25 5. Temas adicionales sobre la probabilidad 5.1 Probabilidad

Estadística Probabilística
5. Temas adicionales sobre la probabilidad
5.1 Probabilidad condicional
Las probabilidades hasta ahora vistas proporcionan las frecuencias relativas de los eventos cuando el
experimento se repite un gran número de veces. Estas son llamadas probabilidades incondicionales ya que no
suponen condiciones especiales asociadas al experimento.
Ejemplo 1: Las caras de un dado con 1, 2, 3 puntos se pintan de rojo. Si se lanza el dado. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener una cara roja o un número impar?
Sean:
A = { Obtener una cara roja}
B = { Obtener un número impar}
A = {1, 2, 3}
B = {1, 3, 5}
A B ={1, 2, 3, 5}
P(A B) = P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(5)
P(A B) = 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 4/6 ; P(A B)= 2/3
Supongamos ahora que lanzamos el dado y podemos ver una cara roja, pero no podemos ver el número de
puntos sobre ella. ¿Cuál es la posibilidad de que el número de puntos sea impar?
El espacio muestral:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; se redujo a
S1 = {1, 2, 3} ya que como 4, 5, 6 no están pintados de rojo se eliminan.
El nuevo conjunto A B sería:
A B ={1,3}.
P(A B )= P(1)+ P(3)
P(A B )= 1/3+ 1/3 = 2/3
Si hubiéramos utilizado un dado común la probabilidad de un número impar seria = 3/6. Podemos ver que el
conocimiento de que la cara está pintada de rojo, nos permite calcular una probabilidad condicional en un
espacio muestral reducido S´
Ejemplo 2 : Hemos visto que la probabilidad de observar un número par (evento A) en un lanzamiento de un
dado es de ½. Suponga que en cierto lanzamiento del dado el resultado fue un número menor o igual a 3
(evento B). Pensaría usted todavía que la probabilidad de observar un número par en ese lanzamiento es igual
a ½?
El que B ocurra reduce el espacio muestral de 6 eventos posibles a tan sólo 3 (los contenidos en el evento B)
El espacio muestral reducido será:
1
2
A
3
B
Concluimos que la probabilidad de que A ocurra, dado que B ocurre es 1/3. Utilizaremos es símbolo P(AIB) para
representar esta probabilidad.
25
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
Generalizando:
Para determinar la probabilidad condicional de que el evento A ocurra, dado que B ocurre, divida la probabilidad
de que ocurra tanto A como B entre la probabilidad de que ocurra B; esto es:
P(A B)
P(B)
P( A / B)
Probabilidad de A dado B
donde suponemos P(B)
0.
Probabilidad de que ocurran tanto A como B
Probabilidad de que ocurra la condicion B
Ejemplo 3 :
Un fabricante de procesadores de licuadoras realizó un análisis de quejas de los consumidores y determinó que
estaban en las seis categorías siguientes:
Durante el periodo de garantía
Después del periodo de garantía
Totales
Razón de la queja
Eléctrica
Mecánica
18%
13%
12%
22%
30%
35%
Aspecto
32%
3%
35%
Totales
63%
37%
100%
Si hay una queja por parte de un consumidor: ¿Qué probabilidad hay de que la causa de la queja sea el
aspecto del producto, dado que la queja se originó durante el período de garantía?
A ={Queja por el aspecto del producto}
B ={Queja presentada durante el período de garantía}
- Vemos que el 63% de las quejas se presentaron en el tiempo de la garantía, luego P(B) =0.63.
- El porcentaje de quejas debido a la apariencia que se presentaron durante el período de garantía
(evento A B) es del 32%. Luego P(A B)=0.32
- Podemos calcular la probabilidad condicional P(AIB) de que la causa de la queja sea el aspecto, dado que la
queja ocurrió durante el período de garantía por:
P( A / B)
P( A B)
P( B)
0.32
0.63
0.51
51 %
- Concluimos que un poco más de la mitad de las quejas durante el período de garantía se debieron a rayones,
abolladuras u otras imperfecciones en la superficie de las licuadoras.
¿Cuál será la probabilidad de que la queja haya sido presentada después del periodo de garantía, dado que la
queja fue por una falla mecánica?
26
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
5.2. Reglas de probabilidad para uniones e intersecciones.
Hasta ahora hemos trabajado con diversas reglas de la probabilidad, pero éstas han sido propuestas a través
del uso de los diagramas de Venn – Euler. Realicemos otra mirada a estas reglas y a otras que pueden
proponerse a partir de la fórmula de probabilidad condicional.
5.2.1. Regla aditiva de la probabilidad.
La probabilidad de la unión de los eventos A y B es la suma de las probabilidades de los eventos A y B menos
la probabilidad de la intersección de los eventos A y B (de lo contrario se estaría repitiendo la probabilidad de
los eventos que son comunes):
P(A B)= P(A)+ P(B)- P(A B)
Ejemplo 1:
Se lanza un dado y se observa la cara superior. Se definen los siguientes eventos:
A ={observar un número impar}
B ={observar un número menor que 3}
Suponga que P(A)= 0.4, P(B)= 0.2, P(A B)= 0.1
Determine: P(A B)
1
.1
.5 .5
.3
A
B
.2
A={1, 3, 5}
B={1, 2}
.4
.6
P(A B)= P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(5)
P(A)= P(1)+ P(3)+ P(5)
P(B)= P(1)+ P(2)
P(A B)= P(1).
Si sumamos las probabilidades de los eventos simples que constituyen los eventos A y B, obtenemos:
P(A) + P(B)= P(1)+ P(3)+ P(5) + P(1) + P(2)
P(A)
P(B)
P(A) + P(B) = P(1)+ P(2)+ P(3) + P(5) + P (1)
P(A B)
Despejando
P(A
B).
P(A B)= P(A)+ P(B) - P(A B), luego P(A B)= 0.4 + 0.2 – 0.1= 0.5
Es necesario restar P(A B) porque si no lo hiciéramos, estaríamos incluyendo más de una vez la probabilidad
de un evento simple.
27
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
5.2.2. Regla aditiva para eventos mutuamente exclusivos.
Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, si A
P(A B)= 0.
B no contiene eventos simples. Luego:
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de A y B es igual a la suma de
las probabilidades de A y B.
P(A B)= P(A)+ P(B)
Ev. mutuamente excluyentes
5.2.3. Regla multiplicativa de la probabilidad.
Se utiliza para calcular la probabilidad de dos eventos que suceden consecutivamente o también que pueden
suceder al mismo tiempo. En palabras se expresaría como: “la probabilidad de que se den los eventos A y B es
igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B dado A”.
P(A B)= P(A) P(BIA) ó
P(A B)= P(B) P(AIB)
Esta regla puede demostrarse de la siguiente manera:
P( A B)
De la regla de probabilidad condicional: P( A / B)
P( B)
Reorganizando, P(A B)= P(B). P(AIB)= P(A) P(BIA)
Más usada
Ejemplo 1
Un programador está interesado en el evento de que un trabajo sea procesado inmediatamente al momento de
presentarse.
Sean los eventos: A = { La computadora está funcionando}
B = { El trabajo se procesará de inmediato}
La intersección de estos dos eventos, es el evento que le interesa al programador .
Si existe una probabilidad de 0.9 que la computadora esté funcionando en un momento dado y de 0.05 de que
el trabajo se procesará de inmediato si la computadora está funcionando.
P(A)= 0.9
P(B/A)= 0.05
¿Qué probabilidad hay de que un trabajo dado se procese de inmediato?
P(A B)= P(A) P(BIA) = (0.05) (0.9)= 0.045.
La probabilidad de que un trabajo presentado se procese de inmediato es 0.045 o del 4.5%
28
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
5.2.4. Regla multiplicativa para eventos independientes
Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de A no altera la probabilidad de que ocurra B, en otras
palabras A y B son independientes si.
P(AIB)= P(A) y
P(BIA)= P(B)
P(A
B)= P(A). P(B) Ev. Independientes
Ejemplo 1:
Considere el experimento de lanzar una moneda 2 veces y observar la cara superior. Definimos los siguientes
eventos:
A ={ El primer lanzamiento es sello}
B ={ El segundo lanzamiento es sello}
Si A ya ocurrió, afectará esto la probabilidad de que B ocurra?
El espacio muestral para este experimento será: S = XX, XC, CX, CC
Evento simple
Probabilidad
CC
¼
CX
¼
XC
¼
XX
¼
P(B)= P(XX) + P(CX)= ¼+ ¼ = 2/4 = ½
P(A)= P(XX)+P(XC)= ¼ + ¼ = 2/4 = ½
Si comparáramos con la probabilidad de que se dé el evento B, si ya se dio el evento A, tenemos que:
P ( B / A)
P( B A)
P ( A)
1/ 4
1/ 2
2
4
1
2
Vemos que P(B)= ½ y que P(BIA)= ½, luego el que el primer lanzamiento haya sido sello no afectará la
probabilidad de que el segundo lanzamiento sea sello.
Decimos entonces que los eventos A y B son independientes.
Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las
probabilidades de A y B, o sea:
P(A
B)= P(A). P(B)
Ev. Independientes
Para el ejemplo anterior:
P(A)=1/2 y P(B)=1/2
P(A B)= ½ . ½ = ¼
La cual es la probabilidad de XX.
29
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
Ejemplo 2:
En un estudio para saber si fumar y el cáncer de pulmón están relacionados, 750 personas fueron estudiadas,
los resultados se tabulan. Suponga que una persona del estudio es seleccionada al azar. Con base en los
datos, determine si los eventos “ tener cáncer de pulmón” (T) y “ fumar” (F) son o no independientes.
Cáncer de pulmón
Sin cáncer de pulmón
Totales
Comparemos P(T) con P(TIF)
250
P (T )
750
P (T F ) 150 / 750
P (T / F )
P( F )
275 / 750
Como P(T) P(TIF)
independientes.
Fumador
150
125
275
150
275
No fumador
100
375
475
Total
250
500
750
0.55
concluimos que los eventos “fumar” y “tener cáncer de pulmón” no son eventos
Ejemplo 3 :
Dos inspectores revisan un mismo artículo para catalogarlo como bueno o defectuoso. El primer inspector no
detecta como defectuosos el 6% de los artículos revisados. El segundo inspector no detecta como defectuosos
el 3% de los artículos que revisa, después de haber sido revisados por el primer inspector. Calcule la
probabilidad de que un artículo defectuoso no sea detectado por los dos inspectores.
A ={ Artículo defectuoso no detectado por el primer inspector}
B ={ Artículo defectuoso no detectado por el segundo inspector}
P(A)= 6%
P(BIA)=3%
P(A)= 0.06
P(BIA)=0.03
P(A B)= P(A). P(BIA)=0.06 x 0.03 = 0.0018
= 0.18%
La probabilidad de que un artículo defectuoso, no sea detectado por ninguno de los inspectores, es del 0.18%.
¿Cómo considera Usted esta probabilidad?
¿Podría estar seguro del control de calidad de esta empresa, valiéndose de este valor de probabilidad?
30
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
5.3. Ejercicios del Capítulo
1. La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta cuyo objeto era
analizar las opiniones de los residentes de cierta ciudad acerca de la elección popular de alcaldes. Los datos se
clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplicó el cuestionario.
Sector de la Ciudad
A
B
C
Totales
Contestó (C)
120
94
135
349
No Contestó (N)
29
36
86
151
Total
149
130
221
500
Si se selecciona un cuestionario al azar entre los 500. Calcule la probabilidad de que:
a. El cuestionario sea contestado.
b. La persona a quien va dirigido el cuestionario viva en el sector C.
c. La persona viva en el sector A, dado que contestó el cuestionario.
2. Entre las personas con licencia de conducción se seleccionaron 200 y se clasificaron en: personas con
afición al licor y personas abstemias, personas que tuvieron accidentes de tránsito el último año y personas que
no tuvieron accidentes. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
Con afición al licor
Abstemios
Tuvieron accidentes
26
9
No tuvieron accidentes
102
63
Si se elige una persona al azar, con licencia de conducción. Calcule la probabilidad de que:
a. Haya tenido accidentes de tránsito el último año.
b. Tenga afición al licor.
c. Haya tenido accidentes de tránsito, dado que consume licor.
d. No haya tenido accidentes de tránsito, dado que es abstemio.
3. Una urna contiene 4 pelotas blancas y 2 azules. Se extraen 2 pelotas al azar de la urna. Calcule la
probabilidad de que:
a. Ambas sean blancas.
b. La primera sea azul y la segunda blanca.
c. Una sea blanca y la otra azul.
4. Se realizó una encuesta entre un grupo de personas para conocer su opinión acerca del aborto provocado.
Del total de encuestados, el 16% estuvo de acuerdo. De ñps que estuvieron de acuerdo con el aborto, el 67%
tenía menos de 30 años. Calcule la probabilidad de que una persona de menos de 30 años esté de acuerdo
con el aborto provocado.
5. En un corral se tienen 12 cerdos entre los cuales se sabe que 2 tienen Salmonellas. Se van a sacrificar dos
cerdos elegidos al azar, calcule la probabilidad de que el segundo cerdo sacrificado tenga Salmonellas.
31
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
6. Un artículo de IEEE Computer Applications in Power (abril de 1990) describe “un sistema de vigilancia
automático para detectar intrusos en tiempo real, tanto en interiores como en exteriores, utilizando cámaras de
video y microprocesadores”. El sistema se probó en exteriores en diversas condiciones climáticas, en Tokio,
Japón. La tabla indica el número de intrusos detectados y no detectados en cada condición.
Intrusos detectados
Intrusos no detectados
Totales
Condiciones climáticas
Despejado
Nubes
Lluvia
21
228
226
0
6
6
21
234
232
Nieve
7
3
10
Viento
185
10
195
a. En condiciones nubladas, ¿qué probabilidad hay de que el sistema automático detecte un intruso?
b. Dado que el sistema automático no detectó un intruso, ¿qué probabilidad existe de que haya estado
nevando?
c. Dado que el sistema automático detectó un intruso, ¿qué probabilidad hay de que haya estado lloviendo?
7. La ruleta se juega tirando una bola sobre una rueda dividida en 38 arcos de igual longitud; éstos llevan los
números 00, 0, 1, 2, 3, ..., 35, 36. El # del arco dentro del cual cae la bola es el ganador. Además los números
están coloreados de la siguiente manera:
Rojo: 1 3 5 7 9 12 14 16 18 19 21 23 25 27 30 32 34 36
Negro: 2 4 6 8 10 11 13 15 17 20 22 24 26 28 29 31 33 35
Verde: 00 0
Los jugadores pueden colocar apuestas en la mesa de diversas maneras, incluidas apuestas a resultado impar,
par, rojo, negro, bajo (1 – 18) y alto (19 – 36). Considere los siguientes eventos:
A = El resultado es un número impar
B = El resultado es un número negro
C = El resultado es un número alto
Calcule:
a. P(A/B)
b. P(B/C)
c. P(C/A)
d. Exprese en palabras cada uno de los resultados anteriores.
8. El IDEAM pronostica que habrá lluvia hoy, con una probabilidad de 0.6, lluvia mañana, con una probabilidad
de 0.4, lluvia hoy y mañana, con una probabilidad de 0.2.
a. Dado que llueva hoy, ¿cuál es la probabilidad de que llueva mañana?
b. Dado que llueva hoy, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva mañana?
32
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]
Estadística Probabilística
5.4. Ejercicios Globales de Repaso.
1. De 15 estudiantes de la faculta de medicina de la Unirémington serán elegidos 5 para que la representen
en un simposio.
¿De cuántas maneras se pueden escoger estas personas?
2. En la Uniremington se van a seleccionar tres tecnólogos de sistemas que sean egresados de un grupo de
seis, el cual está conformado por tres hombres y tres mujeres, su trabajo será crear una nueva página web de
la universidad.
Realice el espacio muestral correspondiente a la escogencia. Hallar la probabilidad de que:
a. Se escoja tres mujeres
b. Se escoja tres hombres
c. Se escojan menos de dos hombres
d. Se escojan dos hombres y una mujer
Tenga en cuenta que: H1, H2, H3 son hombres; M1, M2, M3 son mujeres
3. Un corredor de bolsas sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que un cliente compre
acciones es del 65%. También sabe que la probabilidad de que compre un bono del gobierno, si ya tiene
acciones es del 35%, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente compre acciones y un bono del gobierno?
4. Tres personas empiezan a resolver un examen en distintos momentos. El tiempo de duración para resolver
el examen depende de la capacidad y agilidad mental de cada persona. Si denominamos las tres personas
como A, B y C. Hallar el espacio muestral para determinar quién termina primero: Cuál es la probabilidad de
que:
a. Termine primero A
b. No termine primero B
c. Termine de último C
5. La probabilidad de que los ciudadanos de Medellín utilicen bus es del 0.7, de que utilicen Metro es del 0.5 y
de que usen ambos servicios es del 0.4. Calcule la probabilidad de que:
a. Use bus pero no Metro
b. No use ninguno de los dos
c. Use por lo menos uno de los dos servicios
6. Se realiza una encuesta para conocer la calidad de servicio que ofrece el ISS, de la cual se obtuvo:
Excelente
Regular
Malo
Total
Medicamentos
2%
5%
15%
22%
Citas
1%
3%
20%
24%
Hospitalización
15%
3%
1%
19%
Urgencias
5%
20%
10%
35%
Se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de que el servicio:
a. Fue excelente dado que era de urgencias.
b. Era hospitalización dado que fue regular.
c. Fue malo dado que eran medicamentos
33
Juan Camilo Alzate Echeverri
[email protected]