Practica 4a

Laboratorio de Vibraciones Mecánicas
Practica 4a
Nombre:_____________________________________ Matricula:_______________
Grupo de Lab.:_______________
PRÁCTICA
4a
VIBRACIÓN FORZADA
SIN AMORTIGUAMIENTO
DE SISTEMAS DE UN
GRADO DE LIBERTAD
Cálculos y dibujos 15
Resultados
20
Conclusiones
30
Investigaciones
25
Comentarios y
10
Observaciones
CALIFICACIÓN 100
TOTAL
OBJETIVO
El alumno comprenderá el comportamiento de un sistema vibratorio debido a una
fuerza externa excitadora.
El alumno comprenderá el fenómeno de transmisibilidad en sistemas de un grado de
libertad no amortiguado.
FUNDAMENTOS
MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO
Las vibraciones se denominan libres cuando las mantienen fuerzas elásticas y en
algunos casos la fuerza gravitacional; un movimiento vibratorio libre (vibración natural)
oscila con su frecuencia natural. Una fuerza externa periódica de excitación que actúa
sobre un sistema produce y mantiene en éste una vibración forzada cuya frecuencia es
igual a la frecuencia de la fuerza.
Por otra parte, el movimiento de una partícula o cuerpo posee un grado de
libertad, cuando este movimiento está restringido en tal forma que la posición se define
completamente al especificar una coordenada.
Las oscilaciones al comienzo del movimiento de un cuerpo sometido a la acción
de una fuerza periódica y a condiciones iniciales arbitrarias son una combinación de
vibración libre y forzada.
Sin embargo, en las situaciones reales las fuerzas de amortiguación eliminan las
vibraciones libres y el movimiento que permanece se denomina vibración estable. El
periodo y la frecuencia de las vibraciones libres dependen de la masa del cuerpo, de la
rigidez del apoyo elástico y del coeficiente de amortiguamiento. La amplitud de las
vibraciones libres depende de las condiciones iniciales de movimiento y de la
frecuencia. Por otra parte, la frecuencia de las vibraciones forzadas estables dependen
de la frecuencia de la carga aplicada y es independiente de las características del
cuerpo que oscila.
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La amplitud de las vibraciones forzadas estables depende de la magnitud y
frecuencia de la carga aplicada y de la frecuencia de las vibraciones libres, pero es
independiente de las condiciones iniciales del movimiento. Cualquier fuerza que varía
periódicamente produce vibraciones forzadas; una fuerza variable de tipo común se
expresa como una función senoidal o cosenoidal.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Si una fuerza F(t) se aplica a un sistema masa-resorte amortiguado como el que
se muestra en la Fig. 1, la ecuación de movimiento obtenida a partir de la 2a Ley de
Newton es:
mx&& + cx& + kx = F ( t )
(1)
Figura 1
Debido a que es una ecuación no homogénea, su solución general x(t) está dada
por la suma de la solución homogénea, xh (t), y la solución particular, xp (t). La solución
homogénea, que es la solución de la ecuación homogénea:
m&x& + cx& + kx = 0
(2)
Representa la vibración libre del sistema, estudiada en la práctica anterior. La
vibración libre termina con el tiempo mediante cualquier condición de amortiguamiento.
Queda entonces el movimiento de estado estable, que estará presente siempre y
cuando exista una fuerza externa presente. Las variaciones de las soluciones
homogénea, particular y general con respecto al tiempo para un caso típico se muestran
en la Fig. 2a y 2b.
Figura 2a
La razón a la cual el movimiento transitorio decae depende de los valores de los
parámetros del sistema k, c y m.
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Xp(t), F(t)
F(t)
F(t)= Fuerza excitadora
φ=ángulo de fase.
Xp(t)=Solución particular
Xp(t)
0
ωt
2π
φ
2π
Figura 2b
Una fuente común de vibración la representan las máquinas con desbalance.
Consideremos un sistema masa-resorte con movimiento vertical exclusivamente, y
excitado por una máquina rotatoria en desbalance como se muestra en la Fig. 3. El
desbalance está representado por una masa m con una excentricidad e, que gira a una
velocidad angular ω. Si x es el desplazamiento de la masa que no está en rotación (Mm) a partir de la posición de equilibrio, entonces el desplazamiento de la masa m esta
dado por:
x + e sen ωt
(3)
Figura 3
La ecuación de movimiento es:
Simplificando tenemos
d2
( M − m)&&
x + m 2 ( x + esenωt ) = − kx − cx&
dt
(4)
Mx&& + cx& + kx = ( meω 2 ) senωt
(5)
Es claro entonces que esta ecuación es idéntica a la ecuación (1), donde F(t) es
reemplazada por (meω2)senωt, y entonces la solución de estado estable está dada por:
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X =
meω 2
2 2
( k − Mω )
tan φ =
y
+ ( cω
(6)
)2
cω
(7)
k − Mω 2
Reduciendo a una forma no dimensional tenemos:
M X
m e
=
ω 
 
 ωn 
(8)
2
2
  2  
ω
ω 
1 −    +  2 ζ

  ω n    ω n 
tanφ =
y
2
 ω
ωn
2ζ 
 ω
ωn
1 − 






(9)
2
Figura 4
SOLUCION PARTICULAR POR MEDIO DE FASORES
Tenemos La ecuación:
F (t )
m
Para la solución de esta ecuación se propone, para movimientos senoidales:
x = X cos(W f t − ϕ )
mx&& + cx& + kx = F ( t )
x& = W f X cos(W f t − ϕ +
&x& + 2ζWn x& + Wn 2 x =
π
)
2
&x& = W f 2 X cos(W f t − ϕ + π )
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Haciendo suma de magnitudes vectores partiendo de la ecuación inicial y la propuesta
tenemos el siguiente resultado:
2
Wn X
F (t )
X
m
ϕ
W f X 2ζWn
2
Wf X
Con la ayuda del teorema de pitagoras tenemos las siguientes relaciones
F (t )
Xm
W f 2ζWn
2
Wn − W f
2
2
 F (t ) 
2
2 2
2
 = (2ζWnW f ) + (Wn − W f )

 Xm 
4
Dividimos todo entre Wn y hacemos r =
Wf
Wn
sustituyendo tenemos lo siguiente:
2
 F (t ) 
2
2 2


 W 2 Xm  = (2ζr ) + (1 − r )
 n

Donde F(t) en este caso es una fuerza centrifuga dada por la siguiente ecuacion:
2
F = (md eW f ) * 4 sustituyendo en la ecuación anterior:
2
 md eW f 2 

 = (2ζr ) 2 + (1 − r 2 ) 2
 W 2 Xm 
 n

Hacemos :
 md eW f 2 
 Por lo tanto tenemos
A=
 W 2m 
n


2
 A
2
2 2
  = (2ζr ) + (1 − r )
X
 A
2
  = 1− r
X
MATERIAL Y EQUIPO
Vibración Forzada
- Sistema masa-resorte
- Fuente de poder variable.
- Analizador de vibraciones.
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SE PIDE
1. Obtener la frecuencia natural del sistema en forma teórica y utilizando el analizador
de vibraciones.
2. Calcular el porcentaje de error de las frecuencias naturales.
3. Realizar una tabla teórica en un rango de frecuencia de 500 hasta 2000 rpm del
motor con la siguiente información: Frecuencias de trabajo y amplitud de vibración.
4. Realizar un barrido de velocidad de rotación al sistema, empezando de 500 hasta
2000 rpm empleando el analizador de vibraciones y tomar datos de las frecuencias a
la que se trabajó con su respectiva amplitud.
5. Realizar una gráfica de amplitud de vibración contra ω/ωn . de los datos obtenidos en
forma teórica y en la experimental.
INVESTIGACION
I.Problema de diseño
Amortiguadores en automóviles
Introducción
Un automóvil de diseño convencional sustentado por sus resortes y llantas es un
sistema vibratorio sumamente complicado. En él se encuentran tres "masas" diferentes:
la carrocería, los ejes delanteros y traseros ; y ocho diferentes resortes: los cuatro
resortes, propiamente dichos y las cuatro llantas.
Cuerpo
Ejes
Llantas
Figura 3.
Problema
1. ¿Qué sucede si los resortes del auto son muy rígidos (k grande) ?
2. ¿Qué sucede si los resortes son muy blandos?
3. ¿Por qué resulta indispensable el uso de una llanta de hule, y no de acero?
4. ¿Para qué sirven los resortes del carro, si ya contamos con una llanta ?
5. ¿Cuántos Grados de libertad tiene un automóvil convencional?
Acompaña tus justificaciones con gráficas.
Explica bien todo.
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BIBLIOGRAFÍA
Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao
Addison-Wesley, Segunda Edición, 1990
Capítulos 1, 2
Theory of Vibration with applications, William T. Thomson
Prentice Hall, 1972
Capítulos 2, 3
Fundamentals of Mechanical Vibrations, S. Graham Kelly,
Mc Graw Hill, Singapore, 1992
Capítulos 3, 4
An Introduction to Mechanical Vibrations, Robert F. Steidel
John Wiley, Tercera edición, 1989
Capítulo 2
Mecánica de las Vibraciones, J.P. Den Hartog
C.E.C.S.A., Cuarta Edición, 1982
Capítulo 2
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