material unidad ii

UNIDAD II
FUNDAMENTOS DEPROBABILIDAD
2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.
principio multiplicativo
Uno de los problemas que se debe de considerar e intentar evaluar es el elemento de la
posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se lleva a cabo un experimento.
En muchos casos debemos de ser capaces de resolver un problema de probabilidad mediante el
conteo del número de puntos en el espacio muestral sin listar realmente cada elemento. El
principio fundamental del conteo a menudo denominado Regla de multiplicación se establece
como sigue: Teorema 1
“Si una operación se puede llevar a cabo de 𝒏𝟏 formas, y si para cada una de estas se puede
realizar una segunda operación en 𝒏𝟐 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar
de 𝒏𝟏 𝒏𝟐 formas”
Ejemplo: ¿Cuantos puntos muéstrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par
de dados?
Solucion: El primer dado puede caer en cualquiera de 𝒏𝟏 = 6 maneras. Para cada una de esas 6
maneras el segundo dado también puede caer 𝒏𝟐 = 6 formas. Por lo tanto, el par de dados puede
caer en:
𝒏𝟏 𝒏𝟐 =(6)(6)=36 formas posibles.
El espacio muestral (o también llamado espacio muestra) de un experimento aleatorio es el
conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la
letra griega Ω (omega)
Ejemplo: Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los futuros compradores de una casa la
elección del estilo de la fachada entre Tudor, Rustica, colonial y Tradicional en una planta, dos
pisos y desniveles. ¿En cuántas formas diferentes puede ordenar un comprador una de estas
casas?
Solucion: como 𝒏𝟏 = 𝟒 y 𝒏𝟐 = 𝟑 un comprador debe elegir entre
𝒏𝟏 𝒏𝟐 = (4)(3)=12 casas posibles
La regla de multiplicación del teorema anterior se puede extender para cubrir cualquier número
de operaciones. Suponga, por ejemplo, que un cliente desea instalar un teléfono Trimline y puede
elegir entre 10 colores decorativos, 3 longitudes de cordón y 2 tipos de marcado estas tres
clasificaciones tiene como resultado:
𝒏𝟏 = 𝟏𝟎, 𝒏𝟐 = 𝟑 𝒏𝟑 = 𝟐----------𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟑=(10)(3)(2)=60 formas que un cliente puede ordenar su
teléfono
La regla de multiplicación generalizada que cubre K operaciones se formula como sigue:
Si una operación de puede ejecutar en 𝒏𝟏 formas, y si para cada una de estas se puede llevar a
cabo una segunda operación en 𝒏𝟐 formas, y para cada una de las primeras dos se puede
realizar una tercera operación en 𝒏𝟑 formas, y asi sucesivamente, entonces la serie de k
operacionas de puede realizar en formas 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟑 ……..𝒏𝒌
¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si
podemos seleccionar 4 sopas, 3 tipos de emparedado, 5 postres y 4 bebidas?
Como: 𝒏𝟏 = 𝟒, 𝒏𝟐 = 𝟑 𝒏𝟑 = 𝟓 𝒏𝟒 = 𝟒
4x3x5x4=240
Notacion factorial
Uno de los principales conocimientos que nos servirán como base para el cálculo de las técnicas
de conteo (permutaciones y combinaciones), es el factorial de un número. Su definición y algunos
ejemplos se comentan enseguida.
El producto de cualquier número entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama
FACTORIAL de n y se expresa con el símbolo n!, por lo tanto:
En tu calculadora científica pon 6 y oprime la tecla n! y te arrojará 720, que es el factorial de 6.
Permutaciones
Para pronosticar el triunfador de una elección municipal necesitamos al menos conocer
quiénes son los candidatos de los distintos partidos políticos, así como para pronosticar si la
selección mexicana de fútbol ganará un partido, es necesario saber si en caso de empate el
partido se decidirá en tiempos extras o por medio de penales. En general, NO ES POSIBLE HACER
PREDICCIONES RAZONABLES A MENOS DE QUE CONOZCAMOS LO QUE ES POSIBLE, es decir, es
necesario conocer LO QUE ES POSIBLE antes de juzgar LO QUE ES PROBABLE. Por lo tanto
estudiaremos someramente cómo determinar en algunos casos lo que es posible.
En el estudio de “lo que es posible” hay esencialmente dos tipos de problemas. Existe el problema
de hacer una lista de todo lo que puede suceder en una situación determinada y se tiene el
problema de determinar cuántas cosas diferentes pueden suceder. El segundo tipo de problema
es de especial importancia porque hay muchas situaciones en que no necesitamos una lista
completa y por tanto, podemos ahorrarnos una gran cantidad de trabajo.
Si estamos eligiendo de un conjunto de objetos, algunos de ellos en un orden o jerarquía
determinada estamos haciendo una permutación, esto es, si al seleccionar o acomodar (r)
objetos de un conjunto de (n) objetos distintos, cualquier arreglo (u orden) de estos objetos se
conoce como, una permutación.
En cada arreglo pueden participar parte o la totalidad de los elementos del conjunto.
Permutaciones tomando sólo “parte de los elementos” del conjunto a la vez
“El número de permutaciones de n objetos distintos es n!”
El numero de permutaciones de las cuatro letras a,b,c,d será 4! =24
Consideremos ahora el número de permutaciones que son posibles al tomar solamente dos letras
a la vez de esas cuatro. Estas serian ab,ac,ad,ba,ca,da,bc,cb,bd,db,cd,dc. De nuevo con el uso del
teorema 1, tenemos dos posiciones para llenar con 𝒏𝟏 = 𝟒 elecciones para la primera y después
𝒏𝟐 = 𝟑 elecciones para la segunda para un total de:
𝒏𝟏 𝒏𝟐 =(4)(3)=12 formas Como resultado tenemos el teorema que sigue:
“El numero de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es:”
P( n ,r )  n Pr 
n!
(n  r )!
En donde,
P(n,r) = nPr es el número de permutaciones de n objetos tomado r a la vez.
n! = factorial de n
(n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r
En esta técnica de conteo en la que EL ORDEN SI IMPORTA en que aparecen cada elemento del
conjunto y en donde en cada arreglo participan una parte de los elementos del
conjunto. También le llamaremos permutaciones de n elementos diferentes en grupos de r
elementos. Es decir, en cada arreglo aparecerá parte de los elementos del conjunto y se utilizará la
siguiente fórmula:
Se sacan dos billetes de lotería de un total de 20 para un primer y un segundo lugar. Encuentre el
número de formas de poder sacar los 2 billetes
P( n ,r )  n Pr 
20
n!
(n  r )!
P2 =20!
=(20)(19)=380
18!
¿De cuantas formas puede una organización local de la sociedad Americana de Quimica programar
a tres conferencistas para tres reuniones diferentes si todos están disponibles en cualquiera de los
5 días?
5
P3 =5!2! =(5)(4)(3)=60
Un problema más complicado: ¿Cuántas diferentes quintas ( r ) de baloncesto pueden formarse
con 7 jugadores disponibles (n) para jugar cualquier posición?
El entrenador de la selección mexicana de fútbol debe decidir cómo se deben tirar los cinco
primeros penales obligatorios en caso de un empate. ¿Cuántas elecciones posibles puede
considerar?
El numero de formas de apartir de un conjunto de n objetos en r celdas con n1 elementos en la
primera celda, n2 para la segunda , y asi sucesivamente es
(𝑛
𝑛
𝑛!
)=𝑛 !𝑛 !……..𝑛 !
𝑛
……….𝑛
1 2
𝑟
1 2
𝑟
Donde 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ … … . +𝒏𝒓 = 𝒏
¿En cuántas formas se pueden asignar siete científicos a una habitación de hotel triple y dos
dobles?
7!
3!2!2!
= 𝟐𝟏𝟎 formas
Combinaciones
Una combinación es un subconjunto o un arreglo de todos o parte de los objetos de un conjunto
sin considerar el orden de los objetos, donde el número total de combinaciones posibles de un
conjunto de objetos tomados todos a la vez es 1.
Por ejemplo, los arreglos posibles del conjunto de letras {a,b} son ab y ba. Puesto que el orden del
arreglo NO es considerado, el arreglo ab es el mismo que ba. Por tanto, hay solamente una
combinación posible para el conjunto.
Combinaciones “tomando parte del conjunto” de elementos
Esta técnica de conteo consiste en obtener en cualquier orden grupos de r elementos de un total
disponible de n elementos diferentes y en cada arreglo participan una parte de los elementos
del conjunto. Se utilizará la siguiente fórmula:
Ejemplo ¿Cuantas diferentes combinaciones o grupos se pueden realizar con los números 1,2,3
tomando DOS a la vez?
21; 31; 32; Estos se eliminan, porque no nos interesa el orden en que se seleccionan los dos
números ( r ) de entre los tres números ( n ). Aquí es mas chico el resultado que en la permutación,
porque el orden no tiene importancia.
Ejemplo ¿Cuantas diferentes combinaciones o agrupaciones se pueden realizar con los números
1,2,3,4 tomando DOS a la vez?
Es muy importante que te fijes que aquí NO interesa el orden en que seleccionan los dos números
(la pareja) de entre los cuatro números (1,2,3,4) y resulta que hay 6 combinaciones.
PRIMER PROBLEMA: Con una parte de su primer salario, un alumno de quinto semestre decide
comprar TRES de los SIETE discos compactos que ha sacado a la venta el grupo MANA. ¿Cuántas
posibilidades tiene? Ya que hay que elegir 3 discos (sin importar el orden) de un conjunto de siete.
Ejemplo: De cuatro químicos y tres físicos, encuentre el número de comités que se pueden formar
que constan en dos químicos y un físico
El numero de formas de seleccionar a dos químicos de cuatro es:
4C2=
4!
2!(4−2)!
=6
El numero de formas de seleccionar un físico de tres es:
3C1=
1!
3!(3−1)!
=3
Al usar la regla de multiplicación con 𝑛1 =6 y 𝑛2 =3, podemos formar: 𝑛1 𝑛2 =6x3=18 comités con 2
químicos y un físico
PARA REFLEXIONAR Y CONFIRMAR: Un alumno del ITSAT del turno vespertino, tiene 7 libros de
física y 5 de matemáticas. Calcular de cuántas maneras se pueden ordenar 3 libros de física y 2 de
matemáticas en un librero.
En resumen:
Es muy importante que recuerdes que en una permutación SI importa el orden y se relaciona a
sucesiones ordenadas; parejas ordenadas, tríadas ordenadas, etc. En las combinaciones
NO importa el orden y se relacionan con la selección de un subconjunto de un conjunto
dado.
Diagrama de arbol
Aunque el primer tipo de problema puede parecer directo y sencillo, existen problemas que
ilustran que esto no siempre es el caso; hagamos unos ejercicios para reflexionar.
En un estudio médico se clasifica a los pacientes de acuerdo con el tipo de sangre que tengan,
ya sea, tipo A; B, AB u O y también de acuerdo con su tipo de presión sanguínea, ya sea baja,
normal o alta.
¿De cuántas maneras distintas se puede clasificar a un paciente?
Este tipo de problemas se puede manejar sistemáticamente trazando un DIAGRAMA DE
ÁRBOL como el siguiente, donde se puede preciar que la respuesta es 12. Comenzando
Por la parte superior, el primer camino a lo largo de “ramas” corresponde a un paciente con tipo
de sangre A y presión sanguínea baja, el segundo camino a un paciente con tipo de sangre A y
presión sanguínea normal … y el duodécimo camino corresponde a un paciente que tiene sangre
tipo O y una presión sanguínea alta.
La respuesta que obtuvimos es de 4 por 3 = 12, específicamente es el producto del número de
tipos de sangre por el número de niveles de presión sanguínea.
Otro ejemplo: ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto con
dos letras; a y b.? (Nota: Son permisibles palabras como bba)
Solución: Si tenemos 2 letras (a, b) y formamos la palabra con tres letras tendremos 23 = 2 x 2 x 2
= 8 esto quiere decir que formaremos ocho palabras con tres letras.
Para comprender mejor hagamos otro “DIAGRAMA DE ÁRBOL”
Te toca a ti resolver el siguiente ejercicio utilizando un principio de conteo.
¿Cuántas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres números a la derecha?
Considerando que el alfabeto es de 27 letras castellanas y por supuesto 10 números
Realiza aquí tus operaciones.
PROCESO DE CONTAR
Si un primer suceso o evento puede efectuarse de p1 maneras diferentes, y si después de que este
suceso ha sido efectuado, un segundo suceso puede efectuarse de p2 maneras diferentes,
entonces los dos sucesos pueden verificarse siguiendo el orden indicado de p1. p2 maneras
diferentes.
Analiza con cuidado: De cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar parejas de diferentes
sexo de un grupo de 4 hombres y 6 mujeres?
Solución: Como cada hombre puede ser seleccionado de cuatro maneras diferentes y cada mujer
puede ser seleccionada de 6 maneras diferentes; entonces, cada pareja
puede ser escogida de: 4 ( 6 ) = 24 maneras diferentes
Si el suceso o evento incluye más de dos sucesos diferentes podemos ampliar el principio
multiplicativo, de manera que si después de haber ocurrido los dos primeros sucesos, puede
ocurrir un tercero de p3 maneras diferentes, un cuarto de p4 maneras diferentes, y por último un
n-ésimo de pn maneras diferentes, entonces los sucesos pueden ocurrir en el orden siguiente: p1
p2 p3 p4 …, pn maneras diferente.
Reflexiona y piensa: Una cafetería ofrece una comida especial que consiste en un emparedado
(usando una de ocho carnes distintas y uno de cuatro tipos diferentes de pan), una de cuatro
clases distintas de sopa y una de tres bebidas diferentes.
¿De cuántas maneras distintas una persona puede seleccionar una de estas comidas especiales?
Solución: Dado que p1 = 8, p2 = 4, p3 = 4, p4 = 3, hay (8)(4)(4)(3) = 384 maneras diferentes
en que se puede seleccionar una comida especial.
2.3. Espacio muestral y eventos.
Teoria elemental de probabilidad
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los
fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel
experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se
obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio
es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy
modestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia. En
principio no sabemos cual será el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos
conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral (o también
llamado espacio muestra de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles
resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega). En algunos
textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del termino
sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Por otro lado, llamaremos
evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las
primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A,B,C, etc. Con la ayuda de algunos ejemplos
ilustraremos a continuación los conceptos de espacio muestral y evento.
Ejemplo. Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el número que
aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4,
5, 6}. Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A = {2, 4,
6}, que corresponde al evento (suceso) de obtener como resultado un número par. Si al lanzar el
dado una vez se obtiene el número “4”, decimos entonces que se observó la ocurrencia del evento
A, y si se obtiene por ejemplo el resultado “1”, decimos que no se observó la ocurrencia del evento
A.
La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral de puede ilustrar de forma grafica
mediante diagrama de ven. En un diagrama de ven representamos el espacio muestral como un
rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo
Simbología básica de conjuntos
El propósito del presente apartado es realizar un recordatorio somero de la teoría de conjuntos ya
que es un instrumento adecuado para la sistematización de nuestra forma de pensar y permitir la
capacidad de análisis y comprensión de las interrelaciones que hay entre todas las partes de un
problema, y así facilitar su solución en el estudio de la probabilidad axiomática.
 UNIÓN ( su símbolo es U )
Si se reúnen los elementos de dos o más conjuntos para formar uno solo, a este conjunto que
resulta se le llama UNIÓN DE CONJUNTOS; si existen elementos comunes entre los conjuntos
originales éstos no se repiten en el conjunto unión.
Piensa detenidamente: Sean los conjuntos
P = { 1, 2, 3, 4,} y M = { 3, 4, 5, 6 }
P ( P U M) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
=P (P o M) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
B. INTERSECCIÓN (su símbolo es ∩ )
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que forman los elementos comunes a ambos
conjuntos, se representa con el símbolo ∩ colocado entre los conjuntos, así; A ∩ B se lee “A
intersección de B”
Ejemplo Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, }
B = { 1, 2, 5, 6 }
P (A ∩ B) = { 1, 2 }
P (A y B) = { 1, 2 }
Otra variante de lo mismo: Sean los conjuntos P = { 1, 2, 3 }
P (P ∩ M) = Ø
P (P y M) = Ø
M = { 6, 7 }
Ø = Se refiere a un conjunto vacío o disjunto. Debido a que no existen elementos en común
Ejemplo: Una encuesta sobre 500 personas revelo los siguientes datos acerca del consumo de dos
productos Ay B.
138 personas consumían A pero no B
206 personas consumían A y B
44 personas no consumían ni A ni B




Cuantas personas consumían A?
Cuantas personas consumían B?
Cuantas personas consumían B pero no A?
Cuantas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?
Ejemplo: En el diagrama se han volcado los datos obtenidos en una encuesta realizada a personas,
donde se les preguntaba si tomaba té o café. Los números que aparecen se refieren las cantidades
de personas que respondieron a la pregunta en diversas formas posibles: solamente té y café,
ninguna de las dos, etc
En base a los datos responde las siguientes preguntas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cuantas personas tomaban te y café?
Cuantas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas?
Cuantas personas no tomaban te?
Cuantas personas no tomaban cafe?
Cuantas personas tomaban por lo menos una de las dos bebidas?
Cuantas personas tomaban solo una de esas bebidas?
Cuantas personas tomaban solo café?
Ejemplo: Una encuesta sobre 500 personas revelo los siguientes datos acerca el consumo de los
productos A y B.
410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos
294 personas consumían A
78 personas consumían A pero no B
1.
2.
3.
4.
Que porcentaje de personas consumían B?
Que porcentaje de personas consumían solo B?
Que porcentaje de personas consumían los los productos?
Que porcentaje de personas no consumían ninguno de los dos productos?
Ejemplo: En un estudio realizado sobre la preferencia de productos de sabritas, se obtuvieron los
siguientes datos:
Cuantas personas encuestaron? 21 personas = 100%
A que personas les gustan los doritos?
A que personas les gustan las papas y cheetos?
NOTA: Obtener los porcentajes, para un ejercicio posterior
Probabilidad con tecnicas de conteo Axiomas, Teoremas
Regla de la suma ( ley aditiva de la probabilidad)
Esta ley se utiliza cuando se quiere obtener la probabilidad de que ocurra el
suceso A o el suceso B, para lo cual es necesario revisar si los sucesos SON O
NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
 Cuando dos sucesos son mutuamente excluyentes se tiene que A ∩ B = Ø ; (es el conjunto
vacío) se utiliza entonces P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) es decir, que la probabilidad de que
A o B ocurran indistintamente, es igual a la suma de sus probabilidades individuales.
Ejercicio ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un 10 o un 4 al extraer una carta de una
barajaordinaria de 52 cartas? (la “ o “ se interpreta como unión)
Como queremos un 10 o un 4 y como estos eventos son mutuamente excluyentes, aplicamos la
regla de la suma P ( A o B ) = P ( A ) + P ( B ). Así, P (10 U 4) ; donde A representa sacar un 10 y B
obtener un 4. y como existen cuatro 10, cuatro 4 y 52 cartas en la baraja, P (10 ) = 4/ 52 y P ( 4 ) =
4/52 tenemos P ( 10 o 4 ) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0.1538
Otro para reflexionar:
Supongamos que va a elegirse de manera aleatoria UN individuo entre una población de 130
personas. En esta población hay 40 NIÑOS menores de 12 años, 60 ADOLECENTES y 30 ADULTOS
¿Cuál es la probabilidad de que el individuo elegido sea un adolescente o un adulto?
Los eventos son mutuamente excluyentes porque queremos obtener un adolescente o un adulto y
no los dos al mismo tiempo, por lo tanto utilizamos la ley aditiva Donde P (A) será obtener un
adolescente y P (B) será obtener un adulto. Como hay 60 adolescentes, 30 adultos y 130
personas en la población tenemos,
P ( A o B ) = P ( 60/130) + P ( 30/130 ). = 60/130 + 30/130 = 90/130 = 0.6923
 Cuando dos sucesos NO son mutuamente excluyentes, se tiene que A ∩ B ≠ Ø (no es el
conjunto vacío) ; se utiliza entonces P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) es decir, que la
probabilidad de que A o B ocurran indistintamente, es igual a la suma de sus probabilidades
individuales y resta sus intersecciones para rectificar el doble conteo que se lleva a cabo cuando se
suman las dos probabilidades.
Problema para pensar: En un estudio de mercado realizado, se llego a la conclusión
que un 47% consumían cheetos, 52 % consumen papas y un 23 % consumen ambas.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona coma al menos una de las dos botanas?
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) = P ( 47 ) + P (52 ) – P (23 ) = 76%
Probabilidad condicional, Dependiente, Independiente
Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que que ya ocurrió un evento A se
llama probabilidad condicional y se denota por P(B\A). El símbolo P(B\A) por lo general se lee “la
probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” o simplemente “la probabilidad de B,dado A”
Definicion
La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B\A) , se define como:
𝐏(𝐀∩ 𝐁)
P(B\A) =
𝑷(𝑨)
Como ilustración adicional, suponga que nuestro espacio muestral es la población de adultos en
una pequeña cuidad de que cumplen con los requisitos para obtener un grado en la facultad.
Debemos clasificarlos de acuerdo con su sexo y situación laboral.
EMPLEADO
460
140
600
HOMBRES
MUJER
TOTAL
DESEMPLEADO
40
260
300
TOTAL
500
400
900
Uno de estos individuos se seleccionara al azar para que realice un viaje a través del país para
promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad.
Nos interesamos en los siguientes eventos:
M: Se elige un hombre
E: El elegido tiene empleo
Al utilizar el espacio muestral reducido E, encontramos que:
P(M\E)=
𝟒𝟔𝟎
𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟑
=
𝟑𝟎
Sea n(A) el número de elementos en cualquier conjunto A. Con el uso de esta notación,
podemos escribir:
𝐏 (𝐄 ∩𝐌 )
P(M\E) =
𝑷(𝑬)
Donde P (E ∩ M) y P(E) se encuentran a partir del espacio muestral original, para verificar el
resultado, note que:
P(E)=
600
900
2
=3
y 𝐏 (𝐄 ∩ 𝐌) =
460
900
=
23
45
De aquí:
P(M\E) =
23/45
2/3
=
23
30
como antes
Regla del producto: Eventos Independientes “Reemplazo”
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de un evento NO TIENE EFECTO sobre la
probabilidad de ocurrencia del otro. El muestreo con reemplazo ilustra bien esta situación. Por
ejemplo, suponga que vamos a extraer dos cartas, una a la vez, con reemplazo, de una baraja
ordinaria. Denotamos por A a la carta extraída primero y B a la carta obtenida en segundo lugar.
Cuando A se reemplaza antes de extraer a B, la aparición de A en la primera extracción no tiene
efecto alguno sobre la probabilidad de ocurrencia de B. Por lo tanto son eventos A y B son
independientes. Bajo esta condición, la regla del producto se convierte en…
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . . . regla del producto para eventos independientes.
P(A y B)=P(A)P(B)
Vamos a analizar dos problemas para emplear esta ecuación. Suponga que vamos a obtener al
azar dos cartas, una a la vez, con reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas cartas seas Ases?
Como el problema nos pide DOS cartas; la primera que sea As “y ” en la segunda extracción sea
también otro As y además con reemplazo, podemos utilizar la regla del producto
P (A ∩ B) = P ( A ) P ( B )
P ( A ) = (un as en la primera extracción) P ( B ) = (un as en la
segunda extracción) 4 ases o eventos favorables de 52 barajas también 4 ases o eventos
favorables de 52 barajas
P (A y B) = P ( 4/52 ) P ( 4/52 )
P (A y B) = ( 16/ 2704 ) = 0.0059
Otro para reflexionar y pensar. Se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa; en la bolsa hay
3 canicas, una roja, una azul y una verde. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo y
una canica azul?
Lee detenidamente el problema y contesta ¿los eventos (lanzar un dado y sacar una
canica)
son independientes? _____ porque? __________________________________________________
Si el lanzar el dado es el evento A, ¿Cuales son los eventos muestrales para A ?
A = { _____________} P ( A ) = ( 4/ 6 )
el evento B será B = { sale una canica azul } P ( B ) = ( 1/3 )
P (A y B) = P ( 4/6 ) P ( 1/3 ) P (A y B) = ( 4/ 18 ) = 0.2222
Esto lo podemos comprobar contando de los resultados posibles, los que son favorables al suceso
A y B, así:
(A, 1) (A, 2) ( A, 3) (A, 4) (A, 5) ( A, 6)
(R, 1) (R, 2) ( R, 3) (R, 4) (R, 5) ( R, 6)
(V, 1) (V, 2) ( V, 3) (V, 4) (V, 5) ( V, 6)
P (A y B ) = 4 resultados favorables = 4/18 = 0. 2222
18 resultados posibles
La anterior regla del producto para eventos independientes, también se aplica en situaciones con
más de dos eventos. En tales casos, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los eventos es
igual al producto de las probabilidades individuales de cada evento. En forma de ecuación es…
P ( A y B y C …Z ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) … P ( Z )
Queremos obtener al azar 4 individuos de una población de 110 habitantes, los cuales 50 son
varones y 60 mujeres. El muestreo es un individuo a la vez, con reemplazo. ¿Cuáles la
probabilidad de obtener 3 mujeres y 1 hombre, en ese mismo orden?
Como el problema pide una mujer en la primera, segunda y tercera extracción y un hombre en la
cuarta y como el muestreo es con reemplazo, aplicamos la ley del producto para más de dos
eventos independientes.
A = representa una mujer en la 1ra extracción B = una mujer en la 2da. Extracción
C = una mujer en la tercera extracción D = un hombre en la cuarta extracción
P ( A y B y C y D ) = P (60/ 110) P (60/110) P (60/110) P (50/110) = 1080/ 14,641 = 0.0738
Si se realiza un muestreo aleatorio, tomando un elemento a la vez, con reemplazo, de una bolsa
que contiene OCHO canicas azules, SIETE canicas rojas y CINCO canicas verdes. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener:
a) Una canica azul en una extracción de la bolsa?
b) Tres canicas azules en tres extracciones de la bolsa?
c) Una canica roja, una verde y una azul, en ese orden en tres extracciones de la bolsa.
Regla del producto: Eventos dependientes”Sin reemplazo”
Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de un evento, AFECTA la probabilidad de ocurrencia
del otro. Cuando A y B son dependientes, la probabilidad de que ocurra B se ve afectada por la
ocurrencia de A. En este caso se utiliza la regla…
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B | A ) . . . Regla del producto para eventos dependientes
P(A y B)=P(A)P(B|A)
En esta nueva regla nos dice que la probabilidad de ocurrencia de A y B es igual a la probabilidad
de ocurrencia de A por la probabilidad de que B ocurra, dado que A ha ocurrido.
Primer problema para pensar…
Suponemos que vamos a extraer DOS cartas, una a la vez, sin reemplazo (sin volver a meter la
primera), de una baraja ordinaria ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases?
Como va a ser sin reemplazo la ocurrencia de A realmente afecta la probabilidad de B por lo tanto
son eventos dependientes y usaremos la regla…
P(Ay B)=P(A)P(B|A)
P (A) = (un as en la primera extracción) = P ( 4/ 52)
P (B | A) = ( un as en la segunda extracción) = P ( 3/51 ) observa que aquí se trata de obtener un as
en la 2da. extracción dado un as en la 1ra extracción.
P ( A y B ) = P ( 4/52 ) P ( 3/51 ) = 12/ 2652 = 0.0045
Otro problema para aprender… Queremos obtener DOS frutas, una a la vez, de una bolsa de
frutas que contienen 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos, sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad
de obtener una naranja y una manzana, en ese mismo orden?
P ( A ) = Obtener una naranja en la 1ra extracción
Eventos favorables a A = 6 naranjas de 15 posibles (frutas)
P ( B | A ) = Obtener una manzana en la 2da extracción
Eventos favorables a B = 4 manzanas de 14 posibles (ya que afectó la 1ra)
Por lo tanto…
P ( A y B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( 6/15) P ( 4/14 ) = 24/ 210 = 0.1143
Un último problema para reafirmar…. De un grupo del CBTa – Xalisco turno vespertino, se van a
elegir por sorteo a 3 alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar del “día del maestro”;
en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de
representantes esté conformado de las maneras siguientes; sean Tres hombres y sean dos
hombres y una mujer
P ( A ) = Sean Tres hombres
P ( B ) = Sean dos hombres y una mujer
PARA QUE SEAN TRES HOMBRES
Para calcular P (A) es necesario que se den los sucesos siguientes:
A1, el primer alumno seleccionado sea hombre - - - - - - -P ( A1 ) = 24/ 36
A2 ; el segundo seleccionado sea hombre - - - - - ---- P ( A2 ) = 23/ 35
Observa que la ocurrencia de A, AFECTA la probabilidad de que ocurra A2 puesto que tanto el
número de hombres como el número de alumnos cambia ( han disminuido) para el evento A2.
A3 ; el tercer alumno seleccionado sea hombre - - - - - P ( A3 ) = 22/34
Entonces
P ( A ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = (24/ 36) (23/ 35) (22/34 ) = 12144/ 42840 = 0.2834 = 28.34 %
PARA QUE SEAN DOS HOMBRES Y UNA MUJER
Para calcular P ( B ) se deben cumplir los sucesos siguientes:
B1 = Sale el primer hombre -- - - - - P ( B1 ) = 24/36
B2 = Sale el segundo hombre- - - - - - P ( B2 ) = 23/35
B3 = Sale la tercera mujer- - - - - - -P ( B3 ) = 12/34
Entonces:
P ( B ) = P (B1 ) P (B2 ) P (B3 ) = (24/ 36) (23/ 35) (12/34 ) = 6624/ 42840 = 0.1546 = 15.46 %
Dada una población de 30 bats, 5 guantes de béisbol y 60 pelotas, si el muestreo es aleatorio,
uno a la vez, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) Un guante si se extrae un objeto de la población
b) Un bat y una pelota si se extraen dos objetos de la población
c) Un bat, un guante y un bat, en ese orden, si se extraen tres objetos de la población?