Efecto de la atm´osfera en astronomıa

De la Memoria de la DEA:
"SENSOR DE CURVATURA EN TELESCOPIOS
CON ESPEJOS SEGMENTADOS"
de J.M. Rodríguez-González
Dic.-2001.
Instituto de Astrofísica de Canarias
Universidad de La Laguna
Capı́tulo 2
Efecto de la atmósfera en astronomı́a
2.1 Introducción
La atmósfera tiene una gran influencia en la calidad de las imágenes tomadas de un objeto astronómico. Un
parámetro frecuentemente utilizado en relación a las prestaciones de un telescopio es el lı́mite de difracción. Se
mide habitualmente como un ángulo que representa el tamaño de la mancha de difracción debida al tamaño finito de la apertura. El lı́mite de difracción ,por lo tanto, determina la máxima resolución que el sistema (limitado
únicamente por el tamaño de su abertura) puede ofrecer. Sin embargo, al tomar una imagen con un telescopio a
través de la atmósfera terrestre, se encuentra que la resolución que se obtiene no se corresponde con el tamaño del
espejo del telescopio, sino que existe otro lı́mite. Este lı́mite hace que, en el caso de efectuar una observación en el
rango visible del espectro, se obtenga la misma resolución utilizando un telescopio con un espejo de varios metros
de diámetro, que utilizando otro de unas pocas decenas de centı́metros.
El motivo de que la resolución alcanzada con un telescopio de gran tamaño se sitúe por debajo del lı́mite difraccional se encuentra en la perturbación que introduce la atmósfera en la radiación que se propaga a su través. El
movimiento turbulento del aire ocasiona variaciones de la presión, la temperatura y la composición de la atmósfera
(por ejemplo de la concentración de vapor de agua). Como consecuencia, el ı́ndice de refracción y la absorción
no son constantes en toda la masa de aire atravesada por la radiación. Para llegar a diferentes puntos de la pupila,
la radiación procedente de un mismo objeto ha tenido que recorrer un camino óptico diferente, provocando una
distorsión del frente de ondas. Además, la iluminación en la pupila no es uniforme (centelleo), y todavı́a hay
que sumar otra contribución a la degradación de la imagen, la de los aerosoles suspendidos en la atmósfera que
dispersan la luz generando un fondo difuso.
El resultado final es un emborronamiento de las imágenes tomadas en tierra. La atmósfera se comporta como un
filtro que únicamente transmite las componentes de baja frecuencia espacial de la imagen, y la frecuencia de corte
que impone es menor que la impuesta por el lı́mite difraccional del telescopio en tanto que el diámetro de éste se
hace mayor que un tamaño tı́pico de unos diez centı́metros en un buen lugar de observación.
2.2 Turbulencia atmosférica
La atmósfera es un fluido sometido a continuos ciclos de enfriamiento y calentamiento que lo hacen evolucionar
dinámicamente y desarrollar movimientos turbulentos. La teorı́a de la turbulencia de Kolmogorov (1941) constituye el escenario habitual para la caracterización del efecto de la atmósfera en la propagación de la radiación
electromagnética. Esta teorı́a se basa en las siguientes suposiciones:
• La energı́a turbulenta procede de movimientos de aire a grandes escalas. La escala externa o escala de
inyección de la energı́a turbulenta representa el tamaño de los mayores torbellinos turbulentos.
• La energı́a se transmite a movimientos de menores escalas, formando una cascada que finaliza cuando la
energı́a cinética turbulenta se disipa en forma de calor por causa de la viscosidad del medio. Esto ocurre en
la escala interna del movimiento.
• Entre la escala externa y la interna existe un rango en el que no se produce inyección ni disipación de energı́a.
Kolmogorov denomina rango inercial a estas escalas de movimiento intermedias, suficientemente alejadas
de las de inyección o disipación, que intervienen como una cadena que transmite la energı́a hacia las escalas
disipativas.
• Si el ritmo de inyección de energı́a turbulenta es constante, en el sistema se alcanza un estado pseudoestacionario, en el que la disipación debe de compensar exactamente a la generación de energı́a turbulenta.
El análisis de Kolmogorov se aplica al rango inercial. Suponiendo que el ritmo de inyección de energı́a turbulenta es constante y que se ha llegado al estado estacionario, la energı́a se reparte entre las distintas escalas de
movimiento conforme al espectro de energı́a de la ley de Kolmogorov:
E(k) ∝ k −5/3
donde k representa la frecuencia espacial asociada a la escala de movimiento y E(k) es el espectro de energı́a. Las
variaciones del ı́ndice de refracción del aire vienen producidas principalmente por dos motivos: fluctuaciones de
temperatura o fluctuaciones en la concentración de vapor de agua. Obukhov demostró que la energı́a asociada a
estas fluctuaciones también sigue la ley de Kolmogorov.
Tatarski (1961) ha aplicado la teorı́a de Kolmogorov para el estudio de la formación de imágenes. Se puede
encontrar una buena exposición de los resultados más relevantes en Roddier (1981). A continuación se muestran
algunos de éstos.
2.3
Función de estructura de las fluctuaciones de fase
Las regiones con turbulencia atravesadas por la radiación de un objeto astronómico afectan fundamentalmente
a la fase del frente de ondas. El efecto que causan en la amplitud es menor y además no es tan importante
para la formación de imágenes. Una aproximación que será muy útil en la discusión del efecto de la atmósfera
es la aproximación de campo cercano. Ésta consiste en despreciar los efectos de difracción que se producen
en la propagación del campo electromagnético por la atmósfera (entre dos regiones turbulentas, en cada una de
ellas, o entre ellas y la pupila del telescopio). Esta aproximación es válida cuando las distancias de propagación
implicadas no son muy grandes en relación a la magnitud de las perturbaciones introducidas en la fase del frente
de ondas, lo cual se verifica en casi todos los casos de interés astronómico. Con esta aproximación es posible
obtener la fluctuación de la fase del campo electromagnético en cada punto de la pupila simplemente integrando
las variaciones del ı́ndice de refracción en la lı́nea de visión. En cambio hay problemas, como el estudio de las
variaciones de iluminación en la pupila (centelleo), que requieren un tratamiento en el que se consideren estos
efectos de difracción en la propagación.
La amplitud del campo electromagnético es una magnitud compleja que se expresa del modo siguiente:
Ψ(r) = |Ψ(r)| exp[iφ(r)]
(8)
En las condiciones de validez de la aproximación de campo cercano se puede describir el efecto de la atmósfera
caracterizando la función φ(r) en el plano de la pupila. Esta caracterización solo puede realizarse calculando
promedios estadı́sticos de magnitudes relevantes. Una de estas magnitudes es la función de estructura de las
fluctuaciones de fase del frente de onda, definida como
D
E
2
Dφ (ξ) = [φ (r + ξ) − φ (r)]
(9)
que se relaciona directamente con la autocorrelación de la fase Bφ (ξ), ya que
hD
E
i
2
Dφ (ξ) = 2 φ (r) − hφ (r + ξ) φ (r)i = 2 [Bφ (0) − Bφ (ξ)]
(10)
Los promedios se efectúan en múltiples realizaciones independientes del experimento de medida, aunque bajo
las condiciones de isotropı́a y estacionaridad se puede reemplazar por un promedio espacial o temporal. Se utilizará una nueva simplificación consistente en considerar que las fluctuaciones de fase en cada punto siguen una
estadı́stica gaussiana. Esto se puede justificar en virtud del teorema del lı́mite central teniendo en cuenta que estas
fluctuaciones son el efecto de muchas contribuciones independientes a distintas alturas en la atmósfera. Para el
modelo de turbulencia de Kolmogorov, y utilizando la aproximación de campo cercano, el valor de la función de
estructura resulta:
5/3
Dφ (ξ) = 6.88 (|ξ|/r0 )
(11)
r0 es el parámetro de Fried, que sirve de gran ayuda para comprender el efecto de la atmósfera en la propagación
de radiación. Depende de la longitud de onda y de la intensidad de la turbulencia. Entre las interpretaciones que
se pueden dar a este parámetro hay una bastante útil: representa el diámetro de la apertura de un telescopio que, en
ausencia de atmósfera, ofrecerı́a el mismo poder resolutivo que un telescopio de gran tamaño en presencia de ésta.
Un valor tı́pico es el de diez centı́metros para observaciones en el visible.
El espectro de potencias de la fase del frente de onda se puede encontrar, de acuerdo con el teorema de WienerKhinchin (Goodman 1968), como la transformada de Fourier de la autocorrelación, y resulta (Noll 1976)
5/3
Φ(k) = 0.023/r0
k −11/3
(12)
En el modelo de turbulencia de Kolmogorov, el espectro de potencias resulta divergente conforme la frecuencia
espacial tiende a cero. Esto quiere decir que conforme aumenta la distancia entre dos puntos, mayor será el desfase
que se espera medir entre ellos (siempre que la distancia elegida se mantenga en el rango inercial). Para evitar esta
divergencia e introducir el efecto de las escalas externa e interna de la turbulencia se han propuesto otros modelos
como el de Von-Karman, cuyo espectro de potencias tiene la forma:
−11/6
5/3
2
Φ(k) = 0.023/r0
k 2 + k02
exp −k 2 /km
(13)
y en el que k0 y km se relacionan respectivamente con la inversa de la escala externa e interna.
2.4 Descomposición de la aberración en modos de Zernike
La aberración de un frente de ondas se define como su desviación con respecto al que resultarı́a en un sistema
perfecto no limitado por difracción. En este estudio sólo se está considerando el efecto de las variaciones de fase,
por lo que se caracterizará la aberración como la diferencia de fase entre el frente de ondas real y el ideal. En
astronomı́a es bastante habitual desarrollar la aberración del frente de ondas empleando un conjunto de funciones
que forman una base ortonormal en una abertura circular. Estas funciones consisten en el producto de: (1) un
polinomio de Zernike para la dependencia radial y (2) una función trigonométrica para la dependencia acimutal.
Utilizando la notación de Noll (1976)
√
√
Zj par = √n + 1Rnm (ρ)√2 cos mθ
m 6= 0
Zj impar =
n + 1Rnm (ρ) 2 sin mθ
√
Zj = n + 1Rn0 (ρ)
m=0
Rnm (ρ) es el polinomio radial de Zernike de con ı́ndice principal n e ı́ndice secundario m (Born & Wolf 1959). Los
modos de Zernike se ordenan mediante el ı́ndice j: primero por orden creciente de grado radial n, luego por orden
creciente de frecuencia acimutal m, y en caso de que ésta sea distinta de cero, corresponde el ı́ndice j par a los
modos cuya dependencia acimutal tenga forma de coseno. En la figura 5 se representan los primeros modos. Dado
que los modos de Zernike Zj son funciones ortonormales en un disco de radio unidad, es posible desarrollar una
función acotada por una abertura circular como:
X
φ(Rρ, θ) =
aj Zj (ρ, θ)
(14)
j
Los modos de Zernike de ordenes bajos tienen la misma forma que las aberraciones clásicas (esférica, astigmatismo, coma...). Su utilización como base para el desarrollo de las aberraciones introducidas por la atmósfera es
particularmente interesante. Noll (1976) indica el modo de calcular la covarianza de los coeficientes correspondientes a cada modo de Zernike, y la conclusión es que la base de los modos de Zernike se aproxima bastante a la
(a) Z2 ,Z3 : inclinación.
(b) Z4 : desenfoque.
(c) Z5 , Z6 : astigmatismo.
(d) Z7 , Z8 : coma.
(e) Z9 ,Z10 .
(f) Z11 : esférica.
(g) Z12 , Z13 .
(h) Z14 , Z15 .
Figura 5: Modos de Zernike de orden bajo. En los casos en que aparecen dos ı́ndices, se ha representado menor de
ellos, y el otro se obtiene rotando la imagen.
óptima, al menos en los primeros ordenes (Roddier 1999). La base óptima, en la que la covarianza entre coeficientes es nula, estarı́a compuesta por las funciones de Karhunen-Loève cuya expresión no es analı́tica.
Si fuera posible conseguir que los primeros J coeficientes del desarrollo en modos de Zernike sean siempre nulos,
mediante un sistema que corrija estas aberraciones, se reducirı́a la amplitud de las fluctuaciones de la fase. Noll
(1976) consigue calcular la varianza promedio de estas fluctuaciones en un cı́rculo de diámetro D para distintos
grados de corrección. El resultado se muestra en la tabla 1, para diferentes números de modos corregidos. En el
caso de que la compensación se realice únicamente sobre el primer modo (pistón), el coeficiente ∆1 nos permite
otra interpretación interesante del parámetro de Fried r0 . La varianza promedio de la fase en un disco de diámetro
r0 es aproximadamente 1 rad2 . El frente de onda delimitado por este cı́rculo es esencialmente plano, a efectos de
formación de imágenes. r0 representa por tanto el tamaño de las regiones coherentes en el frente de onda.
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5
∆6
∆7
∆8
∆9
1.0299 (D/r0 )5/3
0.582 (D/r0 )5/3
0.134 (D/r0 )5/3
0.111 (D/r0 )5/3
0.0880 (D/r0 )5/3
0.0648 (D/r0 )5/3
0.0587 (D/r0 )5/3
0.0525 (D/r0 )5/3
0.0463 (D/r0 )5/3
Tabla 1: Varianza residual ∆J después de la corrección de los primeros J modos del desarrollo en funciones de
Zernike.