discos delgados axialmente simétricos inmersos en halos

DISCOS DELGADOS AXIALMENTE SIMÉTRICOS
INMERSOS EN HALOS ESFEROIDALES
Guillermo A. Gonzalez
Oscar Mauricio Pimentel Dı́az
Universidad Industrial de Santander
Facultad de Ciencias
Escuela de Fı́sica
Marzo - 2014
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Problema de Estudio
Obtener soluciones exactas
axialmente simétricas a las
ecuaciones de Einstein que
describan discos delgados en
halos de materia.
I
I
I
Densidad de energı́a.
Presión.
Masa del sistema.
Discos infinitos y discos finitos.
Movimiento de partı́culas en
orbitas circulares alrededor del
disco [Vera C. Rubin y W.
Ford, 1970].
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Estado Generál del Tema
Primeros modelos: Bonnor y Sackfield en 1968, Morgan y Morgan en
1969.
Discos estáticos: D. Lynden-Bell y S. Pineault, 1978; P. S. Letelier y
S. R. Oliveira, 1978; G. A. Gonz ález y P. S. Letelier, 1999; G. A.
González y O. A. Espitia, 2003.
Discos estacionarios: D. Lynden-Bell y S. Pineault, 1978; J. Bič ák y
T. Ledvinka, 1993; C. Pichon y D. Lynden-Bell, 1996.
Discos con halo: D. Vogt y P. S. Letelier, 2003; A. C. Gutı́errez, G. A.
González y H. Quevedo, 2013
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Soluciones Discoidales Axialmente Simétricas con
Halo
Usando el método distribucional
M+
podemos escribir las ecuaciones de
Einstein como [W.Israel, 1966]
Σ
φ(x α ) = z
1
±
±
Tαβ
= Rαβ
− gαβ R ± , (1)
M−
2
1
Qαβ = Hαβ − gαβ H,
(2)
2
donde Qαβ es el tensor de momento-energı́a en Σ y Hαβ es el tensor de
Ricci en Σ. Ahora, para la métrica conformestática,
ds 2 = −e 2ψ dt 2 + e −2ψ (dr 2 + r 2 dϕ2 + dz 2 ),
(3)
donde exigimos que ψ(r , −z) = ψ(r , z), calculamos las cantidades fı́sicas
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ρ = e 2ψ (2∇2 ψ − ∇ψ · ∇ψ),
1 2ψ
p =
e ∇ψ · ∇ψ,
3
σ = 4e ψ ψ,z .
(4)
(5)
(6)
Una manera de satisfacer las condiciones de energı́a [S. W. Hawking y G.
F. R. Ellis, 1973] es considerar funciones ψ que sean solución de la
ecuación
∇2 ψ = k∇ψ · ∇ψ,
(7)
con k ≥ 1 y ψ,z |z=0+ ≥ 0. Esta elección implica la ecuación de estado para
el fluido del halo
ρ
.
(8)
p=
3(2k − 1)
La ecuación (7) se reescribe como ∇2 (e −kψ ) = 0, la cual se relaciona con
la ecuación de Laplace ∇2 U = 0 a través de la relación e −kψ = 1 − U
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Finalmente, para calcular la masa del sistema disco-halo, usamos la
formula de Komar [E. Poisson, 2004],
Z √ 3
1
β
M=2
hd y ,
Tαβ − Tgαβ mα ξ(t)
2
(9)
β
donde mα es el vector normal a la hipersuperficie tipo tiempo, ξ(t)
es el
√ 3
vector de killing tipo tiempo y hd y es el elemento de volumen.
Geodésicas Circulares
Resolvemos la ecuación de la geodésica para una partı́cula tipo tiempo que
se mueve en el plano del disco y cuyo cuadri-vector velocidad es
u α = u 0 (1, 0, ω, 0), dando como resultado para la velocidad circular,
vc2 =
rU,r
k(1 − U) − rU,r
(10)
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Discos de Kuzmin-Toomre con Halo (Discos Infinitos)
Densidad de Energı́a (σ̃) del disco
Tomamos U como como [G. G. Kuzmin, 1956]
Un (r , θ) = −
n
X
Al
P (cosθ),
l+1 l
R
l=0
σ̃
0.5
n=2
H12.84; 7.6; -2; 4.8L
0.4
H12.84; 11.6; -2; 4.8L
H18.12; 70; -2.1; 5.1L
0.3
H12.84; 11.6; -8.7; 4.8L
donde R 2 = r 2 + (|z| + a)2 . Masa del sistema,
MT0 = MD0 + MH0 =
H18.12; 100; -20; 90L
H30; 50; -20; 5.9L
0.2
8πA0
k
0.1
8πa
MD0 =
ln(1 + A0 /k)
k
Densidad de Energı́a (ρ) del halo
0.0
0
1
2
3
4
r˜
Velocidad Circular (n = 2)
z̃
vc
0.25
0.20
0.15
0.10
H12.84; 7.6; -2; 4.8L
H18.12; 100; -20; 90L
H12.84; 11.6; -2; 4.8L
H30; 50; -20; 5.9L
H18.12; 70; -2.1; 5.1L
0.05
H12.84; 11.6; -8.7; 4.8L
r˜
0.00
n=1
r˜
0
2
4
6
8
10
12
14
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Discos de Kalnas (Discos finitos)
Masa del sistema,
Tomamos U como como
U(ξ, η) = −
∞
X
MT =
8πaC0
k
C2n q2n (ξ)P2n (η),
n=0
MD 1 =
donde q2n = i 2n+1 Q2n (iξ), con Q2n (iξ) las funciones de
Legendre de segundo tipo de argumento imaginario y
[Guillermo A. González y Jerson I. Reina, 2006]
64a
s
"
1−
k
1+
m=1
C2n =
M/2a
(2n + 1)q2n+1 (0)
"
π 1/2 (4n + 1)(2m + 1)!
22m (m − n)!Γ(m + n + 3/2)
si, n ≤ m, y C2n = 0 si n > m, para m ≥ 1.
Densidad de Energia (ρ) del halo
s
8
3πC0
arcot
m=2
#
3πC0
3πC0 + 8
,
m=3
0.25
#
,
σ̃ Vs r˜
0.20
0.15
0.10
0.05
z̃
0.00
0.0
0.2
0.4
m=1
m=2
0.6
m=3
0.8
1.0
0.4
vc Vs r˜
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
m=3
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
r˜
8/9
9/9