Ejercicios de Programación Lineal.

Programación lineal: Ejercicios.
Ejercicios Tema 1.
1.- Utilizar el procedimiento gráfico para resolver los siguientes P.L.
a)
Max z = 10x1 + 20x2
s.a
x1 + 2x2 ≤ 15
x1 + x2 ≤ 12
5x1 + 3x2 ≤ 45
x1,x2 ≥ 0
b)
Max z = 2x1 + x2
s.a.
x2 ≤ 10
2x1 + 5x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 18
3x1 + x2 ≤ 44
x1,x2 ≥ 0
2.- Una compañía manufacturera paró la producción de cierta línea de productos no
rentables. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia
quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y
3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede
limitar la producción:
Tipo de máquina
Fresadora
Torno
Rectificadora
Tiempo disponible.
(h/maq. Por semana)
500
350
150
El número de horas/máquina que se requiere para cada unidad de los productos
respectivos es:
Coeficiente de productividad ( en h/maq. Por unidad )
Tipo de máquina
Producto1
Producto 2
Producto 3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora
3
0
2
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y
2 exceden de la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3
son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de 5000, 2000 y 2500
respectivamente para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuantos productos
de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.
a) Formular el modelo de P.L. para este problema.
b) Resolver utilizando el método Simplex el P.L. planteado.
c) Resolver computacionalmente el problema.
3.- Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos
tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir ciertos requisitos nutricionales a
un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada ingrediente nutritivo
básico contenido en un Kg. de cada tipo de alimento, junto con los requisitos
nutricionales diarios y coste de los alimentos:
1
Programación lineal: Ejercicios.
Ingrediente
nutricional
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
Costo
Kg. de maíz
Kg. de grasas
Kg. de alfalfa
90
30
10
32
20
80
20
26
40
60
60
20
Requerimiento
mínimo diario
200
180
150
a) Formular el modelo de P.L. para este problema.
b) Resolver utilizando el método Simplex el P.L. planteado.
c) Resolver computacionalmente el problema.
4.- Una compañía aérea va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, y por
tanto, necesita contratar mas agentes de servicio a clientes. Sin embargo no está claro
cuantos debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el gasto y
al mismo tiempo proporcionar de manera consistente un nivel satisfactorio de servicio.
Por todo esto, un equipo de I.O. está estudiando cómo programar a los agentes para
proporcionar un servicio satisfactorio con el menor coste de personal.
Con base a la nueva programación de vuelos, se ha realizado un análisis del número
mínimo de agentes que deben de encontrarse de guardia en diferentes momentos del día
para garantizar un nivel satisfactorio de servicio. La columna derecha de la tabla adjunta
muestra el número de agentes necesarios para los periodos dados en la primera columna.
Los otros datos de esta tabla reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo vigente
entre la compañía y el sindicato de agentes. El acuerdo es que cada agente trabaje en un
turno de 8 horas 5 días a la semana, y los turnos autorizados son:
Turno 1: De 6 a.m. a 2 p.m.
Turno 2: De 8 a.m. a 4 p.m.
Turno 3: De 12 a.m. a 8 p.m.
Turno 4: De 4 p.m. a 12 p.m.
Turno 5: De 10 p.m. a 6 a.m.
Las marcas en el cuerpo de la tabla muestran las horas cubiertas por los turnos
respectivos. Como algunos turnos son menos deseables que otros, los salarios
especificados en los contratos difieren unos de otros. En la última fila se muestra la
compensación diaria por agentes en cada turno. El problema consiste en determinar
cuantos agentes deben asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el
coste total de personal debido a los agentes, al mismo tiempo que se cumplan (o se
sobrepasen) los requisitos de servicio dados en la columna de la derecha.
Periodo
1
6 a.m.- 8a.m.
&
8 a.m.- 10a.m.
&
10 a.m.-12 a.m.
&
12 a.m.- 2 p.m.
&
2 p.m.- 4 p.m.
4 p.m.- 6 p.m.
6 p.m.- 8 p.m.
8 p.m.- 10 p.m.
10p.m.- 12 p.m.
12 p.m.- 6 a.m.
coste diario por 17000
agente
2
&
&
&
&
16000
3
&
&
&
&
17500
4
&
&
&
&
18000
5
&
&
19500
Nº. min. de
agentes.
48
79
65
87
64
73
82
43
52
15
2
Programación lineal: Ejercicios.
Ejercicios Tema 2.
1.- Utilizar el método de la M grande y el de las dos fases para resolver los siguientes
programas lineales:
Max z = x1 + x2
s.a.
2 x1 + x2 ≥ 3
3 x1 + x2 ≤ 3.5
x1 + x2 ≤ 1
xi ≥ 0
Min
s.a.
z = -3 x1 + x2
x1 – 2x2 ≥ 2
- x1 + x2 ≥ 3
xi ≥ 0
2.- Los costes de producción de tres artículos son de 600, 1200 y 300 pts.
respectivamente. En dicho proceso de producción los artículos son sometidos a tres
controles o test de calidad independientes y distintos que han de superarse para que la
producción sea aceptada. Estos test son tales que elegidos los artículos y tras
aplicárseles unas constantes de regularización lineal, las sumas totales (para cada
control) han de superar unas cotas mínimas de verificación y que son 180, 300 y 240 en
cada test respectivamente. El primer test analiza los dos primeros artículos siendo las
constantes de regularización de 90 y 60. Los 2 controles siguientes se aplican a los tres
artículos y las constantes son 60, 60 y 120 para uno y de 60, 120 y 30 para el segundo
test y cada uno de los artículos.
Según esto: Plantear un P.L. que minimice los costes totales de producción
satisfaciendo los test de calidad. ¿Cuál sería la estrategia de producción óptima y el
coste de la misma?. Plantear y proporcionar la solución óptima del problema dual
correspondiente.
3.- Supóngase el siguiente P.L.:
Max
s.a.
z = 3x1 + 5 x2
x1
≤4
2 x2 ≤ 12
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
x1, x2 ≥ 0
a) Encontrar la solución óptima.
b) Supóngase la inclusión de una nueva restricción a las anteriores; 2 x1 + x2 ≥ 10.
Utilizar el método de la M grande para encontrar la solución del nuevo P.L.
c) Utilizar el método de las dos fases para resolver el apartado anterior.
3
Programación lineal: Ejercicios.
4.- Resolver los siguientes problemas lineales por metas:
Min
−
+
z = Pd
1 1 + P2 d1
Min
−
+
−
+
z = Pd
1 1 + P2 d 2 + P3 ( d 3 + d 3 )
s.a.
x1 − x2 + d1− − d1+ = 100
− 1 3 x1 + 1 2 x2 + d 2− − d 2+ = 0
x1 + x2 ≤ 600
s.a.
5 x1 + 2 x2 ≤ 50
xi , di− , di+ ≥ 0
x1 + 2 x2 ≤ 24
x1 + x2 + d1− − d1+ = 10
x1 + d 2− − d 2+ = 8
x2 + d3− − d3+ = 5
xi , di− , di+ ≥ 0
5.- Una compañía ha recibido un pedido de 80 unidades de uno de los productos que
fabrica. Para su realización puede disponer de dos máquinas, A y B. La máquina A
puede producir 2 unidades por hora y genera unos costes de 400 ptas. por hora de
funcionamiento. La máquina B produce 3 unidades y genera costes por valor de 500
ptas.
Para la manipulación de las máquinas sólo se podrá disponer de un operario, por
tanto ambas máquinas no podrán trabajar simultáneamente. Además el pedido debe de
entregarse en el plazo de una semana, luego se disponen de 40 horas de trabajo, que
podrían aumentarse si fuera necesario.
Las metas de la compañía en orden de importancia son:
P1: Satisfacer la demanda de las 80 unidades "exclusivamente".
P2: Usar, si fuera necesario, un máximo de 10 horas extraordinarias.
P3: Usar las 40 horas de máquina disponibles.
P4: Minimizar los costes de producción.
4
Programación lineal: Ejercicios.
Ejercicios Tema 3.
1.- Considérese el siguiente problema:
Max z = -5x1 + 5x2 + 13x3
s.a.
-x1 + x2 + 3x3 ≤ 20
12x1 + 4x2 + 10x3 ≤ 90
xi ≥ 0
Si se establecen como x4 y x5 las respectivas variables de holgura de las dos
restricciones, el método simplex conduce al siguiente conjunto final de ecuaciones:
-x1 + x2 + 3x3 + x4
= 20
16x1
- 2x3 - 4x4 + x5 = 10
z
+ 2x3 + 5x4
= 100
Se pide:
a) Adaptar una situación real al problema planteado.
b) Expresar el conjunto final (óptimo) de ecuaciones en forma matricial. (Indicando
cuales son cada una de las matrices implicadas.)
c) Construir e interpretar el problema Dual correspondientes, así como indicar la
solución óptima del mismo.
d) ¿Sería rentable la producción de una nueva actividad x6 con coeficientes
 c 6  10 

  
 a16  =  3  ?
a   5 
 26   
e) ¿Cómo afecta a la solución óptima una reducción del segundo recurso a b2=70?.
(¿Sigue siendo óptima la solución?)
 c2   6 

  
f) ¿Qué ocurre si cambiamos los coeficientes de x2 a  a12  =  2  ?
 a   5
 22   
g) ¿Para qué valores de c3 sería rentable la consideración de la actividad x3?
Nota: Interpretar todos los resultados en función de lo expuesto en el apartado a).
2.- Una empresa se dedica a la fabricación de circuitos impresos en serie para diversas
utilidades. En estos circuitos se incluyen como componentes esenciales los siguientes:
microprocesadores, resistencias y condensadores; posteriormente se distribuyen estas
placas y se le añaden nuevas componentes en función de la aplicación a la que sean
destinadas. La potencia total para la que es diseñada la placa debe ser inferior a 90kw.
suministrando los microprocesadores, condensadores y resistencias 12kw, 4kw y 10kw
respectivamente. Además hay otra limitación en cuanto a disipación de potencia que se
estima para un correcto funcionamiento en condiciones normales debiéndose disipar un
máximo de 20kw de calor en cuanto a pérdidas se refiere y disipando los condensadores
1kw y las resistencias 3kw, sin embargo los microprocesadores poseen un ventilador
que sirve para la disipación de potencia y además refrigerando 1kw de potencia.
La ganancia total en la venta de la placa proporcionada por los condensadores y
las resistencias es de 5000 y 13000 pts. por unidad respectivamente. En cambio, cada
microprocesador debe ser programado por un ingeniero informático para la función
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Programación lineal: Ejercicios.
específica que debe de cumplir la placa, y ello necesita una inversión de 5000 pts de la
ganancia total.
El objetivo es determinar cuantos componentes de cada tipo ha de producir la
compañía para maximizar sus ganancias.
a) Formular de manera razonada, a partir de la posible situación real que se describe, el
correspondiente Programa Lineal.
b) ¿Cuál sería la solución de este problema?
c) ¿Cómo afectaría a la solución óptima una reducción de la potencia total a 70kw.?
d) ¿Sería rentable para la empresa producir la batería de la placa que aumentaría la
ganancia en 1000 pts. y produciría un aumento de potencia total de 3kw y una liberación
de calor de 5kw?
3.- Dado el siguiente P.L.
Min. z = 60x1 + 120x2 + 30x3
s.a.
90x1 + 60x2
≥ 180
60x1 + 60x2 + 120x3 ≥ 300
60x1 + 120x2 + 30x3 ≥ 240
a)
b)
c)
d)
Determinar el valor óptimo de z.
Obtener la solución óptima del problema.
¿Cuál es la solución óptima del problema dual?.
Dado el problema dual, determinar el intervalo de sensibilidad para el tercer
coeficiente de su función objetivo.
4.- Supóngase el siguiente P.L.:
Max
s.a.
z = 20x1 + 10 x2
x1 - x2 ≤ 1
3 x1 + x2 ≤ 7
x1, x2 ≥ 0
a) Resolver gráficamente el problema planteado.
b) Obtener la solución óptima, usando el método simplex.
c) Realizar un análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo.
(intervalo de optimalidad para cada coeficiente).
d) Realizar un análisis de sensibilidad para cada uno de los recursos. (intervalo de
optimalidad para cada recurso).
e) Determinar los precios sombra de los recursos e interpretar estos valores.
f) Utilizar la “Teoría dual” para justificar si la inclusión en la producción de una nueva
actividad (x3) que se vende a 2 unidades, y que supone un cambio en las restricciones
actuales a:
x1 - x2 + 2 x3 ≤ 1
3 x1 + x2 + x3 ≤ 7
es rentable o no.
g) Supongamos que se añade una nueva restricción , esta es x1 + 2 x2 ≥ 15. Encontrar
la solución óptima, usando cualquiera de los métodos conocidos.
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Programación lineal: Ejercicios.
Ejercicios Tema 4.
1.- Un banco dispone de 2 ordenadores centrales (en lugares diferentes) en los cuales se
procesan cheques. El lugar 1 puede procesar 10.000 cheques al día, y el lugar 2 puede
procesar 6.000 cheques al día. El costo de proceso de cada cheque, dependiendo del tipo
y lugar, es el que muestra la tabla siguiente:
Lugar 1
5
4
2
Cheques de ventas
Cheques de salario
Cheques personales
Lugar 2
3
4
5
Cada día hay que procesar una media de 5.000 cheques de cada tipo. Formular y
resolver un problema de transporte balanceado para minimizar el coste diario de proceso
de cheques.
2.- Considérese el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de costos y
requerimientos:
1
1
3
2
2
3
4
demanda 3
2
7
4
3
3
3
6
5
8
2
4
4
2
5
2
oferta
5
2
3
a) Obtener una solución básica factible utilizando el método de la esquina noroeste y el
método de Voguel.
b) ¿ Alguna de las soluciones anteriores forma un circuito cerrado?. (Justificar)
c) Supongamos que el destino 4 cierra. Obtener la solución que minimiza costos
partiendo de una s.b.f. proporcionada por el método del coste mínimo.
3.- Un contratista de obras dispone en la actualidad de 3 obras a su cargo que demandan
materiales de forma habitual. En el periodo de un mes estas requieren de 6, 8 y 8 portes
de material que pueden ser suministrados de forma independiente desde 2 almacenes
distintos cuyas capacidades son de 12 y 10 portes máximo para este contratista. El
precio de los portes desde los almacenes hasta las distintas obras depende de las
distancias entre estos y que son de 1000, 2000 y 3000 pts. desde el primer almacén, y
2000, 1000 y 4000 pts. desde el segundo almacén a las respectivas obras. Determinar el
coste mínimo mensual en portes que ha de sufragar el contratista y la configuración
óptima de portes que han de ser solicitados desde las obras a los almacenes.
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Programación lineal: Ejercicios.
4.- Dado el siguiente problema:
origen
a)
b)
c)
d)
1
2
1
1
2
6
Destino
2
2
1
8
3
3
4
8
12
10
Encontrar una solución básica factible.
La solución anterior, ¿forma un circuito cerrado?, ¿por qué?.
¿La solución anterior es óptima?. En caso contrario, encontrar la misma.
El método de Voguel, ¿proporciona soluciones óptimas?, ¿por qué?.
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Programación lineal: Ejercicios.
Ejercicios Tema 5.
1.- Un equipo de fútbol británico dispone de 3 jugadores que desea traspasar ya que hay
otros 3 equipos que están interesados en fichar a uno o alguno de estos (Henson, Mc Ber
y Rubin). Los traspasos de estos jugadores aportarán unos ingresos de 50, 25 y 10
millones de pts. (al cambio), respectivamente. Dadas las características de estos
jugadores y las necesidades de los clubs interesados resulta que: Uno de ellos está
interesado en Rubin pero sólo si Mc Ber entra en el equipo (si no es así sólo estaría
interesado en el segundo); El segundo equipo en liticio estaría interesado también en Mc
Ber y Rubin, pero uno sólo de ellos; Y el tercer equipo también está trás Rubin o
Henson (uno sólo de ellos).
El interés del equipo vendedor es lógicamente obtener los mayores beneficios en
estos traspasos.
a) Plantear el Problema Lineal correspondiente.
b) Obtener la solución del mismo.
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