresa no quiere gastar más de $50,000 en el trabajo, ¿en cuántos días debe
terminarlo?
5. Un empleado nuevo en cierto trabajo mejorará su eficiencia con el tiempo de manera que le tomará
menos horas producir un artículo por cada día en el trabajo, hasta cierto punto. Suponga que la razón
de cambio del número de horas que le toma a un trabajador en una cierta fábrica producir el artículo
Ing. Edgar Vargas Ruiz
II - 2010
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
x-ésimo está dada por H ′( x) = 20 − 2 x .
a) ¿Cuál es el número total de horas requeridas para producir los primeros 5 artículos?
b) ¿Cuál es el número total de horas requeridas para producir los primeros 10 artículos?
6. Si se ha conducido un camión grande x miles de millas, la razón de los costos de reparación en
dólares por milla está dada por C '( x) = 0.05 x
conduce el camión:
3
2
. Calcula los costos totales de reparación si se
a) 100,000 millas ( x = 100 ); b) 400,000 millas ( x = 400 ).
ACTIVIDAD No 2
1. Evaluar la integral definida
∫
3
x dx mediante la definición de límite. (Sugerencia: tome puntos
−2
terminales derechos). Recuerde que
b
∫a
n
∑ f ( c ) ∆x .
n →∞
f ( x)dx = Lim
i =1
i
i
2. En la función definida gráficamente por:
∫
se sabe que
c
f ( x)dx = 6
∫
y
a
a)
∫
∫
c
f ( x)dx = 4 . Halle:
b
b
f ( x)dx e indique qué representa
a
b
b)
f ( x)dx
c
3. Calcula
∫
3 x
 3
3
f ( x)dx
siendo f ( x) = 
0
4. Encuentra el valor de b tal que
∫
b
si x < 1
 .
si x ≥ 1
6 ( x − 1)( x + 1) dx = 4 .
0
5. Calcula
∫
1
3
 x2
f ( x)dx si f ( x) = 
x
Ing. Edgar Vargas Ruiz
si 0 ≤ x < 2 

si 2 ≤ x ≤ 4 
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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
ACTIVIDAD No 3
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por
S '(t ) = − 3 t 2 + 300 t
Donde t es el número de días después de terminada una campaña publicitaria y 0 ≤ t ≤ 30
a. Encuentre la venta total durante la primera semana después de que se termino la campaña
(t=0 a t=7)
b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después de que se termino la campaña
(t=7 a t=14)
2. Se puede considerar que el ingreso de una cadena de servicio de cambio de aceite fluye de manera
continua con una tasa anual dada por
f (t ) = 10000 e
0.02 t
(dólares / año)
Encuentre el ingreso total para esta cadena durante los primeros 2 años.
3. La tasa de depreciación de un edificio está dada por D '(t ) = 3000(20 − t ) dólares al año, con 0 ≤ t ≤ 20
vea la siguiente figura.
a. Use la grafica para encontrar la depreciación total del edificio durante los primeros 10 años.
b. Use la integral definida para encontrar la depreciación total durante los primeros 10 años.
4. Hallar el valor de k tal que el valor medio de la función f ( x ) = x 4 − 1 sobre el intervalo [ − k , k ] es
cero.
5. El costo de producir x unidades de cierto articulo es C ( x ) = x 2 + 400 x + 2000
a. Use C(x) para encontrar el costo promedio de producir 1000 unidades
b. Encuentre el valor promedio de la función del costo C(x) sobre el intervalo de 0 a 1000.
6. La función de demanda para cierto producto está dado por
p = 500 +
1000
x +1
, donde p es el precio y x el número de unidades demandadas. Encuentre el precio promedio para un
rango de demanda de 50 a 100 unidades
ACTIVIDAD No 4
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GUÍA DE ESTUDIO No. 1.1
1. Resuelve los siguientes ejercicios teniendo en cuenta los teoremas fundamentales del cálculo.
a.
d  t3 x − e x 
dx 

dt  ∫t 2 2 x + 1 
b.
d2
dt 2
(∫
t
2 + 3ln x dx
−t
e.
)
d  t

dt  ∫ 1
x 2 + 4 dx +
∫t
−1
(∫
c.
d2
dt 2
d.
d  3t 2

dx 
 ∫2
4
dt 
3−t

t
1
2 x3 − 5 dx
)
x 2 + 4 dx 

2. Hallar F '(1) si:
3 t +1
a. F (t ) =
∫
(
∫
(
∫
( 2 x + cos x ) dx
1
t +1)
b. F (t ) =
2
t2
c. F ( x ) =
x +1)
x2
( 3x
3
− 1) dx
2
( 3t
3
− 1) dt
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Cálculo conceptos y aplicaciones, editorial Thomson
HOFFMANN, Cálculo para administración, economía y ciencias sociales, editorial Mc Graw Hill
LARSON Ron, Cálculo, editorial MC Graw Hill
Ing. Edgar Vargas Ruiz
II - 2010
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
UNIDAD ACADÉMICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL
UNIDAD TEMÁTICA
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Resolver Sistemas de Ecuaciones
lineales de forma a través de la
forma escalonada y en forma
numérica.
Aplica el producto matricial a matrices particulares: diagonales,
triangulares, elementales.
Deduce métodos básicos que permitan reconocer cuando tiene
solución un sistema de ecuaciones lineales
Evalúa matrices utilizando el método de Gauss – Jordán
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Realiza las siguientes actividades
1. Para que valores de a el siguiente sistema no tiene solución? ¿Tiene exactamente una solución? ¿Infinidad
de Soluciones?
2. Resolver el sistema donde a, b y c son constantes
3. Considerando el siguiente sistema de ecuaciones, demostrar que para que el sistema sea inconsistente a, b
y c deben satisfacer c ≠ a+b
4. Resuelve el siguiente sistema lineal homogéneo.
5. Resuelve el siguiente sistema lineal homogéneo.
6. Las actividades de un rumiante pueden ser clasificadas en tres categorías 1. Pastar 2. Moverse
3.Descansar. La energía neta perdida al moverse y descansar es de 150 y 50 calorías, respectivamente,
por hora. La energía obtenida de pastar es de 200 calorías por hora.
•
¿Cómo puede dividirse el día entre las tres actividades de forma que la energía ganada al pastar
compense exactamente la energía gastada al moverse y al descansar?
•
¿Esta división del día es única?
VERSIÓN: 1
FECHA: Julio 2009
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
GUÍA DE ESTUDIO No. 1
EVALUACIÓN
1. Determine el valor de k en el siguiente sistema homogéneo.
2. Demuestre que el sistema de ecuaciones dado tiene infinitas soluciones si c=5a+2b:
BIBLIOGRAFÍA
TEXTOS SUGERIDOS
GROSSMAN, Stanley. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL. Editorial Mc Graw Hill Interamericana. México.
SENGE, Lange, ALGEBRA LINEAL. Fondo Educativo Interamericano. México.
SITIOS WEB
1. www.metematicasbachiller.com
VERSIÓN: 1
FECHA: Julio 2009
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
UNIDAD ACADÉMICA
UNIDAD TEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
COMPETENCIA
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Aplicar los conceptos básicos y
Calcula el valor del área del plano encerrada entre curvas
las técnicas de integración a la
utilizando la integral definida.
modelación y resolución de
Identifica integrales impropias de acuerdo a las propiedades
problemas propios del área de
Determina la convergencia o la divergencia de integrales
ingeniería o administración en
impropias
que se imparte la materia
Plantea y resuelve problemas mediante la integral aplicados a los
negocios.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
R e a l i za r l a s a c t i v i d a d e s q u e a c o n t i nu a c i ó n s e e n u n c i a s t e n i e n d o e n c u en t a l a
c a r p et a g uí a d e A p un t e s d e l Pr o f e so r
ACTIVIDAD No 1
1. Hallar el área limitada por las siguientes curvas, teniendo en cuenta el siguiente procedimiento
1. Construye el gráfico de las funciones(puedes utilizar la calculadora Voyage 200)
2. Encontrar los puntos en los que se cortan las curvas
3. Sombrea en el gráfico obtenido el área buscada y halla los límites de integración
4. Escoge el método para calcular el área en estudio(con respecto a x o con respecto a y)
5. Resolver las integrales que surgen por las técnicas vistas.
6. Obtener el valor del área total pedida(como área única o suma de varias áreas)
Ten presente las siguientes fórmulas
A=∫
b
a
d
A=∫
c
[ f ( x) − g ( x)] dx
[ f ( y ) − g ( y )] dy
Ejercicios
a. y = x 2 + 2 ; y = x + 4 ; y = − x + 3 y el eje x
b.
y=
x
;
2
y = 1− x
− x2
+ 1 ; y = −7 x + 25 y x=2
4
Lnx
d. y = xLnx ; y =
4x
2
e. x + 4 y = 4 ; x + y 4 = 1 ; para x ≤ 0
10 x
2
f. y = x 2 + 1 ; y =
; y = ( x − 4 ) − 3 y el eje x
3
c. y =
x2
+2 ;
4
y=
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1
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
g.
x2
y = x; y=
; y =1
4
h.
y = x+3 ;
y= −
y = x − 3;
1
1
x−
6
2
2. Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función dada y el eje x en los límites
indicados:
81 2
u
4
128 2
2) y = 8 x − x 2 ; [ 4 , 8 ] .
Solución : A =
u
3
3) y = x −1 ; x = 0 , x = 4 .
Solución : A = 2 u 2
1) y = x 3 ; x = −3 , x = 0 .
4) y = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ;
Solución : A =
[
0, 3
x2 − 1
1
; x= , x=3 .
2
2
x
6) y = sen x ; [ −π , π ] .
5) y =
7) y =
−1 , 1
]
Solución : A =
Solución : A = ln 2 u 2
Solución : A =
.
11 2
u
4
11 2
u
6
Solución : A = 4 u 2
1
1
; x= , x=2 .
2
x +x
[
.
Solución : A =
2
8) y = x 3 − x ;
]
1 2
u
2
ACTIVIDAD No 2
Resolver las siguientes integrales impropias con límites de integración infinitos(o de primera especie)
teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:
1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.
2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por
alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
Ten presente las siguientes formulas:
∞
∫a
f ( x)dx = lim
t →∞
b
∫−∞ f ( x)dx =
lim
p → −∞
∞
t
∫a f ( x)dx
b
∫p f ( x)dx
0
t
∫ ∞ f ( x)dx = plim∞ ∫p f ( x)dx + tlim∞ ∫0 f ( x)dx
−
→−
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→
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2
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
Ejercicios
∞
x
∫5
1.
4.
3
0
9 − x2
∞
dx
∫−∞ x 2 + 6 x + 12
∞
1
5. ∫
dx
2
x Lnx
dx
2.
∫−∞ x e dx
2 x
∞
∫∞
−
−x
e dx
3.
∞
∫0
ex
dx
1 + e2 x
ACTIVIDAD No 3
Resolver las siguientes integrales impropias con discontinuidades infinitas(o de segunda especie)
teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:
1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.
2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por
alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
Ten presente las siguientes formulas:
b
t
∫a
f ( x)dx = lim
∫a f ( x)dx
b
f ( x)dx = lim
∫p f ( x)dx
∫a
b
∫a
t →b−
b
p →a +
f ( x)dx = lim
t → c−
t
b
∫a f ( x)dx + plimc+ ∫p f ( x)dx
→
Ejercicios
1.
dx
2
∫1
3
2.
x3 − 4 x2 + 4 x
5.
−3
xdx
−
x2 − 9
∫5
dx
2 xdx
6
∫0
(x
2
− 4)
2
3.
3
6.
∫
1
0
1
∫0
1
dx
x2
4.
4
∫0
dx
dx
x − 2x − 3
2
x Lnx dx
ACTIVIDAD No 4
Resolver las siguientes integrales impropias mixtas(o de tercera especie) teniendo en cuenta el siguiente
procedimiento:
1. Dividir la integral impropia en una de primera especie y otra de segunda especie
2. Aplique la fórmula apropiada para cada uno de los casos seleccionados y calcule la integral
definida(puede ser inmediata o por alguna técnica de integración)
3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)
4. Determine su convergencia o divergencia.
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3
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
Ejercicios
1.
∞
∫1
dx
2.
x x2 −1
∞
∫0
e − x dx
x
ACTIVIDAD No 5
Resuelve los siguientes ejercicios aplicados a los negocios y a la administración
1. Se pensó que los cambios en las leyes tributarias de cierto país durante la década de 1980 ayudarían
en gran medida a los ricos a expensas de los pobres. Las curvas de Lorentz para la distribución del
ingreso en 1980 y en 1990 se presentan a continuación. Encuentre el coeficiente de Gini para el
ingreso para ambos años y determine si la distribución del ingreso es más o menos equitativa en
1990 que en 1980. ¿Cual fue el efecto de las leyes tributarias?
1980
y = 0.916 x 1.821
1990
y = 0.896 x1.878
2. En un esfuerzo para hacer que la distribución del ingreso sea más equitativa, el gobierno de un país
aprueba una ley tributaria que cambia la curva de Lorentz de un año de
y = 0.99 x 2.1 a y = 0.32 x 2 + 0.68 x para el año siguiente. Encuentre el índice de Gini para el
ingreso para ambos años y compare la distribución del ingreso antes y después de que se aprobó la
ley tributaria. Interprete el resultado.
3. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p = 200 e
− 0.01x
y la función de oferta
es p = 200 x + 49 .
a. mediante el uso de la calculadora Voyage 200 encuentre el punto de equilibrio del mercado
b. Encuentre el superávit del consumidor y del productor
4. Un monopolio tiene una función de costo total de C ( x ) = 500 + 2 x 2 + 10 x para su producto, el cual
tiene una función de demanda
p=
−1 2
x − 2 x + 30 . Encuentre el superávit del consumidor en el
3
punto donde el monopolio tiene una ganancia máxima.
5. Suponga que una persona desea hacer una donación en efectivo a un hospital, la cual generará un
flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por
f (t ) = 20000 dólares por año . Si la tasa de interés anual es de 12% compuesto continuamente,
encuentre el valor del capital de esta perpetuidad.
6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un
flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por
f (t ) = 280000 − 14000t ( dólares al año)
Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta
máquina para los próximos 8 años.
7. Suponga que
dentro de t años, un plan de inversión generará utilidades a una tasa
p '1 (t ) = 100 + t cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión generará utilidades
2
a una tasa de p '2 (t ) = 220 + 2t cientos de dólares por año.
a. ¿Durante cuantos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excede a la primera?
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4
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b. Calcule el exceso neto de utilidad, suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo
determinado en la parte a.
c. Trace las curvas de las tasas de rentabilidad y = p '1 (t ) y
y = p '2 (t ) y marque la región
cuya área representa el exceso neto de utilidad calculado en el numeral b.
8. Se estima que dentro de t semanas, las contribuciones en respuesta a una campaña de recaudación
de fondos se recibirán a una tasa de R '(t ) = 5000 −0.2t dólares por semana, en tanto se espera que
los gastos de campaña se acumulan a una tasa de 676 dólares por semana.
a. ¿Durante cuantas semanas excede la tasa del ingreso a la tasa del costo?
b. ¿Qué ingresos netos generará la campaña durante el periodo determinado en el inciso a)?
c. Interprete los ingresos netos del inciso b) como un área entre dos curvas
9. Después de producir 1,200 licuadoras, una empresa determina que su planta de ensamblado está
− 0.16
. Estimar el número de horassiguiendo una curva de aprendizaje de la forma T ′( x) = 22 x
hombre requeridas en el ensamblado de 3,300 licuadoras adicionales.
10. Sonido Internacional produce radioreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que la primera
unidad producida (equivalente a 100 aparatos) les lleva un total de 150 horas- hombre y por cada
unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje
T ′( x) = 150 x − 0.2 . Calcular el número de horas-hombre que se requerirán para ensamblar 500
radioreceptores después de que se han ensamblado los primeros 500 aparatos.
EVALUACIÓN
Área entre curvas e Integrales impropias
1. Find the value of the constant C for which the integral
∫
∞
0
c 
 x
−
 2
dx converges. Evaluate
 x + 1 3x + 1 
the integral for this value de C
y = mx
2. For what values of m do the line
and the curve
x
enclose a region? Find the
x +1
y=
2
area of the region.
3. Find the value of C such that the area of the region enclosed by the parabolas y = x 2 − c 2 and
y = c 2 − x 2 is 576.
4. Preguntas de análisis:
π
∫ π2 Senxdx como una integral definida y luego como
2
a. Se obtiene el mismo resultado si se calcula
el área representada por la expresión A =
−
π
∫ π2 Senxdx .
2
−
b. Si el límite de una integral impropia no existe quiere decir, que la integral diverge a +∞ o −∞
5. Determine whether the statement is true or false
a. If f is continuous on [ 0, ∞ ) and
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∫
b
1
f ( x)dx is convergent, then
∫
b
0
f ( x)dx is convergent ______
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GUÍA DE ESTUDIO No 3
b. If
∞
∫a
f ( x)dx and
∞
∫a
c. If f ( x ) ≤ g ( x) and
g ( x)dx are both divergent, then
∞
∫a
g ( x)dx diverges, then
∞
∫a
∞
∫a [ f ( x) + g ( x)] dx is divergent
f ( x)dx also diverges
d. If f and g are continuous on [ a, b ] and g ( x ) ≥ f ( x) then A =
_______
_______
∫a [ f ( x) − g ( x)] dx
b
_______
BIBLIOGRAFÍA
•
•
•
•
•
•
APUNTES DEL DOCENTE
STEWART James , Calculus, Early Trascendentals.5a Ed. International Thomson,2003
PURCELL Edwin J, Cálculo con geometría analítica. 4a Ed.Pearson- Prentice Hall
LARSON Ron, Cálculo.McGraw-Hill,2003
ARYA, Jagdish C y LARDNER, Robin W.Matematicas aplicadas a la administración y a la economía.
4a edición. Prentice Hall, 2002
HOFFMANN, Laurence D y BRADLEY, Gerald L. Cálculo para administración, economía y ciencias
sociales. 7ª Ed. McGraw-Hill,2001
Ing. Edgar Vargas Ruiz
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