Serie de Fourier y transformada de Laplace

Tema: Serie de Fourier y Transformada de Laplace Serie de Fourier generalizada
Supongamos que
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una
función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes
0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos
determinar los coeficientes
mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n.
En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,
(1)
En la que
(2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
1
(3)
El conjunto de funciones
(1)
es ortogonal en el intervalo [−p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [−p,p] que se
puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes
pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde −p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función
,
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar
se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e integremos:
(5)
2
por la ortogonalidad tenemos que
y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así
(6)
Por último si multiplicamos a (2) por
, integramos y aplicamos los resultados
llegamos a
(7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (−p,p) es
(8)
(9)
(10)
3
(11)
Series de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (−p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y
(11) se transforman en
.
En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (−p,p),
, n=0,1,2,...,
Resumiendo quedaría de la siguiente manera:
• La serie de Fourier de una función par en el intervalo (−p,p) es la serie de cosenos
en que
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (−p,p) es la serie . de senos
en donde
Transformada de Laplace
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Definición básica. Si f(t) está definida cuando
, la integral impropia
se define como un límite:
Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no
existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s.
La situación
proporciona una transformación lineal muy importante:
Sea f una función definida para
. Entonces la integral
se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.
Evaluar L{1}.
Solución
L
es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir
siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,
Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior
Condiciones suficientes para la existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo
y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.
Demostración
La integral
existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que
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es continua. Ahora
cuando s>c. Como
converge, la integral
converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que
existe para s>c. La existencia de
e
implica que
existe cuando s>c.
Transformadas de algunas funciones básicas
a)
b)
c)
d)
e) f)
g)
Transformada inversa
Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
Algunas transformadas inversas
a) b)
c) d)
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e) f)
g)
es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación
lineal; esto es, si
y
son constantes,
en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que
y, sin embargo,
.
Comportamiento de F(s) cuando
Si f(t) es continua por tramos en
y de orden exponencial para t>T, entonces
Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en
, necesariamente es acotada en el intervalo; o sea
. También
cuando t>T. Si M representa el máximo de
y c indica el máximo de
, entonces
para s>c. Cuando
, se tiene que
, de modo que
.
Teoremas de traslación
Primer teorema de traslación
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Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
Demostración La demostración es inmediata
Segundo teorema de traslación
Si
y a>0, entonces
Demostración Expresamos a
como la suma de dos integrales:
.
Ahora igualamos v=t−a,dv=dt y entonces
Derivadas de transformadas
Si
y n=1,2,3,..., entonces
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Transformada de una derivada
Si f(t), f'(t),...,
son continuas en
, son de orden exponencial, y si
es continua parte por parte
, entonces
en donde
Teorema de la convolución
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
y de orden exponencial,
Demostración Sean
Y.
Al proceder formalmente obtenemos
Mantenemos fija
y escribimos
, de modo que
Transformada de una función periódica
Si f(t) es continua por tramos en
, de orden exponencial y periódica con periodo T,
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(a)
Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:
(b)
Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en
Por consiguiente, la ecuación (b) es
Al despejar
se llega al resultado de la ecuación (a).
1
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