Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
FACULTAD DE INGENIERIAS
ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA AUTOMOTRIZ
ELECTRONICA II
Practica II
Tema: Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND
PROFESOR:
REALIZADO POR:
CURSO:
Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND
1) Objetivos:
• Utilizar los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones lógicas.
• Implementar el circuito base, el circuito simplificado y el circuito solo con NAND comprobando así
que los tres son equivalentes.
2) Materiales:
• 4 resistencias 1k ½ w
• 4 Diodos LED (ILED=15mA)
• Transistor NPN 2N3904
• 1 Deep switch
• Compuertas lógicas: NOT, OR, AND, y NAND
• Cable para circuitos, pinza, corta frío.
• Fuente de 5Vcc
3) Marco Teórico:
Teoremas Boléanos:
Son un conjunto de reglas que nos pueden ayudar a simplificar las expresiones y los circuitos lógicos.
A continuación se muestran dichos teoremas.
En el teorema (1) se enuncia que si cualquier variable se opera con AND y con un 0 el resu1táo debe ser 0.
Esto es fácil de recordar porque la operación AND es igual que la multiplicación común, en donde cualquier
número que se multiplica por 0 es 0. Asimismo, se sabe que la salida de una compuerta AND será 0 siempre
que cualquier salida sea 0, sin importar el nivel de la otra entrada.
1
El teorema (2) también es obvio en comparación con la multiplicación común.
El teorema (3) puede ser demostrado ensayando cada caso. Si x=0, entonces 0.0 = 0; si x = 1, entonces 1.1 =
1. Por lo tanto, x . x = x.
El teorema (4) se puede demostrar en la misma forma. Sin embargo, también se puede razonar que en
cualquier momento x o su inversoøx tiene que estar en el nivel 0 y por ende su producto AND siempre debe
ser 0.
El teorema (5) es directo, ya que 0 sumado a cualquier número no afecta su valor, ya sea en la suma regular ó
en una suma OR.
El teorema (6) estipula que si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Si
verificamos esto para ambos valores de x; 0 + 1 = 1 y 1 + 1=1. De manera equivalente se puede recordar que
la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, independientemente del valor de la otra
entrada.
El teorema (7) se puede demostrar verificando ambos valores de x; 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 1.
El teorema (8) se puede demostrar de forma similar, o simplemente podemos razonar que en cualquier
momento x oøx debe estar en el nivel 1, de manera que siempre se opere con OR un 0 y un 1, lo cual da como
resultado 1.
Teoremas con variables múltiples.
Los teoremas que se presentan a continuación implican más de una variable.
Los teoremas (9) y (10) se llaman leyes conmutativas. Estas leyes indican que no importa el orden en que se
operen dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo.
9) x + y = y + x
10) x . y = y . x
Los teoremas (11) y (12) son las leyes asociativas, las cuales afirman que se pueden agrupar las variables en
una expresión AND o en una OR en cualquier forma que se desee.
11) x + (y + z) = (x + y) +z = x + y + z
12) x(yz) = (xy)z = xyz
El teorema (13) es la ley distributiva, la cual estipula que una expresión se puede desarrollar multiplicando
término por término, como en el álgebra común.
13a) x(y + z) = xy + xz
2
13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz
Los teoremas anteriores son simple de entender pues obedecen al algebra común a diferencia de los que se
muestran a continuación:
14) x + xy = x
15a) x +øxy = x + y
15b) øx + xy =øx + y
Teoremas de DeMorgan
Estos teoremas son de gran utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma
de variables. Los teoremas son:
16) )
17) )
Implicaciones del teorema de DeMorgan.
Considerando el teorema 16
)
El lado izquierdo de la ecuación se puede tomar como la salida de una compuerta NOR cuyas entradas son x y
. Por otra parte, el lado derecho de la ecuación es el resultado de primero invertir x y y luego pasarlas a
través de una compuerta AND. Estas representaciones son equivalentes como se ilustra en las figuras.
Ahora consideramos el teorema 17
)
El lado izquierdo de la ecuación se puede implementar con una compuerta NAND con entradas x y . El lado
derecho de la ecuación se puede llevar a cabo invirtiendo primero las entradas x y , y luego pasándolas a
través de una compuerta OR, estas representaciones son equivalentes y se muestran a continuación:
Universalidad de las compuertas NAND y NOR.
Estas compuertas se dicen que son "universales" puesto que con cada una de las dos familias podemos realizar
todas las funciones lógicas.
En la tabla a continuación se muestran los operadores lógicos en función de solo compuertas NOR y solo
compuertas NAND.
3
Representaciones alternas de compuertas lógicas.
Se han introducido las cinco compuertas lógicas básicas (ANO, OR, INVERSOR, NAND y NOR) y los
símbolos lógicos estándar que se usan para representarlas en diagramas de circuitos lógicos.
4
En el lado izquierdo de la ilustración se muestra el símbolo estándar para cada compuerta lógica y en el lado
derecho, el símbolo alterno, El símbolo alterno para cada una, puerta se obtiene a partir del símbolo estándar
llevando a cabo lo siguiente:
1. Se invierte cada entrada y salida del símbolo estándar. Esto se hace agregando burbujas (círculos pequeños)
en las líneas de entrada y salida que no tengan burbujas, y se remueven las que se encuentren allí.
2. Se cambia el símbolo de la operación de AND a OR, o de OR a NAND). (En el caso especial del
INVERSOR, el símbolo de la operación no se cambia.)
Se deben destacar varios puntos con respecto a las equivalencias de los símbolos lógicos:
1. Las equivalencias se pueden extender a compuertas con cualquier número de entradas.
2. Ninguno de los símbolos estándar tiene burbujas en sus entradas, pero sí todos los símbolos alternos.
3. Los símbolos estándar y alternos para cada compuerta representan al mismo circuito físico: no hay
diferencia en los circuitos que representan los dos símbolos,
4. Las compuertas NAND y NOR son compuertas de inversión, y por lo tanto, los símbolos estándar y
alternos para cada una tendrán una burbuja, ya sea en la entrada o en la salida. Las compuertas AND y OR son
5
compuertas no inverso− ras, por lo cual los símbolos alternos para cada una tendrán burbujas en las entradas y
en la salida.
4) Procedimiento:
a) Armar el siguiente circuito utilizando solamente compuertas NOT, OR, AND, y comprobar su tabla
de verdad. Utilizar LED en cada ingreso y en la salida para visualizar los estados.
Expresión lógica: x= ABC + AB(AC)
Circuito completo:
Tabla de verdad
Entradas
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Salida
Estado Lógico
0
0
0
0
1
1
0
1
V. Medido
0.27
0.26
0.26
0.27
2.36
2.37
0.26
2.37
Estado del LED
Apagado
Apagado
Apagado
Apagado
Encendido
Encendido
Apagado
Encendido
b) Ahora simplificamos la expresión lógica dada: x = ABC + AB(AC)
x = ABC + AB(A+C)
6
x = ABC + AAB + ABC
x = ABC + AB + ABC
x = ABC + AB(1 + C)
x = ABC + AB
x = A(BC + B)
x = A(B + C)
x = AB + AC
Expresión lógica simplificada (suma de productos): x = AB + AC
Circuito simplificado:
Tabla de verdad.
Entradas
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Salida
Estado Lógico
0
0
0
0
1
1
0
1
V. Medido
0.25
0.24
0.25
0.28
2.56
2.57
0.24
2.57
Estado del LED
Apagado
Apagado
Apagado
Apagado
Encendido
Encendido
Apagado
Encendido
c) pasar la expresión logica simplificada a compuertas NAND e implemente el circuito utilizando solo
ese tipo de compuerta (7400)
Expresión lógica simplificada: x = AB + AC
Proceso algebraico para NAND:
x = AB + AC
x = (AB)(AC)
Expresión lógica solo con NAND: x = (AB)(AC)
Circuito solo NAND:
Tabla de verdad:
Entradas
A
B
C
Salida
Estado Lógico
V. Medido
Estado del LED
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0.24
0.26
0.27
0.26
2.58
2.57
0.25
2.57
Apagado
Apagado
Apagado
Apagado
Encendido
Encendido
Apagado
Encendido
C
0
Salida
Estado Lógico
0
V. Medido
0.24
Estado del LED
Apagado
C
1
Salida
Estado Lógico
0
V. Medido
0.26
Estado del LED
Apagado
d) Diagrama de estados:
Circuito con la expresión original:
Circuito Simplificado
Circuito solo NAND
Simulación del circuito solo con NAND:
Entradas
A
0
Entradas
A
0
Entradas
B
0
B
0
Salida
8
A
0
B
1
Entradas
A
1
Entradas
A
1
Entradas
A
1
B
0
B
1
B
1
C
1
Estado Lógico
0
V. Medido
0.26
Estado del LED
Apagado
C
0
Salida
Estado Lógico
1
V. Medido
2.58
Estado del LED
Encendido
C
0
Salida
Estado Lógico
0
V. Medido
0.25
Estado del LED
Apagado
C
1
Salida
Estado Lógico
1
V. Medido
2.58
Estado del LED
Encendido
5) Conclusiones:
• Utilizamos los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones complejas en mas sencillas
de manejar.
• Comprobamos la equivalencia entre el circuito original y el simplificado.
• Transformamos la expresión simplificada en una expresión para ser implementada solo con NAND.
• Comprobamos la equivalencia entre los tres circuitos, quedando así también demostrada la
universalidad de compuertas NAND.
6) Bibliografía.
• RONALD TOCCI; Sistemas digitales.
• http://buscador.hispavista.es/logica−−algebra−de−boole
• http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html
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