INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de la Ciencia de la
Computación otorgan nuevas herramientas para apoyar el proceso de la toma de decisiones en diversas
disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. La Simulación es una de las herramientas más
importantes y más interdisciplinarias. En pocas palabras podemos decir, que la simulación realiza cuando la
computadora finge ser una tienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define la estructura del
sistema que quiere simular. Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual será el
comportamiento dinámico de su empresa o de la maquina que esta diseñando. Así podemos ver los
pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuando un mecanismo pueda fallar en las
condiciones adversas del ambiente donde funcionará.
Las aplicaciones de la simulación parecen no tener limites. Actualmente se simulan los comportamientos
hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de las epidemias, el sistema inmunológico
humano, las plantas productivas, sucursales bancarias, el sistema de repartición de pizzas en la Ciudad de
México, crecimiento de poblaciones de especies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los
planetas y la evolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos de las aplicaciones de esta
herramienta. Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en la Investigación de operaciones y
en sus aplicaciones industriales. En los países altamente desarrollados la simulación es una herramienta
principal de en los procesos de toma de decisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la
producción. Además, la Simulación es cada vez más amigable para el usuario, que no tiene que ser un
especialista en computación.
El Dr. Ralph Huntsinger, ex−presidente de la Society for Computer Simulation y actual Presidente del
Instituto McLeod de las Ciencias de Simulación ha dicho en sus presentaciones en el Primer Simposio sobre
la Simulación por Computadora y la III Conferencia sobre Simulación por Computadora (Universidad
Panamericana, Noviembre 1992 y 1995):
!LA SIMULACIÓN ES ÚTIL Y DIVERTIDA¡
¡DISFRUTE SUS VENTAJAS¡
UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN.
La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias para analizar y estudiar
sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos que se resolvían en forma analítica. En casi
todos estos modelos la meta era determinar soluciones óptimas. Sin embargo, debido a la complejidad, las
relaciones estocásticas, etc., no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en
forma de modelo. Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como éstos, en general necesitan
de tantas hipótesis de simplificación que es probable que las soluciones no sean buenas, o bien, sean
inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia la única opción de modelado y análisis de que
dispone quien toma decisiones es la simulación. Simular, es reproducir artificialmente un fenómeno o las
relaciones entrada−salida de un sistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la
experimentación en él son imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas, como en el entrenamiento de
personal de operación, pilotos de aviones, etc.
Si esta reproducción está basada en la ejecución de un programa en una computadora digital, entonces la
simulación se llama digital y usualmente se conoce como simulación por computadora, aunque esto incluye la
simulación en las computadoras analógicas. La simulación por computadora está relacionada con los
simuladores. Por simulador entendemos no sólo un programa de simulación y la computadora que lo realiza,
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sino también un aparato que muestra visualmente y a menudo físicamente las entradas y salidas (resultados)
de la simulación, como es el caso de los simuladores profesionales de vuelo, aunque en este curso no se
hablará sobre los simuladores ni sobre la simulación analógica. A partir del advenimiento de las computadoras
electrónicas, la simulación ha sido una de las herramientas más importantes y útiles para analizar el diseño y
operación de complejos procesos o sistemas. Simular, según el Diccionario Universitario Webster, es fingir,
llegar a la esencia de algo, prescindiendo de la realidad.
Se puede definir a la simulación como la técnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real
cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace por lo general al crear un modelo de simulación. En síntesis,
cada modelo o representación de una cosa es una forma de simulación. La simulación es un tema muy amplio
y mal definido que es muy importante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los
responsables de su operación.
Shannon define la simulación como el proceso de diseñar un modeló de un sistema real y realizar
experimentos con él para entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de los
limites impuestos por un criterio o por un conjunto de criterios) para la operación del sistema. Por lo que se
entiende que el proceso de simulación incluye tanto la construcción del modelo como su uso analítico para
estudiar un problema. Un modelo de simulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis
acerca del funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de
interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas exactas disponibles en la mayoría de los
modelos analíticos, el proceso de simulación incluye la ejecución del modelo a través del tiempo, en general
en una computadora, para generar nuestras representativas de las mediciones del desempeño o
funcionamiento. En este aspecto, se puede considerar a la simulación como un experimento de muestreo
acerca del sistema real, cuyos resultados son puntos de muestra. Por ejemplo, para obtener la mejor
estimación del promedio de la medición del funcionamiento, calculamos el promedio de los resultados de
muestra. Es claro que tanto más puntos de muestra generemos, mejor será nuestra estimación. Sin embargo,
hay otros factores que tienen influencia sobre la bondad de nuestra estimación final, como las condiciones
iniciales de la simulación, la longitud del intervalo que simula y la exactitud del modelo mismo.
ALGUNOS USOS DE LA SIMULACIÓN
Las áreas de aplicación de la simulación son muy amplias, numerosas y diversas, basta mencionar sólo
algunas de ellas: Análisis del impacto ambiental causado por diversas fuentes Análisis y diseño de sistemas de
manufactura Análisis y diseño de sistemas de comunicaciones. Evaluación del diseño de organismos
prestadores de servicios públicos (por ejemplo: hospitales, oficinas de correos, telégrafos, casas de cambio,
etc.). Análisis de sistemas de transporte terrestre, marítimo o por aire. Análisis de grandes equipos de
cómputo. Análisis de un departamento dentro de una fábrica. Adiestramiento de operadores (centrales
carboeléctricas, termoeléctricas, nucleoeléctricas, aviones, etc.).Análisis de sistemas de acondicionamiento de
aire. Planeación para la producción de bienes. Análisis financiero de sistemas económicos.Evaluación de
sistemas tácticos o de defensa militar. La simulación se utiliza en la etapa de diseño para auxiliar en el logro o
mejoramiento de un proceso o diseño o bien a un sistema ya existente para explorar algunas modificaciones.
Se recomienda la aplicación de la simulación a sistemas ya existentes cuando existe algún problema de
operación o bien cuando se requiere llevar a cabo una mejora en el comportamiento. El efecto que sobre el
sistema ocurre cuando se cambia alguno de sus componentes se puede examinar antes de que ocurra el cambio
físico en la planta para asegurar que el problema de operación se soluciona o bien para determinar el medio
más económico para lograr la mejora deseada. Todos los modelos de simulación se llaman modelos de
entrada−salida. Es decir, producen la salida del sistema si se les da la entrada a sus subsistemas interactuantes.
Por tanto los modelos de simulación se corren en vez de resolverse, a fin de obtener la información o los
resultados deseados. Son incapaces de generar una solución por si mismos en el sentido de los modelos
analíticos; solo pueden servir como herramienta para el análisis del comportamiento de un sistema en
condiciones especificadas por el experimentador. Por tanto la simulación es una teoría, si no una metodología
de resolución de problemas. Además la simulación es solo uno de varios planteamientos valiosos para resolver
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problemas que están disponibles para el análisis de sistemas. Pero ¿Cuándo es útil utilizar la simulación?
Cuando existan una o más de las siguientes condiciones:1.− No existe una completa formulación matemática
del problema o los métodos analíticos para resolver el modelo matemático no se han desarrollado aún.
Muchos modelos de líneas de espera corresponden a esta categoría.2.− Los métodos analíticos están
disponibles, pero los procedimientos matemáticos son tan complejos y difíciles, que la simulación
proporciona un método más simple de solución.3.− Las soluciones analíticas existen y son posibles, pero
están mas allá de la habilidad matemática del personal disponible El costo del diseño, la prueba y la corrida de
una simulación debe entonces evaluarse contra el costo de obtener ayuda externa.4.− Se desea observar el
trayecto histórico simulado del proceso sobre un período, además de estimar ciertos parámetros.5.− La
simulación puede ser la única posibilidad, debido a la dificultad para realizar experimentos y observar
fenómenos en su entorno real, por ejemplo, estudios de vehículos espaciales en sus vuelos interplanetarios.6.−
Se requiere la aceleración del tiempo para sistemas o procesos que requieren de largo tiempo para realizarse.
La simulación proporciona un control sobre el tiempo, debido a que un fenómeno se puede acelerar o retardar
según se desee.
PROBLEMAS PARA LLEVAR A CABO LA SIMULACIÓN, CUANDO LOS SISTEMAS SON
GRANDES Y COMPLEJOS:
El modelo matemático es demasiado grande y complejo, así que la escritura de los programas de cómputo
resulta ser una tarea demasiado tediosa. En la actualidad se dispone ya de algunos programas que genera de
modo automático el código de un modelo para la simulación. El tiempo de cómputo es alto y costoso. Sin
embargo y gracias a los actuales desarrollos de poderosos equipos de computo, el tiempo de computo tiende a
bajar rápidamente. Desafortunadamente existe en el mercado una marcada impresión de considerar a la
simulación, como un simple ejercicio de programación de computadoras. Como consecuencia de ello,
codificación y la corrida para obtener finalmente una respuesta.
SISTEMAS, MODELOS Y SIMULACIÓN
Existen diversos enunciados para definir un sistema, por ejemplo: un sistema de colección de entidades (
personas, máquinas equipos, etc. ) los cuales actúan o interactuan juntos, para lograr un propósito bien
definido ( Schmidt & Taylor )
o bien Un sistema es un conjunto de componentes cuyos parámetros de comportamiento están
interrelacionados. Simular un sistema significa observar un sistema equivalente que aproxima o imita el
comportamiento del sistema real.
En la práctica, lo que se entiende por sistema depende sobre todo el objetivo que se quiera alcanzar en un
estudio en particular.
La colección de entidades que componen un sistema puede ser tan sólo un subconjunto de un sistema más
amplio. Por ejemplo, si se quiere llevar a cabo un estudio en un banco, para poder determinar el número de
cajeros que se quieren, para proporcionar un adecuado servicio a los clientes que deseen cambiar cheques por
dinero en efectivo o bien para hacer un depósito en su cuenta de ahorros, el sistema puede ser definido como
una porción del banco que consiste en los cajeros y los clientes que esperaban en una fila para ser atendidos.
Si por otro lado se incluyera la oficina de depósito de valores y cajas personales de seguridad, entonces la
definición de sistema cambia de manera natural.
Entonces las Entidades de un sistema son los elementos que nos interesan en el sistema y los atributos son la
descripción de las propiedades de las entidades. Actividad es el proceso que causa cambios en el sistema.
Estas pueden ser: endógenas cuando se generan dentro del mismo sistema y exógenas cuando provienen del
medio exterior.
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El estado de un sistema queda definido como la colección de variables necesarias para describir un sistema
particular, congruente con los objetivos de estudio ( es una fotografía del sistema )
En el ejemplo del banco, algunas de las posibles variables de estado que pueden definirse son: el número de
cajeros, el número de clientes en el banco, la hora de llegada de cada cliente al banco.
Los sistemas se clasifican en discreto es aquel en el que las variables de estado cambian instantáneamente en
puntos distintos en el tiempo. Se rigen por ecuaciones lógicas que expresan condiciones para que un evento
ocurra. La simulación discreta, consiste en seguir los cambios en el estado del sistema resultando de cada uno
de los eventos que se realizan. Por regla general este tipo de la simulación se realiza siguiendo la secuencia de
ocurrencia de eventos, es decir avanzamos el tiempo de la simulación al tiempo de la ocurrencia del siguiente
evento.
En los sistemas discretos, el flujo es tratado como un cierto número de enteros. Por ejemplo en el análisis de
flujo de personas en el supermercado, involucra el tiempo que tarda una persona en las distancias aéreas del
supermercado y el contador de salida de un sistema discreto, otros sistemas discretos son: el análisis de como
el de tráfico de autobuses en una central camionera, e control de tráfico de: trenes en una estación ferroviaria,
aviones en el aeropuerto, vehículos en una autopista, buques en el puerto. Otro ejemplo puede ser un banco,
dado que las variables de estado como pueden ser: el número de clientes dentro del banco, cambia solamente
cuando llega un nuevo cliente o bien cuando un cliente termina de ser atendido por un cajero y abandona el
banco.
Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian de manera continua en el tiempo. Por
ejemplo si consideramos un aeroplano que se mueve por los aires, sus variables de estado como velocidad,
posición, consumo de combustible, etc., cambian de manera continua en el tiempo.
En los sistemas continuos el flujo a través del sistema es, el de un medio continuo, por ejemplo el flujo de las
partículas sólidas, moviéndose a velocidades relativas al tamaño de las partículas presentes en la corriente.
En la práctica, pocos sistemas continuos puros o como sistemas discretos puros, sin embargo predomina uno
de los dos, con lo cual es posible identificarlos.
En la Figura 1 se ilustra las diferentes maneras de cómo se estudian los sistemas en general.
Otra manera de clasificar a los sistemas es determinísticos y estocásticos. En un análisis determinístico, las
variables de entrada se especifican de una manera precisa; en cambio en un análisis estocástico, las
condiciones de entrada al sistema son inciertas, son completamente aleatorias, es decir obedecen a una ley de
distribución de probabilidad.
SISTEMA
EXPERIMENTO CON EXPERIMENTO CON
EL SISTEMA REAL UN MODELO DEL
SISTEMA REAL
MODELO MODELO
FÍSICO MATEMÁTICO
SOLUCIÓN SIMULACIÓN
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ANALÍTICA
Figura No. 1 FORMAS DE ESTUDIAR LOS SISTEMAS
EXPERIMENTO CON EL SISTEMA REAL VS. EXPERIMENTO CON EL MODELO DEL
SISTEMA.
Cuando es posible (y el costo lo permite) modificar físicamente el sistema y operarlo en las nuevas
condiciones es probable lo más adecuado sin embargo no existen muchas preguntas acerca de la relevancia del
estudio.
Esta situación raramente es factible dado el alto costo asociado con experimento o bien porque interrumpe por
demasiado tiempo la operación del equipo.
Puede darse el caso que el sistema no exista, sin embargo se requiere saber su comportamiento para diferentes
configuraciones, para observar cual es la que ofrece mayor ventaja, tal como se da en los modernos centros de
maquinado flexible de diversos tipos de componentes, o en los sistemas tácticos de defensa de un país. Por
esta razón se hace necesario construir un modelo que aproxime de la mejor manera posible el sistema real.
Siempre que se usa un modelo, existe la pregunta de que tan precisamente refleja el comportamiento del
sistema real para propósitos de la toma de decisiones, esto tiene que ver con la validez del modelo.
Independientemente de como y con qué hagamos nuestro modelo, en cualquier caso involucra un proceso de
abstracción, que consiste básicamente en:
a) Selección de la realidad, los elementos más importantes que intervienen en el problema y desechar aquellos
que consideramos no juegan un papel determinante en el mismo.
b) Establecer con precisión las distintas relaciones que guarden entre si dichos elementos.
Una vez realizado este proceso de abstracción estamos en condiciones de elaborar un modelo, dependiendo de
cómo y con qué lo hagamos tomará distintas características. Construido el modelo, podemos manipular
elementos y sobre todo buscar posibles soluciones. Resolver el problema en el modelo significa haber
contestado las siguientes preguntas:
a) ¿Existe solución? Si la respuesta es negativa habremos terminado, el modelo construido no tiene solución
podemos replantearnos la pregunta y/o replantear el modelo. Si la respuesta es afirmativa la siguiente pregunta
es:
b) ¿La solución es única? Si la respuesta es afirmativa habremos acabado, si resulta negativa, significa que
existe más de una solución, y tendríamos que formularnos la tercera pregunta:
c) ¿Cual de todas es la que más nos conviene? Para contestar esta última, muchas veces tenemos que volver
a reflexionar sobre la realidad y/o sobre nuestro modelo, para establecer los criterios que nos permitan decir
cual es mejor.
Después de resolver el problema en el modelo, podemos trasladar la solución encontrada a la realidad, este
proceso recibe el nombre de aplicación.
En el análisis de sistemas los tipos de modelos de interés son los modelos matemáticos, el cual representa al
sistema en términos de variables (enteras, reales, lógicas, etc.) y sus relaciones mutuas, las cuales se
manipulan y modifican a placer para poder determinar la forma como responde el sistema modelado o bien
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como debe de comportarse, siempre y cuando el modelo sea valido.
SOLUCIÓN ANALÍTICA CONTRA SIMULACIÓN.
Una vez que se ha construido un modelo matemático, este debe ser analizado para saber la manera como debe
ser utilizado para que de respuesta a las preguntas de interés, acerca del sistema que supuestamente representa.
Si el modelo es lo suficiente sencillo, es posible trabajar con cantidades y relaciones que tiendan a la
exactitud, obteniéndose entonces una solución exacta. Sin embargo, aún las soluciones analíticas pueden ser
extraordinariamente complejas, requiriéndose de un considerable tiempo de cómputo.
Pero cuando el modelo es demasiado complejo, el modelo matemático asociado es de las mismas
características y la opción de utilizar una solución analítica se desvanece, dando paso al estudio del sistema
mediante simulación.
TIPOS DE MODELOS DE SIMULACIÓN.
MODELOS DE SIMULACIÓN ESTÁTICA VS. DINÁMICA
Un modelo de simulación estática, se entiende como la representación de un sistema para un instante (en el
tiempo) en particular o bien para representar un sistema en el que el tiempo no es importante, por ejemplo la
simulación Montecarlo; en cambio un modelo de simulación dinámica representa a un sistema en el que el
tiempo es una variable de interés, como por ejemplo en el sistema de transporte de materiales dentro de una
fabrica, una torre de enfriamiento de una central termoeléctrica, etc..
MODELOS DE SIMULACIÓN DETERMINISTA VS ESTOCASTICA
Si un modelo de simulación no considera ninguna variable importante, comportándose de acuerdo con una ley
probabilística, se le llama un modelo de simulación determinista. En estos modelos la salida queda
determinada una vez que se especifican los datos y relaciones de entrada al modelo, tomando una cierta
cantidad de tiempo de cómputo para su evaluación. Sin embargo, muchos sistemas se modelan tomando en
cuenta algún componente aleatorio de entrada, lo que da la característica de modelo estocástico de simulación.
Un ejemplo sería un sistema de inventarios de una fábrica, o bien el sistema de líneas de espera de una fabrica,
etc. Estos modelos producen una salida que es en si misma de carácter aleatorio y ésta debe ser tratada
únicamente para estimar las características reales del modelo, esta es una de las principales desventajas de este
tipo de simulación.
MODELOS DE SIMULACIÓN CONTINUOS VS DISCRETOS
Los modelos de simulación discretos y continuos, se definen de manera análogo a los sistemas discretos y
continuos respectivamente. Pero debe entenderse que un modelo discreto de simulación no siempre se usa
para modelar un sistema discreto. La decisión de utilizar un modelo discreto o continuo para simular un
sistema en particular, depende de los objetivos específicos de estudio. Por ejemplo: un modelo de flujo de
tráfico en una supercarretera, puede ser discreto si las características y movimientos de los vehículos en forma
individual es importante. En cambio si los vehículos pueden considerarse como un agregado en el flujo de
tráfico entonces se puede usar un modelo basado en ecuaciones diferenciales presentes en un modelo
continuo.
Otro ejemplo: Un fabricante de comida para perros, requiere el auxilio de una compañía consultora con el
objeto de construir un modelo de simulación para su línea de fabricación, la cual produce medio millón de
latas al día a una velocidad casi constante. Debido a que cada una de las latas se representó como una entidad
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separada en el modelo, éste resulto ser demasiado detallado y por ende caro para correrlo, haciéndolo poco
útil. Unos meses más tarde, se hizo una reformulación del modelo, tratando al proceso como un flujo
continuo. Este nuevo modelo produjo resultados precisos y se ejecuto en una fracción del tiempo necesario
por el modelo original.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LA SIMULACIÓN
Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de último recurso, recientes avances en
las metodología de simulación y la gran disponibilidad de software que actualmente existe en el mercado, han
hecho que la técnica de simulación sea una de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de
sistemas. Además de las razones antes mencionadas, Thomas H. Naylor ha sugerido que un estudio de
simulación es muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:
• A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del
sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando los efectos de esas alteraciones
en el comportamiento del sistema.
• Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor
entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la operación y
eficiencia del sistema.
• La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico para enseñar a
estudiantes habilidades básicas en análisis estadísticos, análisis teórico, etc.
• La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación del sistema, a
detectar las variables más importantes que interactuan en el sistema y a entender mejor las
interrelaciones entre estas variables.
• La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones, sobre las
cuales tiene poca o ninguna información. A través de esta experimentación se puede anticipar mejor a
posibles resultados no previstos.
• La técnica de simulación se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En algunas
ocasiones se puede tener una buena representación de un sistema (como por ejemplo los juegos de
negocios), y entonces a través de el es posible entrenar y dar experiencia a cierto tipo de personal.
• Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede ser usada para
anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el comportamiento del sistema.
• Los sistemas los cuales son sujetos de investigación de su comportamiento no necesitan existir
actualmente para ser sujetos de experimentación basados en la simulación. Solo necesitan existir en la
mente del diseñador.
• El tiempo puede ser compresado en los modelos de simulación. El equivalente de días, semanas y
meses de un sistema real en operación frecuente pueden ser simulados en solo segundos, minutos u
horas en una computadora. Esto significa que un largo número de alternativas de solución pueden ser
simuladas y los resultados pueden estar disponibles de forma breve y pueden ser suficientes para
influir en la elección de un diseño para un sistema.
• En simulación cada variable puede sostenerse constante excepto algunas cuya influencia está siendo
estudiada. Como resultado el posible efecto de descontrol de las variables en el comportamiento del
sistema necesitan no ser tomados en cuenta. Como frecuentemente debe ser hecho cuando el
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experimento está desarrollado sobre un sistema real.
• Es posible reproducir eventos aleatorios idénticos mediante una secuencia de números aleatorios. Esto
hace posible usar las técnicas de reproducción de varianza para mejorar la precisión con la cual las
características del sistema pueden ser estimadas para dar un valor que refleje el esfuerzo de la
simulación.
A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presenta importantes desventajas, éstas
son:
• Falla al producir resultados exactos. S supone que un sistema ésta compuesto de uno o mas elementos
que están sujetos a un comportamiento al azar. Cuando una simulación es desarrollada con un modelo
del sistema, los valores de cada variable son registrados y los promedios de estos valores son dados en
una postsimulación. Pero el promedio en una muestra de observación solo a veces provee un estimado
de lo esperado, es decir, una simulación solo provee estimados, no resultados exactos.
• Fallas al optimizar. La simulación es usada para contestar preguntas del tipo Qué pasa si?, pero no de,
¿que es lo mejor?. En este sentido, la simulación no es una técnica de optimización. La simulación no
generará soluciones, solo evalúa esas que han sido propuestas.
• Largo tiempo de conducción. Un estudio de simulación no puede ser conducido o llevado a cabo en
solo un fin de semana. Meses de esfuerzo pueden ser requeridos para reunir información, construir,
verificar y validar modelos, diseñar experimentos y evaluar e interpretar los resultados.
• Costos para proveer capacidad de simulación. El establecimiento y mantenimiento de capacidad de
simulación, envuelve tener mejor personal, software, hardware, entrenamiento y otro tipo de costos.
• Abuso de simulación. Hay muchas facetas para un balanceo y comprensivo estudio de la simulación.
Ya que una persona debe tener conocimiento de una gran variedad de áreas antes de llegar a ser un
practicante de la simulación. Este hecho es algunas veces ignorado, sin embargo como resultado, cada
estudio puede incorrectamente ser desarrollado, o podría estar incompleto, o podría caer en otro tipo
de caminos, quizá resultado de una falla del esfuerzo de la simulación.
En conclusión la simulación ofrece poderosas ventajas pero sufre de mayores desventajas también.
Afortunadamente muchas de estas desventajas están disminuyendo en importancia en el tiempo, gracias a las
herramientas que emplean simulación. metodologias, desarrollo de computadoras y de software y decrementos
en los costos de los mismos.
Como nosotros hemos visto la simulación tiene una categoría extremadamente buena, aun ahora en medio de
tantas alternativas y su méritos podrían continuar a través del tiempo.
METODOLOGIA DEL PROCESO DE SIMULACIÓN.
PLANIFICAR UN PROCESO DE SIMULACIÓN REQUIERE DE LOS SIGUIENTES PASOS:
A) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.
B) RECOLLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN REQUERIDA.
C) FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO.
D) EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA INFORMACIÓN
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PROCESADA.
E) FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.
F) VALIDACIÓN DEL PROGRAMA DE COMPUTADORA.
G) DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN.
H) ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN.
A continuación se resumen las principales características asociadas a cada paso.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Generalmente un problema se presenta por síntomas, no por el diagnostico. Por lo que antes de generar
soluciones en un sistema, se deben buscar el mayor numero de síntomas.
Según Acoff y Sasieni, las condiciones para que exista el mas simple de los problemas son:
• Debe existir por lo menos un individuo que se encuentra dentro de un marco de referencia, el cual se puede
atribuir el problema del sistema.
• El individuo debe tener por lo menos un par de alternativas para resolver su problema, en caso contrario no
existe tal problema.
• Deben de existir por lo menos, un par de soluciones, una de las cuales debe tener mayor aceptación que la
otra en el individuo. En caso contrario, no existe el problema. Esta preferencia esta asociada a un cierto
objetivo dentro del marco de referencia en donde se encuentra el individuo del sistema.
• La selección de cualquiera de las soluciones debe repercutir de manera diferente en los objetivos del
sistema, es decir existe una eficiencia y/o efectividad asociada con cada solución. Estas eficiencias y/o
efectividades deben ser diferentes, puesto que de lo contrario no existe problema.
• Por ultimo le individuo que toma las decisiones ignora las soluciones y/o eficiencia y/o efectividades
asociadas con las soluciones del problema.
Si las cinco condiciones anteriores existen, entonces se tiene un problema. Esta situación puede complicarse
en los siguientes casos:
• El problema recae en un grupo, no en un individuo.
• El marco de referencia donde se encuentra el grupo, cambia en forma dinámica.
• El numero de alternativas que el grupo puede escoger es bastante grande, pero finito.
• El grupo dentro del sistema puede tener objetivos múltiples. Peor aun, no necesariamente estos objetivos
son consistentes entre si.
• Las alternativas que selecciona el grupo son ejecutadas por otro grupo ajeno, al cual no se le puede
considerar como elemento independiente del sistema.
• Los efectos de la decisión del grupo pueden sentirse por elementos que aun siendo ajenos al sistema
considerando, influyen directa o indirectamente, favorable o desfavorablemente hacia el (político,
consumidor, etc.).
Para formular un problema se necesita la siguiente información:
• ¿Existe un problema?.
• ¿De quien es el problema?.
• ¿Cual es el marco de referencia del sistema donde se encuentra el problema?
• ¿Quien o quienes toman las decisiones?
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• ¿Cuales son sus objetivos?.
• Cuales son los componentes controlables del sistema y cuales no lo son?.
• ¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema?.
• ¿Como se emplearan los resultados del proyecto? ¿Por quien? ¿que efectos tendrá?
• ¿Las soluciones tendrán efecto a corto o largo plazo?
• ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?
• ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones del proyecto? ¿En qué grado?
FORMULAR UN PROBLEMA REQUIERE:
• Identificar las componentes controlables de un sistema.
• Identificar posibles rutas de acción dadas por las componentes, controlables.
• Definir el marco de referencia, dado por las componentes no controlables
• Definir los objetivos que se persiguen y clasificarlos por su orden de importancia.
Identificar las relaciones importantes entre las diferentes componentes del sistema, este paso equivale a
encontrar las restricciones que existen, a la vez que permite más adelante representar estas interrelaciones en
forma matemática.
La identificación de la estructura del sistema (componentes, canales, interrelaciones, etc.), se hace a través de
un proceso sistemático, que se conoce como diseño de sistemas.
El diseño de sistemas se lleva a cabo de la siguiente manera:
• Se ubica al sistema considerando dentro de sistemas más grandes.
• Se determinan las componentes del sistema.
• Se determinan los canales de comunicación entre las componentes del sistema y de este hacia los elementos
de otros sistemas que van a tener influencia directa o indirecta.
• Se determinan de que manera se tiene acceso a la información requerida como se procesa esta y como se
transmite entre las diferentes componentes del sistema.
RECOLECCION Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN.
1.− Mediante algún método de recolección se necesita capturar los siguientes datos.
− Número de llegadas por unidad de tiempo a diferente horarios.
− Tiempos entre llegadas en diferentes horarios.
− Operaciones que se realizan en el banco.
− Frecuencia de los servicios requeridos por el usuario.
− Comportamiento del usuario en las líneas de espera.
2.− Procesar la información capturada, en forma de tablas, gráficas, etc. a través de algún
paquete computacional.
Recolección y procesamiento de la información.
RECOLECCIÓN: Es el proceso de capturar los datos disponibles que se requieren para la simulación del
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comportamiento del sistema.
PROCESAMIENTO: Se comprenden las actividades requeridas para transformar los datos en información.
Por ejemplo, un directorio telefónico es un banco de datos: mi dirección y teléfono es información que
procede de ese banco de datos el hecho de que estos datos estén arreglados en cierta forma (procesados y
forma alfabética), permite el acceso a la información deseada de una manera sencilla.
La formulación es necesaria para poder simular un sistema.
La información debe ser: oportuna relevante y confiable.
FUENTES PARA GENERAR INFORMACIÓN
1.− Las series históricas o de tiempo: son datos útiles y de rápido procesamiento para convertirlos en
información.
2.− La opinión de expertos: Es información subjetiva, carente de detalle y de utilidad mínima, económica y
rápida de obtener cierto tipo de información complementaria.
3.− Los estudios de campo: son el método mas efectivo, aunque más costoso y tardado, de obtener
información requerida. Se requiere el diseño de una muestra estadística representativa del universo bajo
estudio; de un cuestionario que asegure la relevancia y confiablilidad de un cuestionario y que asegure la
relevancia y confiabilidad de los mismos y de personal entrenado que aplique la encuesta. La información
capturada se mete a la computadora a través de algún paquete y se edita.
FORMULACIÓN DEL MODELO.
• Representar el sistema mediante un esquema en el que se visualice en cada modula con sus componentes,
atributos, actividades endógenas y exógenas y las relaciones entre estas. El conjunto de todos estos módulos
es el sistema.
• Caracterizar matemáticamente las relaciones quien gobierna la interacción de las componentes del sistema
y de las actividades endógenas y exógenas.
Es mas fácil construir una expresión matemática de las componentes y actividades del bloque de que todo el
sistema. Sin embargo a una escala, la modelación puede ser muy difícil o, en ciertos casos imposible.
El sistema como un todo se modela matemáticamente de acuerdo a la interconexión de los bloques.
Por ejemplo si un sistema esta formada por una sola unidad de servicio y una línea de espera, una expresión
matemática para determinar el tiempo promedio que los clientes están en el sistema:
TSISTEMA = TCOLA + TSERVICIO
FORMULACIÓN DEL MODELO
Al modelar el sistema banco se caracterizan por expresiones matemáticamente las relaciones que gobiernan
las interacciones de los módulos con cada uno de sus componentes, atributos, actividades endógenas y
exógenas.
A
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B
C
D
E
F
Se considera que el sistema banco esta formado por el modulo siguiente:
MODULO 1: Formado por las 6 cajas.
COMPONENTES:
CAJAS A, B, C, D, E, F.
LINEAS DE ESPERA
ATRIBUTOS:
CAJAS: Tipo de operación que realizan, monto de dinero recaudado, clientes atendidos en cada actividad;
tiempo de servicio para cada actividad.
LINEA DE ESPERA: Tiempo promedio que un cliente esta en cola, número promedio de cliente en cada cola.
ACTIVIDADES EXÓGENAS: Todas las actividades económicas que originan que los usuarios lleguen al
banco.
ACTIVIDADES ENDÓGENAS: Son cinco las actividades que se van a realizar en el banco.
• Ahorro
• Deposito
• Cambio de cheques
• cambio de dinero
• pago de servicios
estas actividades pueden hacerse en algunas o varias cajas.
El 10% realizan ahorro, de este 10% el 40% solo realizan ahorro en la caja a el 60% además van a depositar
en las cajas B a F.
El 20% realizan la operación de deposito en las cajas B a F
El 40% realizaba la operación de deposito en las cajas B a F
45% cheques < 1000 cajas B y E
35% cheques 1001 a 5000 cajas C y D
20% cheques > 5000 caja F
12
El 20% realizan la operación cambio de dinero en las cajas de la B a F.
El 10% realizan la operación pago de servicios en las cajas B y E.
EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA INFORMACIÓN PROCESADA
Se necesita averiguar el tipo de distribución probabilística que gobierna a la información.
Para ello se requiere la realización de una serie de prueba estadísticas, para analizar si existen diferentes
significativas entre la distribución empírica observada (histograma de los datos capturados) y la distribución
teórica supuesta de no existir diferencias significativas, se utiliza la distribución teórica que generalmente ya
viene tabulada. De lo contrario, el comportamiento del sistema debe hacerse en base a la distribución empírica
observada, lo cual acarrea cierta complejidad.
Las diferentes pruebas auxiliares para analizar estas diferencias estadísticas son:
• Pruebas referentes a valores medios (diferentes entre medias).
• Pruebas referentes a variaciones (Ji−cuadrada, prueba F).
• Pruebas referentes a conteo de datos (proporciones, tablas de contingencia, bondad de ajuste, pruebas de
corridas e intervalo).
• Pruebas no parametricas (rangos, medianas, corrección, Kolmogorov−Smirnov, etc.).
EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA INFORMACIÓN PROCESADA
¿Como se evalúo que las llegadas de clientes al banco son tipo Poisson o que los tiempos entre llegadas son
de tipo exponencial?
De 9:00 a 10:00 el tiempo promedio es de 15
De 10:00 a 12:00 el tiempo promedio es de 30
De 12:00 a 13:00 el tiempo promedio es de 20
En relación al tiempo de operación y caja a utilizar, como se determino que:
El 10% va a ahorrar en la caja a que de este 10%
El 40% se retira.
El 60% se va a deposito.
El 20% se va a depositar en las cajas B a F.
El 40% va a cambio de cheques que de este 40%.
El 45% son cheques < 1000 y va a las cajas B y F.
Que el 35% son cheques 1001 a 5000 y van a las cajas C y D.
Que el 20% son cheques > 5000 y van a la caja F
El 20% va a cambio de dinero en las cajas B y F.
13
El 10% va apago de servicios y va a las cajas B y F .
Como se concluyo que los tiempos de servicios en las cajas de acuerdo al tipo de operación son:
Ahorro
31
deposito
cambios de cheques
cheque < 1000
cheque 1001 a 5000
cheque> 5000
cambio de dinero
pago de servicios 4'
2'
Para realizar las pruebas estadísticas se sugiere apoyarse en algún software como el statgraphics que es un
paquete estadístico.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿EXISTE UN PROBLEMA?
Recientemente se ha notado la disminución de clientes en el banco.
Posiblemente el trato hacia el cliente no se a el adecuado. O probablemente el cliente tarda mucho esperando
ha ser atendido que ha optado por buscar los servicios de otro banco. Posiblemente haya muchas
interrogaciones en relación a lo que esta ocurriendo actualmente en el banco. Pero de ella, la mas importantes
es la que esta relacionada con el tiempo que permanece el cliente en el banco ¿como es este tiempo? ¿podría
ser disminuido a tal grado que sea atractivo para el cliente y vuelvan a requerir los servicios del banco?
Problema: La cantidad de clientes ha disminuido, necesitamos ser más eficientes y eficaz.
¿De quien es el problema?: De todos los que laboran en el banco pero fundamentalmente del gerente y el
cuerpo directivo.
¿Marco de referencia?: De acuerdo con la experiencia del gerente se supone que el problema se encuentra en
las cajas, específicamente en el tiempo utilizado para que un cajero atienda a un cliente. El problema se
14
encuentra en todo el sistema o específicamente en el subsistema cajas.
¿Quien o quienes toman las decisiones?: El gerente con su cuerpo directivo.
¿Cuales son las componentes controlables del sistema?:
Las cajas: Pueden ponerse cajeros más rápidos y eficientes, aumentando su numero.
Las líneas de espera: Pueden organizarse de tal manera que la espera sea agradable.
Estrategias: A través de personal capacitado se puede orientar al cliente para mandarlo a la caja más
adecuada y rápida. Esto hacia más fluida la espera.
¿Cuales son las componentes no controlables? Los clientes en lo que se refiere a tasa de llegada, a su deseo de
irse cuando ha transcurrido cierto tiempo o existen un numero determinado de clientes delante de el.
¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema? Los recurso del sitema banco son.
*Recursos humanos.
*Recursos financieros.
*Recursos materiales.
Entre estos existe un número muy grande de interrelaciones.
R.H R.F
R.M
En nuestro caso las interrelaciones más importantes son la que se entre los recurso humanos con los clientes.
Que llegan al banco y que por un tiempo determinado forman parte del sistema banco.
Cada caja esta atendida por sistema humano y este atiende a otro ser humano que es un cliente.
Cliente cajero
Aunque se maneje dinero y equipo eléctrico no existen interrelaciones relevantes que sean un objetivo para
este análisis.
Nos interesa la utilización de las cajas atendidas por seres humanos, denominados cajeros.
¿Quienes harán la investigación de lo que esta ocurriendo en el sistema banco? Expertos en investigación de
operaciones, en sistemas y en simulación.
¿Como se emplearan los resultados de la investigación? Para el análisis se determinara:
Número promedio de clientes en cada caja.
El tiempo promedio que un cliente esta en caja.
El promedio que un cliente esta en el sistema.
15
El número promedio en el sistema.
El factor de utilización de cada una de las cajas.
El numero de los clientes que hicieron determinado tipo de servicio.
La posibilidad de que colas en las cajas con un número determinado de clientes.
Determinar los tiempos promedio de atención de los clientes en las cajas.
Los resultados anteriores se emplearan para analizar con que condiciones desde el punto de vista funcional se
encuentra el sistema banco.
¿Por Quien? El grupo de especialistas proporcionara dicha información al gerente y su equipo administrativo
para su análisis y toma de decisiones.
¿Qué efectos tendra? Puede ser que elimines cajas si es que la utilización son muy grandes.
¿Las soluciones tendran efecto a corto o largo plazo? Dada la alta competitividad con otros bancos se sugiere
realizar la simulación del sitema banco para poder tener un análisis que traiga como resultado mejorar el
servicio que dicho banco proporciona. Todo esto a corto plazo.
• ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?: En este caso el efecto de las
soluciones es proporcionar satisfacción en el cliente una parte de la solución sería disminuir el tamaño de
las líneas de espera, agilizar el tiempo de atención de caja a los clientes. Para lograr una mayor satisfacción
se debe permitir decidir hasta que punto pueden crecerse los cambios deseados u en su momento
disminuirse.
• ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones y en que grado?: Los elementos del sistema
que podrían verse afectado son alguna o algunas de las 6 cajas. Existe la posibilidad de que alguna caja
tenga su utilización baja, desaparezca, no así el servicio que proporciona al eliminarse cajas, esto podría
afectar a algún trabajador.
En la formulación del problema existe un proceso dialéctico entre los que tienen el problema y los que van a
construir el modelo. Algunos objetivos o propósitos pueden definirse mediante los siguientes aspectos:
• Preguntas que deben contestarse:
¿Realmente necesita hacerse un análisis del funcionamiento del sistema banco? ¿Podria disminuirse el tiempo
de estancia de un cliente en el sistema banco? ¿Sera necesario instalar equipo electrónico que sirva de apoyo
al cajero para dar un servicio más rápido?, ¿Se necesitan más cajas para el servicio?
• Hipótesis que deben ser verificadas:
La causa de que en el banco haya poca clientela se debe a que los tiempos de servicio en las cajas son muy
lentos originando la acumulación de mucha cola.
Si el cajero cuenta con equipo electrónico como apoyo a sus operaciones la eficiencia se elevaría hasta el
90%.
Un resultado del analisis podria ser que despidieran personal.
La administración del banco podría instalar espejos, sillas, televisiones, la sala para evitar que los llamados
16
aburridos se fueran.
• Efectos que deben estimarse:
¿Como afectaría al sistema banco si e instalara equipo electrónico en cada caja?
¿Como afectaría al sistema banco si se aplica el horario de servicio?
¿Como afectara al sistema banco si se instalan en la localidad otros bancos?
VALIDACIÓN DEL PROGRAMA POR COMPUTADORA
En el caso del sistema banco se tiene lo siguiente.
1.− Cada corrida genera los siguientes resultados.
• Un numero de clientes que se van por aburridos.
• Un número promedio de clientes que se esperan en la cola de cada caja
• Un factor de utilización para cada una de las 6 cajas.
• Una tabla de tiempos de tránsitos o de estancia de los clientes en el sistema.
• Una tabla de los tiempos de estancia en cada una de las colas(cajas).
Si se realiza otra corrida se obtiene a otros resultados diferentes.
¿Cuantas veces se debe correr el programa? Aún cuando en cada corrida los resultados son diferentes
estadísticamente estos pueden ser confiables.
2.− Establecer las hipótesis para cada tipo de resultados, aún cierto nivel de significancia.
Por ejemplo si se hacen 5 simulaciones probar que probabilisticamnete los factores de utilización de cada una
de las cajas son iguales.
AU = UB = UC = UD = UF
AU = UB = UC = UD = UF
AU = UB = UC = UD = UF
AU = UB = UC = UD = UF
AU = UB = UC = UD = UF
3.− Realizar la prueba de hipótesis para afirmar o refutar la hipótesis como statgraphics.
4.− Simultáneamente realizan las pruebas de hipótesis, y se pueden comparar los resultados con algún patrón
de información previamente conocido para tener panorama más amplio y confiable.
5.− Si la hipótesis no fue aceptada entonces se debe revisar exhaustivamente todo el programa las funciones,
procedimientos entradas y salidas de información, hasta encontrar si hay el posible error.
DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN
17
Esta fase se puede hacer simultáneamente con las faces: diseño y validación del programa. Una vez validado
el programa se entra a la fase del diseño de experimentos que se quieren simular, para ello se debe hacer lo
siguiente:
• Definir las variables endógenas y exógenas.
• Definir las estructuras funcionales que las relacionan.
• Elegir las distribuciones adecuadas a los parametros aleatorios.
• Generar los números y variables aleatorias que de acuerdo a estas distribuciones, representan al sistema
baja estudio.
• Realizar pruebas de hipótesis para seleccionar la información necesaria para realizar la simulación.
• Definir las distintas condiciones iniciales y finales de la simulación.
• Realizar un número determinado de simulación.
• Tabule y grafique los resultados para realizar un mejor análisis y validación de la simulación.
DISEÑO DEL EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN DEL SISTEMA BANCO
• ¿Están bien definidas las variables endógenas del sistema?
• ¿Están bien definidas las estructuras funcionales que realizan las variables?
• ¿Se han hecho las pruebas de hipótesis necesarias para afirmar que:
−Las llegadas son de tipo Poisson o que los tiempos son de tipo exponencial
−Que los tipos de servicio que van a requerir el cliente están representados por una
distribución.
−Que las duraciones de los servicios son de tipo uniforme y normal como lo espe−
sifica el enunciado.
• ¿Se tiene bien definido el modelo generador de números aleatorios?
• ¿Se tienen bien definidos los modelos generador de números aleatorios?
En cuanto a las condiciones iniciales y finales se tiene lo siguiente:
CONDICIONES INICIALES
• El banco inicia s su funciones a las 9:00
• Al inicio no hay ningún cliente
CONDICIONES FINALES
• El banco solo pueden darse llegadas hasta las 13:30 horas.
• La simulación termina cuando no haya un solo cliente.
8. ¿Se tienen definidas cuantas simulaciones se van a realizar?
• un solo día es de 9:00 a 13:30.
• solo podrían simular una semana o un mes.
9. Tabular y grafique los resultados obtenidos de cada simulación con el fin de realizar un mejor análisis y
validación de la simulación.
18
ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN
• Recolectar sistemáticamente los datos producidos por la simulación.
• Calcular ciertas estadísticas.
• Interpretar el comportamiento de la información obtenida.
• Validar los resultados de la simulación comparando tanto similitud entre los resultados y las posibles series
historicas que se poseen, como el uso que los decisiones le den a esta herramienta.
La utilización del modelo por parte de los decisores es la validación crucial. De otra forma el modelo se
archiva o se tira a la basura.
ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN
1.− Diseñe una tabla con un formato tal que facilite la visualización de los resultados de cada simulación del
sistema banco
corrida clientes que se van colas en cada caja utilización en cajas
QA, QB, QC, QD, QE, PA, PB, PC, PD, PE,
QF PF
TABLAS DE TIEMPO
2.− Calculo de las estadísticas
promedios, desviaciones estándar porcentajes etc.
3.− Interpretación de los resultados
Hacer comparaciones de los promedios entre una y otra simulación
4.− Comparar estos resultados con algún patrón de información o con la realidad que
desea resolver.
Representaría a los decisiones.
FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.
Esta fase se puede hacer simultáneamente con las fases: validación del programa y el diseño de experimento
los pasos a seguir para formular un programa de computadora son:
• Elaborar un diagrama de flujo que muestre el efecto de las diferentes actividades sobre las componentes
importantes del sistema
• Diseñar la programación en algún lenguaje especial como:GPSS, SIMNET, SIMSCRIPT, GASP,
DYNAMO, etc. ó lenguajes de alto nivel: PASCAL, C.
−condiciones iniciales de la simulación.
−condiciones finales.
19
• Probar el programa hasta eliminar todos los errores lógicos y no lógicos.
• Generar resultados.
b) diseñar un programa:
El programa puede hacerse en lenguajes de alto nivel: C, PASCAL, FORTRAN, BASIC, etc., lenguajes de
simulación: GPSS SIMNET, cualquiera que sea el lenguaje seleccionada en el deben ampliarse
procedimientos funciones o bloques que describan la realización de llegadas servicios y salidas.
SIMULACIÓN
I SIMULACIÓN Y TOMA DE DECICIONES.
I.1 INTRODUCCIÓN
Con el advenimiento de la computadora, una de las más importantes herramientas para realizar el diseño y
operación de sistemas o procesos complejos es la simulación.
Aunque la construcción de modelos arranca desde el Renacimiento, el uso moderno de la palabra simulación
data de 1940, cuando los científicos Von Neuman Y Ulam que trabajaban en el proyecto Monte Carlo, durante
la segunda Guerra Mundial, resolvieron problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental sería
muy cara y el análisis matemático demasiado complicado.
Con la utilización de la computadora en los experimentos de simulación, surgieron incontables aplicaciones y
con ello, una cantidad mayor de problemas teóricos y prácticos. En estas notas, se intenta por consiguiente,
investigar y analizar cierto número de aplicaciones importante de simulación de las áreas economía,
administración de negocios, ingeniería industrial e sistemas computacionales investigación de operaciones, así
como también sugerir algunos métodos alternativos para resolver algunos problemas teóricos y prácticos que
surgen al efectuar simulaciones reales.
I.2 DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN.
Se ha empezado a utilizar la palabra simulación sin haber dado una definición de ella. Por consiguiente, antes
de proseguir con este tema, sería conveniente describir algunas de las definiciones más aceptadas de y
difundidas de la palabra simulación. Tomas H. Naylor (1977), la define así:
Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital, los cuales
requieren ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos que describen el comportamiento de un negocio o
un sistema económico (o algún componente de ellos) en periodos extensos de tiempo real.
La definición anterior está hecha en un sentido muy amplio, pues puede incluir desde una maqueta, hasta un
sofisticado programa de computadora. En sentido más estricto, Masiel y Gnugnoli, definen simulación como:
Simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora digital. Estos
experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemátematicos y lógicos que describen el
comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, industriales, biológicos físicos y químicos a
través de largos períodos de tiempo.
Otros estudiosos del tema como Robert E. Shannon (1988), definen simulación como:
Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y
conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar
20
varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.
Para los que prefieren una definición estrictamente formal, la propuesta por West Churman puede resultar
satisfactoria, ya que admite las ambigüedades e inconsistencias inherentes al uso actual de la palabra y define
la simulación como [Boni, 1963]:
Se dice que x simula a y si y sólo si:
a) x y y son sistemas formales;
b) y se considera como el sistema real;
c) x se toma como una aproximación del sistema real;
d) las reglas de validez en x no están exentas de error.
Las definiciones anteriores no especifican si los sistemas modelados son continuos o discretos. Se desprende
entonces que, existe la simulación de sistemas dinámicos continuos y discretos.
1.3 SIMULACIÓN COMO UNA TECNICA PARA SOLUCIONAR
PROBLEMAS.
Simulación, es una forma de realizar experimentos en la computadora, la cual ayuda a las empresas a realizar
la simulación de un proyecto para ver si valdrá la pena desarrollarlo en la empresa. A continuación listamos
algunos de los aspectos más importantes que se tienen que tomar en cuenta, cuando se desea llevar a cabo un
experimento de simulación, en la toma de decisiones.
• La simulación hace posible estudiar y experimentar con las complejas interacciones que ocurren en el
interior de un sistema dada, ya que sea en una empresa, industria, economía o un subsistema de cualquiera
de ellas.
• A través de la simulación se puede estudiar los efectos de ciertos cambios informativos, de organización y
ambientales, en la operación de un sistema, al hacer alteraciones en su modelo y observar los efectos de
éstas en el comportamiento del problema.
• La observación detallada del sistema que se está simulando, conduce a un mejor entendimiento del mismo y
proporciona sugerencias para mejorarlo.
• La experiencia que se adquiere al diseñar un modelo de simulación en una computadora, puede ser más
valiosa que la simulación en sí misma. El conocimiento que se obtiene al diseñar un estudio de simulación
sugiere, frecuentemente, cambios en el sistema en cuestión. Los efectos de estos cambios pueden probarse,
entonces, a través de la simulación, antes implantarlos en el sistema real.
• La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo conocimiento acerca de cuales
variables son más importantes que otras en el sistema y cómo ellas obran entre sí.
• La simulación puede emplearse para experimentar con situaciones nuevas acerca de las cuales tenemos
poca o ninguna información, con el objeto de estar preparados para alguna eventualidad.
• La simulación puede servir como una prueba de preservicio para ensayar nuevas políticas y reglas de
decisión en la operación de un sistema, antes de tomar el riesgo de experimentar con el sistema real.
• Las simulaciones son valiosas algunas veces, ya que proporcionan una forma conveniente de dividir un
sistema complicado en subsistamos, cualesquiera de los cuales puede ser modelado por un analista o un
equipo de expertos en esta área.
• Para ciertos tipos de problemas estocásticos, la secuencia de los eventos puede ser muy importante, pues La
información acerca de los valores esperados y de los momentos, puede ser suficiente para describir el
proceso. En estos casos los métodos de Monte Carlo pueden constituir la única forma satisfactoria de
21
obtener la información requerida.
• Las simulaciones de Monte Carlo pueden realizarse para verificar soluciones analíticas.
• La simulación permite estudiar los sistemas dinámicos, ya sea en tiempo real, tiempo comprimido o tiempo
expandido.
• Cuando se presentan nuevos componentes de un sistema, la simulación puede emplearse para ayudar a
descubrir los obstáculos y otros problemas que resultan de la operación del sistema.
1.4 ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN.
La mayoría de los autores de libros sobre simulación, opinan que loa pasas necesarios para llevar a cabo un
experimento de simulación son:
• Definición del sistema. Para tener una definición precisa del sistema que se desea simular, es
necesario hacer primeramente un análisis del mismo, con el fin de determinar la interacción del
sistema con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que interactúan dentro del
sistema y sus interrelaciones, las medidas de efectividad que se van a utilizar para definir y estudiar el
sistema y los resultados que se esperan obtener del estudio.
• Formulación del modelo. Una vez que están definidos con exactitud los resultados que se esperan
obtener del estudio, el siguiente paso es definir y construir el modelo con el cual se obtendrán los
resultados deseados. En la formulación del modelo es necesario definir todas las variables que forman
parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa al
modelo.
• Colección de datos. Es posible que la facilidad de obtención de algunos datos o la dificultad de
conseguir otros, pueda influenciar el desarrollo formulación del modelo. Por consiguiente, es muy
importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir
los resultados deseados. Normalmente, la información requerida por un modelo se puede obtener de
registros contables, de órdenes de trabajo, de órdenes de compra, de opiniones de expertos y si no hay
otro remedio por experimentación.
• Implementación del modelo en la computadora. Con el modelo definido, el siguiente paso es decir si
se utiliza algún lenguaje de propósito general, como Fortran, Basic, Pascal, C/C++, Visual Basic,
Visual C++, o Delphi, etc. o software de propósito particular, como GPSS, GPSSH, PROMODEL
SIMFACTORY, SLAM I, y II, MICROMANAGER, etc., para procesarlo en la computadora y
obtener los resultado resultados deseados.
• Validación. Una de las principales etapas de un estudio de simulación es al validación. A través de
esta es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo. Las formas más comunes de validar
un modelo son: − La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación. −La exactitud con que
se predicen datos históricos. −La precisión en la predicción del futuro. − La comprobación de falla del
modelo de la persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento de simulación.
• Experimentación. La experimentación con el modelo se realiza después de que ha sido validado. La
experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar análisis de sensibilidad de los
índices requeridos.
• Interpretación. En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la simulación y
basándose en esto se toma una decisión. La computadora en si no toma la decisión, sino que la
información que proporciona ayuda a tomar mejores decisiones y por consiguiente a sistemáticamente
obtener mejores resultados.
22
• Documentación. Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de
simulación. La primera se refiere a la documentación de tipo técnico, es decir, a la documentación que
el departamento de procesamiento de Datos debe tener del modelo. La segunda se refiere al manual
del usuario, con el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado, a través de una
computadora.
1.5 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES
Si el modelo de simulación es estocástico, la simulación debe ser capaz de generar variables aleatorias no
uniformes de distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas. Lo anterior puede obtenerse si se cuenta con
un generador de números uniformes y una función que transforme estos números en valores de la distribución
de probabilidad deseada. A este respecto, se han desarrollado una gran cantidad de generadores para las
distribuciones más comunes como; la distribución normal, exponencial, Poisson, Erlang, Binomial, Gamma,
Beta, F, t,
2.
1.5.2 LENGUAJE DE PROGRAMACION.
Las primeras etapas de un estudio de simulación se refieren a la definición del sistema a ser modelado y al
descripción del sistema en términos de relaciones lógicas de sus variables y diagramas de flujo. Sin embargo,
llega el momento de describir el modelo en un lenguaje que sea aceptado por la computadora que va utilizar
(PC compatible). En esta etapa se tienen dos curso de acción a seguir si no se tiene nada de software de
simulación, que son:
desarrollar el software requerido, o
Comprar software (lenguaje de programación d propósito especial). Para esta alternativa es necesario analizar
y evaluar varios paquetes de simulación (GPSS, GPSSH, PROMODEL SIMFACTORY, SLAM ,
MICROMANAGER, etc.) antes de tomar la decisión final.
1.5.3 CONDICIONES INICIALES.
La mayoría de los modelos de simulación estocástica se corren con la idea de estudiar al sistema en una
situación de estado estable. Sin embargo, la mayor parte de estos modelos presentan en su etapa inicial
estados transigentes los cuales no son típicos del estado estable. Por consiguiente es necesario establecer
claramente las alternativas o cursos de acción que existen para resolver este problema. Algunos autores
piensan que la forma de atacar este problema sería a través de :
• Usar un tiempo de corrida suficientemente grande de modo que los períodos transientes sean
relativamente insignificantes con respecto a la condición de estado estable.
• Excluir una parte apropiada de la parte inicial de la corrida.
• Utilizar simulación regenerativa.
Basado en la experiencia, de las tres alternativas presentadas, la que presenta menos desventajas es el uso de
simulación regenerativa. Las otras alternativas presentan las desventajas de ser prohibitivamente excesivas en
costo.
1.5.4 TAMAÑO DE LA MUESTRA.
Uno de los factores principales a considerar en un estudio de simulación es el tamaño de la muestra (número
23
de corridas en la computadora). La selección de un tamaño de muestra apropiado que asegure un nivel
deseado de precisión y a la vez minimice el costo de operación del modelo, es un problema algo difícil pero
muy importante. Puesto que la información proporcionada por el experimento de simulación sería la base para
decidir con respecto a la operación del sistema real. Esta información deberá ser tan exacta y precisa como sea
posible o al menos el grado de imprecisión presente en la información proporcionada por el modelo debe ser
conocida. Por consiguiente, es necesario que un análisis estadístico se a realizado para determinar el tamaño
de la muestra requerido.
El tamaño de la muestra puede obtenerse de dos maneras:
• Previa e independientemente de la operación del modelo, o
• Durante la operación del modelo basado en los resultados arrojados por el mismo. Para la última alternativa
se utiliza la técnica estadística de intervalos de confianza.
1.5.5 DISEÑO DE EXPERIMENTOS.
El diseño de experimentos es un tópico cuya relevancia en experimentos en estudios de simulación ha sido
reconocida, pero raramente aplicada. El diseño de experimentos en estudios de simulación puede ser varios
tipos, dependiendo de los propósitos específicos que se hayan planteado. Existen diferentes formas de análisis
que pueden ser utilizados. Entre los más comunes e importantes, se pueden mencionar los siguientes:
• Comparación de las medias y varianzas de las alternativas analizadas.
• Determinación de la importancia y el efecto de diferentes variables en los resultados de la simulación.
• Búsqueda de los valores óptimos de un conjunto de variables.
Para realizar el primer tipo de análisis, al cual se le denomina comúnmente diseño de experimentos de un
factor simple, es necesario tomar muy en cuenta el tamaño de la muestra, las condiciones iniciales y la
presencia o ausencia de autocorrelación. Para el segundo tipo de análisis, existe una gran cantidad de
literatura, puesto que la gran mayoría de los libros de texto de diseño de experimentos, explican o tratan el
tema de análisis de varianza y técnicas de regresión como medios para evaluar la importancia y el efecto de
varias variables en los resultados de operación de un sistema. Para el tercer tipo de análisis, generalmente se
requiere utilizar algoritmos heurísticos de búsqueda como por ejemplo el algoritmo de Hookes y Jeeves.
1.5.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN EL USO DE LA SIMULACIÓN
Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de último recurso, recientemente
avances en las metodologías de simulación y la gran disponibilidad de software que actualmente existe en el
mercado, han hecho posible que la técnica de simulación sea una de las herramientas más ampliamente usadas
en el análisis de sistemas. Además de las razones antes mencionadas, Tomas H. Naylor (1977), ha sugerido
que un estudio de simulación es muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:
• A través de la técnica de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del
sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando los efectos de estas alteraciones
en el comportamiento del sistema.
• Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor
entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la operación y
eficiencia del sistema.
• La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico, para estudiantes al
enseñarles los conocimientos básicos en el análisis teórico, el análisis estadístico, y en la toma de
decisiones.
24
• La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo conocimiento acerca de
cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y cómo ellas obran entre sí.
• La técnica de simulación puede utilizarse para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales
se tiene poca o nula información. A través de esta experimentación se puede anticipar mejor a los
posibles resultados no previstos.
• La técnica de la simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo
conocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y cómo ellas
obran entre sí.
• Se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En algunas ocasiones se puede tener una
buena representación de un sistema (como por ejemplo los juegos de negocios), y entonces a través de
él es posible entrenar y dar experiencia a cierto tipo de personal.
• La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo conocimiento acerca de
cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y cómo ellas entre sí.
• Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede utilizarse para
anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el comportamiento del sistema.
A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presenta el problema de requerir equipo de
computo y recursos humanos, en ocasiones costosas. Además, generalmente se requiere bastante tiempo para
que un modelo de simulación sea desarrollado y perfeccionado. Finalmente, es posible que la alta
administración de una organización no entienda esta técnica y esto crea dificultad en vender la idea.
1.6 EJMPLOS DE USO DE SIMULACIÓN
Existe una gran cantidad de áreas donde la técnica de simulación puede ser aplicada. Algunos ejemplos
podrían ser los siguientes:
Simulación de un sistemas de colas. Con la técnica de simulación es posible estudiar y analizar sistemas de
colas cuya representación matemática sería demasiado complicada de analizar. Ejemplos de estos sistemas
serían aquellos donde es posible la llegada al sistema en grupo, la salida de la cola del sistema, el rehusar
entrar al sistema cuando la cola es excesivamente grande, etc.
Simulación de sistemas de inventarios. A través de simulación se puede analizar más fácilmente sistemas de
inventarios donde todos sus parámetros(tiempo de entrega, demanda, costo de llevar inventario, etc.), son
estocásticos.
Simulación de un proyecto de inversión. Existen en la práctica una gran cantidad de proyectos de inversión
donde la incertidumbre con respecto a los flujos de efectivo que el proyecto genera a las tasas de interés, a las
tasas e inflación, etc., hacen difícil y a veces imposible manejar analíticamente este tipo de problemas. Para
este tipo de situaciones el uso de simulación es ampliamente recomendado.
Simulación de sistemas económicos. La técnica de simulación puede ser utilizada para evaluar el efecto de
cierto tipo de decisiones (devaluación de la moneda, el impuesto al valor agregado, etc.), en las demás
variables macroeconómicas como: producto nacional bruto, balanza comercial, inflación, oferta monetaria,
circulante, etc.
Simulación de estados financieros. La expansión y diversificación de una organización a través de la
adquisición y establecimiento de nuevas empresas, repercuten significativamente en su posición y estructura
25
financiera. Por consiguiente, el uso de simulación permite analizar cuál de las estrategias de crecimiento son
las que llevaran a la organización al logro de sus objetivos y metas de corto, mediano y largo plazo.
Simulación de juegos de azar. Se pueden hacer predicciones sobre los resultados de un juego en particular,
por ejemplo mélate, tris, etc. donde las variables involucradas son estocásticas.
II MODELACIÓN
2.1 INTRODUCCIÓN.
La ciencia trata de explicar los fenómenos; con tal fin elabora leyes. Pero siendo la tarea del científico difícil,
con frecuencia se enfrenta a problemas muy complejos, y para explicar aquellos datos inobservables que
descubre necesita emplear términos teóricos. De esta manera, combinando y coordinando de forma adecuada
un grupo de leyes y hechos, mediante construcciones lógicas, se obtienen las teorías.
Como en la teoría de entidades no observables, que son los contenidos de los términos teóricos, el nivel de los
hechos queda abandonado. Así pues, las teorías funcionan como explicaciones muy generales y amplias, de
las cuales las leyes son aspectos particulares.
Nos planteamos entonces la siguiente pregunta: ¿de que manera están relacionadas las teorías, con sus
términos teóricos y con los hechos? ¿Cómo volvemos al nivel fáctico (o de hechos)?
Encontraremos la respuesta cuando comprendamos qué es un modelo científico y cuál es su función en la
ciencia.
2.2 LA NOCIÓN DE MODELO
El término modelo abarca varios significados; el primero de ellos al que nos referiremos es el de :
• Representación. Por ejemplo, la maqueta de un edificio es un modelo porque lo representa. Aunque no
vemos el edificio, gracias al modelo comprendemos cómo será.
Otro ejemplo:
Un mapa es un modelo porque representa una zona determinada con los caminos, ríos y montañas que existen
realmente en esa zona.
• La palabra modelo también se emplea en el sentido de perfección o ideal. Por ejemplo, decimos: Martín es
un estudiante modelo o Lupita es una esposa modelo. Con ello queremos dar a entender que así como es
Martín deberían ser los demás estudiantes; y como Lupita deberían ser todas las esposas.
• Otra significación de la palabra modelo es la de muestra; que se emplea, por ejemplo, cuando en una unidad
habitacional un vendedor nos muestra la casa modelo, también llamada casa muestra; o bien, cuando vamos
a un desfile de modas y vemos los distintos modelos, que son muestras de la producción de un diseñador.
En la ciencia continuamente se hace referencia a los modelos científicos que pueden entenderse abarcando
tres significaciones: representan la teoría, muestran las condiciones ideales en las que se producen un
fenómeno al verificarse una ley o una teoría y por otro lado, constituyen una muestra particular de la
explicación general que da la teoría.
Un ejemplo típico de modelo es el átomo que ilustra la teoría de Bohr, la cual admite la existencia de átomos
en la realidad y los concibe como compuestos por un núcleo (eléctricamente positivo), alrededor del cual
giran en órbitas muy especificas los electrones (con carga negativa), ver figura
26
figura 2.1 Modelo atómico de Bohr.
Este modelo representa la explicación dada por Bohr, nos dice cómo se comportan los átomos en condiciones
ideales; es una muestra particular de todas las explicaciones dadas en términos teóricos y generales.
Algunos autores reúnen estas tres significaciones: representación, ideal y muestra, en una sola: configuración
ideal.
Podemos decir, entonces, que un modelo científico es la configuración ideal que representa de manera
simplificada una teoría.
2.3 DEFINICIÓN DE MODELO
Definición: El modelo es una representación o abstracción de una situación u objetos reales, que muestra las
relaciones (directas e indirectas) y las relaciones de la acción y la reacción en términos de causa efecto. Como
un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea
completo, el modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que están investigándose.
Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muy importante, preparemos el
escenario para un comentario sobre modelación de simulación considerando primero la modelación en
términos generales.
Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuáles son las variables
importantes o pertinentes. El descubrimiento de las variables pertinentes está estrechamente asociado con la
investigación de las estadísticas y la simulación para investigar las relaciones que hay entre las muchas
variables de un modelo.
2.3.1 FUNCIÓN DE LOS MODELOS
El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, es tan general que es difícil
clasificar todas las funciones que satisfagan los modelos. La mayoría de los autores de libros de simulación,
reconocen por lo menos cinco usos comunes:
• Una ayuda para el pensamiento.
• Una ayuda para la comunicación.
• Para entretenimiento e instrucción.
• Una herramienta de predicción.
• Una ayuda para la experimentación.
La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelos pueden ayudarnos a
organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistencias. Por ejemplo, la construcción de un modelo de
representación de una red con el método PERT (evaluación de programas y técnicas de revisión) para un
trabajo de diseño de sistemas complejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si
27
es adecuada, la construcción de modelos obliga a organizar, evaluar y experimentar la validez de
pensamientos.
Como una ayuda para la comunicación, los modelos bien pensados no tienen igual. Una imagen vale más que
mil palabras confirma esta función. Todos los lenguajes verbales tienden a ser ambiguos e imprecisos, cuando
se trata de pensar ideas o descripciones complejas. Los modelos adecuadamente concebidos pueden ayudar a
eliminar esta ambigüedad y proporcionan un modo de comunicación más eficiente y efectivo.
Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas para el entretenimiento e
instrucción. A menudo los modelos son ideales para entrenar a una persona, para que aprenda nuevas
habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antes de que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es
utilizado en ocasiones para enseñar técnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan
para entrenar astronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios para
entrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de modelos de entrenamiento.
Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e históricamente, es la predicción de las
características del comportamiento de la entidad modelada. No es económicamente factible construir un jet
supersónico para determinar sus características de vuelo bajo condiciones extremas, sin embargo, su
comportamiento se puede predecir mediante la simulación Mediante simulación se verificaron las
disposiciones de emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautas
regresar a salvo después de la explosión del tanque de oxigeno. La mayoría de los modelos que se tratan en os
libros de simulación son herramientas de predicción.
Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada en situaciones en que los
experimentos directos serían imprácticos o prohibitivos por su costo.
2.4 CALSIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN
Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus características esenciales, porque
pueden describirse de muchos modos. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones,
propósitos, temas o grado de abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos
básicos: icónico, analógico y simbólico o matemático.
Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de simulación de manera particular, de
diversas formas. Por desgracia, ninguna es completamente satisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un
propósito particular. Algunos de estos esquemas de clasificación son los siguientes:
Estático (de corte seccional) vs. Dinámico (series de tiempo)
Determinístico vs Estocástico.
Discreto vs Continuo.
Icónico o físico vs Analógico vs Simbólico.
Podemos pensar a los modelos de simulación como un espectro continuo, empezando con los modelos exactos
o modelos reales a escala y siguiendo con los modelos matemáticos completamente abstractos (véase la figura
2.1)
Modelos Modelos Modelos Modelos Simulación por Modelos
físicos a escala analógico administrativo computadora matemático
28
Exactitud Abstracción
figura 2.1 principio del espectro de modelación.
2.4.1 MODELOS ICONICOS O FÍSICOS
Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala
distinta. Para expresarlo de otro modo, una representación es un modelo icónico hasta el grado en que sus
propiedades sean las mismas que tiene lo que representa. Los modelos icónicos son muy adecuados para la
descripción de acontecimientos en un momento especifico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es una buena
imagen de una fabrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construid en términos de un
pequeño modelo que funcione, pueden ser demasiado costosas para construir y modificar a fin de estudiar sus
posibles mejoras. Otra característica de un modelo icónico la constituyen sus dimensiones , dos dimensiones
(fotografía, plano y mapa), o tres dimensiones(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmente
modelos escala. Cuando un modelo sobrepasa la tercera dimensión, como ocurre en muchos problemas de
investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo físicamente, y entonces pertenece a otra
categoría de modelos llamados simbólicos o matemáticos.
2.4.2 MODELOS ANALOGICOS
Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan más que los icónicos, porque
pueden mostrar las características del acontecimiento que se estudia. Las curvas de demanda, las curvas de
distribución de frecuencia en las estadísticas y los diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos. A
menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedades
de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en propiedades analógicas, con frecuencia
podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja de los modelos analógico sobre los
icónicos es que ordinariamente puede hacerse que los primeros representen muchos procesos del mismo tipo,
lo que se hace evidente en el flujo de trabajos en procesos y productos terminados de una fabrica. No podría
usarse eficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control de calidad. Un
diagrama de flujo es un modelo analógico muy sencillo y eficaz en esas condiciones.
2.4.3 MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)
Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y
toma la forma de cifras, símbolos y ecuaciones matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que
formamos en nuestra mente y luego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa
comúnmente en la investigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender.
Sus símbolos no sólo son más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escriben más rápidamente.
Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadora, a
través de lenguajes de programación de propósito partículas o general, los cuales trataremos en un capítulo
posterior.
Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio. Las ecuaciones no sólo son
ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negocios incluyen además, declaraciones de ingresos,
tablas de organización de empresas, etc., Otros ejemplos incluyen modelos gráficos y pictóricos. Hay que
tener en cuenta que pueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que los
modelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser tan complicado que la cantidad de trabajo requerida
para construir un modelo simbólico sea demasiado costosa si se relaciona con ganancias posibles. A menudo
es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y esto es especialmente cierto con respecto a los modelos de
simulación, que son modelos analógicos y que se describen con símbolos matemáticos.
2.5 TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS
29
Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los separaremos por categorías, lo
que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin que esta clasificación pretenda estar completa; la
podemos a disposición del lector, para que éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales
entre los modelos.
2.5.1 CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS
Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables ( en
gran parte números), Llamamos a esto un modelo cuantitativo. Se considera que una ecuación matemática es
un modelo de este tipo, porque representa una abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y
variables. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos
algebraicos son ejemplos comunes de los modelos matemáticos.
Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llaman cualitativas. Hay muchos
problemas en los que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos:
técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones
especiales desconocidas, relaciones demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo,
mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de
conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones, análisis de decisiones y simulación se pueden
obtener ciertos valores representativos del sistema bajo análisis.
2.5.2 ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA
Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de
operaciones (I. O.). Para usar esas técnicas se insertan los valores (números) apropiados de un problema
específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta.
Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de diversas disciplinas, y
especialmente las matemáticas, para construir un modelo de ajuste al problema de que se trata. Un ejemplo de
este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995], utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios
métodos estándar de la I. O..
III PLANEACIÓN DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN EN COMPUTADORAS
3.1 INTRODUCCIÓN
La simulación en computadoras es un recurso para dirigir experimentos científicos en las empresas y sistema
económico. Para planear experimentos de simulación, aplicables a los sistemas económicos e industriales,
necesariamente debemos recurrir a técnicas como la estadística matemática, el análisis numérico, la
econometría, la programación en computadora y el diseño de experimentos.
3.2 METODOLOGÍA
La experiencia sugiere que la planeación de experimentos de simulación requiera de un procedimiento que
consta de las etapas siguientes:
Formulación del problema.
Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.
Formulación de un modelo matemático.
30
Estimación de los parámetros de las características operacionales a partir de los datos reales.
Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.
Formulación de un programa para la computadora.
Validación.
Diseño de los experimentos de simulación.
Análisis de los datos se simulación.
Aunque el orden en que se implantan esos nueve pasos permanece abierto a discusión, la figura 3.1 los
muestra bajo una ordenación basada en los resultados de experiencias [Naylor, 1977].
Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamente arbitrario en su naturaleza y la
posibilidad de juzgarlo sólo existe en un plano puramente pragmático.
(1)
FOMULACIÓN DEL PROBLEMA
(2)
RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO
DE DATOS
(3)
FORMULACIÓN DEL MODELO
MATEMATICO
(4)
ESTIMACIÓN DELOS PARAMETROS
MODELO RECHAZADO
EVALUACIÓN DEL (5)
MODELO
MODELO
ACEPTADO (6)
FORMULACIÓN DEL
PROGRAMA PARA LA
31
COMPUTADORA
(7)
VERIFICACIÓN
(8)
DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama de
flujo para la planeación
(9) de experimentos de
simulación
ANALISIS DE DATOS DE
LA SIMULACIÓN
3.2.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra investigación, antes de hacer
cualquier intento encaminado a planear la realización de un experimento en simulación. Encontraremos que la
exposición original del problema varía considerablemente de su versión final, ya que la formulación del
problema es un proceso secuencial que generalmente requiere de una formulación continua y progresiva de
refinamiento de los objetivos de experimento durante sus realización
Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, como también en la mayoría de las
ciencias sociales, toma generalmente la forma ya sea de: (1) preguntas que deben contestarse, (2) hipótesis
que se deben probarse y (3) efectos por estimarse.
3.2.2 RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA
REALIDAD.
Necesitaríamos colectar y procesar una cierta cantidad de datos antes de que exista la posibilidad de definir
algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamente irrelevante que los requerimientos para el
procesamiento de datos procedan la formulación del problema o viceversa; si hemos de dirigir experimentos
de simulación, es importante que ambas funciones se lleven a cabo.
Existen, por o menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de un sistema eficiente para el
procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al realizar los experimentos de simulación.
En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos puedan sugerir hipótesis
de cierta validez. Como tercer punto, los datos también pueden sugerir y mejoras o refinamientos en los
modelos matemáticos. Cuarto; es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar
los parámetros de las características disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y
de estado del sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, serían imposibles probar la validez de
un modelo para la simulación.
La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, con los cuales pueden ser
32
procesados posteriormente, cuando sean necesarios. El proceso de recolección y el almacenamiento de datos
ocurre simultáneamente.
3.2.3 FORMULACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:
i. Especificación de los componentes
ii. Especificación de las variables y los parámetros
iii. Especificación de las relaciones funcionales.
Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de un modelo matemático
reside en saber cuántas variables se deben incluir en el modelo.
La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se refiere a la complejidad de
los mismos. Por lo general, estamos interesados en al formulación de modelos matemáticos que produzcan
descripciones o predicciones, razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y
reduzca a la vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible establecer con
exactitud, la interdependencia de loas características den los modelos matemáticos, ya que tanto él numero de
variables en un modelo, como su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los tiempos de
programación, cómputo y validez. Si alteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el
resto de ellas.
Una tercera consideración en la formulación de modelo matemáticos para simulación en computadora estriba
en el área de la eficiencia de computación, es decir, la complejidad del algiritmo1.
Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de computo requerida para lograr algún objetivo experimental
específico.
El tiempo consumido para la programación de la computadora, constituye una cuarta consideración al
formular modelos para simulación.
3.2.4 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICAS OPERACIONALES A
PARTIR DE LOS DATOS REALES
Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulando varios modelos matemáticos
que describen su comportamiento es necesario estimar sus valores de los parámetros de dichos modelos y
probar su significación estadística.
Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos cae dentro del dominio de la econométria
Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber y Johnston [Naylor, 1977], y
que se comparan sobre la base de sus propiedades estadísticas y de computación, se encuentran:
1.− Métodos de una sola ecuación.
• Mínimos cuadrados ordinarios.
• Mínimos cuadrados indirectos (Generalizados).
• Ecuación única con información limitada.
• Mínimos cuadrados de dos etapas.
33
2.− Métodos de ecuaciones simultáneas.
• Máxima probabilidad con información completa.
• Mínimos cuadrados de tres etapas.
3.2.5 EVALUACIÓN DEL MODELO Y DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS
Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de nuestro modelo, para probarlo. Esto se logra
haciendo una comparación de las mediciones iniciales obtenidas por nuestro modelo de simulación con las
obtenidas de la realidad.
Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un modelo de simulación previa a las corridas
reales en la computadora, por lo que en este punto nuestro interés reside en probar las suposiciones o entradas
que se programarán en la computadora.
En caso de que las características operacionales tomen la forma de distribuciones de probabilidad, será
necesario aplicar pruebas de bondad de ajuste que determinen qué también se ajusta una distribución
hipotética de probabilidad a los datos del mundo real. Deseamos también probar la importancia estadística de
nuestras estimaciones de los valores esperados, variancias y otros parámetros de estas distribuciones de
probabilidad. Estas pruebas podrían comprender:
1.− Prueba d referente a las medidas.
• Prueba de una muestra relativa a las medidas
• Diferencias entre medias
2.− Prueba referentes a las variancias
• ji cuadrada
• Prueba F
3.− Pruebas basadas sobre el conteo de datos.
• Prueba referente a las proporciones
• Diferencias entre K proporciones
• Tablas de contingencia
• Pruebas de bondad de ajuste
4.− Pruebas no paramétricas
• Las pruebas de signo
• Pruebas basadas en suma de rangos
• Pruebas de la mediana
• La prueba U (Tchebychev)
• Pruebas de corridas
• Prueba de correlación en serie
En caso de que las caracteristicas operacionales tomen la forma de los modelos econométricos, requerimos
probar la importancia estadística de cada uno de los parámetros estimados en tales modelos, mediante el uso
de las pruebas estándar t, y F. También desearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las
suposiciones fundamentales de nuestros modelos econométricos; estas podrían comprender las pruebas para:
34
• Errores en las variables
• Colinearidad múltiple
• Heterosedasticidad
• Autocorrelación
• Identificación
De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del procedimiento, se encuentran las
siguientes:
¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen muy poco a nuestra
capacidad para predecir el comportamiento de las variables endógenas de nuestro sistema?
¿omitimos la inclusión de una o más variables exógenas que pudieran afectar el comportamiento de las
variables endógenas en nuestro sistema?
¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variables endógenas y exógenas de
nuestro sistema?
¿Apreciamos debidamente las estimaciones de los parámetros de las caracteristicas operacionales de nuestro
sistema?
¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema con los valores
históricos o reales basados en cálculos manuales? (ya que aún no formulamos un programa para
computadora).
Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos al paso 6: la formulación de
un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasos del 1 al 5 hasta que sea posible responder
satisfactoriamente las preguntas.
• FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA.
La formualción de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación
con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que se considere especialmente las siguientes
actividades:
• Diagrama de flujo
• Lenguaje de computadora
• Compiladores de propósito general
• Lenguajes de simulación de propósitos especiales
• Búsqueda de errores
• Datos de entrada y condiciones iniciales
• Generación de datos
• Reportes de salida
Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requiere la formulación de un
diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos que realizará la computadora, al generar los
tiempos planificados para las variables endógenas de nuestro modelo.
Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como FORTRAN, BASIC,
PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje de simulación como . SIMPAC, DINAMO,
35
PROGRAM SIMULATE, GPSS, o nuevos como GPSSH, SLAM, PROMODEL, SINFACTORY,
MICLROMANAGER, entre otros. Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo
posterior se describirán alguno de estos lenguajes y su aplicación particular.
3.2.7 VALIDACIÓN
Ciertamente, el problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica un sinnúmero de
complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico. La validación de experimentos de
simulación forma parte de un problema mucho más general, es decir, el de la validación de cualquier clase de
modelo o hipótesis. Las preguntas básicas son: ¿Qué significa validar una hipótesis? y ¿Cuáles criterios
deberán utilizarse para establecer la validez de una hipótesis?.
Aún así parece que por lo general sólo dos pruebas se consideran apropiadas para validar los modelos
simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valores simulados de las variables endógenas con los
datos históricos conocidos, si es que estos están disponibles?. En segundo lugar, ¿Qué tan exactas son las
predicciones del comportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros
(de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran variedad de pruebas estadísticas, tanto
como clásicas como recientes.
• DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN
Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora, estaremos en
posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, los experimentos de simulación. De hecho, como
ya hemos definido nuestro problema experimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y
parámetros), deberemos interesarnos ahora por los detalles de diseño experimental.
En esta fase, es posible identificar dos metas importantes: en primer lugar, seleccionaremos los niveles de los
factores y las combinaciones de niveles, así como el orden de experimentos; en seguida y una vez que
seleccionaremos nuestras combinaciones de factores, deberemos esforzarnos por asegurar que los resultados
queden libres de errores fortuitos.
3.2.9 ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOS
La etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la computadora, a partir del
modelo que simular. Tal análisis consiste de tres pasos:
1.− Recolección y procesamiento de los datos simulados.
2.− Cálculo de la estadística de las pruebas.
3.− Interpretación de los resultados.
Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al análisis de los datos del mundo real
(Véanse los pasos 2, 3 y 4 de la figura 3.1) existen algunas diferencias importantes. El análisis de los datos de
simulación en computadora es, según los expertos, considerablemente más difícil que el análisis de los datos
del mundo real.
IV GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS.
4.1 INTRODUCCIÓN.
En el presente capítulo presentaremos los métodos más utilizados, para generar números aleatorios y
36
pseudoaleatorios con computadora. Dejemos el tema de la aplicación, para el capitulo V.
Antes de continuar, es necesario establecer la siguiente terminología. El término variable aleatoria se emplea
para nombrar una función de valor real, definida sobre un espacio muestral asociado con los resultados de un
experimento conceptual, de naturaleza azoroza. El valor numérico resultante de un experimento, de cada una
de las variables aleatorias, se llama número aleatorio. Se utilizan letras mayúsculas para denotar las variables
aleatorias y minúsculas, para denotar valores de éstas variables aleatorias y minúsculas, para denotar valores
de éstas variables, es decir, para los números aleatorios. Por ejemplo, F(x); la función de distribución
acumulada para una variable aleatoria X, indica la probabilidad de que X sea menor o igual al particular valor
x de la función de probabilidad de la variable aleatoria X, cuando X= x.
4.2 TECNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.
Se han venido usando cuatro métodos alternativos para generar las sucesiones de números aleatorios, estos
son:
4.2.1 Métodos manuales
Lanzamiento de monedas
Lanzamiento de dados
Barajas
Dispositivos mecánicos
Dispositivos electrónicos
Ventajas: Son aleatorios
Desventajas: No reproducibles
4.2.2 TABLAS DE BIBLIOTECA.
Son números aleatorios que se han publicado; por ejemplo a Millon Random Digits, de la Corporación Rand,
de los cuales podemos encontrar listas de los en los libros de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos
números fueron generados por alguno de los métodos de computación analógica, los cuales mencionados a
continuación.
Ventaja: Provienen de un fenómeno aleatorio y son reproducibles.
Desventaja: No se obtiene en tiempo real.
• MÉTODOS DE COMPUTACIÓN ANALÓGICA
Los métodos de computación analógica dependen de ciertos procesos físicos aleatorios (por ejemplo, el
comportamiento de una corriente eléctrica), por lo que se considera que conducen verdaderos números
aleatorios.
Ventaja: Aleatorios.
Desventaja: No reproducible.
37
4.2.4 MÉTODOS DE COMPUTACIÓN DIGITAL
Se distinguen tres métodos para producir números aleatorio cuando se usa la computación digital
(computadoras), los cuales son:
4.2.4.1 PROVISIÓN EXTERNA.
Consiste en grabar en la memoria de la computadora, las tablas Randa, a fin de tratar estos números como
datos de entrada para un determinado problema.
4.2.4.2 GENERACIÓN POR MEDIO DE PROCESOS FÍSICOS
ALEATORIOS.
Consiste en usar algún aditamento especial de la computadora, para registra los resultados de algún proceso
aleatorio y ademas, reduzca estas resultados a sucesiones de dígitos.
4.2.4.3 GENERACIÓN INTERNA POR MEDIO DE UNA RELACIÓN DE RECURRENCIA.
Consiste en generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de rrecurrencia, en las que
necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla, para generar los siguientes valores. Vamos ha
centrar nuestra atención en este último método de computación digital, y los describiremos ampliamente.
Ventaja: Son reproducibles.
Desventaja: Son pseudoaleatorios.
4.2.4.4 CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROS
PSEUDOALEATORIOS
• Uniformemente distribuidos
• Estadísticamente independientes
• Reproducibles
• Sin repetición dentro de una longitud determinada
• METODOS QUE UTILIZAN ECUACUACIONES DE RECURRENCIA PARA GENERAR
NUMEROS PSEUDOALEATORIOS.
Aquí describiremos los métodos de generación de números pseudoaleatorios, usando ecuaciones de
recurrencia.
4.3.1 METODO DE CUADRADOS CENTRALES.
Históricamente, el primer método aritmético para generar números pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados
centrales, en el que cada número de la sucesión se obtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del
número precedente. El modelo matemático que los describe es:
n0 = semilla entera (entero positivo)
ni = dígitos centrales de n2i−1
xi = dígitos centrales de x2i−1 para i = 1, 2, 3,
38
ejemplo: a) enteros
sea:
n0 = 83,
n1 = d. c. (6889) = 88
n2 = d. c. (7744) = 74
n3 = d. c. (5476) = 47
n4 = d. c. (2209) = 20
n5 = d. c. (0400) = 40
n6 = d. c. (1600) = 60
b) FRACCIONARIO(Semilla impar y primo)
n0 = 0.528
n1 = 0.278784 = 0.787
n2 = 0.619369 = 0.193
n3 = 0.037249 = 0.372
n4 = 0.138124 = 0.383
n5 = 0.146689 = 0.466
n6 = 0.217151 = 0.171
n7 = 0.029241 = 0.292
n8 = 0.085264 = 0.852
n9 = 0.725904 = 0.259
n10 = 0.067021 = 0.670
n11 = 0.4489 = 0.489
n12 = 0.239121 = 0.391
n13 = 0.152881 = 0.528 P = 13
n14 = 0.278784 = 0.787
METODOS DE GENERACIÓN DE NUM. PSEUDOALEATORIOS U(0,1).
39
−Métodos congruenciales 69
reglas:
• C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5
• a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos resultados, seleccione a
de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o (a) mod 200 = 21 para una
computadora decimal.
• M debe ser el número entero más grande que la computadora acepte
De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados par un generador congruencial mixto en una
computadora binaria son:
•a=8*c
3
• c = cualquier entero
• r0 = cualquier entero impar (ni)
• m =2b donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora
4.3.2 METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROS
PSEUDOALEATORIOS
Fórmulas generales de congruencias.
MIXTO MULTIPLICATIVO
ni+1 = (ani +c)mod m ni+1 = (a*ni )mod m
Para i = 0, 1, 2, ,m−1, donde a, c, m son enteros positivos. A n0 se le llama semilla inicial.
donde i = 0, 1, 2,,m−1
a, c, n0 < m
h = máximo periodo
Método multiplicativo c =0 Método mixto c
0
BASE 2
h = 2b−2 ; b<2 h = m = 2b ; donde b > 2
m= 2b
40
donde a impar
n0 impar positivo c = impar positivo y n0 entero
positivo
(a,m) =1
;
valida para
si b = 3 poner a = 5.
BASE 10
h = 5 * 10d−2; d>3 h = m 10d; d
3
m = 10d
t= cualquier entero positivo si d = 3, poner a = 101
para d
p = {3,11,13,19,21,27,29,
53,59,61,77,83,91 c= impar positivo y (c,5) = 1
etc} mod 200
n0 impar positivo y (a,5)01 n0 entero positivo
METODO MIXTO BASE 2
Genera tantos números igual al modulo para b> 2
41
METODO MULTIPLICATIVO BASE 10
m>h
mínimo del modulo sería 10,000
p=
residuo 3
p< mod m
(a,5) = 1 significa que a no debe ser múltiplo de 5
METODO MIXTO BASE 10
Se genera un periodo igual al modulo
s= 1, 2, 3,
caso particular
c que no sea múltiplo de 5
c= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 117, 19, .(m−1)
n0 = cualquier entero positivo(m−1)
ejemplo:
h = m = 103 d = 3
a
103/2 + 1 = 32.62
posibles de a s a
2 101 el que más se acerca a 32.62 es 101, a = 101
3 1001
4 10001
d
da
42
3 32.62 3 101
4 101 4 101
5 317.22 más cercano al valor de a. 5 101
6 1001 6 1001
7 3163.27 7 1001
8 10001 8 10001
9 31623.77 9
Cuando d = 3,
= 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque a 32.62 es s = 2 y a = 101
d= 4 a=104/2 + 1 = 102 + 1
d= 5 a=105/2 + 1 = 101
Ejemplo: Base 2 MULTIPLICATIVO
h = 27 b −2 = 7 de donde b= 7 + 2 , b =9
n = 2b−2, b > 2.
M = 2b m = 29 , m = 512.
, t = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
ta
0
15
11
43
2 13
19
3 21
27
4 29
35
n0 = 1, 3, 5, 7, 9, 511, impar menor que m.
(a , m) = 1 primo relativo, divisibles entre 1, máximo común divisor
(5 , 15) = 1 No son primos relativos
(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes que los puedan dividir. Ni+1 = 21ni
mod 512
i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 127
127 + n0 = 128
h = 27 = 128.
NOTA: con estos parámetros genero 128 datos.
4.3.3 Método aditivo de congruencias
con k = 1, 2, 3, 4, 5,
Se presupone k valores iniciales dados, con k un número entero positivo. Si k = 1, la ecuación de recurrencia
genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se comporta como las sucesión que se genera con el
método multiplicativo de congruencias, con el factor
Las propiedades estadísticas de este método tienden a mejorarse cuando k se incremente. Además, este
método genera períodos mayores que el módulo m.
PRUEBAS DE ALEATORIEDAD
3.1 PRUEBA DE LOS PROMEDIOS
Esta prueba es conocida como uniforme o rectangular, el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
uniformemente distribuida están dadas por las siguientes expresiones:
E(x) = 1"0 x dx = ½
44
Var = 1"0 ( x − ½)2 dx = 1/12
/2 1 − /2
Una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada e la siguiente forma
Hipótesis nula Ho : = ½
Hipótesis alternativa H1 : " ½
En seguida, su promedio aritmético es evaluada de acuerdo a la siguiente expresión:
U = N.A.
Se determina el valor estadístico. Si
,
entonces se acepta la hipótesis de los números pseudoaleatorios.
Ejercicio:
Paso 1: Ho : M = 1/2 con = 5%
Ho : M " 1/2
0.828 0.744 0.663 0.169 0.090
0.365 0.151 0.105 0.646 0.198
0.073 0.915 0.245 0.584 0.647
0.414 0.296 0.460 0.237 0.671
45
0.608 0.700 0.353 0.414 0.963
X=
Z0 =
/2= 0 1 − /2=
CONCLUCION:
PRUEBA DE LOS PROMEDIOS
46
/2 /2
MEYER
n <= 30
N > 30
U U(x)
1
1
5.2 PRUEBA DE FRECUENCIA
El estadístico usado en esta prueba es
FOi= frecuencia observada del i−ésimo subintervalo
FEi = frecuencia esperada del i−ésimo subintervalo
N = tamaño de la muestra
n = número de subintervalos
Este estadístico se compara con
la cual representa una variable aleatoria Chi−cuadrada con n−1 grados de libertad y un nivel de significancia
. Si
,
47
entonces se acepta la hipótesis.
Usar pruebas de bondad de ajuste x2
5.3 PRUEBA DE LA DISTANCIA
Los números pseudoaleatorios generados son considerados como dígitos, entonces la prueba consiste en
contar el número de dígitos que aparecen entre ocurrencias sucesivas de un mismo dígito. Por ejemplo, 58245,
ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos 5. La probabilidad de cada uno de los tamaños de hueco se obtiene
con la siguiente expresión:
Como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar probabilidades
para valores de i mayores o iguales a un determinado valor de n. Tal sumatoria se obtiene de acuerdo con la
siguiente expresión:
El estadístico que se usa en estas pruebas se obtiene como :
entonces los números pasan la prueba.
i ni Pi FOi Acum FEi FOi
0 81917 0.1 3 3 13(0.1)=1.3 3
1 78981 0.9 8 11 12(0.9)=1.17 8
2 97982 0.081 1 13 13(0.081)=1.053 1
3 7753 0.729 1 13 13(0.729)=9.477 1
4 72771
5 08160
6 64041
7 72141
8 25223
9 60814
NOTA = Entre los huecos no debe de haber frecuencia de 1 por lo tanto se sube al anterior
48
(3−1.3)2/1.3 = 2.2231
(8−1.17)2 /1.17 = 39.871
(1−1.053)2 /1.053 = 0.00266
(1−9.477)2 /9.477 = 7.5825
" = 496792
x2
Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de huecos, considerando a los números
pseudoaleatorios generados como números reales.
i Pi FOi FEi
0 FO0 "= FOi ()
1 (1−) FO1 "= FOi ()(1−)
2 (1−)2 FO2 "= FOi ()(1−)2
....
49
....
....
i (1−)i FOi "= FOi ()(1−)i
....
....
....
>=n (1−)n FOn "= FOi(1−)n
total 1.0 " FOi "= FOi
0.78961 0.05230 0.10699 0.55877 0.14151
0.76086 0.12079 0.27738 0.65726 0.76269
0.80548 0.82654 0.29453 0.20852 0.42989
0.58518 0.98611 0.34488 0.34358 0.11537
0.89898 0.57880 0.67621 0.05010 0.00121
0.28269 0.73059 0.70119 0.18284 0.49962
0.38618 0.76910 0.68334 0.55170 0.10850
0.79982 0.45679 0.21631 0.87616 0.55742
0.58972 0.33216 0.03185 0.61168 0.09264
0.69623 0.17028 0.05475 0.91512 0.76262
0.29931 0.30831 0.83358 0.51781 0.03272
0.57410 0.26593 0.85903 0.43308 0.35286
0.24000 0.65559 0.38507 0.90829 0.94187
0.93655 0.88809 0.81772 0.36982 0.19904
0.54325 0.62400 0.09133 0.41678 0.33954
0.58244 0.85853 0.88752 0.33729 0.15506
0.23949 0.53559 0.33381 0.49383 0.75103
0.19962 0.65002 0.74579 0.79113 0.63453
50
0.19157 0.40644 0.08128 0.73465 0.22724
0.22287 0.07281 0.64183 0.44267 0.72102
=0.3 =0.7 = " ; 0.4
Pi = (1−)i para i = 0,1,2,3
i Pi FOi FEi
0 0.4 12 40(0.4) = 6.00
1 0.24 12 40(0.4)(0.6) = 9.6
2 0.144 10 40(0.4)(0.6) = 5.76
>=3 0.216 6 40(0.6) = 8.64
total 1.00 "70=40 "FE = 40
5.4 PRUEBAS DE SERIES
Consiste en generar n números pseudoaleatorios de los cuales se forman parejas aleatorias entre Ui y Ui+2 .
En seguida se determina la celda a que pertenece cada pareja ordenada como en la figura.
1
(n−1)/n
(n−2)/n
2/n
1/n
51
1/n 2/n (n−2)/n (n−1)/n 1
Con lo cual se determina al frecuencia observada de cada celda. La frecuencia esperada de cada una de las
celdas se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas por el total de celdas. Finalmente, conocida la
frecuencia observada y esperada de cada celda se obtiene el estadístico:
Prueba de series.
Para probar el grado de aleatoriedad entre Núm. sucesivos se forman parejas de N donde N= números
pseudoaleatorios.
(U1 ,U2), (U2 ,U3), (U3 ,U4), . . . (U8 ,U9), (U9 ,U10)
En seguida, se determina la celda a que pertenece cada pareja.
1 n/n
4/n
3/n
2/n
1/n
0
1/n 2/n 3/n 1 n/n
Con lo cual se determina la frecuencia esperada de cada celda se obtiene:
N= Números 100 FE = N/n
n= Particiones 5
si n = 5 se tiene una matriz de 5x5 = 25 =n
si N = 100 se obtendran 99 parejas. FE = 99/25=
52
NOTA: Cuando la pareja de puntos cae en un vértice se
coloca a la izq. es por la línea y abajo.
Prueba de series:
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.34565 0.02387 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
1− = 0.95 = 1−0.95 = 0.05 /2= 0.05/2 = 0.025
n=4 elige el valor de n.
Núm. de parejas a formar N = 30−1 = 29 parejas
FE = (N−1)/ n2 = (30−1)/ 42 = 1.8125
Paso 1: Ho: ri " independiente
H : ri " dependiente.
Crear un histograma de dos dimensiones con M intervalos, clasificando cada pareja de números consecutivos
(ri, ri+1) dentro de las casillas de dicho histograma de frecuencias. El núm. total de pares ordenados en cada
casilla formara la frecuencia observada: FOi.
Paso 2: Calcular la frecuencia esperada en cada casilla FEi deacuerdo con FEi= num/m de núm. es el numero
total de parejas ordenadas.
Paso 3. Calcular el error C, con la ecuación siguiente:
Paso 4: Si el valor C es menor o igual al estadístico de tablas x2 con m−1 grados de libertad y una
probabilidad de rechazo , entonces aceptamos que estadísticamente los números son independientes.
(0.72484 , 0.48999) 1
(0.48999 , 0.50502) 3 2 1 2
(0.50502 , 0.39528 ) 0.75
53
(0.39528 , 0.36782 )
(0.36782 , 0.90234 ) 1 1 1 3
(0.90234 , 0.71890) 0.5
(0.71890 , 0.61234) 1 3 3 1
(0.61234 , 0.86322) 0.25
(0.86322 , 0.94134) 2 2 2 2
(0.94134 , 0.99872)
(0.99872 , 0.27657) 0 0.25 0.5 0.75 1
(0.27657 , 0.34565)
(0.34565 , 0.02387)
(0.02387 , 0.67347)
(0.67347 , 0.10987)
(0.10987 , 0.25678)
(0.25678 , 0.25593)
(0.25593 , 0.82345)
(0.82345 , 0.12387)
(0.12387 , 0.05389)
(0.05389 , 0.82474)
(0.82474 , 0.59289)
(0.59289 , 0.36782)
(0.36782 , 0.03991)
(0.03991 , 0.10461)
(0.10461 , 0.93716)
(0.93716 , 0.16894)
(0.16894 , 0.98953)
(0.98953 , 0.73231)
54
PRUEBAS DE CORRIDA
Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en forma monotonicamente
creciente o decreciente: por ejemplo 03, 23, 57, 92, 99 contienen una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92,
27 contiene (03,99), (223,92), (57) si se utiliza el signo + para identificar que el número que aparece a la
derecha de otro es mayor, o − si es menor, se tiene que:
30, 23, 57, 92, 99 +, +, +, +, +,
mientras que
03, 99, 23, 92, 57 +, −, +, −
Esta prueba se basa en el supuesto que el numero de corridas es una variable aleatoria. Si una secuencia tiene
más de 20 números, el numero de corridas que es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y
varianza conocida.
La prueba se realiza de la siguiente manera:
Paso 1.− Se formula la hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria.
Paso 2.− Se selecciona una muestra de tamaño n (n>20)
Paso 3.− Se definen con los signos +, − las posibles corridas.
Paso 4.− Se define la estadística r como el numero de corridas.
Paso 5.− si n>20 y Ho es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal
55
con media:
Paso 6.− Se acepta ho, a un nivel de riesgo
, si
donde z(*) esta tabulada en la distribución normal.
Ejemplo: Se tiene la siguiente secuencia de números pseudoaleatorios:
10 37 08 99 12 66 31 85 63 73 32 04 68
02 99 74 10 77 32 42 76 64 19 09 80 34
45 02 05 03 13 74 09 70 36 76 82 64 74
64 34 24 23 28 64 36 35 68 90 35
si r = 35
De tablas:
Z(0.68) = 0.7517
Por lo que para el nivel de significancia por ejemplo 10%
56
Se afirma la Hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria.
5.7 PRUEBA DE POKER
Esta prueba examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorio generado. La forma como
esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a al vez y clasificándolos como : Par, dos pares, tercia, póker
quintilla full y todos diferentes. Las probabilidades para cada una de las manos del póker diferentes se
muestran enseguida:
Todos diferentes = 0.3024
Un par = 0.504
Dos pares = 0.108
Tercia = 0.072
Full = 0.009
Quintilla = 0.0001
Con las probabilidades anteriores y con el número de números pseudoaleatorios generados, se puede calcular
la frecuencia esperada de cada posible resultado, la cual al compararse con la frecuencia observada, produce el
estadístico:
Si
. Entonces los números pasan la prueba.
i Pi FO FE
Todos diferentes 0.3024 3 29(0.3024)=8.7696 (8.7696−3)2/8.7696=3.7958
Un par 0.504
Dos pares 0.108
Tercia 0.072
57
Full 0.009
Quintilla 0.0001
55787 dos pares
33333 Quintilla
16543 Todos diferentes
17145 Un par
51575 Tercia
44343 Full
11171 Póker
Ho: Los N. A. son independientes con
Si
se acepta Ho.
5.8 PRUEBAS DE LAS CORRIDAS
5.8.1 Prueba de las corridas arriba y abajo del promedio
En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios es generada. En
seguida, una secuencia binaria es obtenida, en la cual es 0 si Ui es menor a 0.5 y 1 si es mayor. Una vez
obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso e la cantidad de veces que una misma longitud de corridas se
repite (frecuencia observada de la corrida de la longitud i). Una sucesión de i ceros (unos) enmarcada por unos
(ceros) en los extremos, representa una corrida de longitud i. El Número total esperado de corridas y el
número esperado para cada tamaño de corrida se obtienen con las siguientes expresiones:
Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de la distribución Chi−cuadrada y
una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios generados es tomada.
58
Prueba de corridas arriba y abajo del promedio.
0.65 1
0.55 1
0.91 1
0.25 0 i F0i
0.65 1
0.02 0 0
0.41 0 1
0.31 0
0.40 0
0.08 0
0.69 1
0.46 0 Ho: La secuencia de N. A. es aleatoria con M = 0.5
0.80 1 y
0.83 1
0.27 0
i FOi FEi
0 8 9 ( 9−8)2/9= 0.1111
1 7 4.25 (4.25−7)2 = 1.7794
15
59
La secuencia de No. es aleatoria con M= 0.5 y alfa =5%. Se acepta Ho.
5.8.2 Prueba de corridas arriba y abajo.
Se genera una secuencia de números igual que en el inciso anterior y luego se obtienen una secuencia binaria,
en la cual el i−ésimo término es cero si Uii< Ui+1 y 1 al contrario. Una vez obtenida la secuencia binaria, se
sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente y se obtienen la frecuencia observada para cada tamaño
de corrida. El número total esperado para cada tamaño de corrida se obtiene con las siguientes expresiones:
Finalmente, el estadístico Chi−cuadrada se determina de acuerdo a la siguiente expresión:
Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar que el cálculo del estadístico
Chi−cuadrada, la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser igual o mayor a 5.
Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales frecuencias se deben
agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencia esperada de los tamaños de corrida sea al menos 5.
60
Si
entonces los números pasan la prueba.
pruebas de corridas arriba y abajo.
i
1 0.84 1
2 0.53 1
3 0.43 0
4 0.45 1
5 0.74 0 Ho: La sec. De No, es aleatoria con
6 0.66 0
7 0.33 1
8 0.85 0
9 0.37 1 FE20−1= 2/20!
10 0.69 0
11 0.10 1
12 0.76 0
13 0.68 0
14 0.60 1
15 0.97 0
16 0.03 1
17 0.72 0
18 0.17 1
19 0.29 0
20 0.16 1
61
i FOi FEi
0 10 8 ( 8−10)2/8= 0.1111
1 10 8. 9166 (8.9166−10)2 /8.9166=0.1316
10
Se acepta Ho. Los No. son aleatorios.
PRUEBA DE KOLMOGOROV− SMIRNOV
Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una
distribución.
La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la
distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria.
Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tienen una
distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].
Paso 1: se formula la hipótesis nula, Ho. De que los números provienen de una distri−
bución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].
62
Paso 2: Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados
n = 1000. Sea Fn(x), de la siguiente manera.
Paso 3: Calcule la función de distribución acumulada empírica fn(x) de la siguiente
manera.
−Ordene los valores de la secuencia, tal que
para toda i.
−Haga Fn(0)
Paso 4: Evalue la estadística de Kolmogorov−smirnov, de a partir de
Paso 5 Consulte la tabla de limites de aceptación para la prueba de kolmogorov− Smirnov, para un tamaño de
muestra n y un determinado nivel de riesgo alfa, si D es menor o igual a este numero se acepta Ho, de otra
manera se rechaza.
Ejemplo: De una tabla de número aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 Para que su valor
oscile entre 0 y 1.
0.10 0.37 0.08 0.99 0.12 0.66 0.31 0.85 0.63 0.73 0.32
0.04 0.68 0.02 0.99 0.74 0.10 0.77 0.32 0.42 0.76 0.64
0.19 0.09 0.80 0.34 0.45 0.02 0.05 0.03 0.13 0.74 0.09
0.70 0.36 0.76 0.82 0.65 0.74 0.64 0.34 0.24 0.23 0.38
0.64 0.36 0.35 0.68 0.90 0.35
Se desea probar la hipótesis Ho: Provienen de una distribución uniforme en [0,1], a un nivel de significancia
del 90%
Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición
para toda i.
1 0.02
2 0.02
3 0.03
63
4 0.04
5 0.05
6 0.08
7 0.09
8 0.10
9 0.10
10 0.10
11 0.12
12 0.13
13 0.19
14 0.23
15 0.24
16 0.26
17 0.32
18 0.34
19 0.34
20 0.35
21 0.35
22 0.36
23 0.36
24 0.37
25 0.38
26 0.42
27 0.45
28 0.63
29 0.64
64
30 0.64
31 0.64
32 0.65
33 0.66
34 0.68
35 0.68
36 0.70
37 0.70
38 0.73
39 0.74
40 0.74
41 0.74
42 0.76
43 0.80
44 0.82
45 0.85
46 0.90
47 0.94
48 0.97
49 0.99
50 0.99
Paso 3 Se construye Fn(xi) para toda i siendo n = 50/100 = 0.5
Fn(0.00) = 0.00
Fn(0.02) = 0.04
65
Fn(0.0.3) = 0.03
Fn(0.04) = 0.08
Fn(0.05) = 0.10
Fn(0.08) = 0.12
Fn(0.09) = 0.16
Fn(0.10) = 0.20
Fn(0.12) = 0.22
Fn(0.13) = 0.24
Fn(0.19) = 0.26
Fn(0.23) = 0.28
Fn(0.24) = 0.30
Fn(0.31) = 0.32
Fn(0.32) = 0.34
Fn(0.34) = 0.38
Fn(0.35) = 0.42
Fn(0.36) = 0.43
Fn(0.37) = 0.48
Fn(0.38) = 0.50
Fn(0.42) = 0.52
Fn(0.45) = 0.54
Fn(0.63) = 0.56
Fn(0.64) = 0.62
Fn(0.65) = 0.64
Fn(0.66) = 0.66
Fn(0.68) = 0.70
Fn(0.70) = 0.74
66
Fn(0.73) = 0.76
Fn(0.74) = 0.82
Fn(0.77) = 0.84
Fn(0.80) = 0.86
Fn(0.82) = 0.88
Fn(0.85) = 0.90
Fn(0.90) = 0.92
Fn(0.94) = 0.96
Fn(0.97) = 0.98
Fn(0.99) = 0.100
Paso 4: D = MAX [Fn(xi)−xi]
D = [0.00 − 0.00] = 0
[0.04 − 0.02] = 0.02
[0.06 − 0.03] = 0.03
[0.08 − 0.04] = 0.04
D = 0.12; Que ocurre para Fn(0.38)
Paso 5: Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene de la tabla, un valor de
0.170 como D < 0.170 se acepta Ho: Los 50 números si provienen de una distribución uniforme en el
intervalo [0,1].
UNIDAD I I I
Generación de variables aleatorias
Funciones de probabilidad
Definición: sea f(x) una función de variable real continua o discreta. F(x) es una función de probabilidad, si
satisface las condiciones siguientes:
1)
2)
67
Función acumulada
definición: Sea f(x) una función de probabilidad continua o discreta. Se define la función acumulada de f(x)
denotada F(x) como:
a)
Metodo de la transformada inversa
Si f(x) es una función de probabilidad continua o discreta y F()x es su función acumulada, entonces podemos
obtener la variable aleatoria x con distribución f(x) haciendo r = F(x); r"(0,1), despues despejamos x como x=
F−1(r); ri "(0,1) pseudoaleatorio uniforme, i = 0,1,2,3,4, . . . ,h−1
Metodo de rechazos
Si f(x) es una función de variable aleatoria continua o discreta, acotada y definida para
y finitos, entonces se puede aplicar la técnica de rechazos para generar valores de la variable aleatoria x por
los 4 pasos siguientes:
68
1.− Escalar f(x) multi`licándola por una constante positiva c tal que cf(x )<= 1; c= 1/m;
2.− Obtener x a través de la realción lineal x = a + (b−a)r; r " (0,1)
3.− Generar parejas de números pseudoaleatorios (ri,ri+1)[ (r1,r2) (r2,r3) (r3,r4), . . . , (rh−2,rh−1)]
4.− Investigar si ri+1 <= cf(xi), si es así, se acepta xi si no se rechaza.
i ni ri xi = a+(b−a)ri cf(xi) ¿ri+1<= cf(xi) ?
0 n0 r0 x0 cf(x0) 0 ó 1
1 n1 r1 x1 cf(x1) 0 ó 1
2 n2 r2 x2 cf(x2) 0 ó 1
......
......
......
n−1 nh−1 rh−1 xh−1 cf(xh−1) último se compara con r0
n nh=0 r0 −−−−− −−−−−−− −−−−−
a=−1
b= 1
c=/2
0 < r <1
69
0 > r >−1
1>1−r > 0
0<1−r<1
0<R<1
Distribución de Poisson
Sea t una variable aleatoria discreta, con distribución de Poisson con media .
La función inversa se obtiene formando productos de variables leatorias uniformemente distribuidos en [0,1],
denotados ri, hasta que este producto sea menor que e, es decir, hasta que se satisfaga la desigualdad:
Al cumplirse esta desigualdad se encuentra el valor de t (la vaiable aleatoria con distribición de Poisson) con
media .
Distribución lognormal.
Sea t una variable aleatoria positiva con distribución lognormal.
Entonces:
x = log t
70
La función inversa se obtiene de :
recomendandose que n>=12
Distribución Geometrica.
Sea t una variable aleatoria con función de densidad geometrica f(t)= pqt t= 0,1,2,3,....
con q = 1− p 0 <= p <= 1
La función de distribución es:
donde r es un número aleatorio con distribución uniforme en [0,1].
Nota: Esta función t debe redondearse al entero inmediato inferior.
Distribución uniforme en el intervalo cerrado [a,b]
Sea t una variable aleatoria distribuida exponencialmente, con media 1 / ; su función de densidad es:
donde r es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1].
71
Distribución Erlang
Sea t una variable aleatoria con distribución de Erlang con media R/ y varianza R/, es decir, con densidad
La función inversa es:
donde r1,r2,...rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,1].
Distribución Normal
Sea t una variable aleatoria con distribución normal con media M y varianza
su densidad es:
Entonces si M=0 y =1 la función inversa es aproximadamente: igual a:
donde r1,r2,...rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1].
72
Es recomendanle que n>=10. Si se quiere una variable aleatoria con distribución normal con una media y
varianza cualquiera, la formula anterior se convierte en:
Distribución ji−cuadrada
Sea t uan variable aleatoria con distribución ji−cuadrada con n grados de libertad y densidad dada por;
si n es un numero par , la función inversa es:
mientras que si n es non, la función inversa es la suma de n variables aleatorias cuadradas, cada una de ellas
con distribución normal, M=0 y =1
donde cada ri se obtiene de :
Distribución binomial negativa (o de pascal)
Sea t una variable aleatoria con función de densidad binomial negativa
73
donde r1,r2,...rR son R variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1].
Distribución Binomial
Sea t una variable aleatoria t con distribución binomial se genera de la suma de n varibles (no aleatorias) xi
i=1,... tal que cada vez que se obtiene una variable aleatoria ri, i=1,2,3...n con distribución uniforme en [0,1]
se realiza de la siguiente transformación:
Distribución empirica
Variables aleatorias con cualquier distribución empiríca discreta o continua que pueda aproximarse por una
distribución discreta, pueden generarse para el siguiente metodo:
Si t es una variable aleatoria r con distribución uniforme en [0,1] que cumpla con la siguiente desigualdad. Si
t=bi con probabilidad
Números Aleatorios con distribuciones diferentes a la uniforme.
Para cada variable aleatoria x con distribución cualquiera F(x), existe una variable aleatoria r, unica,
distribuida uniformente, tal que: F(x)= r.
r es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución cualquiera F(*) tenga un valor menor a
x.
74
Cuando es posible encontrar la función inversa F−1(r)=x, se pueden generar variables aleatorias con
distribución F(*), a partir de variables aleatorias r, distribuidas uniformente en el intervalo cerrado [0,1].
89
75