SISTEMAS NUMERICOS

SISTEMAS NUMERICOS
CAMILO ANDREY NEIRA IBAÑEZ
UNINSANGIL
INTRODUCTORIO A LA INGENIERIA
LOGICA Y PROGRAMACION
CHIQUINQUIRA (BOYACA)
2015
1
CONTENIDO
Pág.
QUE ES UN SISTEMA BINARIO. ………………………………………………………3
CORTA HISTORIA DE LOS NUMEROS BINARIOS………………………………….3
REPRESENTACION. …………………………………………………………………….4
OPERACIONES CON NUMEROS BINARIOS………………………………………...4
SUMA CON NUMEROS BINARIOS………………………………………………..4
RESTA CON NUMEROS BINARIOS………………………………………………5
PRODUCTO CON NUMEROS BINARIOS………………………………………..5
DIVISION CON NUMEROS BINARIOS……………………………………………6
SISTEMA HEXADECIMAL...……………………………………………………………..7
SISTEMA OCTAL……………………………………………………………………….…8
CONVERSION ENTRE SISTEMAS BINARIOS…………………………….………....9
CONVERSION BINARIO A OCTAL.………………………………………………..9
CONVERSION OCTAL A BINARIO…………………………………………………9
CONVERSION BINARIO A HEXADECIMAL………………………………………10
CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO………………………………………10
CONVERSION OCTAL A HEXADECIMAL Y VICEVERSA………………………11
TABLA DE CONVERSION………………………………………………………………..12
2
QUE ES UN SISTEMA BINARIO
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración
en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno
(0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con
dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema
binario (encendido 1, apagado 0).1
CORTA HISTORIA DE LOS NUMEROS BINARIOS
El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se
conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra
era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.
En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario.
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el
siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se
mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el
0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.
En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un
antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría
denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el
desarrollo de circuitos electrónicos.2
1
https://tiposdecomputadora.wordpress.com/2010/11/30/almacenamiento-de-datos-bit-byte-megabyte-ymucho-mas-curso-gratis/
2
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
3
REPRESENTACION
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos
binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados
mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser
interpretadas como el mismo valor numérico binario:
1010011011
¦ − ¦ −− ¦ ¦ − ¦ ¦
xoxooxxoxx
ynynnyynyy
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos
voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco
magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el
equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.3
OPERACIONES CON NUMEROS BINARIOS
Suma de números Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son




0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
100110101
+ 11010101
———————————
1000001010
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha,
en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado
y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la
siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas
(exactamente como en decimal).
3
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario
4
Resta de números binarios
El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación
binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman
minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:




0-0=0
1-0=1
1-1=0
0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad
prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir
en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la
posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
10001
-01010
——————
01111
11011001
-10101011
—————————
00101110
Producto de números binarios
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque
se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da
0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110
por 1001:
10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza
este método sino otro llamado algoritmo de Booth.
5
División de números binarios
La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora
de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.
Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):4
100010010 |1101
——————
- 0000
010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
4
http://centros.edu.xunta.es/iesmanuelchamosolamas/electricidade/fotos/numeracion.htm
6
SISTEMA HEXADECIMAL
La base hexadecimal surgió para compactar la información binaria.
Se utiliza un dígito hexadecimal para representar una cadena de 4 dígitos binarios.
Teniendo en cuenta que con 4 dígitos binarios podemos representar 16 números
diferentes: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010, etc... ...Teniendo en
cuenta esto, un dígito hexadecimal tiene que poder tomar 16 valores diferentes.
Para la base 10, tenemos 10 dígitos diferentes: del 0 al 9; para la base 2, nos
servimos de dos de esos dígitos que ya teníamos para la base 10: el 0 y el 1.
Pero en la base 16, que tenemos 16 dígitos diferentes, no podemos valernos sólo
de los dígitos de la base decimal, ya que sólo hay 10 diferentes, y necesitamos
16.
La solución es utilizar letras para representar los 6 dígitos que nos faltan.
Tenemos entonces que los dígitos hexadecimales son:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E y F. A equivale a 10 en base 10. B equivale a 11 en
base 10. C equivale a 12 en base 10. D equivale a 13 en base 10. E equivale a 14
en base 10. F equivale a 15 en base 10.
Del mismo modo que en la base 10, el último dígito es el 9; en la base 2, el último
dígito es el 1; en la base 16, el último dígito será F.
Si sumamos a F una unidad, obtendremos el número 10 (base hexadecimal). Este
número 10h (se utiliza el sufijo 'h' para indicar que se trabaja con base
hexadecimal, al igual que el sufijo 'b' indica que se está trabajando con base
binaria) equivale a 16 en base 10.
El factor de escala en esta base, son las potencias de 16 que afectan a un dígito
dado dependiendo de su posición en la cadena numérica. De forma similar que al
hablar de la base binaria, al decir potencias de 16, me estoy refiriendo a potencias
de 16 (en base 10).
Es decir, para obtener la traducción de ese número en base 16 a su valor en base
10, utilizamos las potencias de 16 mencionadas. Estas potencias de 16 en base
10, serían potencias de 10 en base 16. Es decir, el número 10 en base 16 equivale
al número 16 en base 10. 5
5
http://www.utp.edu.co/~chami17/sn.htm
7
SISTEMA OCTAL
Al igual que la base hexadecimal, se utiliza para compactar información binaria,
pero en este caso, la compactación es menor, de tal manera que casi no se usa.
Mientras que en la base hexadecimal con un sólo dígito se puede representar una
cadena de 4 dígitos binarios, en la base octal un dígito sólo puede representar 3
dígitos binarios. 6
El sistema numérico en base 8 utiliza los dígitos 0 a 7. Los números octales
pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos
consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor
decimal
El número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), se agruparía
como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. En
informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene
la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos.7
6
7
http://www.utp.edu.co/~chami17/sn.htm
http://www.ecured.cu/index.php/Sistema_octal
8
CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS BINARIOS
Conversión de binario a octal
La base de números binarios está representada por 2 y la base de números
octales está representada por 8. La tercera potencia de números binarios se
denomina como números octales. A fin de convertir el numero binario en sus
números octales equivalentes, se dividió el número binario en grupos y cada grupo
debe contener tres binarios y, a continuación, se convierte cada grupo en su
número octal equivalente. El siguiente ejemplo permite comprender la conversión
del binario a octal
Ejemplo: Convertir el número binario (111110011001)2 octal equivalente
Conversión octal a binario
A fin de obtener el número binario equivalente para el número octal, se escribe el
dígito octal individual en su equivalente de números binarios. El siguiente ejemplo
permite comprender la conversión
Ejemplo: Convertir el número Octal (536)8 en su equivalente Binario8
8
http://es.ncalculators.com/digital-computation/binary-octal-converter.htm
9
Conversión de binario a hexadecimal
Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar
de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.9
Ejemplos

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal).
1010 = A
1011 = B
1 entonces agregue 0001 = 1
Agrupe de derecha a izquierda: 1BA
Conversión de hexadecimal a binario
La conversión de un hexadecimal a binario es la acción de la codificación de cada
valor hexadecimal a su representación binaria. Un valor hexadecimal está
constituido por un número de 0 a 9 o una letra A - F. 10 Cada dígito hexadecimal
se convierte en su binario equivalente de 4 bits y se juntan en el mismo orden.
9
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario#Sistema_binario_a_octal
http://representacioninformacion.wikispaces.com/Conversi%C3%B3n+de+Hexadecimal+a+Binario
10
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Conversión de Octal a Hexadecimal y viceversa
La conversión de un numero en base 8 se pude realizar pasando el número a
sistema binario (base 2), convirtiendo cada digito octal en su equivalente binario y
este binario convertirlo a hexadecimal formando grupos de 4 dígitos binarios de
derecha a izquierda completando los dígitos que falten con ceros, cada grupo se
convierte en su equivalente hexadecimal. Para realizar el proceso contrario, es
decir, convertir de hexadecimal a octal, primero se convierte el numero en base 16
a binario, pasando cada digito a su equivalente en binario y este a su vez se divide
en grupos de 3 dígitos binarios de derecha a izquierda completando con ceros si
es necesario y cada grupo se representa en dígitos octales.
Por ejemplo, 2047(octal) y lo separamos por cifras.
2047 (octal)
2.- Ahora debemos saber que cada número octal puede ser expresado en máximo
3 números binarios,
2=010
0=000
4=100
7 = 111
3.- Escribimos los números de izquierda a derecha o en este caso, de arriba abajo:
010000100111, y así tenemos nuestro número binario
010000100111 (binario)
4.- Ahora este número binario lo dividimos en grupos de 4 de derecha a izquierda
y cada grupo lo expresamos como su equivalente hexadecimal:
0100
0010
0111
4
2
7
= 427 corresponde al número en hexadecimal
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TABLA DE CONVERSION ENTRE SISTEMAS NUMERICOS
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https://cienciasdlcomp.files.wordpress.com/2012/08/numerosc.jpg
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